12

CAPITOLUL 2

LEGI ŞI NOŢIUNI FUNDAMENTALE UTILIZATE ÎN STUDIUL TURBINELOR TERMICE

Studiul funcţionării turbinelor cu abur sau cu gaze şi în general al turbomaşinilor se face cu ajutorul legilor fundamentale din termodinamică şi din mecanica fluidelor referitoare la procesele de curgere continuă. Analiza curgerii de lucru fluidului şi transformărilor energetice trebuie să satisfacă:

- legile lui Newton şi teoremele generale din mecanica clasică; - legile universale de conservare: a masei, a energiei, a impulsului şi a momentului cinetic.

Ipoteze simplificatoare - curgerea şi parametrii fluidului sunt staţionare; într-un punct al liniei de curent parametrii fizici, termici şi cinematici ai fluidului nu variază în timp, dar pot varia de la un punct la altul; - curgerea este unidimensională sau bidimensională; - în secţiunile de intrare şi ieşire din canalul de curgere (tub de curent) parametrii sunt uniformi; - curgere se face fără schimb de căldură cu mediul ambiant (adiabatică) şi fără pierderi de fluid; - mişcarea rotorului este uniformă - viteza unghiulară (turaţia) sunt constante); - fluidul este omogen şi nu au loc reacţii chimice.

2.1. Ecuaţia de transformare

Procesul teoretic al destinderii aburului sau gazelor de ardere (fără pierderi şi fără schimb de căldură cu exteriorul), proces izentropic, respectă ecuaţia de transformare:

ctpvk =

Exponentul adiabatic k = f (p, t, natura fluidului):

- abur supraîncălzit k = (1,25 ÷ 1,325), fiind frecvent utilizată valoarea k = 1,3;

- abur saturat uscat k = 1,135;

- abur umed se poate calcula cu relaţia k = 1,035 + 0.1⋅x (x = titlul aburului);

- gazelor de ardere - se determină funcţie de compoziţia şi starea acestora.

Pentru abur legătura dintre parametrii se stabileşte de regulă cu ajutorul tabelelor de proprietăţi termodinamice sau a diagramelor, cea mai utilizată fiind diagrama h – s (diagrama Mollier).

2.2. Debit, ecuaţia de debit

Debitul este cantitatea de fluid care curge în unitatea de timp printr-o secţiune dată.

Sunt utilizate: – debitul masic τd

dmm =& [kg/s]

– debitul volumic τd

dVV =& [m3/s]

ncSncSncSm ραρρ === cos& [kg/s]

Relaţiile obişnuite de calcul sunt: – pentru debitul masic: v

cSm n=& [kg/s]

– pentru debitul volumic: ScV n=& [m3/s]

unde: v = volumul specific [m3/kg].

c

ns cn

α

Curgerea printr-o secţiune.

13

Coeficientul de debit

Este raportul între debitul real şi cel teoretic: tm

m

&

&=µ

Exprimă influenţa stratului limită asupra curgerii prin canale, în cazul fluidelor reale, vâscoase. Coeficientul de debit depinde de natura şi de parametrii fluidului, de regimul de curgere exprimat prin cifrele Mach şi Reynolds, de forma şi de dimensiunile canalului. Ia valori de ordinul (0,98..0,995).

Viteza de curgere La curgerea prin conducte viteza optimă de curgere se stabileşte din considerente tehnico-economice, luând în considerare influenţa sa asupra: dimensiunilor şi greutăţii conductelor, pierderilor de energie, transferului de căldură, eroziunii, etc.

- în conductele de abur viu supraîncălzit (40 ÷ 60) m/s;

- în conductele de abur saturat ............... (30 ÷ 40) m/s;

- în conductele de priză ale turbinei ....... (40 ÷ 60) m/s;

- iar în conducta de evacuare a aburului la condensator (100 ÷ 120) m/s.

Pentru ajutaje şi palete viteza de curgere rezultă în urma procesului destinderii aburului sau a gazelor de ardere.

Aplicarea ecuaţiei de debit permite: - determinarea debitului de fluid care curge printr-o secţiune dată (calcul de verificare) - dimensionarea secţiunii de curgere atunci când debitul este cunoscut (calcul de proiectare)

2.3. Ecuaţia de continuitate Ecuaţia de continuitate reprezintă aplicarea principiului conservării masei la fenomenele de curgere. Forma matematică a acestui principiu se obţine analizând un volum elementar de fluid aflat într-un tub de curent limitat de secţiunile S1 şi S2, de lungime dx. Se consideră că atât în secţiunea de intrare cât şi în cea de ieşire viteza şi densitatea fluidului sunt mărimi uniforme, egale cu valorile lor medii:

∫=

sm

m dsv

c

v

cS [kg/s]

Deoarece nu a loc pierderi sau acumulări de fluid debitele prin cele două secţiuni sunt egale. Renunţând la indicele m se obţine ecuaţia de continuitate sub forma:

.2

22

1

11 constv

cS

v

cS== [kg/s]

sau pentru cazul general: .constv

cS= [kg/s]

În cazul fluidelor compresibile este des utilizată forma diferenţială a ecuaţiei de continuitate, obţinută prin logaritmarea şi apoi diferenţierea ecuaţiei:

0=−+v

dv

c

dc

S

dS

Tub de curent – element de volum

Strat limită

14

2.4. Ecuaţia energiei

Ecuaţia energiei este expresia matematică a principiului conservării energiei aplicat proceselor de curgere continuă. În cazul sistemelor termodinamice deschise, aflate în curgere, în care apar pierderi disipative, cum sunt frecările, expresia diferenţială a primului principiu al termodinamicii, raportat la un kilogram de fluid, este:

ft llgdzc

dpvdudq δδδ +++++= )2

()(2

[J/kg]

unde: q = căldura schimbată în cursul transformării; u = energia internă; pv = energia de dislocare; c

2/2 = energia cinetică;

gz = energia potenţială de poziţie; lt = lucrul mecanic efectuat în cursul transformării; lf = lucrul mecanic efectuat pentru învingerea frecării.

La trecerea sistemului între două stări de echilibru, formele de energie se transformă una în cealaltă. Căldura schimbată în cursul transformării provine din mediul exterior şi din frecări, aceasta din urmă fiind egală cu lucrul mecanic consumat pentru învingerea frecărilor:

fex qqq δδδ += [J/kg]

ff lq δδ = [J/kg]

În cazul gazelor variaţia energiei de poziţie poate fi neglijată, iar suma dintre energia internă şi energia de dislocare este entalpia, h = u + pv. Ecuaţia devine:

tex lc

ddhq δδ ++= )2

(2

[J/kg]

Această formă a ecuaţiei energiei este valabilă atât pentru procese teoretice cât şi reale, deoarece la stabilirea ei s-a ţinut seama şi de pierderi. Cu ajutorul ei se va stabili expresia lucrului mecanic efectuat de fluidul de lucru într-o turbină.

Ipoteze simplificatoare în cazul turbinelor: 0≈exqδ - procesul destinderii se desfăşoară cu viteză foarte mare, timpul necesar

fiind sub 0,1 s, astfel încât poate fi considerat adiabatic;

02

2≈

cd - vitezele de curgere la intrarea şi la ieşirea din turbină sunt comparabile

Ca urmare ecuaţia devine: dhlt −=∂ [J/kg]

sau: Hhhlt =−= 21 [J/kg]

Căderea de entalpie

Cădere de entalpie (H) este diferenţa dintre entalpia fluidului la intrarea ( notată h1 sau ho) şi la ieşirea (notată h2 sau he) din turbină şi reprezintă lucrul mecanic specific efectuat de fluidul de lucru într-o turbină.

Cădere teoretică de entalpie pe turbină ( Ht ) reprezintă lucrul mecanic teoretic, posibil a fi efectuat de fluidul de lucru într-o destindere izentropică:

etot hhH −= [J/kg]

15

În funcţie de parametrii fluidului şi complexitatea ciclului termic căderile de entalpie teoretice ating valori de (1400 ÷ 1600) kJ/kg la turbinele cu abur cu condensaţie şi cu supraîncălzire intermediară şi de (400 ÷ 600) kJ/kg la turbinele cu gaze

Puterea efectivă a unei turbine

ete HmP η&= [W] m& = [kg/s]; Ht = [J/kg]

sau: 3600

ethe

HmP

η&= [MW] m& h= [t/h]; Ht =[kJ/kg]

2.5. Teorema impulsului

Teorema impulsului permite determinarea vitezei de curgere a fluidului şi a forţei cu care acesta acţionează asupra profilelor.

În conformitate cu principiul fundamental al dinamicii variaţia în timp a impulsului unui corp este egală cu suma forţelor exterioare care acţionează asupra corpului:

τd

dpF =∑ [N]

În cazul turbinelor curgerea fluidului de lucru în canalele dintre paletele rotorice este însoţită de un transfer de impuls de la fluid la palete, transfer realizat prin intermediul forţei cu care fluidul acţionează asupra paletelor. Teorema impulsului permite determinarea acestei forţe. Tinând seama de faptul că impulsul fluidului scade, deci variaţia sa este negativă, se obtine:

τd

dpF −=∑ [N]

Asupra profilului paletei sau a pereţilor canalului de curgere acţionează următoarele forţe:

– forţele de presiune (suma lor este nulă datorită caracterului axial simetric al curgerii)

– forţe masice (neglijabile la gaze şi vapori) – forte de impuls datorate curgerii fluidului

Variaţia energiei cinetice a fluidului este dată de diferenţa dintre lucrul mecanic obţinut prin destinderea sa şi lucrul mecanic al forţelor rezistente. Pentru transformarea teoretică (izentropică), în care nu există forţe rezistente şi schimb de căldură cu exteriorul, cu ajutorul relaţiei de transformare se obţine relaţia care permite calculul vitezei teoretice în secţiunea.

Fluidul de lucru poate produce forţă asupra paletei în trei moduri, prin efect de: - acţiune, - reacţiune, - aripă portantă;

16

Forţa de acţiune

Este forţa produsă asupra unui corp de către un fluid aflat în curgere datorită schimbării direcţiei vectorului viteză în urma interacţiunii fluid-corp

( ) 121 cmccmFi && =−= ( ) ( )[ ] 11121 2 cmccmccmFi &&& =−−=−= [N]

Ca urmare, în cazul turbinelor, pentru ca fluidul de lucru să creeze forţă asupra paletelor, suprafaţa acestora care intră în contact cu fluidul (profilul paletei) trebuie să aibă o formă concavă care să permită devierea direcţiei de curgere. Unghiul de deviere va fi însă mai mic de 1800 pentru a permite curgerea fluidului spre treapta următore şi evacuarea sa din turbină. Forţa de reacţiune

Este forţa produsă asupra unui corp prin ieşirea fluidului din el cu viteză mărită. Sensul forţei de reacţiune este opus sensului de curgere al fluidului:

( ) 221 cmccmFr && −=−= [N]

Pentru a obţine efectul de reacţiune canalul de curgere realizat între palete trebuie să fie astfel profilat încât să asigure destinderea fluidului şi astfel creşterea vitezei relative de curgere în secţiunea de ieşire.

Forţa portantă

Ia naştere în urma curgerii unui fluid în jurul unui profil aerodinamic. Aripa portantă este un profil asimetric cu raze foarte mari de curbură şi având grosimea mult mai mică în comparaţie cu lungimea şi lăţimea sa. Viteza fluidului suficient de departe de muchia de intrare a profilului astfel încât câmpul de viteze să fie uniform, se notează c∞. Dacă l este lungimea şi b coarda profilului, forţa portantă şi forţa de rezistenţă la înaintare, normală şi respectiv paralelă la direcţia vitezei c∞, vor fi

forţa portantă lbc

cF zp 2

2∞= ρ [N]

forţa de rezistenţă lbc

cF xx 2

2∞= ρ [N]

c1

c2

c2

c2

c2 c2

c2

Fi

c1

c2

Fi

a. b.

Forţa de acţiune: a – asupra unui perete infinit; b – asupra unei suprafeţe curbe.

Fr

c1 c2

Forţa de reacţiune.

Forţa portantă.

17

unde: ρ = densitatea fluidului cz, cx = coeficientul de portanţă, respectiv rezistenţă la înaintare.

Raportul dintre forţa rezistentă şi forţa portantă, respectiv dintre coeficientul de rezistenţă la înaintare şi coeficientul de portanţă, este numit coeficient de fineţe a profilului şi ia valori de µ = (0.02 ÷ 0.06):

λµ tgc

c

F

F

z

x

z

x ===

Mărimea coeficientului de portanţă şi implicit a forţei portante depinde de forma

(curbura) profilului şi de valoarea unghiului de atac. Forţa portantă creşte aproximativ liniar cu creşterea unghiului de atac. Când pe extrados se atinge viteza sunetului, corespunzător unghiului critic δcr, creşterea se atenuează, iar la valori mai mari decât δd, la care apare desprinderea fluidului de pe extrados, forţa portantă scade puternic. Polara profilului permite determinarea unghiului optim de atac, pentru care raportul dintre forţa portantă şi forţa de rezistenţă este maxim.

Caracteristicile profilului de aripă portantă Elementele geometrice ale profilului de aripă portantă: a – influenţa unghiului de atac; b – polara profilului. yd(x) – funcţia de grosime; yf(x) – ordonata scheletului;

f – săgeata; l – coarda.

Efectul de aripă portantă:

a – profil simetric; b – profil asimetric plasat sub un unghi de atac; c – circulaţia şi forţa portantă; d – distribuţia presiunii statice.

18

2.6. Teorema momentului cinetic

Teorema momentului cinetic permite determinarea momentului transmis de fluid rotorului, respectiv a energiei schimbate între fluidul de lucru şi rotor. Teorema momentului cinetic: momentul rezultant al forţelor exterioare care acţionează asupra unui corp, calculat faţă de un pol, este egal cu derivata în raport cu timpul a momentului cinetic în raport cu acel pol:

τd

KdM 0

0 = [Nm]

În cazul turbinelor, fluidul cedează energie rotorului şi ca urmare momentul său cinetic scade, variaţia momentului cinetic fiind negativă, 00 <Kd .

Ipoteze: - curgere axial simetrică, momentul forţelor de presiune este nul; - momentul forţei de greutate este neglijabil.

Prin urmare momentul transmis de fluid rotorului se datorează exclusiv variaţiei momentului cinetic dat de forţa de impuls a fluidului.

Momentul cinetic şi conform momentul faţă de axa de rotaţie vor fi:

2,12,12,1 cmrK ×= [Js]

2,12,12,1 cmrM &×= [Nm]

Momentul faţă de axa de rotaţie poate fi scris sub forma:

( )2211 crcrmM ×−×= & [Nm]

Descompunând mişcarea, componenta axială a vitezei produce o forţa axială, cea radială o forţă normală pe axa de rotaţie, iar cea tangenţială forţa al cărei moment produce efectul de rotaţie Prin urmare:

)( 2211 uu crcrmM −= & [Nm]

Produsul rcu poartă denumirea de cuplu Euler. Puterea utilă transmisă rotorului este:

)( 2211 uuu cucumMP −== &ω [W]

unde: u = rω [m/s] este viteza periferică (tangenţială). Energia utilă este dată de relaţia Euler sau formula fundamentală a turbomaşinilor:

===m

PHl u

uu&

uu cucu 2211 − [J/kg]

Relaţia arată că energia transmisă de fluid rotorului este diferenţa dintre energia fluidului la intrarea şi la ieşirea din rotor. În cazul transformărilor reale, cu pierderi, diferenţa între variaţia energiei fluidului şi variaţia energiei rotorului reprezintă pierderile de energie.

Componentele vitezelor

Curgerea în rotor.