cap.1.finaluiu

CAPITOLUL I PERTURBAŢII ELECTROMAGNETICE PRIN CONDUCŢIE

CAPITOLUL I

PERTURBAŢII ELECTROMAGNETICE PRIN CONDUCŢIE

11 CARACTERIZARE GENERALĂ

Generarea proceselor tranzitorii urmare a procedeelor prin comutaţie conversia energiei electrice implementarea conectarea şi funcţionarea sistemelor electrice cu nivele energetice ridicate a echipamentelor navale sofisticate de telecomunicaţii ştiinţifice creează puternice perturbaţii electrice şi cu energia distribuită icircntr-un spectru larg de frecvenţe Dintre producătorii de perturbaţii electrice icircntacirclnite la navă pot fi enumeraţi comutatorii cu contacte (relee contactoare ruptoare) sau cu circuite de comutaţie statică de tipul invertoare convertoare icircn special cu tiristoare şi triacuri motoare de curent alternativ sau de curent continuu icircncălzitoare inductive sau rezistive izolatori de icircnaltă tensiune aparatură de sudură icircn arc precum şi pornirea ndash oprirea sau reconfigurarea din mers a unor subsisteme energetice pierderile prin contacte de calitate perisată pierderile prin descărcări şi eclatări la masă sisteme de iluminare fluorescente efecte de descărcare corona electroeroziune pornirea oprirea şi schimbarea regimului unor motoare şi variatoare inclusiv schimbarea de sens refacerea automată a unor condensatoare unele aparaturi de la bord şi aşa mai departe

Icircn analiza CEM a unui aparat acesta poate fi privit icircn două ipostaze1 ca subiect care poate fi perturbat icircn funcţionare caz icircn care

se numeşte susceptor2 ca subiect care provoacă semnale perturbative situaţie icircn

care se numeşte perturbatorPerturbaţiile la masă sau pămacircntare ajung de la un anumit perturbator la

un susceptor parcurgacircnd un canal de transmisie După căile de transmitere perturbaţiile electromagnetice se icircmpart icircn

a) perturbaţii transmise prin fir (cuplaj perturbator galvanic)b) perturbaţii transmise prin cacircmp electromagnetic (cuplaj

perturbator prin cacircmp apropiat sau prin inducţie şi prin cacircmp icircndepărtat sau prin radiaţii)

Indiferent de calea pe care se transmit perturbaţiile spectrul frecvenţelor perturbative este icircn general foarte larg aşa cum se poate deduce şi din exemplele următoare

1 spectrul de frecvenţe a unor perturbaţii tipice transmise prin conducţie circuitele de control ale curentului de icircncălzire 50KHz ndash 25MHz sistemele de iluminare (lămpi inclusiv cu neon) 01 ndash 3MHz calculatoare 50Hz ndash 3GHz

10


surse de comutaţie 10KHz ndash 25MHz reglaje de putere 2KHz ndash 2MHz electropompe navale 01 ndash 1MHz

2 spectrul de frecvenţe a unor perturbaţii tipice transmise prin cacircmp radiat

generatoare de IF şi armonicele oscilaţiilor acestora 30 ndash 1000MHz

comutatoare statice 15KHz ndash 400MHz motoare 10 ndash 400KHz relee chopere 10KHz ndash 200MHz trasee şi legături neecranate 50KHz ndash 4MHz dispozitive de reglare a curenţilor icircn sarcină 100KHz ndash 300MHz

Proprietăţile acestei căi de transmitere pot influenţa pozitiv sau negativ modul icircn care perturbaţiile generate se găsesc la susceptor

Se poate formula concluzia că indiferent de gama frecvenţelor utile dintr-un echipament se impun măsuri de proiectare tehnologică antiperturbativă canalizate atacirct pe căile de transmisie prin conducţie cacirct şi prin radiaţie

Nivelele admise ale perturbaţiilor sunt precizate prin standarde icircnsă echipamentele trebuie concepute şi realizate pentru condiţii mai severe Aceasta deoarece icircn multe situaţii practice cel puţin pentru perioade de timp pasagere au loc acroşări de perturbaţii mai intense identificarea lor efectuacircndu-se cu aparatură de icircnregistrare (bdquoE ndash M ndash signaturerdquo) rareori utilizată icircn interiorul perimetrului naval

Icircn automatizări şi electronică navală apar perturbaţii al căror nivel icircn funcţie de tipul şi situaţia din sistemul considerat poate atinge valori ridicate de ordinul kilovolţilor cu spectre foarte largi icircn domeniul frecvenţă respectiv cu fronturi foarte abrupte icircn domeniul timp

Efectele perturbatoare pot fi create şi prin rezistenţele de fugă prin deplasări mecanice care produc variaţii de capacitaţi sau prin vibrarea unor trasee de curent icircn cacircmpuri magnetice prin fenomene conjugate coroziunii electrice etc Trebuie evidenţiate şi perturbaţiile proprii sistemului de exemplu bdquopop-cornnoiserdquo reflexii cuplaje etc

Perturbaţiile de regim tranzitoriu o categorie importantă a perturbaţiilor electromagnetice se propagă prin conducţie atacirct icircn mod diferenţial (direct) cacirct şi icircn mod comun (prin bucle de curent cu pămacircntul) manifestacircndu-se ca supratensiuni supracurenţi impulsuri şi salve de impulsuri

Printre sursele cele mai importante ale acestor perturbaţii se pot exemplifica

comutările icircn instalaţiile de forţă reconfigurările din mers ale unor subsisteme energetice funcţionarea cu şocuri de sarcină ale motoarelor electrice de

acţionare de dimensiuni mijlocii şi mari (macarale vinciuri cabestane)

şocuri de curent ale arcurilor electrice (cuptoare cu arc sudură electrică)

11


introducereascoaterea icircn trepte a instalaţiilor de filtrarecompensare

scurtcircuite supratensiuni externe scurte etcIcircn mod obişnuit perturbaţiile datorate regimurilor tranzitorii se regăsesc

icircn cea mai mare măsură icircntre perturbaţiile care se propagă icircn reţeaua de distribuţie a energiei electrice de joasă tensiune produsă de Diesel ndash generatoarele de la bord motivarea evidenţierii şi analizării lor distincte fiind dată de ponderea importantă a acestora icircn raport cu celelalte tipuri de perturbaţii electromagnetice

Perturbaţiile la masă şi pămacircntare pot fi transmise fie prin conducţie atunci cacircnd există o legătură galvanică icircntre perturbator şi susceptor fie prin cacircmp radiat (electric magnetic sau electromagnetic)

Icircn paralel cu realizarea principalelor funcţiuni circuitele de masă electronică şi cele de legătură la pămacircnt constituie căi de pătrundere icircn echipamentele electronice ale unor importante perturbaţii electrice sau căi de ieşire din echipamente a perturbaţiilor emise de acestea contribuind astfel la creşterea gradului de poluare electromagnetică a mediului

Din acest punct de vedere funcţiunile circuitelor de masă electronică sau de legătură la pămacircnt trebuie completate de altele cum sunt

minimizarea tensiunilor perturbatoare generate de curenţii din circuite prin impedanţa masei comune

evitarea creării de bucle prin circuitele de punere la pămacircnt bucle care sunt susceptibile la cacircmpurile magnetice variabile şi la diferenţele de potenţial din aceste circuite

12 CUPLAJUL PERTURBATOR GALVANIC

Astfel de cuplaje apar cacircnd sursele de perturbaţii şi circuitele perturbate sunt conectate prin legături conductoaregalvanice

Icircn funcţie de raportul unde l este lungimea circuitului iar - lungimea de undă a undei de tensiune curent cuplajele galvanice (prin conducţie) se pot clasifica icircn

a cuplaje fără propagare la frecvenţe joase icircn cazul circuitelor reţelelor avacircnd Acestea se analizează cu ajutorul teoremelor lui Kirchhoff şi a metodelor de calcul derivate din acestea (circuite cu parametrii concentraţi) - fig 11a

b cuplaje cu propagare la frecvenţe ridicate icircn cazul reţelelor avacircnd Studiul acestor reţele se face cu ajutorul metodelor de calcul specifice

circuitelor cu parametrii distribuiţi (bazate pe ecuaţiile lui Maxwell) - fig 11bExemplu Se consideră un semnal perturbator avacircnd frecvenţa de 100

MHz Se pot identifica două situaţii1 dacă perturbaţia atinge o linie de transmisii de date avacircnd

atunci şi la analiza fenomenului se va ţine seama de propagare

12


2 dacă perturbaţia atinge o placă de circuite imprimate avacircnd circuite cu lungimi ce nu depăşesc 10 ndash 20cm atunci şi circuitele vor simţi semnalul perturbator instantaneu pe icircntreaga lor lungime ca urmare analiza fenomenului se va face ca pentru circuite cu parametrii concentraţi

Ucp = tensiune de cuplaj

a bFig 11 Cuplaje perturbatoare galvanice

a fără propagare (lltltλ2π)b cu propagare (lgtgtλ2π)Z12 ndash impedanţa de cuplaj perturbator

Cauzele cele mai frecvente ale cuplajelor galvanice parazite sunta circulaţia armonicelor de tensiune sau de curent icircn reţele armonici

produse icircn principal de elementele de circuit neliniareb variaţiile nedorite ale parametrilor tensiunii de alimentare

(amplitudine frecvenţă fază factor de formă)c producerea de supratensiuni la anclanşarea declanşarea circuitelor de

forţă (ale motoarelor transformatoarelor etc)d producerea de supracurenţi datorită scurtcircuitelor accidentale sau a

specificului proceselor tehnologice (cuptoare cu arc sudura electrică) de asemenea ca urmare a loviturilor de trăsnet icircn reţele

e injecţia de supratensiuni periculoase pentru circuitele electronice prin legătura la pămacircnt corpul navei (cacircnd masa electronică este conectată la pămacircnt)

13 PERTURBAŢII DE REGIM DEFORMANT

Regimul deformant se manifestă icircn reţelele şi circuitele electrice prin deformarea undei sinusoidale de tensiune curent fenomen care are ca efect apariţia şi circulaţia armonicelor cu alte cuvinte un astfel de regim se caracterizează prin funcţionarea reţelelor şi instalaţiilor electrice icircn condiţiile existenţei unor tensiuni şi sau curenţi nesinusoidali

Principalele cauze ale regimului deformant constau icircn prezenţa elementelor de circuit neliniare şi a celor reactive

Şcoala romacircnească de electrotehnică a fost printre iniţiatorii preocupărilor cu privire la regimul deformant prin lucrările acad C Budeanu acestea au fost

13


continuate icircn mod strălucit de o serie icircntreagă de specialişti romacircni care au adus noi contribuţii teoretice şi practice la cunoaşterea acestui regim

Abordarea teoretică a regimului deformant are la bază descompunerea semnalelor oscilaţiilor de curent sau de tensiune periodice nesinusoidale icircn serii (sume) de termeni sinusoidali (serii Fourier) procedeul fiind cunoscut sub numele de descompunerea spectrală (analiza armonică) a funcţiunilor periodice de timp

Astfel o funcţie periodică de timp care satisface condiţiile lui Dirichlet (este netedă pe porţiuni este mărginită are un număr finit de discontinuităţi de speţa icircntacirci este monotonă) care reprezintă un semnal periodic nesinusoidal se poate dezvolta icircntr-o serie Fourier

- trigonometrică

(11)

- armonică

(12)

- complexă

(13)

Icircn relaţia (13) coeficienţii sunt numere complexe reprezentacircnd amplitudinile spectrale ale semnalului aceştia au expresiile

(14)

Amplitudinile ale dezvoltării icircn serie armonică egale cu dublul modulelor amplitudinilor spectrale constituie spectrul discret al semnalului Se realizează astfel o corespondenţă biunivocă icircntre reprezentarea icircn timp a semnalului şi reprezentarea lui icircn frecvenţă funcţiile periodice nesinusoidale avacircnd drept corespondent distribuţii spectrale discrete caracterizate prin linii spectrale distincte

Icircn figura 12 este prezentat un astfel de spectru pentru un semnal periodic de formă dreptunghiulară

14


Fig 12 Spectrul unui semnal periodic dreptunghiular

Deşi sub aspect teoretic poate fi obţinută o infinitate de linii spectrale practic interesează numai un număr limitat de armonici superioare Icircn domeniul CEM acest număr nu depăşeşte de obicei armonica de rang 40 icircn continuare amplitudinile armonicelor devenind neglijabile sub aspect perturbator

Limitele armonicelor icircn reţelele de distribuţie cu tensiuni de 220380V sunt date de Norma Europeană EN60555-2 (tab 11)

Icircn afara componentei continue a fundamentalei şi a armonicelor superioare spectrul unui semnal periodic nesinusoidal de tensiune sau curent mai poate conţine subarmonici (n lt 1) sau interarmonici (armonici intermediare icircntre multiplii frecvenţei fundamentale)

Tabelul 11 Limitele normate ale armonicelor icircn reţelele de distribuţie

Ran

gul

arm

onic

ii

(n)

Arm

onic

i im

pare

n=3 5 7 9 11 1315 la 39

Arm

onic

i par

e

2 4 6

8 la

40

Am

plit

udin

ea

max

ima

a ar

mon

icii

(A

)

230 114 077 040 033 021 106 043 030

Normativul prevede că limitele din tabel pot fi depăşite icircn cazul regimurilor tranzitorii (de exemplu la pornirea şi oprirea echipamentelor de forţă cum ar fi motoarele electrice) Icircn aceste cazuri sunt permise depăşiri de 15 ori ale amplitudinilor curenţilor normaţi timp de 15 secunde pentru următoarele armonici

- armonici pare avacircnd - armonici impare avacircnd

15


Caracterizarea regimului deformant al unei reţele electrice se face cu ajutorul coeficientului de distorsiune care icircn cazul curentului este dat de expresia

(15)

undeId valoarea efectivă a tuturor armonicelor superioare (reziduul deformant)

- valoarea efectivă a componenţei alternative a mărimii nesinusoidale

Icircntr-un mod asemănător se poate defini coeficientul de distorsiune pentru tensiune

Icircn electroenergetică factorul de distorsiune pentru tensiune nu trebuie să depăşească 5 Icircn alte domenii (telecomunicaţii radiotehnică) coeficientul de distorsiune se normează icircn funcţie de cerinţele de calitate ale domeniului respectiv

O altă metodă de analiză a regimului deformant de această dată icircn domeniul timpului este metoda funcţiilor Haar Metoda funcţiilor Haar are ca avantaj faţă de metoda seriei Fourier simplitatea dezvoltării ceea ce conduce la reducerea timpului de calcul respectiv a duratei procesării icircn timp real

Metoda se bazează pe faptul că orice regim deformant este compensat sub raport energetic dacă curentul şi tensiunea referitoare la aceeaşi pereche de borne sunt instantaneu proporţionale

Tensiunea fiind mai greu de modificat se propune a se acţiona asupra formei de undă a curentului spre a o face cacirct mai asemănătoare cu a tensiunii cu alte cuvinte se urmăreşte ca prin compensare să se modifice forma curentului spre a o aduce cacirct mai aproape de forma sinusoidală

Pe măsură ce a crescut numărul consumatorilor deformanţi fenomenul deformant s-a accentuat tot mai mult icircn reţelele electrice avacircnd drept consecinţă icircnrăutăţirea funcţionării sistemelor de automatizare electronice echipamentelor de calcul aparatelor de măsură şi semnalizare aparatelor de laborator şi a celor medicale

Printre consumatorii care pot fi consideraţi ca veritabile surse de regim deformant cei mai importanţi sunt

- dispozitivele electronicii de putere(mutatoarele)- cuptoarele electrice cu arc echipamentele de sudură electrică

iluminatul fluorescent- transformatoarele bobinele cu miez de fier cu rol de compensare

(icircndeosebi prin ridicarea nivelelor de tensiune icircn reţele) generatoarele sincrone cu sarcină dezechilibrată

- sursele icircn comutaţie (care echipează de exemplu calculatoarele electronice)

16


- motoarele asincrone care echipează peste 80 din acţionările electrice din industrie transporturi şi alte domenii de activitate

- aparatura electrocasnică cu redresoare icircncorporate şaTransformatoarele cu circuit magnetic saturat bobinele de compensare

saturate generatoarele sincrone cu sarcină dezechilibrată reprezintă surse de tensiuni armonice icircn reţelele electrice

Dispozitivele electronicii de putere cuptoarele cu arc electric echipamentele pentru sudură electrică lămpile fluorescente aparatele electronice cu redresor icircncorporat constituie icircn special surse de curenţi armonici

Icircn continuare se fac referiri la unele dintre aceste surse considerate ca fiind cele mai semnificative

a Dispozitivele electronicii de putere echipează astăzi echipamente şi instalaţii electrice care consumă aproximativ 40 din energia electrică produsă icircn ţară Ele constituie un factor perturbator important al reţelei de alimentare prin procesul de comutaţie ndash generator important de armonici

Icircntre instalaţiile echipate cu mutatoare se pot exemplifica acţionările cu turaţie variabilă pentru pompe ventilatoare compresoare suflante sistemele de acţionare instalate pe mijloacele de transport (troleibuze locomotive electrice nave) sursele de alimentare de putere cu convertoare statice şa

Dacă se are icircn vedere reacţia asupra reţelei de alimentare o importanţă mai mare pentru regimul deformant o prezintă mutatoarele cu comutaţie naturală redresoare invertoare convertizoare mutatoare reversibile

Energia electrică necesară comutării procesului de conducţie de pe un ventil pe altul este asigurată icircn cazul mutatoarelor cu comutaţie naturală de reţeaua electrică

Fiecare comutare reprezintă pentru reţeaua de alimentare un scurtcircuit bifazat icircn timpul căruia mutatorul absoarbe din reţea energie reactivă Pe baza analizei efectului deformant produs de astfel de mutatoare asupra reţelei se pot trage cacircteva concluzii şi anume

Ordinul armonicelor superioare de curent injectate icircn reţeaua de alimentare se determină cu relaţia

(16)unde

k = 1 2 3 hellip pentru scheme de mutatoare cu k = 1 3 5 hellip pentru scheme cu Icircn relaţia (16) p reprezintă numărul de pulsuri ale mutatorului Se poate calcula amplitudinea armonicelor de curent icircn tratarea

idealizată (icircn care se neglijează timpii de comutaţie) cu formula

(17)unde I1 reprezintă amplitudinea fundamentalei

Icircn abordarea practică ( convenţională ) aceste amplitudini depind şi de alţi factori conexiunea mutatoarelor unghiul de aprindere (de comandă) unghiul

17


de comutaţie (de suprapunere) u caracteristica de frecvenţă a reţelei Astfel armonicele de rang superior se pot reduce prin creşterea unghiului de comutaţie (fig 13)

a bFig 13 Modificarea unghiului de comutaţie la un mutator cu

trei pulsuri (p=3)

Nu se constată o influenţă a unghiului de aprindere icircn cazul mutatoarelor comandate asupra conţinutului icircn armonici al curentului de reţea Icircn schimb la mutatoarele semicomandate care funcţionează icircn regim de redresor modificarea unghiului de aprindere influenţează spectrul de armonici al curentului de exemplu dacă unghiul de aprindere creşte curentul redresat scade ca intensitate iar conţinutul icircn armonici se icircmbogăţeşte accentuacircnd efectul deformant

Apar armonici pare icircn curentul de reţea la comanda nesimetrică a mutatoarelor comandate icircn cazul schemelor cu p = 2 6 12 18 24 la mutatoarele cu p = 3 aceste armonici sunt accentuate

Reactanţa de scăpări a transformatorului de alimentare şi grupa de conexiuni a acestuia influenţează curenţii armonici generaţi de mutatoare

Schemele de mutatoare subdivizate cu comandă succesivă au reacţie deformantă mai slabă asupra reţelei fiind mai avantajoase sub raportul tehnic şi economic faţă de bateriile de filtrare ndash compensare Astfel una dintre schemele des utilizate icircn practică constă din două punţi icircnseriate şi alimentate fiecare de la cacircte un secundar avacircnd conexiune diferită (stea respectiv triunghi) aparţinacircnd aceluiaşi transformator Curentul rezultant format prin suprapunerea celor doi curenţi este mai puţin deformat

b Cuptoarele electrice cu arc reprezintă curse ale curenţilor deformanţi cu cea mai mare intensitate Aprinderea şi stingerea arcului la fiecare trecere prin zero a curentului constituie principala cauză a neliniarităţii circuitelor cu arc electric Forma nesinusoidală a curentului este accentuată şi de variaţia rezistenţei electrice a arcului pe durata topirii

Pe durata topirii se produc numeroase scurtcircuite icircntre electrozi şi icircncărcătura (de metal) a cuptorului (şarjă) apăracircnd numeroase abateri ale instalaţiei de la regimul permanent sinusoidal Icircn aceste condiţii neliniaritatea

18


circuitului variază icircn mod continuu fiind maximă la icircnceputul topirii şi scăzacircnd icircn intensitate pe măsură ce icircncărcătura se topeşte

Icircn mod obişnuit cuptorul funcţionează icircntr-un regim de scurtcircuit bifazat pe cea de a treia fază necirculacircnd curent Ca urmare nu poate fi vorba de o funcţionare simetrică a cuptorului decacirct icircn momente foarte rare

Se poate caracteriza regimul electric de funcţionare al cuptorului (arcului) electric ca o succesiune de regimuri tranzitorii avacircnd o variaţie neregulată icircn timp

c Transformatoarele electrice de putere şi maşinile electrice rotative (motoarele sincrone şi asincrone) reprezintă de asemenea surse importante de regim deformant icircndeosebi cacircnd punctul de funcţionare se apropie de cotul de saturaţie Icircn aceste condiţii apar armonici impare de tem care conduc la apariţia armonicilor icircn curentul de magnetizare de rang 3k (k = 1 2 3hellip)

Icircn funcţie de tipul conexiunii transformatorului circulaţia curenţilor de rangul 3k este permisă sau nuAstfel la transformatoarele trifazate avacircnd conexiunea stea ndash stea cu conductor neutru circulaţia curenţilor de rangul 3k este permisă cel puţin pe una dintre icircnfăşurări Pe conductorul neutru vor circula toate armonicele de curent şi fundamentala Fluxurile şi tensiunile electromotoare rămacircn practic sinusoidale la conexiunea icircn triunghi La transformatoarele trifazate avacircnd conexiunea stea ndash stea fără conductor neutru nu este permisă circulaţia curenţilor de rang 3k deşi aceste armonice apar atacirct icircn curba fluxului cacirct şi a tem de fază Se observă icircnsă că are o pondere importantă armonica a 5 ndash a care este icircn fază cu fundamentala

Fenomenul de histerezis magnetic nu are o influenţă semnificativă asupra formei curentului de magnetizare Icircn schimb inducţia magnetică influenţează acest curent pe măsură ce creşte inducţia deformarea curentului se accentuează curba curentului devenind simetrică ndash pară (conţine armonici icircn cosinus)

Motoarele electrice sincrone utilizate la acţionările electrice ale pompelor ventilatoarelor compresoarelor instalaţiilor de măcinat avacircnd puteri cuprinse de obicei icircntre 100 şi 1600 kW sunt surse importante ale armonicelor de tensiune Se constată că regimul deformant al acestor motoare se icircnrăutăţeşte cu creşterea sarcinii

O contribuţie importantă la poluarea cu armonici a reţelelor electrice o aduc motoarele asincrone care sunt utilizate icircn majoritatea acţionărilor electrice principalele surse de armonici fiind motoarele asincrone de puteri mici şi mijlocii (kW zeci de kW) Odată cu creşterea puterii acestor motoare conţinutul icircn armonici al curentului absorbit din reţea se reduce

19


14 PERTURBAŢII ELECTROMAGNETICE IcircN REŢEAUA DE ALIMENTARE

Unda de tensiune din reţeaua de alimentare poate fi perturbată şi din alte cauze cum sunt

- componentele continue- fluctuaţiile lente ale tensiunii- fluctuaţiile rapide ale tensiunii- asimetriile din reţeaua trifazată- microicircntreruperile şi căderile de tensiune (icircntreruperi accidentale)- supratensiunile

Tabelul 12 Perturbaţii electromagnetice icircn reţeaua de alimentareTipul perturbaţiei Frecvenţa

perturbaţieiPerioada

perturbaţieia componentă continuăb fluctuaţii lente al tensiuniic fluctuaţii rapide ale tensiuniid asimetrii icircn reţele trifazatee microicircntreruperi şi căderi

de tensiunef supratensiuni

01Hz

1 ndash 50Hz50 Hz

(0 101 ndash 10) kHz(01 ndash 300) kHz

1s

(002 ndash 1)s002 s

(01-99)ms şi gt10ms

(1 ndash 2500)sAceste perturbaţii sunt tratate pe larg icircn literatura de specialitate datorită

efectelor negative pe care le produc atacirct asupra instalaţiilor electrice cacirct şi electronice

Icircn tabelul 12 sunt date caracteristici ale unor astfel de perturbaţii

Componentele continuePerturbaţiile de tipul componentă continuă a tensiunii sau a curentului

sunt produse icircn reţeaua de alimentare datorită valorilor medii nenule ale mărimilor electrice De exemplu icircn cazul unui redresor monoalternanţă componenta continuă a curentului reprezintă 30 din valoarea de vacircrf a curentului de alimentare Prin folosirea de redresoare dublă alternanţă astfel de perturbaţii pot fi evitate

Unul dintre efectele negative cele mai importante ale componentei continue constă icircn deplasarea ciclului de histerezis al miezului feromagnetic al bobinelor şi transformatoarelor Astfel icircn cazul bobinelor cu miez de fier ale filtrelor de protecţie faţă de curenţii de icircf deplasarea ciclului face ca eficienţa acestor filtre să scadă (fig 14)

De asemenea componentele continue deplasează semnalele utile de tensiune şi curent ale dispozitivelor şi circuitelor electronice conducacircnd la o funcţionare defectuoasă a acestora

20


Fig 14 Deplasarea ciclului de histerezis al unei bobine de filtrare

Fluctuaţiile lente ale tensiunii

Aceste perturbaţii se manifestă prin modificări aleatoare ale amplitudinii tensiunii reţelei care se produc la intervale de timp de ordinul secundelor şi mai puţin (fig15)

Fig 15 Evoluţia unor fluctuaţii lente ale tensiunii pe parcursul zilei

Standardul european CENELEC ASE-EN 50006 prevede atacirct limitele admise de variaţie ale amplitudinii tensiunii cacirct şi frecvenţa fluctuaţiilor din reţeaua de alimentare pentru aparatura electronică de comandă ndash control şi măsură

Aducerea fluctuaţiilor lente ale tensiunii icircn limite admisibile (de ordinul a 3-7 )se realizează cu ajutorul stabilizatoarelor de tensiune

Icircn general depăşirea valorilor limită ale fluctuaţiilor de tensiune apare icircn cazul comutării instalaţiilor de alimentare a celor de acţionare de putere mijlocie sau mare precum şi icircn cazul funcţionării unor instalaţii cu şocuri de sarcină

Fluctuaţiile rapide ale tensiunii

Spre deosebire de fluctuaţiile lente a căror influenţă asupra echipamentelor electronice nu este atacirct de severă fluctuaţiile rapide creează mari probleme funcţionării acestor echipamente ducacircnd adeseori la decuplarea surselor de alimentare

21


a b cFigura 16 Diferite tipuri de fluctuaţii lente

Icircn cazul acestor perturbaţii amplitudinea tensiunii sinusoidale se modifică la intervale de timp cuprinse icircntre 0020s şi 1s (fig 17)

Figura 17 Fluctuaţii rapide ale tensiunii

Cauzele cele mai frecvente ale acestor perturbaţii sunt sudura electrică procesele de topire icircn cuptoarele electrice laminarea tablei

Normarea fluctuaţiilor rapide se face prin acelaşi standard ca şi pentru cele lente - CENELEC ASE-EN 50006

Se menţionează faptul că standardul referit mai icircnainte include prevederi şi pentru aparatura electrocasnică

Asimetriile din reţeaua trifazată

Astfel de perturbaţii apar de obicei la dezechilibrarea consumatorilor trifazaţi (funcţionarea cu sarcini diferite pe cele trei faze)

Printre influenţele nocive ale asimetriilor se poate menţiona funcţionarea defectuoasă a unităţilor de discuri ale calculatoarelor electronice

Microicircntreruperile şi căderile de tensiune din reţeaua de distribuţie

Avacircnd durate icircn general sub o perioadă (01 - 99) ms microicircntreruperile sunt perturbaţii frecvente ale undei de tensiune din reţeaua de distribuţie Cauzele acestor fenomene constau icircn cuplarea la reţea a unor generatoare sincrone schimbarea ploturilor la transformatoarele de putere pentru reducerea mărirea tensiunii de alimentare anomaliile de scurtă durată care apar icircn

22


funcţionarea generatoarelor sincrone comutaţia mutatoarelor de putere medie şi mare (invertoare convertoare)

Căderile bruşte de tensiune sunt cauzate de cuplarea la reţea a unor generatoare sincrone conectarea şi funcţionarea instalaţiilor cu sarcini (curenţi) mari pornirea unor motoare electrice de puteri mari funcţionarea unor instalaţii cu variaţii rapide ale curenţilor icircn timp (sudarea electrică icircncălzirea electrică (cuptoare bobine de inducţie) topirea electrică (cuptoare electrice cu arc) cuplarea la reţea a unor generatoare sincrone echipamente electrice de construcţie asimetrică (monofazate) Perioada icircn cazul microicircntreruperilor variază icircntre 01 şi 10 ms icircn cazul căderilor de tensiune aceasta este de obicei mai mare de 10 ms (01 ndash 10 kHz)

Căderile bruşte de tensiune din reţea pot fi cu revenire sau fără revenire Icircntre cauzele căderilor de tensiune cu revenire (voltage dips) se pot menţiona instalaţiile cu variaţii bruşte ale curenţilor de sarcină (sudură topire icircncălzire) sau cele de construcţie asimetrică

Icircn fig 18 se prezintă un microdefect icircn unda de tensiune iar icircn figura 19 o cădere bruscă de tensiune cu revenire caracteristică procesului de cuplare a unui generator sincron la reţea

Figura 18 Microdefect icircn unda de tensiune

Microicircntreruperile şi căderile bruşte de tensiune constituie perturbaţii importante pentru echipamentele electronice putacircnd conduce chiar la icircntreruperea funcţionării sau la scoaterea din funcţiune a acestora Icircn cazul calculatoarelor electronice ele pot duce la icircntreruperea surselor de alimentare motiv pentru care marile companii producătoare de asemenea echipamente au adoptat norme proprii icircn scop de protecţie

Figura 19 Căderi bruşte de tensiune cu revenire (voltage dips)

23


Astfel de norme emise de companiile IBM şi CDC sunt prezentate icircn figura 110

Fig110 Exemple de normare a căderilor bruşte de tensiune

Supratensiunile

Supratensiunile reprezintă perturbaţii severe ale undei de tensiune icircn reţeaua de distribuţie cu durate cuprinse icircntre (1 ndash 2500) Acestea se manifestă sub forma

- supratensiunilor de comutare- supratensiunilor datorate loviturilor de trăsnet (unde de şoc)- oscilaţiilor amortizate- impulsurilor icircn salve sau trenurilor de impulsuriTimpii de ridicare ai supratensiunilor sub formă de impuls variază icircn mod

obişnuit icircntre 01 şi 400 ns iar icircn cazul undelor de şoc pot ajunge la 100 nsCauzele supratensiunilor pot fi interne sau externe echipamentelor şi

reţelelor electronice Icircn categoria cauzelor interne pot fi menţionate cele datorate comutării icircntrerupătoarelor deconectării bobinelor rezonanţei de tensiuni (serie) amorsării instalaţilor de iluminat fluorescent Icircntre cauzele externe cele mai frecvente sunt comutările icircn reţelele de distribuţie scurtcircuitele icircn astfel de reţele descărcările atmosferice (trăsnetele)

Supratensiunile pot avea consecinţe nedorite asupra funcţionării şi chiar integrităţii echipamentelor şi instalaţiilor electronice icircn condiţiile icircn care acestea nu sunt protejate corespunzător Efecte perturbatoare importante produc supratensiunile şi asupra reţelelor de comunicaţii şi de transmisii de date (de exemplu prin distrugerea modem-urilor)

Un rol important icircn producerea efectului perturbator asupra aparaturii electronice icircl are icircn afara nivelului şi frontului perturbaţiilor energia acestora Acest aspect poate fi exemplificat prin calculul densităţii fluxului de putere electromagnetică ( vectorul lui Poynting ) icircn apropierea unei linii electrice cu conductoare de formă cilindrică avacircnd

- raza secţiunii r = 025 cm- densitatea curentului de conducţie J =25 Amm2- intensitatea cacircmpului electric E=20 kVcmSe consideră neglijabilă căderea de tensiune prin conductor (Et = ρJ = 0)

24


Deoarece Et=0 icircn exteriorul conductorului intensitatea cacircmpului electric devine E = Er normală pe suprafaţa conductorului şi perpendiculară pe vectorul intensitate cacircmp magnetic Ca urmare densitatea de putere electromagnetică a liniei (vectorul Poynting ) devine

(18)

(19)

Se observă că densitatea de putere icircn vecinătatea liniei are valori foarte mari putacircnd influenţa sever buna funcţionare a sistemelor electronice aflate icircn zonă sau care echipează mijloace de transport ce se deplasează prin apropiere

15 CUPLAJUL PERTURBATOR PRIN BUCLE DE PĂMAcircNTARE

Punerea la pămacircnt a carcaselor aparatelor şi echipamentelor electronice precum şi a ecranelor cablurilor de semnal creează condiţiile apariţiei icircn circuite a cuplajului perturbator prin bucle de pămacircntare Alături de cuplajul prin impedanţă comună cuplajul prin buclele de pămacircntare constituie unul dintre cele mai frecvente cuplaje perturbatoare galvanice icircn sistemele electronice

O astfel de buclă de pămacircntare poate fi pusă icircn evidenţă de exemplu icircn cazul unui sistem de măsurare format dintr-o sursă de semnal un osciloscop şi un cablu coaxial ecranat care face legătura icircntre acestea Pentru protecţia personalului carcasele echipamentelor sunt conectate la pămacircnt (fig 111)

Fig111 Cuplaj parazit prin buclă de pămacircntare

Apariţia unei tensiuni perturbatoare de mod comun UCM icircn circuite prin inducţie electromagnetică sau datorită potenţialelor diferite ale punctelor P1şi P2

(pămacircntul fiind adeseori poluat) este reprezentată icircn schema din figura 111 prin sursa fictivă SCM Aceasta dă naştere unor curenţi paraziţi prin ecranul cablului şi prin conductorul central respectiv unei tensiuni parazite de mod normal la receptor

Conform teoremei divizorului de tensiune se poate scrie

25


(110)

unde

(111)

defineşte factorul de conversie de mod comun ndash mod normalIcircn relaţia (110) s-au neglijat impedanţa ecranului şi impedanţa

conductorului central icircn raport cu impedanţa receptoruluiIcircn mod obişnuit astfel icircncacirct relaţia (110) devine

(112)respectiv icircntreaga tensiune perturbatoare se aplică receptorului

Dacă sursa de semnal sau receptorul nu sunt conectate galvanic la pămacircnt tensiunea perturbatoare Up se micşorează printr-o conversie mod comun ndash mod normal mai redusă ca intensitate (fig112)

Fig112 Cuplaj parazit cu buclă de pămacircntare mixtă ndash galvanică şi capacitivă

Icircn exemplul din figura 112 icircntreruperea legăturii la pămacircnt a carcasei osciloscopului face să apară icircntre aceasta şi pămacircnt un cuplaj capacitiv parazit definit prin impedanţa

Icircn curent continuu şi la frecvenţe joase bucla de pămacircntare este icircntreruptă şi tensiunea Up este inexistentă (practic-de valoare foarte scăzută)

Pe măsură ce creşte frecvenţa semnalului impedanţa Zp scade astfel icircncacirct la frecvenţe icircnalte practic icircntreruperea buclei este ca şi inexistentă ca urmare conversia mod comun ndash mod normal va avea acelaşi efect ca icircn cazul figurii 111

Icircn acest caz aplicacircnd de două ori teorema divizorului de tensiune se obţine

(113)

26


(114)

Din relaţiile (113) şi (114) rezultă

(115)

unde Ze este impedanţa ecranului cablului coaxial

(116)Din relaţia (115) se poate vedea că la frecvenţe icircnalte impedanţa Zp tinde

la zero şi se revine la relaţia (110)De asemenea la astfel de frecvenţe apare efectul pelicular şi curentul

perturbator prin ecranul cablului este refulat la suprafaţa acestuia ca urmare icircn relaţia (114) impedanţa ecranului se va icircnlocui cu impedanţa de transfer a cablului

Icircn practică icircn toate cazurile de tipul celor prezentate icircn figura 111 cel puţin una dintre carcase (a sursei sau a receptorului) este conectată distinct la pămacircnt icircn scopul protecţiei personalului icircn cazul celeilalte o punere la pămacircnt realizacircndu-se prin ecranul cablului de semnal

Icircn cazul circuitelor realizate pe plăci imprimate diferite lucracircnd la frecvenţe icircnalte apar des situaţii icircn care bucla de pămacircntare se realizează numai cu capacităţile parazite icircntre circuitele de masă (electronică de referinţă) şi pămacircnt

Astfel masa electronică este conectată la pămacircnt conform regulii paralelogramului respectiv icircntr-un singur punct şi anume icircn cel mai icircndepărtat (se va icircnţelege cel mai puţin poluat) punct al sistemului Totuşi la frecvenţe icircnalte importanţa acestei conexiuni este foarte redusă datorită inductivităţilor parazite astfel icircncacirct practic se poate considera că bucla de pămacircntare se icircnchide prin cele două capacităţi parazite şi (fig112)

Icircn acest caz relaţia (115) devine

(117)

Astfel dacă la frecvenţe mici crescătoare factorul de conversie de mod comun ndash mod normal creşte cu 20 dBdecadă icircn cazul icircntreruperii buclei icircntr-un capăt (situaţia din figura 112) la acesta se mai adaugă 20 dB decadă

27


Fig112 Icircnchiderea buclei de pămacircntare prin capacităţi parazite icircntre două plăci imprimate

Icircn exemplele prezentate s-a considerat că lungimea cablului este mult mai mică decacirct lungimea de undă a semnalului ( ) Icircn cazul liniilor lungi cu propagare pentru care la calculul tensiunii perturbatoare Up se vor utiliza ecuaţiile telegrafiştilor Mai mult nu se vor mai putea neglija inductanţele conductoarelor cablului mărimea acestora influenţacircnd icircntr-o măsură importantă factorul de conversie

Icircn fine un caz special este acela icircn care impedanţa ecranului cablului Ze devine egală cu impedanţa parazită Zp creacircndu-se condiţiile unei rezonanţe de tensiuni (serie) icircn circuitul (parazit) Ze Zp

1 fenomen care poate avea efecte periculoase asupra icircntregului sistem

16 PERTURBAŢII PRIN LEGĂTURA LA PĂMAcircNT ŞI LA MASA DE REFERINŢĂ (ELECTRONICĂ)

Legătura la pămacircnt şi circuitele de masă electronică (masa de referinţă) sunt destinate a asigura icircn echipamente şi instalaţii electrice şisau electronice funcţiuni importante cum sunt

- protejarea factorului uman faţă de tensiunile de atingere accidentale periculoase

- asigurarea unor căi de icircntoarcere a curenţilor de lucru icircn unele circuitereţele

- asigurarea potenţialelor de referinţă pentru semnalele utile- protejarea instalaţiilor sau reţelelor faţă de supratensiunile periculoase

(cum ar fi descărcările atmosferice)Icircn acelaşi timp circuitele de legătură la pămacircnt şi cele de masă

electronică pot contribui la poluarea electromagnetică a echipamentelor electronice oferind căi de circulaţie a curenţilor paraziţi icircntre şi prin acestea

Ca urmare la proiectarea echipamentelor şi instalaţiilor electronice trebuie să fie avute icircn vedere condiţii suplimentare din punct de vedere CEM (antiperturbativ) cum sunt

1 Pentru producerea rezonanţei trebuie icircndeplinită condiţia

28


- evitarea apariţiei unor bucle de circulaţie a curenţilor paraziţi- reducerea la minim a tensiunilor perturbatoare care pot apărea pe

impedanţa masei comune- analiza oportunităţii de conectare sau nu a masei electronice la pămacircnt

(la o navă legătura la pămacircnt este asigurată de legătura la corpul navei)

- stabilirea modului şi a locului de conectare a masei electronice pentru subsistemele analogice şi cele digitale ale unui echipament

161 Perturbaţii prin legătura la pămacircnt

Modul de realizare a legăturii la pămacircnt are un rol important icircn minimizarea efectului perturbator al acesteia asupra echipamentului icircn cauză

Atunci cacircnd se proiectează o legătură la pămacircnt a unui echipament se au icircn vedere printre altele următoarele aspecte practice

- conductoarele de legătură la pămacircnt au o impedanţă finită (rezistenţă - la jf respectiv inductanţă la icircf)

- foarte rar icircn practică două puncte distincte pe o legătură la pămacircnt au acelaşi potenţial

- tensiunea icircntre două puncte pe legătura la pămacircnt a unei surse de putere este icircn mod obişnuit de ordinul sutelor de mV uneori chiar de ordinul a cacircţiva volţi valori inadmisibile pentru masa electronică ca urmare conectarea la pămacircnt a masei electronice icircn aceste situaţii trebuie făcută cu mare precauţie respectiv numai icircntr-un singur punct şi doar dacă este strict necesar

La realizarea unei legături la pămacircnt trebuie să se ţină seama de frecvenţa de lucru a aparatului respectiv

Astfel la frecvenţe ridicate impedanţa unui conductor creşte mult datorită inductanţei Dacă un traseu cu grosimea de 1mm are caracter rezistiv pacircnă la aproximativ 100 KHz peste această valoare va deveni inductiv caz icircn care impedanţa sa va creşte cu două ordine de mărime

Icircn consecinţă legătura la pămacircnt este funcţională numai la jf cacircnd se poate asigura condiţia de echipotenţialitate pentru diferite puncte ale traseului datorită impedanţei practic nule (respectiv de scurtcircuit a curenţilor de defect pentru asigurarea protecţiei factorului uman) Pe măsură ce creşte frecvenţa condiţia de egalitate a potenţialelor nu mai poate fi asigurată şi funcţionalitatea pămacircntului scade

Condiţia ca să nu apară fenomenul de propagare icircn cazul unui conductor (sau a unei linii) este dată de relaţia unde este lungimea conductorului (liniei) Icircn practică condiţia ca un conductor să aibă o impedanţă mică (practic nulă) pentru a putea fi utilizat icircntr-o legătură la pămacircnt este

caz icircn care icircşi icircndeplineşte funcţia de echipotenţialitateDacă conductoarele devin practic radiatoare (antene)De exemplu la frecvenţa de 100MHz la care lungimea de undă este de

3m apar următoarele situaţii

29


- pentru se asigură condiţia de conductor propriu-zis- pentru conductorul devine radiator (antenă) şi nu mai poate

asigura condiţia de egalitate a potenţialelorSe cunosc trei modalităţi de realizare a unei legături la pămacircnta legătura monopunct serie (fig 113)

Fig 113 Legătura monopunct serie

b legătura monopunct paralel (fig 114)

Fig 114 Legătura monopunct paralel

c legătura multipunct (fig 115)

Fig 115 Legătura multipunct

Legătura la pămacircnt (LP) monopunct serie reprezintă sistemul cel mai puţin eficient ca protecţie antiperturbativă pentru echipamentele electronice

Astfel analizacircnd figura 116 (pentru n = 3) se poate constata că potenţialele punctelor A şi C nu sunt egale cu zero cum ar fi de dorit ci au valorile

(118)

(119)unde rezistenţele R1 R2 R3 sunt parametrii conductoarelor legăturii la pămacircnt iar I1 I2 I3 ndash curenţii prin legăturile la pămacircnt ale echipamentelor 1 2 3

30


Fig 116 Legătura monopunct serie pentru trei echipamente

Pe legăturile la pămacircnt ale unui echipament se suprapun curenţii proveniţi de la alte echipamente făcacircnd ca potenţialele punctelor de legătură la conductorul de punere la pămacircnt să difere mult icircntre ele

Cu toate aceste dezavantaje sistemul LP monopunct serie este des utilizat datorită simplităţii lui constructive şi costurilor reduse

Un sistem mult mai eficient la frecvenţe joase este sistemul LP monopunct paralel (fig117)

Figura 117 Legătura monopunct paralel pentru trei echipamente

Icircn cazul acestui sistem de legătură la pămacircnt potenţialele punctelor de conexiune cu LP (ABC) depind numai curenţii de scurgere şi de impedanţele LP proprii fiecărui echipament

(120)Practic acest sistem este mai greu de realizat şi mai costisitor datorită

numărului mare de legăturiMai mult la frecvenţe ridicate icircn legăturile LP ale diferitelor echipamente

pot apărea cuplaje inductive parazite datorită creşterii reactanţei inductive a acestora precum şi cuplaje capacitive parazite

La acestea se adaugă posibilitatea ca LP să devină veritabile antene radiante de cacircmp electromagnetic conducacircnd la creşterea nivelului de poluare a mediului icircnconjurător

O soluţie practică avantajoasă pentru reducerea la minim a acestor efecte constă icircn asigurarea unei lungimi a conductoarelor LP astfel icircncacirct aceasta să fie

31


mai mică decacirct unde este lungimea de undă a curenţilor de icircnaltă frecvenţă care străbat legăturile la pămacircnt

Cel mai avantajos sistem de legătură la pămacircnt sub raport tehnic este sistemul multipunct utilizat icircn special la frecvenţe icircnalte la care impedanţele conductoarelor LP prezintă valori minime Conductoarele LP care se conectează la şasiul echipamentului considerat ca LP de joasă frecvenţă vor fi cacirct mai scurte cu putinţă

Cum la jf curenţii din circuitele LP vor circula prin impedanţa comună a legăturii la pămacircnt (care este şasiul) putacircndu-se perturba reciproc legăturile multipunct la jf se vor evita

Pentru a reduce şi mai mult valoarea impedanţei comune la icircf suprafaţa LP se acoperă cu un strat subţire de argint

Icircn ceea ce priveşte planul de masă (masa electronică sau de referinţă) trebuie arătat că grosimea acestuia nu are nici o influenţă asupra circulaţiei curenţilor perturbatori la icircf deoarece aceştia vor circula numai pe suprafaţă (skin efect)

Ţinacircnd seama de cele arătate se pot stabili următoarele criterii practice- sistemul LP monopunct este preferat la frecvenţe sub 1 MHz- sistemul LP multipunct este mai eficient la frecvenţe de peste 10 MHzIcircn ceea ce priveşte gama de frecvenţe 1-10 MHz se va utiliza- o legătură monopunct dacă lungimea celui mai mare conductor este

mai mică decacirct - o legătură multipunct dacă nu va putea fi respectată această condiţieIcircn unele cazuri LP este utilizată drept conductor de retur pentru circuite

Icircn aceste cazuri pot apărea perturbaţii periculoase pe LP motiv pentru care se vor lua măsuri speciale de protecţie a echipamentelor electronice

Ca tehnică de realizare a legăturilor la pămacircnt icircn cazul LP individuale se folosesc inductanţe şi condensatoare primele asiguracircnd o bună circulaţie la frecvenţe joase celelalte ndash la frecvenţe icircnalte

Pentru a nu creşte nivelul PEM la frecvenţe ridicate se va acorda o atenţie deosebită modului de realizare a contactelor şi rezistenţei conductoarelor Astfel realizarea contactelor se va face numai prin lipire sau sudură iar conexiunile cu părţile mobile ale instalaţiilor se vor face cu ajutorul bandei conductoare elastice

Pentru calculul practic al rezistenţei unui conductor rotund utilizat icircn construcţia LP la icircf se pot folosi relaţiile

(121)

Sau

(122)

unde

32


R0 ndash rezistenţa conductorului LP măsurată icircn ccr ndash raza conductorului (cm)

- adacircncimea de pătrundere a cacircmpului (curentului) icircn conductor

Icircn expresia constantei intră f ndash frecvenţa curentului de lucru al instalaţiei - conductivitatea materialului ( - permeabilitatea magnetică relativă a materialului

Probleme deosebite ridică legătura la pămacircnt icircn cazul regimurilor tranzitorii Astfel icircn cazul unor regimuri tranzitorii rapide icircn impulsuri cu timpi de ridicare de ordinul ns şi durate de ordinul zecilor de ns legăturile la pămacircnt nu asigură instantaneu un potenţial nul al echipamentelor protejate cum ar fi de dorit ca urmare problema securităţii personalului şi a instalaţiilor nu este rezolvată O asemenea situaţie poate fi icircntacirclnită icircn cazul unei descărcări electrostatice parazite (ESD-ElectroStatic Discharge) pe un conductor LP cu rezistenţa de punere la pămacircnt de (fig118a)

a b cFigura 118 Curentul şi tensiunea icircn cazul unei descărcări

electrostatice pe LP

Se consideră rezistenţa conductorului neglijabilă iar inductivitatea acestuia Lp icircn valoare de 2mH (lungimea l a conductorului este 2 m)

Impulsul de tensiune este dat de ecuaţia

(123)

undeImax = 20 A ndash valoare măsurată

conform graficului b din figura 118

Se obţine respectiv o tensiune deosebit

de periculoasă pe LP pentru factorul uman (fig 118c)Icircn consecinţă icircn astfel de cazuri protecţia prin legare la pămacircnt va trebui

combinată cu alte tehnici de protecţie cum sunt de exemplu cele de decuplare rapidă

Printre cele mai frecvente cauze ale perturbării electrice a legăturii la pămacircnt se pot exemplifica curenţii vagabonzi (scurgerile de curenţi din

33


instalaţiile cu protecţii necorespunzătoare icircn pămacircnt) descărcările electrostatice cuplajele capacitive parazite

162 Perturbaţii prin legătura la masa de referinţă (electronică)

Pentru obţinerea unor semnale utile cacirct mai curate respectiv cacirct mai puţin poluate din punct de vedere al perturbaţiilor electromagnetice se impune a se asigura icircn echipamentele şi sistemele electronice o masă electronică (masă de referinţă) cacirct mai curată care să poată constitui o referinţă corectă pentru tensiunile din sistem

Masa electronică (masa de referinţă) asigură o referinţă comună pentru tensiunile de semnal din diferite puncte ale unui dispozitiv aparat sau echipament electronic putacircnd fi constituită din conductoare de masă sau din plane de masă de regulă comune pentru toate circuitele (in cazul aparatelor care conţin circuite mixte ndash analogice şi numerice -circuitele de masă sunt separate avacircnd totuşi o legătură comună icircn cel mai icircndepărtat punct al circuitului respectiv-cel mai puţin perturbat

Icircn mod uzual masa electronică este conectată la pămacircnt (LP) icircntr-un punct anumit dar nu este obligatoriu să existe o asemenea conexiune cu alte cuvinte nu este obligatoriu ca masa să aibă potenţialul pămacircntului2 avacircnd icircn vedere faptul că adeseori pămacircntul este poluat (contaminat) de curenţi paraziţi

Icircn figurile 119 şi 120 se prezintă o schemă cu conductor de masă şi una cu circuit de masă comun

Fig 119 Circuit simplu cu conductor de masă

Fig 120 Circuite cu masă comună

17 PERTURBAŢII PRIN IMPULS

2 Neconectarea masei la pămacircnt nu modifică tensiunile de sistem o tensiune fiind o mărime relativă (diferenţă de potenţiale)

34


Perturbaţiile sub formă de impuls3 sunt deosebit de periculoase pentru componentele şi circuitele electronice conducacircnd icircn mod curent la scoaterea lor din funcţiune Cele mai frecvente cauze ale acestora constau icircn icircntreruperile sarcinilor inductive (industriale) icircn descărcările electrostatice şi icircn fenomenele naturale (fulgere trăsnete) Icircn domeniul militar astfel de perturbaţii sunt cercetate icircn legătură cu efectele armelor nucleare (IEMN ndash Impulsul ElectroMagnetic Nuclear icircn engleză ndash NEMP ndash Nuclear ElectroMagnetic Pulse) şi al armelor cu impuls electromagnetic

Fiind vorba de impulsuri singulare (de perioada teoretic infinită) analiza acestora se face cu ajutorul integralei Fourier icircn domeniul frecvenţă ca icircn cazul semnalelor de regim tranzitoriu Icircn acest caz interesează icircn mod deosebit densitatea de amplitudine a spectrului măsurată icircn V Hz (V∙s) sau icircn A Hz (A∙s)

Analiza icircn domeniul frecvenţă este deosebit de utilă la identificare efectelor cuplajelor perturbatoare icircntre echipamente şi sisteme

Atunci icircnsă cacircnd se caută soluţii pentru atenuarea impulsurilor perturbatoare devine importantă şi analiza icircn domeniul timp a semnalelor care permite evidenţierea caracterului neliniar al acestora

Icircn figura 121 (a) este reprezentat un impuls perturbator real (măsurat) iar icircn figura 121 (b) ndash un model utilizat la studiul teoretic al acestuia

a bFig 121 Impuls electromagnetic perturbator a ndashimpuls real

b ndash modelul acestuia

Se poate observa din figură că icircn funcţie de referinţă impulsul real are atacirct zone pozitive cacirct şi negative Evident că modelarea unui impuls real nu este deloc simplă avacircnd icircn vedere că trebuie luate icircn calcul o serie de elemente cum sunt timpul de ridicare durata impulsului pacircnă la 50 durata totală a impulsului perioada de repetiţie şa Cu toate acestea cercetările efectuate icircn cadrul CEM au relevat că rezultatele obţinute cu ajutorul unor astfel de modele nu prezintă diferenţe practice prea mari faţă de modelele reale icircn ceea ce priveşte protecţia antiperturbativă şi că pot fi utilizate cu bune rezultate icircn acest scop

171 Impulsuri parazite la deconectarea sarcinilor inductive

3 Icircn limba engleză sunt denumite adeseori cu numele generic transient

35


Aşa cum se arăta la icircnceputul acestui capitol una dintre cauzele impulsurilor perturbatoare este conectarea deconectarea sarcinilor inductive Durata unor astfel de impulsuri este cuprinsă de obicei icircntre 1 şi 10 ms iar durata spikes-urilor (a vacircrfurilor principale) ndash icircntre 01 şi 10 μs

Printre sarcinile inductive care funcţionează cu conectări şi deconectări repetate se pot enumera transformatoarele de reţea motoarele electrice bobinele releelor (de protecţie de semnalizare) generatoarele de sudură electrică

Nu trebuie excluse icircntre sursele unor astfel de perturbaţii nici icircntreruperile accidentale ale alimentării supratensiunile supracurenţii scurtcircuitele (căderile accidentale de tensiune)

De remarcat că impulsurile perturbatoare cele mai periculoase se produc la deconectarea circuitelor

Icircn figura 122 este reprezentată icircntreruperea unei sarcini inductive cum este de exemplu bobina unui releu

Variaţia bruscă a curentului la deschiderea icircntrerupătorului face să apară o supratensiune periculoasă la bornele bobinei a cărei valoare poate fi calculată pe baza bilanţului energetic care se stabileşte icircn acel moment

(124)

unde L ndash inductanţa bobinei releuluiCp ndash capacitatea parazită (care se stabileşte icircn momentul icircntreruperii

circuitului)Dacă de exemplu se introduc icircn relaţia (124) valorile i = 1(A) L =

100 (mH) Cp = 100 (pF) se obţine o supratensiune de 32 kV a cărei valoare nu mai trebuie comentată (Un = 230 (V)) Deşi această valoare este teoretică ea atenţionează asupra gradului de pericol la care poate fi expus circuitul

a bFig 122 Icircntreruperea unei sarcini inductive

a schema electrică echivalentă b variaţia tensiunii la bornele bobinei

Icircn realitate creşterea de tensiune se produce icircn salturi (burst ndashicircn engleză) care sunt determinate de extinderea arcului pe măsura icircndepărtării contactelor icircntrerupătorului Practic fenomenul are loc icircn modul următor la deschiderea

36


contactelor supratensiunea care apare duce la amorsarea arcului electric acesta face să crească curentul iar tensiunea să scadă brusc la zero după care contactele icircndepărtacircndu-se icircn continuare arcul se extinde şi tensiunea creşte din nou şamd

Icircn afara perturbaţiilor prin conducţie deconectarea sarcinilor inductive se caracterizează şi prin producerea de cacircmpuri de radiaţii care pot fi uşor sesizate prin parazitarea radioreceptoarelor portabile aflate icircn apropiere cauza acestor perturbaţii fiind arcul electric

Practic toate circuitele şi liniile de semnal aflate icircn vecinătatea unor astfel de surse perturbatoare pot fi afectate Mai mult icircn funcţie de tipul legăturilor la masa de referinţă (electronică) şi la pămacircnt pot apărea bucle de curent parazite parcurse de curenţi perturbatori de mod comun

Atenuarea unor asemenea curenţi se realizează prin măsuri de icircntrerupere a buclelor parazite de asemenea prin măsuri de ecranare şi filtrare

Icircn ceea ce priveşte atenuarea supratensiunii care apare la icircntreruperea unei sarcini inductive soluţia practică cea mai eficientă constă icircn icircnchiderea circuitului bobinei pe o rezistenţă de protecţie Rp (unde Rp = RL ndash rezistenţa bobinei) cuasi - simultan cu deschiderea icircntrerupătorului principal al circuitului (fig 123)

Fig 123 Circuit cu rezistenţă de protecţie la decuplarea unei bobine

Astfel icircntrerupătorul K1 care introduce icircn circuit rezistenţa de protecţie se icircnchide aproape simultan cu deschiderea icircntrerupătorului K făcacircnd ca icircn circuitul format din L ndash RL şi Rp să circule curentul tranzitoriu i(t)

Ecuaţia circuitului nou format (t = 0+) este

(125)

Prin rezolvarea ecuaţiei se obţine expresia curentului

(126)

La deschiderea icircntrerupătorului K respectiv la icircnchiderea lui K1 se poate scrie condiţia de continuitate a curentului prin circuit

37


(127)

Tensiunea la bornele bobinei icircn momentul t = 0+ devine

(128)

sau altfel scris

(129)

Cum supratensiunea maximă se produce practic icircn momentul decuplării4

expresia acesteia devine

(130)

De unde

(131)

Dacă se asigură condiţia

(132)rezultă

(133)

Aşadar supratensiunea care apare la bornele unei bobine atunci cacircnd se icircntrerupe circuitul poate fi evitată cu ajutorul unei rezistenţe de protecţie montată icircn paralel avacircnd valoarea egală cu cea a rezistenţei bobinei

172 Impulsuri parazite datorate fenomenelor atmosferice

O altă categorie de perturbaţii electromagnetice sub formă de impuls o constituie fenomenele naturale (fulgerele-descărcări electrice icircntre doi nori şi trăsnetele-descărcări electrice icircntre nori şi pămacircnt) Cu toate că frecvenţa acestora nu este mare efectele lor pot fi deosebit de periculoase pentru echipamentele electronice liniile de comunicaţii şi reţelele de calculatoare prin amplitudinea curenţilor produşi şi prin durata impulsurilor (fig 124)

Astfel curenţii de descărcare pot fi cuprinşi icircntre 1 şi 250 kA (15 kA icircn medie) cu timp de ridicare icircntre 05 şi 30 μs (2 μs icircn medie) şi durate cuprinse icircntre 003 şi 2 s (02 s icircn medie)

4 Aşa cum s-a arătat mai icircnainte durata de burst este de ordinul ns

38


a bFig 124 Tipuri de descărcări atmosferice (fulgere trăsnete)

a descărcare rapidă b descărcare prelungită

Echivalentul de sarcină electrostatică corespunzător unor astfel de descărcări este cuprins icircntre 1 şi 300 C (35 C icircn medie)

Rata de creştere a curentului este cuprinsă icircntre 1 şi 200 kA μs (20 kA μs icircn medie) iar timpul la 50 din amplitudinea impulsului ndash icircntre 10 şi 250 μs cu o medie de 45 μs (fig 124a)

Icircn cazul figurii 124b este reprezentat cazul descărcării care se prelungeşte cu un curent staţionar amplitudinea acestuia poate fi cuprinsă icircntre 30 şi 1600 A cu o medie de 150 A iar durata icircntre 50 şi 500 ms cu o medie de 150 ms

Practic o descărcare atmosferică este constituită dintr-o succesiune de descărcări parţiale cu interval de repetiţie cuprins icircntre 3 şi 100 ms

Studiul teoretic al acestor tipuri de impulsuri se face prin modelarea acestora unul dintre modele fiind cel trapezoidal Pe această bază spectrul de frecvenţă asociat se extinde pacircnă la 160 kHz luacircnd icircn calcul un timp de ridicare mediu de 2 μs

Efectele distructive ale descărcărilor atmosferice asupra echipamentelor şi reţelelor pot fi produse prin lovitură directă sau indirect - prin inducţie

Producerea unei descărcări electrice atmosferice este determinată de existenţa unui cacircmp electric intens icircn atmosferă şi este icircnsoţită de apariţia unui cacircmp magnetic intens corespunzător curentului de descărcare la pămacircnt Acest cacircmp se poate calcula cu o relaţie similară cacircmpului produs de un conductor infinit lung filiform parcurs de un curent cvasistaţionar (formula lui Biot ndash Savart ndash Laplace) 5

(134)

unde I(t) ndash curentul de descărcare variabil icircn timp (A)d ndash distanţa faţă de punctul de contactPrezintă interes tem indusă icircntr-o spiră şi icircntr-un conductor de o anumită

lungime aflate icircn vecinătatea punctului de descărcare

5 De regulă icircn calcule se folosesc pentru curent rata de ridicare a curentului valori medii

39


Astfel icircn cazul unei spire se poate utiliza pentru calculul tem induse legea inducţiei electromagnetice

(135)

chiar la dimensiuni mai mari avacircndu-se icircn vederea faptul că lărgimea spectrului este limitată

Pornind de la relaţia (135) se obţine

(136)

Cu datele A = 100 (cm2) ndash suprafaţa spireid = 1(m)

)sA(102skA20dtdI 10 rezultă pentru e valoarea de 40 (V)

Este interesant de făcut o comparaţie a acestei valori cu valoarea tem induse icircntr-o spiră icircn cazul unei descărcări electrostatice

Icircn acest scop se calculează tem indusă de un trăsnet icircntr-o spiră cu suprafaţa de 1 cm2 situată la distanţa de 01 m de sursă ( ) se obţine valoarea de 4 V

Această valoare este de aproape 600 de ori mai mare decacirct aceea a tem induse icircntr-o spiră de aceleaşi dimensiuni situată la aceeaşi distanţă de o descărcare electrostatică cu tensiunea de 10 kV

Tot printr-un fenomen de inducţie de această dată de la conductoarele de punere la pămacircnt a loviturilor de trăsnet pot apare icircn cablurile şi circuitele instalaţiilor electronice dispuse icircn apropiere tensiuni deosebit de periculoase

Icircn acest caz căderea de tensiune pe conductorul de punere la pămacircnt se calculează cu relaţia

(137)

Pentru o lungime de conductor de 10 m avacircnd L = 10 μH şi o rată de creştere a curentului de 20 kA μs se obţine U = 200 kV tensiune extrem de periculoasă pentru circuitele de semnal aflate icircn vecinătate

173 Cuplaje perturbatoare prin descărcări electrostatice

Printre sursele importante de perturbaţii electromagnetice ale circuitelor şi componentelor electronice se numără şi descărcările electrostatice (icircn engleză ndash Discharge of Static Electricity ndash ESD) Un exemplu semnificativ referitor la

40


acest aspect arată că descărcările electrostatice produse de chei (mecanice) sau chiar de inele şi brăţări aflate icircnpe macircinile tehnicienilor de montaj reglare icircntreţinere sunt deosebit de periculoase pentru componentele şi sistemele electronice icircn special pentru acelea care lucrează la frecvenţe foarte ridicate (de exemplu la 400 MHz)

Perturbaţiile (icircn impuls) produse ca urmare a descărcărilor electrostatice se pot transmite icircn circuitele electronice prin conducţie şi prin cacircmp de radiaţii ndash atunci cacircnd astfel de fenomene se produc icircn apropiere

Astfel intensitatea cacircmpului electric care apare icircn procesul descărcării are valori cuprinse icircntre 102 şi 104 V m (icircn aer) din acest punct de vedere putacircndu-se diferenţia icircn descărcări cu6

- cacircmp de intensitate redusă E le 102 V m- cacircmp de intensitate medie E = (102 - 103) V m- cacircmp de intensitate mare E = (103 - 104) V mValorile energiei electrostatice care poate perturba sau chiar deteriora

componentele electronice variază icircn limite foarte largi de la (10-5 - 10-7) Jouli ndash icircn cazul tranzistoarelor şi circuitelor integrate la (1 - 100) Jouli ndash icircn cazul tranzistoarelor de putere şi al diodelor de putere

Deşi cauzele acumulărilor de sarcini electrice sunt numeroase (frecarea inducţia electrostatică contactul fizic ionizarea) şi se manifestă icircn diferite procese tehnice clivajul efectul fotoelectric icircnregistrarea pe suporturi magnetice bobinarea firelor sau a hacircrtiei transportul materialelor pulverulente pe benzi transportul hidrocarburilor cu impurităţi prin conducte şa cea mai mare pondere icircn producerea descărcărilor electrostatice o are icircn practică frecarea

Cu cacirct diferenţa permitivităţilor celor două corpuri izolatoare care se freacă icircntre ele este mai mare cu atacirct acestea acumulează mai multă sarcină electrică şi produc prin atingere cu corpurile metalice descărcări electrostatice caracterizate prin intensităţi de cacircmp şi curenţi mari Astfel densitatea superficială de sarcină electrică acumulată de două corpuri izolatoare prin frecare poate fi calculată cu formula experimentală a lui Beach

(138)Fenomenul electrizării prin frecare a doi dielectrici diferiţi se explică prin

faptul că corpul cu εr mai mare se icircncarcă pozitiv deoarece fiind mai bun izolant acesta se polarizează mai uşor şi cedează electroni celuilalt corp care se icircncarcă negativ

Este posibil ca icircncărcarea electrostatică prin frecare să constituie cauza (de tip EMIndashCEM) unor accidente grave cum ar fi prăbuşirea unor avioane care au părăsit aeroporturile iarna fără să fie curăţată gheaţa de pe fuzelajul acestora (εr gheaţă asymp 80 εr aer = 1)

Factorul uman este responsabil de producerea unor importante perturbaţii prin descărcări electrostatice icircn sistemele electronice tensiunile măsurate icircn 6 Este ştiut că rigiditatea dielectrică a aerului (Ed) este icircn jur de 30 kVcm (3106 Vm) La materialele izolatoare solide aceasta are valori cuprinse icircntre 10106 Vm şi 100106 Vm

41


cazul electrizării fiind cuprinse icircntre 1000 V ndash la deplasarea pe un covor de cauciuc şi peste 20000 V ndash pe un covor din material sintetic (mochetă din poliamidă) valorile ridicate corespunzacircnd unei acumulări de sarcini electrice de cacircţiva microcolumbi

Icircn figura 125 sunt prezentate evoluţia curentului de descărcare electrostatică a unei persoane a cacircmpului magnetic asociat şi a tensiunii induse icircntr-o buclă cu suprafaţa de 1 cm2 corespunzător unei tensiuni de icircncărcare de 10 kV Icircn cazul descărcărilor electrostatice corpul uman poate fi asimilat utilizacircnd un model simplu unui circuit electric serie avacircnd o capacitate cuprinsă icircntre 100 şi 200 pF şi o rezistenţă (internă) icircntre 150 şi 1500 Ω (uneori şi o inductivitate cuprinsă icircntre 1 şi 5 μH)

Testările efectuate arată că timpii de ridicare ai impulsurilor de curent τr sunt mai mici decacirct 1ns iar durata descărcării ndash mai mică decacirct 150 ns astfel icircncacirct acestea pot produce serioase defecţiuni circuitelor şi componentelor electronice (de exemplu cacircnd se ating pinii unui circuit integrat)

a b cFig 125 Evoluţia curentului de descărcare a unei persoane (a)

a cacircmpului magnetic produs (b) a tem induse (c) icircn cazul unei descărcări la 10 kV

Icircn cazul unei persoane icircncărcate la tensiunea de 3 kV curentul de descărcare la manipularea unei şurubelniţe arată ca icircn figura 126

a bFig 126 Evoluţia curentului de descărcare a unei persoane

icircncărcate la 3 kV la atingerea unei şurubelniţe a) la o scară de timp de 5 nsdiv b) la o scară de timp de 20 nsdiv

42


Din aceste exemple se poate observa că o descărcare electrostatică este un fenomen extrem de rapid timpul de ridicare al impulsului nedepăşind de obicei 5 ns iar durata totală a impulsului ndash 100 ns

Analizacircnd figura 126 se mai poate observa că impulsul de curent care apare la o descărcare electrostatică are două părţi o parte avacircnd o evoluţie extrem de rapidă (preimpuls) şi o parte cu o evoluţie mai lentă Experienţele efectuate au arătat că fenomenul de interferenţă perturbatoare icircn cazul unei descărcări electrostatice este cauzat icircn special de prima parte a impulsului ndash preimpulsul Mai mult s-a observat că un astfel de preimpuls apare numai icircn cazul descărcărilor electrostatice pacircnă la 4 kV peste această tensiune apăracircnd aşa numitul efect corona Astfel echipamente electronice care au trecut testul ESD la (10 ndash 12) kV au fost scoase din funcţiune la (3 ndash 4) kV tocmai datorită efectului perturbator al acestui preimpuls

O curbă de tipul celei din figura 126 poate fi modelată printr-o dublă exponenţială de forma

(139)Prin trecerea icircn domeniul frecvenţă se obţine spectrul densităţii de

amplitudine a impulsului (fig 127)

Fig 127 Spectrul densităţii de amplitudine pentrupartea de impuls lentă (1) şi pentru icircntregul impuls (2)

Este uşor de observat că icircn cazul descărcărilor electrostatice spectrul de frecvenţe se extinde la valori foarte ridicate

Un rol important asupra procesului de icircncărcare electrostatică a corpului uman o are umiditatea aerului Icircn figura 128 sunt prezentate exemple de icircncărcare a acestuia icircn funcţie de umiditatea relativă la deplasarea pe diferite materiale izolatoare pe o distanţă de 6 m

43


Fig 128Variaţia tensiunii de icircncărcare a unui subiect uman funcţie de umiditatea relativă a aerului 1 mergacircnd 6 m pe un covor de cauciuc 2 mergacircnd 6 m pe un covor din fluorură de

vinil 3 prin ridicarea icircn picioare din poziţia şezacircnd

Calculul curentului de descărcare

Schema electrică echivalentă pentru simularea unei descărcări electrostatice este prezentată icircn figura 129

Fig 129 Schema electrică echivalentă pentru simularea unei descărcări electrostatice

Pe baza acesteia se poate scrie ecuaţia diferenţială a circuitului pornindu-se de la ecuaţia de tensiuni

(140)unde

Tensiunea uc(t) are semnul minus icircn conformitate cu legea conservării sarcinii electrice aplicată unei condensator care se descarcă

Icircnlocuind icircn ecuaţia (140) expresiile tensiunilor se obţine

(141)

44


Prin derivare ecuaţia circuitului devine

(142)

Pe baza ecuaţiei (142) se calculează curentul de descărcare sub forma

(143)unde Ia Ib sunt constante de integrare reale sau complexe iar ra rb ndash rădăcinile ecuaţiei caracteristice

(144)

Se obţine

(145)

respectiv

(146)

unde - constanta de amortizarea circuitului

- pulsaţia de rezonanţă a circuitului (R = 0)

- pulsaţia proprie a circuitului

Icircn mod obişnuit este icircndeplinită condiţia

respectiv (147)

sau

(148)

astfel icircncacirct circuitul se va comporta oscilant amortizat fiind capabil de oscilaţii proprii cu pulsaţia ωp asymp ω0

Soluţia ecuaţiei diferenţiale devine

(149)

unde Imax şi k reprezintă constante de integrare care se determină pe baza condiţiilor iniţiale

Curba de variaţie a curentului de descărcare este dată icircn figura 130

45


Fig 130 Evoluţia curentului de descărcare

Pentru un corp uman cu pielea uscată şi sănătos avacircnd o rezistenţă de descărcare de 50 kΩ s-a obţinut un curent de descărcare de 0176 A Icircn cazul corpului ud această valoare creşte de 10 ori (Rdesc = 5 kΩ) iar icircn cazul corpului rănit ndash de icircncă 10 ori (Rdesc = 500Ω) ajungacircnd la 176 A

Pentru micşorarea valorii curentului de vacircrf şi a timpului de ridicare al acestuia este necesar ca rezistenţa R a circuitului să crească respectiv să se mărească atenuarea circuitului

18 PERTURBAŢII PRIN CUPLAJ INDUCTIV ŞI CAPACITIV

181 Cuplaj perturbator inductiv

Fenomenele care stau la baza producerii unui astfel de cuplaj sunt inducţia electromagnetică şi inducţia electrică Astfel se pot produce cuplaje inductive ca urmare a interferenţei dintre cacircmpurile magnetice variabile icircn timp ale unui echipament şi circuitele electrice ale aceluiaşi echipament sau aparţinacircnd unor circuite aflate icircn vecinătate de asemenea se pot produce cuplaje electrice (capacitive) icircntre circuite aflate unele icircn vecinătatea celorlalte

Conform legii inducţiei electromagnetice tem indusă icircntr-un circuit de un astfel de cacircmp are expresia

(150)

unde

- fluxul magnetic variabil icircn timp prin suprafaţa S care se sprijină pe curba Γ (conturul circuitului)

- inducţia magnetică corespunzătoare fluxului Icircn cazul unei variaţii sinusoidale icircn timp a fluxului magnetic respectiv a

inducţiei se obţine pentru tem indusă o expresie de forma

(151)

unde

46


- pulsaţia cacircmpului inductor (perturbator)Ca urmare tem perturbatoare produsă prin inducţie electromagnetică

icircntr-un circuit depinde de suprafaţa conturului circuitului de frecvenţa cacircmpului perturbator şi de intensitatea acestuia

Distanţa dintre perturbator şi perturbat este de asemenea importantă icircn acest caz Astfel tem indusă variază cu distanţa icircn funcţie de evoluţia inducţiei B cu distanţa Icircn cazul cacircmpurilor apropiate inducţia scade icircn general cu pătratul distanţei faţă de sursa de cacircmp pe cacircnd icircn cazul celor icircndepărtate (de radiaţii sau de unde plane) inducţia scade cu distanţa dintre perturbator şi perturbat

Un exemplu de cuplaj inductiv este arătat icircn figura 131 Cele două circuite fiind dispuse unul icircn vecinătatea celuilalt suprafeţele lor vor fi străbătute atacirct de propriile fluxuri magnetice cacirct şi de fluxurile magnetice vecine

Icircn regim sinusoidal (cvasistaţionar) ecuaţiile celor două circuite cuplate sunt

(152)

unde R1 R2 L11 L22 ndash rezistenţele respectiv inductanţele proprii ale celor două circuite L12 (= L21 =M) ndash inductivitatea de cuplaj mutual icircntre circuite

Fig131 Cuplaj magnetic icircntre două circuite apropiateCele două tem induse se regăsesc sub forma termenilor de cuplaj

inductiv (termenii icircn L12 respectiv icircn L21 din cele două ecuaţii)Icircn cazul icircn care numărul circuitelor cuplate inductiv este mare se preferă

tratarea matriceală a problemei Icircn acest caz sistemul (152) poate fi scris sub forma

(153)

Icircntr-un caz mai general sistemul (153) devine

47


(154)

Dacă circuitele au retur comun prin conductorul n sistemul matriceal se pune sub forma

(155)

Pentru rezolvarea sistemului de ecuaţii este necesar să fie cunoscuţi parametrii circuitelor (Rii Lii Lij) Aceasta presupune calculul RMG ndash razei medii geometrice a unei suprafeţe oarecare de circuit şi al DMG ndash distanţei medii geometrice icircntre două suprafeţe S1 şi S2 aparţinacircnd la două circuite cuplate pentru a se ţine seama de contribuţia fluxului magnetic al fiecărui fir al cablurilor parcurse de curent cuplate magnetic Aceste notaţii au fost introduse de Maxwell şi utilizate la calculul inductivităţilor

Icircn figura 132 sunt date valorile RMG şi DMG pentru unele tipuri uzuale de conductoare

48


Fig132 Valorile razei medii geometrice (RMG) şi distanţei medii geometrice (DMG) pentru cabluri uzuale

Pentru două perechi de circuite tur ndash retur a şi b (fig133) cuplate

magnetic raza medie geometrică a unei suprafeţe oarecare Sx aparţinacircnd unui conductor respectiv distanţa medie geometrică dintre două suprafeţe Sx şi Sy aparţinacircnd la două conductoare sunt date de relaţiile

(156)

(157)

unde rxy reprezintă distanţa dintre elementele de suprafaţă dSx şi dSy

aparţinacircnd suprafeţei Sx respectiv Sy

Fig133 Două perechi de cabluri multifilare cuplate inductiv

Utilizacircnd expresiile RMG şi DMG se pot determina inductivităţile proprii şi mutuale ale unor circuite multifilare de secţiuni diferite cuplate magnetic cum sunt

o linie tur-retur (fig134a)

(158)

49


două linii i şi j cu retur n (fig134b)

(159)

două linii tur-retur distincte (fig134c)

(160)

unde m şi n reprezintă retururile celor două linii

a b cFig134 Circuite multifilare diferite cuplate magnetic

De exemplu dacă cele 2 linii sunt 1 cu retur 3 şi 2 cu retur 4 inductanţa de cuplaj devine

(161)

Modelarea electrică a cuplajului inductiv parazit poate fi făcută fie cu ajutorul inductivităţilor mutuale fie prin surse de tem perturbatoare Up aşa după cum se poate vedea icircn figura 135

Consideracircnd ca şi pacircnă acum că se lucrează icircn regim cvasistaţionar tem parazită indusă de circuitul 1 icircn 2 este de forma

(162)

icircn domeniul timp respectiv

(163)icircn domeniul frecvenţă (icircn complex)

50


Fig135 Modelarea cuplajului inductiv cu ajutorul inductivităţilor mutuale (a) respectiv printr-o sursă de tensiune

electromotoare parazită (b)

Această tensiune se manifestă ca o tensiune perturbatoare de mod normal icircn circuitul 2 O parte din această tensiune se regăseşte la intrarea receptorului

conform raportului (teorema divizorului de tensiune) Astfel cu cacirct acest raport este mai mic cu atacirct efectul tensiunii parazite Up asupra receptorului este mai redus Se poate observa că efectul tensiunii de cuplaj parazit asupra circuitului perturbat nu depinde de valorile impedanţelor acestuia ci numai de raportul celor două impedanţe

ExempluUn exemplu de cuplaj inductiv parazit icircntre două bobine aparţinacircnd

aceluiaşi circuit este prezentat icircn continuare fiind pus icircn evidenţă şi cuplajul energetic parazit (transferul de energie activă şi reactivă) icircntre cele două bobine

Fie două bobine aparţinacircnd la două laturi montate icircn paralel situate icircntr-un circuit alimentat pe la borne cu o tensiune sinusoidală icircn regim permanent Se consideră că icircn mod normal bobinele nu ar trebui să se influenţeze reciproc icircn cazul exemplului de faţă se presupune că apare totuşi un cuplaj parazit icircntre bobine caracterizat prin inductivitatea mutuală Tensiunea la borne este de forma

Cuplajul parazit dintre două bobine

Impedanţele celor două circuite (icircn complex) sunt

Cuplajul celor două laturi se face prin inductanţa mutuală respectiv prin impedanţa mutuală M ndash pozitiv sau negativ

51


Aprecierea cuplajului perturbator icircntre bobine se face cu ajutorul tem induse dintr-un circuit icircn celălalt precum şi cu ajutorul puterilor active şi reactive transferate icircntre bobine

Pentru icircnceput se vor calcula curenţii şi impedanţa echivalentă Z a celor două laturi (circuite) icircn paralel cunoscacircnd că

Diagrama fazorială a circuitului luacircnd tensiunea la borne ca origine de fază este reprezentată icircn figura prezentată icircn continuare

Diagrama fazorială de tensiuniunde

- este icircn fază cu

- este defazată cu faţă de


Se trasează diagrama OA1B1COAplicacircnd teorema a doua a lui Kirchhoff pe ochiul de circuit O1 se obţine

Se procedează icircn mod similar pentru cel de al doilea circuit obţinacircndu-se conturul OA2B2CO - pe diagrama fazorială respectiv tensiunea

Cei doi curenţi se obţin sub forma

Ca urmare

Impedanţa echivalentă la bornele circuitului va avea expresia

52


Icircnlocuind cu datele cunoscute impedanţele laturilor şi impedanţa de cuplaj devin

Cum tensiunea curenţii vor avea valorile

- faza iniţială - faza iniţială - faza iniţială

Rezultă

Schema echivalentă a circuitului are parametrii Re =2206 (Ω)

Xe = 3676 (Ω)

Schema echivalentă a circuitului

Defazajele dintre curenţii şi tensiunea la borne sunt

Defazajele fiind pozitive rezultă că este defazată icircnaintea curenţilor

şi (circuitele sunt preponderent inductive)Se vor calcula icircn continuare puterile consumate de circuite şi puterile

absorbite de acestea pentru a pune icircn evidenţă cuplajul lor energeticPuterea( complexă) consumată de circuitul 1 este

unde este puterea aparentă primită pe la borne iar - puterea aparentă schimbată (primită sau cedată) prin cuplaj inductiv cu circuitul 2

Icircnlocuind cu datele cunoscute rezultă

Precizare

53


Ca urmare se obţine pentru valoarea

Icircn mod asemănător

Icircnlocuind cu datele cunoscute se obţine

Scriind puterile aparente consumate de cele două circuite pe rezistoare bobine condensatoare şi prin cuplaj mutual sub forma rezultă

unde

Mărimile şi sunt tem induse de circuitul 2 icircn 1 respectiv de 1 icircn 2 acestea contribuind la consumul suplimentar de putere icircn circuite prin - icircn circuitul 1 parcurs de curentul respectiv prin - icircn circuitul 2 parcurs de curentul

Pe de altă parte calculacircnd puterea aparentă absorbită pe la borne de cele două circuite se obţine

cu

reprezentacircnd puterea absorbită de circuitul 1respectiv

reprezentacircnd puterea absorbită de cel de-al doilea circuitSe vede că puterile aparente absorbite şi diferă de cele calculate

anterior consumate de circuiteDiferenţa se datorează tocmai cuplajului mutual parazit dintre cele două

circuite prin care se transferă energie activă şi reactivă de la unul la celălalt

54


Icircntr-adevăr cele două circuite preiau de la reţea puterile aparente şi date de relaţiile prezentate mai icircnainte dar utilizează efectiv numai o parte din acestea restul fiind transferat prin cuplaj parazit de la unul la celălalt

Astfel circuitul 1 absoarbe din reţea doar dar avacircnd nevoie de conform solicită prin cuplajul inductiv de la circuitul 2

diferenţa de La racircndul său circuitul 2 absoarbe din reţea o putere activă de dar

consumă doar conform relaţiei restul transferacircndu-l prin cuplaj parazit circuitului 1

Transferul de puteri active şi reactive icircntre cele două circuite cuplate perturbativ

Icircn ceea ce priveşte energia reactivă circuitul 1 are nevoie de conform relaţiei dar solicită de la reţea ca urmare va transfera circuitului 2 o cantitate de Fiind vorba de o energie reactivă furnizată de un circuit receptor va avea semnul minus (energie reactivă capacitivă)

Circuitul 2 absoarbe din reţea dar are nevoie conform relaţiei de ca urmare va solicita de la circuitul 1 cantitatea de

Icircn concluzie se poate spune că icircn circuitul analizat este pus icircn evidenţă un cuplaj parazit icircntre două bobine cauza acestuia fiind dată de lipsa unor măsuri de protecţie antiperturbativă corespunzătoare icircntre bobine

Este vorba de o interferenţă prin adiţie peste căderea de tensiune proprie unui circuit suprapunacircndu-se tem de cuplaj mutual indusă de celălalt circuit

respectiv Icircn cazul de faţă circuitele fiind legate icircn paralel tensiunea la bornele

fiecăruia nu se modifică icircn schimb căderile de tensiune pe elementele de circuit se modifică faţă de situaţia icircn care cuplajul mutual ar fi inexistent

Pe de altă parte icircntre circuite apare ndash aşa cum se arăta mai icircnainte ndash şi o interferenţă energetică parazită pusă icircn evidenţă prin produsele respectiv

55


ale curenţilor din expresiile puterilor aparente de cuplaj şi Efectul acesteia din urmă constă icircn modificarea puterilor active şi reactive din cele două circuite cuplate faţă de cazul icircn care cuplajul parazit ar fi inexistent

Icircn condiţiile icircn care produsul scalar al celor doi curenţi ar fi nul cu alte cuvinte dacă fazorii corespunzători ar fi ortogonali (ceea ce ar icircnsemna că defazajul dintre ei ar fi de ) cuplajul energetic al celor două bobine ar fi inexistent Astfel icircn expresia puterilor aparente respectiv produsul scalar al curenţilor (este vorba de respectiv ) ar fi egal cu zero Acest caz poate fi pus icircn evidenţă şi pe diagrama fazorială făcacircnd defazajul dintre cei doi curenţi egal cu

De asemenea cuplajul parazit ar fi nul icircn cazul icircn care cele două bobine ar fi aşezate perpendicular icircntre ele (prin decalare icircn spaţiu cu 900)

Este important de precizat totuşi faptul că o interferenţă energetică nulă nu exclude interferenţa prin suprapunere (adiţie) a celor două tensiuni ndash cazul oscilaţiilor icircn cuadratură

182 Cuplajul perturbator capacitiv

Un alt tip de cuplaj parazit prin cacircmp apropiat icircntre circuite de această dată ndash de natură electrică este cuplajul perturbator capacitiv

Icircn continuare se va analiza un astfel de cuplaj icircn cazul a două conductoare (linii) paralele apropiate linia 1 activă fiind alimentată la tensiunea U1 şi frecvenţa industrială (fig136)

Fig136 Conductoare cuplate capacitiv a schema electrică cu evidenţierea capacităţilor parazite b schema electrică

echivalentă

Icircn figura 149 sunt evidenţiateC1p C2p ndash capacităţile parazite icircntre cele două conductoare şi pămacircnt masa electronică (icircn cazul liniilor de semnal)C12 ndash capacitatea parazită icircntre cele două conductoareRp ndash rezistenţa de cuplaj galvanic parazit icircntre linia 2 şi pămacircnt

Dacă linia 1 este alimentată cu tensiunea aceasta devine sursă de perturbaţii pentru linia 2 icircn care se induce electric tensiunea parazită

Calculul tensiunii parazite se poate face cu metoda teoremelor lui Kirchhoff icircn complex

56


Pentru aceasta se va redesena schema din figura 136 (b) cu indicarea curenţilor din laturi (fig 137) Se aplică teorema icircntacirci a lui Kirchhoff icircn două noduri fie acestea 1 şi 2 ndash corespunzătoare celor două linii electrice ndash şi teorema a două icircn trei ochiuri ale căror sensuri de parcurs sunt indicate cu linie curbă icircntreruptă pe desen

Fig137 Schema electrică echivalentă a celor două linii cuplate capacitiv

1

2

3

4

5

(164)

unde

Din ecuaţia (3) a sistemului de ecuaţii (164) se obţine

(165)

expresie care se icircnlocuieşte icircn ecuaţia (4) a aceluiaşi sistem rezultă ecuaţia

(166)Din ecuaţia (2) se scoate curentul I5

(167)care se icircnlocuieşte icircn ecuaţia (5) se obţine sistemul de două ecuaţii

(168)De unde

57


(169)

Cunoscacircnd curentul se calculează tensiunea parazită indusă (electric) icircn linia 2

(170)

Icircnlocuind impedanţele cu expresiile lor se obţine tensiunea parazită sub forma

(171)

sau

(172)

Cum rezultă

(173)

Se pot identifica două cazuria pentru

(174)

se obţine

(175)b pentru

(176)

se obţine

(177)

Relaţia (175) arată că tensiunea parazită indusă icircn linia 2 este proporţională cu tensiunea sursei perturbatoare factorul de proporţionalitate fiind dat de frecvenţa sursei de capacitatea de cuplaj dintre cele două circuite şi de rezistenţa circuitului perturbat icircn raport cu pămacircntul

Practic pentru reducerea nivelului tensiunii parazite se poate acţiona numai printr-un singur parametru şi anume C12 Astfel capacitatea C12 poate fi

58


micşorată prin ecranare distanţare schimbarea orientării conductoarelor (perpendicularizare) De regulă un zgomot (o perturbaţie) de zero dB corespunde unei distanţări mai mari sau egale cu de trei ori diametrul conductoarelor liniei

Dacă Rp este mult mai mare decacirct reactanţa capacitivă a celor două condensatoare C12 şi C2p atunci tensiunea parazită este independentă de frecvenţă fiind dată de relaţia (177) Această relaţie exprimă valoarea maximă la care poate ajunge tensiunea parazită

Variaţia acestei tensiuni icircn funcţie de frecvenţă este prezentată icircn figura 138

Fig138 Variaţia cu frecvenţa a tensiunii parazite

O relaţie mai generală pentru Up se poate obţine dacă se notează cu ansamblul celor două impedanţe icircn paralel date de C2p şi Rp şi cu impedanţa corespunzătoare capacităţii de cuplaj parazit C12 icircntre cele două circuite (fig 139)

(178)

Fig139 Schema echivalentă cu indicarea impedanţeide cuplaj şi acelei de intrare

Relaţia (178) se mai poate scrie ca

(179)unde este impedanţa de intrare a liniei 2

Şi din relaţia (179) se poate vedea că tensiunea parazită indusă icircn linia 2 depinde de nivelul tensiunii perturbatoare de impedanţa de cuplaj parazit dintre circuite şi de impedanţa de intrare a circuitului perturbat

Icircn cazul circuitelor imprimate cuplajul parazit capacitiv se poate determina utilizacircnd coeficienţii de potenţial

59


Astfel icircn cazul unui circuit cu trei conductoare dispus icircntr-o carcasă metalică sau raportat la un plan de masă (electronică) se poate scrie (fig 140)

(180)

unde se numesc coeficienţi de potenţial şi depind atacirct de geometria circuitului cacirct şi a carcasei planului de masă reprezintă sarcinile pe suprafeţele conductoarelor iar ui ndash potenţialele acestora (sau tensiunile raportate la masă)

Fig140 Cuplaje capacitive parazite icircn cazul unui circuit imprimat

Astfel pentru un conductor de secţiune circulară se poate arăta pe baza teoremei lui Gauss şi a teoremei potenţialului electrostatic că potenţialul electric la o distanţă r faţă de acesta este de forma

(181)

unde - intensitatea cacircmpului electric al conductorului

l - densitatea lineică de sarcină a conductorului r0 - distanţa faţă de conductor la care potenţialul V este nul r- distanţa faţă de conductor la care se calculează potenţialul

- sarcina electrică (uniform distribuită) a conductorului de

lungime lIcircn practică interesează relaţiile inverse fiind cunoscute potenţialele

conductoarelor

(182)Icircn cazul exemplului din figura (140) se poate scrie

(183)

unde CNij - capacităţi nodale (fără sens fizic)ui0=Vi-V0 - tensiunile conductoarelor (raportate la masă)(V0=0)

60


Icircnlocuind capacităţile nodale cu capacităţile parţiale dintre conductoare respectiv dintre conductoare şi pămacircnt se obţine sistemul

(184)S-a considerat că circulaţia curenţilor de retur se face prin masa

electronicăCu ajutorul sarcinilor electrice qi se pot calcula curenţii capacitivi paraziţi

icircntre liniile circuitului imprimat utilizacircnd legea conservării sarcinii electrice pe un segment de linie dx

(185)

respectiv

(186)

Derivacircnd sistemul (183) icircn raport cu timpul se obţine

(187)

de unde

(188)

Icircn relaţia (188) factorul reprezintă matricea capacităţilor parţiale din sistemul (184) care mai poate fi scris şi sub forma

(189)

Curenţii capacitivi paraziţi se calculează pe baza relaţiei (188) care conduce la sistemul de ecuaţii

(190)

61


Icircn figura (141) este prezentată schema electrică echivalentă a circuitului analizat

Fig141 Schema echivalentă a circuitului cu evidenţierea capacităţilor parţiale

19 CUPLAJE PERTURBATOARE PRIN CAcircMPURI IcircNDEPĂRTATE (DE RADIAŢII)

Condiţia de realizare a unui cuplaj prin cacircmp icircndepărtat este rgtgt λ 2π unde r este distanţa dintre perturbator şi perturbat iar λ ndash lungimea de undă a cacircmpului perturbator Caracteristic icircn acest caz este fenomenul de propagare a cacircmpului sub formă de unde (plane)

191 Radiaţia antenei liniare (dipol electric)

Pentru icircnceput se consideră ca sursă de cacircmp perturbator o antenă liniară de tipul dipol electric avacircnd lungimea l fiind parcursă de un curent sinusoidal i(t) de frecvenţă suficient de ridicată (fig 142)

Pentru a determina componentele cacircmpului produs de antenă icircntr-un punct oarecare P din spaţiu se va utiliza noţiunea de potenţial electrodinamic vector

Icircn consecinţă legea fluxului magnetic poate fi scrisă sub forma

(191)fiind identic satisfăcută ( )

62


Fig142 Antena dipol

Inducţia magnetică produsă icircn spaţiul liber (aer) de conductorul parcurs de curent are expresia

(192)

icircn conformitate cu formula lui Biot ndash Savart ndash LaplaceCum

(193)

inducţia mai poate fi scrisă sub forma

(194)

Prin comparaţie cu relaţia (192) se obţine

(195)

respectiv

(196)

Ţinacircnd cont de fenomenul de retardare specific propagării undelor potenţialul vector are icircn realitate expresia

(197)

unde

63


R ndash distanţa dintre antena dipol electric şi punctul P icircn care se determină cacircmpulv ndash viteza de propagare a undelor icircn spaţiul liberCurentul sinusoidal prin antenă

(198)devine icircn complex (nesimplificat7)

(199)unde reprezintă imaginea curentului icircn complex simplificat

Icircn mod asemănător curentul retardat poate fi trecut icircn complex sub forma

(1100)

Ca urmare potenţialul vector devine

(1101)

Trecacircnd icircn coordonate cilindrice se poate scrie (fig143)

(1102)Dacă se trece acum la reprezentarea icircn complex simplificat (renunţacircnd

temporar la tje2 ) expresia lui va avea forma

(1103)

Integracircnd se obţine

(1104)

Fig143 Antena liniară icircn coordonate cilindrice7 Se preferă această reprezentare pentru a pune icircn evidenţă procesul de retardare caracteristic propagării undelor

64


Icircn aceste condiţii relaţia (191) devine

(1105)

Cum potenţialul conţine numai componenta Az (rel1104) respectiv inducţia magnetică devine

(1106)

fiind un vector orientat după versorul eφPotenţialul vector depinde explicit de R nu de r astfel că se va scrie

(1107)

Din

(1108)se obţine prin derivare

(1109)

astfel componenta Bφ devine

(1110)

Rezultă expresia inducţiei magnetice sub forma

(1111)

Din relaţia (1104) se poate vedea că depinde de produsul a două funcţii 1R şi ca urmare derivata parţială va trebui să ţină seama de acest lucru iar inducţia devine

(1112)

Trecacircnd icircn valori instantanee se evidenţiază mai bine cei doi termeni ai inducţiei magnetice unul descrescacircnd icircn intensitate cu pătratul distanţei iar celălalt ndash cu distanţa fiind defazate icircntre ele cu

(1113)

Cacircmpul magnetic icircn aer se determină pe baza formei tehnice a legii magnetizaţiei temporare pentru medii liniare

65


(1114)Rezultă

(1115)

Se poate observa că şi cacircmpul magnetic produs icircn punctul P de elementul de curent ids variază sinusoidal icircn timp avacircnd ca şi inducţia un termen care variază cu pătratul distanţei şi unul ndash cu distanţa de la antenă la punctul P

192 Metode de analiză şi calcul a cuplajului prin radiaţii

După cum s-a arătat icircn capitolul 191 cacircmpul icircndepărtat ndash de unde plane sau de radiaţii ndash se propagă la distanţă de sursă conform condiţiei

Se analizează cu scop exemplificativ cuplajul electromagnetic perturbator dintre o undă plană şi o linie de transmisie

Intensitatea cuplajului perturbator dintre sursă şi victimă este influenţată de cele două unghiuri de incidenţă şi anume unghiul de incidenţă icircn planul vertical Ψ şi unghiul de incidenţă icircn planul orizontal Φ Acestea pot fi evidenţiate uşor icircn cazul cacircnd echipamentul perturbat este o linie de transmisie (figura 144)

Unghiul Ψ este dat de direcţia de propagare a undei şi planul orizontal care conţine linia iar unghiul Φ ndash de planul de incidenţă (vertical) al undei şi planul vertical care conţine linia

O undă plană poate fi polarizată vertical sau orizontal după cum vectorul cacircmp electric este conţinut icircn planul de incidenţă vertical sau este perpendicular pe acesta Pentru orice valoare a lui Ψ diferită de 90 se poate vorbi atacirct de o polarizare verticală cacirct şi de una orizontală a undei incidente

Fig144 Unghiurile de incidenţă icircn cazul cuplajului undei plane cu o linie de transmisie

Icircn afara undelor incidente (directe) linia de transmisie situată deasupra solului8 este icircmbrăţişată şi de undele reflectate de sol intensitatea undelor 8 Icircn general linia se consideră situată deasupra unui plan conductor

66


reflectate fiind influenţată de permitivitatea relativă a solului εrs şi de conductivitatea solului σs prin coeficienţii de reflexie ai lui Fresnel La calculul curentului perturbator indus va trebui să se ţină seama atacirct de cacircmpul incident cacirct şi de cel reflectat

Unda reflectată de sol va avea o icircntacircrziere de fază egală cu unde reprezintă distanţa suplimentară parcursă de unda reflectată (de la

sol pacircnă la linie) faţă de unda incidentă iar - constanta de

fază icircn vid (spaţiu liber) egală practic cu constanta de propagare γ (se consideră constanta de atenuare nulă)9

Problema care se pune constă icircn determinarea curentului iz indus de unda plană (perturbatoare) icircn linia de transmisie Acest curent interferă cu semnalul util afectacircnd calitatea acestuia

Printre metodele de calcul cele mai utilizate icircn determinarea tem respectiv a curenţilor perturbatori induşi de cacircmpul de radiaţii se pot exemplifica teoria antenelor şi teoria(metoda) liniilor de transmisiuni ambele ţinacircnd seama de fenomenul de propagare

Teoria antenelor nu ţine seama de frecvenţa perturbatorului şi nici de dimensiunile geometrice ale victimei fiind considerată ca o metodă generală de calcul Modelul matematic al metodei permite obţinerea de soluţii numerice solicitacircnd totuşi resurse de calcul importante

Metoda se pretează calcului curenţilor induşi icircn cazul unor obiecte perfect conductoare sau a unor structuri filare icircn prezenţa unui plan de conductivitate finită (cum este planul solului)

Curenţii induşi se obţin ca soluţii ale ecuaţiilor integrale ale cacircmpului electromagnetic

Astfel icircn cazul liniei de transmisie din figura 144 cacircmpul perturbator care o icircmbrăţişează este constituit din cacircmpul incident (direct) şi cel reflectat

(1116)

(1117)Icircn afară de acestea icircn expresiile componentelor cacircmpului care determină

apariţia tem induse va trebui să fie introduşi şi termenii corespunzători difracţiei acestui cacircmp la suprafaţa conductorului Aceşti termeni sunt determinaţi de distribuţiile superficiale de sarcină şi de curent Js produse la racircndul lor de cacircmpul perturbator ( ) Ca urmare se poate scrie

(1118)

(1119)La racircndul lor componentele Ed şi Bd pot fi scrise sub forma

9 Constanta de propagare icircn spaţiul liber este de forma

67


(1120)

(1121)

unde potenţialele electrodinamice scalar (Ve) şi vector ( ) sunt icircn complex de forma

(1122)

(1123)

(1124)Indicele prim ( ) arată că mărimile respective se referă la sursa de

cacircmp de difracţie (aflată chiar icircn linie)Pe baza condiţiei de etalonare a lui Lorentz

(1125)

se obţine

(1126)

respectiv

(1127)

prin aplicarea operatorului gradConsideracircnd cacircmpul perturbator armonic se poate trece icircn complex

relaţia (1127) scriind

(1128)

de unde

(1129)

Ca urmare relaţiile (1120) şi (1121) devin icircn complex

(1130)

(1131)

68


Sau icircnlocuind pe Ae(r) din (1163) se obţin expresiile

(1132)

(1133)

unde - constanta de fază

Pentru simplificare se va considera linia (icircn general ndash obiectul perturbat) ca fiind un conductor perfect Icircn aceste condiţii componenta tangenţială a cacircmpului electric perturbator care influenţează conductorul precum şi cea a cacircmpului magnetic sunt nule

(1134)

(1135)Ţinacircnd seama de aceste condiţii şi de relaţiile (1132) (1133) se pot scrie

ecuaţiile integrale ale cacircmpului perturbator care afectează linia de transmisie (perfect conductoare) sub forma

(1136)

(1137)

Cunoscacircnd pe Ep şi Hp se calculează din aceste ecuaţii densitatea superficială de curent indus icircn linie Js

Se observă că ecuaţiile integrale (1136) şi (1137) au forma generală

(1138)unde

f ndash funcţia necunoscută (Js)άndash operator matematic liniare ndash mărimea cunoscută (Ep sau Hp)

Avacircnd icircn vedere că operatorul α nu are o formă analitică pentru determinarea soluţiei ecuaţiilor se va recurge la o metodă de relaxare cum este metoda momentelor

Icircn cazul corpurilor metalice de mari dimensiuni (avioane nave) se poate face o modelare sub forma unei structuri filare a suprafeţei Icircn condiţiile icircn care obiectele afectate de unde sunt modelate prin fire subţiri interconectate sub

69


forma unor grile (plase) ecuaţiile integrale de mai icircnainte se simplifică mărimile vectoriale de stare putacircnd fi icircnlocuite prin scalari iar integralele de suprafaţă ndash prin integrale de linii

Această modelare se poate face cu următoarele aproximări curenţii se consideră ca fire de curent icircn axele conductoarelor

(uniform repartizaţi pe secţiune) curenţii transversali se neglijează icircn raport cu cei axiali

Aproximările sunt valabile numai dacă raza conductorului este mult mai mică decacirct lungimea acestuia (condiţia de conductor filiform) dar şi icircn raport cu lungimea de undă a cacircmpului electromagnetic perturbator iar lungimea conductoarelor este mult mai mare decacirct lungimea de undă a cacircmpului (condiţia de propagare)

Teoria liniilor de transmisiuni icircmbină metodele de calcul specifice circuitelor cu parametri concentraţi cu cele caracteristice teoriei antenelor Condiţia de bază pentru aplicarea metodei este ca dimensiunea transversală a obiectului perturbat (circuit echipament linie instalaţie) să fie mai mică decacirct lungimea de undă a cacircmpului perturbator

Ca şi icircn cazul metodei (teoriei) antenelor şi icircn acest caz se ţine seama de fenomenul de propagare

Aceasta icircnseamnă că trebuie icircndeplinită condiţia unde l este lungimea circuitului (obiectului) perturbat sau dimensiunea longitudinală a acestuia

Condiţia de propagare icircn linie presupune că propagarea se produce icircntr-un interval oarecare de timp astfel icircncacirct cele două capete ale liniei nu văd fenomenul simultan (exceptacircnd cazul cacircnd incidenţa cacircmpului la linie se face sub un unghi de 90)

De asemenea propagarea implică apariţia reflexiilor la capetele liniei dacă aceasta nu este adaptată cu alte cuvinte dacă linia nu se icircnchide pe impedanţa caracteristică Icircn condiţiile apariţiei reflexiilor pentru a se putea analiza (şi măsura) undele de tem respectiv de curent induse icircn linie icircnainte de a fi afectate de reflexii este recomandabil ca linia testată (icircn limba engleză EUT ndash Equipment Under Test) să fie suficient de lungă

Metoda poate fi aplicată icircn domeniul frecvenţă sau icircn domeniul timp Icircn domeniul frecvenţă

Un semnal de tip impuls perturbator reprezentat printr-o funcţie de timp f(t) continuă pe porţiuni neperiodică şi integrabilă poate fi reprezentată icircn domeniul frecvenţă cu ajutorul transformatei Fourier respectiv a integralei

(1139)Reprezentarea grafică a variaţiei modulului funcţiei de variabilă

complexă icircn funcţie de frecvenţă reprezintă spectrul funcţiei f(t)Pentru calculul numeric se utilizează transformata Fourier discretă (TFD) cu algoritmul său ndash transformata Fourier rapidă (TFR) avacircndu-se icircn vedere că transformata Fourier (1139) conduce la un număr infinit de iteraţii

70


După efectuarea calculelor se revine icircn domeniul timp cu ajutorul transformatei inverse

(1140)

cu precauţia ca modelarea numerică a impulsului perturbator să conducă la scăderea la zero a acestui impuls icircntr-un interval scurt de timp

1921 Calculul cuplajului perturbator dintre unda plană şi linia de transmisie

Pentru scrierea ecuaţiilor de cuplaj electromagnetic ale unei unde de tip impuls perturbator cu o linie de transmisie (pasivă) se vor utiliza ecuaţiile lui Maxwell (fig 145)

Fig145 Linie de transmisiuni afectată de o undă plană

Prima ecuaţie de cuplaj se obţine pornind de la forma complexă a celei de a doua ecuaţii a lui Maxwell (se presupune că unda oscilează armonic)

(1141)

Se alege conturul de integrare ca icircn figură admiţacircnd o distribuţie de curenţi icircn sol acesta din urmă fiind considerat de conductivitate finită (σs)

Ca urmare ecuaţia (1141) devine

(1142)

Prin icircmpărţire cu z şi trecere la limită (z0) ecuaţia (1142) capătă forma

(1143)

71


Sunt necesare cacircteva precizări icircnălţimea h a liniei faţă de pămacircnt este mult mai mare decacirct raza

conductorului a (hgtgta) lungimea de undă a cacircmpului incident este mai mică decacirct

icircnălţimea conductorului h (h) lungimea liniei l este mult mai mare decacirct lungimea de undă a

cacircmpului perturbator (lgtgt2 - fiind icircndeplinită condiţia de propagare pe linie) şi decacirct h

propagarea cacircmpului icircn conductor este de tipul TEM (Transversal ElectroMagnetic)

(1144)Icircn ecuaţia (1143) termenul Ez(-infinz) este nul deoarece potenţialul

pămacircntului este nulPe baza teoremei potenţialului electric

(1145)potenţialul liniei faţă de pămacircnt devine

(1146)Astfel ecuaţia (1143) revine după schimbarea semnelor la

(1147)

Cum icircn realitate linia nu este un conductor perfect se poate scrie

(1148)

avacircnd icircn vedere faptul că componenta tangenţială a cacircmpului electric pe suprafaţa sa nu poate fi zero depinzacircnd de impedanţa longitudinală de suprafaţă a liniei Zls şi de curentul indus icircn linie


(1149)

Pe de altă parte cacircmpul magnetic total care icircmbrăţişează linia este format din cacircmpul perturbator (direct şi reflectat de solul conductor) şi din cel difractat conform relaţiei

(1150)Integracircnd pe conturul ales rezultă

(1151)

72


cu precizarea că

(1152)

undeI(z) - curentul de retur prin solZrsquos - impedanţa echivalentă a solului

Exprimacircnd ultimii doi termeni ai relaţiei (1151) icircn funcţie de impedanţa echivalentă a solului Zrsquos şi de inductanţa lineică Lrsquoe prima ecuaţie de cuplaj devine

(1153)

respectiv

(1194)

unde- impedanţa longitudinală totală a liniei dată de Zrsquols -

impedanţa de suprafaţă a conductorului Zrsquos - impedanţa echivalentă a solului Lrsquoe - inductanţa lineică externă a conductorului

)zo(E)z0(E tz

pz - icircn conformitate cu teorema conservării componentelor

tangenţiale ale cacircmpului electric la suprafaţa solului

- conform celei de a doua ecuaţii a lui Maxwell

pentru unda transmisă icircn solDe observat că Zrsquols poate fi neglijată icircn raport cu Z`s conductivitatea liniei

fiind mult mai mare decacirct a soluluiAstfel la joasă frecvenţă (δgtgta) se propune pentru Zrsquols relaţia

simplificată

(1155)

unde a ndash raza conductorului linieiσc- conductivitatea conductoruluiLa icircnaltă frecvenţă (δltlta) Zrsquols se poate calcula de asemenea cu o relaţie

simplificată

(1156)

unde d ndash diametrul conductoruluiPentru Zrsquos se propune relaţia

73


(1157)

unde

(1158)

Icircn această expresie γ reprezintă constanta de propagare a undei icircn conductor

A doua ecuaţie de cuplaj se obţine pornind de la prima ecuaţie a lui Maxwell icircn complex

(1159)Dezvoltacircnd operatorul şi păstracircnd termenul corespunzător

componentelor după care variază cacircmpul H de asemenea ţinacircnd seama de legea magnetizaţiei temporare icircn aer şi de legea conducţiei electrice sub forma locală ( ) se obţine ecuaţia

(1160)

care se mai poate scrie sub forma

(1161)

Icircn conformitate cu relaţia (1146) cacircmpul electric devine prin integrare

echivalent potenţialului liniei icircntr-un punct oarecare z al acesteia

(1162)

Icircn continuare se ţine seama de faptul că atacirct By cacirct şi Bz sunt compuse din

cacircte doi termeni Bp şi Bd şi că icircn afară de termenul toate celelalte

integrale sunt nule cacircmpul fiind transversal magnetic (TEM)Avacircnd icircn vedere relaţia (1152) precum şi relaţiile

(1163)

(conform teoremei relaxaţiei) unde Crsquoe reprezintă capacitatea lineică icircn raport cu pămacircntul Grsquoe ndash conductanţa lineică transversală iar v0 ndash viteza de propagare a undei icircn spaţiul liber cea dea doua ecuaţie de cuplaj devine

(1164)

74


Icircn ecuaţia (1164) mărimea Yrsquot reprezintă admitanţa transversală totală a liniei

(1165)

unde Yrsquos reprezintă admitanţa echivalentă a soluluiPentru un element infinitezimal de linie dz se pot pune icircn evidenţă cele

două ecuaţii de cuplaj pe schema electrica echivalentă din figura 146

PrecizareAdmitanţa transversală totală a liniei se obţine astfel

(1166)

cele două impedanţe fiind icircnseriateCa urmare

(1167)

Fig 146 Element de linie echivalent cu parametri distribuiţi şi surse fictive

Astfel cele două ecuaţii de cuplaj sunt

(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75


unde şi reprezintă sursele fictive de tensiune şi curent din linia icircmbrăţişată de cacircmpul perturbator ecuaţiile de cuplaj devin

(1172)

(1173)

Dacă şi sunt impedanţele iar şi curenţii la cele două capete ale liniei se pot pune condiţiile la limită

(1174)

(1175)pentru rezolvarea sistemului

Ecuaţiile (1148) şi (1168) devin icircn domeniul timp

(1176)

(1177)

unde Rrsquoe Lrsquoe Grsquoe Crsquoe reprezintă parametri lineici echivalenţi longitudinali şi transversali

Pentru o rezolvare mai uşoară a acestor ecuaţii este recomandabil a se utiliza metoda diferenţelor finite

1922 Determinarea soluţiilor ecuaţiilor icircn domeniul frecvenţă

Rezolvarea ecuaţiilor (1172) şi (1173) se face icircntr-un mod asemănător cu cea a ecuaţiilor telegrafiştilor (cazul liniilor lungi excitate icircn regim sinusoidal) diferenţa constacircnd icircn existenţa surselor externe fictive corespunzătoare cacircmpului perturbator Determinarea soluţiilor propune doi paşi

determinarea funcţiilor lui Green ca răspuns al liniei la un impuls Dirac calcularea potenţialului liniei şi a curentului propagat pe linie utilizacircnd

integrale de convoluţie prin produsele acestor funcţii (Green) cu sursele distribuite de tensiune şi curent

Icircn acest scop se va utiliza metoda suprapunerii efectelor consideracircnd ecuaţiile de cuplaj liniare şi se va descompune sistemul format din ecuaţiile (1172) (1173) icircn două sisteme distincte prin separarea surselor de tensiune şi curent

76


(1178)

(1179)

unde

(1180)

(1181)Se presupune că linia este excitată la capătul din stacircnga cu un impuls

DiracIcircn aceste condiţii sursele de tensiune şi de curent sunt icircnlocuite de

excitaţia - impuls Dirac iar soluţiile ecuaţiilor de cuplaj vor fi reprezentante de funcţiile lui Green

Aceste soluţii sunt

(1182)

(1183)

unde zp z ndash coordonata unui punct P din linie unde se doreşte a se calcula potenţialul şi curentul respectiv coordonata punctului curent

- funcţia treaptă unitate decalată cu zp- constanta de propagare a liniei

- impedanţa caracteristică a liniei

Constantele A şi B se determină pe bază condiţiilor la limită pentru cele două extremităţi ale liniei

Introducacircnd coeficienţii de reflexie la cele două capete ale liniei

(1184)

(1185)

şi exprimacircnd constantele arbitrare complexe A şi B icircn funcţie de aceştia soluţiile (1183) şi (1184) devin

(1186)

77


(1187)

Icircntr-un mod asemănător se determină soluţiile şi Pentru a calcula icircn final soluţiile ecuaţiilor de cuplaj icircntr-un punct

oarecare P al liniei se vor utiliza integralele de convoluţie Rezultă

(V) (1188)

(A) (1189)

1923 Ecuaţiile de cuplaj icircn ipoteza liniei şi a solului perfect conductoare

Icircn cazul unei linii şi unui sol perfect conductoare componentele tangenţiale ale cacircmpului electric sunt nule Ez(hz)=0 Ez(0z)=0 iar ecuaţiile de cuplaj icircn domeniul frecvenţial vor avea forma

dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde

1924 Comparaţie icircntre abordarea icircn timp şi abordarea icircn frecvenţă

Fiecare dintre cele două moduri de abordare a problemei de interferenţă prezentate are atacirct avantaje cacirct şi dezavantaje Ca urmare la alegerea unuia dintre ele este necesar ca acestea să fie bine cunoscute

78


Principalele avantaje ale abordării icircn domeniul timp constau icircn- utilizarea transformatei Fourier inverse fără erori (riscuri)- oferirea posibilităţii de aplicare a metodelor de calcul şi icircn condiţii de

neliniaritatePrintre dezavantaje se pot evidenţia- durata mare a calculului - modelarea dificilă a parametrilor care depind de frecvenţăIcircn cazul abordării icircn frecvenţă avantajele importante sunt reprezentate de- modelarea uşoară a parametrilor (de mediu şi de circuit) dependenţi de

frecvenţă- durata redusă a calcului prin folosirea unor algoritmi şi programe

specifice metodelor de calcul numeric

193 Cuplaje perturbatoare prin deschideri şi prin difuzie

Carcasele echipamentelor electronice au prin construcţie deschideri (ferestre) pentru ventilaţie alimentare interconectare aparate de măsură deschideri care constituie tot atacirctea căi de acces facil a cacircmpurilor electromagnetice perturbatoare icircn interior

De asemenea uşile şi ferestrele icircncăperilor icircn care sunt situate astfel de echipamente (aflate icircn clădiri din beton armat sau icircn compartimente cu pereţi metalici groşi ca icircn cazul navelor) oferă posibilităţi de pătrundere uşoară a acestor cacircmpuri

Un exemplu simplu de deschidere care permite apariţia unui cuplaj perturbator nedorit este prezentat icircn figura 147a

Pentru o mai bună icircnţelegere a evoluţiei cacircmpului la icircntacirclnirea unei fante practicată icircntr-o carcasă dar şi pentru simplificarea analizei procesului fizic icircn literatura de specialitate se regăsesc tratări distincte ale fenomenului pentru cacircmpul electric respectiv pentru cel magnetic

Astfel dacă icircntr-un ecran metalic s-a practicat o fantă de lungime infinită icircn lungul axei Oz fanta avacircnd lăţimea b şi grosimea d unde b şi d sunt mult mai mici decacirct (λ este lungimea de undă a cacircmpului incident) la nivelul fantei se produce un fenomen de difracţie unda de cacircmp pătrunzacircnd icircn spatele ecranului şi evoluacircnd icircn continuare după o anumită lege (fig 147 b şi c)

a

79


b cFig 147 Pătrunderea cacircmpului printr-o fantă a unei

carcase ndash ecran a undă plană b undă de cacircmp electric c undă de cacircmp magnetic

Ca urmare capacitatea de atenuare (ecranare) a unei incinte icircn care s-au practicat astfel de deschideri se reduce fiind nevoie a se lua măsuri suplimentare de protecţie a echipamentelor din interior

Presupunacircnd că ecranul este confecţionat dintr-un metal de conductivitate infinită expresia cacircmpului electric icircntr-un punct P din interior icircn coordonate cilindrice este de forma (fig 147b)

(1192)

Dacă punctul P este situat pe axa Oy pentru care intensitatea cacircmpului electric devine

(1193)

Din relaţia (1193) se vede că icircn spatele ecranului cacircmpul electric pe direcţia Oy are tendinţa de a creşte brusc la infinit pentru r = 0 după care scade foarte repede

Icircn ceea ce priveşte direcţia liniilor de cacircmp se poate observa din figură că acestea sunt perpendiculare pe suprafeţele echipotenţiale S1 S2 hellip suprafeţe care aparţin unor cilindri situaţi icircn lungul axei Oz

Se consideră acum o undă de cacircmp magnetic tangentă la suprafaţa ecranului (fig 147c)

Expresia intensităţii cacircmpului magnetic icircntr-un punct P situat icircn spatele ecranului icircn coordonate cilindrice este dată de relaţia

(1194)

Icircn spatele ecranului pentru respectiv pe o suprafaţă situată imediat sub fantă se obţine pentru intensitatea cacircmpului expresia

(1195)

80


Ca şi icircn cazul cacircmpului electric cacircmpul magnetic are o tendinţă bruscă de creştere la infinit pentru r = 0 după care va avea o scădere foarte rapidă

Icircn vederea cunoaşterii nivelului potenţial de perturbare a unor circuite (dispozitive) electronice situate icircn interiorul ecranului se determină tensiunea electromotoare indusă icircntr-un conductor avacircnd lungimea de 1 m situat icircn punctul icircn condiţiile unui cacircmp exterior armonic

Astfel pornind de la expresia potenţialului magnetic scalar T icircn complex

determinat icircn punctul P

(1196)

se calculează cacircmpul magnetic icircntr-un punct ca gradient al acestuia sub forma

(1197)

unde t1 reprezintă prima paranteză pătrată a lui (1236) iar t2 ndash cea de a doua Icircn cele două relaţii parametrul reprezintă adacircncimea de pătrundere a cacircmpului magnetic icircn materialul ecranului presupunacircnd că parametrii constitutivi ai ecranului sunt

Icircn continuare se calculează inducţia magnetică şi fluxul magnetic icircn suprafaţa cuprinsă icircntre conductor şi ecran

(1198)

Pe baza legii inducţiei electromagnetice se obţine expresia tensiunii electromotoare induse icircn conductorul de lungime egală cu unitatea icircn complex

(1199)

Icircn domeniul temporal tem indusă se obţine cu ajutorul transformării inverse

(1200)Pentru aceasta se aduce mai icircntacirci termenul complex din şi anume

la forma exponenţială

(1201)

unde

- faza iniţială a lui

81


Ca urmare se poate scrie

(1202)

Din relaţia (1202) se vede că tem indusă icircn conductor depinde de intensitatea cacircmpului magnetic de la suprafaţa ecranului de frecvenţa acestuia de parametrii constitutivi ai materialului ecranului (prin adacircncimea de pătrundere ) şi de cei ai mediului din interior de geometria fantei şi de poziţia punctului icircn care este plasat conductorul Faza tem induse este cuprinsă icircntre zero şi aceasta evoluacircnd icircn urma cacircmpului

Relaţiile (1193) şi (1195) arată posibilitatea pătrunderii cacircmpurilor electric respectiv magnetic icircn interiorul unui ecran sau a unei incinte ecranate printr-o fantă aceasta putacircnd avea consecinţe negative asupra dispozitivelor electronice protejate

Icircn concluzie capacitatea de atenuare (ecranare) a unei incinte icircn care s-au practicat astfel de deschideri se reduce faţă de cazul absenţei acestei incinte fiind nevoie a se lua măsuri suplimentare de protecţie a echipamentelor electronice din interior

82



Avacircnd durate icircn general sub o perioadă (01 - 99) ms microicircntreruperile sunt perturbaţii frecvente ale undei de tensiune din reţeaua de distribuţie Cauzele acestor fenomene constau icircn cuplarea la reţea a unor generatoare sincrone schimbarea ploturilor la transformatoarele de putere pentru reducerea mărirea tensiunii de alimentare anomaliile de scurtă durată care apar icircn funcţionarea generatoarelor sincrone comutaţia mutatoarelor de putere medie şi mare (invertoare convertoare)









surse de comutaţie 10KHz ndash 25MHz reglaje de putere 2KHz ndash 2MHz electropompe navale 01 ndash 1MHz

2 spectrul de frecvenţe a unor perturbaţii tipice transmise prin cacircmp radiat

generatoare de IF şi armonicele oscilaţiilor acestora 30 ndash 1000MHz

comutatoare statice 15KHz ndash 400MHz motoare 10 ndash 400KHz relee chopere 10KHz ndash 200MHz trasee şi legături neecranate 50KHz ndash 4MHz dispozitive de reglare a curenţilor icircn sarcină 100KHz ndash 300MHz

Proprietăţile acestei căi de transmitere pot influenţa pozitiv sau negativ modul icircn care perturbaţiile generate se găsesc la susceptor

Se poate formula concluzia că indiferent de gama frecvenţelor utile dintr-un echipament se impun măsuri de proiectare tehnologică antiperturbativă canalizate atacirct pe căile de transmisie prin conducţie cacirct şi prin radiaţie

Nivelele admise ale perturbaţiilor sunt precizate prin standarde icircnsă echipamentele trebuie concepute şi realizate pentru condiţii mai severe Aceasta deoarece icircn multe situaţii practice cel puţin pentru perioade de timp pasagere au loc acroşări de perturbaţii mai intense identificarea lor efectuacircndu-se cu aparatură de icircnregistrare (bdquoE ndash M ndash signaturerdquo) rareori utilizată icircn interiorul perimetrului naval

Icircn automatizări şi electronică navală apar perturbaţii al căror nivel icircn funcţie de tipul şi situaţia din sistemul considerat poate atinge valori ridicate de ordinul kilovolţilor cu spectre foarte largi icircn domeniul frecvenţă respectiv cu fronturi foarte abrupte icircn domeniul timp

Efectele perturbatoare pot fi create şi prin rezistenţele de fugă prin deplasări mecanice care produc variaţii de capacitaţi sau prin vibrarea unor trasee de curent icircn cacircmpuri magnetice prin fenomene conjugate coroziunii electrice etc Trebuie evidenţiate şi perturbaţiile proprii sistemului de exemplu bdquopop-cornnoiserdquo reflexii cuplaje etc

Perturbaţiile de regim tranzitoriu o categorie importantă a perturbaţiilor electromagnetice se propagă prin conducţie atacirct icircn mod diferenţial (direct) cacirct şi icircn mod comun (prin bucle de curent cu pămacircntul) manifestacircndu-se ca supratensiuni supracurenţi impulsuri şi salve de impulsuri

Printre sursele cele mai importante ale acestor perturbaţii se pot exemplifica

comutările icircn instalaţiile de forţă reconfigurările din mers ale unor subsisteme energetice funcţionarea cu şocuri de sarcină ale motoarelor electrice de

acţionare de dimensiuni mijlocii şi mari (macarale vinciuri cabestane)

şocuri de curent ale arcurilor electrice (cuptoare cu arc sudură electrică)

11


















12
















13





- trigonometrică

(11)

- armonică

(12)

- complexă

(13)


(14)



14







Ran

gul

arm

onic

ii

(n)

Arm

onic

i im

pare

n=3 5 7 9 11 1315 la 39

Arm

onic

i par

e

2 4 6

8 la

40

Am

plit

udin

ea

max

ima

a ar

mon

icii

(A

)

230 114 077 040 033 021 106 043 030



15



(15)














16













(16)unde





17




trei pulsuri (p=3)







18










19









01Hz

1 ndash 50Hz50 Hz


1s

(002 ndash 1)s002 s









20











21













22









23




Supratensiunile








24



(18)

(19)









25


(110)

unde

(111)










(113)

26


(114)


(115)









(117)


27















28


















29











(118)


30













31













(121)

Sau

(122)

unde

32










(123)







33












34












35








(124)







36










(125)


(126)


37


(127)


(128)

sau altfel scris

(129)



(130)

De unde

(131)


(132)rezultă

(133)






38











(134)




39



(135)



(136)








(137)




40













41










42










43








(140)unde



(141)

44



(142)



(144)

Se obţine

(145)

respectiv

(146)





respectiv (147)

sau

(148)



(149)



45









(150)

unde




(151)

unde

46







(152)





(153)


47


(154)


(155)



48





(156)

(157)






(158)

49



(159)


(160)




(161)



(162)



50












51












Ca urmare


52





Rezultă


Xe = 3676 (Ω)








Precizare

53






unde



cu





54














55










echivalentă




56




1

2

3

4

5

(164)

unde


(165)




(168)De unde

57


(169)


(170)


(171)

sau

(172)

Cum rezultă

(173)


(174)

se obţine

(175)b pentru

(176)

se obţine

(177)



58







(178)






59



(180)




(181)





conductoarelor


(183)


60






(185)

respectiv

(186)


(187)

de unde

(188)


(189)


(190)

61











62


Fig142 Antena dipol


(192)


(193)


(194)


(195)

respectiv

(196)


(197)

unde

63






(1100)


(1101)




(1103)


(1104)


64



(1105)


(1106)


(1107)

Din


(1109)


(1110)


(1111)


(1112)


(1113)


65


(1114)Rezultă

(1115)










66












(1116)



(1118)



67


(1120)

(1121)


(1122)

(1123)



(1125)

se obţine

(1126)

respectiv

(1127)



(1128)

de unde

(1129)


(1130)

(1131)

68



(1132)

(1133)



(1134)



(1136)

(1137)



(1138)unde




69















70



(1140)






(1141)



(1142)


(1143)

71











(1147)


(1148)



(1149)



(1151)

72


cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82




























12
















13





- trigonometrică

(11)

- armonică

(12)

- complexă

(13)


(14)



14







Ran

gul

arm

onic

ii

(n)

Arm

onic

i im

pare

n=3 5 7 9 11 1315 la 39

Arm

onic

i par

e

2 4 6

8 la

40

Am

plit

udin

ea

max

ima

a ar

mon

icii

(A

)

230 114 077 040 033 021 106 043 030



15



(15)














16













(16)unde





17




trei pulsuri (p=3)







18










19









01Hz

1 ndash 50Hz50 Hz


1s

(002 ndash 1)s002 s









20











21













22









23




Supratensiunile








24



(18)

(19)









25


(110)

unde

(111)










(113)

26


(114)


(115)









(117)


27















28


















29











(118)


30













31













(121)

Sau

(122)

unde

32










(123)







33












34












35








(124)







36










(125)


(126)


37


(127)


(128)

sau altfel scris

(129)



(130)

De unde

(131)


(132)rezultă

(133)






38











(134)




39



(135)



(136)








(137)




40













41










42










43








(140)unde



(141)

44



(142)



(144)

Se obţine

(145)

respectiv

(146)





respectiv (147)

sau

(148)



(149)



45









(150)

unde




(151)

unde

46







(152)





(153)


47


(154)


(155)



48





(156)

(157)






(158)

49



(159)


(160)




(161)



(162)



50












51












Ca urmare


52





Rezultă


Xe = 3676 (Ω)








Precizare

53






unde



cu





54














55










echivalentă




56




1

2

3

4

5

(164)

unde


(165)




(168)De unde

57


(169)


(170)


(171)

sau

(172)

Cum rezultă

(173)


(174)

se obţine

(175)b pentru

(176)

se obţine

(177)



58







(178)






59



(180)




(181)





conductoarelor


(183)


60






(185)

respectiv

(186)


(187)

de unde

(188)


(189)


(190)

61











62


Fig142 Antena dipol


(192)


(193)


(194)


(195)

respectiv

(196)


(197)

unde

63






(1100)


(1101)




(1103)


(1104)


64



(1105)


(1106)


(1107)

Din


(1109)


(1110)


(1111)


(1112)


(1113)


65


(1114)Rezultă

(1115)










66












(1116)



(1118)



67


(1120)

(1121)


(1122)

(1123)



(1125)

se obţine

(1126)

respectiv

(1127)



(1128)

de unde

(1129)


(1130)

(1131)

68



(1132)

(1133)



(1134)



(1136)

(1137)



(1138)unde




69















70



(1140)






(1141)



(1142)


(1143)

71











(1147)


(1148)



(1149)



(1151)

72


cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82


























13





- trigonometrică

(11)

- armonică

(12)

- complexă

(13)


(14)



14







Ran

gul

arm

onic

ii

(n)

Arm

onic

i im

pare

n=3 5 7 9 11 1315 la 39

Arm

onic

i par

e

2 4 6

8 la

40

Am

plit

udin

ea

max

ima

a ar

mon

icii

(A

)

230 114 077 040 033 021 106 043 030



15



(15)














16













(16)unde





17




trei pulsuri (p=3)







18










19









01Hz

1 ndash 50Hz50 Hz


1s

(002 ndash 1)s002 s









20











21













22









23




Supratensiunile








24



(18)

(19)









25


(110)

unde

(111)










(113)

26


(114)


(115)









(117)


27















28


















29











(118)


30













31













(121)

Sau

(122)

unde

32










(123)







33












34












35








(124)







36










(125)


(126)


37


(127)


(128)

sau altfel scris

(129)



(130)

De unde

(131)


(132)rezultă

(133)






38











(134)




39



(135)



(136)








(137)




40













41










42










43








(140)unde



(141)

44



(142)



(144)

Se obţine

(145)

respectiv

(146)





respectiv (147)

sau

(148)



(149)



45









(150)

unde




(151)

unde

46







(152)





(153)


47


(154)


(155)



48





(156)

(157)






(158)

49



(159)


(160)




(161)



(162)



50












51












Ca urmare


52





Rezultă


Xe = 3676 (Ω)








Precizare

53






unde



cu





54














55










echivalentă




56




1

2

3

4

5

(164)

unde


(165)




(168)De unde

57


(169)


(170)


(171)

sau

(172)

Cum rezultă

(173)


(174)

se obţine

(175)b pentru

(176)

se obţine

(177)



58







(178)






59



(180)




(181)





conductoarelor


(183)


60






(185)

respectiv

(186)


(187)

de unde

(188)


(189)


(190)

61











62


Fig142 Antena dipol


(192)


(193)


(194)


(195)

respectiv

(196)


(197)

unde

63






(1100)


(1101)




(1103)


(1104)


64



(1105)


(1106)


(1107)

Din


(1109)


(1110)


(1111)


(1112)


(1113)


65


(1114)Rezultă

(1115)










66












(1116)



(1118)



67


(1120)

(1121)


(1122)

(1123)



(1125)

se obţine

(1126)

respectiv

(1127)



(1128)

de unde

(1129)


(1130)

(1131)

68



(1132)

(1133)



(1134)



(1136)

(1137)



(1138)unde




69















70



(1140)






(1141)



(1142)


(1143)

71











(1147)


(1148)



(1149)



(1151)

72


cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82















- trigonometrică

(11)

- armonică

(12)

- complexă

(13)


(14)



14







Ran

gul

arm

onic

ii

(n)

Arm

onic

i im

pare

n=3 5 7 9 11 1315 la 39

Arm

onic

i par

e

2 4 6

8 la

40

Am

plit

udin

ea

max

ima

a ar

mon

icii

(A

)

230 114 077 040 033 021 106 043 030



15



(15)














16













(16)unde





17




trei pulsuri (p=3)







18










19









01Hz

1 ndash 50Hz50 Hz


1s

(002 ndash 1)s002 s









20











21













22









23




Supratensiunile








24



(18)

(19)









25


(110)

unde

(111)










(113)

26


(114)


(115)









(117)


27















28


















29











(118)


30













31













(121)

Sau

(122)

unde

32










(123)







33












34












35








(124)







36










(125)


(126)


37


(127)


(128)

sau altfel scris

(129)



(130)

De unde

(131)


(132)rezultă

(133)






38











(134)




39



(135)



(136)








(137)




40













41










42










43








(140)unde



(141)

44



(142)



(144)

Se obţine

(145)

respectiv

(146)





respectiv (147)

sau

(148)



(149)



45









(150)

unde




(151)

unde

46







(152)





(153)


47


(154)


(155)



48





(156)

(157)






(158)

49



(159)


(160)




(161)



(162)



50












51












Ca urmare


52





Rezultă


Xe = 3676 (Ω)








Precizare

53






unde



cu





54














55










echivalentă




56




1

2

3

4

5

(164)

unde


(165)




(168)De unde

57


(169)


(170)


(171)

sau

(172)

Cum rezultă

(173)


(174)

se obţine

(175)b pentru

(176)

se obţine

(177)



58







(178)






59



(180)




(181)





conductoarelor


(183)


60






(185)

respectiv

(186)


(187)

de unde

(188)


(189)


(190)

61











62


Fig142 Antena dipol


(192)


(193)


(194)


(195)

respectiv

(196)


(197)

unde

63






(1100)


(1101)




(1103)


(1104)


64



(1105)


(1106)


(1107)

Din


(1109)


(1110)


(1111)


(1112)


(1113)


65


(1114)Rezultă

(1115)










66












(1116)



(1118)



67


(1120)

(1121)


(1122)

(1123)



(1125)

se obţine

(1126)

respectiv

(1127)



(1128)

de unde

(1129)


(1130)

(1131)

68



(1132)

(1133)



(1134)



(1136)

(1137)



(1138)unde




69















70



(1140)






(1141)



(1142)


(1143)

71











(1147)


(1148)



(1149)



(1151)

72


cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82

















Ran

gul

arm

onic

ii

(n)

Arm

onic

i im

pare

n=3 5 7 9 11 1315 la 39

Arm

onic

i par

e

2 4 6

8 la

40

Am

plit

udin

ea

max

ima

a ar

mon

icii

(A

)

230 114 077 040 033 021 106 043 030



15



(15)














16













(16)unde





17




trei pulsuri (p=3)







18










19









01Hz

1 ndash 50Hz50 Hz


1s

(002 ndash 1)s002 s









20











21













22









23




Supratensiunile








24



(18)

(19)









25


(110)

unde

(111)










(113)

26


(114)


(115)









(117)


27















28


















29











(118)


30













31













(121)

Sau

(122)

unde

32










(123)







33












34












35








(124)







36










(125)


(126)


37


(127)


(128)

sau altfel scris

(129)



(130)

De unde

(131)


(132)rezultă

(133)






38











(134)




39



(135)



(136)








(137)




40













41










42










43








(140)unde



(141)

44



(142)



(144)

Se obţine

(145)

respectiv

(146)





respectiv (147)

sau

(148)



(149)



45









(150)

unde




(151)

unde

46







(152)





(153)


47


(154)


(155)



48





(156)

(157)






(158)

49



(159)


(160)




(161)



(162)



50












51












Ca urmare


52





Rezultă


Xe = 3676 (Ω)








Precizare

53






unde



cu





54














55










echivalentă




56




1

2

3

4

5

(164)

unde


(165)




(168)De unde

57


(169)


(170)


(171)

sau

(172)

Cum rezultă

(173)


(174)

se obţine

(175)b pentru

(176)

se obţine

(177)



58







(178)






59



(180)




(181)





conductoarelor


(183)


60






(185)

respectiv

(186)


(187)

de unde

(188)


(189)


(190)

61











62


Fig142 Antena dipol


(192)


(193)


(194)


(195)

respectiv

(196)


(197)

unde

63






(1100)


(1101)




(1103)


(1104)


64



(1105)


(1106)


(1107)

Din


(1109)


(1110)


(1111)


(1112)


(1113)


65


(1114)Rezultă

(1115)










66












(1116)



(1118)



67


(1120)

(1121)


(1122)

(1123)



(1125)

se obţine

(1126)

respectiv

(1127)



(1128)

de unde

(1129)


(1130)

(1131)

68



(1132)

(1133)



(1134)



(1136)

(1137)



(1138)unde




69















70



(1140)






(1141)



(1142)


(1143)

71











(1147)


(1148)



(1149)



(1151)

72


cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82













(15)














16













(16)unde





17




trei pulsuri (p=3)







18










19









01Hz

1 ndash 50Hz50 Hz


1s

(002 ndash 1)s002 s









20











21













22









23




Supratensiunile








24



(18)

(19)









25


(110)

unde

(111)










(113)

26


(114)


(115)









(117)


27















28


















29











(118)


30













31













(121)

Sau

(122)

unde

32










(123)







33












34












35








(124)







36










(125)


(126)


37


(127)


(128)

sau altfel scris

(129)



(130)

De unde

(131)


(132)rezultă

(133)






38











(134)




39



(135)



(136)








(137)




40













41










42










43








(140)unde



(141)

44



(142)



(144)

Se obţine

(145)

respectiv

(146)





respectiv (147)

sau

(148)



(149)



45









(150)

unde




(151)

unde

46







(152)





(153)


47


(154)


(155)



48





(156)

(157)






(158)

49



(159)


(160)




(161)



(162)



50












51












Ca urmare


52





Rezultă


Xe = 3676 (Ω)








Precizare

53






unde



cu





54














55










echivalentă




56




1

2

3

4

5

(164)

unde


(165)




(168)De unde

57


(169)


(170)


(171)

sau

(172)

Cum rezultă

(173)


(174)

se obţine

(175)b pentru

(176)

se obţine

(177)



58







(178)






59



(180)




(181)





conductoarelor


(183)


60






(185)

respectiv

(186)


(187)

de unde

(188)


(189)


(190)

61











62


Fig142 Antena dipol


(192)


(193)


(194)


(195)

respectiv

(196)


(197)

unde

63






(1100)


(1101)




(1103)


(1104)


64



(1105)


(1106)


(1107)

Din


(1109)


(1110)


(1111)


(1112)


(1113)


65


(1114)Rezultă

(1115)










66












(1116)



(1118)



67


(1120)

(1121)


(1122)

(1123)



(1125)

se obţine

(1126)

respectiv

(1127)



(1128)

de unde

(1129)


(1130)

(1131)

68



(1132)

(1133)



(1134)



(1136)

(1137)



(1138)unde




69















70



(1140)






(1141)



(1142)


(1143)

71











(1147)


(1148)



(1149)



(1151)

72


cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82























(16)unde





17




trei pulsuri (p=3)







18










19









01Hz

1 ndash 50Hz50 Hz


1s

(002 ndash 1)s002 s









20











21













22









23




Supratensiunile








24



(18)

(19)









25


(110)

unde

(111)










(113)

26


(114)


(115)









(117)


27















28


















29











(118)


30













31













(121)

Sau

(122)

unde

32










(123)







33












34












35








(124)







36










(125)


(126)


37


(127)


(128)

sau altfel scris

(129)



(130)

De unde

(131)


(132)rezultă

(133)






38











(134)




39



(135)



(136)








(137)




40













41










42










43








(140)unde



(141)

44



(142)



(144)

Se obţine

(145)

respectiv

(146)





respectiv (147)

sau

(148)



(149)



45









(150)

unde




(151)

unde

46







(152)





(153)


47


(154)


(155)



48





(156)

(157)






(158)

49



(159)


(160)




(161)



(162)



50












51












Ca urmare


52





Rezultă


Xe = 3676 (Ω)








Precizare

53






unde



cu





54














55










echivalentă




56




1

2

3

4

5

(164)

unde


(165)




(168)De unde

57


(169)


(170)


(171)

sau

(172)

Cum rezultă

(173)


(174)

se obţine

(175)b pentru

(176)

se obţine

(177)



58







(178)






59



(180)




(181)





conductoarelor


(183)


60






(185)

respectiv

(186)


(187)

de unde

(188)


(189)


(190)

61











62


Fig142 Antena dipol


(192)


(193)


(194)


(195)

respectiv

(196)


(197)

unde

63






(1100)


(1101)




(1103)


(1104)


64



(1105)


(1106)


(1107)

Din


(1109)


(1110)


(1111)


(1112)


(1113)


65


(1114)Rezultă

(1115)










66












(1116)



(1118)



67


(1120)

(1121)


(1122)

(1123)



(1125)

se obţine

(1126)

respectiv

(1127)



(1128)

de unde

(1129)


(1130)

(1131)

68



(1132)

(1133)



(1134)



(1136)

(1137)



(1138)unde




69















70



(1140)






(1141)



(1142)


(1143)

71











(1147)


(1148)



(1149)



(1151)

72


cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82














trei pulsuri (p=3)







18










19









01Hz

1 ndash 50Hz50 Hz


1s

(002 ndash 1)s002 s









20











21













22









23




Supratensiunile








24



(18)

(19)









25


(110)

unde

(111)










(113)

26


(114)


(115)









(117)


27















28


















29











(118)


30













31













(121)

Sau

(122)

unde

32










(123)







33












34












35








(124)







36










(125)


(126)


37


(127)


(128)

sau altfel scris

(129)



(130)

De unde

(131)


(132)rezultă

(133)






38











(134)




39



(135)



(136)








(137)




40













41










42










43








(140)unde



(141)

44



(142)



(144)

Se obţine

(145)

respectiv

(146)





respectiv (147)

sau

(148)



(149)



45









(150)

unde




(151)

unde

46







(152)





(153)


47


(154)


(155)



48





(156)

(157)






(158)

49



(159)


(160)




(161)



(162)



50












51












Ca urmare


52





Rezultă


Xe = 3676 (Ω)








Precizare

53






unde



cu





54














55










echivalentă




56




1

2

3

4

5

(164)

unde


(165)




(168)De unde

57


(169)


(170)


(171)

sau

(172)

Cum rezultă

(173)


(174)

se obţine

(175)b pentru

(176)

se obţine

(177)



58







(178)






59



(180)




(181)





conductoarelor


(183)


60






(185)

respectiv

(186)


(187)

de unde

(188)


(189)


(190)

61











62


Fig142 Antena dipol


(192)


(193)


(194)


(195)

respectiv

(196)


(197)

unde

63






(1100)


(1101)




(1103)


(1104)


64



(1105)


(1106)


(1107)

Din


(1109)


(1110)


(1111)


(1112)


(1113)


65


(1114)Rezultă

(1115)










66












(1116)



(1118)



67


(1120)

(1121)


(1122)

(1123)



(1125)

se obţine

(1126)

respectiv

(1127)



(1128)

de unde

(1129)


(1130)

(1131)

68



(1132)

(1133)



(1134)



(1136)

(1137)



(1138)unde




69















70



(1140)






(1141)



(1142)


(1143)

71











(1147)


(1148)



(1149)



(1151)

72


cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82




















19









01Hz

1 ndash 50Hz50 Hz


1s

(002 ndash 1)s002 s









20











21













22









23




Supratensiunile








24



(18)

(19)









25


(110)

unde

(111)










(113)

26


(114)


(115)









(117)


27















28


















29











(118)


30













31













(121)

Sau

(122)

unde

32










(123)







33












34












35








(124)







36










(125)


(126)


37


(127)


(128)

sau altfel scris

(129)



(130)

De unde

(131)


(132)rezultă

(133)






38











(134)




39



(135)



(136)








(137)




40













41










42










43








(140)unde



(141)

44



(142)



(144)

Se obţine

(145)

respectiv

(146)





respectiv (147)

sau

(148)



(149)



45









(150)

unde




(151)

unde

46







(152)





(153)


47


(154)


(155)



48





(156)

(157)






(158)

49



(159)


(160)




(161)



(162)



50












51












Ca urmare


52





Rezultă


Xe = 3676 (Ω)








Precizare

53






unde



cu





54














55










echivalentă




56




1

2

3

4

5

(164)

unde


(165)




(168)De unde

57


(169)


(170)


(171)

sau

(172)

Cum rezultă

(173)


(174)

se obţine

(175)b pentru

(176)

se obţine

(177)



58







(178)






59



(180)




(181)





conductoarelor


(183)


60






(185)

respectiv

(186)


(187)

de unde

(188)


(189)


(190)

61











62


Fig142 Antena dipol


(192)


(193)


(194)


(195)

respectiv

(196)


(197)

unde

63






(1100)


(1101)




(1103)


(1104)


64



(1105)


(1106)


(1107)

Din


(1109)


(1110)


(1111)


(1112)


(1113)


65


(1114)Rezultă

(1115)










66












(1116)



(1118)



67


(1120)

(1121)


(1122)

(1123)



(1125)

se obţine

(1126)

respectiv

(1127)



(1128)

de unde

(1129)


(1130)

(1131)

68



(1132)

(1133)



(1134)



(1136)

(1137)



(1138)unde




69















70



(1140)






(1141)



(1142)


(1143)

71











(1147)


(1148)



(1149)



(1151)

72


cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82



















01Hz

1 ndash 50Hz50 Hz


1s

(002 ndash 1)s002 s









20











21













22









23




Supratensiunile








24



(18)

(19)









25


(110)

unde

(111)










(113)

26


(114)


(115)









(117)


27















28


















29











(118)


30













31













(121)

Sau

(122)

unde

32










(123)







33












34












35








(124)







36










(125)


(126)


37


(127)


(128)

sau altfel scris

(129)



(130)

De unde

(131)


(132)rezultă

(133)






38











(134)




39



(135)



(136)








(137)




40













41










42










43








(140)unde



(141)

44



(142)



(144)

Se obţine

(145)

respectiv

(146)





respectiv (147)

sau

(148)



(149)



45









(150)

unde




(151)

unde

46







(152)





(153)


47


(154)


(155)



48





(156)

(157)






(158)

49



(159)


(160)




(161)



(162)



50












51












Ca urmare


52





Rezultă


Xe = 3676 (Ω)








Precizare

53






unde



cu





54














55










echivalentă




56




1

2

3

4

5

(164)

unde


(165)




(168)De unde

57


(169)


(170)


(171)

sau

(172)

Cum rezultă

(173)


(174)

se obţine

(175)b pentru

(176)

se obţine

(177)



58







(178)






59



(180)




(181)





conductoarelor


(183)


60






(185)

respectiv

(186)


(187)

de unde

(188)


(189)


(190)

61











62


Fig142 Antena dipol


(192)


(193)


(194)


(195)

respectiv

(196)


(197)

unde

63






(1100)


(1101)




(1103)


(1104)


64



(1105)


(1106)


(1107)

Din


(1109)


(1110)


(1111)


(1112)


(1113)


65


(1114)Rezultă

(1115)










66












(1116)



(1118)



67


(1120)

(1121)


(1122)

(1123)



(1125)

se obţine

(1126)

respectiv

(1127)



(1128)

de unde

(1129)


(1130)

(1131)

68



(1132)

(1133)



(1134)



(1136)

(1137)



(1138)unde




69















70



(1140)






(1141)



(1142)


(1143)

71











(1147)


(1148)



(1149)



(1151)

72


cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82





















21













22









23




Supratensiunile








24



(18)

(19)









25


(110)

unde

(111)










(113)

26


(114)


(115)









(117)


27















28


















29











(118)


30













31













(121)

Sau

(122)

unde

32










(123)







33












34












35








(124)







36










(125)


(126)


37


(127)


(128)

sau altfel scris

(129)



(130)

De unde

(131)


(132)rezultă

(133)






38











(134)




39



(135)



(136)








(137)




40













41










42










43








(140)unde



(141)

44



(142)



(144)

Se obţine

(145)

respectiv

(146)





respectiv (147)

sau

(148)



(149)



45









(150)

unde




(151)

unde

46







(152)





(153)


47


(154)


(155)



48





(156)

(157)






(158)

49



(159)


(160)




(161)



(162)



50












51












Ca urmare


52





Rezultă


Xe = 3676 (Ω)








Precizare

53






unde



cu





54














55










echivalentă




56




1

2

3

4

5

(164)

unde


(165)




(168)De unde

57


(169)


(170)


(171)

sau

(172)

Cum rezultă

(173)


(174)

se obţine

(175)b pentru

(176)

se obţine

(177)



58







(178)






59



(180)




(181)





conductoarelor


(183)


60






(185)

respectiv

(186)


(187)

de unde

(188)


(189)


(190)

61











62


Fig142 Antena dipol


(192)


(193)


(194)


(195)

respectiv

(196)


(197)

unde

63






(1100)


(1101)




(1103)


(1104)


64



(1105)


(1106)


(1107)

Din


(1109)


(1110)


(1111)


(1112)


(1113)


65


(1114)Rezultă

(1115)










66












(1116)



(1118)



67


(1120)

(1121)


(1122)

(1123)



(1125)

se obţine

(1126)

respectiv

(1127)



(1128)

de unde

(1129)


(1130)

(1131)

68



(1132)

(1133)



(1134)



(1136)

(1137)



(1138)unde




69















70



(1140)






(1141)



(1142)


(1143)

71











(1147)


(1148)



(1149)



(1151)

72


cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82























22









23




Supratensiunile








24



(18)

(19)









25


(110)

unde

(111)










(113)

26


(114)


(115)









(117)


27















28


















29











(118)


30













31













(121)

Sau

(122)

unde

32










(123)







33












34












35








(124)







36










(125)


(126)


37


(127)


(128)

sau altfel scris

(129)



(130)

De unde

(131)


(132)rezultă

(133)






38











(134)




39



(135)



(136)








(137)




40













41










42










43








(140)unde



(141)

44



(142)



(144)

Se obţine

(145)

respectiv

(146)





respectiv (147)

sau

(148)



(149)



45









(150)

unde




(151)

unde

46







(152)





(153)


47


(154)


(155)



48





(156)

(157)






(158)

49



(159)


(160)




(161)



(162)



50












51












Ca urmare


52





Rezultă


Xe = 3676 (Ω)








Precizare

53






unde



cu





54














55










echivalentă




56




1

2

3

4

5

(164)

unde


(165)




(168)De unde

57


(169)


(170)


(171)

sau

(172)

Cum rezultă

(173)


(174)

se obţine

(175)b pentru

(176)

se obţine

(177)



58







(178)






59



(180)




(181)





conductoarelor


(183)


60






(185)

respectiv

(186)


(187)

de unde

(188)


(189)


(190)

61











62


Fig142 Antena dipol


(192)


(193)


(194)


(195)

respectiv

(196)


(197)

unde

63






(1100)


(1101)




(1103)


(1104)


64



(1105)


(1106)


(1107)

Din


(1109)


(1110)


(1111)


(1112)


(1113)


65


(1114)Rezultă

(1115)










66












(1116)



(1118)



67


(1120)

(1121)


(1122)

(1123)



(1125)

se obţine

(1126)

respectiv

(1127)



(1128)

de unde

(1129)


(1130)

(1131)

68



(1132)

(1133)



(1134)



(1136)

(1137)



(1138)unde




69















70



(1140)






(1141)



(1142)


(1143)

71











(1147)


(1148)



(1149)



(1151)

72


cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82



















23




Supratensiunile








24



(18)

(19)









25


(110)

unde

(111)










(113)

26


(114)


(115)









(117)


27















28


















29











(118)


30













31













(121)

Sau

(122)

unde

32










(123)







33












34












35








(124)







36










(125)


(126)


37


(127)


(128)

sau altfel scris

(129)



(130)

De unde

(131)


(132)rezultă

(133)






38











(134)




39



(135)



(136)








(137)




40













41










42










43








(140)unde



(141)

44



(142)



(144)

Se obţine

(145)

respectiv

(146)





respectiv (147)

sau

(148)



(149)



45









(150)

unde




(151)

unde

46







(152)





(153)


47


(154)


(155)



48





(156)

(157)






(158)

49



(159)


(160)




(161)



(162)



50












51












Ca urmare


52





Rezultă


Xe = 3676 (Ω)








Precizare

53






unde



cu





54














55










echivalentă




56




1

2

3

4

5

(164)

unde


(165)




(168)De unde

57


(169)


(170)


(171)

sau

(172)

Cum rezultă

(173)


(174)

se obţine

(175)b pentru

(176)

se obţine

(177)



58







(178)






59



(180)




(181)





conductoarelor


(183)


60






(185)

respectiv

(186)


(187)

de unde

(188)


(189)


(190)

61











62


Fig142 Antena dipol


(192)


(193)


(194)


(195)

respectiv

(196)


(197)

unde

63






(1100)


(1101)




(1103)


(1104)


64



(1105)


(1106)


(1107)

Din


(1109)


(1110)


(1111)


(1112)


(1113)


65


(1114)Rezultă

(1115)










66












(1116)



(1118)



67


(1120)

(1121)


(1122)

(1123)



(1125)

se obţine

(1126)

respectiv

(1127)



(1128)

de unde

(1129)


(1130)

(1131)

68



(1132)

(1133)



(1134)



(1136)

(1137)



(1138)unde




69















70



(1140)






(1141)



(1142)


(1143)

71











(1147)


(1148)



(1149)



(1151)

72


cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82














Supratensiunile








24



(18)

(19)









25


(110)

unde

(111)










(113)

26


(114)


(115)









(117)


27















28


















29











(118)


30













31













(121)

Sau

(122)

unde

32










(123)







33












34












35








(124)







36










(125)


(126)


37


(127)


(128)

sau altfel scris

(129)



(130)

De unde

(131)


(132)rezultă

(133)






38











(134)




39



(135)



(136)








(137)




40













41










42










43








(140)unde



(141)

44



(142)



(144)

Se obţine

(145)

respectiv

(146)





respectiv (147)

sau

(148)



(149)



45









(150)

unde




(151)

unde

46







(152)





(153)


47


(154)


(155)



48





(156)

(157)






(158)

49



(159)


(160)




(161)



(162)



50












51












Ca urmare


52





Rezultă


Xe = 3676 (Ω)








Precizare

53






unde



cu





54














55










echivalentă




56




1

2

3

4

5

(164)

unde


(165)




(168)De unde

57


(169)


(170)


(171)

sau

(172)

Cum rezultă

(173)


(174)

se obţine

(175)b pentru

(176)

se obţine

(177)



58







(178)






59



(180)




(181)





conductoarelor


(183)


60






(185)

respectiv

(186)


(187)

de unde

(188)


(189)


(190)

61











62


Fig142 Antena dipol


(192)


(193)


(194)


(195)

respectiv

(196)


(197)

unde

63






(1100)


(1101)




(1103)


(1104)


64



(1105)


(1106)


(1107)

Din


(1109)


(1110)


(1111)


(1112)


(1113)


65


(1114)Rezultă

(1115)










66












(1116)



(1118)



67


(1120)

(1121)


(1122)

(1123)



(1125)

se obţine

(1126)

respectiv

(1127)



(1128)

de unde

(1129)


(1130)

(1131)

68



(1132)

(1133)



(1134)



(1136)

(1137)



(1138)unde




69















70



(1140)






(1141)



(1142)


(1143)

71











(1147)


(1148)



(1149)



(1151)

72


cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82













(18)

(19)









25


(110)

unde

(111)










(113)

26


(114)


(115)









(117)


27















28


















29











(118)


30













31













(121)

Sau

(122)

unde

32










(123)







33












34












35








(124)







36










(125)


(126)


37


(127)


(128)

sau altfel scris

(129)



(130)

De unde

(131)


(132)rezultă

(133)






38











(134)




39



(135)



(136)








(137)




40













41










42










43








(140)unde



(141)

44



(142)



(144)

Se obţine

(145)

respectiv

(146)





respectiv (147)

sau

(148)



(149)



45









(150)

unde




(151)

unde

46







(152)





(153)


47


(154)


(155)



48





(156)

(157)






(158)

49



(159)


(160)




(161)



(162)



50












51












Ca urmare


52





Rezultă


Xe = 3676 (Ω)








Precizare

53






unde



cu





54














55










echivalentă




56




1

2

3

4

5

(164)

unde


(165)




(168)De unde

57


(169)


(170)


(171)

sau

(172)

Cum rezultă

(173)


(174)

se obţine

(175)b pentru

(176)

se obţine

(177)



58







(178)






59



(180)




(181)





conductoarelor


(183)


60






(185)

respectiv

(186)


(187)

de unde

(188)


(189)


(190)

61











62


Fig142 Antena dipol


(192)


(193)


(194)


(195)

respectiv

(196)


(197)

unde

63






(1100)


(1101)




(1103)


(1104)


64



(1105)


(1106)


(1107)

Din


(1109)


(1110)


(1111)


(1112)


(1113)


65


(1114)Rezultă

(1115)










66












(1116)



(1118)



67


(1120)

(1121)


(1122)

(1123)



(1125)

se obţine

(1126)

respectiv

(1127)



(1128)

de unde

(1129)


(1130)

(1131)

68



(1132)

(1133)



(1134)



(1136)

(1137)



(1138)unde




69















70



(1140)






(1141)



(1142)


(1143)

71











(1147)


(1148)



(1149)



(1151)

72


cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82












(110)

unde

(111)










(113)

26


(114)


(115)









(117)


27















28


















29











(118)


30













31













(121)

Sau

(122)

unde

32










(123)







33












34












35








(124)







36










(125)


(126)


37


(127)


(128)

sau altfel scris

(129)



(130)

De unde

(131)


(132)rezultă

(133)






38











(134)




39



(135)



(136)








(137)




40













41










42










43








(140)unde



(141)

44



(142)



(144)

Se obţine

(145)

respectiv

(146)





respectiv (147)

sau

(148)



(149)



45









(150)

unde




(151)

unde

46







(152)





(153)


47


(154)


(155)



48





(156)

(157)






(158)

49



(159)


(160)




(161)



(162)



50












51












Ca urmare


52





Rezultă


Xe = 3676 (Ω)








Precizare

53






unde



cu





54














55










echivalentă




56




1

2

3

4

5

(164)

unde


(165)




(168)De unde

57


(169)


(170)


(171)

sau

(172)

Cum rezultă

(173)


(174)

se obţine

(175)b pentru

(176)

se obţine

(177)



58







(178)






59



(180)




(181)





conductoarelor


(183)


60






(185)

respectiv

(186)


(187)

de unde

(188)


(189)


(190)

61











62


Fig142 Antena dipol


(192)


(193)


(194)


(195)

respectiv

(196)


(197)

unde

63






(1100)


(1101)




(1103)


(1104)


64



(1105)


(1106)


(1107)

Din


(1109)


(1110)


(1111)


(1112)


(1113)


65


(1114)Rezultă

(1115)










66












(1116)



(1118)



67


(1120)

(1121)


(1122)

(1123)



(1125)

se obţine

(1126)

respectiv

(1127)



(1128)

de unde

(1129)


(1130)

(1131)

68



(1132)

(1133)



(1134)



(1136)

(1137)



(1138)unde




69















70



(1140)






(1141)



(1142)


(1143)

71











(1147)


(1148)



(1149)



(1151)

72


cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82












(114)


(115)









(117)


27















28


















29











(118)


30













31













(121)

Sau

(122)

unde

32










(123)







33












34












35








(124)







36










(125)


(126)


37


(127)


(128)

sau altfel scris

(129)



(130)

De unde

(131)


(132)rezultă

(133)






38











(134)




39



(135)



(136)








(137)




40













41










42










43








(140)unde



(141)

44



(142)



(144)

Se obţine

(145)

respectiv

(146)





respectiv (147)

sau

(148)



(149)



45









(150)

unde




(151)

unde

46







(152)





(153)


47


(154)


(155)



48





(156)

(157)






(158)

49



(159)


(160)




(161)



(162)



50












51












Ca urmare


52





Rezultă


Xe = 3676 (Ω)








Precizare

53






unde



cu





54














55










echivalentă




56




1

2

3

4

5

(164)

unde


(165)




(168)De unde

57


(169)


(170)


(171)

sau

(172)

Cum rezultă

(173)


(174)

se obţine

(175)b pentru

(176)

se obţine

(177)



58







(178)






59



(180)




(181)





conductoarelor


(183)


60






(185)

respectiv

(186)


(187)

de unde

(188)


(189)


(190)

61











62


Fig142 Antena dipol


(192)


(193)


(194)


(195)

respectiv

(196)


(197)

unde

63






(1100)


(1101)




(1103)


(1104)


64



(1105)


(1106)


(1107)

Din


(1109)


(1110)


(1111)


(1112)


(1113)


65


(1114)Rezultă

(1115)










66












(1116)



(1118)



67


(1120)

(1121)


(1122)

(1123)



(1125)

se obţine

(1126)

respectiv

(1127)



(1128)

de unde

(1129)


(1130)

(1131)

68



(1132)

(1133)



(1134)



(1136)

(1137)



(1138)unde




69















70



(1140)






(1141)



(1142)


(1143)

71











(1147)


(1148)



(1149)



(1151)

72


cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82

























28


















29











(118)


30













31













(121)

Sau

(122)

unde

32










(123)







33












34












35








(124)







36










(125)


(126)


37


(127)


(128)

sau altfel scris

(129)



(130)

De unde

(131)


(132)rezultă

(133)






38











(134)




39



(135)



(136)








(137)




40













41










42










43








(140)unde



(141)

44



(142)



(144)

Se obţine

(145)

respectiv

(146)





respectiv (147)

sau

(148)



(149)



45









(150)

unde




(151)

unde

46







(152)





(153)


47


(154)


(155)



48





(156)

(157)






(158)

49



(159)


(160)




(161)



(162)



50












51












Ca urmare


52





Rezultă


Xe = 3676 (Ω)








Precizare

53






unde



cu





54














55










echivalentă




56




1

2

3

4

5

(164)

unde


(165)




(168)De unde

57


(169)


(170)


(171)

sau

(172)

Cum rezultă

(173)


(174)

se obţine

(175)b pentru

(176)

se obţine

(177)



58







(178)






59



(180)




(181)





conductoarelor


(183)


60






(185)

respectiv

(186)


(187)

de unde

(188)


(189)


(190)

61











62


Fig142 Antena dipol


(192)


(193)


(194)


(195)

respectiv

(196)


(197)

unde

63






(1100)


(1101)




(1103)


(1104)


64



(1105)


(1106)


(1107)

Din


(1109)


(1110)


(1111)


(1112)


(1113)


65


(1114)Rezultă

(1115)










66












(1116)



(1118)



67


(1120)

(1121)


(1122)

(1123)



(1125)

se obţine

(1126)

respectiv

(1127)



(1128)

de unde

(1129)


(1130)

(1131)

68



(1132)

(1133)



(1134)



(1136)

(1137)



(1138)unde




69















70



(1140)






(1141)



(1142)


(1143)

71











(1147)


(1148)



(1149)



(1151)

72


cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82




























29











(118)


30













31













(121)

Sau

(122)

unde

32










(123)







33












34












35








(124)







36










(125)


(126)


37


(127)


(128)

sau altfel scris

(129)



(130)

De unde

(131)


(132)rezultă

(133)






38











(134)




39



(135)



(136)








(137)




40













41










42










43








(140)unde



(141)

44



(142)



(144)

Se obţine

(145)

respectiv

(146)





respectiv (147)

sau

(148)



(149)



45









(150)

unde




(151)

unde

46







(152)





(153)


47


(154)


(155)



48





(156)

(157)






(158)

49



(159)


(160)




(161)



(162)



50












51












Ca urmare


52





Rezultă


Xe = 3676 (Ω)








Precizare

53






unde



cu





54














55










echivalentă




56




1

2

3

4

5

(164)

unde


(165)




(168)De unde

57


(169)


(170)


(171)

sau

(172)

Cum rezultă

(173)


(174)

se obţine

(175)b pentru

(176)

se obţine

(177)



58







(178)






59



(180)




(181)





conductoarelor


(183)


60






(185)

respectiv

(186)


(187)

de unde

(188)


(189)


(190)

61











62


Fig142 Antena dipol


(192)


(193)


(194)


(195)

respectiv

(196)


(197)

unde

63






(1100)


(1101)




(1103)


(1104)


64



(1105)


(1106)


(1107)

Din


(1109)


(1110)


(1111)


(1112)


(1113)


65


(1114)Rezultă

(1115)










66












(1116)



(1118)



67


(1120)

(1121)


(1122)

(1123)



(1125)

se obţine

(1126)

respectiv

(1127)



(1128)

de unde

(1129)


(1130)

(1131)

68



(1132)

(1133)



(1134)



(1136)

(1137)



(1138)unde




69















70



(1140)






(1141)



(1142)


(1143)

71











(1147)


(1148)



(1149)



(1151)

72


cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82





















(118)


30













31













(121)

Sau

(122)

unde

32










(123)







33












34












35








(124)







36










(125)


(126)


37


(127)


(128)

sau altfel scris

(129)



(130)

De unde

(131)


(132)rezultă

(133)






38











(134)




39



(135)



(136)








(137)




40













41










42










43








(140)unde



(141)

44



(142)



(144)

Se obţine

(145)

respectiv

(146)





respectiv (147)

sau

(148)



(149)



45









(150)

unde




(151)

unde

46







(152)





(153)


47


(154)


(155)



48





(156)

(157)






(158)

49



(159)


(160)




(161)



(162)



50












51












Ca urmare


52





Rezultă


Xe = 3676 (Ω)








Precizare

53






unde



cu





54














55










echivalentă




56




1

2

3

4

5

(164)

unde


(165)




(168)De unde

57


(169)


(170)


(171)

sau

(172)

Cum rezultă

(173)


(174)

se obţine

(175)b pentru

(176)

se obţine

(177)



58







(178)






59



(180)




(181)





conductoarelor


(183)


60






(185)

respectiv

(186)


(187)

de unde

(188)


(189)


(190)

61











62


Fig142 Antena dipol


(192)


(193)


(194)


(195)

respectiv

(196)


(197)

unde

63






(1100)


(1101)




(1103)


(1104)


64



(1105)


(1106)


(1107)

Din


(1109)


(1110)


(1111)


(1112)


(1113)


65


(1114)Rezultă

(1115)










66












(1116)



(1118)



67


(1120)

(1121)


(1122)

(1123)



(1125)

se obţine

(1126)

respectiv

(1127)



(1128)

de unde

(1129)


(1130)

(1131)

68



(1132)

(1133)



(1134)



(1136)

(1137)



(1138)unde




69















70



(1140)






(1141)



(1142)


(1143)

71











(1147)


(1148)



(1149)



(1151)

72


cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82























31













(121)

Sau

(122)

unde

32










(123)







33












34












35








(124)







36










(125)


(126)


37


(127)


(128)

sau altfel scris

(129)



(130)

De unde

(131)


(132)rezultă

(133)






38











(134)




39



(135)



(136)








(137)




40













41










42










43








(140)unde



(141)

44



(142)



(144)

Se obţine

(145)

respectiv

(146)





respectiv (147)

sau

(148)



(149)



45









(150)

unde




(151)

unde

46







(152)





(153)


47


(154)


(155)



48





(156)

(157)






(158)

49



(159)


(160)




(161)



(162)



50












51












Ca urmare


52





Rezultă


Xe = 3676 (Ω)








Precizare

53






unde



cu





54














55










echivalentă




56




1

2

3

4

5

(164)

unde


(165)




(168)De unde

57


(169)


(170)


(171)

sau

(172)

Cum rezultă

(173)


(174)

se obţine

(175)b pentru

(176)

se obţine

(177)



58







(178)






59



(180)




(181)





conductoarelor


(183)


60






(185)

respectiv

(186)


(187)

de unde

(188)


(189)


(190)

61











62


Fig142 Antena dipol


(192)


(193)


(194)


(195)

respectiv

(196)


(197)

unde

63






(1100)


(1101)




(1103)


(1104)


64



(1105)


(1106)


(1107)

Din


(1109)


(1110)


(1111)


(1112)


(1113)


65


(1114)Rezultă

(1115)










66












(1116)



(1118)



67


(1120)

(1121)


(1122)

(1123)



(1125)

se obţine

(1126)

respectiv

(1127)



(1128)

de unde

(1129)


(1130)

(1131)

68



(1132)

(1133)



(1134)



(1136)

(1137)



(1138)unde




69















70



(1140)






(1141)



(1142)


(1143)

71











(1147)


(1148)



(1149)



(1151)

72


cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82























(121)

Sau

(122)

unde

32










(123)







33












34












35








(124)







36










(125)


(126)


37


(127)


(128)

sau altfel scris

(129)



(130)

De unde

(131)


(132)rezultă

(133)






38











(134)




39



(135)



(136)








(137)




40













41










42










43








(140)unde



(141)

44



(142)



(144)

Se obţine

(145)

respectiv

(146)





respectiv (147)

sau

(148)



(149)



45









(150)

unde




(151)

unde

46







(152)





(153)


47


(154)


(155)



48





(156)

(157)






(158)

49



(159)


(160)




(161)



(162)



50












51












Ca urmare


52





Rezultă


Xe = 3676 (Ω)








Precizare

53






unde



cu





54














55










echivalentă




56




1

2

3

4

5

(164)

unde


(165)




(168)De unde

57


(169)


(170)


(171)

sau

(172)

Cum rezultă

(173)


(174)

se obţine

(175)b pentru

(176)

se obţine

(177)



58







(178)






59



(180)




(181)





conductoarelor


(183)


60






(185)

respectiv

(186)


(187)

de unde

(188)


(189)


(190)

61











62


Fig142 Antena dipol


(192)


(193)


(194)


(195)

respectiv

(196)


(197)

unde

63






(1100)


(1101)




(1103)


(1104)


64



(1105)


(1106)


(1107)

Din


(1109)


(1110)


(1111)


(1112)


(1113)


65


(1114)Rezultă

(1115)










66












(1116)



(1118)



67


(1120)

(1121)


(1122)

(1123)



(1125)

se obţine

(1126)

respectiv

(1127)



(1128)

de unde

(1129)


(1130)

(1131)

68



(1132)

(1133)



(1134)



(1136)

(1137)



(1138)unde




69















70



(1140)






(1141)



(1142)


(1143)

71











(1147)


(1148)



(1149)



(1151)

72


cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82




















(123)







33












34












35








(124)







36










(125)


(126)


37


(127)


(128)

sau altfel scris

(129)



(130)

De unde

(131)


(132)rezultă

(133)






38











(134)




39



(135)



(136)








(137)




40













41










42










43








(140)unde



(141)

44



(142)



(144)

Se obţine

(145)

respectiv

(146)





respectiv (147)

sau

(148)



(149)



45









(150)

unde




(151)

unde

46







(152)





(153)


47


(154)


(155)



48





(156)

(157)






(158)

49



(159)


(160)




(161)



(162)



50












51












Ca urmare


52





Rezultă


Xe = 3676 (Ω)








Precizare

53






unde



cu





54














55










echivalentă




56




1

2

3

4

5

(164)

unde


(165)




(168)De unde

57


(169)


(170)


(171)

sau

(172)

Cum rezultă

(173)


(174)

se obţine

(175)b pentru

(176)

se obţine

(177)



58







(178)






59



(180)




(181)





conductoarelor


(183)


60






(185)

respectiv

(186)


(187)

de unde

(188)


(189)


(190)

61











62


Fig142 Antena dipol


(192)


(193)


(194)


(195)

respectiv

(196)


(197)

unde

63






(1100)


(1101)




(1103)


(1104)


64



(1105)


(1106)


(1107)

Din


(1109)


(1110)


(1111)


(1112)


(1113)


65


(1114)Rezultă

(1115)










66












(1116)



(1118)



67


(1120)

(1121)


(1122)

(1123)



(1125)

se obţine

(1126)

respectiv

(1127)



(1128)

de unde

(1129)


(1130)

(1131)

68



(1132)

(1133)



(1134)



(1136)

(1137)



(1138)unde




69















70



(1140)






(1141)



(1142)


(1143)

71











(1147)


(1148)



(1149)



(1151)

72


cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82






















34












35








(124)







36










(125)


(126)


37


(127)


(128)

sau altfel scris

(129)



(130)

De unde

(131)


(132)rezultă

(133)






38











(134)




39



(135)



(136)








(137)




40













41










42










43








(140)unde



(141)

44



(142)



(144)

Se obţine

(145)

respectiv

(146)





respectiv (147)

sau

(148)



(149)



45









(150)

unde




(151)

unde

46







(152)





(153)


47


(154)


(155)



48





(156)

(157)






(158)

49



(159)


(160)




(161)



(162)



50












51












Ca urmare


52





Rezultă


Xe = 3676 (Ω)








Precizare

53






unde



cu





54














55










echivalentă




56




1

2

3

4

5

(164)

unde


(165)




(168)De unde

57


(169)


(170)


(171)

sau

(172)

Cum rezultă

(173)


(174)

se obţine

(175)b pentru

(176)

se obţine

(177)



58







(178)






59



(180)




(181)





conductoarelor


(183)


60






(185)

respectiv

(186)


(187)

de unde

(188)


(189)


(190)

61











62


Fig142 Antena dipol


(192)


(193)


(194)


(195)

respectiv

(196)


(197)

unde

63






(1100)


(1101)




(1103)


(1104)


64



(1105)


(1106)


(1107)

Din


(1109)


(1110)


(1111)


(1112)


(1113)


65


(1114)Rezultă

(1115)










66












(1116)



(1118)



67


(1120)

(1121)


(1122)

(1123)



(1125)

se obţine

(1126)

respectiv

(1127)



(1128)

de unde

(1129)


(1130)

(1131)

68



(1132)

(1133)



(1134)



(1136)

(1137)



(1138)unde




69















70



(1140)






(1141)



(1142)


(1143)

71











(1147)


(1148)



(1149)



(1151)

72


cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82






















35








(124)







36










(125)


(126)


37


(127)


(128)

sau altfel scris

(129)



(130)

De unde

(131)


(132)rezultă

(133)






38











(134)




39



(135)



(136)








(137)




40













41










42










43








(140)unde



(141)

44



(142)



(144)

Se obţine

(145)

respectiv

(146)





respectiv (147)

sau

(148)



(149)



45









(150)

unde




(151)

unde

46







(152)





(153)


47


(154)


(155)



48





(156)

(157)






(158)

49



(159)


(160)




(161)



(162)



50












51












Ca urmare


52





Rezultă


Xe = 3676 (Ω)








Precizare

53






unde



cu





54














55










echivalentă




56




1

2

3

4

5

(164)

unde


(165)




(168)De unde

57


(169)


(170)


(171)

sau

(172)

Cum rezultă

(173)


(174)

se obţine

(175)b pentru

(176)

se obţine

(177)



58







(178)






59



(180)




(181)





conductoarelor


(183)


60






(185)

respectiv

(186)


(187)

de unde

(188)


(189)


(190)

61











62


Fig142 Antena dipol


(192)


(193)


(194)


(195)

respectiv

(196)


(197)

unde

63






(1100)


(1101)




(1103)


(1104)


64



(1105)


(1106)


(1107)

Din


(1109)


(1110)


(1111)


(1112)


(1113)


65


(1114)Rezultă

(1115)










66












(1116)



(1118)



67


(1120)

(1121)


(1122)

(1123)



(1125)

se obţine

(1126)

respectiv

(1127)



(1128)

de unde

(1129)


(1130)

(1131)

68



(1132)

(1133)



(1134)



(1136)

(1137)



(1138)unde




69















70



(1140)






(1141)



(1142)


(1143)

71











(1147)


(1148)



(1149)



(1151)

72


cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82


















(124)







36










(125)


(126)


37


(127)


(128)

sau altfel scris

(129)



(130)

De unde

(131)


(132)rezultă

(133)






38











(134)




39



(135)



(136)








(137)




40













41










42










43








(140)unde



(141)

44



(142)



(144)

Se obţine

(145)

respectiv

(146)





respectiv (147)

sau

(148)



(149)



45









(150)

unde




(151)

unde

46







(152)





(153)


47


(154)


(155)



48





(156)

(157)






(158)

49



(159)


(160)




(161)



(162)



50












51












Ca urmare


52





Rezultă


Xe = 3676 (Ω)








Precizare

53






unde



cu





54














55










echivalentă




56




1

2

3

4

5

(164)

unde


(165)




(168)De unde

57


(169)


(170)


(171)

sau

(172)

Cum rezultă

(173)


(174)

se obţine

(175)b pentru

(176)

se obţine

(177)



58







(178)






59



(180)




(181)





conductoarelor


(183)


60






(185)

respectiv

(186)


(187)

de unde

(188)


(189)


(190)

61











62


Fig142 Antena dipol


(192)


(193)


(194)


(195)

respectiv

(196)


(197)

unde

63






(1100)


(1101)




(1103)


(1104)


64



(1105)


(1106)


(1107)

Din


(1109)


(1110)


(1111)


(1112)


(1113)


65


(1114)Rezultă

(1115)










66












(1116)



(1118)



67


(1120)

(1121)


(1122)

(1123)



(1125)

se obţine

(1126)

respectiv

(1127)



(1128)

de unde

(1129)


(1130)

(1131)

68



(1132)

(1133)



(1134)



(1136)

(1137)



(1138)unde




69















70



(1140)






(1141)



(1142)


(1143)

71











(1147)


(1148)



(1149)



(1151)

72


cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82




















(125)


(126)


37


(127)


(128)

sau altfel scris

(129)



(130)

De unde

(131)


(132)rezultă

(133)






38











(134)




39



(135)



(136)








(137)




40













41










42










43








(140)unde



(141)

44



(142)



(144)

Se obţine

(145)

respectiv

(146)





respectiv (147)

sau

(148)



(149)



45









(150)

unde




(151)

unde

46







(152)





(153)


47


(154)


(155)



48





(156)

(157)






(158)

49



(159)


(160)




(161)



(162)



50












51












Ca urmare


52





Rezultă


Xe = 3676 (Ω)








Precizare

53






unde



cu





54














55










echivalentă




56




1

2

3

4

5

(164)

unde


(165)




(168)De unde

57


(169)


(170)


(171)

sau

(172)

Cum rezultă

(173)


(174)

se obţine

(175)b pentru

(176)

se obţine

(177)



58







(178)






59



(180)




(181)





conductoarelor


(183)


60






(185)

respectiv

(186)


(187)

de unde

(188)


(189)


(190)

61











62


Fig142 Antena dipol


(192)


(193)


(194)


(195)

respectiv

(196)


(197)

unde

63






(1100)


(1101)




(1103)


(1104)


64



(1105)


(1106)


(1107)

Din


(1109)


(1110)


(1111)


(1112)


(1113)


65


(1114)Rezultă

(1115)










66












(1116)



(1118)



67


(1120)

(1121)


(1122)

(1123)



(1125)

se obţine

(1126)

respectiv

(1127)



(1128)

de unde

(1129)


(1130)

(1131)

68



(1132)

(1133)



(1134)



(1136)

(1137)



(1138)unde




69















70



(1140)






(1141)



(1142)


(1143)

71











(1147)


(1148)



(1149)



(1151)

72


cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82












(127)


(128)

sau altfel scris

(129)



(130)

De unde

(131)


(132)rezultă

(133)






38











(134)




39



(135)



(136)








(137)




40













41










42










43








(140)unde



(141)

44



(142)



(144)

Se obţine

(145)

respectiv

(146)





respectiv (147)

sau

(148)



(149)



45









(150)

unde




(151)

unde

46







(152)





(153)


47


(154)


(155)



48





(156)

(157)






(158)

49



(159)


(160)




(161)



(162)



50












51












Ca urmare


52





Rezultă


Xe = 3676 (Ω)








Precizare

53






unde



cu





54














55










echivalentă




56




1

2

3

4

5

(164)

unde


(165)




(168)De unde

57


(169)


(170)


(171)

sau

(172)

Cum rezultă

(173)


(174)

se obţine

(175)b pentru

(176)

se obţine

(177)



58







(178)






59



(180)




(181)





conductoarelor


(183)


60






(185)

respectiv

(186)


(187)

de unde

(188)


(189)


(190)

61











62


Fig142 Antena dipol


(192)


(193)


(194)


(195)

respectiv

(196)


(197)

unde

63






(1100)


(1101)




(1103)


(1104)


64



(1105)


(1106)


(1107)

Din


(1109)


(1110)


(1111)


(1112)


(1113)


65


(1114)Rezultă

(1115)










66












(1116)



(1118)



67


(1120)

(1121)


(1122)

(1123)



(1125)

se obţine

(1126)

respectiv

(1127)



(1128)

de unde

(1129)


(1130)

(1131)

68



(1132)

(1133)



(1134)



(1136)

(1137)



(1138)unde




69















70



(1140)






(1141)



(1142)


(1143)

71











(1147)


(1148)



(1149)



(1151)

72


cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82





















(134)




39



(135)



(136)








(137)




40













41










42










43








(140)unde



(141)

44



(142)



(144)

Se obţine

(145)

respectiv

(146)





respectiv (147)

sau

(148)



(149)



45









(150)

unde




(151)

unde

46







(152)





(153)


47


(154)


(155)



48





(156)

(157)






(158)

49



(159)


(160)




(161)



(162)



50












51












Ca urmare


52





Rezultă


Xe = 3676 (Ω)








Precizare

53






unde



cu





54














55










echivalentă




56




1

2

3

4

5

(164)

unde


(165)




(168)De unde

57


(169)


(170)


(171)

sau

(172)

Cum rezultă

(173)


(174)

se obţine

(175)b pentru

(176)

se obţine

(177)



58







(178)






59



(180)




(181)





conductoarelor


(183)


60






(185)

respectiv

(186)


(187)

de unde

(188)


(189)


(190)

61











62


Fig142 Antena dipol


(192)


(193)


(194)


(195)

respectiv

(196)


(197)

unde

63






(1100)


(1101)




(1103)


(1104)


64



(1105)


(1106)


(1107)

Din


(1109)


(1110)


(1111)


(1112)


(1113)


65


(1114)Rezultă

(1115)










66












(1116)



(1118)



67


(1120)

(1121)


(1122)

(1123)



(1125)

se obţine

(1126)

respectiv

(1127)



(1128)

de unde

(1129)


(1130)

(1131)

68



(1132)

(1133)



(1134)



(1136)

(1137)



(1138)unde




69















70



(1140)






(1141)



(1142)


(1143)

71











(1147)


(1148)



(1149)



(1151)

72


cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82













(135)



(136)








(137)




40













41










42










43








(140)unde



(141)

44



(142)



(144)

Se obţine

(145)

respectiv

(146)





respectiv (147)

sau

(148)



(149)



45









(150)

unde




(151)

unde

46







(152)





(153)


47


(154)


(155)



48





(156)

(157)






(158)

49



(159)


(160)




(161)



(162)



50












51












Ca urmare


52





Rezultă


Xe = 3676 (Ω)








Precizare

53






unde



cu





54














55










echivalentă




56




1

2

3

4

5

(164)

unde


(165)




(168)De unde

57


(169)


(170)


(171)

sau

(172)

Cum rezultă

(173)


(174)

se obţine

(175)b pentru

(176)

se obţine

(177)



58







(178)






59



(180)




(181)





conductoarelor


(183)


60






(185)

respectiv

(186)


(187)

de unde

(188)


(189)


(190)

61











62


Fig142 Antena dipol


(192)


(193)


(194)


(195)

respectiv

(196)


(197)

unde

63






(1100)


(1101)




(1103)


(1104)


64



(1105)


(1106)


(1107)

Din


(1109)


(1110)


(1111)


(1112)


(1113)


65


(1114)Rezultă

(1115)










66












(1116)



(1118)



67


(1120)

(1121)


(1122)

(1123)



(1125)

se obţine

(1126)

respectiv

(1127)



(1128)

de unde

(1129)


(1130)

(1131)

68



(1132)

(1133)



(1134)



(1136)

(1137)



(1138)unde




69















70



(1140)






(1141)



(1142)


(1143)

71











(1147)


(1148)



(1149)



(1151)

72


cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82























41










42










43








(140)unde



(141)

44



(142)



(144)

Se obţine

(145)

respectiv

(146)





respectiv (147)

sau

(148)



(149)



45









(150)

unde




(151)

unde

46







(152)





(153)


47


(154)


(155)



48





(156)

(157)






(158)

49



(159)


(160)




(161)



(162)



50












51












Ca urmare


52





Rezultă


Xe = 3676 (Ω)








Precizare

53






unde



cu





54














55










echivalentă




56




1

2

3

4

5

(164)

unde


(165)




(168)De unde

57


(169)


(170)


(171)

sau

(172)

Cum rezultă

(173)


(174)

se obţine

(175)b pentru

(176)

se obţine

(177)



58







(178)






59



(180)




(181)





conductoarelor


(183)


60






(185)

respectiv

(186)


(187)

de unde

(188)


(189)


(190)

61











62


Fig142 Antena dipol


(192)


(193)


(194)


(195)

respectiv

(196)


(197)

unde

63






(1100)


(1101)




(1103)


(1104)


64



(1105)


(1106)


(1107)

Din


(1109)


(1110)


(1111)


(1112)


(1113)


65


(1114)Rezultă

(1115)










66












(1116)



(1118)



67


(1120)

(1121)


(1122)

(1123)



(1125)

se obţine

(1126)

respectiv

(1127)



(1128)

de unde

(1129)


(1130)

(1131)

68



(1132)

(1133)



(1134)



(1136)

(1137)



(1138)unde




69















70



(1140)






(1141)



(1142)


(1143)

71











(1147)


(1148)



(1149)



(1151)

72


cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82




















42










43








(140)unde



(141)

44



(142)



(144)

Se obţine

(145)

respectiv

(146)





respectiv (147)

sau

(148)



(149)



45









(150)

unde




(151)

unde

46







(152)





(153)


47


(154)


(155)



48





(156)

(157)






(158)

49



(159)


(160)




(161)



(162)



50












51












Ca urmare


52





Rezultă


Xe = 3676 (Ω)








Precizare

53






unde



cu





54














55










echivalentă




56




1

2

3

4

5

(164)

unde


(165)




(168)De unde

57


(169)


(170)


(171)

sau

(172)

Cum rezultă

(173)


(174)

se obţine

(175)b pentru

(176)

se obţine

(177)



58







(178)






59



(180)




(181)





conductoarelor


(183)


60






(185)

respectiv

(186)


(187)

de unde

(188)


(189)


(190)

61











62


Fig142 Antena dipol


(192)


(193)


(194)


(195)

respectiv

(196)


(197)

unde

63






(1100)


(1101)




(1103)


(1104)


64



(1105)


(1106)


(1107)

Din


(1109)


(1110)


(1111)


(1112)


(1113)


65


(1114)Rezultă

(1115)










66












(1116)



(1118)



67


(1120)

(1121)


(1122)

(1123)



(1125)

se obţine

(1126)

respectiv

(1127)



(1128)

de unde

(1129)


(1130)

(1131)

68



(1132)

(1133)



(1134)



(1136)

(1137)



(1138)unde




69















70



(1140)






(1141)



(1142)


(1143)

71











(1147)


(1148)



(1149)



(1151)

72


cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82




















43








(140)unde



(141)

44



(142)



(144)

Se obţine

(145)

respectiv

(146)





respectiv (147)

sau

(148)



(149)



45









(150)

unde




(151)

unde

46







(152)





(153)


47


(154)


(155)



48





(156)

(157)






(158)

49



(159)


(160)




(161)



(162)



50












51












Ca urmare


52





Rezultă


Xe = 3676 (Ω)








Precizare

53






unde



cu





54














55










echivalentă




56




1

2

3

4

5

(164)

unde


(165)




(168)De unde

57


(169)


(170)


(171)

sau

(172)

Cum rezultă

(173)


(174)

se obţine

(175)b pentru

(176)

se obţine

(177)



58







(178)






59



(180)




(181)





conductoarelor


(183)


60






(185)

respectiv

(186)


(187)

de unde

(188)


(189)


(190)

61











62


Fig142 Antena dipol


(192)


(193)


(194)


(195)

respectiv

(196)


(197)

unde

63






(1100)


(1101)




(1103)


(1104)


64



(1105)


(1106)


(1107)

Din


(1109)


(1110)


(1111)


(1112)


(1113)


65


(1114)Rezultă

(1115)










66












(1116)



(1118)



67


(1120)

(1121)


(1122)

(1123)



(1125)

se obţine

(1126)

respectiv

(1127)



(1128)

de unde

(1129)


(1130)

(1131)

68



(1132)

(1133)



(1134)



(1136)

(1137)



(1138)unde




69















70



(1140)






(1141)



(1142)


(1143)

71











(1147)


(1148)



(1149)



(1151)

72


cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82


















(140)unde



(141)

44



(142)



(144)

Se obţine

(145)

respectiv

(146)





respectiv (147)

sau

(148)



(149)



45









(150)

unde




(151)

unde

46







(152)





(153)


47


(154)


(155)



48





(156)

(157)






(158)

49



(159)


(160)




(161)



(162)



50












51












Ca urmare


52





Rezultă


Xe = 3676 (Ω)








Precizare

53






unde



cu





54














55










echivalentă




56




1

2

3

4

5

(164)

unde


(165)




(168)De unde

57


(169)


(170)


(171)

sau

(172)

Cum rezultă

(173)


(174)

se obţine

(175)b pentru

(176)

se obţine

(177)



58







(178)






59



(180)




(181)





conductoarelor


(183)


60






(185)

respectiv

(186)


(187)

de unde

(188)


(189)


(190)

61











62


Fig142 Antena dipol


(192)


(193)


(194)


(195)

respectiv

(196)


(197)

unde

63






(1100)


(1101)




(1103)


(1104)


64



(1105)


(1106)


(1107)

Din


(1109)


(1110)


(1111)


(1112)


(1113)


65


(1114)Rezultă

(1115)










66












(1116)



(1118)



67


(1120)

(1121)


(1122)

(1123)



(1125)

se obţine

(1126)

respectiv

(1127)



(1128)

de unde

(1129)


(1130)

(1131)

68



(1132)

(1133)



(1134)



(1136)

(1137)



(1138)unde




69















70



(1140)






(1141)



(1142)


(1143)

71











(1147)


(1148)



(1149)



(1151)

72


cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82













(142)



(144)

Se obţine

(145)

respectiv

(146)





respectiv (147)

sau

(148)



(149)



45









(150)

unde




(151)

unde

46







(152)





(153)


47


(154)


(155)



48





(156)

(157)






(158)

49



(159)


(160)




(161)



(162)



50












51












Ca urmare


52





Rezultă


Xe = 3676 (Ω)








Precizare

53






unde



cu





54














55










echivalentă




56




1

2

3

4

5

(164)

unde


(165)




(168)De unde

57


(169)


(170)


(171)

sau

(172)

Cum rezultă

(173)


(174)

se obţine

(175)b pentru

(176)

se obţine

(177)



58







(178)






59



(180)




(181)





conductoarelor


(183)


60






(185)

respectiv

(186)


(187)

de unde

(188)


(189)


(190)

61











62


Fig142 Antena dipol


(192)


(193)


(194)


(195)

respectiv

(196)


(197)

unde

63






(1100)


(1101)




(1103)


(1104)


64



(1105)


(1106)


(1107)

Din


(1109)


(1110)


(1111)


(1112)


(1113)


65


(1114)Rezultă

(1115)










66












(1116)



(1118)



67


(1120)

(1121)


(1122)

(1123)



(1125)

se obţine

(1126)

respectiv

(1127)



(1128)

de unde

(1129)


(1130)

(1131)

68



(1132)

(1133)



(1134)



(1136)

(1137)



(1138)unde




69















70



(1140)






(1141)



(1142)


(1143)

71











(1147)


(1148)



(1149)



(1151)

72


cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82



















(150)

unde




(151)

unde

46







(152)





(153)


47


(154)


(155)



48





(156)

(157)






(158)

49



(159)


(160)




(161)



(162)



50












51












Ca urmare


52





Rezultă


Xe = 3676 (Ω)








Precizare

53






unde



cu





54














55










echivalentă




56




1

2

3

4

5

(164)

unde


(165)




(168)De unde

57


(169)


(170)


(171)

sau

(172)

Cum rezultă

(173)


(174)

se obţine

(175)b pentru

(176)

se obţine

(177)



58







(178)






59



(180)




(181)





conductoarelor


(183)


60






(185)

respectiv

(186)


(187)

de unde

(188)


(189)


(190)

61











62


Fig142 Antena dipol


(192)


(193)


(194)


(195)

respectiv

(196)


(197)

unde

63






(1100)


(1101)




(1103)


(1104)


64



(1105)


(1106)


(1107)

Din


(1109)


(1110)


(1111)


(1112)


(1113)


65


(1114)Rezultă

(1115)










66












(1116)



(1118)



67


(1120)

(1121)


(1122)

(1123)



(1125)

se obţine

(1126)

respectiv

(1127)



(1128)

de unde

(1129)


(1130)

(1131)

68



(1132)

(1133)



(1134)



(1136)

(1137)



(1138)unde




69















70



(1140)






(1141)



(1142)


(1143)

71











(1147)


(1148)



(1149)



(1151)

72


cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82

















(152)





(153)


47


(154)


(155)



48





(156)

(157)






(158)

49



(159)


(160)




(161)



(162)



50












51












Ca urmare


52





Rezultă


Xe = 3676 (Ω)








Precizare

53






unde



cu





54














55










echivalentă




56




1

2

3

4

5

(164)

unde


(165)




(168)De unde

57


(169)


(170)


(171)

sau

(172)

Cum rezultă

(173)


(174)

se obţine

(175)b pentru

(176)

se obţine

(177)



58







(178)






59



(180)




(181)





conductoarelor


(183)


60






(185)

respectiv

(186)


(187)

de unde

(188)


(189)


(190)

61











62


Fig142 Antena dipol


(192)


(193)


(194)


(195)

respectiv

(196)


(197)

unde

63






(1100)


(1101)




(1103)


(1104)


64



(1105)


(1106)


(1107)

Din


(1109)


(1110)


(1111)


(1112)


(1113)


65


(1114)Rezultă

(1115)










66












(1116)



(1118)



67


(1120)

(1121)


(1122)

(1123)



(1125)

se obţine

(1126)

respectiv

(1127)



(1128)

de unde

(1129)


(1130)

(1131)

68



(1132)

(1133)



(1134)



(1136)

(1137)



(1138)unde




69















70



(1140)






(1141)



(1142)


(1143)

71











(1147)


(1148)



(1149)



(1151)

72


cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82












(154)


(155)



48





(156)

(157)






(158)

49



(159)


(160)




(161)



(162)



50












51












Ca urmare


52





Rezultă


Xe = 3676 (Ω)








Precizare

53






unde



cu





54














55










echivalentă




56




1

2

3

4

5

(164)

unde


(165)




(168)De unde

57


(169)


(170)


(171)

sau

(172)

Cum rezultă

(173)


(174)

se obţine

(175)b pentru

(176)

se obţine

(177)



58







(178)






59



(180)




(181)





conductoarelor


(183)


60






(185)

respectiv

(186)


(187)

de unde

(188)


(189)


(190)

61











62


Fig142 Antena dipol


(192)


(193)


(194)


(195)

respectiv

(196)


(197)

unde

63






(1100)


(1101)




(1103)


(1104)


64



(1105)


(1106)


(1107)

Din


(1109)


(1110)


(1111)


(1112)


(1113)


65


(1114)Rezultă

(1115)










66












(1116)



(1118)



67


(1120)

(1121)


(1122)

(1123)



(1125)

se obţine

(1126)

respectiv

(1127)



(1128)

de unde

(1129)


(1130)

(1131)

68



(1132)

(1133)



(1134)



(1136)

(1137)



(1138)unde




69















70



(1140)






(1141)



(1142)


(1143)

71











(1147)


(1148)



(1149)



(1151)

72


cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82















(156)

(157)






(158)

49



(159)


(160)




(161)



(162)



50












51












Ca urmare


52





Rezultă


Xe = 3676 (Ω)








Precizare

53






unde



cu





54














55










echivalentă




56




1

2

3

4

5

(164)

unde


(165)




(168)De unde

57


(169)


(170)


(171)

sau

(172)

Cum rezultă

(173)


(174)

se obţine

(175)b pentru

(176)

se obţine

(177)



58







(178)






59



(180)




(181)





conductoarelor


(183)


60






(185)

respectiv

(186)


(187)

de unde

(188)


(189)


(190)

61











62


Fig142 Antena dipol


(192)


(193)


(194)


(195)

respectiv

(196)


(197)

unde

63






(1100)


(1101)




(1103)


(1104)


64



(1105)


(1106)


(1107)

Din


(1109)


(1110)


(1111)


(1112)


(1113)


65


(1114)Rezultă

(1115)










66












(1116)



(1118)



67


(1120)

(1121)


(1122)

(1123)



(1125)

se obţine

(1126)

respectiv

(1127)



(1128)

de unde

(1129)


(1130)

(1131)

68



(1132)

(1133)



(1134)



(1136)

(1137)



(1138)unde




69















70



(1140)






(1141)



(1142)


(1143)

71











(1147)


(1148)



(1149)



(1151)

72


cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82













(159)


(160)




(161)



(162)



50












51












Ca urmare


52





Rezultă


Xe = 3676 (Ω)








Precizare

53






unde



cu





54














55










echivalentă




56




1

2

3

4

5

(164)

unde


(165)




(168)De unde

57


(169)


(170)


(171)

sau

(172)

Cum rezultă

(173)


(174)

se obţine

(175)b pentru

(176)

se obţine

(177)



58







(178)






59



(180)




(181)





conductoarelor


(183)


60






(185)

respectiv

(186)


(187)

de unde

(188)


(189)


(190)

61











62


Fig142 Antena dipol


(192)


(193)


(194)


(195)

respectiv

(196)


(197)

unde

63






(1100)


(1101)




(1103)


(1104)


64



(1105)


(1106)


(1107)

Din


(1109)


(1110)


(1111)


(1112)


(1113)


65


(1114)Rezultă

(1115)










66












(1116)



(1118)



67


(1120)

(1121)


(1122)

(1123)



(1125)

se obţine

(1126)

respectiv

(1127)



(1128)

de unde

(1129)


(1130)

(1131)

68



(1132)

(1133)



(1134)



(1136)

(1137)



(1138)unde




69















70



(1140)






(1141)



(1142)


(1143)

71











(1147)


(1148)



(1149)



(1151)

72


cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82






















51












Ca urmare


52





Rezultă


Xe = 3676 (Ω)








Precizare

53






unde



cu





54














55










echivalentă




56




1

2

3

4

5

(164)

unde


(165)




(168)De unde

57


(169)


(170)


(171)

sau

(172)

Cum rezultă

(173)


(174)

se obţine

(175)b pentru

(176)

se obţine

(177)



58







(178)






59



(180)




(181)





conductoarelor


(183)


60






(185)

respectiv

(186)


(187)

de unde

(188)


(189)


(190)

61











62


Fig142 Antena dipol


(192)


(193)


(194)


(195)

respectiv

(196)


(197)

unde

63






(1100)


(1101)




(1103)


(1104)


64



(1105)


(1106)


(1107)

Din


(1109)


(1110)


(1111)


(1112)


(1113)


65


(1114)Rezultă

(1115)










66












(1116)



(1118)



67


(1120)

(1121)


(1122)

(1123)



(1125)

se obţine

(1126)

respectiv

(1127)



(1128)

de unde

(1129)


(1130)

(1131)

68



(1132)

(1133)



(1134)



(1136)

(1137)



(1138)unde




69















70



(1140)






(1141)



(1142)


(1143)

71











(1147)


(1148)



(1149)



(1151)

72


cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82






















Ca urmare


52





Rezultă


Xe = 3676 (Ω)








Precizare

53






unde



cu





54














55










echivalentă




56




1

2

3

4

5

(164)

unde


(165)




(168)De unde

57


(169)


(170)


(171)

sau

(172)

Cum rezultă

(173)


(174)

se obţine

(175)b pentru

(176)

se obţine

(177)



58







(178)






59



(180)




(181)





conductoarelor


(183)


60






(185)

respectiv

(186)


(187)

de unde

(188)


(189)


(190)

61











62


Fig142 Antena dipol


(192)


(193)


(194)


(195)

respectiv

(196)


(197)

unde

63






(1100)


(1101)




(1103)


(1104)


64



(1105)


(1106)


(1107)

Din


(1109)


(1110)


(1111)


(1112)


(1113)


65


(1114)Rezultă

(1115)










66












(1116)



(1118)



67


(1120)

(1121)


(1122)

(1123)



(1125)

se obţine

(1126)

respectiv

(1127)



(1128)

de unde

(1129)


(1130)

(1131)

68



(1132)

(1133)



(1134)



(1136)

(1137)



(1138)unde




69















70



(1140)






(1141)



(1142)


(1143)

71











(1147)


(1148)



(1149)



(1151)

72


cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82















Rezultă


Xe = 3676 (Ω)








Precizare

53






unde



cu





54














55










echivalentă




56




1

2

3

4

5

(164)

unde


(165)




(168)De unde

57


(169)


(170)


(171)

sau

(172)

Cum rezultă

(173)


(174)

se obţine

(175)b pentru

(176)

se obţine

(177)



58







(178)






59



(180)




(181)





conductoarelor


(183)


60






(185)

respectiv

(186)


(187)

de unde

(188)


(189)


(190)

61











62


Fig142 Antena dipol


(192)


(193)


(194)


(195)

respectiv

(196)


(197)

unde

63






(1100)


(1101)




(1103)


(1104)


64



(1105)


(1106)


(1107)

Din


(1109)


(1110)


(1111)


(1112)


(1113)


65


(1114)Rezultă

(1115)










66












(1116)



(1118)



67


(1120)

(1121)


(1122)

(1123)



(1125)

se obţine

(1126)

respectiv

(1127)



(1128)

de unde

(1129)


(1130)

(1131)

68



(1132)

(1133)



(1134)



(1136)

(1137)



(1138)unde




69















70



(1140)






(1141)



(1142)


(1143)

71











(1147)


(1148)



(1149)



(1151)

72


cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82
















unde



cu





54














55










echivalentă




56




1

2

3

4

5

(164)

unde


(165)




(168)De unde

57


(169)


(170)


(171)

sau

(172)

Cum rezultă

(173)


(174)

se obţine

(175)b pentru

(176)

se obţine

(177)



58







(178)






59



(180)




(181)





conductoarelor


(183)


60






(185)

respectiv

(186)


(187)

de unde

(188)


(189)


(190)

61











62


Fig142 Antena dipol


(192)


(193)


(194)


(195)

respectiv

(196)


(197)

unde

63






(1100)


(1101)




(1103)


(1104)


64



(1105)


(1106)


(1107)

Din


(1109)


(1110)


(1111)


(1112)


(1113)


65


(1114)Rezultă

(1115)










66












(1116)



(1118)



67


(1120)

(1121)


(1122)

(1123)



(1125)

se obţine

(1126)

respectiv

(1127)



(1128)

de unde

(1129)


(1130)

(1131)

68



(1132)

(1133)



(1134)



(1136)

(1137)



(1138)unde




69















70



(1140)






(1141)



(1142)


(1143)

71











(1147)


(1148)



(1149)



(1151)

72


cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82
























55










echivalentă




56




1

2

3

4

5

(164)

unde


(165)




(168)De unde

57


(169)


(170)


(171)

sau

(172)

Cum rezultă

(173)


(174)

se obţine

(175)b pentru

(176)

se obţine

(177)



58







(178)






59



(180)




(181)





conductoarelor


(183)


60






(185)

respectiv

(186)


(187)

de unde

(188)


(189)


(190)

61











62


Fig142 Antena dipol


(192)


(193)


(194)


(195)

respectiv

(196)


(197)

unde

63






(1100)


(1101)




(1103)


(1104)


64



(1105)


(1106)


(1107)

Din


(1109)


(1110)


(1111)


(1112)


(1113)


65


(1114)Rezultă

(1115)










66












(1116)



(1118)



67


(1120)

(1121)


(1122)

(1123)



(1125)

se obţine

(1126)

respectiv

(1127)



(1128)

de unde

(1129)


(1130)

(1131)

68



(1132)

(1133)



(1134)



(1136)

(1137)



(1138)unde




69















70



(1140)






(1141)



(1142)


(1143)

71











(1147)


(1148)



(1149)



(1151)

72


cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82




















echivalentă




56




1

2

3

4

5

(164)

unde


(165)




(168)De unde

57


(169)


(170)


(171)

sau

(172)

Cum rezultă

(173)


(174)

se obţine

(175)b pentru

(176)

se obţine

(177)



58







(178)






59



(180)




(181)





conductoarelor


(183)


60






(185)

respectiv

(186)


(187)

de unde

(188)


(189)


(190)

61











62


Fig142 Antena dipol


(192)


(193)


(194)


(195)

respectiv

(196)


(197)

unde

63






(1100)


(1101)




(1103)


(1104)


64



(1105)


(1106)


(1107)

Din


(1109)


(1110)


(1111)


(1112)


(1113)


65


(1114)Rezultă

(1115)










66












(1116)



(1118)



67


(1120)

(1121)


(1122)

(1123)



(1125)

se obţine

(1126)

respectiv

(1127)



(1128)

de unde

(1129)


(1130)

(1131)

68



(1132)

(1133)



(1134)



(1136)

(1137)



(1138)unde




69















70



(1140)






(1141)



(1142)


(1143)

71











(1147)


(1148)



(1149)



(1151)

72


cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82














1

2

3

4

5

(164)

unde


(165)




(168)De unde

57


(169)


(170)


(171)

sau

(172)

Cum rezultă

(173)


(174)

se obţine

(175)b pentru

(176)

se obţine

(177)



58







(178)






59



(180)




(181)





conductoarelor


(183)


60






(185)

respectiv

(186)


(187)

de unde

(188)


(189)


(190)

61











62


Fig142 Antena dipol


(192)


(193)


(194)


(195)

respectiv

(196)


(197)

unde

63






(1100)


(1101)




(1103)


(1104)


64



(1105)


(1106)


(1107)

Din


(1109)


(1110)


(1111)


(1112)


(1113)


65


(1114)Rezultă

(1115)










66












(1116)



(1118)



67


(1120)

(1121)


(1122)

(1123)



(1125)

se obţine

(1126)

respectiv

(1127)



(1128)

de unde

(1129)


(1130)

(1131)

68



(1132)

(1133)



(1134)



(1136)

(1137)



(1138)unde




69















70



(1140)






(1141)



(1142)


(1143)

71











(1147)


(1148)



(1149)



(1151)

72


cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82












(169)


(170)


(171)

sau

(172)

Cum rezultă

(173)


(174)

se obţine

(175)b pentru

(176)

se obţine

(177)



58







(178)






59



(180)




(181)





conductoarelor


(183)


60






(185)

respectiv

(186)


(187)

de unde

(188)


(189)


(190)

61











62


Fig142 Antena dipol


(192)


(193)


(194)


(195)

respectiv

(196)


(197)

unde

63






(1100)


(1101)




(1103)


(1104)


64



(1105)


(1106)


(1107)

Din


(1109)


(1110)


(1111)


(1112)


(1113)


65


(1114)Rezultă

(1115)










66












(1116)



(1118)



67


(1120)

(1121)


(1122)

(1123)



(1125)

se obţine

(1126)

respectiv

(1127)



(1128)

de unde

(1129)


(1130)

(1131)

68



(1132)

(1133)



(1134)



(1136)

(1137)



(1138)unde




69















70



(1140)






(1141)



(1142)


(1143)

71











(1147)


(1148)



(1149)



(1151)

72


cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82

















(178)






59



(180)




(181)





conductoarelor


(183)


60






(185)

respectiv

(186)


(187)

de unde

(188)


(189)


(190)

61











62


Fig142 Antena dipol


(192)


(193)


(194)


(195)

respectiv

(196)


(197)

unde

63






(1100)


(1101)




(1103)


(1104)


64



(1105)


(1106)


(1107)

Din


(1109)


(1110)


(1111)


(1112)


(1113)


65


(1114)Rezultă

(1115)










66












(1116)



(1118)



67


(1120)

(1121)


(1122)

(1123)



(1125)

se obţine

(1126)

respectiv

(1127)



(1128)

de unde

(1129)


(1130)

(1131)

68



(1132)

(1133)



(1134)



(1136)

(1137)



(1138)unde




69















70



(1140)






(1141)



(1142)


(1143)

71











(1147)


(1148)



(1149)



(1151)

72


cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82













(180)




(181)





conductoarelor


(183)


60






(185)

respectiv

(186)


(187)

de unde

(188)


(189)


(190)

61











62


Fig142 Antena dipol


(192)


(193)


(194)


(195)

respectiv

(196)


(197)

unde

63






(1100)


(1101)




(1103)


(1104)


64



(1105)


(1106)


(1107)

Din


(1109)


(1110)


(1111)


(1112)


(1113)


65


(1114)Rezultă

(1115)










66












(1116)



(1118)



67


(1120)

(1121)


(1122)

(1123)



(1125)

se obţine

(1126)

respectiv

(1127)



(1128)

de unde

(1129)


(1130)

(1131)

68



(1132)

(1133)



(1134)



(1136)

(1137)



(1138)unde




69















70



(1140)






(1141)



(1142)


(1143)

71











(1147)


(1148)



(1149)



(1151)

72


cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82
















(185)

respectiv

(186)


(187)

de unde

(188)


(189)


(190)

61











62


Fig142 Antena dipol


(192)


(193)


(194)


(195)

respectiv

(196)


(197)

unde

63






(1100)


(1101)




(1103)


(1104)


64



(1105)


(1106)


(1107)

Din


(1109)


(1110)


(1111)


(1112)


(1113)


65


(1114)Rezultă

(1115)










66












(1116)



(1118)



67


(1120)

(1121)


(1122)

(1123)



(1125)

se obţine

(1126)

respectiv

(1127)



(1128)

de unde

(1129)


(1130)

(1131)

68



(1132)

(1133)



(1134)



(1136)

(1137)



(1138)unde




69















70



(1140)






(1141)



(1142)


(1143)

71











(1147)


(1148)



(1149)



(1151)

72


cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82





















62


Fig142 Antena dipol


(192)


(193)


(194)


(195)

respectiv

(196)


(197)

unde

63






(1100)


(1101)




(1103)


(1104)


64



(1105)


(1106)


(1107)

Din


(1109)


(1110)


(1111)


(1112)


(1113)


65


(1114)Rezultă

(1115)










66












(1116)



(1118)



67


(1120)

(1121)


(1122)

(1123)



(1125)

se obţine

(1126)

respectiv

(1127)



(1128)

de unde

(1129)


(1130)

(1131)

68



(1132)

(1133)



(1134)



(1136)

(1137)



(1138)unde




69















70



(1140)






(1141)



(1142)


(1143)

71











(1147)


(1148)



(1149)



(1151)

72


cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82












Fig142 Antena dipol


(192)


(193)


(194)


(195)

respectiv

(196)


(197)

unde

63






(1100)


(1101)




(1103)


(1104)


64



(1105)


(1106)


(1107)

Din


(1109)


(1110)


(1111)


(1112)


(1113)


65


(1114)Rezultă

(1115)










66












(1116)



(1118)



67


(1120)

(1121)


(1122)

(1123)



(1125)

se obţine

(1126)

respectiv

(1127)



(1128)

de unde

(1129)


(1130)

(1131)

68



(1132)

(1133)



(1134)



(1136)

(1137)



(1138)unde




69















70



(1140)






(1141)



(1142)


(1143)

71











(1147)


(1148)



(1149)



(1151)

72


cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82
















(1100)


(1101)




(1103)


(1104)


64



(1105)


(1106)


(1107)

Din


(1109)


(1110)


(1111)


(1112)


(1113)


65


(1114)Rezultă

(1115)










66












(1116)



(1118)



67


(1120)

(1121)


(1122)

(1123)



(1125)

se obţine

(1126)

respectiv

(1127)



(1128)

de unde

(1129)


(1130)

(1131)

68



(1132)

(1133)



(1134)



(1136)

(1137)



(1138)unde




69















70



(1140)






(1141)



(1142)


(1143)

71











(1147)


(1148)



(1149)



(1151)

72


cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82













(1105)


(1106)


(1107)

Din


(1109)


(1110)


(1111)


(1112)


(1113)


65


(1114)Rezultă

(1115)










66












(1116)



(1118)



67


(1120)

(1121)


(1122)

(1123)



(1125)

se obţine

(1126)

respectiv

(1127)



(1128)

de unde

(1129)


(1130)

(1131)

68



(1132)

(1133)



(1134)



(1136)

(1137)



(1138)unde




69















70



(1140)






(1141)



(1142)


(1143)

71











(1147)


(1148)



(1149)



(1151)

72


cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82












(1114)Rezultă

(1115)










66












(1116)



(1118)



67


(1120)

(1121)


(1122)

(1123)



(1125)

se obţine

(1126)

respectiv

(1127)



(1128)

de unde

(1129)


(1130)

(1131)

68



(1132)

(1133)



(1134)



(1136)

(1137)



(1138)unde




69















70



(1140)






(1141)



(1142)


(1143)

71











(1147)


(1148)



(1149)



(1151)

72


cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82






















(1116)



(1118)



67


(1120)

(1121)


(1122)

(1123)



(1125)

se obţine

(1126)

respectiv

(1127)



(1128)

de unde

(1129)


(1130)

(1131)

68



(1132)

(1133)



(1134)



(1136)

(1137)



(1138)unde




69















70



(1140)






(1141)



(1142)


(1143)

71











(1147)


(1148)



(1149)



(1151)

72


cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82












(1120)

(1121)


(1122)

(1123)



(1125)

se obţine

(1126)

respectiv

(1127)



(1128)

de unde

(1129)


(1130)

(1131)

68



(1132)

(1133)



(1134)



(1136)

(1137)



(1138)unde




69















70



(1140)






(1141)



(1142)


(1143)

71











(1147)


(1148)



(1149)



(1151)

72


cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82













(1132)

(1133)



(1134)



(1136)

(1137)



(1138)unde




69















70



(1140)






(1141)



(1142)


(1143)

71











(1147)


(1148)



(1149)



(1151)

72


cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82

























70



(1140)






(1141)



(1142)


(1143)

71











(1147)


(1148)



(1149)



(1151)

72


cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82













(1140)






(1141)



(1142)


(1143)

71











(1147)


(1148)



(1149)



(1151)

72


cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82





















(1147)


(1148)



(1149)



(1151)

72


cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82












cu precizarea că

(1152)



(1153)

respectiv

(1194)



)zo(E)z0(E tz






simplificată

(1155)


simplificată

(1156)


73


(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82












(1157)

unde

(1158)





(1160)


(1161)



(1162)




(1163)


(1164)

74



(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82













(1165)




(1166)


(1167)



(1168)

(1169)

Cu notaţiile

(1170)

(1171)

75



(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82













(1172)

(1173)


(1174)



(1176)

(1177)








76


(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82












(1178)

(1179)

unde

(1180)





(1182)

(1183)






(1184)

(1185)


(1186)

77


(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82












(1187)



(V) (1188)

(A) (1189)



dx)zx(Bj)z(IZz

)z(V h

0

pyl

(1190)

dx)zx(EY)z(VYz

)z(I h

0

pxtt

(1191)

unde



78












a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82






















a

79






(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82
















(1192)


(1193)





(1194)


(1195)

80






(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82
















(1196)


(1197)



(1198)


(1199)




(1201)

unde


81



(1202)




82













(1202)




82











cap.1.finaluiu

Documents

Transcript of cap.1.finaluiu