ECUAII DIFERENIALE DE ORDINUL NTI

301. Ecuaii difereniale integrabile prin metode elementare

311.4. Ecuaii difereniale de ordin superior

1. ecuaii difereniale integrabile prin metode elementare

1.1. Generaliti

n acest paragraf vom defini noiunile de ecuaie diferenial, soluie a unei ecuaii difereniale i problem Cauchy pentru o ecuaie diferenial.

1.1.1. Ecuaie diferenial. Soluia general. Soluii particulare

Fie funcia real de variabile o mulime deschis i funcia real de o variabil .

Definiia 1: Relaia

(1)

se numete ecuaie diferenial de ordinul n, sub forma implicit.

Definiia 2: Funcia se numete soluie a ecuaiei (1) dac:

i) , ;

ii) .

Pentru ecuaia

(2)

se numete ecuaie diferenial de ordinul nti sub forma implicit, iar ecuaia

, (3)

unde , se numete ecuaie diferenial de ordinul nti sub forma explicit (normal):Definiia 3: Funcia se numete soluie a ecuaiei (3) dac este derivabil i .

Dac din relaia (1) se poate explicita , atunci se obine ecuaia diferenial de ordinul n sub forma explicit:

,

unde , .

n cele ce urmeaz, ne vom ocupa de ecuaiile difereniale de ordinul nti pentru care se obin soluii prin mai multe operaii de integrare, operaii numite cuadraturi.

Exemple: i) Ecuaia este o ecuaie diferenial de ordinul nti.

Funcia , unde C este o constant arbitrar, reprezint o familie de soluii ale ecuaiei date.

ii) Ecuaia , poate fi uor integrat punnd , de unde obinem . Orice soluie a acestei ecuaii se obine preciznd valoarea constantei C.

Din exemplele de mai sus constatm c ecuaiile difereniale de ordinul nti admit familii de soluii care depind de o constant arbitrar. Vom arta la sfritul acestui capitol c soluia general a unei ecuaii difereniale de ordinul nti depinde de o constant arbitrar.

Definiia 4:Spunem c funcia , este soluia general a ecuaiei (2) dac toate funciile obinute prin particularizarea constantei sunt soluii ale ecuaiei (2).

Soluia , care se obine din soluia general prin parti-cularizarea constantei C, se numete soluie particular.Observaia 1: i) Prin integrarea unei ecuaii difereniale se nelege determinarea soluiei generale a ecuaiei.

ii) Exist i soluii care nu se obin din soluia general prin particularizarea constantei . ntr-adevr, ecuaia are soluia general familia de drepte . Ecuaia admite i soluia , care nu este soluie particular deoarece nu se obine din soluia general dnd o valoare particular lui C. O astfel de soluie se numete soluie singular. Soluia singular de mai sus este nfurtoarea familiei de drepte care reprezint soluia general a ecuaiei.

ii) Graficul unei soluii a unei ecuaii difereniale de ordinul nti este o curb plan, numit curb integral a ecuaiei.1.1.2. Interpretarea geometric a unei ecuaii difereniale

de ordinul nti

Fie ecuaia , funcia f fiind definit pe un domeniu . Fiecrui punct facem s-i corespund direcia de coeficient unghiular i respectiv dreapta de ecuaie . Astfel ecuaia asociaz fiecrui punct din D o dreapt. Ecuaia definete astfel un cmp de direcii n D, cmpul fiind precizat de fapt de funcia f. Din aceste motive, funcia se numete cmp vectorial pe D.

Dac este o soluie a ecuaiei date, atunci graficul su este o curb integral n D, care are proprietatea c n fiecare punct al curbei, tangenta la curb are ca direcie, direcia cmpului ce trece prin punctul considerat. Deci problema integrrii ecuaiei difereniale n D este echivalent cu gsirea curbelor integrale n D, curbe care au proprietatea c n fiecare punct al lor sunt tangente la direcia cmpului .

1.1.3. Problema lui Cauchy

Fie ecuaia diferenial de ordinul nti sub forma normal:

(3)

i .

Definiia 1: Prin problema Cauchy de valori iniiale pentru ecuaia se nelege determinarea unei soluii a ecuaiei, cu proprietatea c .

Cu alte cuvinte, prin rezolvarea problemei Cauchy pentru ecuaia se urmrete determinarea curbei integrale care trece prin punctul de coordonate .

Definiia 2: Prin problema Cauchy de valori iniiale , , pentru ecuaia se nelege determinarea unei soluii a ecuaiei, cu proprietatea c , , .1.2. ecuaii difereniale de ordinul nti sub forma explicit (normal)

Vom considera n cele ce urmeaz ecuaii de forma (3), unde f este o funcie real continu pe mulimea deschis , ecuaii pentru care se poate obine soluia general prin cuadraturi.

1.2.1. Ecuaii cu variabile separabile

Aceste ecuaii sunt de forma

, (4)

unde sunt funcii continue. O soluie a ecuaiei (4) este o funcie derivabil i care ndeplinete condiia:

.

Presupunem . Dac este soluie a ecuaiei (4) atunci . Dac este o primitiv a funciei , atunci funcia este derivabil i

.

Dac este o primitiv a funciei f atunci avem . Deoarece , funcia G este monoton, deci inversabil. Rezult c soluia ecuaiei este de forma:

.(5)

Reciproc, dac este de forma (5), atunci , de unde rezult . Funciile G i F fiind primitive ale funciilor i respectiv f, rezult c , adic este soluie a ecuaiei (4). Am obinut astfel urmtorul rezultat:

Propoziia 1: Dac sunt continue, , iar este o funcie continu, atunci urmtoarele afirmaii

sunt echivalente:

i) este soluie a ecuaiei (4):

ii) exist astfel nct , unde G i F sunt primitive ale funciilor i respectiv f.Exemplu: S determinm soluia general a ecuaiei: .

Avem: . Primitivele funciilor i f sunt:

,

.

Obinem astfel i .

Observaia 1: 1) Formal, soluia general a ecuaiei cu variabile separabile se obine astfel:

i) se separ variabilele, scriindu-se ecuaia (4) sub forma

.(6)

ii) se integreaz primul membru al ecuaiei n raport cu y i al doilea n raport cu x i se obine , de unde rezult .

2) Dac exist astfel nct , atunci este soluie a ecuaiei (4).

3) Cele mai simple ecuaii cu variabile separabile sunt de forma , soluia general a ecuaiei fiind dat de mulimea primitivelor lui f.

4) Un caz particular important este cel al ecuaiilor de forma:

Aceste ecuaii se numesc ecuaii liniare omogene. Prin separarea variabilelor se obine ecuaia , de unde prin integrare n ambii membri rezult soluia general:

.

1.2.2. Ecuaii omogene

Ecuaiile omogene sunt de forma

(7)

unde este o funcie continu. Dac I este un interval care nu conine originea i este o soluie a ecuaiei (7) atunci pentru avem i . Funcia , , este derivabil pe I i . Dac folosim faptul c funcia este soluie a ecuaiei (7) obinem identitatea

sau . Rezult c dac este soluie a ecuaiei omogene (7) atunci u este soluie a ecuaiei cu variabile separabile:

.(8)

Reciproc, s artm c orice soluie a ecuaiei (8) determin o soluie a ecuaiei (7). Fie o soluie a ecuaiei (8) i . Atunci de unde rezult:

,

deci este soluie a ecuaiei (7). Deoarece pentru ecuaia (8) este cu variabile separabile, rezult c am demonstrat propoziia:

Propoziia 2: Fie o funcie continu, . Funcia este soluie a ecuaiei (7) dac i numai dac funcia este soluie a ecuaiei cu variabile separabile .Observaia 2: 1) Ecuaia (8) se obine din (7) cu ajutorul transformrii . ntr-adevr, avem i dac nlocuim n ecuaia (7) obinem ecuaia sau .

2) Dac n ecuaia cu variabile separabile (8) exist astfel nct atunci se verific cu uurin c este soluie a ecuaiei (7) care nu poate fi obinut din soluia general deci este soluie singular a ecuaiei.

3) Dac notm atunci , deci f este o funcie omogen de grad zero. Reciproc, dac f este omogen de grad zero, atunci punnd obinem . Rezult c ecu-aia este omogen dac i numai dac f este omogen de grad zero.

Exemplu: S determinm soluia general a ecuaiei .

Scriem ecuaia sub forma . Cmpul vectorial care definete ecuaia este dat de funcia care este omogen de gradul zero, de unde rezult c ecuaia dat este omogen. n continuare efectum schimbarea de funcie , de unde rezult i ecuaia dat devine: . Prin separarea variabilelor i integrare obinem soluia general a ecuaiei cu variabile separate sub forma .

n final, punem i obinem .

1.2.3. Ecuaii reductibile la ecuaii omogene

S considerm ecuaia

(9)

unde . Vom analiza urmtoarele cazuri:

1) ; n acest caz ecuaia (9) devine

,(10)

ecuaie care este omogen. Cu substituia se separ variabilele.

2) Dac i , facem schimbarea de variabil independent i de funcie , unde este soluia sistemului liniar

.(11)

Cu aceast schimbare, ecuaia devine:

,

ecuaie care este omogen.

3) Dac atunci i ecuaia (9) devine:

.(12)

n acest caz facem schimbarea de variabil i ecuaia (12) devine:

,

deci se obine o ecuaie cu variabile separabile.

Exemplul 1: S se determine soluia general a ecuaiei .

Dac facem schimbarea de funcie , obinem sau ; ; .

Soluia general a ecuaiei se obine, punnd , sub forma

, sau .

Exemplul 2: S se determine soluia general a ecuaiei .

Sistemul are soluia . Facem substituia

, cu ajutorul creia ecuaia devine: . Deoarece ecuaia obinut este omogen, substituia ne conduce la ecuaia cu variabile separabile . Prin separarea variabilelor i integrare se obine . Revenim acum la variabilele iniiale i obinem soluia general: .

Exemplul 3: S se integreze ecuaia .

Substituia ne conduce la ecuaia . Prin separarea variabilelor, obinem: , , = , deci soluia general a ecuaiei sub forma implicit este:

.

1.2.4. Ecuaii cu diferenial total exact. Factor integrant

Fie ecuaia diferenial , D fiind un domeniu din i s presupunem c. n acest caz se obine ecuaia

,(13)

ecuaie care mai poate fi pus sub forma

,(14)

unde P i Q sunt funcii continue pe D. O ecuaie diferenial scris sub forma (14) se mai numete simetric. Ecuaia (14) se numete cu diferenial total exact dac primul ei membru este difereniala unei funcii. n acest caz exist o funcie difereniabil , astfel nct:

.

Prin urmare, avem:

.(15)

Atam ecuaiei (13) ecuaia

,(16)

unde este o constant arbitrar. Fie o soluie a ecuaiei (13). Avem:

.(17)

Dac notm , atunci:

.

innd cont de relaiile (15) rezult:

,

de unde obinem deci , adic este soluie a ecuaiei (16) pentru . Fie acum o soluie a ecuaiei (16), fapt ce implic . Dac derivm aceast identitate obinem:

i dac inem cont de (15) rezult , adic este soluie a ecuaiei (13).

Propoziia 3: Dac funciile P i Q au derivate pariale de ordinul nti continue pe domeniul , atunci ecuaia este cu diferenial total exact dac i numai dac

(18)

n aceste condiii, soluia general a ecuaiei este dat de formula:

.(19)

Demonstraie: Fie

.

Avem:

==

EMBED Equation.3 .

n mod analog se arat c , de unde rezult c

. Dac , atunci avem

i cu criteriul lui Schwarz, obinem:

. Deoarece este soluie a ecuaiei (14) dac i numai dac este soluie a ecuaiei (16), din cele de mai sus rezult afirmaia din propoziie.

Exemplu: S determinm soluia general a ecuaiei difereniale de ordinul nti sub forma simetric:

.

n acest caz avem: , , , deci ecuaia este cu diferenial total exact.

Fie . Atunci:

i soluia general a ecuaiei este dat sub forma implicit:

.

Factor integrant

Dac ecuaia (14) nu este cu diferenial total exact, se poate cuta o funcie , numit factor integrant, astfel nct ecuaia

(20)

s fie cu diferenial total exact. Condiia pe care trebuie s o satisfac factorul integrant este

,

adic:

(21)

n general, gsirea unui factor integrant se reduce la integrarea ecuaiei (21) care este o ecuaie cu derivate pariale de ordinul nti. Problema rezolvrii ecuaiei (21) este n general mai dificil dect rezolvarea ecuaiei (13). n anumite cazuri se poate determina un factor integrant de o form special. De exemplu, dac depinde numai de x, atunci ecuaia (21) devine:

.(22)

Dac funcia depinde numai de x, atunci ecuaia (22) este cu variabile separabile.

n mod asemntor se caut un factor integrant care depinde numai de y.

Exemplu: S se determine soluia general a ecuaiei simetrice , cu ajutorul unui factor integrant de forma .

Fie . Avem:

EMBED Equation.3 ; i:

; .

Ecuaia (21) se scrie sub forma , ecuaie care este cu variabile separabile. Integrnd aceast ecuaie obinem factorul integrant . nmulind ecuaia dat cu acest factor integrant, se obine ecuaia i aplicnd (19) rezult soluia general a ecuaiei date sub forma implicit: .

1.2.5. Ecuaii liniare

Aceste ecuaii sunt de forma:

(23)

unde sunt funcii continue. Fie o soluie particular a ecuaiei, soluia general a ecuaiei i .

Atunci , adic este soluie a ecuaiei

(24)

Ecuaia (24) se numete ecuaia liniar omogen ataat ecuaiei liniare. Aceasta este o ecuaie cu variabile separabile, ecuaie care are soluia (vezi observaia 4, paragraful 1.2.1):

Pentru determinarea unei soluii particulare a ecuaiei liniare vom folosi metoda variaiei constantei, (metoda lui Lagrange) care const n a cuta o soluie particular de forma:

.

Funcia se determin din condiia ca s verifice ecuaia liniar. Avem:

,

expresie care introdus n ecuaia liniar ne conduce la ecuaia pe care o satisface funcia :

Soluia acestei ecuaii este:

.

Soluia general a ecuaiei liniare este:

.

Observaia 3: 1) Soluia general a unei ecuaii liniare este dat de suma dintre soluia general a ecuaiei liniare omogene asociate i o soluie particular a ecuaiei liniare;

2) Dac sunt dou soluii particulare ale ecuaiei liniare, atunci este soluia general a ecuaiei liniare omogene ataate i soluia general a ecuaiei liniare este .

Exemplu: S determinm soluia general a ecuaiei i soluia particular ce verific condiia (deci s rezolvm problema Cauchy de valori iniiale ataat ecuaiei dat).

Ecuaia liniar omogen ataat , are soluia general:

.

Cutm o soluie particular de forma .

Atunci i dac introducem i n ecuaia liniar obinem, pentru determinarea funciei necunoscute , ecuaia . De aici obinem i . Soluia general a ecuaiei este . Din condiia rezult deci soluia problemei Cauchy este: .

1.2.6. Ecuaii de tip Bernoulli

Ecuaiile Bernoulli sunt de forma:

,

unde sunt funcii continue. Pentru ecuaia este cu variabile separabile iar pentru ecuaia este liniar.

Fie o soluie a ecuaiei Bernoulli i . Atunci:

EMBED Equation.3 ,

adic funcia este o soluie a ecuaiei liniare

.

Reciproc, fie o soluie a ecuaiei liniare de mai sus i . Atunci:

EMBED Equation.3 ,

deci este soluie a ecuaiei Bernoulli.

Am obinut astfel urmtorul rezultat:

Propoziia 4: Fie continue. Funcia este soluie a ecuaiei Bernoulli

dac i numai dac funcia este soluie a ecuaiei liniare

.

Observaia 4: Algoritmul formal pentru obinerea soluiei ecuaiei Bernoulli este urmtorul:

i) se mparte ecuaia Bernoulli prin i se obine ecuaia:

;

ii) se efectueaz substituia:

,

care ne conduce la ecuaia liniar

;

iii) se integreaz ecuaia liniar de mai sus, se obine soluia , cu ajutorul creia se gsete soluia ecuaiei Bernoulli: .

Exemplu: S se integreze ecuaia .

Ecuaia de mai sus este o ecuaie de tip Bernoulli cu . Cu ajutorul substituiei obinem ecuaia liniar , care are soluia general . De aici rezult: .

1.2.7. Ecuaii de tip Riccati

Aceste ecuaii sunt de forma:

unde sunt funcii continue. Fie soluia general i respectiv o soluie particular ale ecuaiei Riccati i .

Atunci:

.

De aici rezult c funcia este soluia general a ecuaiei Bernoulli cu :

.

Reciproc, se arat cu uurin c dac funcia este soluia general a ecuaiei Bernoulli de mai sus i este o soluie particular a ecuaiei Riccati, atunci funcia este soluia general a ecuaiei Riccati.

Am obinut astfel urmtorul rezultat:

Propoziia 5: Dac funcia este soluie a ecuaiei Riccati

,

atunci funcia este soluie a ecuaiei Riccati dac i numai dac funcia este soluie a ecuaie Bernoulli

.

Observaia 5: 1) Pentru integrarea ecuaiei Riccati este necesar cunoaterea unei soluii particulare a acesteia.

2) Deoarece avem o ecuaie Bernoulli cu rezult c este soluie a ecuaiei Riccati dac i numai dac este soluie a ecuaiei liniare

.

3) Fie i dou soluii particulare ale ecuaiei Riccati. Atunci este o soluie particular a ecuaiei liniare

,

deci funcia este soluie a ecuaiei liniare omogene

.

Dac este soluie a ecuaiei precedente, un calcul simplu ne arat c funcia este soluia ecuaiei

.

Aceasta nseamn c dac se cunosc dou soluii particulare ale ecuaiei Riccati ,, atunci este soluie a ecuaiei Riccati dac i numai dac funcia este soluie a ecuaiei .

2) Dac sunt trei soluii ale ecuaiei Riccati atunci soluia general a ecuaiei Riccati poate fi construit cu ajutorul acestor funcii. ntr-adevr, deoarece funciile , sunt dou soluii particulare ale ecuaiei

,

cu ajutorul acestora putem construi soluia general a ecuaiei Riccati:

.

Dac explicitm constanta C din relaia de mai sus rezult:

.

1.3. ecuaii difereniale de ordinul nti sub forma implicit

Aceste ecuaii sunt de forma , unde , , este o funcie continu. Dac notm , atunci ecuaia se scrie sub forma i dac este rezolvabil n raport cu p, atunci ea se reduce la o ecuaie sub forma normal. ntr-adevr, dac f este o funcie cu proprietatea c , atunci se poate verifica uor c orice soluie a ecuaiei este soluie a ecuaiei .

1.3.1. Ecuaii de tip Lagrange

Sunt ecuaii de forma:

,

unde sunt funcii de clas .

S artm c ecuaia lui Lagrange se reduce la integrarea unei ecuaii liniare. ntr-adevr, dac punem atunci ecuaia se scrie:

.

Derivm ecuaia precedent n raport cu x i obinem:

.

n aceast ultim ecuaie nlocuim pe cu p i avem:

.

Dac privim acum pe p ca variabil independent i pe x ca funcie necunoscut, atunci ecuaia precedent se transform ntr-o ecuaie liniar de ordinul nti n x:

.

n cazul , obinem ecuaia:

,

a crei soluie o notm .

Prin utilizarea ecuaiei , obinem soluia general a ecuaiei lui Lagrange sub forma parametric:

.

Dac , atunci ecuaia admite soluia . Dac nlocuim n ecuaia obinem funcia:

,

care este soluie a ecuaiei Lagrange. Soluia astfel obinut este o soluie singular a ecuaiei lui Lagrange.

Exemplu: S se integreze ecuaia .

Dac punem avem i derivm n raport cu x, obinem:

.

Schimbm acum rolul variabilei independente cu cel al funciei i obinem ecuaia:

.

Pentru , obinem soluia . Egalnd cu zero cel de-al doilea factor, obinem ecuaia

,

care are soluia general . Din ecuaia dat rezult , deci soluia general a ecuaiei este dat parametric sub forma:

.

1.3.2. Ecuaii Clairaut

Ecuaiile Clairaut au forma

,

unde este o funcie de clas .

Ecuaia Clairaut este o ecuaie Lagrange particular, cnd . Pentru integrarea ecuaiei se procedeaz la fel ca n cazul ecuaiei Lagrange.

nlocuind pe cu p, se obine ecuaia

,

care prin derivare n raport cu x ne conduce la ecuaia

.

Din obinem , de unde obinem soluia general a ecuaiei sub forma:

.

Deci soluia general a ecuaiei Clairaut reprezint geometric o familie de drepte.

Dac , atunci , . Ultimele dou expresii ne dau soluia singular a ecuaiei Clairaut sub form parametric.

1.4. ecuaii difereniale de ordin superior

1.4.1. Ecuaii difereniale de forma

Aceste ecuaii se integreaz uor prin cuadraturi. ntr-adevr, prin integrri succesive ale ecuaiei, obinem:

;

;

EMBED Equation.3 .

Soluia astfel gsit verific condiiile iniiale: ; ; ;;.

Prin inducie se arat c soluia general a ecuaiei poate fi pus i sub forma:

.

1.4.2. Ecuaii difereniale de forma

n acest caz, F nu depinde de y i de derivatele sale de ordin mai mic dect k, .

Prin schimbarea de variabil ecuaia devine: , care este o ecuaie diferenial de ordinul .

Dac reuim s determinm soluia general a acestei ecuaii, , atunci integrarea ecuaiei iniiale se reduce la integrarea ecuaiei

,

care este o ecuaie de tipul 1.4.1.

Exemplu: S se afle soluia general a ecuaiei .

Facem schimbarea de variabil i obinem ecuaia , care este o ecuaie cu variabile separabile, cu soluia general .

Se obine astfel ecuaia , care are soluia general

.

1.4.3. Ecuaii difereniale de forma

n acest caz funcia F nu depinde explicit de variabila independent x. Ordinul acestei ecuaii poate fi redus cu o unitate n modul urmtor. S presupunem c este soluie a acestei ecuaii i c . Atunci este interval, este inversabil i este derivabil, cu derivata continu. Rezult c putem defini funcia , , . Din definiia funciei rezult . Atunci:

;

i prin inducie dup k se poate demonstra c

,

pentru orice , unde i sunt funcii polinomiale. Deci:

.

De aici rezult c funcia este soluie a ecuaiei

,

ecuaie care are ordinul cu o unitate mai mic dect cel al ecuaiei iniiale.

Observaia 1: Pentru rezolvarea acestui tip de ecuaie se procedeaz formal n modul urmtor:

i) se ia ca variabil independent funcia necunoscut i ca nou funcie necunoscut derivata : ; se calculeaz apoi derivatele de ordin superior ale lui y n funcie de t: ; se obine ca mai sus, o ecuaie diferenial n z, cu un ordin mai mic dect cel al ecuaiei iniiale;

ii) se determin soluia general a acestei ecuaii;

iii) se determin soluia general a ecuaiei iniiale prin rezolvarea ecuaiei .

Exemplu: S integrm ecuaia .

Din ecuaie lipsete variabila independent deci notm , . Atunci i nlocuind n ecuaia dat obinem ecuaia cu variabile separabile . Aceast ecuaie are soluia general , sau . Am obinut astfel o ecuaie cu variabile separabile care are soluia general .

1.4.4. Ecuaii difereniale de forma , omogene de grad p n raport cu argumentele

Aceste ecuaii sunt de forma:

,

unde funcia F verific condiia

.

Dac presupunem c , atunci lund , ecuaia devine:

.

Aceast form a ecuaiei ne sugereaz efectuarea substituiei . Dac este soluie a ecuaiei iniiale i atunci se poate arta prin inducie c , unde este un polinom. De aici rezult c prin substituia de mai sus se reduce ordinul ecuaiei cu o unitate.

Exemplu: S se determine soluia general a ecuaiei .

Efectum substituia . Atunci: ; ; . Ecuaia devine , de unde obinem: ; .

1.5. exerciii

1) S se determine soluia general a urmtoarelor ecuaii cu variabile separabile:

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) ;

f) ;

g) .

2) S se integreze urmtoarele ecuaii omogene i reductibile la ecuaii omogene:

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) ;

f) ;

g) ;

h) ;

i) ;

j) ;

k) ;

l) ;

m) .

3) S se determine soluia general a urmtoarelor ecuaii cu diferenial total exact:

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) ;

f) ;

g) ;

h) ;

i) ;

j) .

4) S se integreze ecuaiile urmtoare, cutnd un factor integrant de forma indicat:

a) , ;

b) , ;

c) , ;

d) , ;

e) , ;

f) , ;

g) , ;

h) , ;

i) , ;

j) , ;

k) , ;

l) , .

5) S se integreze ecuaiile liniare:

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) ;

f) ;

g) ;

h)

6) S se determine soluiile urmtoarelor probleme Cauchy:

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) ;

f) ;

g) ;

h) .

7) S se determine soluia general a ecuaiilor de tip Bernoulli:

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) ;

f) ;

g) .

8) S se integreze ecuaiile urmtoare, tiind c admit soluiile particulare indicate:

a) ;

b) ;

c)

;

d) ;

e) ;

f) ;

g) .

9) S se determine soluia general a ecuaiilor:

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) ;

f) ;

g)

10) S se determine soluia urmtoarelor probleme Cauchy:

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) ;

f) ;

g) .

11) S se determine soluia general a urmtoarelor ecuaii:

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e) .

_1137072079.unknown

_1137074832.unknown

_1137075867.unknown

_1137076098.unknown

_1137076175.unknown

_1137076246.unknown

_1137076276.unknown

_1137845823.unknown

_1139132192.unknown

_1142676421.unknown

_1137846554.unknown

_1137851364.unknown

_1137851375.unknown

_1137846216.unknown

_1137846269.unknown

_1137845873.unknown

_1137076291.unknown

_1137845437.unknown

_1137845800.unknown

_1137845768.unknown

_1137076294.unknown

_1137076298.unknown

_1137076284.unknown

_1137076288.unknown

_1137076279.unknown

_1137076261.unknown

_1137076269.unknown

_1137076273.unknown

_1137076266.unknown

_1137076253.unknown

_1137076258.unknown

_1137076250.unknown

_1137076207.unknown

_1137076231.unknown

_1137076238.unknown

_1137076242.unknown

_1137076235.unknown

_1137076223.unknown

_1137076226.unknown

_1137076220.unknown

_1137076192.unknown

_1137076198.unknown

_1137076203.unknown

_1137076195.unknown

_1137076182.unknown

_1137076186.unknown

_1137076179.unknown

_1137076142.unknown

_1137076159.unknown

_1137076167.unknown

_1137076171.unknown

_1137076163.unknown

_1137076150.unknown

_1137076153.unknown

_1137076146.unknown

_1137076120.unknown

_1137076133.unknown

_1137076139.unknown

_1137076129.unknown

_1137076107.unknown

_1137076111.unknown

_1137076103.unknown

_1137075987.unknown

_1137076041.unknown

_1137076074.unknown

_1137076089.unknown

_1137076093.unknown

_1137076083.unknown

_1137076060.unknown

_1137076070.unknown

_1137076045.unknown

_1137076010.unknown

_1137076030.unknown

_1137076039.unknown

_1137076026.unknown

_1137075999.unknown

_1137076006.unknown

_1137075997.unknown

_1137075939.unknown

_1137075957.unknown

_1137075980.unknown

_1137075983.unknown

_1137075965.unknown

_1137075949.unknown

_1137075953.unknown

_1137075945.unknown

_1137075900.unknown

_1137075927.unknown

_1137075935.unknown

_1137075910.unknown

_1137075880.unknown

_1137075889.unknown

_1137075870.unknown

_1137075635.unknown

_1137075741.unknown

_1137075805.unknown

_1137075839.unknown

_1137075850.unknown

_1137075860.unknown

_1137075846.unknown

_1137075817.unknown

_1137075826.unknown

_1137075814.unknown

_1137075776.unknown

_1137075785.unknown

_1137075795.unknown

_1137075780.unknown

_1137075759.unknown

_1137075767.unknown

_1137075745.unknown

_1137075707.unknown

_1137075725.unknown

_1137075731.unknown

_1137075738.unknown

_1137075728.unknown

_1137075719.unknown

_1137075721.unknown

_1137075710.unknown

_1137075656.unknown

_1137075666.unknown

_1137075669.unknown

_1137075662.unknown

_1137075648.unknown

_1137075653.unknown

_1137075650.unknown

_1137075640.unknown

_1137075645.unknown

_1137075087.unknown

_1137075378.unknown

_1137075567.unknown

_1137075575.unknown

_1137075630.unknown

_1137075627.unknown

_1137075571.unknown

_1137075435.unknown

_1137075506.unknown

_1137075384.unknown

_1137075125.unknown

_1137075133.unknown

_1137075141.unknown

_1137075344.unknown

_1137075137.unknown

_1137075130.unknown

_1137075118.unknown

_1137075121.unknown

_1137075109.unknown

_1137074915.unknown

_1137075010.unknown

_1137075053.unknown

_1137075057.unknown

_1137075020.unknown

_1137074923.unknown

_1137074988.unknown

_1137074919.unknown

_1137074874.unknown

_1137074890.unknown

_1137074902.unknown

_1137074878.unknown

_1137074844.unknown

_1137074870.unknown

_1137074836.unknown

_1137073575.unknown

_1137074031.unknown

_1137074444.unknown

_1137074753.unknown

_1137074810.unknown

_1137074821.unknown

_1137074826.unknown

_1137074815.unknown

_1137074813.unknown

_1137074788.unknown

_1137074806.unknown

_1137074758.unknown

_1137074680.unknown

_1137074744.unknown

_1137074747.unknown

_1137074732.unknown

_1137074506.unknown

_1137074524.unknown

_1137074628.unknown

_1137074510.unknown

_1137074488.unknown

_1137074348.unknown

_1137074400.unknown

_1137074408.unknown

_1137074429.unknown

_1137074401.unknown

_1137074389.unknown

_1137074394.unknown

_1137074353.unknown

_1137074081.unknown

_1137074247.unknown

_1137074345.unknown

_1137074134.unknown

_1137074038.unknown

_1137074041.unknown

_1137074034.unknown

_1137073718.unknown

_1137073974.unknown

_1137074000.unknown

_1137074023.unknown

_1137074026.unknown

_1137074018.unknown

_1137073984.unknown

_1137073993.unknown

_1137073979.unknown

_1137073809.unknown

_1137073864.unknown

_1137073925.unknown

_1137073816.unknown

_1137073801.unknown

_1137073805.unknown

_1137073798.unknown

_1137073794.unknown

_1137073638.unknown

_1137073655.unknown

_1137073710.unknown

_1137073714.unknown

_1137073701.unknown

_1137073647.unknown

_1137073651.unknown

_1137073641.unknown

_1137073621.unknown

_1137073628.unknown

_1137073636.unknown

_1137073625.unknown

_1137073586.unknown

_1137073593.unknown

_1137073580.unknown

_1137073080.unknown

_1137073192.unknown

_1137073494.unknown

_1137073533.unknown

_1137073561.unknown

_1137073567.unknown

_1137073537.unknown

_1137073506.unknown

_1137073525.unknown

_1137073504.unknown

_1137073449.unknown

_1137073468.unknown

_1137073488.unknown

_1137073455.unknown

_1137073463.unknown

_1137073205.unknown

_1137073307.unknown

_1137073198.unknown

_1137073129.unknown

_1137073165.unknown

_1137073176.unknown

_1137073181.unknown

_1137073169.unknown

_1137073174.unknown

_1137073141.unknown

_1137073160.unknown

_1137073163.unknown

_1137073136.unknown

_1137073100.unknown

_1137073109.unknown

_1137073123.unknown

_1137073104.unknown

_1137073092.unknown

_1137073096.unknown

_1137073084.unknown

_1137072215.unknown

_1137072365.unknown

_1137072840.unknown

_1137072886.unknown

_1137073076.unknown

_1137072844.unknown

_1137072824.unknown

_1137072829.unknown

_1137072807.unknown

_1137072299.unknown

_1137072338.unknown

_1137072360.unknown

_1137072303.unknown

_1137072246.unknown

_1137072260.unknown

_1137072255.unknown

_1137072220.unknown

_1137072146.unknown

_1137072163.unknown

_1137072173.unknown

_1137072177.unknown

_1137072170.unknown

_1137072167.unknown

_1137072151.unknown

_1137072158.unknown

_1137072148.unknown

_1137072125.unknown

_1137072135.unknown

_1137072142.unknown

_1137072131.unknown

_1137072114.unknown

_1137072119.unknown

_1137072103.unknown

_1137068710.unknown

_1137070452.unknown

_1137071494.unknown

_1137071866.unknown

_1137071985.unknown

_1137072056.unknown

_1137072065.unknown

_1137072074.unknown

_1137072061.unknown

_1137071998.unknown

_1137072042.unknown

_1137071990.unknown

_1137071956.unknown

_1137071970.unknown

_1137071978.unknown

_1137071959.unknown

_1137071878.unknown

_1137071918.unknown

_1137071874.unknown

_1137071742.unknown

_1137071793.unknown

_1137071801.unknown

_1137071857.unknown

_1137071797.unknown

_1137071769.unknown

_1137071773.unknown

_1137071752.unknown

_1137071594.unknown

_1137071657.unknown

_1137071685.unknown

_1137071644.unknown

_1137071517.unknown

_1137071580.unknown

_1137071505.unknown

_1137070884.unknown

_1137071312.unknown

_1137071390.unknown

_1137071399.unknown

_1137071492.unknown

_1137071394.unknown

_1137071380.unknown

_1137071386.unknown

_1137071374.unknown

_1137071204.unknown

_1137071301.unknown

_1137071308.unknown

_1137071229.unknown

_1137070999.unknown

_1137071195.unknown

_1137070982.unknown

_1137070588.unknown

_1137070742.unknown

_1137070828.unknown

_1137070844.unknown

_1137070854.unknown

_1137070859.unknown

_1137070863.unknown

_1137070849.unknown

_1137070836.unknown

_1137070840.unknown

_1137070832.unknown

_1137070820.unknown

_1137070823.unknown

_1137070749.unknown

_1137070654.unknown

_1137070738.unknown

_1137070642.unknown

_1137070507.unknown

_1137070520.unknown

_1137070548.unknown

_1137070512.unknown

_1137070499.unknown

_1137070503.unknown

_1137070494.unknown

_1137069548.unknown

_1137069675.unknown

_1137070032.unknown

_1137070143.unknown

_1137070169.unknown

_1137070172.unknown

_1137070153.unknown

_1137070114.unknown

_1137070132.unknown

_1137070099.unknown

_1137069904.unknown

_1137069990.unknown

_1137069999.unknown

_1137069971.unknown

_1137069824.unknown

_1137069856.unknown

_1137069748.unknown

_1137069606.unknown

_1137069626.unknown

_1137069635.unknown

_1137069654.unknown

_1137069629.unknown

_1137069615.unknown

_1137069620.unknown

_1137069610.unknown

_1137069570.unknown

_1137069593.unknown

_1137069601.unknown

_1137069591.unknown

_1137069559.unknown

_1137069562.unknown

_1137069554.unknown

_1137068832.unknown

_1137069242.unknown

_1137069306.unknown

_1137069537.unknown

_1137069541.unknown

_1137069492.unknown

_1137069525.unknown

_1137069311.unknown

_1137069249.unknown

_1137069302.unknown

_1137069244.unknown

_1137068938.unknown

_1137069029.unknown

_1137069037.unknown

_1137069042.unknown

_1137069033.unknown

_1137068943.unknown

_1137068928.unknown

_1137068933.unknown

_1137068931.unknown

_1137068852.unknown

_1137068748.unknown

_1137068812.unknown

_1137068820.unknown

_1137068827.unknown

_1137068816.unknown

_1137068802.unknown

_1137068807.unknown

_1137068804.unknown

_1137068759.unknown

_1137068732.unknown

_1137068740.unknown

_1137068744.unknown

_1137068737.unknown

_1137068719.unknown

_1137068723.unknown

_1137068712.unknown

_1137066728.unknown

_1137067768.unknown

_1137068384.unknown

_1137068560.unknown

_1137068670.unknown

_1137068699.unknown

_1137068707.unknown

_1137068694.unknown

_1137068605.unknown

_1137068640.unknown

_1137068563.unknown

_1137068525.unknown

_1137068551.unknown

_1137068555.unknown

_1137068532.unknown

_1137068513.unknown

_1137068520.unknown

_1137068391.unknown

_1137068104.unknown

_1137068368.unknown

_1137068379.unknown

_1137068382.unknown

_1137068373.unknown

_1137068288.unknown

_1137068363.unknown

_1137068164.unknown

_1137067989.unknown

_1137068076.unknown

_1137068081.unknown

_1137068018.unknown

_1137067783.unknown

_1137067871.unknown

_1137067773.unknown

_1137067389.unknown

_1137067522.unknown

_1137067668.unknown

_1137067758.unknown

_1137067763.unknown

_1137067740.unknown

_1137067532.unknown

_1137067663.unknown

_1137067527.unknown

_1137067502.unknown

_1137067512.unknown

_1137067518.unknown

_1137067508.unknown

_1137067494.unknown

_1137067456.unknown

_1137067482.unknown

_1137067275.unknown

_1137067298.unknown

_1137067321.unknown

_1137067382.unknown

_1137067302.unknown

_1137067289.unknown

_1137067295.unknown

_1137067292.unknown

_1137067285.unknown

_1137066802.unknown

_1137067155.unknown

_1137067202.unknown

_1137067042.unknown

_1137066767.unknown

_1137066772.unknown

_1137066760.unknown

_1137063605.unknown

_1137066390.unknown

_1137066427.unknown

_1137066675.unknown

_1137066720.unknown

_1137066726.unknown

_1137066714.unknown

_1137066669.unknown

_1137066672.unknown

_1137066664.unknown

_1137066409.unknown

_1137066419.unknown

_1137066423.unknown

_1137066414.unknown

_1137066398.unknown

_1137066403.unknown

_1137066394.unknown

_1137065653.unknown

_1137066357.unknown

_1137066381.unknown

_1137066386.unknown

_1137066371.unknown

_1137066338.unknown

_1137066344.unknown

_1137065674.unknown

_1137064140.unknown

_1137065469.unknown

_1137065640.unknown

_1137065438.unknown

_1137063629.unknown

_1137063654.unknown

_1137063646.unknown

_1137063624.unknown

_1137060572.unknown

_1137062015.unknown

_1137063586.unknown

_1137063595.unknown

_1137063598.unknown

_1137063590.unknown

_1137063573.unknown

_1137063577.unknown

_1137063471.unknown

_1137061858.unknown

_1137061986.unknown

_1137062011.unknown

_1137062009.unknown

_1137061912.unknown

_1137060586.unknown

_1137061705.unknown

_1137060581.unknown

_1137060469.unknown

_1137060537.unknown

_1137060550.unknown

_1137060555.unknown

_1137060541.unknown

_1137060499.unknown

_1137060505.unknown

_1137060483.unknown

_1077297633.unknown

_1137060330.unknown

_1137060363.unknown

_1137060394.unknown

_1137060399.unknown

_1137060376.unknown

_1137060355.unknown

_1137060222.unknown

_1137060312.unknown

_1137060273.unknown

_1132324366.unknown

_1132332970.unknown

_1132349467.unknown

_1132354654.unknown

_1132328021.unknown

_1077299460.unknown

_1132323931.unknown

_1077299542.unknown

_1077297670.unknown

_1077117006.unknown

_1077119008.unknown

_1077131338.unknown

_1077291763.unknown

_1077126290.unknown

_1077117797.unknown

_1077118536.unknown

_1077117054.unknown

_1044963699.unknown

_1071171295.unknown

_1071953635.unknown

_1077116782.unknown

_1077116937.unknown

_1071953663.unknown

_1071324931.unknown

_1071324993.unknown

_1071953602.unknown

_1071171496.unknown

_1045509290.unknown

_1071170032.unknown

_1045153406.unknown

_1044960533.unknown

_1044962637.unknown

_1044874366.unknown