Cap 4 Analiza Stabilitatii SEE Complexe

8/13/2019 Cap 4 Analiza Stabilitatii SEE Complexe

http://slidepdf.com/reader/full/cap-4-analiza-stabilitatii-see-complexe 1/20

Capitolul 4

ANALIZA STABILITĂŢII SISTEMELOR ELECTROENERGETICECOMPLEXE

4.1. Modelul matematic algebro-diferenţial

Conform celor prezentate în capitolele anterioare, comportamentuldinamic al unui sistem electroenergetic complex, constituit dingeneratoarele electrice, reţeaua electrică de transport, sarcinile şisistemele de reglarea automată, este descris de un sistem hibrid deecuaţii algebro-diferenţiale – EAD a cărui formă compactă este:

x f x, y, μ (4.1,a )

0 g x,y, μ (4.1,b) în care:x este vectorul variabilelor dinamice de stare, constituit din:

unghiurile rotorice, vitezele unghiulare, t.e.m etc.;y – vectorul variabilelor algebrice de stare, constituit din

modulele şi argumentele tensiunilor nodale, curenţiistatorici etc.;

μ – vectorul parametrilor care include: puterile activă şireactivă consumate, valorile de consemn aleregulatoarelor etc).

Pentru a stabili forma detaliată a modelului EAD se are în vedere că:(i) numărul şi forma ecuaţiilor diferenţiale depind de gradul dedetaliere folosit pentru modelarea proceselor dinamice aferentegeneratoarelor şi sistemelor de reglare automată;

(ii) sistemul de ecuaţii (4.1,b), care defineşte domeniul restricţiilor algebrice, este constituit din ecuaţiile bilanţului puterilor înnodurile reţelei de transport şi ecuaţiile statorice alegeneratoarelor sincrone.

Deşi în formularea matematică se pot utiliza modele complexe pentrugeneratorul sincron care să ţină seama de procesele subtranzitorii dinrotor şi de saturaţia magnetică, precum şi modele detaliate pentru

sistemele de excitaţie, de reglare automată a tensiunii – RAT şi a vitezei -RAV, în cele ce urmează, pentru a facilita expunerea, se adoptăurmătoarele ipoteze:

se neglijează procesele subtranzitorii şi saturaţia magnetică;se consideră o singură înfăşurare de amortizare dispusă în axaq şi

se neglijează anizotropia tranzitorie, adică se consideră ' '

d q X X ;sistemul de excitaţie împreună cu regulatorul automat de tensiunesunt modelate printr-o funcţie de transfer simplă de forma:

( )1

e

e

K H s

sT (4.2)

se neglijează efectul sistemului de reglare automată a admisieiagentului primar în turbină, adică se consideră puterea mecanică

mP la arborele generatorului constantă;

În aceste condiţii, modelul algebro – diferenţial al unui sistemelectroenergetic avândn noduri şim generatoare este constituit din:

A. Sistemul ecuaţiilor diferenţiale

ecua i i le regimului e lectromecanic

, , ,1

( ) ( ) 1,2,...,im i e i i i i

i

d P P D f i m

dt M x,y, μ (4.3)

0 , ( ) 1,2,...,ii i

d f i m

dt x,y, μ (4.4)

în care , , , , ,e i d i d i q i q iP U I U I este puterea electromagnetică la arborelegeneratorului, egală cu puterea activă la bornele acestuia deoarece s-auneglijat rezistenţele înfăşurărilor statorice.

ecua i i le regimului e lectromagnet ic

',

', ' '

, , , ,'0,

1[ ( ) ] ( ) 1,2,...,

d i

d id i q i q i q i E

q i

dE E X X I f i m

dt T x,y, μ (4.5)

',

', ' '

, , , , ,'0,

1[ ( ) ] ( ) 1,2,...,

q i

q iq i f i d i d i d i E

d i

dE E E X X I f i m

dt T x,y, μ (4.6)



ecua iile sistemelo r de excita ie şi RAT

Având în vedere expresia funcţiei de transfer adoptată pentrureprezentarea sistemului de excitaţie şi RAT rezultă:

,

,

, , 0,,

1[ ( )] ( ) 1,2,..., f i

f i

f i e i i i E e i

dE

E K U U f i mdt T

x,y, μ (4.7)

A. Sistemul ecuaţiilor algebriceecua iile statoric e

' ', , , , , ( ) 0 1,2,...,

d q i q i d i d i I iU E X I g i m x,y, μ (4.8)

' ', , , , , ( ) 0 1,2,...,

qd i d i q i q i I iU E X I g i m x,y, μ (4.9)

Din aceste două relaţii rezultă:' ' ' '

, , , , , , , ,( )d i q i d i q i q i q i d i d iU jU E X I j E X I

Dacă în membrul drept se adună şi se scade termenul'

, , ,( )d i d i q i jX I jI , după efectuarea calculelor se obţine:

' ' ' ' ', , , , , , , , , ,[ ( ) ] ( )d i q i d i d i q i q i q i d i d i q iU jU E X X I jE jX I jI (4.10)

În ipoteza neglijării anizotropiei tranzitorii ' ', ,d i q i X X , relaţia (4.10)

devine:' ' '

, , , , , , ,( )d i q i d i q i d i d i q iU jU E jE jX I jI (4.10’)

Având în vedere legătura dintre sistemul de coordonate (d , q ) ataşat

fiecărui generator sincron şi sistemul de coordonate (+1,+ j ) ataşat reţeleielectrice, prin înmulţirea ambilor membrii ai relaţiei (4.10’) cu

( )2i j

e

rezultă:' '

, , 1,2,...,d ii g iiU E jX I i m (4.11)

în care: ( )' ' ' 2

, ,( ) i j

d i q ii E E jE e

este t.e.m. în regim dinamic;( )

2, ,, ( )

i j

d i q ig i I I jI e

– curentul injectat de generator în nodul deracord;

i jiiU U e – tensiunea nodului de racord.

Prin urmare, în regim dinamic, fiecare generator sincron se reprezintăprintr-o tensiune electromotoare '

i E în spatele reactanţei tranzitorii ',d i X (fig.

4.1), iar ecuaţiile statorice (4.8) şi (4.9) pot fi înlocuite cu următoarea ecuaţiescrisă în complex:

( ) ( )' ' '2 2, , , ,( ) ( ) 1,2,...,

i ii

j j ji d i q d i d i q iU e E jE e jX I jI e i m

(4.12)

1

n PQ

n +PQ 1

n=n +mPQ

E 1

I g,1

I g,m

I c,n

P +jQc ,n c ,n

P +jQc ,1 c ,1

I c,1

E m

’

’

’

’

jX d,1

jX d,m

Re ţeauaelectrică

[ ]=[ ][ ] I Y U n nn n

Fig. 4.1. Schema de principiu a SEE în regim dinamicecua iile re elei electrice

Ecuaţiile reţelei electrice sunt ecuaţiile algebrice care exprimă bilanţulputerilor active şi reactive în noduri. Pentru a deduce forma în care acesteecuaţii sunt incluse în modelul EAD, se porneşte de la ecuaţia matriceală atensiunilor nodale:

n nn n I Y U

şi se exprimă curentul nodal , ,

i g i c i I I I , definit ca diferenţa dintrecurentul ,g i I injectat de generator şi cel absorbit de sarcină ,c i I :

, ,1

1,2,...,n

i g i c i ik k k

I I I Y U i n (4.13)

în care: ik ik ik Y G jB este termenul (i , k ) din matricea admitanţelor nodale nnY ;

k jk k U U e – tensiunea noduluik .



Ţinând cont de relaţia (4.13) şi de faptul că puterea complexă nodalăeste *

ii iS U I , rezultă:

* *, ,

1

1,2,...,n

ik g i c i i k k

S S U Y U i n (4.14)

în care:( )* 2

, , , ,,, ( ) i

i j j

g i g i i d i q ig ig i iS P jQ U I U e I jI e

(4.15)

este puterea complexă injectată de generator în nodul de racordi ,exprimată în funcţie de modulul iU şi argumentul i ale tensiunii nodului,componentele ,d i I şi ,q i I ale curentului statoric şi unghiul rotoric i , iar

*, , ,, ( ) ( )c i i c i i c ic i iS P U jQ U U I (4.16)

este puterea consumată care, în funcţie de caracteristicile dinamice alesarcinii, este dependentă de modulul tensiunii nodului de racord.

Dacă în relaţia (4.14) se separă partea reală de cea imaginară şi seţine cont de relaţiile (4.15) şi (4.16), rezultă următoarea formă a ecuaţiilor bilanţului de puteri în noduri, care se includ în modelul EAD:

, ,1

( ) cos( ) sin( )

( ) 0 1, 2,...,i

n

g i c i i i k ik i k ik i k k

P

P P U U U G B

g i n

x,y, μ(4.17)

, ,1

( ) sin( ) cos( )

( ) 0 1,2,...,i

n

g i c i i i k ik i k ik i k k

Q

Q Q U U U G B

g i n

x,y, μ

(4.18)

Din cele prezentate se desprind următoarele concluzii:(i) Pentru fiecare generator există:

cinci variabilele dinamice de stare ' ', , ,[ , , , , ] T

i i i d i q i f i E E E x

cărora li se asociază ecuaţiile diferenţiale (4.3) ... (4.7);

două variabile algebrice de stare , , ,[ , ] T I i d i q i I I y cărora li se

asociază ecuaţiile algebrice (4.8) şi (4.9) sau ecuaţia complexă(4.12);

doi parametrii independenţi , 0,[ , ]T i m i iP U μ

(ii) Pentru fiecare nod al reţelei electrice există două variabilealgebrice de stare , [ , ] T

U i i iU y cărora li se asociază ecuaţiilealgebrice (4.17) şi (4.18).

Dacă se definesc vectorii:

1 2[ , ,..., ]T T T T mx x x x vectorul variabilelor dinamice de stare;

,1 ,2 , ,1 ,2 ,[ , ,..., , , ,..., ]T T T T T T T I I I m U U U ny y y y y y y vectorul variabilelor algebrice de

stare;

1 2[ , ,..., ]T T T T mμ μ μ μ vectorul parametrilor.

atunci, modelul EAD, constituit din 5m ecuaţii diferenţiale de tipul (4.3) ...(4.7), respectiv 2m ecuaţii algebrice de tipul (4.8) şi (4.9) aferentegeneratoarelor sincrone şi din 2n ecuaţii algebrice de tipul (4.17) şi (4.18)aferente reţelei electrice, se poate scrie sub forma compactă (4.1).

Dimensiunea sistemului de ecuaţii algebrice poate fi redusă de la2( )m n ecuaţii la numai 2n ecuaţii prin eliminarea curenţilor statorici.Ideea de bază constă în exprimarea acestora în funcţie de variabileledinamice de stare şi variabilele algebrice de stare ataşate reţelei electrice. În acest sens, în conformitate cu relaţia de legătură dintre sistemul decoordonate (+1,+ j ) ataşat reţelei electrice şi sistemul de coordonaterotorice (d , q) atașat generatorului, rezultă:

( )2

, ,( ) i

i j j

i d i q iiU U e U jU e

din care se obţine:,

,

sin( )

cos( )d i i i i

q i i i i

U U

U U

(4.19)

Înlocuind expresiile (4.19) în ecuaţiile (4.8) şi (4.9), rezultă:',

, , ,',

cos( )( , )q i i i i

d i d i i U id i

E U I h

X

x y (4.20)

',

, , ,',

sin( )( , )d i i i i

q i q i i U iq i

E U I h

X

x y (4.21)



Folosind relaţiile (4.20) şi (4.21) se elimină curenţii statorici dinecuaţiile diferenţiale (4.3) ... (4.7) şi ecuaţiile algebrice (4.17) şi (4.18),rezultând un sistem de ecuaţii algebro – diferenţiale de forma:

0

x f x, y, μ

g x,y(4.22)

În această formă a modelului global EAD, vectorul variabilelor algebriceconţine numai variabilele de stare asociate reţelei electrice, adică

1 2 1 2[ , ,..., , , ,..., ] T n nU U U y şi, prin urmare, sistemul de ecuaţii algebrice

este format doar din ecuaţiile reţelei electrice, în coordonate polare.

Ecua ţia demişcare

Ecua ţiilecircuitelor

rotorice

Ecua ţiilecircuitelorstatorice

Regulatorulde vitez ă

Sistemul deexcita ieţ

Ecua ţii diferenţiale

Ecua ţii algebrice

E c u a ţ

i i a

l g e

b r i c e

Interfa ţagenerator-reţea

Interfa ţagenerator-reţea

Interfa ţadispozitiv-reţea

R e ţ e a u a e l e c t r i c

ă

Alte generatoare

Alte dispozitive(motoare asincrone,dispozitive FACTS)

Fig. 4.2. Schema bloc pentru dezvoltarea modelului EAD al unui SEEDupă cum s-a menţionat, modelul EAD prezentat poate fi îmbunătăţit

prin luarea în considerare a proceselor subtranzitorii şi/sau utilizarea unor modele mai complicate pentru sistemele de reglare automată, sau poate fisimplificat, prin neglijarea dinamicii fluxului magnetic din înfăşurărilerotorice, adică prin utilizarea modelului clasic pentru reprezentareageneratoarelor sincrone.

De asemenea, în modelul global EAD de tipul (4.22) pot fi incluse şimodelele dinamice ale altor echipamente cum ar fi motoarele asincrone,dispozitivele FACTS, legăturile la tensiune continuă – HVDC etc.

Procedura este similară cu cea prezentată anterior pentru generatorulsincron şi se bazează pe blocul de interfaţă dintre reţeaua electrică şidispozitivul modelat (fig. 4.2). Acesta stabileşte relaţia de legătură dintresistemul de coordonate (+1, + j ) ataşat reţelei electrice şi sistemul decoordonate folosit pentru dezvoltarea modelului dinamic al dispozitivuluirespectiv.

4.2. Calculul condiţiilor iniţiale Analiza comportamentului dinamic al sistemului electroenergetic,

folosind modelul EAD, impune cunoaşterea valorilor iniţiale ale variabilelorde stare, adică punctul de echilibru faţă de care se analizează stabilitatea.

Din punct de vedere pur matematic, pentru un set de valori0μ μ impuse parametrilor, acest calcul se poate efectua rezolvând

sistemul de ecuaţii algebrice neliniare:

0 0f x,y, μ (4.23,a )

0g x,y (4.23,b)

obţinut prin anularea derivatelor în raport cu timpul în setul de ecuaţii(4.22).

O astfel de abordare este însă inadecvată datorită dificultăţilor legatede identificarea unei soluţii a sistemului de ecuaţii (4.23) acceptabilă dinpunct de vedere practic. Din acest motiv, pentru calculul condiţiilor iniţiale,se utilizează o procedură sistematică bazată pe decuplarea şi rezolvareasuccesivă a celor două sisteme de ecuaţii (4.23,a ) şi (4.23,b). Mai întâi sedetermină vectorul variabilelor algebricey prin rezolvarea sistemului deecuaţii (4.23,b) şi apoi cel al variabilelor dinamicex prin rezolvareasistemului de ecuaţii (4.23,a ).

4.2.1. Calculul condiţiilor iniţiale pentru reţeaua electricăInteracţiunea dintre reţeaua electrică şi dispozitivele conectate la

aceasta (generatoare, consumatori etc.) se simulează impunând valorianumitor variabile (puteri, tensiuni sau curenţi) la borne. Valorile impusese stabilesc astfel încât, pe de o parte să fie reflectat regimul defuncţionare al echipamentelor respective, iar pe de altă parte, să se obţinăun regim normal de funcţionare pentru reţeaua electrică (un nivel detensiune acceptabil, încărcări ale liniilor şi transformatoarelor electrice în

limitele admisibile etc.).



În acest context, calculul variabilelor algebrice de stare reprezintă de faptcalculul regimului permanent al sistemului electroenergetic. După cum estecunoscut, acest calcul are la bază ecuaţiile (4.17) şi (4.18) ale bilanţului deputeri în nodurile reţelei electrice în care se consideră că vectorul variabilelor dinamice de stare 0x x şi cel al parametrilor 0μ μ sunt cunoscuţi. În acestsens se adoptă următoarele ipoteze:

(i) se consideră că reglajul de frecvenţă este de tip astatic. Prinurmare, se alege un nod, de regulă nodul la care este conectat celmai puternic generator, ca nod de echilibru având rolul de a închidebilanţul puterilor active pe ansamblul sistemului şi, în mod implicit,de a stabili frecvenţa în sistem egală cu frecvenţa nominală 0 f . Înplus, tensiunea nodului de echilibru se alege ca origine fază(coincide cu axa reală a sistemului de coordonate (+1, + j ) ataşatreţelei electrice);

(ii) se simulează efectul regulatoarelor automate de tensiune aferentegeneratoarelor sincrone impunând valoarea tensiunii în nodurile lacare acestea sunt conectate. Ulterior, se vor determina valorile deconsemn ale regulatoarelor astfel încât să se obţină tensiuneaimpusă la borne;

(iii) se simulează participarea generatoarelor la reglajul primar defrecvenţă impunând valorile puterilor active la bornele acestora.Deoarece s-au neglijat pierderile de putere activă în generatoare,puterea activă la bornele fiecărui generator este egală cu putereamecanică pe care trebuie să o dezvolte turbina de antrenare, adicăcu puterea de consemn pentru regulatorul automat de vitezăaferent;

(iv) se specifică puterile activă şi reactivă solicitate/consumate de fiecaresarcină şi se consideră că acestea sunt independente de tensiuneanodului de racord. Această ipoteză nu implică faptul că, în realitate,sarcinile au caracteristici de tipul putere constantă; ea permitedeterminarea nivelului de tensiune în nodurile reţelei electrice atuncicând sarcinile, indiferent de caracteristicile lor, consumă o anumităputere. Prin urmare, calculul regimului permanent efectuat în ipotezacă puterile active şi reactive consumate de către sarcini sunt constanteoferă condiţiile necesare iniţializării modelului dinamic al sarcinii şi dinacest motiv poartă numele de regimul de bază. În cazul în careregimul de bază nu mai poate fi determinat datorită faptului că puterilesolicitate de consumatori depăşesc capacitatea reţelei, se producecolapsul de tensiune (v. capitolul 6).

În aceste condiţii, pentru un sistem electroenergetic având nodurilenumerotate ca în figura 4.1 şi considerând că nodul 1 este nodul de echilibru,mărimile impuse sunt:

modulul tensiunilor la nodurile generatoare 1 2, , ..., mU U U ;

argumentul tensiunii la nodul de echilibru 1 0 ;

puterile active generate ,2 ,3 ,, ,...,g g g mP P P ;

puterile activă şi reactivă consumate ,1 ,1 ,2 ,2 , ,, , , ,..., ,c c c c c n c nP Q P Q P Q .

Mărimile necunoscute sunt:modulul tensiunilor nodurilor consumatoare 1 2, ,...,m m nU U U ;

argumentele tensiunilor 2 3, , .. ., n ;

puterile reactive debitate de generatoare ,1 , 2 ,, ,...,g g g mQ Q Q ;

puterea activă la nodul de echilibru ,1gP .

Acestea se calculează în două etape succesive, după cum urmează:Etapa I – Calculul modulelor ş i argumentelor tensiuni lor

Pentru a determina modulele 1 ,...,m nU U şi argumentele 2 3, , .. ., n ale tensiunilor se rezolvă, folosind o metodă de tip Newton [ER06], sistemulde ecuaţii neliniare:

, ,1

,1

,1

cos( ) sin( ) 2,...,

cos( ) sin( ) 1,...,

sin( ) cos( ) 1,...,

nimp imp

i g i c i i k ik i k ik i k k

nimp

i c i i k ik i k ik i k k

nimp

i c i i k ik i k ik i k k

P P P U U G B i m

P P U U G B i m n

Q Q U U G B i m n

(4.24)

Etapa II – Calculul puter i lor react ive debi tate de generatoare şi a puter i i act ivă generată la nodul de echi l ibru

Fiind cunoscute modulele şi argumentele tensiunilor în toatenodurile reţelei electrice, se calculează puterile reactive debitate degeneratoare ,1 ,2 ,, ,...,g g g mQ Q Q şi puterea activă generată la nodul deechilibru ,1gP , folosind relaţiile:



, ,1

sin( ) cos( ) 1,...,n

impg i c i i k ik i k ik i k

k

Q Q U U G B i m (4.25,a )

,1 ,11

cos( ) sin( )n

impg c i k ik i k ik i k

k

P P U U G B (4.25,b)

4.2.2. Calculul condiţiilor iniţiale pentru generatoarele sincroneFiind cunoscut regimul de funcţionare al reţelei electrice se trece la

calculul variabilelor dinamice şi algebrice de stare ataşate generatoarelor sincrone, precum şi al parametrilor μ astfel încât să se obţină regimul defuncţionare la bornele generatoarelor impus în etapa de calcul a regimuluipermanent. În acest sens, se anulează derivatele în raport cu timpul în setulde ecuaţii diferenţiale (4.5) ... (4.7) şi se parcurg următorii paşi:

Pasul 1 . Calculul curen i lor pr in generatoarele s incrone

Fiind cunoscute tensiunea i jiiU U e şi puterea complexă generată, ,, g i g ig iS P jQ se determină curenţii injectaţi de generatoarele sincrone

în nodurile reţelei electrice folosind relaţia:*

, , ,,

,

ig i g i g i jg i

i ig i

S P Q I j e

U U U

(4.26)

Pasul 2. Calculul unghiur i lor rotor ice

Din ecuaţia regimului permanent al generatorului sincron

, ,,i j

q i q ii g ii E U jX I E e

rezultă valorile iniţiale ale unghiurilor rotorice

,0 arg( )i i E (4.27)

Pasul 3 . Calculul curentulu i şi tensiun ii în coor don ate rotor ice

Folosind relaţia de legătură dintre sistemul de coordonate rotorice(d,q ) aferent fiecărui generator şi sistemul de coordonate (+1,+ j ) ataşatreţelei electrice, rezultă:

,0( )2

, ,i j

d i q i iU jU U e

(4.28,a )

,0( )2

, , ,i j

d i q i g i I jI I e

(4.28,b)

în care i jiiU U e este tensiunea la borne (tensiunea nodului de racord),

iar ,g i I curentul determinat cu relaţia (4.26).

Pasul 4. Calcu lul t.e.m. '

,d i E şi '

,q i E

Din ecuaţiile statorice (4.8) şi (4.9) rezultă:' '

, , , ,d i d i q i q i E U X I (4.29)

' ', , , ,q i q i d i d i E U X I (4.30)

Pasul 5. Calculul t .e.m. , f i E şi a tensiuni i de consemn 0, iU

Dacă în ecuaţiile diferenţiale (4.5) ... (4.7) se anulează derivatele înraport cu timpul rezultă:

' ', , , ,( )d i q i q i q i E X X I (4.31)

' ', , , , ,( ) f i q i d i d i d i E E X X I (4.32)

,0,

,

f ii i

e i

E U U

K (4.33)

Relaţia (4.31) se utilizează pentru a verifica valoarea tensiuniielectromotoare '

,d i E calculată cu relaţia (4.29), iar cu relaţiile (4.32) şi(4.33) se determină t.e.m , f i E , respectiv valoarea de consemn a tensiunii

0, iU care trebuie impusă RAT pentru a se obţine la borne tensiunea dorităimpiU .

Pasul 6. Verificarea corectit udii calculelor

Pentru a verifica corectitudinea calculelor efectuate, se utilizeazăecuaţiile regimului electromecanic (4.3) şi (4.4), din care, prin anulareaderivatelor în raport cu timpul, rezultă:

, 0

0

0r ii

adică , 0r i (4.34,a )

, , , , , ,m i e i d i d i q i q iP P U I U I (4.34,b)



Deoarece s-au neglijat pierderile de putere în generatoarele sincrone,valorile puterilor mecanice calculate cu relaţia (4.34,b) trebuie să fiepractic egale cu cele impuse puterilor ,g iP în etapa de calcul a regimuluireţelei electrice.

Se remarcă faptul că dificultatea determinării punctului de echilibru, faţăde care se evaluează stabilitatea unui SEE, constă în determinarearegimului de funcţionare al reţelei electrice, pentru că, odată acestadeterminat, celelalte mărimi se determină cu uşurinţă urmând paşii de calculprezentaţi mai sus.

Prin urmare, pentru un sistem electroenergetic, al cărui comportament este descris de un sistem hibrid de ecuaţii algebro-diferenţiale, existenţa

punctelor de echilibru este condiţionată de existenţa soluţiilor de regim permanent . Inexistenţa soluţiilor de regim permanent sau dispariţia acestoraca urmare a creşterii puterii solicitate de către sarcini şi/sau indisponibilităţiiunor echipamente (linii, transformatoare, generatoare electrice etc.)corespunde instabilităţii variabilelor algebrice de stare ataşate reţeleielectrice, adică instabilităţii de tensiune.

Fiind determinat punctul de echilibru se poate trece la etapaurmătoare şi anume verificarea stabilităţii variabilelor dinamice de stare –natura punctului de echilibru , respectiv comportamentul dinamic încondiţiile producerii unor perturbaţii de mică sau mare amplitudine –stabilitatea tranziţiei .

4.3. Stabilitatea la mici perturbaţii în sistemele multimaşini

4.3.1. Metoda generală de analiză

Stabilitatea la mici perturbaţii se referă la comportamentul sistemuluielectroenergetic în jurul punctului de echilibru analizat în cazul unor perturbaţii de mică amplitudine.

Prin definiție stabilitatea la mici perturbaţii reprezintă acea proprietatecare permite SEE de a reveni într-un regim de funcţionare identic sauapropiat de regimul anterior perturbaţiei, după cum aceasta estetrecătoare sau permanentă .

Metoda generală de analiză a stabilităţii la mici perturbaţii a unuisistem electroenergetic cu mai multe generatoare sincrone are la bază

teoria sistemelor automate autonome. Comportamentul dinamic al unuiastfel de sistem este descris de un sistem de ecuaţii diferenţiale de forma:

x F x, μ (4.35)

în care: x este vectorul variabilelor de stare, de dimensiunem;μ – vectorul parametrilor sau al mărimilor de intrare;

F – vectorul funcţiilor care definesc comportamentul dinamic alsistemului.

În studiul stabilităţii sistemelor dinamice de tipul (4.35) conceptul destare joacă un rol esenţial.

Starea sistemului reprezintă cantitatea minimă de informaţie necesarăla un moment dat 0t astfel încât comportamentul viitor al sistemului să

poată fi determinat fără a fi necesare valorile mărimilor de intrareanterioare acestui moment .

Pentru a descrie starea unui sistem se poate folosi orice set dem

variabile independente numite “variabile de stare ”. Deşi starea sistemuluila un moment dat este unică, alegerea variabilelor de stare nu este unică.Variabilele de stare, împreună cu mărimile de intrare sau parametriifurnizează o descriere completă a comportării sistemului.

Celelalte variabile ataşate sistemului care pot fi determinate sauobservate odată ce starea sistemului este cunoscută se numescvariabilesau mărimi de ieşire .

Fiind alese variabilele de stare 1 2, , ... T

m x x xx , starea sistemuluipoate fi reprezentată printr-un punct din spaţiul Euclidian cum dimensiuni,numit “spaţiul stărilor ”. Selectarea unor seturi diferite de variabile de starereprezintă, de fapt, alegerea unor sisteme de coordonate diferite pentru areprezenta starea sistemului care este unică.Mulţimea punctelor din spaţiul stărilor, reprezentând stările sistemului lamomente de timp diferite poartă numele detraiectorie . Ea este asociatăevoluţiei în timp a sistemului când acesta nu se află în echilibru .

Pentru un set de valori impuse parametrilor 0μ μ , mişcarea liberăsau neperturbată a sistemului dinamic este descrisă de setul de ecuaţiidiferenţiale:

0x F x, μ (4.35’)



Punctele de echilibru sunt acele puncte din spaţiul stărilor în carederivatele în raport cu timpul ale variabilelor de stare sunt nule, adică

0, 1,2, ...,i x i m ; ele sunt puncte ale traiectoriei în care sistemul dinamic se află în repaus deoarece variabilele de stare sunt constante întimp . Punctele de echilibru 0x x reprezintă soluţiile sistemului de ecuaţiialgebrice:

0 0 0F x , μ (4.36)Dacă sistemul dinamic este liniar (funcţiile , 1, 2, ...,iF i m sunt

liniare) şi matricea coeficienţilor sistemului de ecuaţii (4.36) nu estesingulară, atunci există un singur punct de echilibru 0 0x .

În cazul sistemelor neliniare, în funcţie de valorile impuse parametrilor,pot exista mai multe puncte de echilibru.

Punctele de echilibru constituie puncte caracteristice pentrucomportamentul dinamic al sistemului. În funcţie de natura lor (puncte deechilibru stabil sau instabil) se pot trage concluzii referitoare lastabilitatea

locală .Pentru a ilustra acest aspect, se consideră sistemul mecanic din figura

4.3 alcătuit dintr-o bilă aflată fie într-o vale (fig. 4.3,a ), fie în vârful unuideal (fig. 4.3,b). În primul caz sistemul este stabil în vecinătatea punctuluide echilibru deoarece, în urma unei perturbaţii de mică amplitudine, bilarevine în punctul de echilibru iniţial caracterizat de o energie potenţialăminimă (groapă de potenţial). În schimb, în al doilea caz sistemul esteinstabil în vecinătatea punctului de echilibru deoarece, la cea mai micăperturbaţie, bila părăseşte punctul de echilibru, caracterizat de o energiepotenţială maximă, fără a mai reveni în acest punct.

a. b .Fig. 4.3. Analogia cu un sistem mecanic:

a . punct de echilibru stabil;b. punct de echilibru instabilPentru a evalua natura unui punct de echilibru (stabil sau instabil) şi

comportamentul local al sistemului dinamic în jurul acestui punct se

utilizează prima metodă a lui Lyapunov [KU94] bazată pe aproximaţialiniară a sistemului de ecuaţii diferenţiale neliniare (4.35’).

Dacă 0x x este un punct de echilibru corespunzător setului de valori0μ μ impuse parametrilor, atunci sistemul de ecuaţii diferenţiale care

descrie comportamentul dinamic al sistemului în jurul acestui punct poatefi scris sub forma:

00 0

( )( , )

d dt

x xF x x μ (4.37)

în care 0 x x x este vectorul abaterilor variabilelor de stare faţă depunctul de echilibru considerat, provocate de o perturbaţie oarecare demică amplitudine.

Deoarece se analizează comportamentul sistemului dinamic în cazulunor perturbaţii de mică amplitudine, din punct de vedere matematic, sepoate proceda la liniarizarea sistemului de ecuaţii diferenţiale (4.37). Astfel, aplicând dezvoltarea în serie Taylor şi ţinând cont că în punctul de

echilibru0

0 0( , ) 0d dt

x xx F x μ , prin neglijarea termenilor de ordin superior,

din sistemul de ecuaţii neliniare (4.37) rezultă aproximaţia liniară asistemului dinamic:

x A x (4.41) în care

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

...

m

m

m m mm

a a a

a a a

a a a

A (4.42)

se numeşte matricea de stare . Aceasta este o matrice pătrată de ordinulm,cu elemente constante ale căror valori se determină în punctul iniţial deechilibru cu relaţiile:

0

, 1,2,. ..,iij

j

F a i j m

x

x x

(4.43)

Conform primei metode Lyapunov stabilitatea locală sau stabilitateala mici perturbaţii în jurul unui punct de echilibru, denumită adesea şi



stabilitatea statică, a sistemului dinamic neliniar (4.37) poate fi evaluatăpe baza aproximaţiei liniare (4.41) a acestuia, astfel [KU94], [MA97]:

(i) un sistem dinamic neliniar este stabil în jurul unui punct de echilibru0x x dacă aproximaţia sa liniară este asimptotic stabilă;

(ii) dacă aproximaţia liniară este instabilă, atunci şi sistemul dinamic neliniar este instabil ;

(iii)dacă aproximaţia liniară este stabilă, dar nu asimptotic, atunci nu se poate evalua stabilitatea sistemului neliniar pe baza aproximaţiei liniare .

Un sistem dinamic liniar este stabil dacă toate valorile proprii alematricei de stare au partea reală negativă (sunt poziţionate în semiplanulstâng al planului complex).

În concluzie,metoda generală de evaluare a stabilităţii locale în jurul unui punct de echilibru 0x x , a unui sistem dinamic neliniar de forma(4.35) constă în formarea matricei de stare şi calculul valorilor proprii aleacesteia .

Dacă valorile proprii ale matricei de stare satisfac condiţiaRe( ) 0 1, 2,...,i i m (4.44)

atunci sistemul este stabil. În schimb, dacă există cel puţin o valoareproprie care are partea reală pozitivă, atunci sistemul este instabil. În cazul în care una sau mai multe valori proprii au partea reală nulă (sunt situatepe axa imaginară) atunci nu se pot trage concluzii referitoare la stabilitateasistemului şi se impune utilizarea altor metode de evaluare cum ar fimetoda a doua Lyapunov.

În cazul sistemelor dinamice al căror comportament este descris de

un model hibrid de ecuaţii algebro – diferenţiale , cum sunt sistemeleelectroenergetice, metoda de analiză a stabilităţii locale constă tot încalculul valorilor proprii ale matrice de stare pe baza cărora se apreciazăstabilitatea conform primei metode Lyapunov. Totuşi, de această datăapar complicaţii suplimentare generate de existenţa restricţiilor algebrice.

Astfel, în cazul unui SEE, prin liniarizarea ecuaţiilor (4.22) în jurul unuipunct de echilibru rezultă:

111 12

221

'

0 .

0

A Bx x

yD DC

yD J

(4.45)

în care vectorul variabilelor de stare algebrice y a fost partiţionat pentru apune în evidenţă variabilele de stare 2 2 3 1, , ..., , ,...,

T n m nU U y şi

matricea JacobianJ , ale regimului permanent.

În ipoteza că matricea 11 12

21 y

D D

JD J

nu este singulară, prin

eliminarea abaterilor variabilelor algebrice de stare 1 2[ , ]T T T y y y , din(4.45) rezultămatricea de stare :

1' y A A B J C (4.46)

Stabilitatea punctului de echilibru analizat este determinată de valorileproprii ale matricei de stareA definită de relaţia (4.46).

În concluzie, având în vedere şi cele prezentate în paragraful 4.2,rezultă că stabilitatea locală a unui SEE este condiţionată, pe de o parte,de existenţa soluţiilor de regim permanent care asigură condiţia denesingularitate a matricei Jacobian yJ (det( ) 0 y J ), iar pe de altă parte devalorile proprii ale matricei de stareA, care trebuie să satisfacă condiţiile(4.44).

După cum s-a menţionat, în cazul sistemelor dinamice neliniare,clasice sau algebro – diferenţiale, în funcţie de valorile parametrilor μ potexista două sau chiar mai multe puncte de echilibru a căror natură poate fidiferită (unele stabile, iar altele instabile). Se presupune că pentru un setde valori 0μ μ impuse parametrilor există:

a) un punct de echilibru stabil 0sx caracterizat de faptul că toate valorile

proprii ale matricei de stare asociată ( )sA sunt distincte şi au partea

reală negativă;b) un punct de echilibru instabil 0ix caracterizat de faptul că matricea de

stare asociată ( )iA are toate valorile proprii distincte, dar unele dintreacestea au partea reală pozitivă.

În aceste condiţii, există două funcţii ( )sh şi ( )ih ce definesc, în spaţiulparametrilor ramura punctelor de echilibru stabil , respectiv ramura

punctelor de echilibru instabil .Punctele în care cele două ramuri se intersectează se numesc puncte

de bifurcaţie statică . În aceste puncte structura sistemului de ecuaţiidiferenţiale suferă modificări calitative cum ar fi reducerea numărului sau



chiar dispariţia punctelor de echilibru, a ciclurilor limită etc., atunci cândapar mici variaţii ale parametrilor [SE88], [VC98].

Din punct de vedere al stabilităţii, un interes deosebit îl prezintătranziţia de la un punct de echilibru stabil la unul instabil care corespunde:

a) unei bifu rca ii reale sau bifurca ii nod – şa , determinată de trecereaprin zero a unei valori proprii reale (fig. 4.4,a ), care conduce la oinstabilitate aperiodică;

b) unei bifurca ii complexe sau bifurca ii Hopf , determinată de trecereaunei perechi de valori proprii complex conjugate din semiplanul stâng încel drept (fig. 4.4,b), care conduce la o instabilitate oscilatorie.

k+1

i

k

Re

Im

stabil instabil k+1

i

k

Re

Im

stabil instabil

a b

Fig. 4.4. Tipuri de bifurcaţii:a – bifurcaţie reală sau bifurcaţienod-şa ;b – bifurcaţie complexă sau bifurcaţie Hopf

În cazul sistemelor algebro – diferenţiale, pe lângă bifurcaţiile clasicede tip nod şa sau Hopf, pot să apară şibifurcaţii induse de singularităţilealgebrice , adică de punctele în care det( ) 0 y J .

4.3.2. Stabilitatea naturală a sistemelor electroenergeticeStabilitatea naturală a unui sistem electroenergetic se referă lacomportamentul acestuia în jurul unui punct de echilibru în ipotezaneglijării influenţelor sistemelor de reglare automată şi vizează:

(i) natura punctului de echilibru ;(ii)identificarea frecvenţelor proprii de oscilaţie .Pentru astfel de analize se neglijează:

anizotropia rotorică;dinamica fluxurilor din înfăşurările rotorice.

Prin urmare, modelul EAD include doar ecuaţiile diferenţiale care descriudinamica rotoarelor, iar fiecare generator este reprezentat printr-o t.e.m. i E constantă în spatele unei reactanţe ,g i X .

, , ,1

( ) ( ) 1,2,...,im i e i i i i

i

d P P D f i m

dt M x,y, μ (4.3)

0 , ( ) 1,2,...,ii i

d f i m

dt x,y, μ (4.4)

În funcţie de studiul efectuat, tensiunea electromotoare i E se determinăastfel:

a) când se analizează natura punctului de echilibru, i E este t.e.m. dinspatele reactanţei sincrone. Deci , , , ,g i q i d i s i X X X X , iar:

, ,, ,i j

s i q ii q i g ii E E U jX I E e (4.53,a )

b) când se analizează răspunsul sistemului la o perturbaţie reală, demică amplitudine , i E este t.e.m. din spatele reactanţei tranzitori, adică

', ,g i d i X X , iar:

'' ' ', ,

i jd i ii i g ii E E U jX I E e (4.53,b)

În funcţie de obiectivul vizat, variabila dinamică de stare i dinecuaţiile regimului electromecanic are următoarele semnificaţii:

când se studiază natura punctului de echilibru, variabila i

este chiar unghiul rotoric ;

când se studiază frecvenţele proprii de oscilaţie, variabila i

este argumentul ' al t.e.m. tranzitorii 'i E .

Liniarizând ecuaţiile diferenţiale ale regimului electromecanic, în jurulpunctului de echilibru analizat, rezultă:

,

0

1( )i

e i ii

ii

d P D

dt M

d dt

i =1,2,…,m (4.54)



Pentru a obţine matricea de stare, ale cărei valori proprii oferă informaţiireferitoare atât la natura punctului de echilibru, cât şi la frecvenţele propriide oscilaţie, este necesară exprimarea abaterilor ,e iP în funcţie de abaterile

i . În acest sens, se extinde reţeaua electrică cu un număr dem noduri –nodurile din spatele reactanţelor ,g i X , numite noduri interne alegeneratoarelor – ale căror tensiuni sunt egale cu t.e.m. i E .

Se partiţionează nodurile reţelei extinse în:submulţimea {1,2,..., }C n a nodurilor reţelei iniţiale;

submulţimea { 1,..., }G n n m a nodurilor generatoare interne,

şi se scrie ecuaţia matriceală din metoda tensiunilor nodale pentru reţeauaextinsă sub forma:

ext CC CG C C C nn

GC GG G G G

Y Y U U IY

Y Y E E I(4.55)

Având în vedere că pentru reţeaua extinsă

, 0g iP şi , 0g iQ i C , respectiv , 0c iP şi , 0c iQ i G și ținând cont că

puterile consumate sunt dependente de tensiune, adică , , ( )c i c i iP P U și

, , ( )c i c i iQ Q U ecuaţiile bilanţului de puteri devin:

,

,

( ) cos( ) sin( )

+ cos( ) sin( ) 0

( ) sin( ) cos( )

s

next ext

c i i i k ik i k ik i k k C

next ext

i k ik i k ik i k k G

next ext

c i i i k ik i k ik i k k C

ext i k ik

P U U U G B

U E G B

Q U U U G B

U E G

in( ) cos( ) 0n

ext i k ik i k

k G

B

, i C (4.56)

respectiv

, , cos( ) sin( )

+ cos( ) sin( )

ext ext e i g i i k ik i k ik i k

k C

ext ext i k ik i k ik i k

k G

P P E U G B

E E G B

, i G (4.57)

în care ext ext ext ik ik ik Y G jB este elementul (i,k ) al matricei admitanțelor nodale

a rețelei extinse cu no durile generatoare interne ext nnY .

Ţinând cont că modulele i E ale t.e.m. din spatele reactanţelor generatoarelor sunt constante, adică 0i E , prin liniarizarea sistemelor deecuaţii (4.56) şi (4.57) rezultă:

'

'

0

0CC CC CG

CC CC CG

eGC GC GG

H K H θ

M L M U

δ PH K H

(4.58)

sau0CC CG

GC GG e

J J y

J H x P(4.58’)

în care' '

' '

CC CC P PU CC

CC CC Q QU

H K J JJ

M L J J este matricea Jacobian a

derivatelor puterilor în nodurile reţelei iniţiale, modificată prin includereacaracteristicilor statice ale sarcinilor (dependenţa puterilor consumate, activeşi reactive, de modulul tensiunii).

Eliminând variaţiile variabilelor de stare algebrice [ ]T T T y θ U dinsistemul de ecuaţii liniare (4.58) , rezultă:

e P H δ (4.58’)

în care:

1'

1'

CC CC CGGG GC CC CG GG GC GC

CGCC CC

H K HH H J J J H H K

MM L(4.59)

În aceste condiţii, sistemul de ecuaţii diferenţiale liniare (4.54) se poatescrie sub forma matriceală standard



1 1

0 0g g

ω ωM D M Hδ1δ

(4.60)

în care 1{ ,..., }g mdiag M M M , 1{ ,..., }mdiag D DD , iar matricea de stareeste:

1 1

0 0g g

M D M HA

1(4.61)

În cazul particular al unui SEE constituit dintr-un generator conectat lao bară de putere infinită, matriceleMg , D şi H au câte un singur element(dimensiunea lor se reduce la 1), iar din forma generală (4.61), ţinând contcă eP

H

, rezultă forma cunoscută a matricei de stare:

0

1

0

eP D

M M

A (4.61’)

a cărei ecuaţie caracteristică este:

2 0 0eP D M M

.

Efortul de calcul pentru formarea matricei de stare se diminueazădacă se adoptă ipoteza unor caracteristici ale sarcinilor de tip impedanţăconstantă. În acest caz, fiecare consumator este reprezentat printr-oadmitanţă constantă legată la pământ (fig. 4.6):

, ,, *

c i c ic i

i

P jQY U

(4.62)

care se însumează la termenii diagonali ai submatricei CC Y din matriceaadmitanţelor nodale extinsă.

1

m+1

n

n+ 1

n+m m

Y c,m+1

Y c,n

Y c,1

Y c,m

E 1

E m

jX g,1

jX g,m

Reţeauaelectrică

pasivizată

Fig. 4.6. Schema extinsă a SEE cu sarcinile reprezentate prin admitanţeconstante

Prin urmare, ecuaţia matriceală (4.55) a tensiunilor nodale devine:

' 0C CC CG

G GGC GG

UY YE IY Y

(4.63)

Eliminând nodurile pasivizate ale reţelei electrice iniţiale, din relaţia (4.63)rezultă:

red nn G GY E I (4.64)

în care:' 1( )red

nn GG GC CC CG Y Y Y Y Y (4.65)

este matricea admitanţelor nodale redusă la nodurile interne alegeneratoarelor. În aceste condiţii puterea electromagnetică este dată derelaţia:

,1

2

1

cos( ) sin( )

cos( ) sin( )

mred red

e i i k ik i k ik i k k

mred red red

i ii i k ik i k ik i k k k i

P E E G B

E G E E G B

, 1,2,...,i m (4.66)

în care red red red ik ik ik Y G jB este termenul (i,k ) al matricei admitanţelor

nodale redusă red nnY .



Liniarizând sistemul de ecuaţii (4.66) rezultă forma matriceală (4.58) aabaterilor puterilor electromagnetice ,e iP în care, de această dată,termenii matriceiH se determină direct cu relaţiile:

,

1

,

[ sin( ) cos( )]

[ sin( ) cos( )]

me i red red

ii i k ik i k ik i k i k

k i

e i red red ik i k ik i k ik i k

k

P H E E G B

P H E E G B

(4.67)

Fiind cunoscută matriceaH se determină matricea de stare A înconformitate cu relaţia (4.61).

Se constată că1

0m

ii ik k k i

H H şi, deci, matricea H este singulară.

Prin urmare şi matricea de stareA va fi singulară; ea va avea o valoareproprie nulă. Apariţia acestei valori proprii nule este datorată redundanţei

generată de faptul că în modelul matematic s-au reţinut toate unghiurilerotorice i , în timp ce în expresiile (4.66) ale puterilor electromagneticeintervin diferenţele i k dintre acestea.

Modalitatea prin care se poate elimina valoarea proprie nulă oconstituie reducerea ordinului sistemului dinamic prin redefinireavariabilelor de stare. În acest sens, pornind de la considerentul căpierderea sincronismului apare ca urmare a creşterii unghiurilor relativedintre două grupuri de generatoare din sistem, se alege un generator dereferinţă şi se raportează unghiurile rotorice ale celorlalte generatoare faţăde acesta. Rolul generatorului de referinţă este similar cu cel al sistemuluide putere infinită faţă de care se raportează unghiul rotoric al generatoruluiconectat la acesta.

În cadrul programelor de calcul destinate evaluării stabilităţii la miciperturbaţii folosind analiza modală (analiza valorilor şi vectorilor proprii aimatricei de stare) nu este necesară reducerea ordinului dinamic, problemafiind rezolvată mult mai simplu prin neluarea în considerare a valorii propriinule în aprecierea stabilităţii şi determinarea frecvenţelor de oscilaţie.

4.3.3. Stabilitatea la mici perturbaţii în prezenţa sistemelor dereglare automată

În studiile vizând alegerea parametrilor sistemelor de reglareautomată a tensiunii şi ai PSS, în analiza oscilaţiilor ce apar întrezone/subsisteme ale sistemelor interconectate etc. este necesar să seutilizeze modele detaliate atât pentru generatoarele sincrone, cât şi pentrusistemele de reglare automată aferente acestora. Aceasta conduce la unnumăr mare de variabile dinamice de stare şi implică utilizarea unor tehnicide calcul performante pentru formarea matricei de stare şi analiza modalăa acesteia (calculul valorilor şi vectorilor proprii).

Ca şi în cazul evaluării stabilităţii naturale, procedura generală pentruformarea matricei de stare constă în liniarizarea sistemului de ecuaţii algebro – diferenţiale în jurul punctului de echilibru analizat şi apoi eliminareavariabilelor algebrice de stare.

Pentru exemplificare, în continuare este prezentată metodologia decalcul considerând modelul EAD prezentat în paragraful 4.1. care ia înconsiderare dinamica fluxurilor magnetice din înfăşurarea de excitaţie şi din înfăşurarea de amortizare din axaq, precum şi influenţa sistemelor de reglareautomată. În aceste condiţii, fiecare generator este reprezentat printr-unmodel dinamic de ordinul 4 constituit din ecuaţiile diferenţiale (4.3) şi (4.4) aleregimului electromecanic, respectiv din ecuaţiile (4.5) şi (4.6) ale regimuluielectromagnetic; la acestea se adaugă ecuaţiile diferenţiale ale sistemului deexcitaţie prevăzut cu RAT şi eventual PSS.

Dacă se neglijează anizotropia rotorică şi se notează:' '

, , , ,i d i d i q i q i X X X X X (4.68)

atunci, prin liniarizarea ecuaţiilor diferenţiale ale t.e.m. rezultă:'

,' '0, , ,

',' '

0, , , ,

d iq i d i i q i

q id i q i f i i q i

d E T E X I

dt

d E T E E X I

dt

1,2,...,i m (4.69)

Sistemul de ecuaţii (4.69), completat cu forma liniară (4.54) aecuaţiilor (4.3) şi (4.4) ale regimului electromecanic, se scrie suburmătoarea formă matriceală:



0

'' '0

'' '

0

g e

d q d q

qd q f d

d dt

d dt

d dt

d

dt

ωM P D ω

δω

ET E X I

ET E E X I

(4.70)

în care gM , D , '0d T , '

0qT şi X sunt matrice diagonale ale căror elementesunt constantele de inerţie, factorii de amortizare, constantele de timp ale înfăşurărilor rotorice şi diferenţele i X dintre reactanţa sincronă şireactanţa tranzitorie ale fiecărui generator sincron calculate cu relaţia(4.68).

Pentru ca din sistemul de ecuaţii liniare (4.70) să se obţină matricea destare A este necesar ca, pe de o parte să se elimine abaterile eP aleputerilor electromagnetice şi ale curenţilor d I şi qI , iar pe de altă parte săse exprime abaterile f E ţinând cont de tipul sistemului de excitaţie şisistemele de reglare automată aferente.

Elimin area abaterilor d I , qI şi eP

Pentru eliminarea abaterilor variabilelor algebrice de stare d I , qI şieP se reprezintă sarcinile prin admitanţe constante legate la pământ, iar

generatoarele prin tensiunile electromotoare din spatele reactanţelor tranzitorii (fig. 4.6) şi se elimină nodurile pasivizate conform celor prezentate în paragraful 4.3.2. Se precizează faptul că, de această dată,componentele '

,d i E şi ',q i E ale tensiunilor electromotoare nu mai sunt

constante; ele sunt componente ale vectorului variabilelor dinamice destare şi satisfac ecuaţiile diferenţiale (4.5) şi (4.6).

Din ecuaţia tensiunilor nodale (4.64) a reţelei reduse, se exprimăcurentul prin fiecare generator:

',

1

, 1,2,...,m

red g i ik k

k

I Y E i m (4.71)

în care red red red ik ik ik Y G jB este termenul (i,k ) al matricei admitanţelor

nodale redusă red nnY .

Având în vedere legătura dintre sistemul de coordonate rotorice (d ,q) ataşat fiecărui generator sincron şi sistemul de coordonate (+1,+ j )ataşat reţelei electrice, ecuaţia (4.71) poate fi scrisă sub forma:

( ) ( )' '2 2, , , ,

1

( ) ( ) , 1,2,...,i k m j jred

d i q i d k q k ik k

I jI e Y E jE e i m (4.72)

Dacă se notează ik i k , atunci, din relaţia (4.72), dupăefectuarea calculelor necesare, rezultă expresiile curenţilor:

' ', , ,

1

' ', , ,

1

[( cos sin ) ( sin cos ) ]

[( sin cos ) ( cos sin ) ]

mred red red red

d i ik ik ik ik d k ik ik ik ik q k k

mred red red red

q i ik ik ik ik d k ik ik ik ik q k k

I G B E G B E

I G B E G B E

(4.73)

În continuare se exprimă puterile electromagnetice în funcţie devariabilele dinamice de stare. Astfel, ţinând cont că ' '

, , , , ,e i d i d i q i q iP E I E I ,se obţine:

' ' ', , , ,

1

' ' ', , ,

1

= [( cos sin ) ( sin cos ) ]

+ [( sin cos ) ( cos sin ) ]

mred red red red

e i d i ik ik ik ik d k ik ik ik ik q k k

mred red red red

q i ik ik ik ik d k ik ik ik ik q k k

P E G B E G B E

E G B E G B E

Liniarizând relaţiile (4.73) şi (4.74) rezultă abaterilor curenţilor şiputerilor electromagnetice exprimate, sub formă matriceală, în funcţie devariabilele dinamice de stare:

' '

'

'' '

d d d

d qd d

q q q q

qd q

I I Iδ

δ E EIE

I I I IE

δ E E

(4.75)

respectiv



'' '

'

e e ee d

d qq

δP P P

P Eδ E E

E

(4.76)

Având în vedere relaţiile (4.75) şi (4.76), sistemul de ecuaţii (4.70)devine:

1 1 1 1' '

0

'' 1 ' 1 ' 1'0 0 0' '

'

' ' 1 ' 1 ' 10 0 0' '

( )

( )

e e e

d q

q q qqq q qd

d qq

d d d q d d d

d q

d dt

d dt

d

dt

d

dt

ω P P PM D M M M

δ E Eωδ

1 0 0 0 δI I I

E0 T T X 1 T XEδ E E

EI I IE 0 T T X T X 1δ E E

0

' 10

(5.77)

d f

0

0

T E

Includerea s is temelor de exci ta ie

În ecuaţia matriceală (4.77) abaterile f E din ultimul termen suntdatorate sistemelor de excitaţie şi regulatoarelor aferente. Pentru a includeefectul acestora în modelul liniarizat se utilizează schema bloc din figura4.7. Această schemă are un caracter general şi cuprinde sistemul deexcitaţie împreună cu regulatorul automat de tensiune – RAT, respectivstabilizatorul de putere – PSS care, în funcţie de valorile coeficienţilor K şi PK , reacţionează la semnale proporţionale cu abaterea vitezei i

şi/sau abaterea puterii ,e iP . Funcţiile de transfer utilizate pentrumodelarea celor două dispozitive automate pot fi funcţii de transfer simplede tipul (4.2) sau funcţii de transfer de ordin superior.

H PSS

H RAT U

z

P

E f

U PSS ++

+

+K

K P

Fig. 4.7 Schema bloc a sistemului de excitaţie pentrustudiul stabilităţii la mici perturbaţii

Fiind cunoscute expresiile funcţiilor de transfer RAT H şi PSS H , pentru aobţine expresiile abaterilor f E este necesar să se exprime abaterile

1[ ,..., ] T mU U U ale modulelor tensiunilor la bornele generatoarelor în

funcţie de abaterile variabilele dinamice de stare sub forma:

'' '

'

d d q

q

δU U U

U Eδ E E

E

(4.78)

În acest sens, din ecuaţiile statorice (4.8) şi (4.9), ţinând cont deexpresiile (4.73) ale curenţilor, se determină:

' ', , , ,

' ' ' ', , , ,

1

' ', , , ,

' ' ', , ,

=

[( sin cos ) ( cos sin ) ]

=

[( cos sin ) ( sin cos

d i d i q i q i

mred red red red

d i q i ik ik ik ik d k ik ik ik ik q k k

q i q i d i d i

red red red red q i d i ik ik ik ik d k ik ik ik

U E X I

E X G B E G B E

U E X I

E X G B E G B

',

1

) ]m

ik q k k

E

(4.79)

Având în vedere că 2 2, ,i d i q iU U U , rezultă că elementele matricei

Jacobian din ecuaţia matriceală (4.78) se obţin din relaţiile (4.79) folosindregula de derivare pentru o funcţie compusă:

,,, ,

1 q id iid i q i

i

U U U U U

x U x x

(4.80)



în care variabila generică x este i , ',d i E , respectiv '

,q i E .

De exemplu, dacă generatoarele nu sunt prevăzute cu PSS, iar sistemul de excitaţie şi regulatorul de tensiune RAT sunt modelate printr-ofuncţie de transfer simplă de tipul (4.2), atunci vectorul variabilelor dinamice de stare se extinde cu tensiunile electromotoare

,1 ,[ ,..., ] T f f f m E E E . Liniarizând ecuaţiile diferenţiale (4.7) aferente acestor

tensiuni electromotoare rezultă:

,, , , 1,2,..., f i

e i f i e i i

d E T E K U i m

dt (4.81)

sau sub formă matriceală

1 ( ) f e f e

d

dt

ET E K U (4.82)

în care ,1 ,{ ,..., }e e e mdiag T T T , iar ,1 ,{ ,..., }e e e mdiag K K K .

Adăugând ecuaţia matriceală (4.82) setului de ecuaţii matriceale(4.70) şi ţinând cont de relaţiile (4.75), (4.76) şi (4.78) rezultă formastandard x A x a modelului dinamic liniarizat în care:

1 1 1 1' '

0

' 1 ' 1 ' 10 0 0' '

' 1 ' 1 ' 1 ' 10 0 0 0' '

1' '

( )

( )

e e e

d q

q q qq q q

d q

d d d d d d d

d q

e e e ed q

P P PM D M M M 0

δ E E

1 0 0 0 0

I I I0 T T X 1 T X 0

δ E EA

I I I0 T T X T X 1 T

δ E E

U U U0 K K K T

δ E E

(4.83)

iar ' ' T

q q f x ω δ E E E .

4.4. Stabilitatea tranzitorie în sisteme multimaşini

4.4.1. Modelul matematicStabilitatea tranzitorie a unui sistem electroenergetic se referă la

capacitatea acestuia de a menţine sincronismul între grupurilegeneratoare şi de a reveni într-un regim de funcţionare normală în urmaunei mari perturbaţii. În aceste condiţii nu mai este posibilă liniarizareamodelului dinamic EAD, iar pentru evaluarea stabilităţii este necesarăsimularea comportamentului dinamic al SEE prin combinarea soluţiilor sistemului de ecuaţii algebrice (4.1,b) cu soluţiile obţinute prin integrareanumerică a sistemului de ecuaţii diferenţiale (4.1,a ). Pentru aceastaregimul tranzitoriu este descompus într-o succesiune de regimuriinstantanee separate pe intervale de timp suficient de mici pentru cavariaţiile unor mărimi să poată fi liniarizate pe intervalul unui pas.

În acest context, analiza stabilităţii tranzitorii necesită elaborareaprealabilă a unor modele matematice pentru elementele componente alesistemului energetic (generatoare sincrone, turbine, motoare sincrone şiasincrone, transformatoare, linii electrice, consumatori etc.), pentrusistemele de reglare automată (regulatoarele automate de viteză şi tensiuneale grupurilor generatoare), pentru dispozitivele FACTS (SVC, STATCOM,SSSC, UPFC), pentru legăturile la tensiune continuă etc.

Deoarece elementele reţelei electrice (linii, transformatoare, bobine,condensatoare etc.) sunt sediul unor fenomene electromagnetice foarterapide, în studiul stabilităţii tranzitorii se consideră că, la fiecare pas decalcul, reţeaua trece direct prin regimuri permanente succesive. Pentruregimurile simetrice se foloseşte reprezentarea pe faza de referinţă, iar înregimurile nesimetrice calculul se face pe faza de referinţă a reţelei desecvenţă pozitivă (secvenţă „+”) şi se consideră conectarea la locul dedefect a unei impedanţe echivalente care rezultă din combinareaimpedanţelor reţelei de secvenţă negativă (secvenţă „–”) şi secvenţă zero(secvenţă „0”), în funcţie de tipul defectului.

În aceste condiţiimodelarea reţelei electrice se face ca şi în studiulregimului permanent prin aplicarea metodei tensiunilor nodale, careconduce la un sistem de ecuaţii algebrice, raportat la sistemul de referinţăunic (+1, + j ), de forma:

nn nn Y U I (4.84)

unde: nU este vectorul tensiunilor nodale;



nI – vectorul injecţiilor de curenţi în nodurile reţelei;

nnY – matricea admitanţelor nodale.

Matricea admitanţelor nodale nnY are proprietatea de sparsitate, estenesimetrică în cazul general (datorită transformatoarelor cu reglaj deunghi) şi are elemente ale căror valori sunt constante, cu excepţiamomentelor de discontinuitate, când apar defecte şi comutări în reţeauaelectrică.

Consumatorii sunt reprezentaţi fie prin admitanţe constante, care se însumează la termenii diagonali ai matricei nnY , fie ca funcţii exponenţialesau polinomiale de modulul tensiunii nodului de racord şi de frecvenţă.Consumatorii neliniari sunt trataţi ca injecţii de curent variabile în nodurilereţelei.

Sistemul de ecuaţii algebrice (4.84) se completează cu sistemul deecuaţii diferenţiale care descriu comportamentul dinamic al generatoarelor şi

al sistemelor de reglare automată aferente, comportamentul motoarelor sincrone şi asincrone etc. scrise în sistemul de coordonate (d , q ) specificacestora. Cuplajul dintre sistemul de coordonate general (+1,+ j ) ataşatreţelei electrice şi cel specific fiecărui dispozitiv se realizează prinintermediul blocului de interfaţă dispozitiv – reţea (fig. 4.2).

În aceste condiţii modelul EAD utilizat pentru calculul regimurilor tranzitorii, constituit din sistemul de ecuaţii diferenţiale neliniare de ordinul întâi şi sistemul de ecuaţii algebrice, se poate scrie sub următoarea formăcompactă:

sistemul de ecuaţii diferenţiale:

,d dt x f x y (4.85)

sistemul de ecuaţii algebrice:

,nn nn Y U I x y (4.86)

unde: x este vectorul variabilelor dinamice de stare;[ , ]y θ U – vectorul argumentelor şi modulelor tensiunilor în

nodurile reţelei electrice ;

Pentru calculul regimului tranzitoriu (obţinerea soluţiei în funcţie de timp asistemului de ecuaţii diferenţiale) se folosesc procedee matematice adecvatecare se bazează pe metode de integrare numerică pas cu pas (step-by-step în terminologia englezească). În acest sens este semnificativă împărţireamărimilor electrice de stare în două categorii:

mărimi iner ia le – sunt mărimile care îşi păstrează constantă

valoarea în primul moment al apariţiei perturbaţiei (tensiunileelectromotoare, unghiurile rotorice, vitezele unghiulare, alunecareamotoarelor asincrone etc.). În procesul de calcul, la începutul fiecăruipas, valorile mărimilor inerţiale sunt egale cu cele de la sfârşitulpasului de calcul precedent (ele nu variază în salturi), iar variaţia lor pe durata unui pas este descrisă de sistemul de ecuaţii diferenţialedin cadrul modelului EAD;mărimi neiner iale – sunt mărimile care variază brusc la apariţiaperturbaţiei (tensiunile, curenţii şi puterile electrice). În procesul decalcul pas cu pas, aceste mărimi păstrează constantă valoarea pedurata unui pas, dar variază în salturi de la un pas de calcul la altul.

Analiza stabilităţii tranzitorii furnizează informaţii privind evoluţiatensiunilor, curenţilor, puterilor, vitezelor de rotaţie, unghiurilor rotorice,cuplurilor maşinilor sincrone etc. pe durata regimului tranzitoriu. Practic,pentru a aprecia menţinerea stabilităţii tranzitorii, este suficient să seurmărească evoluţia în timp a unghiurilor rotorice ale generatoarelor înraport cu o axă de referinţă fixă sau care se roteşte cu viteza desincronism. În aplicarea metodelor de tip pas cu pas pentru studiul stabilităţii tranzitoriisunt necesare unele precizări:(i) Ca metode pentru rezolvarea sistemelor de ecuaţii (4.85) şi (4.86) se pot

utiliza:metoda alternativă în care rezolvarea sistemelor de ecuaţiidiferenţiale (ED) şi algebrice (EA) se realizează separat, în modalternativ;metoda simultană , în care, într-o primă etapă, sistemul ecuaţiilor diferenţiale (4.85) este transformat într-un sistem de ecuaţiialgebrice, iar apoi acestea se rezolvă simultan cu ecuaţiilealgebrice (4.86).

(ii) Din punctul de vedere al tipului metodelor de integrare se distingmetode explicite şi metode implicite.



(iii) În funcţie de clasa metodei de integrare se disting: metoda Euler,metode Runge-Kutta, metode predictor-corector etc.

(iv) Din punctul de vedere al pasului de integrare ( t ) folosit la integrareaecuaţiilor diferenţiale, se utilizează:

metode cu pas constant , aplicate în cazul problemelor destabilitate tranzitorie;metode cu pas variabil , folosite în cazul programelor de calculgenerale (de exemplu: EUROSTAG, NEPLAN, EDSA etc.), pentruanaliza regimurilor tranzitorii (pe termen scurt) şi dinamice petermen mediu şi lung.

Metodele explicite permit calculul valorilor variabilelor de stare 1nx lasfârşitul pasului de integraren în funcţie de valorile nx ale acestor variabilela începutul pasului. Utilizarea unei metode explicite poate conduce lainstabilitatea numerică a soluţiei, prin acumularea de erori care se amplifică în intervalul de calcul analizat şi provoacă divergenţa soluţiei. În consecinţă,pentru utilizarea cu succes a unei metode explicite de calcul se impuneutilizarea unui pas de calcul t mai mic decât cele mai mici constante detimp care intervin în sistemul de ecuaţii diferenţiale. Cu această precauţiemetodele explicite (de exemplu metoda Runge-Kutta) sunt folosite cu bunerezultate în programele de calcul a stabilităţii tranzitorii pe termen scurt cândintervalul de timp analizat este de ordinul secundelor.

Specific uneimetode implici te este faptul că valorile variabilelor destare 1nx la sfârşitul pasului de calcul se exprimă atât în funcţie de valorilevariabilelor nx de la începutul pasului cât şi în funcţie de valorile 1nxcurente. Sistemul de ecuaţii diferenţiale se transformă astfel într-un sistem

de ecuaţii algebrice neliniare, a cărui soluţie se obţine prin aplicarea uneimetode iterative de rezolvare la fiecare pas de calcul (de exemplu metodaNewton-Raphson). Metodele implicite se comportă stabil numeric,restricţia privind lungimea pasului de integrare nefiind atât de severă ca încazul metodelor explicite. Metoda implicită cea mai utilizată în programelede calcul a stabilităţii tranzitorii este metoda trapezelor, care permiteextinderea la valori de ordinul minutelor a duratei de simulare a regimuluidinamic.

În general, performanţele unui program de calcul destinat simulăriirăspunsului tranzitoriu al unui sistem dinamic depind atât de natura

fenomenelor modelate (fenomene cu dinamică rapidă şi/sau lentă) cât şide metoda de integrare numerică utilizată.

În cazul sistemelor electroenergetice dacă în modelul EAD, pe lângăecuaţiile regimului electromecanic (ecuaţia de mişcare a rotoarelor), suntincluse ecuaţiile diferenţiale care modelează dinamica fluxurilor din înfăşurările rotorice (procese dinamice rapide), sistemele de reglareautomată RAT şi RAV, turbina etc., atunci setul de ecuaţii diferenţiale (ED)constituie un sistem de ecuaţii numeric dificil şi se impune utilizarea unor algoritme şi metode de integrare numerică performante pentru simulareacomportamentului dinamic. În acest sens trebuie avute în vedereurmătoarele aspecte:

(i) dacă se urmăreşte doar simularea comportamentului tranzitoriuatunci se utilizează formule de integrare implicită de ordin inferior (ordinul 1 sau 2) care au o bună stabilitate numerică şi se opteazăpentru un pas de calcul constant a cărui lungime este limitată la ovaloare ce garantează o bună convergenţă şi limitează erorile de

calcul;(ii) dacă se doreşte elaborarea unui produs software integrat care să

permită simularea atât a răspunsului tranzitoriu cât şi răspunsuluidinamic pe termen mediu sau lung, atunci se recurge la algoritme decalcul care modifică în mod automat ordinul metodei şi lungimeapasului de integrare în scopul reducerii timpului total de calcul.

(iii) dacă se utilizează modelul clasic pentru reprezentareageneratoarelor, atunci sistemul de ecuaţii diferenţiale nu mai esteunul numeric dificil, iar pentru integrarea numerică se pot utilizametode explicite simple cum sunt metodele de tip Runge-Kutta.

Pentru exemplificare se consideră cazul unei singure ecuaţiidiferenţiale neliniare de forma:

( ( ))dx

x f x t dt

(4.88)

care satisface condiţia iniţială 0 0( ) x t x .

În general, pentru ecuaţia diferenţială (4.88) nu se poate obţine o soluţieanalitică şi, prin urmare, trebuie obţinută o soluţie numerică care constă dintr-un set de valori 1 2( , , ..., , ...)n x x x ce satisfac ecuaţia diferenţială la momentele

Cap 4 Analiza Stabilitatii SEE Complexe

Documents

Transcript of Cap 4 Analiza Stabilitatii SEE Complexe