Calculul erorilor si metode de optimizare

Grosu Andrei-Teodor IM anul III

Cuprins1.Despre erori si calculul erorilor 1.1.Tipuri de erori 1.2.Clasificarea erorilor 1.3.Erori absolute si erori relative 1.4. Problemele calculului erorilor 2. Metode de optimizare 2.1. Metoda celor mai mici patrate 2.2. Regresia liniara 2.3. Regresia polinomiala 2.4. Regresia hiperbolica

1. DESPRE ERORI I CALCULUL ERORILORn cercetrile de fizic experimental se disting dou etape: 1) msurtorile efectuate n laborator 2) calculul mrimilor fizice, adic prelucrarea matematic a rezultatelor obinute prin msurtori. Sunt foarte puine mrimi fizice care se msoar direct: astfel sunt msurtorile simple, obinuite, de lungimi, mase, intervale de timp, temperaturi. Toate celelalte mrimi se msoar indirect, adic se determin prin calcul, folosind rezultatele unor msurtori directe i aplicnd anumite relaii matematice deduse pe baza legilor fizice. Astfel se evideniaz dou capitole importante ale calculului erorilor: teoria erorilor accidentale i teoria erorilor funciilor.

1.1. Tipuri de erori1. Erori de msur (erori inevitabile). Din cauza imperfeciunii simurilor i a aparatelor, orice msurtoare direct a unei mrimi implic totdeauna erori, adic valorile citite sunt doar mai mult sau mai puin apropiate de valoarea exact, evident necunoscut, a mrimii msurate. Aceste erori nu pot fi cunoscute exact, dar ele nu pot depi eroarea maxim, corespunztoare preciziei aparatului folosit. Uneori n calcule se folosesc anumite constante fizice, luate din tabele, de a cror eroare trebuie s inem seama. Aceste constante sunt determinate, n general, cu o mare precizie i erorile lor sunt, n general, mult mai mici dect ale mrimilor msurate n mod obinuit n laborator.

2. Erori de rotunjire. n calcule intervin frecvent numere iraionale (, e, radicali), precum i funcii trigonometrice, exponeniale, logaritmi etc. care au un numr infinit de zecimale. De asemenea, prin nmuliri, numrul zecimalelor crete, iar prin mpriri poate aprea chiar o infinitate de zecimale. Evident, suntem nevoii s pstrm n calcule un numr limitat de zecimale. Astfel de erori pot fi evaluate i n principiu pot fi fcute orict de mici, lund un numr suficient de zecimale. 3. Erori de metod. Adesea suntem nevoii s nlocuim problema dat (propus) cu alta mai simpl (aproximativ), ceea ce implic evident o anumit eroare, chiar dac datele iniiale ar fi cunoscute exact i calculele ar fi fcute exact. La calculul sumei unor serii (infinite) suntem nevoii s pstrm un numr limitat de termeni ai seriei. n sfrit, pentru determinarea rdcinilor unor ecuaii algebrice sau transcendente, sau pentru calculul anumitor integrale definite, trebuie s aplicm metode numerice de aproximaie, ceea ce implic erori corespunztoare.

1.2. Clasificarea erorilor1. Erori sistematice. Aceste erori se caracterizeaz prin faptul c se produc totdeauna n acelai sens. Distingem: 1) erori instrumentale datorite defeciunii aparatelor, de exemplu, etalonarea defectuoas a aparatului de msur, deplasarea scalei etc.; 2) erori personale datorite unor lipsuri n deprinderile i dexteritatea experimentatorului; 3) erori teoretice datorite neglijrii unor factori fizici sau unor aciuni exterioare permanente, sau datorite formulei de calcul neprecise sau greite. Erorile sistematice pot fi reduse (introducnd corecii adecvate) sau chiar anulate, n principiu. Noi nu ne vom ocupa de ele n cele ce urmeaz. 2. Erori accidentale (ntmpltoare, aleatorii). Aceste erori se produc att ntr-un sens, ct i n cellalt i se datoresc unor factori (variabili) necunoscui sau nedeterminai, care nu pot fi controlai de experimentator, cu alte cuvinte se datoresc ntmplrii i imperfeciunii observaiilor. 3. Greeli sau erori grosolane. Aceste erori (mult mai mari dect cele obinuite) se datoresc neateniei cercettorului: citire greit la un aparat, notaie greit a rezultatului, confuzie, omisiuni. Aceste erori pot fi recunoscute relativ uor i eliminate din consideraie.

1.3. Erori absolute i erori relative1. Msurnd o anumit mrime fizic X (lungime, mas, durat, temperatur etc.), gsim o anumit valoare numeric x, apropiat mai mult sau mai puin de valoarea exact x0 (evident necunoscut) a mrimii msurate. Se numete eroare absolut, diferena (abaterea) x = x0 x dintre valoarea exact i valoarea msurat. Necunoscndu-l pe x0, nu putem cunoate exact nici pe x0 x, dar putem totdeauna evalua marginea superioar a erorilor absolute, ntruct aceste erori nu pot depi eroarea maxim (precizia) aparatului folosit. i n cazul mrimilor msurate indirect, se calculeaz erorile absolute maxime, care definesc astfel domeniul de nedeterminare al mrimii.

2. Se numete eroare relativ, raportul valoarea exact a mrimii msurate.

dintre eroarea absolut i

Vom considera c msurtorile sunt suficient de precise, adic eroarea absolut este mic n comparaie cu valoarea x0 sau x a mrimii msurate: x = x0 x x0, x = x0 x x, adic x0 i x sunt suficient de apropiate ntre ele. n aceste condiii, eroarea

relativ aparent definit prin raportul difer puin de eroarea relativ definit mai nainte i satisface inegalitatea:unde eroarea absolut x (care se poate evalua) este raportat la valoarea msurat x (deci cunoscut) i nu la valoarea exact, dar necunoscut x0. Eroarea absolut se msoar n aceleai uniti ca i mrimea nsi, n timp ce eroarea relativ n-are dimensiuni i se exprim adesea n procente. Eroarea relativ caracterizeaz mai bine precizia unei msurtori i fiind adimensional permite compararea preciziei de msurare a mrimilor de naturi diferite. De exemplu, distana Bucureti-Ploieti (60 km) msurat cu o eroare de 6 m, nseamn o eroare relativ de 0,01%, pe cnd o cldire de 60 m msurat cu aceeai eroare absolut de 6 m, nseamn de fapt o msurtoare foarte proast fa de cea precedent, deoarece aici eroarea relativ este de 10%.

1.4. Problemele calculului erorilorn afar de sarcina general evident de a construi caracteristici sau criterii matematice, cantitative, ale preciziei msurtorilor efectuate, distingem urmtoarele probleme n cadrul teoriei erorilor accidentale: 1) a afla distribuia erorilor accidentale; 2) a construi din irul datelor experimentale valoarea care se apropie cel mai mult (cu maximum de probabilitate) de valoarea real; 3) a calcula precizia rezultatului. n cadrul teoriei erorilor funciilor distingem urmtoarele probleme principale: 1. Problema direct: a evalua precizia rezultatului, cunoscnd precizia datelor iniiale, sau altfel: a calcula eroarea funciei, cunoscnd erorile argumentelor i forma dependenei funcionale. Aceast problem are n toate cazurile o soluie pe deplin satisfctoare, dup cum vom vedea. 2. Problema invers: a afla precizia necesar a datelor iniiale care s asigure o precizie dorit a rezultatului, sau altfel: a calcula erorile argumentelor, cunoscnd eroarea funciei i forma dependenei funcionale. Aceast problem, mai complex i ntructva nedeterminat, este rezolvabil satisfctor.

3. Problema optimizrii: a se determina condiiile optime (cele mai favorabile) de msur, astfel nct eroarea funciei s fie minim. Aceast problem nu admite totdeauna o soluie. Menionm problema important a evalurii comparative a avantajelor diferitelor metode de msur i deci a selectrii metodei optime. n sfrit, problema economiei calculelor: 1) a pune n concordan precizia diferitelor date iniiale, pentru a nu face calcule de prisos cu unele date, dac altele sunt prea grosolane; 2) a urmrit n timpul calculelor o anumit precizie a rezultatelor intermediare, pentru a asigura precizia cerut a rezultatului final i pentru a simplifica pe ct posibil calculele.

2. METODE DE OPTIMIZAREMetodele de optimizare se clasific, n raport cu problema care se pune pentru funcia int sau scop, astfel: 1. Metode ce determin expresia analitic a funciei, care aproximeaz cel mai bine o funcie tabelat dat prin puncte; 2. Metode ce determin diferii parametri ai funciei scop (int), pentru a obine un extrem al funciei.

2.1. METODA CELOR MAI MICI PTRATEPresupunem c avem o funcie definit printr-un tabel de valori. Dac tabelul este obinut n urma unor msurtori fizice, atunci elementele lui pot avea erori. Elementele care difer mult de celelalte pot fi eliminate. Problema care se pune este s determinm funcia analitic care aproximeaz cel mai bine datele din tabel sau curba care trece prin punctele tabelului. Considerm c funcia tabelat poate fi aproximat cu funcia:

Deoarece funcia tabelat este cunoscut numai n anumite puncte, n numr de m, n aceste puncte avem urmtoarele erori:

care ar putea fi calculate dac am cunoate funcia Pentru determinarea funciei, vom anticipa nti o funcie care s se asemene foarte mult cu curba realizat cu punctele tabelului. Aceast funcie poate fi: liniar, hiperbolic, logaritmic, exponenial geometric, trigonometric etc. Al doilea pas este determinarea funciei din condiiile ca suma abaterilor: s fie minim.

2.2. REGRESIA LINIARSe consider funcia tabelat:

unde m reprezint numrul de msurtori sau de valori ale funciei. Se cere s se determine funcia liniar de forma general care s aproximeze cel mai bine funcia tabelat asfel ca eroarea: s fie minima. Necunoscutele a i b se determin din condiia de minim a lui E carese realizeaz pentru anularea derivatelor pariale n raport cu a i b ale lui E:

Rezult sistemul n necunoscutele a i b :

Soluiile sistemului liniar n a i b sunt:

nlocuind valorile lui a i b n prima ecuaia avem funcia liniar care aproximeaz cel mai bine funcia tabelat dat.

2.3. REGRESIA POLINOMIALDac regresia liniar nu este satisfctoare se caut o funcie polinom de un anumitgrad (2, 3, 4n). Fie funcia dat n tabelul anterior.Considerm c reprezentarea grafic a acestei funcii se aseamn foarte mult cu curba unui polinom de gradul n de forma:

Se minimizeaz funcia int:

unde m reprezint numrul de valori ale funciei tabelate.

Necunoscutele sunt: necunoscutele i se obine sistemul:

Se deriveaz n raport cu

Sistemul obinut este un sistem liniar n necunoscutele .

2.4. REGRESIA HIPERBOLICFie funcia numeric dat n tabel. Reprezentarea grafic prin puncte a acestei funcii se aseamn foarte bine cu o funcie hiperbolic. Se pune problema Determinrii funciei hiperbolice care aproximeaz cel mai bine funcia numeric. Pentru comoditatea calculului se inverseaz funcia hiperbolic i se construiete funcia eroare:

Prin derivare n raport cu a i dup aceea cu b se obine sistemul liniar:

Soluiile sistemului sunt :

nlocuim valorile lui a i b n funcia hiperbolic i se obine funcia care aproximeaz cel mai bine funcia numeric din tabel.