Noţiuni din Teoria Erorilor

8/19/2019 Noţiuni din Teoria Erorilor

1/44

Noţiuni din

teoriaerorilor


2/44

La efectuarea oricărei lucrări delaborator vom avea de măsurat careva

mărimi ziceMăsurările pot :

1. Directe

2. Indirecte.


3/44

Măsurările directeMăsurăile se numesc directe, dacă ele se efectuează

nemijlocit cu ajutorul aparatului de măsură.

Distanţa dintre punctele A şi B se măsoară direct cuajutorul riglei.

Exemplu: impul t !n care un automo"il parcurge distanţa dela A p#nă la B o măsurăm direct cu ajutorul cronometrului.


4/44

Măsurări indirecte

$iteza automo"ilului nu poate fi măsurată direct. %entru amăsura această &iteză, tre"uie să măsurăm distanţa dintre

punctele A şi B 'măsurare directă(, timpul !n care automo"ilul parcurge această distanţă 'la fel, măsurare directă(, apoi, ştiind căv )S/t , putem determina &iteza automo"ilului. Astfel de măsurărise numesc indirecte.

Măsurările se numesc indirecte, dacă mărimea fizică nu semăsoară cu ajutorul aparatului de măsură, dar se calculează cuajutorul unor mărimi fizice măsurate direct, care se află !ntr*ocare&a relaţie matematică cu mărimea care tre"uie măsurată.


5/44

+a efectuarea măsurărilor fizice, oric#t de minuţioase ar fiele, totdeauna se comit erori. Erorile se comit deoarece nu existăun aparat de măsură a"solut exact. rice aparat de măsură are o

care&a precizie a sa. -iar şi ociul omului nu este un aparat demăsură perfect.


6/44


7/44


8/44


9/44


10/44


11/44


12/44

De ce trebuie să cunoaştem erorile?


13/44

mmax)/00 t

1 x)/0 t

m)23 tmmax)20 t

roiectarea unuipod


14/44

repararea medicamentelor lafarmacie

+a prepararea unui medicament, se amestecă c#te&acomponente. -omponentele tre"uiesc c#ntărite cu o care&a

precizie. Dacă precizia este mai mică dec#t cea necesară,atunci medicamentul nu mai lecuieşte, dar din contra. De aceea

tre"uie să cunoaştem eroarea care a fost comisă la c#ntărire.


15/44

%recizia măsurărilor poate fi apreciată cu ajutorul erorilor a"solutăşi relati&ă.

4e numeşte eroare absolută ∆x mărimea egală cu modulul

diferenţei dintre &aloarea ade&ărată a mărimii măsurate X şi&aloarea o"ţinută !n urma măsurării x.

Exemplu:

Eroarea a"solută are aceleaşi unităţi de măsură ca şi

mărimea fizică măsurată.

x X x∆ = −

5, 53 m 5,56 m x∆ = −

0,0/ m x∆ =

5, 56 m x =


16/44

Este mult sau puţin73 m. x∆ =

3 m. x∆ =

3 m. x∆ =


17/44

Deci, eroarea a"solută !ncă nu ne &or"eşte pe deplin c#t de "ine au fost efectuate măsurările. De aceia a&em ne&oie de acalcula o altă eroare, numită eroare relati&ă.

4e numeşte eroare relativă ε mărimea egală cu raportuldintre eroarea a"solută şi modulul &alorii ade&ărate amărimii măsurate:

Eroarea relati&ă nu are unităţi de măsură şi se exprimă deo"icei !n procente:

%utem scrie: ε )0,/8 sau ε )/89 'este corect şi una şi alta(.

x

X

ε ∆

=

/009 x X

ε ∆= ×


18/44

3 m. x∆ =

3 /009/00000

ε = ×

0,0039ε =

3/009

/0

ε = ×

309ε =

/009 x

X ε

∆= ×


19/44

Erorile măsurărilor se !mpart !n

• !rori sistematice"

• !rori #nt$mplătoare %aleatoare&"

•

!rori 'rosolane.


20/44

Erori sistematice sunt erorile carerăm$n constante at$t ca valoare c$t şi casemn( sau se modică după o anumită le'e #n

urma măsurărilor repetate ale aceleiaşimărimi zice.!)emplu

1

*el pu+in una din ri'le indică 'reşit lun'imeade 2, cm. Măsur$nd cu această ri'lă(permanent vom comite aceiaşi eroare


21/44


22/44

Erori întâmplătoare sunt erorile care #şi scimbă valoarea şi semnul de la omăsurare la alta.

-. In/uen+e necontrolabile ale mediului%varia+ii ale temperaturii( scimbarea

curen+ilor de aer&.

0unt determinatede :1. lipsa de precizie acitirilor indica+iilorinstrumentelor de

măsură"2. Imperfec+iunea

or'anelor de sim+ alee)perimentatorului"


23/44

Reducerea influenţei erorilor întâmplătoare

Deoarece erorile !nt#mplătoare !şi scim"ă&aloarea şi semnul de la o măsurare la alta, dacăse efectuează un număr mare de măsurări, atunci

numărul &alorilor mai mari dec#t cele reale practic se egalează cu numărul &alorilor maimici. De aici rezultă că influenţa erorilor

!nt#mplătoare poate fi micşorată efectu#nd unnumăr c#t mai mare de măsurări.


24/44

Erori grosolane

sunt a"aterile mari ale rezultatelor măsurărilor faţăde celelalte &alori măsurate.Exemplu:l (cm) (3 (4 1 (2 ( (- (, (3 (5

-auzele erorilor grosolane:•utilizarea greşită a mijloacelor de măsurare,•aparate defecte,•

neatenţia experimentatoruluiErorile grosolane se depistează şi se elimină dinşirul &alorilor o"ţinute la măsurate


25/44

Media aritmetică

%entru a determina erorile a"solută sau relati&ă amăsurărilor este necesară &aloarea ade&ărată a mărimiimăsurate X . Această mărime, # nsă, # n cele mai dese

cazuri nu este cunoscută. Dacă mărimea fizică x

a fostmăsurată de N ori şi # n urma măsurărilor au fosto"ţinute rezultatele x/, x5, x, ; x


26/44

Erorile a"solute o"ţinute la fiecare măsurare sunt

Eroarea a"solută medie este

=nsă erorile !nt#mplătoare pot a&ea &alori at#t poziti&e

c#t şi negati&e. Astfel, pentru un număr mare demăsurări . De aceea mărimea nu descrieeroarea măsurărilor efectuate.

Mărimea cea mai indicată pentru descrierea erorilor

măsurărilor este eroarea standard a medieiaritmetice:

/ / 5 5, , ...,

N N ∆ ∆ ∆ x =x-x x =x-x x =x-x

/ 5 :

/

... / N N i

i

x x x x x

N N =

∆ + ∆ + ∆ + + ∆∆ = = ∆∑ x

0∆ → x ∆ x

( ) ( )

5

/

/

/

N

s i

i

x x N N =

∆ = ∆−

∑


27/44

>ezultatul final o"ţinut !n urma măsurărilor se !nscriesu" forma

?nter&alul &alorilor de la p#nă lase numeşte interval de încredere.

s x x x= ± ∆

s x x x= − ∆ s

x x x= − ∆


28/44

Exemplu>ezistenţa unui rezistor a fost măsurată de N )/0 ori, şi aufost o"ţinute rezultatele:

R(Ω) @0 @/ @6 @ @@ @@ @ @5 @3 @8$aloarea medie a rezistenţei este:

Eroarea standard a mediei aritmetice :

>ezultatul final al celor /0 măsurări este R)'@8/( C

Această expresie arată că &aloarea ade&ărată a rezistenţei

"o"inei este cuprinsă !ntre @ C şi @3 C.

/0

/

D /0i

i

R R=

= ∑

( )@0 @/ @6 @A @@ @@ @: @5 @3 @8 D/0 @8,:E R = + + + + + + + + + =

( )5/0

/

/0,A@ /E

/0 2 s i

i

R R R=

∆ = − =×

∑ "


29/44

Dar apare !ntre"area: &aloarea ade&ărată a

rezistenţei !ntr*ade&ăr este cuprinsă !n inter&alulrespecti& sau există posi"ilitatea ca ea să fie !n afaraacestui inter&al, adică mai mare dec#t @3 C sau maimică dec#t @ C7 %entru a răspunde la această !ntre"are

tre"uie să introducem noţiunea de ni&el de !ncredere.Nivel de încredere al măsurării P Fse numeşte

pro"a"ilitatea cu care se poate afirma, că &aloarea

ade&ărată a mării măsurate X se află !n inter&alul de!ncredere o"ţinut.


30/44

4e poate demonstra că, pentru un număr suficient de

mare de măsurări, &aloarea ade&ărată a mărimii măsurate X se află !n inter&alul de !ncredere

%entru a !nscrie inter&alul de !ncredere cu un ni&el de!ncredere mai mare se introduc coeficienţii lui 4tudentt ' P F,k ( care depind de ni&elul de !ncredere P F şi denumărul de măsurări N 'k ) N */ se numeşte numărulgradelor de li"ertate(.

numai !n cazul unui ni&el de !ncredere P F)0,6.

Deci, !n exemplul de mai sus putem spune cărezistenţa rezistorului se află !n inter&alul de la @ C p#nă la @3 C cu pro"a"ilitatea de 0,6.

s x x x= ± ∆


31/44

Astfel, dacă se cere ca rezultatele măsurărilor să fieindicate cu un anumit ni&el de !ncredere, atuncirezultatul final se !nscrie su" forma:

=n ta"elul următor sunt prezentate &alorile t ' P F,k ( pentru diferite ni&ele de !ncredere şi pentru diferite

&alori ale numărului k .

( ), s x x x t P k ∗= ± ∆ ×


32/44


33/44

Exemplu=n exemplul precedent, efectu#nd /0 măsurări ale

rezistenţei unui rezistor, am o"ţinut rezultatul final R)'@8/( C. >ezultatul o"ţinut !ntr*o care&a măsură nu aresens, deoarece noi nu cunoaştem care este pro"a"ilitatea că!ntr*ade&ăr rezistenţa o"ţinută are &aloarea cuprinsă !ntre @C şi @3 C. Dacă s*ar cere un ni&el de !ncredere P F)0,222,atunci din ta"el o"ţinem t ' P F,k () t '0,222G 2()8,@3. =n acestcaz

Astfel, R)'@83( C.

Deci, rezistenţa "o"inei este cuprinsă !n inter&alul de!ncredere de la 62 C p#nă la @2 C cu un ni&el de !ncredere P F)0,222. Aceasta !nseamnă că pro"a"ilitatea ca &aloareaade&ărată a rezistenţei să depăşească inter&alul de !ncredererespecti& este mai mică dec#t 0,/ 9.

( )G 8,@A3 / 8,@A3 3 E s R t P k R∗∆ = ∆ = × = ≈


34/44

Măsurări indirecte

%#nă acum am studiat erorile măsurărilor directe.

Hie că mărimea fizică Z se află !ntr*o care&a relaţiematematică cu mărimile x, y,u,v . Deci, Z ) f ' x, y,u,v (. Efectu#ndo serie de măsurări directe ale mărimilor fizice x, y,u,v , se potdetermina &alorile medii ale acestora şi erorile lor

standard: Itiliz#nd &alorile medii ale mărimilor x, y,u,v se calculează &aloarea medie a mărimii Z .4e poate demonstra că eroarea standard a mediei aritmetice !n

acest caz este:

E&ident, rezultatul final se prezintă !n forma

, , , x y u v

, , , s s s s x y u∆ ∆ ∆ ∆ v.

55 5 5

5 5 5 5

s s s s s

Z Z Z Z Z x y u

x y u

∂ ∂ ∂ ∂ ∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆ ÷ ÷ ÷ ÷∂ ∂ ∂ ∂ v

v

( ), s Z Z t P k Z ∗= ± × ∆


35/44

Metoda celor mai mici pătrate

Deseori o mărime fizică poate fi determinată cu ajutorulgraficului funcţiei liniare

Y ) pX Jb.Mărimea p reprezintă panta dreptei, iar termenul li"er b K punctul

de intersecţie a dreptei cu axa Y .%entru construirea graficului sunt necesare n puncte

experimentale, adică n pereci de &alori experimentale ale mărimilor X şi Y . Deseori &alorile X /, X 5, ;, X


36/44

%ro"lema constă !n determinarea acelor &alori ale parametrilor p şi b, pentru care dreapta cel mai "ine &a trece prin punctele experimentale. 4e poate demonstra că &alorile optimeale parametrilor p şi b se o"ţin atunci c#nd suma pătratelora"aterilor de la dreaptă, adică mărimea

este minimă. De aici şi denumirea: metoda celor mai micipătrate. Din condiţia de minim a sumei rezultă următoarele&alori ale parametrilor p şi b:

5

/

' (n

i i

i

Y pX b=

− −∑

/

5

/

' (

' (

n

i i

i

n

i

i

X X Y p

X X

=

=

−=

−

∑∑

b Y pX = −


37/44

%entru erorile standard şi erorile relati&e ale pantei şitermenului li"er se o"ţin relaţiile:

Dacă !ntr*o experienţă concretă este necesar de a determina punctul de intersecţie al dreptei cu axa a"sciselor X 0, atunci,din expresia Y ) pX Jb &edem că pentru Y )0, o"ţinem:

X 0)*b p

% &

% & % &

n

i ii

s n

i

i

Y pX b p

n X X

6

6

7 7D 8

7 7

9

9

2

1

2

1

1

s p

p

pε

∆=

( )

( ) 5

5

/

5

/

/

/

n

i i

i

s n

i

i

Y pX b X

bn n

X X

=

=

− − ÷ ÷∆ ≈ +

− ÷− ÷

∑∑

s

b

b

bε

∆=


38/44

Metodă alternati&ă de e&aluare a erorilormăsurărilor indirecte

"sernd că eroarea relati&ă ε=1 x X reprezintă raportul dintre eroarea a"solută şi&aloarea ade&ărată a mărimii fizice, pentru

e&aluarea ei se logaritmează dependenţa studiată,apoi se diferenţiază şi semnul diferenţialei se!nlocuieşte cu semnul erorii a"solute, o"ţin#ndu*

se o formulă ce permite e&aluarea foarteaproximati&ă a erorii comise la măsurărileindirecte.


39/44

Exemplu:

Măsurarea acceleraţiei gra&itaţionale g .%erioada oscilaţiilor unui pendul gra&itaţional simplu

este

Din ultima relaţie &edem că pemtru a calcula

acceleraţia gra&itaţională tre"uie să măsurăm perioadaoscilaţiilor şi lungimea pendulului.%entru a calcula erorile comise procedăm astfel:

'/(5 l

T g π =

5

5

8 l

g T

π

=⇒


40/44

5


41/44

/. +ogaritmăm expresia '/( :

5. Diferenţiem expresia o"ţinută

'/(

=n fizică a&em constante exacte şi constante aproximati&e. =nformula '/( L este o constantă aproximati&ă, iar 8 este o constantă

exactă. -onstantele aproximati&e introduc erori !n calcul, cele exacte Knu introduc. De aceea constantele aproximati&e le &om consideramărimi &aria"ile, iar cele exacte K mărimi constante. Deoarecediferenţiala constantei este egală cu zero, din '5( o"ţinem:

'5(ln g =

( )ln x ′ =

( )lnd x =

ln 8 + 5 lnπ + ln l 5lnT −

( )5 x ′ =

( )5d x =

( )sin x ′ =

( )sind x =

5

5

8 l g

T

π =

5 x

5 xdx

cos x

cos xdx

/

x dx x


42/44

. 4cim"ăm semnele *N !n JN şi d N !n 1N:

'5(


43/44

Dacă mărimea fizică a fost măsurată doar o singurădată, atunci eroarea a"solută a mărimii măsurate esteegală cu eroarea aparatului de măsură.

Eroarea aparatului de măsură se &a considera egală cu

jumătate din pre ul celei mai mici di&iziuni alețaparatului.

'(5 T T

∆+ g g ∆ = 5 π

π

∆ l l

∆+


44/44

Noţiuni din Teoria Erorilor

Documents

Transcript of Noţiuni din Teoria Erorilor