CALCUL MATRICEAL ŞI

REPREZENTĂRI GRAFICE

ÎN SPAŢIU

Profesor FLOREA ADRIAN

Şcoala nr. 98 ,,Avram Iancu”

Bucureşti

În toate teoriile privind formarea Universului se încearcă, pe lângă

argumentarea matematică şi reprezentări grafice, crearea unor imagini prin modelarea

pe computer care să prezinte intuitiv şi să descrie procesele fantastice care au avut

probabil loc. Calculul matriceal şi vectorial dezvoltat în ultimul timp, permite,

folosind programe specializate de computer, reprezentarea oricăror suprafeţe şi

corpuri, care să corespundă unei teorii.

În continuare, ne propunem prezetarea a două teorii de formare a Universului,

folosind pentru imagini calculul matriceal.

Pare paradoxal, dar teoriile moderne, serioase, despre formarea Universului nu

pot fi argumentate fără descoperirile fudamentale făcute în microcosmos, adică în

lumea atomilor şi a particulelor elementare. Prin experimente făcute cu ajutorul

acceleratoarelor de particule, folosind un aparat matematic puternic şi cu idei

îndrăzneţe, s-a înţeles mai bine lumea subatomică, forţele care apar numai acolo,

legătura dintre masă şi energie, care împreună cu gravitaţia au determinat Universul

observabil acum.

Teoria cea mai revoluţionară, confirmată de foarte multe observaţii şi verificări la

nivel de microcosmos, dar şi de macrocosmos, este teoria ,,Marea Explozie” (Big

Bang). Această teorie se bazează pe un suport matematic complex, prezentată în etape

esenţiale, cuvintele şi imaginile următoare fiind doar o cale de a o face cât de cât

accesibilă înţelegerii noastre, oamenii obişnuiţi.

La momentul zero, exista (conform acestei teorii) doar o ,,aglomerare primordială”,

o particulă iniţială, cu densitate şi temperatură inimaginabil de mari. Nu exista timp,

nu exista spaţiu, totul se conţinea pe sine.

Etapa întâi. În intervalul infinitezimal de timp 0---10-43

secunde are loc declanşarea

Marii Explozii. Temperatura era de 100 de miliarde de grade, nu existau particule

diferenţiate, cele patru forţe fundamentale cunoscute erau unificate într-o forţă unică.

Cele patru forţe fundamentale sunt: forţa de gravitaţie, forţa electromagnetică, ,,forţa

slabă”(care guvernează dezintegrările radioactive) şi ,,forţa tare” (care asigură

stabilitatea nucleelor).

Etapa a doua. În intervalul de timp 10-43

---10-35

secunde, radiaţia este extrem de

fierbinte, gravitaţia este prima forţă care apare distinct. Se formează primele particule

de materie numite quarci, care prin combinarea lor vor da naştere ,,mai târziu”

protonilor şi neutronilor. Apar neutrinii, particule fără masă de repaus, apoi apar şi

electronii.

Etapa a treia. Intervalul de timp 10-35

---10-10

secunde. Temperatura scade dramatic.

Răcirea până la 50 de miliarde de grade permite desprinderea ,,forţei tari” care

acţionează între quarci. Apar particule noi numite monopoli magnetici.

Etapa a patra. Intervalul de timp 10-10

---10-5

secunde. Temperatura scade la 30 de

miliarde de grade. Cele patru forţe se diferenţiază complet şi acţionează între quarci

Aceştia se combină formând protoni, neutroni şi alte particule.

Etapa a cincea. Intervalul de timp 10-5

secunde --- 3 minute. Se formează toate

particulele cunoscute. Acestea se combină între ele, se formează nuclee şi apoi primii

atomi de hidrogen şi de heliu, electronii liberi fiind atraşi de protonii din nuclee.

Etapa a şasea. Intervalul de timp 3minute ---500000ani. După trei minute şi două

secunde temperatura scade suficient pentru continuarea combinărilor directe a

protonilor cu neutronii, nucleele devenind stabile. După încă 30 de minute,

temperatura scade până la 300 de milioane de grade. Spaţiul se extinde rapid,

densitatea scade extrem de repede. Procesele nucleare de combinare directă dintre

nucleoni nu mai pot avea loc. 22-28% din cantitatea totală de particule sunt reţinute în

atomi de heliu, restul, aproape în întregime se combină în atomi de hidrogen. Astfel

dispar aproape în totalitate electronii liberi şi nucleele. Universul devine transparent la

radiaţie şi această decuplare a radiaţiei de materie, permite organizarea materiei în

aglomerări imense de gaze, nucleele viitoarelor galaxii. Vârsta actuală a Universului

se estimază că ar fi de 15-18 miliarde de ani.

Teoria ,,Marii Explozii” a fost concepută în perioada 1946-1948 de fizicienii George

Gamow, Ralph Alpher şi Robert Herman. Prin calculele făcute de G. Gamow în anul

1948, s-a găsit că radiaţia iniţială superfierbinte la început, ar trebui să aibă acum o

temperatură de 5K (grade kelvin). Timpul a trecut, aparatura şi instrumentele s-au

perfecţionat şi, surpriză, în anul 1964 doi radioastronomi americani Arno Penzias şi

Robert Wilson, folosind o antenă parabolică au descoperit întâmplător o radiaţie de

fond a cărei temperatură era de 3K. Această radiaţie a fost detectată apoi ca provenind

uniform din toate zonele Universului, fiind cu certitudine radiaţia prezisă prin calcule

de Gamow, ca dovadă a corectitudinii teoriei big bang. În zilele noastre se caută şi

alte dovezi, cum ar fi monopolii magnetici, gravitonii şi fenomenul de dezintegrare a

protonilor. Teoria aceasta nu explică însă unele fenomene constatate ulterior şi de

aceea a fost necesar ca ea să fie perfecţionată, dezvoltată din punct de vedere

matematic şi noile ipoteze emise de oameni de ştiinţă duc la o reinterpretare şi chiar la

o schimbare substanţială a ei.

Teoria Big-Bang are multe neajunsuri. Ea nu poate explica mai multe aspecte

evidente:

- De ce Universul, ca stare globală este omogen?

- De ce Galaxiile se îndepărtează una faţă de alta accelerat, cu viteze de expansiune

apropiate de viteza luminii?

- De ce forţa gravitaţională nu frânează această expansiune?

- Cum se generează particule de o extrem de mare varietate, când protonii sunt

puternic acceleraţi, la anumite energii apărând jerbe de particule în spaţiul vid în

care se deplasează?

- Unde se află antimateria care, conform legii simetriei, ar trebui să fie în cantităţi

egale cu materia obişnuită?

- Dacă antimateria s-ar afla într-un Univers paralel, cum s-au separat cele două

universuri?

Sunt doar câteva întrebări la care nu se poate încă răspunde folosind legile fizicii

cunoscute.

O teorie relativ nouă este teoria Superstring. Este o teorie care poate explica

aproape toate fenomenele Universului şi care reuneşte forţele fundamentale:

gravitaţia, forţa electromagnetică şi forţele nucleare slabă şi tare. Dar pentru aceasta a

trebuit să se imagineze un Hiperspaţiu. Acesta este Universul conceput cu 10

dimensiuni, 9 dimensiuni spaţiale şi plus timpul. Primele 3 dimensiuni spaţiale sunt

cele accesibile simţurilor noastre, iar celelalte 6 sunt înglobate într-o ciudăţenie

geometrică numită Calabi-Yan, care are mărimea comparabilă cu lungimea Plank, de

10-35

metri! Toate la acest nivel sunt de fapt nişte vibraţii ale unor corzi (stringuri) de

dimensiuni şi mai mici.

Ultima teorie Superstring, concepe Universul ca fiind de fapt o membrană cu 10

dimensiuni, care vibrează în Hiperspaţiul cu 11 dimensiuni. Existenţa mai multor

membrane, separate de distanţe mai mici de un milimetru, ar fi existenţa de universuri

paralele. Prin atingerea într-un punct a două astfel de membrane, acel punct de

singularitate ar fi corespunzător momentului iniţial din teoria Big-Bang! Timpul de

interacţiune este de ordinul 10-44

secunde, în concordanţă cu timpul Plank.

În continuare sunt prezentate modele matematice ale unor astfel de membrane şi a

corzilor vibrante, obţinute folosind calculul matriceal .

În continuare sunt prezentate

liniile de program şi, alăturat,

figurile generate pe computer.

z = peaks;

surf(z)

shading interp

hold on

[c ch] = contour3(z,20);

set(ch,'edgecolor','b')

[u v] = gradient(z);

h = streamslice(-u,-v);

set(h,'color','k')

for i=1:length(h);

zi =

interp2(z,get(h(i),'xdata'),get(h(i),'y

data'));

set(h(i),'zdata',zi);

[X,Y,Z] = peaks(30);

surfc(X,Y,Z)

colormap hsv

axis([-3 3 -3 3 -10 5])

end

view(30,50); axis tight

xmin = min(x(:));

ymin = min(y(:));

zmin = min(z(:));

xmax = max(x(:));

ymax = max(y(:));

zmax = max(z(:));

>> hslice =

surf(linspace(xmin,xmax,100

),...

linspace(ymin,ymax

,100),...

zeros(100));

xmax = max(x(:)); ymax = max(y(:)); zmax = max(z(:));

hslice = surf(linspace(xmin,xmax,100),... linspace(ymin,ymax,100),... zeros(100));

rotate(hslice,[-1,0,0],-45) xd =

get(hslice,'XDat

a'); yd =

get(hslice,'YDat

a'); zd =

get(hslice,'ZDat

a');

h =

slice(x,y,z,v,xd

,yd,zd); set(h,'FaceColor

','interp',...

'EdgeColor','non

e',...

'DiffuseStrength

',.8)

Reprezentarea deformării spaţiului-timp în

prezenţa maselor semnificative

daspect([1,1,1

]) axis tight box on view(-38.5,16) camzoom(1.4) camproj

perspective

hold on hx =

slice(x,y,z,v,

xmax,[],[]); set(hx,'FaceColor','interp','EdgeColor','none')

hy =

slice(x,y,z,v,[],yma

x,[]); set(hy,'FaceColor','

interp','EdgeColor',

'none')

hz =

slice(x,y,z,v,[],[],

zmin);

Simularea propagării

exploziei cu

reprezentarea conului de

propagare a radiaţiei,

în plan (1) şi în spaţiu (2)

set(hz,'FaceColor','interp','EdgeColor','none')

[x,y] = meshgrid([-2:.2:2]);

Z = x.*exp(-x.^2-y.^2);

surf(x,y,Z,gradient(Z))

Z = peaks(25);

C(:,:,1) = rand(25);

C(:,:,2) = rand(25);

C(:,:,3) = rand(25);

surf(Z,C)

b = .30*red + .59*green + .11*blue

= sum(diag([.30 .59 .11])*map')';

Suprafeţe în care sunt reprezentate

string-uri, corzi vibrante în Univers.

Două astfel de suprafeţe, separate de

o distanţă extrem de mică, pot

constitui două universuri paralele.

Când două string-uri de pe

suprafeţe paralele se ating,

punctul de contact poate fi

punctul de singularitate, din care

se iniţializează un Big-Bang!

Bibliografie

1. MATLAB. High-Performance Numeric Computation and Visualisation

Sofware. Natick, Massachusetts 1992.

2. ETTER,D.M. –Engineering Problem Solving with Matlab, Prentince Hall,

New Jersey, 1993.

3. MARCUS, M. Matrces and Matlab: a Tutorial, Prentince Hall, New

Jersey, 1993.

4. SIMA, V. Metode noi de matematică aplicată, Editura Ştiinţifică,

Bucureşti, 1992.

5. PRESS,W. H., FLANENERY, B. P., TEUKOLSKY, S. A.,

VETTERLING, W. T. –Numerical Recipes in C. The of Scientific

Computing, Cambrige University Press, 1992.