C8_Econometrie_2015_2016

7/25/2019 C8_Econometrie_2015_2016

1/29

CC 8

Modele neliniare1. Modelul log-liniar (modelul putere)

2. Modele polinomiale

Conf. dr. Christiana Balan

7/25/2019 C8_Econometrie_2015_2016

2/29

()

2

7/25/2019 C8_Econometrie_2015_2016

3/29

Un model econometric poate fi:

- Model liniar n parametri: ++= 2

10 XY

- Model liniar n variabile:

- Model liniar n parametri i n variabile:

+++= 22

2110 XXY

++= XY 10

3

7/25/2019 C8_Econometrie_2015_2016

4/29

Modelul log-liniar (putere) (1)

este un model de regresie neliniar

variabilele modelului apar prin funcia logaritm

modelul apare ca rezultatul liniarizrii prin logaritmare aunui model de tip putere

. orma genera a mo e u u putereConsiderm modelul simplu de forma:

sau

Prin logaritmare, se obine modelul:

unde

eXY 10

= i1 exy i0i

=

0 1ln ln lni i iy x = + +

4

0 0>

7/25/2019 C8_Econometrie_2015_2016

5/29

Modelul log-liniar (2)

Modelul log-liniar poate fi transformat ntr-un model liniar fcndurmtoarele notaii:

i

*

i ylny =

0

*

0 ln =

1

*

1 =*

xlnx =

*

i

*

i

*

1

*

0

*

i xy ++=

i*i =

5

7/25/2019 C8_Econometrie_2015_2016

6/29


2. Interpretarea parametrilor modelului

0 este valoarea medie a variabilei dependente Y, cnd variabilaindependent X ia valoarea 1:

1

0 0 0*1 *1XY

= = =

1

0

0 1ln ln ln

X

X

Y X

Y X

=

= +

1

exprim variaia medie relativ (procentual ) a variabileidependente Y la o variaie relativ (procentual) cu o unitate (1%) avariabilei independente X.

11111%100

%10011lnln

=

=

===

X

X

Y

Y

X

X

Y

Y

X

dX

Y

dY

XdX

dY

YdX

Xd

dX

Yd

1%100%,1%100 =

=

Y

Yatunci

X

XDac

6

7/25/2019 C8_Econometrie_2015_2016

7/29

Elasticitatea

Elasticitatea unei variabile Y n raport cu o alt variabil X

reprezint modificarea relativ (procentual) a variabile Y la omodificare relativ (procentual) a lui X cu o unitate.

Elasticitatea poate fi determinat prin relaia:


dar

Deci, parametrul 1 reprezint elasticitatea variabileidependente Y n raport cu variabila independent X.

100% mod .

% mod .100

Yif Y Y X YE

Xif X X Y

X

= = =

7

1

100%

100%

Y

YX

X

=

7/25/2019 C8_Econometrie_2015_2016

8/29


Funcia de producie Cobb-Douglas

Este un model de regresie neliniar multiplu de tip log-liniar, de

forma:

ik21 ex...xxy iki2i10i =

, ,

forma:i21 eKLy ii0i

=

8

7/25/2019 C8_Econometrie_2015_2016

9/29



Interpretare parametri

0 este nivelul mediu al produciei pentru K=1 i L=1;

1 este elasticitatea parial a produciei n raport cu munca; Variaia procentual a produciei la variaia cu 1% a factorului munc, n condiiile n

care factorul capital este constant.

1 2

, 0

, 0 1 2ln ln ln ln

L K

L K

Y L K

Y L K

=

= + +

2 este elasticitatea parial a produciei n raport cu capitalul; Variaia procentual a produciei la variaia cu 1% a factorului capital, n condiiile ncare factorul munc este constant.

1+2 este elasticitatea total a produciei n raport cu cei doifactori.

Se numete randament de scar.

9

1

100%

100%

Y

YL

L

=

2

100%

100%

Y

YK

K

=

7/25/2019 C8_Econometrie_2015_2016

10/29



Interpretarea elasticitii totale

1+2 =1: randamente de scar constante (variaie constanta produciei n raport cu factorii de producie);

1 2 inferioar a produciei n raport cu variaia factorilor);

1+2 >1: randamente de scar cresctoare (variaiesuperioar a produciei n raport cu variaia factorilor).

10

7/25/2019 C8_Econometrie_2015_2016

11/29


Exemplul 1 - Funcia de producie Cobb-Douglas

n studiul legturii dintre producia agricol,Y, (lei), numrul mediude salariai n agricultur, X1, (persoane) i suprafaa agricol,X2, (ha), se obine urmtoarea ecuaie estimat:

Elasticitatea parial a produciei n raport cu munca = 0,143; Variaia procentual a produciei la variaia cu 1% a factorului munc este egal cu

0,143%, n condiiile n care factorul capital este constant.

Elasticitatea parial a produciei n raport cu capitalul = 0,471; Variaia procentual a produciei la variaia cu 1% a factorului capital este egal cu

0,471%, n condiiile n care factorul munc este constant.

Elasticitatea total a produciei n raport cu cei doi factori = 0,614. Randamente de scar descresctoare.

iii xxy

21

n,n,,nn =

11

7/25/2019 C8_Econometrie_2015_2016

12/29


Exemplul 2 - Funcia cererii

n studiul legturii dintre cantitatea de cafea consumat zilnic (Q),preul cafelei, Pcafea, i preul ceaiului, Pceai, se obine urmtoareaecuaie estimat:

ceaicafea PPQ ln38,0ln25,078,0ln +=

Elasticitatea pre a cererii = 0,25; O cretere cu 1% a preului cafelei determin reducerea cu 0,25% a cererii de cafea, ncondiiile n care celelalte elemente sunt constante.

(Elasticitatea n mrime absolut = 0,25) < 1 cererea este inelastic (modificareacererii are loc ntr-o proporie mai mic dect modificarea preului)

Elasticitatea pre-ncruciat = 0,38; O cretere cu 1% a preului ceaiului determin creterea cu 0,38% a cererii de cafea, n

condiiile n care celelalte elemente sunt constante.

Elasticitatea pre-ncruciat > 0 cele dou bunuri (cafeaua i ceaiul) suntsubstituibile.

12

7/25/2019 C8_Econometrie_2015_2016

13/29


Exemplul 2 - Funcia cererii

C

C

13

C

7/25/2019 C8_Econometrie_2015_2016

14/29

14The dependent variable is Price of primary vehicle.

7/25/2019 C8_Econometrie_2015_2016

15/29

0=14,799

1=0,221

0 1XY X= +

14, 799 0, 221XY X= +

15

0=(=0)

D 0 , , , 14,799 .

D , , , 0,221 .

1 1

YY X

X

= =

7/25/2019 C8_Econometrie_2015_2016

16/29

16

7/25/2019 C8_Econometrie_2015_2016

17/29

0=0,765

1=0,881

1

0

0 1ln ln ln

X

X

Y X

Y X

=

= +

0,8810,765

ln ln 0, 765 0, 881ln

X

X

Y X

Y X

=

= +

17

0=(=1)

D ,

, , 0,765 .

D 1% , ,

, 0,881%.

ln 0, 268 0,881lnXY X= +

1100% 100%Y X

Y X

=

7/25/2019 C8_Econometrie_2015_2016

18/29

1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1ln

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

n nd x n xd x

dx

d x x

=

=

18

( ln )

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0

x x

x x

d a a ad x

d e ed x

dc

d x

=

=

=

7/25/2019 C8_Econometrie_2015_2016

19/29

19

7/25/2019 C8_Econometrie_2015_2016

20/29

20

7/25/2019 C8_Econometrie_2015_2016

21/29

21

7/25/2019 C8_Econometrie_2015_2016

22/29

()

1. :

2

:

210

20 1 2xY b b X b X = + +

22

7/25/2019 C8_Econometrie_2015_2016

23/29

()

, :

, , , .

Cost unitar

23

.

40.00

30.00

20.00

10.00

9.008.007.006.005.004.003.002.00

Productia

Quadratic

7/25/2019 C8_Econometrie_2015_2016

24/29

()

D 10, . C

.

D 1>0 2

7/25/2019 C8_Econometrie_2015_2016

25/29

Coefficients

-25.795 3.895 -5.322 -6.623 .000

2.114 .351 4.842 6.026 .001

89.041 9.231 9.646 .000

Productia

Productia ** 2

(Constant)

B Std. Error

UnstandardizedCoefficients

Beta

StandardizedCoefficients

t Sig.

Ecuaia estimat a modelului parabolic dintre Cost (Y, mii euro) iProducie (X, sute buci) este:

=89,041-25,795x +2,114x 2

Exemplul 3

25

Interpretare:

Costul este minim pentru o producie de 611 buci.

Valoarea costului minim este egal cu:

yi=89,041-25,795*6,11+2,114*(6,11)2 = 10,353 (mii euro)

Y este minim pentru X=-b1/2b2=25,79/4,228=6,11..

7/25/2019 C8_Econometrie_2015_2016

26/29

()

++++= 332210 XXXY

26

.

, 2 .

..

7/25/2019 C8_Econometrie_2015_2016

27/29

XdX

XXd

dXdX

XXXd

dXdX

Yd32

2321

33

2210

22

62)32()(

+=++

=+++

=

2

2 30 2 6 0d Y

X = + = 2X =

Abscisa punctului de inflexiune este:

27

3

7/25/2019 C8_Econometrie_2015_2016

28/29

100

80

60

40

20

Grad de urbanizare (%)Exemplul 4

28

0

2500020000150001000050000

PIB / loc

7/25/2019 C8_Econometrie_2015_2016

29/29

:

31127

Coefficients

.010 .002 2.557 4.950 .000

-6.1E-007 .000 -3.206 -2.652 .009

1.21E-011 .000 1.255 . .

32.036 3.395 9.438 .000

PIB/loc

PIB/loc ** 2

PIB/loc** 3

(Constant)

B Std. Error

UnstandardizedCoefficients

Beta

StandardizedCoefficients

t Sig.

:

=2/33=(6,1*107

)/(3*1,21*1011

) =2,47*104

=24700

,,,,

29

C8_Econometrie_2015_2016

Documents

Transcript of C8_Econometrie_2015_2016