C3-Sisteme Dinamice Continue de Ordin Superior, Sisteme Dinamice Discrete 1, 2015, 15.10.15, Ora...

8/17/2019 C3-Sisteme Dinamice Continue de Ordin Superior, Sisteme Dinamice Discrete 1, 2015, 15.10.15, Ora 10,20

1/20

Curs 3

SISTEME DINAMICE DISCRETE

Clasificare:

Un sistem dinamic discret este o secven ă de func iiț ț yt , care sunt definiterecursiv, adică există o regulă care leagă func iile din secven ă.ț ț

Notăm secven a:ț { yt }.

(1)

Rela ia (1) esteț ecua ie recursivă.ț

(2)

Rela ia (2) esteț ecua ie cu diferen e de ordin unu.ț ț

n ecua ia (1)ț !oate fi liniară/neliniară.

"cua ia dinamică liniară discretă de ordinul doi, neomogenă, cu coeficien iț țconstan i:ț

Re#olvarea ecua iilor liniare dinamice discrete cu coeficien i constan i:ț ț ț

1. Re#olvăm ecua ia omogenă:ț

$ăutăm o solu ie de formaț :

1


2/20

m!ăr im ecua ia laț ț :

ecua ia caracteristică.ț

"xistă trei ca#uri:

1.%iscriminantul

, rădăcini reale distincte.

&olu ia generală a ecua iei omogene are forma:ț ț

sunt constante generali#ate ar'itrare.

2. %iscriminantul , rădăcini reale egale

. %iscriminantul rădăcini com!lexe conugate.

Temă:

%educe*i forma analitică a solu*iei generale a ecua*iei omogene, +n ca#ulrădăcinilor com!lexe ale ecua*iei caracteristice:

2


3/20


4/20

cu iș constante reale.

Solu ia particularăț !rin metoda coeficien ilor nedetermina i:ț ț

se consideră d forma termenului li'er i se !une condi ia ca ea săș ț

verifice ecua ia neomogenă.ț

Echilibrul i stabilitatea sistemelor dinamice discrete ș

$onsiderăm sistemul dinamic discret:

este !unct de ec-ili'rufix dacă i numai dacă:ș

&ta'ilitateainsta'ilitatea !unctelor fixe:

/ dacă , atunci este sta'il i este !unct fix dești! atractor0

4


5/20

/ dacă , atunci este insta'il i este !unct fix de ti!ș

re!elor0

&istem sta'il, !unct fix atractor, sistem sta'il.

unct fix re!elor, sistem insta'il.

5


6/20

unct fix atractor, local asim!totic sta'il (traiectoria !orne te dintr/o vecinătateșa !unctului fix i atinge valoarea acestuia la infinit)ș

unct fix atractor, glo'al asim!totic sta'il (traiectoria !orne te din orice !unctșdin ini ial i atinge valoarea !unctului fix la infinit)ț ș

EEM!"E

#$ Dob%nda compusă

%acă o sumă de 'ani A este ca!itali#ată anual la o rată a anuală a

do'n#ii r !entru un număr de ani t , atunci !lata totală du!ă t ani este:

%acă este ca!itali#ată de m ori +n fiecare an, de exem!lu lunar, m12,atunci suma totală este:

6


7/20

n acest ca#, este rata lunară a do'n#ii.

Rata anuală efectivă a dobânzii +n ca#ul ca!itali#ării de m=! orianual este:

ridicăm toatăecua ia la !uterea (1t) i +m!ăr im la 3:ț ș ț

3dică:

"xem!lu:r45 !e an,ca!itali#ată trimestrial, m6.Rata trimestrială a do'n#ii este:

$alcula i rata efectivă a do'n#ii:ț

3dică 4,25. Formula "enerală:

$onsiderăm ca&ul 'eneral al unui de!o#it anual su!limentar(7it-dra7al):

7


8/20

&au mai general ecua ia recursivă:ț

#onsiderăm cazul particular:

at =a !entru to iț t :

Re#olvarea ecua iei omogene:ț

&olu ia generală a ecua iei omogene:ț ț

3!licăm condi iile $auc-8ț :

8


9/20

&olu ia:ț

unct fix:

&olu ia este deci:ț

Condi ia necesară i suficientă de stabilitate a traiectoriei ț ș :

.

n ca#ul nostru :

entru $ sistemul este stabil$ mi carea este conver"entășmonotonă.

entru sistemul este$ de asemenea stabil$ mi careașeste conver"entă$ oscilantă.

%acă $ sistemul este instabil$ mi care este explozivă.ș

9


10/20

E(emplu:

Un investitor face un de!o#it ini ial 19.999u.m.!e ani i un de!o#itț șsu!limentar de: 29u.m.Rata do'n#ii !e !ia a monetară este de 5 !e an.ț&e cere valoarea de!o#itului du!ă ani:cu % 9 19.999 $ at a 29 to iț t iș b (1 ; r ) 1.9.

&olu ia:ț

)aloarea pre&entă i rata internă a dob%n&ii ș

lă ile viitoare cnd do'nda este ca!itali#ată sunt:ț


11/20

&uma se nume teș taxă de scont .

*pera iunea de scont ț (sau de scontare): cum!ărarea de către o 'ancă

comercială a unor !oli e (sau 'ilete la ordin, c-itan e sau scrisori deț țsc-im', efecte comerciale) +nainte de scaden ă, cu re inerea din valoareaț țlor nominală, a do'n#ii !nă la scaden ă =i a unui comision.ț

Anuitate:

&nuitate & : o serie de !lă i +n valoare 3 făcute la intervale constante de tim! dețn !erioade.

>iecare !lată este afectată de o do'ndă de la data cnd este făcută !nă lasfr itul celor n !erioade.șUltima !erioadă nu este afectată de do'ndă.'aloarea viitoare este F' , la sfr itul celorș n !erioade:

&olu ia, res!ectiv suma !rimilorț n termeni ai unei !rogresii geometrice

crescătoare:

'aloarea prezentă, +m!ăr im >< laț :

$u solu ia, res!ectiv suma !rimilor n termeni ai unei !rogresii geometricețdescrescătoare:

11


12/20

"xem!lu:

&uma de 1999 u.m. este de!usă la 'ancă la sfr itul fiecărui an +ntr/un cont deșeconomii i +i este a!lică do'nda ca!itali#ată de ?,5 anual.ș

a) la sfr itul anului al 19/lea, care este suma din contul de economii@ș ') care este suma irului de valori !re#ente@ș

a)

'aloarea prezentă netă:

'eneficiul

costul

valoarea !re#entă a 'eneficiilor +n fiecare an t

valoare !re#entă a costurilor +n fiecare an t.


13/20

%acă ()' A *, !roiectul de investi ii va fi ado!tat.ț

+xemplu:

B!ortunitatea ac-i#i ionării unei ma ini cu costulț ș 69999u.m.care va duce lacre terea venitului cuș 499u.m.+n fiecare an !entru următorii 19 ani. %u!ă ani există o c-eltuială de +ntre inere deț 999u.m. Rata de scont consideratăeste de C5.

%eci#ia de investire se va lua +n func ie de valoarea !re#entă netă:ț

%eci:

"ste necesar să se facă i!ote#e asu!ra ratei de scont, ceea ce introduce odificultate maoră.

B alternativă este de a calcula rata dob%n&ii interne +RDI,: esterata de scont care dă o valoare !re#entă netă egală cu #ero. R%D este rata de scont r, care satisface:

n mem'rul stng avem un !olinom de grad n: există n solu ii !osi'ile.ț

entru deci#ia de investi ii de la exem!lul !recedent avem:ț

13


14/20

"cua ie de grad 19 +nț r , are C solu ii com!lexe, una negativă i una reală,ț ș !o#itivă, care este:

E(emplul -:#re terea Maltusiană a popula ieiș ț

D!ote#ă: +ntre t iș t,, cre tereș !o!ula iei este !ro!or ională cu nivelul ini ial al !o!ula iei, Eț ț ț ț A 9 estefactorul de !ro!or ionalitate:ț

$u solu ia analitică:ț

unct fix:

&ta'ilitatea:

sistem asim!totic insta'il, !unct fix re!elor.

Femă:$onsiderăm datele:E1,9 1999

14


15/20

$alcula i !o!ula ia !entru t1/19, face i graficul, calcula i !unctul fix,ț ț ț țanali#a i sta'ilitatea.ț

E(emplul 3 Modelul -arrod omar$ varianta discretă

B' inem ecua ia cu diferen e de ordinul unu:ț ț ț

$u solu ia:ț

sistemul este sta'il,

sistemul este insta'il.

unct fix:

Temă:

15


16/20

&crie i traiectoria de evolu ie a venitului, calcula i !unctul fix, anali#a iț ț ț țsta'ilitatea (ti!ul de !unct fix), face i graficul traiectoriei !entruț t 1/19

&eminar:

$onsiderăm valorile:

.

a. &crie i modelul lui &olo7 +n mărimi !er ca!ita.ț

'. %etermina i numeric !unctele fixe ale func ieiț ț :

c. &crie i ecua ia de dinamică a +n#estrării te-nice a muncii determinatăț ț !rin a!roximare liniară:

16


17/20

"cua ie liniară, neomogenă, de ordinul unu, cu coeficien i constan i:ț ț ț

ecua ia omogenă.ț

>acem i!ote#a că solu ia este de formaț

m!ăr im !rinț ."cua ia caracteristică este:ț

&olu ia generală a ecua iei omogene:ț ț

&olu ia !articulară:ț

unem condi ia ca solu ia !articulară să verifice ecua ia neomogenă:ț ț ț

$onstanta generali#ată:

17


18/20

&olu ia:ț

Re!re#enta i grafic +n "G$"H solu ia o' inută.ț ț ț

"xem!lul 6:

"cua ia logistică, varianta discretăț

Unde ' este coeficientul de com!eti ie:ț

"ste o ecua ie neliniară recursivă, care nu !oate fi re#olvată analitic +nțforma aceasta.utem face o i!ote#ă:

3tunci:

B' inem:ț

Re#olvare:

m!ăr im am'ii mem'rii laț

18


19/20

Notnd:

B' inem:ț

n ec-ili'ru:

, atunci:

%e unde:

&că#nd din ecua ia recursivă valoarea de ec-ili'ru xț ⃰ o' inem: solu iaț țgenerală:

$u solu ia generală:ț

&au:

$onsidernd +ncă o dată :

%eci:

19


20/20

&au:

"ste dea sta'ilit că:

>igura: cur'a logistică !entru: , ,

agina 121

20

C3-Sisteme Dinamice Continue de Ordin Superior, Sisteme Dinamice Discrete 1, 2015, 15.10.15, Ora...

Documents

Transcript of C3-Sisteme Dinamice Continue de Ordin Superior, Sisteme Dinamice Discrete 1, 2015, 15.10.15, Ora...