8/17/2019 C3-Sisteme Dinamice Continue de Ordin Superior, Sisteme Dinamice Discrete 1, 2015, 15.10.15, Ora 10,20
1/20
Curs 3
SISTEME DINAMICE DISCRETE
Clasificare:
Un sistem dinamic discret este o secven ă de func iiț ț yt , care sunt definiterecursiv, adică există o regulă care leagă func iile din secven ă.ț ț
Notăm secven a:ț { yt }.
(1)
Rela ia (1) esteț ecua ie recursivă.ț
(2)
Rela ia (2) esteț ecua ie cu diferen e de ordin unu.ț ț
n ecua ia (1)ț !oate fi liniară/neliniară.
"cua ia dinamică liniară discretă de ordinul doi, neomogenă, cu coeficien iț țconstan i:ț
Re#olvarea ecua iilor liniare dinamice discrete cu coeficien i constan i:ț ț ț
1. Re#olvăm ecua ia omogenă:ț
$ăutăm o solu ie de formaț :
1
8/17/2019 C3-Sisteme Dinamice Continue de Ordin Superior, Sisteme Dinamice Discrete 1, 2015, 15.10.15, Ora 10,20
2/20
m!ăr im ecua ia laț ț :
ecua ia caracteristică.ț
"xistă trei ca#uri:
1.%iscriminantul
, rădăcini reale distincte.
&olu ia generală a ecua iei omogene are forma:ț ț
sunt constante generali#ate ar'itrare.
2. %iscriminantul , rădăcini reale egale
. %iscriminantul rădăcini com!lexe conugate.
Temă:
%educe*i forma analitică a solu*iei generale a ecua*iei omogene, +n ca#ulrădăcinilor com!lexe ale ecua*iei caracteristice:
2
8/17/2019 C3-Sisteme Dinamice Continue de Ordin Superior, Sisteme Dinamice Discrete 1, 2015, 15.10.15, Ora 10,20
3/20
8/17/2019 C3-Sisteme Dinamice Continue de Ordin Superior, Sisteme Dinamice Discrete 1, 2015, 15.10.15, Ora 10,20
4/20
cu iș constante reale.
Solu ia particularăț !rin metoda coeficien ilor nedetermina i:ț ț
se consideră d forma termenului li'er i se !une condi ia ca ea săș ț
verifice ecua ia neomogenă.ț
Echilibrul i stabilitatea sistemelor dinamice discrete ș
$onsiderăm sistemul dinamic discret:
este !unct de ec-ili'rufix dacă i numai dacă:ș
&ta'ilitateainsta'ilitatea !unctelor fixe:
/ dacă , atunci este sta'il i este !unct fix dești! atractor0
4
8/17/2019 C3-Sisteme Dinamice Continue de Ordin Superior, Sisteme Dinamice Discrete 1, 2015, 15.10.15, Ora 10,20
5/20
/ dacă , atunci este insta'il i este !unct fix de ti!ș
re!elor0
&istem sta'il, !unct fix atractor, sistem sta'il.
unct fix re!elor, sistem insta'il.
5
8/17/2019 C3-Sisteme Dinamice Continue de Ordin Superior, Sisteme Dinamice Discrete 1, 2015, 15.10.15, Ora 10,20
6/20
unct fix atractor, local asim!totic sta'il (traiectoria !orne te dintr/o vecinătateșa !unctului fix i atinge valoarea acestuia la infinit)ș
unct fix atractor, glo'al asim!totic sta'il (traiectoria !orne te din orice !unctșdin ini ial i atinge valoarea !unctului fix la infinit)ț ș
EEM!"E
#$ Dob%nda compusă
%acă o sumă de 'ani A este ca!itali#ată anual la o rată a anuală a
do'n#ii r !entru un număr de ani t , atunci !lata totală du!ă t ani este:
%acă este ca!itali#ată de m ori +n fiecare an, de exem!lu lunar, m12,atunci suma totală este:
6
8/17/2019 C3-Sisteme Dinamice Continue de Ordin Superior, Sisteme Dinamice Discrete 1, 2015, 15.10.15, Ora 10,20
7/20
n acest ca#, este rata lunară a do'n#ii.
Rata anuală efectivă a dobânzii +n ca#ul ca!itali#ării de m=! orianual este:
ridicăm toatăecua ia la !uterea (1t) i +m!ăr im la 3:ț ș ț
3dică:
"xem!lu:r45 !e an,ca!itali#ată trimestrial, m6.Rata trimestrială a do'n#ii este:
$alcula i rata efectivă a do'n#ii:ț
3dică 4,25. Formula "enerală:
$onsiderăm ca&ul 'eneral al unui de!o#it anual su!limentar(7it-dra7al):
7
8/17/2019 C3-Sisteme Dinamice Continue de Ordin Superior, Sisteme Dinamice Discrete 1, 2015, 15.10.15, Ora 10,20
8/20
&au mai general ecua ia recursivă:ț
#onsiderăm cazul particular:
at =a !entru to iț t :
Re#olvarea ecua iei omogene:ț
&olu ia generală a ecua iei omogene:ț ț
3!licăm condi iile $auc-8ț :
8
8/17/2019 C3-Sisteme Dinamice Continue de Ordin Superior, Sisteme Dinamice Discrete 1, 2015, 15.10.15, Ora 10,20
9/20
&olu ia:ț
unct fix:
&olu ia este deci:ț
Condi ia necesară i suficientă de stabilitate a traiectoriei ț ș :
.
n ca#ul nostru :
entru $ sistemul este stabil$ mi carea este conver"entășmonotonă.
entru sistemul este$ de asemenea stabil$ mi careașeste conver"entă$ oscilantă.
%acă $ sistemul este instabil$ mi care este explozivă.ș
9
8/17/2019 C3-Sisteme Dinamice Continue de Ordin Superior, Sisteme Dinamice Discrete 1, 2015, 15.10.15, Ora 10,20
10/20
E(emplu:
Un investitor face un de!o#it ini ial 19.999u.m.!e ani i un de!o#itț șsu!limentar de: 29u.m.Rata do'n#ii !e !ia a monetară este de 5 !e an.ț&e cere valoarea de!o#itului du!ă ani:cu % 9 19.999 $ at a 29 to iț t iș b (1 ; r ) 1.9.
&olu ia:ț
)aloarea pre&entă i rata internă a dob%n&ii ș
lă ile viitoare cnd do'nda este ca!itali#ată sunt:ț
8/17/2019 C3-Sisteme Dinamice Continue de Ordin Superior, Sisteme Dinamice Discrete 1, 2015, 15.10.15, Ora 10,20
11/20
&uma se nume teș taxă de scont .
*pera iunea de scont ț (sau de scontare): cum!ărarea de către o 'ancă
comercială a unor !oli e (sau 'ilete la ordin, c-itan e sau scrisori deț țsc-im', efecte comerciale) +nainte de scaden ă, cu re inerea din valoareaț țlor nominală, a do'n#ii !nă la scaden ă =i a unui comision.ț
Anuitate:
&nuitate & : o serie de !lă i +n valoare 3 făcute la intervale constante de tim! dețn !erioade.
>iecare !lată este afectată de o do'ndă de la data cnd este făcută !nă lasfr itul celor n !erioade.șUltima !erioadă nu este afectată de do'ndă.'aloarea viitoare este F' , la sfr itul celorș n !erioade:
&olu ia, res!ectiv suma !rimilorț n termeni ai unei !rogresii geometrice
crescătoare:
'aloarea prezentă, +m!ăr im >< laț :
$u solu ia, res!ectiv suma !rimilor n termeni ai unei !rogresii geometricețdescrescătoare:
11
8/17/2019 C3-Sisteme Dinamice Continue de Ordin Superior, Sisteme Dinamice Discrete 1, 2015, 15.10.15, Ora 10,20
12/20
"xem!lu:
&uma de 1999 u.m. este de!usă la 'ancă la sfr itul fiecărui an +ntr/un cont deșeconomii i +i este a!lică do'nda ca!itali#ată de ?,5 anual.ș
a) la sfr itul anului al 19/lea, care este suma din contul de economii@ș ') care este suma irului de valori !re#ente@ș
a)
'aloarea prezentă netă:
'eneficiul
costul
valoarea !re#entă a 'eneficiilor +n fiecare an t
valoare !re#entă a costurilor +n fiecare an t.
8/17/2019 C3-Sisteme Dinamice Continue de Ordin Superior, Sisteme Dinamice Discrete 1, 2015, 15.10.15, Ora 10,20
13/20
%acă ()' A *, !roiectul de investi ii va fi ado!tat.ț
+xemplu:
B!ortunitatea ac-i#i ionării unei ma ini cu costulț ș 69999u.m.care va duce lacre terea venitului cuș 499u.m.+n fiecare an !entru următorii 19 ani. %u!ă ani există o c-eltuială de +ntre inere deț 999u.m. Rata de scont consideratăeste de C5.
%eci#ia de investire se va lua +n func ie de valoarea !re#entă netă:ț
%eci:
"ste necesar să se facă i!ote#e asu!ra ratei de scont, ceea ce introduce odificultate maoră.
B alternativă este de a calcula rata dob%n&ii interne +RDI,: esterata de scont care dă o valoare !re#entă netă egală cu #ero. R%D este rata de scont r, care satisface:
n mem'rul stng avem un !olinom de grad n: există n solu ii !osi'ile.ț
entru deci#ia de investi ii de la exem!lul !recedent avem:ț
13
8/17/2019 C3-Sisteme Dinamice Continue de Ordin Superior, Sisteme Dinamice Discrete 1, 2015, 15.10.15, Ora 10,20
14/20
"cua ie de grad 19 +nț r , are C solu ii com!lexe, una negativă i una reală,ț ș !o#itivă, care este:
E(emplul -:#re terea Maltusiană a popula ieiș ț
D!ote#ă: +ntre t iș t,, cre tereș !o!ula iei este !ro!or ională cu nivelul ini ial al !o!ula iei, Eț ț ț ț A 9 estefactorul de !ro!or ionalitate:ț
$u solu ia analitică:ț
unct fix:
&ta'ilitatea:
sistem asim!totic insta'il, !unct fix re!elor.
Femă:$onsiderăm datele:E1,9 1999
14
8/17/2019 C3-Sisteme Dinamice Continue de Ordin Superior, Sisteme Dinamice Discrete 1, 2015, 15.10.15, Ora 10,20
15/20
$alcula i !o!ula ia !entru t1/19, face i graficul, calcula i !unctul fix,ț ț ț țanali#a i sta'ilitatea.ț
E(emplul 3 Modelul -arrod omar$ varianta discretă
B' inem ecua ia cu diferen e de ordinul unu:ț ț ț
$u solu ia:ț
sistemul este sta'il,
sistemul este insta'il.
unct fix:
Temă:
15
8/17/2019 C3-Sisteme Dinamice Continue de Ordin Superior, Sisteme Dinamice Discrete 1, 2015, 15.10.15, Ora 10,20
16/20
&crie i traiectoria de evolu ie a venitului, calcula i !unctul fix, anali#a iț ț ț țsta'ilitatea (ti!ul de !unct fix), face i graficul traiectoriei !entruț t 1/19
&eminar:
$onsiderăm valorile:
.
a. &crie i modelul lui &olo7 +n mărimi !er ca!ita.ț
'. %etermina i numeric !unctele fixe ale func ieiț ț :
c. &crie i ecua ia de dinamică a +n#estrării te-nice a muncii determinatăț ț !rin a!roximare liniară:
16
8/17/2019 C3-Sisteme Dinamice Continue de Ordin Superior, Sisteme Dinamice Discrete 1, 2015, 15.10.15, Ora 10,20
17/20
"cua ie liniară, neomogenă, de ordinul unu, cu coeficien i constan i:ț ț ț
ecua ia omogenă.ț
>acem i!ote#a că solu ia este de formaț
m!ăr im !rinț ."cua ia caracteristică este:ț
&olu ia generală a ecua iei omogene:ț ț
&olu ia !articulară:ț
unem condi ia ca solu ia !articulară să verifice ecua ia neomogenă:ț ț ț
$onstanta generali#ată:
17
8/17/2019 C3-Sisteme Dinamice Continue de Ordin Superior, Sisteme Dinamice Discrete 1, 2015, 15.10.15, Ora 10,20
18/20
&olu ia:ț
Re!re#enta i grafic +n "G$"H solu ia o' inută.ț ț ț
"xem!lul 6:
"cua ia logistică, varianta discretăț
Unde ' este coeficientul de com!eti ie:ț
"ste o ecua ie neliniară recursivă, care nu !oate fi re#olvată analitic +nțforma aceasta.utem face o i!ote#ă:
3tunci:
B' inem:ț
Re#olvare:
m!ăr im am'ii mem'rii laț
18
8/17/2019 C3-Sisteme Dinamice Continue de Ordin Superior, Sisteme Dinamice Discrete 1, 2015, 15.10.15, Ora 10,20
19/20
Notnd:
B' inem:ț
n ec-ili'ru:
, atunci:
%e unde:
&că#nd din ecua ia recursivă valoarea de ec-ili'ru xț ⃰ o' inem: solu iaț țgenerală:
$u solu ia generală:ț
&au:
$onsidernd +ncă o dată :
%eci:
19
8/17/2019 C3-Sisteme Dinamice Continue de Ordin Superior, Sisteme Dinamice Discrete 1, 2015, 15.10.15, Ora 10,20
20/20
&au:
"ste dea sta'ilit că:
>igura: cur'a logistică !entru: , ,
agina 121
20
Top Related