1

SERII DE FUNCII. SERII DE PUTERI. SERII FOURIER

1. Serii de funcii

1.1 iruri de funcii

Familia de funcii ( ) Nnnf , definite pe aceeai mulime RX formeaz un ir de funcii. Un punct Xa se numete punct de convergen al irului ( )nf dac irul numeric ( )( )afn este convergent. Mulimea punctelor de convergen ale irului de funcii ( )nf formeaz mulimea de convergen a irului ( )nf . Fie ( )nf un ir de funcii definite pe o aceeai mulime X si Z mulimea de convergen a irului, XZ . Notm cu ( )xf , Zx , limita irului numeric

( )( )xfn . Funcia ( )xf , definit de Zx,)xf()x(flim n n = se numete funcia limit a irului de funcii (f n) .

Exemplu: irul de funcii ( )n!x xf

n

n = are mulimea de convergen ( ) , i pentru ( ) ,x avem 0x)(flim n

n= , deci funcia limit este ( ) 0xf = .

Fie ( )nf un ir de funcii definite pe o mulime X. Spunem c irul de funcii ( )nf este simplu convergent pe X ctre f dac, pentru orice Xx i orice 0> , exist un numr ( )x,N astfel nct ( ) ( ) xfxf n . Dac numrul N depinde numai de atunci irul de funcii ( )nf este uniform convergent pe X ctre funcia f .

2

1.2 Serii de funcii

Seria

...,f...ff n21 ++++ (1) unde ,...f....,.f,f n21 este un ir de funcii definite pe aceeai mulime X se numete

serie de funcii. O serie de funcii se noteaz 1

nf sau numai nf . Pentru Xx 0 avem seria de numere ...,)x(f...)x(f)x(f 0n0201 ++++ seria care poate fi divergent sau convergent.

Mulimea punctelor Xx pentru care seria nf este convergent se numete multime de convergenta.

Seria de funcii nf este simplu convergent pe mulimea X ctre funcia f dac oricare ar fi 0> exist )x,(N astfel nct oricare ar fi )x,(Nn > s avem ( ) ( ) ( ) ( ) i orice Xx avem ( ) nn axf < , atunci seria de funcii este uniform convergent pe mulimea X.

- Fie ,...f....,.f,f n21 un ir de funcii definite pe o mulime X i f o funcie

definit pe X . Dac

) seria de funcii ...,f...ff n21 ++++

3

este uniform convergent ctre funcia f pe mulimea X i dac

) toate funciile ( )nf sunt continue pe X, atunci funcia sum f este continu pe X.

- Fie ,...f....,.f,f n21 un ir de funcii definite i derivabile pe mulimea X. Dac

) seria de funcii ...,f...ff n21 ++++ este uniform convergent ctre funcia f pe mulimea X i dac

) seria de funcii ...f...ff 'n

'2

'1 ++++

este uniform convergent ctre funcia g pe mulimea X, atunci funcia f este derivabil

pe mulimea X i derivata ei este g.

Exemplu. Seria

...n

nx2sin...2

4xsin1

2xsin333 ++++

cu funciile [ ]0,xN,n,n

nx2sin3 este uniform convergent pe [ ]0, ; funcia

sum este derivabil pe [ ]0, i derivata ei este egal cu suma seriei derivatelor. ntr-adevr, seria dat este uniform convergent pe [ ]0, deoarece 0

n1

nnx2sin

33

cnd n pentru orice [ ]0,x . Seria format cu derivatele termenilor ...nx2cos

n2...4xcos

222xcos

12

222 ++++

este uniform convergent pe [ ]0, deoarece 0

n2cos2nx

n2

22

cnd n pentru orice [ ]0,x . Dac notm cu f (x) suma seriei date, atunci f

4

este continu i derivabil pe [ ]0, i ( ) [ ]

==

1n2

' 0,x,n

nx2cos2xf .

2 Serii de puteri

2.1. Mulimea de convergen

Se numete serie de puteri o serie de funcii de forma

0

nnxa , sau

0

nn )ax(a , Rx . (1)

unde ,...a,...,a,a,a n10 sunt numere. Deoarece prin nlocuirea lui ax cu y, a doua serie are aceeai form ca prima serie, vom considera serii de puteri numai sub prima

forma.

Mulimea de convergen a unei serii de puteri conine cel puin punctul 0x = , deoarece pentru 0x = seria (1) este convergent i are suma 0a . Exist serii de puteri care au mulimea de convergen formata dintr-un singur

punct 0x = , dup cum exist serii convergente pentru Rx . Teorema lui Abel. Pentru orice serie de puteri (1), 0R , finit sau infinit, astfel nct

1. seria este absolut convergent pe intervalul deschis ( )R,R ; 2. pentru orice x astfel nct Rx > , seria este divergent. Demonstraie. 1. Dac seria de puteri este convergent numai n punctul 0x = , lum 0R = i teorema lui Abel este demonstrat. 2. S presupunem c mulimea de convergen conine puncte diferite de zero i

fie 0x 0 un punct n care seria este convergent, adic seria numeric. ...xa...xaxaa n0n

20201o +++++

este convergent. Deoarece, 0xa n0n cnd n , exist un numr 0M > astfel

5

nct s avem Mxa n0n < , ,...2,1,0n = . Dac x este un punct astfel nct 0xx < , atunci

n

0

n

0

n0n

nn x

xMxxxaxa seria este divergent. ntr-adevr, dac ar exista un punct 2x cu 12 xx > pentru care seria este convergent, deoarece 21 xx < , ar rezulta, conform celor demonstrate mai sus, c seria este convergent n punctul 1x ceea ce este absurd.

Numrul R se numete raza de convergen a seriei de puteri, iar

intervalul ( )R.R + se numete intervalul de convergen a seriei de puteri. Observaie. Teorema lui Abel nu spune nimic n legtur cu convergena sau

divergena seriei de puteri n punctele R i R.

2.2. Determinarea razei de convergen

Raza de convergen a unei serii de puteri (1) se determin utiliznd criteriile de

convergen de la seriile cu termeni pozitivi.

Teorem. Fie 0

nn xa o serie de puteri. Dac a

alim

n

1n

n=+ , ( finit sau

infinit), atunci

6

=+=

+

7

are raza de convergen infinit.

ntr-adevr,

01n

1limaa

limn

n

1n

n=+=

+ .

2.3. Proprietile seriilor de puteri

Seriile de puteri sunt de o deosebit importan n cercetrile teoretice i n

tiinele aplicate. Vom prezenta cateva proprieti ale lor.

1. O serie de puteri convergent n intervalul ( )R.R + este uniform convergent pe intervalul [ ]r,r , unde Rr0

8

Fie 0

nn xa i

0

nn xb dou serii de puteri de raze de convergen 1R i

respectiv 2R . Se poate arata ca suma sau diferenta, respectiv produsul sau catul

( 0b0 ) celor doua serii au raza de convergenta ( )21 R,RminR = . Specificam faptul ca produsul celor dou serii de puteri este seria de puteri

KKKK

+++++++++++

n

0n1n1n0

2021120011000

)xbabab(a

x)bababa()xbab(aba

iar ctul celor dou serii de puteri ( 0b0 ) este o serie de puteri ( )xC , dat de ...,xc...xccc

nn

2210 +++++

unde coeficieni LL ,c,,c,c n10 sunt definii de egalitatea )xC( )xB( )xA( = Coeficieni LL ,c,,c,c n10 se determin din sistemul infinit de ecuaii liniare

000 cba = 01101 cbcba += 0211202 cbcbcba ++= KKKKKKKKKK 0n11n1n1n0n cbcb...cbcba ++++= KKKKKKKKKK

3 Seria Taylor

Fie f o funcie definit pe un interval I, indefinit derivabil n punctul a I. Formula lui Taylor pentru funcia f n punctul a este

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .Ix,xRafn!

ax...af1!

axafxf nn

n' ++++=

Dac irul ( )( ) Nnn xR pentru IXx este convergent ctre zero, adic ( ) IXx,0xRlim nn = , atunci rezulta

9

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...afn!ax...af

1!axafxf n

n' ++++=

Formula obinut se numete formula de dezvoltare a funciei )x(f n serie

Taylor n jurul punctului a.

Teorem. Seria Taylor a funciei f n jurul punctului a este convergent ntr-o

vecintate V a lui a dac derivatele de ordin ( )nf sunt egal mrginite n V, adic ( ) ( ) 0MM,xf n > , Vx i n .

Demonstraie. Restul nR , sub forma lui Lagrange, este

( ) ( )( ) ( ) ( ),f!1naxxR 1n

1n

n+

+

+= ( ) Vxa, ,

deci

( ) ( )( ) M!1naxxR

1n

n +