astronomia curs

Lectii de Astronomie

Cuprins

Cuprins i

1 Astronomia sferica 3

1.1 Sfera cereasca: Rotatia, punctele, planele siliniile ei fundamentale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Sfera cereasca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 Pozitia reciproca a cercurilor si punctelor sferei ceresti . . . . 5

1.2 Coordonate ceresti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Sistemul de coordonate orizontale . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.2 Sistemul de coordonate orare (semilocale) . . . . . . . . . . . 6

1.2.3 Coordonatele ecuatoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Relatiile dintre coordonatele geografice si cele ceresti ın cazultrecerilor la meridianul ceresc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Miscarea Soarelui pe ecliptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5 Sistemul de coordonate ecliptice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.6 Coordonate galactice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.7 Transformarea coordonatelor ceresti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Problema celor doua corpuri 15

2.1 Legile miscarii ale lui Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Legea atractiei universale a lui Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3 Problema celor n corpuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4 Problema celor doua corpuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

i

ii CUPRINS

2.5 Teorema lui Newton privind atractia unei sfere omogene . . . . . . . 22

2.6 Solutia analitica a problemei celor doua corpuri . . . . . . . . . . . . 25

3 Legile lui Kepler 33

3.1 Prima lege a lui Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2 A doua lege a lui Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3 A treia lege a lui Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4 Determinarea masei planetare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4 Metode de calcul ın astrodinamica 41

4.1 Vectorii de pozitie si viteza ın integralele miscarii . . . . . . . . . . . 41

4.2 Vectorii de pozitie si viteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.3 Vectorii de pozitie si viteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.4 Elemente orbitale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.5 Alte sisteme de elemente orbitale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.5.1 Elementele lui Delaunay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.5.2 Elementele lui Poincare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5 Functiile astrodinamice fundamentale 55

5.1 Determinarea functiilor f si g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.2 Functiile f si g - ın functie de anomalia adevarata . . . . . . . . . . . 60

5.3 Functiile f si g ın functie de anomalia excentrica . . . . . . . . . . . . 63

5.4 Functiile f si g - ın functie de variabilele universale . . . . . . . . . . 68

5.5 Functiile f si g ın functie de timp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6 Pamantul − corp ceresc 79

6.1 Cele trei latitudini geografice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.2 Variatia fortei de gravitatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.3 Masurarea masei si densitatii medii aPamantului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.4 Structura Pamantului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

CUPRINS iii

6.5 Miscarile Pamantului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

7 Fenomene care modifica pozitia astrilor pe cer 89

7.1 Refractia astronomica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7.2 Aberatia luminii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7.2.1 Fenomenul aberatiei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7.2.2 Aberatia Soarelui, planetelor si a cometelor . . . . . . . . . . . 92

7.3 Paralaxe diurne si anuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

7.3.1 Paralaxa diurna si determinarea distantelor ın sistemul solar . 93

7.3.2 Paralaxa anuala si determinarea distantelor stelare . . . . . . 95

7.3.3 Paralaxa seculara a stelelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

7.4 Precesia si nutatia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7.5 Miscarile proprii ale stelelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

7.6 Problemele astronomiei fundamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

8 Timpul si masurarea lui 103

8.1 Consideratii generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

8.2 Timpul astrodinamic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

8.2.1 Timpul terestru: timpul sideral si timpul solar . . . . . . . . . 104

8.2.2 Diverse sisteme de masura a timpului . . . . . . . . . . . . . . 108

8.2.3 Timpul efemeridelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

8.3 Timpul fizic: timpul atomic international . . . . . . . . . . . . . . . . 112

8.4 Unitatile fundamentale de timp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

8.5 Calendarul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

9 Teoria perturbatiilor 119

9.1 Teoria perturbatiilor. Preliminarii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

9.1.1 Exemplu - Oscilatorul Armonic . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

9.2 Metoda lui Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122


9.3 Variatia parametrilor Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

CUPRINS 1


9.4 Integralele de miscare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

9.5 Interpretarea lui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

9.6 Problema perturbata a celor doua corpuri . . . . . . . . . . . . . . . 130

9.6.1 Energia si semi-axa mare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

9.6.2 Momentul cinetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

9.6.3 Inclinatia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

9.6.4 Unghiul nodal Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

9.6.5 Vectorul lui Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

Bibliografie 139

2 CUPRINS

Capitolul 1

Astronomia sferica

1.1 Sfera cereasca: Rotatia, punctele, planele si

liniile ei fundamentale.

1.1.1 Sfera cereasca

Se numeste sfera cereasca o sfera imaginara, cu raza arbitrara, avand centrulıntr-un punct arbitrar al spatiului, pe a carei suprafata se trec pozitiile astrilor asacum se vad ei pe cer, la un moment dat, din punctul considerat al spatiului.

Este comod sa consideram drept centru al sferei ceresti ochiul observatorului(O). In acest caz, fiecarei drepte care porneste de la ochi spre astrul de pe cer ıicorespunde un anumit punct (σ: proiectia acestui astru pe sfera cereasca). Pozitiaaparenta relativa a astrilor o determinam cu ajutorul arcelor de cerc mare de pesfera cereasca dintre proiectiile astrilor sau cu ajutorul unghiurilor dintre directiileastrilor. Rotatia sferei ceresti, conform definitiei, este analoaga cu rotatia diurna acerului.

Privind Figura 1.1 identificam:

PP ′ → se numeste axa lumii si este diametrul ce uneste cei doi poli (P →Polul Nord, P ′ → Polul Sud). Axa de rotatie a sferei ceresti (topocentrice) esteparalela cu axa de rotatie a Pamantului ( ın cazul sferei ceresti geocentrice celedoua axe coincid).

ZZ ′ → se numeste verticala locului si reprezinta directia firului cu plumb ıntr-un loc dat (Z → zenit, Z ′ → nadir).

Planul dus prin centrul sferei ceresti perpendicular pe verticala locului esteplanul orizontal. El taie sfera cereasca dupa un cerc mare numit orizont matematic

3

4 CAPITOLUL 1. ASTRONOMIA SFERICA

Parallelceresc

P

Z

Q

Z

P

Q

MeridianCeresc

Ecuatorceresc

Orizontmatematic

N

E

O

s

s

s

V

Figura 1.1: Sfera cereasca

sau orizontul ”adevarat” (NESV ).

Planul dus prin centrul sferei ceresti perpendicular pe axa lumii se numesteplanul ecuatorului ceresc. El taie sfera cereasca dupa un cerc mare numit ecuatorulceresc (QV Q′E), care ımparte sfera cereasca ın doua emisfere: emisfera boreala(nordica) si emisfera australa (sudica).

Orizontul matematic si ecuatorul ceresc (topocentric) se intersecteaza ın douapuncte care sunt punctele cardinale E (est) si V (vest).

Cele doua drepte, axa lumii si verticala locului, determina un plan numitplanul meridian al locului. El taie sfera cereasca dupa un cerc mare numit meridianceresc (PZQSP ′Z ′Q′N), iar planul orizontului dupa o linie numita meridiana locului(NS). Meridiana locului taie orizontul ın doua puncte: cel mai apropiat de PolulNord este punctul nord (N) iar diametral opusul lui este punctul sud (S). Pe orizont,la mijloc ıntre cele doua puncte - ın dreapta observatorului ıntors cu fata spre PolulNord - este punctul est (E) si diametral opus lui punctul vest (V ). Deci meridianulserveste pentru orientarea ıntr-un punct dat de pe Pamant.

Orice plan dus prin verticala locului se numeste plan vertical si taie sferacereasca dupa un cerc mare numit vertical. Planul vertical perpendicular pe planulmeridian al locului determina primul vertical.

In miscarea diurna, fiecare stea (σ) descrie cate un cerc mic, paralel cu ecua-torul ceresc, numit paralel ceresc. Paralelul ceresc are cu meridianul ceresc douapuncte comune numite culminatii. In culminatia superioara (σ′) steaua atingeınaltimea cea mai mare deasupra orizontului, iar ın culminatia inferioara (σ′′) steauaatinge ınaltimea cea mai mica deasupra orizontului. Stelele la care vedem ambeleculminatii au ıntreg paralelul ceresc deasupra orizontului - acestea sunt stele cir-cumpolare; alte stele rasar, culmineaza si apun - stelele cu rasarit si apus.

1.2. COORDONATE CERESTI 5

1.1.2 Pozitia reciproca a cercurilor si punctelor sferei ceresti

Pozitia reciproca a cercurilor si punctelor sferei ceresti, care au fost definitemai sus, depinde de directia verticalei locului, adica de pozitia observatorului pesuprafata Pamantului (orientarea axei lumii fiind aceeasi pentru toate punctelesuprafetei terestre).

Aceasta dependenta se traduce prin urmatoarea relatie fundamentala a lati-tudinii astronomice:” Inaltimea Polului Ceresc deasupra orizontului unui loc de pesuprafata Pamantului este egala cu latitudinea astronomica a acestui loc”.

In cazul Pamantului sferic, latitudinea astronomica este aceeasi cu latitudineageografica - una din coordonatele geografice care determina pozitia unui punct pesuprafata Pamantului (Figura 1.2).

j

G

G

O

O

L

p

q

p

q

Parallelgeografic

MeridianGeografic

Ecuatorterestru

Figura 1.2: Coordonate geografice

Latitudinea geografica (ϕ) a unui loc este unghiul format de planul ecuatoruluiterestru (qq′) cu verticala locului (TO).

A doua coordonata pentru determinarea locului observatorului este unghiulformat de meridianul initial ( meridianul Greenwich) cu meridianul locului, unghinumit longitudine geografica (L). Ea este vestica sau estica, dupa cum se masoaraspre vest, respectiv spre est, de la meridianul initial; printr-o conventie, longitudineaestica se considera pozitiva, iar cea vestica negativa.

1.2 Coordonate ceresti

1.2.1 Sistemul de coordonate orizontale

Pentru fiecare sistem de coordonate consideram un plan, numit fundamental,care taie sfera cereasca dupa un cerc mare (fundamental), si o axa fundamentalaperpendiculara pe planul fundamental ın centrul sferei ceresti.


In sistemul de coordonate orizontale (locale sau zenitale), planul fundamentaleste planul orizontului matematic (NESV ), iar axa fundamentala este verticalalocului (OZ). Coordonatele orizontale ale unui astru σ sunt (Figura 1.3):

s

ZP

O

E

V

N S

Z

A

h

s

Figura 1.3: Sistemul de coordonate orizontale

- ınaltimea deasupra orizontului (h): unghiul format de directia spre astru cuplanul orizontului; se masoara cu arcul cercului vertical al astrului, de la orizontspre astru. Adesea, ın locul ınaltimii se utilizeaza complementul ei, z = 900 − h,numit distanta zenitala: unghiul format de verticala locului cu raza vizuala spreastru. Cercul mic al sferei ceresti ce trece prin astrul σ si al carui plan este paralelcu planul orizontului matematic se numeste almuncantaratul astrului.

- azimutul (A): unghiul diedru format de planul meridianului ceresc cu planulvertical al astrului. Se masoara cu arcul orizontului matematic cuprins ıntre punc-tul sud (S) si punctul de intersectie (σ′) a cercului vertical al astrului cu orizontulmatematic (00 − 3600). Azimutul socotit de la punctul S se numeste azimut astro-nomic, iar cel care se masoara de la punctul N ın acelasi sens retrograd se numesteazimut geodezic.

Coordonatele orizontale se determina cu ajutorul teodolitului sau instrumen-tului universal.

1.2.2 Sistemul de coordonate orare (semilocale)

Planul fundamental ın acest sistem este planul ecuatorului ceresc (QV Q′E),iar axa fundamentala este axa lumii (PP ′). Planul definit de axa lumii si astruse numeste planul orar al astrului; el taie sfera cereasca dupa un cerc mare numitcercul orar al astrului (sau cercul de declinatie).

Coordonatele orare ale unui astru σ sunt (Figura 1.4):

- declinatia (δ): unghiul format de raza corespunzatoare astrului cu planulecuatorului ceresc; se masoara prin arcul de cerc orar de la ecuatorul ceresc la astru

1.2. COORDONATE CERESTI 7

P

P

QQ

z

O

Vg

a

EH

d

s

s

Figura 1.4: Coordonate orare si ecuatoriale

( 00 − ±900). Uneori, ın locul declinatiei se foloseste distanta polara a astrului σ,

notata cu p =_

Pσ si legata de δ prin relatia p+ δ = 900; distanta polara se socotestede la Polul Nord ceresc (00 − 1800).

- unghiul orar (H): unghiul format de meridianul ceresc al locului cu cerculorar al astrului; se masoara prin arcul de ecuator ceresc de la meridianul ceresc allocului pana la cercul orar al astrului (00 − 3600).

Coordonatele orare se masoara cu ajutorul instrumentelor avand montura ecu-atoriala (ecuatorialul).

1.2.3 Coordonatele ecuatoriale

Coordonatele ecuatoriale au acelasi plan fundamental si au aceeasi axa fun-damentala ca si cele orare. Declinatia astrului (δ), fiind constanta se pastreaza,unghiul orar se ınlocuieste ınsa prin ascensia dreapta (α) a stelei.

Se numeste ascensia dreapta (α) a unui astru unghiul format de planul orar alpunctului vernal (γ) cu planul orar al astrului si se masoara ın sens direct (00−3600

sau 0h − 24h), prin arcul de ecuator ceresc, de la punctul vernal (γ) la cercul orar(σ′).

Punctul vernal (γ) este punctul ın care drumul anual aparent al Soarelui taieecuatorul ceresc, cand trece din emisfera australa ın cea boreala. Fiind un punct alsferei ceresti, punctul vernal participa la miscarea diurna ımpreuna cu astrul, deciascensia dreapta e constanta. Se admite aici ca punctul vernal are o pozitie fixa pesfera cereasca.

Unghiul orar al punctului vernal se numeste timp sideral si se noteaza cu θ.Din Figura 1.4 rezulta:

θ = α + H (1.2.1)

Formula (1.2.1) realizeaza legatura ıntre sistemele de coordonate (1.2.2) si (1.2.3).


In meridianul ceresc, unghiul orar al astrului este 0, deci:

θ = α (1.2.2)

Relatia (1.2.2) se utilizeaza pentru:

- determinarea timpului sideral, cand ascensia astrului ce trece prin planulmeridianului ceresc se cunoaste;

- determinarea ascensiilor drepte ale astrilor, cand timpul sideral se cunoaste.

Coordonatele ecuatoriale α si δ sunt utilizate la ıntocmirea cataloagelor sihartilor stelare.

1.3 Relatiile dintre coordonatele geografice si cele

ceresti ın cazul trecerilor la meridianul ceresc

In cazul trecerii astrului la meridianul ceresc, pe langa relatia:

ϕ = hP , (1.3.1)

exista si alte relatii simple ıntre ϕ, hm(sau zm) si δ.

Fie σ1 un astru ın meridianul ceresc al locului, ın culminatia superioara, la sudde zenit (Figura 1.5).

Z

N

P

Z

Q

Q

S

P

d

d

d

d d

3

2 1

N=90-j

r =j

z =90-j

z=j

p

p

Q

Zm

O

O

Figura 1.5: Proiectia sferei ceresti pe planul meridianului ceresc

Se vede imediat ca:ϕ = δ + zm, (1.3.2)

unde ϕ - latitudinea locului, δ - declinatia astrului, iar zm - distanta zenitalamasurata ın momentul trecerii astrului la meridianul ceresc al locului. Daca as-trul se afla la nord de zenit (σ2):

ϕ = δ − zm. (1.3.3)

1.4. MISCAREA SOARELUI PE ECLIPTICA 9

Pentru culminatia inferioara (σ3), avem:

zm = 1800 − (ϕ + δ). (1.3.4)

Formulele (1.3.1) si (1.3.4) sunt utile pentru determinarea latitudinii geograficea locului de observatie.

Observatie. Pentru ca o stea sa fie circumpolara, este necesar ca culminatia sainferioara sa fie deasupra orizontului (Figura 1.5). Deoarece orizontul formeaza cuecuatorul ceresc unghiul 900 − ϕ, conditia circumpolaritatii este: δ ≥ 900 − ϕ

La fel, δ 6 − (900 − ϕ) este conditia ca o stea sa nu rasara. Deci conditia ca ostea sa nu fie circumpolara (sa nu apuna sau sa nu rasara) este:

|δ| ≥ 900 − ϕ, (1.3.5)

iar conditia ca o stea sa fie cu rasarit si apus este:

|δ| 6 900 − ϕ. (1.3.6)

1.4 Miscarea Soarelui pe ecliptica

Soarele pe langa miscarea diurna la care participa ımpreuna cu toti astrii,se deplaseaza si printre stele, executand ın cursul anului un ocol complet pe sferacereasca.

Masurand ın meridian distanta zenitala a Soarelui, obtinem, dupa formula(1.3.2), declinatia δ¯, care ın timpul unui an variaza continuu ıntre limitele −23027′

si +23027′, ın ambele sensuri, luand de doua ori valoarea zero.

Ascensia dreapta a centrului Soarelui, α¯, care se determina cu ajutorul stelelorcare culmineaza la miezul noptii, variaza ın timpul unui an intre 00 − 3600 (sau0h − 24h).

Locul geometric al punctelor reprezentand centrul Soarelui timp de un an esteun cerc mare al sferei ceresti (EE ′), al carui plan este ınclinat cu unghiul ε = 23027′

pe planul ecuatorului ceresc. Acest cerc mare se numeste ecliptica (Figura 1.6).

Pe cer ecliptica trece prin constelatiile zodiacale care sunt ın numar de 12, casi numarul lunilor ıntr-un an.

Ecliptica taie ecuatorul ceresc ın doua puncte diametral opuse, numitepunctele echinoctiilor (sau echinoctiale) : punctul vernal (γ), ın care Soarele se aflala 21 Martie, trecand din emisfera australa ın cea boreala (α¯ = 0h, δ¯ = 00), sipunctul autumnal (Ω), ın care Soarele se afla la 23 Septembrie, trecand din emisferaboreala ın cea australa (α¯ = 12h, δ¯ = 00).


E

P

Q

E

QO

|

Figura 1.6: Pozitia eclipticii pe sfera cereasca

Alte doua puncte importante ale eclipticii sunt punctele unde declinatia Soare-lui ia valori extreme, puncte numite solstitii : punctul solstitiului de vara (α¯ =6h, δ¯ = +23027′), unde declinatia este maxima, si punctul solstitiului de iarna (α¯ = 18h, δ¯ = −23027′), unde declinatia este minima.

Fenomenele miscarii aparente a Soarelui se explica ın ıntregime prin douamiscari ın spatiu ale Pamantului, socotit drept corp rigid: miscarea de rotatie ınjurul axei sale si miscarea de translatie (numita ın astronomie miscare de revolutie) ınjurul Soarelui. Aceste miscari se executa astfel ıncat axa de rotatie ramane ınclinatafata de planul orbitei Pamantului cu un unghi de 66033′, deplasandu-se paralel cuea ınsasi.

1.5 Sistemul de coordonate ecliptice

Cel de-al patrulea sistem de coordonate ceresti are ca plan fundamental planuleclipticii (EγE ′) si ca axa fundamentala axa polilor ecliptici (perpendiculara ıncentrul sferei ceresti pe planul eclipticii) (ΠΠ′). Ea are cu sfera cereasca doua punctede intersectie, numite polii ecliptici (Π si Π′). Cercul mare dus prin polii Π,Π′ siastru este cercul latitudinilor (sau meridianul ecliptic) al astrului.

Coordonatele ecliptice ale unui astru σ sunt (Figura 1.7):

- latitudinea ecliptica (β): unghiul format de raza corespunzatoare astrului cuplanul eclipticii. Este masurata prin arcul de cerc de latitudine, de la ecliptica laastru. Este pozitiva de la ecliptica spre polul nord Π si negativa de la ecliptica sprepolul sud Π′.

- longitudinea ecliptica (λ):unghiul masurat, ın sens direct, prin arcul eclipticii,de la cercul de latitudine al punctului vernal γ la cercul de latitudine al astrului. Seexprima ın grade (de la 00 la 3600).

Coordonatele ecliptice nu depind de rotatia sferei ceresti. Ele nu se masoara

1.6. COORDONATE GALACTICE 11

E EO

l s

b

s

P

Figura 1.7: Sistemul de coordonate ecliptice

cu instrumente, ci se deduc prin calcul din cele ecuatoriale. Ele se utilizeaza maiales la studiul miscarii Lunii si planetelor, care ısi executa miscarea ın apropiereaeclipticii.

1.6 Coordonate galactice

Un alt sistem de coordonate ceresti, mult folosit ın studiul dinamicii stelare sial structurii Galaxiei, este sistemul galactic.

Sa consideram planul meridian al Caii Lactee. Acesta taie sfera cereasca dupaun cerc mare, numit ecuator galactic (LL′). Planul ecuatorului galactic impreuna cuaxa polilor galactici (GG′) (polul nord galactic G avand coordonatele A =12h40min siD= 280, 00) formeaza sistemul galactic de referinta. Fata de acest sistem se definesccoordonatele galactice ale unui astru σ (Figura 1.8):

P

Q

G

O

L

P

G

Q

L

b

d

d

i

Figura 1.8: Sistemul de coordonate galactice

- latitudinea galactica (b): unghiul format de raza corespunzatoare astrului cuplanul ecuatorului galactic;

- longitudinea galactica (l): unghiul pe care-l face cercul de latitudine galactica


al astrului cu cercul de latitudine galactica al punctului de intersectie a ecuatorulgalactic cu ecuatorul ceresc Ω (αΩ = 18h40min). Acest punct se numeste nodulascendent al ecuatorului galactic.

Observam ca, spre deosebire de coordonatele orizontale, ecuatoriale si ecliptice,coordonatele galactice ale stelelor nu se determina cu precizie (de obicei, nu maiprecis de 00, 1), lucru ce se explica prin faptul ca aceste coordonate sunt folositeındeosebi ın lucrarile de statistica stelara.

1.7 Transformarea coordonatelor ceresti

Sa consideram sfera cereasca si sa figuram pe ea simultan doua sisteme decoordonate: sistemul orar si sistemul orizontal. Obtinem ca meridianul ceresc, ver-ticalul astrului σ si cercul de declinatie al astrului σ se ıntretaie, formand triunghiulsferic: zenitul Z, polul lumii P si astrul σ (Figura 1.9).

90 -jO

p=90 -d

O

180 -A

O

Z=90O

H

P

s

Zq

Figura 1.9: Triunghiul paralactic

Acest triunghi se numeste triunghiul paralactic sau triunghiul de pozitie (sauprimul triunghi astronomic).

Laturile acestui triunghi sunt:_

ZP = 900 − ϕ,_

Zσ = z,_

Pσ = 900 − δ = p, iarunghiurile lui sunt Z = 1800 − A, P = H, σ = q (unghi paralactic).

Se vede ca elementele triunghiului paralactic contin atat coordonatele orizon-tale z si A, cat si coordonatele orare δ si H.

Aplicand formulele lui Gauss (Teorema cosinusului, Teorema sinusului si For-mula celor cinci elemente) la rezolvarea triunghiului paralactic, obtinem relatiile detrecere de la un sistem de coordonate la altul.

De exemplu, transformarea coordonatelor orizontale (z, A), pentru un momentdeterminat, ın coordonatele orare (δ,H), cunoscand latitudinea geografica ϕ a locu-lui de observatie, se efectueaza astfel: se aplica formulele lui Gauss pentru acele

1.7. TRANSFORMAREA COORDONATELOR CERESTI 13

elemente ale triunghiului paralactic care contin coordonatele necunoscute, adicapentru latura (900 − δ) si unghiul H. Avem:

cos(900 − δ) = cos(900 − ϕ) cos z + sin(900 − ϕ) sin z cos(1800 − A)sin(900 − δ)

sin(1800 − A)=

sin z

sin Hsin(900 − δ) cos H = sin(900 − ϕ) cos z + cos(900 − ϕ) sin z cos(1800 − A)

De aici, gasim:

sin δ = sin ϕ cos z − cos ϕ sin z cos A ≡ (I)cos δ sin H = sin z sin A ≡ (II)

cos δ cos H = cos ϕ cos z + sin ϕ sin z cos A ≡ (III)

(1.7.1)

La determinarea necunoscutelor se procedeaza astfel: ımpartind ecuatia a douacu a treia, se determina H dupa tangenta:

tan H =(II)

(III). (1.7.2)

Daca H > 450, atunci, pentru a determina pe δ dupa tangenta, este maibine sa ımpartim prima ecuatie cu a doua, pentru ca ın acest caz eroarea de calculinfluenteaza mai putin sinusul:

tan δ =(I)

(II)sin H. (1.7.3)

Daca H < 450, atunci, pentru a calcula pe δ, este mai bine sa ımpartim primaecuatie cu a treia, deoarece ın acest caz eroarea influenteaza mai putin cosinusul:

tan δ =(I)

(III)cos H. (1.7.4)

Probleme propuse:

1. Enumerati punctele fundamentale de referinta de pe sfera cereasca.

2. Sa se scrie coordonatele ecuatoriale ale punctelor fundamentale de referintade pe sfera cereasca.

3. Sa se arate ca relatia:

θ = α + H,

are o valabilitate generala (nedepinzand de situarea observatorului O pe globul tere-stru si a astrului σ pe sfera cereasca)


4. Sa se scrie formula pentru distanta dintre doua puncte de pe suprafataglobului terestru, de coordonate geografice (L1, ϕ1) si (L2, ϕ2).

5. Un vapor pleaca ın ziua de 8 iulie, ora 6 dimineata, din portul B(ϕ1 =48023′N,L1 = 4030′V ) pe un cerc mare, spre portul C(ϕ2 = 5017′N,L2 = 52033′V ).Cand ajunge vaporul la destinatie daca viteza sa medie de deplasare este de 18 milemarine pe ora?

6. Sa se scrie formula pentru distanta dintre doua puncte de pe suprafataglobului terestru, de coordonate ecuatoriale σ1(α1, δ1) si σ2(α2, δ2).

7. Intr-o zi, la momentul sideral θ = 19h35min24s, coordonatele ecuatori-ale ale unei comete sunt urmatoarele: α = 17h50min47s, 5; δ = +27017′36′′. In cedirectie (A, z) trebuie ındreptat teodolitul de la Observatorul Astronomic din Cluj-Napoca (ϕ = 46045′34′′) pentru a observa cometa?

8. O cometa are coordonatele ecliptice (λ, β). Care sunt coordonatele ecuato-riale ale cometei stiind ca ınclinarea pe ecuator este ε? Aplicatie: λ = 5h43min01s, 5;β = 45007′48′′; ε = 23026′21′′.

9. Sa se stabileasca formulele pentru transformarea coordonatelor ecuatoriale(α, δ) ın coordonate galactice (l, b).

10. Sa se determine timpul sideral si azimutul pentru punctele unde rasaresi apune steaua S, de coordonate ecuatoriale (α, δ), ıntr-o localitate de latitudine ϕ(nu se tine seama de refractie).

Capitolul 2

Problema celor doua corpuri

2.1 Legile miscarii ale lui Newton

In Cartea I ”Principiile Matematice ale Filzofiei Naturale” sau pe scurt ”Prin-cipiile”, Newton introduce urmatoarele trei legi ale miscarii:

1. Fiecare corp ramane ın starea sa de repaus sau de miscare rectilinie siuniforma daca nu este obligat de o forta exterioara sa-si schimbe aceasta stare.

2. Variatia miscarii este proportionala cu forta si are loc pe directia sisensul de actiune a fortei.

3. La orice forta (actiune) corespunde o reactiune egala si direct opusa.

A doua lege numita si legea actiunii fortelor poate fi exprimata din punctde vedere matematic astfel

−→F =

d

dt(m−→v ) (2.1.1)

si tinand seama ca masa este o marime constanta ın ecuatia (2.1.1), aceasta lege semai scrie

−→F = m

d−→vdt

= m−→a (2.1.2)

care este ecuatia fundamentala a mecanicii newtoniene.

15

16 CAPITOLUL 2. PROBLEMA CELOR DOUA CORPURI

2.2 Legea atractiei universale a lui Newton

In afara de cele trei legi de miscare din ”Principii” Newton a formulat si legeaatractiei universale sau legea gravitatiei avand ın forma actuala urmatorul enunt:”Oricare doua puncte materiale se atrag reciproc cu o forta direct proportionala cuprodusul maselor lor si invers proportionala cu patratul distantei dintre ele”.

Matematic, aceasta lege se exprima prin ecuatia

−→F = G

m1m2

r2·−→rr

(2.2.1)

unde m1 si m2 sunt masele celor doua puncte materiale aflate la distanta r ıntre ele(vezi Fig. 2.1), iar G reprezinta un coeficient de proportionalitate, numit constantaatractiei gravitationale (universale), a carei valoare depinde de alegerea sistemuluifundamental de unitati (de lungime, de masa si timp)

-ın sistemul international (S.I.) G = 6.67 · 10−11 ' 115· 10−9

-ın Sistemul Astronomic Fundamental (distanta medie Pamant-Soare, masa Soare-lui, zona solara medie): G = 0.000295912 sau G = k2 (k = 0.01720209895 si senumeste constanta lui Gauss).

Figura 2.1: Legea atractiei universale a lui Newton

2.3 Problema celor n corpuri

In acest paragraf vom analiza ın detaliu miscarea unui corp (planeta, satelit alPamantului sau a unei navete spatiale), asupra sa actionand forte de tip gravitational

2.3. PROBLEMA CELOR N CORPURI 17

sau forte datorita rezistentei la ınaintare, a compresiunii sau a presiunii radiatieisolare.

Vom considera sistemul de corpuri M = mkk=1,n si consideram corpul mi,1 ≤ i ≤ n, caruia ıi vom studia miscarea.

Incepem analiza noastra prin a considera, fara a restrange generalitatea, unsistem de coordonate Ox1x2x3, ın care pozitiile celor n mase mk sunt cunoscute cuajutorul vectorilor de pozitie −→r1 ,−→r2 , ...,−→rn , (vezi Fig. 2.2).

Figura 2.2: Problema celor n corpuri

Conform legii universale a gravitatiei lui Newton forta−→Fik exercitata de mi

asupra lui mk este

−→Fik = −Gmimk

r3ki

−→rki (2.3.1)

unde

−→rki = −→ri −−→rk . (2.3.2)

Rezultanta acestor forte gravitationale ce actioneaza asupra corpului i este

−→Fi =

n∑

k=1, k 6=i

Gmimk

r3ki

· −→rki (2.3.3)

sau


−→Fi = −Gmi

n∑

k=1, k 6=i

mk

r3ki

· −→rki. (2.3.4)

Notam cu−→Fie rezultanta celorlalte forte exterioare datorita rezistentei la ınaintare,

compresiunii, presiunii radiatiei solare, perturbatiilor datorita nesfericitatii acestor

corpuri, etc. Astfel, asupra corpului mi actioneaza o forta rezultanta−→Ri

−→Ri =

−→Fi +

−→Fie. (2.3.5)

Aplicand legea a doua a miscarii lui Newton obtinem

d

dt(mi

−→vi ) =−→Ri (2.3.6)

sau

mid−→vi

dt+−→vi

dmi

dt=−→Ri (2.3.7)

Anumite efecte relativistice pot produce o schimbare a masei mi ca functie detimp si astfel termenul al doilea din relatia (2.3.7) nu poate disparea ıntotdeauna.

Cu alte cuvinte, ın astrodinamica nu este mereu satisfacuta ecuatia−→F = m−→a .

Inmultind relatia (2.3.7) cu m−1i obtinem ecuatia generala a miscarii pentru

corpul i

..−→ri =

−→Ri

mi

−.−→ri

.mi

mi

(2.3.8)

unde..−→ri reprezinta vectorul acceleratiei al corpului i relativ la sistemul de coordonate

Ox1x2x3.

Ecuatia (2.3.8) reprezinta o ecuatie diferentiala vectoriala de ordinul doi neliniaraa carei solutie nu poate fi gasita ın forma de mai sus, decat facand anumite ipotezesimplificatoare.

Presupunand ca masa mi ramane constanta (mi = 0) si ca−→Fie este identic nul,

ecuatia (2.3.8) se reduce la

..−→ri = −G

n∑

k=1, k 6=1

mk

r3ki

· −→rki. (2.3.9)

2.4. PROBLEMA CELOR DOUA CORPURI 19

Sa presupunem acum ca m2 este un satelit al Pamantului, m1 este Pamantulsi celelalte mase ramase m3,m4, ...,mn reprezinta masele Lunii, Soarelui si a altorplanete.

Din ecuatia (2.3.9) pentru i = 1 si i = 2 obtinem

..−→r1= −G

n∑

k=2

mk

r3k1

· −→rk1 (2.3.10)

respectiv

..−→r2= −G

n∑

k=1, k 6=2

mk

r3k2

· −→rk2. (2.3.11)

Din relatia (2.3.2) pentru i = 1 si n = 2 obtinem

..−→r12=..−→r2 −

..−→r1 . (2.3.12)

Substituind relatiile (2.3.10) si (2.3.11) ın relatia (2.3.12) gasim

..−→r12= −G (m1 + m2)

r312

· −→r12 −n∑

k=3

Gmk

(−→rk2

rk2

−−→rk1

rk1

). (2.3.13)

Aceasta relatie scrisa sub forma de mai sus ne va ajuta la studiul miscarii unui

satelit de masa m2 apropiat al Pamantului de masa m1. Atunci..−→r12 va reprezenta

acceleratia satelitului relativ la Pamant.

Ultimul termen din ecuatia (2.3.13) este datorat efectelor perturbatoare aleLunii, Soarelui, planetelor si altor sateliti apropiati de Pamant. Pentru a aduceviitoare simplificari ale acestei ecuatii va trebui sa comparam marimea efectelor ceproduc aceste perturbatii cu forta de atractie dintre Pamant si satelit.

2.4 Problema celor doua corpuri

In paragraful precedent am gasit ecuatia generala (2.3.13) a miscarii relative adoua corpuri perturbata de alte corpuri. Acum vom reduce aceasta ecuatie ın cazulparticular al problemei celor doua corpuri.

Vom face doua ipoteze simplificatoare referitoare la modelul considerat:


1. Corpurile sunt uniform sferice si consideram ca ıntrega lor masa este con-centrata ın centrele lor.

2. Asupra sistemului nu actioneaza forte interne sau externe ın afara de fortelegravitationale ce actioneaza de-a lungul liniei ce uneste centrele celor doua corpuri.

Vom formula urmatoarea problema: ”Sa se studieze miscarea relativa a punc-tului material de masa m2 ın campul gravitational creat de punctul material de masam1” .

Pozita celor doua puncte masice m1 si m2 este cunoscuta cu ajutorul vectorilorde pozitie −→r1 si respectiv −→r2 fata de un reper considerat fix Ox1x2x3 (vezi Fig. 2.3).Admitem ca aceste doua mase interactioneaza printr-o forta ce depinde de distantarelativa dintre cele doua mase si are sensul de la m1 spre m2. Aceasta forta poatefi exprimata astfel

−→F = F · −→ir (2.4.1)

unde−→ir este versorul directiei m1m2 si are urmatoarea expresie

−→ir =

−→rr

(2.4.2)

cu

−→r = −→r12 = −→r2 −−→r1 . (2.4.3)

Figura 2.3: Problema celor doua corpuri

Aplicand legea a doua a lui Newton miscarii lui m2 si m1 gasim

2.4. PROBLEMA CELOR DOUA CORPURI 21

m2

..−→r2= −−→F (2.4.4)

respectiv

m1

..−→r1=−→F . (2.4.5)

Pentru a obtine ecuatia diferentiala a miscarii lui m2 ın raport cu m1 vomscadea relatia (2.4.5) din (2.4.4)

..−→r2 −..−→r1= −

(1

m2

+1

m1

)−→F . (2.4.6)

Utilizand relatiile (2.4.1) si (2.4.3), relatia (1.4.6) devine

−→r = −(

1

m2

+1

m1

)F−→i3 . (2.4.7)

In Mecanica clasica, termenul

1

m2

+1

m1

=m1 + m2

m1m2

(2.4.8)

se numeste masa redusa.

Utilizand relatiile (2.4.8) si (2.2.1) ın (2.4.7) obtinem

..−→r = −m1 + m2

m1m2

Gm1m2

r2

−→ir (2.4.9)

sau introducand factorul

µ = G (m1 + m2) (2.4.10)

obtinem ecuatia diferentiala sub forma vectoriala a miscarii pentru problema celordoua corpuri sub forma

..−→r +µ

r3−→r = 0. (2.4.11)

Observatii

1. Ecuatia (2.4.11) ramane neschimbata daca ınlocuim pe −→r cu −−→r . Astfel,ecuatia (2.4.11) descrie fie miscarea lui m2 fata de m1 fie invers.


2. Ecuatia (2.4.11) descrie miscarea unitatii de masa mu relativ la masa m1 +m2 situata ıntr-o origine fixata,

mu

..−→r +muµ

r3−→r = 0.

3. Forta gravitationala deriva dintr-un potential si ecuatia (2.4.11) se scrie

..−→r = − ∂v

∂−→runde

v = −µ

r.

4. Potentialul gravitational este definit astfel ıncat este zero la infinit, i.e.

limr→∞

v = 0.

2.5 Teorema lui Newton privind atractia unei sfere

omogene

Aceste rezultate referitoare la atractia unei sfere omogene goale sau pline,constituie baza teoretica a aplicabilitatii legii atractiei universale la studiul miscariicorpurilor ceresti.

Teorema: Atractia unei sfere omogene goale este aceasi cu atractia centruluiei ın care s-ar afla concentrata ıntreaga masa a sferei, cand punctul material se aflaın exteriorul sferei si este egala cu zero, cand punctul material se afla ın interiorulsferei.

Consideram o sfera de raza r′ de ecuatie

x′21 + x′22 + x′23 = r′2 (2.5.1)

cu centrul situat ın originea sistemului de axe Ox1x2x3, avand masa atractiva uni-form distribuita pe suprafata ei, astfel reprezentand o suprafata materiala sfericaomogena. Consideram punctul material M2 de masa unitate situat pe axa Oz atrasde masa superficiala a sferei, cu o forta newtoniana de tipul (2.2.1) si fie M1 unpunct curent al sferei, (vezi Fig. 2.3).

2.5. TEOREMA LUI NEWTON PRIVIND ATRACTIA 23

Expresia potentialului fortelor newtoniene rezultat de masa superficiala a sferei,numit si potentialul simplului strat sferic ın punctul M2 este

U (M2) = ρ

∫∫P

dA

r(2.5.2)

unde ρ este densitatea constanta a suprafetei, dA un element al acestei suprafete,iar

−→r =−−−−→M1M2 =

−−−→OM2 −−−−→OM1. (2.5.3)

Figura 2.4: Geometria simplului strat sferic

Deoarece

r2 = x23 + r′2 − 2r′x3 cos θ (2.5.4)

si

dA = r′2 sin θ · dθ · dψ, (2.5.5)

obtinem pentru potentialul U(M2)

U (M2) = U (x3) = ρ

∫∫P

r′2 sin θ · dθ · dψ√r′2 + x2

3 − 2r′x3 cos θ=


=ρr′

x3

2π∫

0

dψ

π∫

0

r′ sin θ · dθ√r′2 + x2

3 − 2r′x3 cos θ=

=2πρr′

x3

√r′2 + x2

3 − 2r′x3 cos θ

∣∣∣∣π

0

=2πρr′

x3

(r′ + x3 − |r′ − x3|) . (2.5.6)

Notam cu m1 masa sferei, a carei masa atractiva este uniform distribuita pesuprafata sa

m1 = 4πρr′2 (2.5.7)

obtinem ca

U (z) =

m1

x3daca x3 ≥ r′

m1

r′ daca x3 < r′(2.5.8)

si forta−→F = 5U trece prin centrul sferei considerate.

Newton a demonstrat aceasta teorema ın ”Principiile” pe cale geometrica.Vomextinde acest rezultat ın cazul unei sfere pline, pe care o vom considera fiind formatadintr-un numar foarte mare de straturi sferice concentrice omogene, foarte subtiri.

In acest caz, utilizand coordonatele sferice elementul de volum dv are urmatoareaexpresie

dv = r′2 sin θ · dr · dθ · dψ. (2.5.9)

Pentru masa totala m1 obtinem rezultatul cunoscut

m1 =

r′∫

0

π∫

0

2π∫

0

ρr2 sin θ · dψ · dθ · dr =4

3πr′3ρ. (2.5.10)

Potentialul U(M2) va avea urmatoarea expresie

U(M2) = U(z) = ρ

r′∫

0

π∫

0

2π∫

0

r′ sin2 θ · dr · dψ · dθ√r′2 + x2

3 − 2r′x3 cos θ. (2.5.11)

2.6. SOLUTIA ANALITICA A PROBLEMEI CELOR DOUA CORPURI 25

Folosind relatiile (2.5.6),(2.5.10) si tinand seama ca ın cazul punctului M2 interiorsferei avem

U(M2) =2πρ

x3

x3∫

0

r [(r + x3)− (x3 − r)] dr +

r′∫

x3

r [(r + x3)− (r − x3)] dr

(2.5.12)

obtinem

U(M2) =

m1

x3, daca x3 ≥ r′

2πρ(r′2 − x2

3

3

), daca x3 < r′

. (2.5.13)

Observam ca potentialul U este continuu ın tot spatiul exterior sau interiorsferei precum si la traversarea suprafetei din ambele cazuri.

2.6 Solutia analitica a problemei celor doua cor-

puri

Consideram ecuatia diferentiala vectoriala a miscarii pentru problema celordoua corpuri (2.4.11) sub forma

..−→r = − µ

r3−→r . (2.6.1)

Pentru a da o solutie analitica completa va trebui sa gasim sase integraleale miscarii. Prin integrala miscarii a sistemului (2.6.1) vom ıntelege orice functie

f(−→r ,

.−→r , t)

astfel ıncat

f(−→r ,

.−→r , t)

= constant. (2.6.2)

Vom considera corpul S de masa m1 ın campul sau gravitational creat. Nepropunem sa studiem miscarea corpului σ de masa m2.

Corpul S se numeste corp central, iar punctele materiale (S,m1) si (σ,m2) senumesc centru atractiv si respectiv satelit. Prin satelit vom ıntelege o planeta, unasteroid, o cometa, etc., atunci cand centrul atractiv este Soarele sau chiar un satelitartificial sau natural al unei planete.


In Figura 2.5 prezentam un sistem cartezian ın care vectorul de pozitie −→r =S−→σ este exprimat astfel

−→r = x1−→i1 + x2

−→i2 + x3

−→i3 . (2.6.3)

Figura 2.5: Pozitia orbitei fata de planul fundamental

Vom obtine integralele miscarii problemei celor doua corpuri utilizand ecuatia(2.4.11).

Inmultind vectorial cu −→r la stanga ambii membrii ai relatei (2.4.11) sau (2.6.1)si tinand seama de ecuatia

−→r ×−→r = 0 (2.6.4)

obtinem

−→r ×..−→r =

d

dt

(−→r ×.−→r)

= 0. (2.6.5)

Integrand relatia de mai sus gasim ca

−→r ×.−→r = −→c = const. , (2.6.6)

unde−→c = −→c

(−→r (t) ,.−→r (t)

)= const. .

Astfel, am determinat prima integrala a miscarii, numita integrala ariilorreprezentand legea conservarii momentului cinetic sau a ariilor ın miscarea punctu-lui material (de masa unitate). Vectorul −→c se numeste vectorul moment cinetic sau

constanta (vectoriala) ariilor. Relatia ıntre−→c si viteza areolara−→Ω este:


−→Ω =

d−→A

dt=

1

2(−→r ×−→v ) =

1

2−→c . (2.6.7)

Un rezultat important se obtine ınmultind scalar cu −→r si cu.−→r relatia (2.6.6)

−→r · −→c = −→r ·(−→r ×

.−→r)

= 0

si.−→r ·−→c =

.−→r ·(−→r ×

.−→r)

= 0. (2.6.8)

Acest rezultat ne arata ca raza vectoare −→r si viteza.−→r sunt perpendiculare pe

vectorul −→c ; deci vectorul −→c este normal pe planul orbitei (planul de miscare).

Ecuatia planului orbitei se scrie sub forma

−→r · −→c = x1c1 + x2c2 + x3c3 = 0. (2.6.9)

Observam ca acest plan contine originea sistemului cartezian ales.

Alta integrala prima a miscarii o vom obtine ınmultind scalar ecuatia (2.4.11)

cu.−→r

.−→r ·( ..−→r +

µ

r3

.−→r)

= 0 (2.6.10)

sau.−→r ·

..−→r =1

2

d

dt

( .−→r ·−→r)

. (2.6.11)

Observam ca

d

dt

(− µ√−→r · −→r

)=

µ

2

√(−→r · −→r )

3

d

dt(−→r · −→r ) =

µ

r3

.−→r ·−→r . (2.6.12)

Din relatiile (2.6.11) si (2.6.12) gasim urmatoarea relatie

d

dt

(1

2

.−→r ·.−→r −µ

r

)= 0, (2.6.13)

care ne conduce la integrala energiei

1

2

( .−→r ·.−→r)− µ

r= h = const. (2.6.14)


sau

.−→r2

2− µ

r= h. (2.6.15)

unde h se numeste constanta energiei si se determina din conditiile initiale. Inrelatia (2.6.15) primul termen reprezinta energia cinetica a punctului material (demasa unitate) iar al doilea energia lui potentiala, ceea ce justifica denumirile facutede integrala energiei.

De asemenea, relatia (2.6.15) ne arata ca energia mecanica a satelitului esteconstanta ın tot timpul miscarii, adica energia se conserva.

Pentru a deduce ultima integrala vectoriala a miscarii vom ınmulti vectorial lastanga cu vectorul moment cinetic −→c relatia (2.4.11)

−→c ×..−→r +

µ

r3

(−→r ×.−→r)×−→r = 0. (2.6.15)

Tinand seama de (2.6.15) obtinem ecuatia

−→c ×..−→r +

µ

r3

[(−→r · −→r )

.−→r −( .−→r ·−→r

)−→r]

= 0. (2.6.16)

Primul termen din membrul drept al relatiei de mai sus, tinand seama de(2.6.6) devine

−→c ×..−→r =

d

dt

(−→c ×.−→r)

(2.6.17)

iar cel de al doilea se mai poate scrie sub forma

µ

r3

[(−→r ×−→r ) ·

.−→r −( .−→r ×−→r

)· −→r

]= µ

d

dt

(1

r−→r

). (2.6.18)

Astfel din (2.6.16) - (2.6.18) obtinem ecuatia

d

dt

(−→c ×.−→r +

µ

r−→r

)= 0. (2.6.19)

Aceasta ecuatie ne conduce la integrala miscarii a lui Laplace

−→c ×.−→r +

µ

r−→r = −−→P (2.6.20)


care folosind (2.6.6) se mai poate scrie

(−→r ×.−→r)×

.−→r +µ

r−→r = −−→P . (2.6.21)

−→P este un vector constant numit vectorul lui Laplace sau vectorul excentricitatii.Legatura ıntre aceste integrale ale miscarii este data de urmatoarea

Propozitie Intre −→c , h si−→P exista urmatoarele doua relatii independente:

(i) −→c · −→P = 0

(ii)c2

µ= − µ

2h

(1− P 2

µ2

).

DemonstratieInmultim scalar cu −→c ambii membrii din integrala lui Laplace (2.6.21)

−→c · −→c ×.−→r +

µ

r−→c · −→r = −−→c · −→P .

Cum −→c · −→r si −→c · −→c ×.−→r = 0 obtinem:

−→c · −→P = 0.

Din relatia de mai sus observam ca−→P este inclus ın planul orbitei deoarece

este perpendicular pe −→c .

Pentru a determina cea de-a doua relatie ıntre −→c , h si−→P vom calcula produsul

vectorial dintre−→P si el ınsusi:

−→P ×−→P =

(−→c ×.−→r)·(−→c ×

.−→r)

+2µ

r−→r ·

(−→c ×.−→r)

+µ2

r2(−→r · −→r ) .

de unde obtinem ca:

(−→c ×.−→r)·(−→c ×

.−→r)

=( .−→r ·

.−→r)

(−→c · −→c )−(−→c ·

.−→r) (−→c ·

.−→r)

.

Cum −→c ·.−→r = 0 si −→c · −→c = c2 avem:


(−→c ×.−→r)·(−→c ×

.−→r)

= c2.−→r ·

.−→r

si obtinem:

2µ

r−→r ·

(−→c ×.−→r)

= −2µ

rc2.

Din ultimele doua relatii si din faptul ca

µ2

r2(−→r · −→r ) = µ2

tinand seama de (2.6.14) gasim

c2

µ= − µ

2h

(1− P 2

µ2

).

Ecuatiile (i) si (ii) din Propozitie ne arata ca integralele miscarii (2.6.6),(2.6.14) si (2.6.21) nu sunt independente ıntre ele.

Astfel cele sapte constante ale miscarii introduse de integralele miscarii se reducdatorita relatiilor (i) si (ii) la cinci.

Cum pentru solutia completa a problemei celor doua corpuri avem nevoie desase constante va trebui sa mai determinam una. Pe aceasta o vom determina ıncele ce urmeaza din ecuatia lui Kepler.Vom ıncepe prin a calcula patratul momentului cinetic −→c

c2 = −→c · −→c =(−→r ×

.−→r)·(−→r ×

.−→r)

. (2.6.22)

Utilizand relatia (2.6.14) obtinem

c2 =( .−→r ·

.−→r)· (−→r · −→r )−

( .−→r ·−→r)·(−→r ·

.−→r)

=

= r2

(2h +

2µ

r

)− r2·

.−→r2 . (2.6.23)

Vom considera, ın cele ce urmeaza cazul orbitei eliptice caz ın care energia heste strict negativa.Din relatia (2.6.23) observam ca


rr = ±√−2h

√−

(r2 +

µr

h

)+

c2

2h(2.6.24)

relatie ce se mai poate rescrie daca sub cel de-al doilea radical adunam si scadem

cantitatea(

µ2h

)2si sub forma

rr = ±√−2h

√−

(r +

µ

h

)2

+c2

2h+

( µ

2h

)2

. (2.6.25)

Tinand seama de ecuatia (ii) ınmultita cu µ2h

, ecuatia (2.6.25) devine

rr = ±√−2h

√(P

2h

)2

−(r +

µ

2h

)2

. (2.6.26)

Ecuatia (2.6.26) poate fi pusa sub forma unei ecuatii diferentiale cu variabileseparabile sub forma:

±√−2hdt =

z − µ2h√(

P2h

)2 − z2

dz (2.6.27)

unde am folosit notatia

z = r +µ

2h. (2.6.28)

Vom introduce o alta notatie

E = arccos

(zP2h

). (2.6.29)

De aici

sin E =2h

P

√(P

2h

)2

− z2 (2.6.30)

si integrand ecuatia (2.6.27) obtinem ecuatia lui Kepler

±√−2h (t + k) = E − P

µsin E. (2.6.31)


In ecuatia lui Kepler, k este o constanta de integrare.

Pentru a obtine o expresie de tipul r = r (E) vom folosi (2.6.28) si (2.6.29), sigasim ca aceasta este:

r = − µ

2h

(1− P

µcos E

). (2.6.32)

Capitolul 3

Legile lui Kepler

Johannes Kepler (1571-1630) a descoperit empiric aceste legi, publicand primeledoua ın 1609, iar pe cea de-a treia ın 1618 .

Acestea sunt :

1. Orbitele planetelor sunt elipse cu Soarele ıntr-unul din focare .

2. Vectorul ce uneste Soarele cu o Planeta matura arii egale ın intervale detimp egale .

3. Patratul perioadei unei planete este proportional cu cubul semiaxei maria orbitei .

In acest capitol vom verifica legile lui Kepler utilizand integralele miscarii gasiteın Capitolul 2.

3.1 Prima lege a lui Kepler

Inmultind scalar cu −→r ambii membrii ai integralei miscarii a lui Laplace(2.6.20) obtinem

−→r · −→c ×.−→r +

µ

r−→r · −→r = −−→r · −→P . (3.1.1)

Primul termen din membrul stang se reduce la

−→r · −→c ×.−→r = −−→c · −→r ×

.−→r = −c2 (3.1.2)

si astfel (3.1.1) devine−c2 + µr = −rP cos φ. (3.1.3)

33

34 CAPITOLUL 3. LEGILE LUI KEPLER

unde φ reprezinta unghiul dintre vectorul de pozitie −→r si vectorul lui Laplace−→P si

este numit anomalie adevarata.

Din relatia (3.1.3) gasim pentru modulul vectorului de pozitie ~r expresia

r =c2

µ· 1

1 + Pµ

cos φ. (3.1.4)

Tinand seama de ecuatia standard a unei conice

r =p

1 + e cos φ(3.1.5)

cup ≡ a(1− e2), (3.1.6)

din (3.1.4) obtinem pentru parametrul conicei si pentru excentricitate expresiile

p =c2

µ(3.1.7)

e =P

µ. (3.1.8)

Tinand seama de a doua relatie de dependenta dintre integralele miscarii vom ex-prima constanta energiei cu unul dintre parametri conicei astfel

c2

µ= − µ

2h

[1−

(P

µ

)2]

= p ≡ a(1− e2). (3.1.9)

Astfel obtinem ca

a = − µ

2h(3.1.10)

ceea ce ne arata ca semiaxa mare a conicei depinde numai de energie.

Observam ca daca φ = 0 , distanta r atinge valoarea minima rπ numita distantala pericentru de ecuatie

rπ =p

1 + e=

a(1− e2)

1 + e= a(1− e). (3.1.11)

Forma conicei este determinata de semnul constantei h pe baza expresiei(3.1.5), astfel

h < 0 ⇔ e < 1 → elipsah = 0 ⇔ e = 1 → parabolah > 0 ⇔ e > 1 → hiperbola.

(3.1.12)

3.2. A DOUA LEGE A LUI KEPLER 35

3.2 A doua lege a lui Kepler

In sistemul de coordonate polare pentru vectorii de pozitie si viteza avemurmatoarele reprezentari (vezi Fig. 3.1)

−→r = r−→ir (3.2.1)

.−→r = r−→ir + rφ

−→iφ (3.2.2)

unde versorul−→iφ este dat de relatia

−→iφ =

−→ic ×−→ir (3.2.3)

cu−→ic =

−→cc

. (3.2.4)

Versorii−→ir ,

−→iφ ,

−→ic formeaza un sistem ortogonal. In acest sistem vectorul

moment cinetic este

−→c = −→r ×.−→r = r

−→ir ×

(r−→ir + rφ

−→iφ

). (3.2.5)

Tinand seama de relatiile −→r ×−→r = 0 si−→ir ×−→iφ =

−→ic obtinem

−→c = r2φ−→ic . (3.2.6)

Astfel modulul momentului cinetic este

c = r2φ = constant. (3.2.7)

Aria maturata de vectorul de pozitie al punctului curent ın unitatea de timpeste

dA

dt=

1

2r2dφ

dt. (3.2.8)

Dar, (vezi Fig. 3.2) avem ca

4A =1

2(r+ M r) (r M φ) . (3.2.9)

Trecand la limita cu Mr → 0 pentru 4t → 0 obtinem


Figura 3.1: Sistem local ~ir, ~iφ

Figura 3.2: Aria sectorului de conica

dA

dt= lim

4t→o

4A

4t=

1

2r2 lim

4t→0

4φ

4t=

1

2c = constant. (3.2.10)

Astfel am verificat legea a IIa a lui Kepler: Vectorul ce uneste Soarele cu oplaneta matura arii egale ın intervale de timp egale.

3.3 A treia lege a lui Kepler

Vom considera cazul orbitei eliptice (h¡0).

3.4. DETERMINAREA MASEI PLANETARE 37

Din relatiile (2.6.33), (3.1.8) si (3.1.10) obtinem urmatoarea relatie

r = a (1− e cos E) . (3.3.1)

Astfel din relatia (2.6.26) gasim ca

±√−2hdt =

rdr√(P2h

)2 − (r + µ

2h

)2. (3.3.2)

Folosind relatia (3.3.1) ecuatia (3.3.2) ia urmatoarea forma simplificata

√µ

adt = a(1− e cos E)dE. (3.3.3)

Prin integrarea relatiei precedente obtinem

∫ T

0

dt =

√a3

µ

∫ 2π

0

(1− e cos E)dE. (3.3.4)

unde T reprezinta perioada unei orbite sau timpul cat E creste de la 0 la 2π.Integrala de mai sus ne conduce la urmatoarea expresie

T = 2π

√a3

µ. (3.3.5)

Ridicand la patrat relatia (3.3.5) gasim

T 2 =

(4π2

µ

)a3, (3.3.6)

ceea ce ne arata ca legea a treia a lui Kepler a fost verificata.

3.4 Determinarea masei planetare

Legea a treia a lui Kepler poate fi folosita la determinarea raportului dintremasa unei planete si masa Soarelui.

Vom considera pentru ınceput cunoscute din observatii:


T si T1 - perioada planetei si respectiv a asteroidului

a si a1 - semiaxa mare a orbitei planetei si respectiv a asteroidului.Vom nota cu :

S - masa Soarelui,

P - masa planetei,

G - constanta universala gravitationala

si aplicand legea a treia a lui Kepler gasim

T 2 =4π2

G (S + P )a3. (3.4.1)

Analog, putem scrie cea de-a treia lege a lui Kepler pentru Soare si asteroid

T 21 =

4π2

G(S + m1)a3

1 (3.4.2)

unde m1 reprezinta masa asteroidului si pe care o presupunem neglijabil de mica ınraport cu S.

Din raportul relatiilor (3.4.1), (3.4.2) obtinem

(T

T1

)2

=1 + m1

S

1 + PS

(a

a1

)3

. (3.4.3)

Tinand seama de presupunerea ca m1 << S gasim ca

P

S=

(a

a1

)3 (T

T1

)2

− 1 (3.4.4)

si astfel cum T, a, T1 si a1 sunt cunoscute din observatii raportul dintre masa Pamantuluisi masa Soarelui este determinat.

In cea de-a doua aplicatie vom considera cunoscute din observatii:

T si TS - perioada planetei si respectiv a satelitului

a si aS - semiaxa mare a orbitei planetei si respectiv a satelitului

Vom scrie legea a treia a lui Kepler pentru miscarea satelitului si planeta:

T 2S =

4π2

G (M + mS)a3

s. (3.4.5)

3.4. DETERMINAREA MASEI PLANETARE 39

Consideram masa planetei si a satelitului ca o singura masa ce orbiteaza ınjurul Soarelui. Astfel relatia (3.4.1 ) ia forma

T 2 =4π2

G (S + M + ms)a3. (3.4.6)

Facand raportul relatiilor (3.4.5), (3.4.6) obtinem

(Ts

T

)2

= (S

M + ms

+ 1)(as

a

)3

. (3.4.7)

De aici gasim valoarea raportului dintre masa Soarelui si masa totala a planeteisi a satelitului:

S

M + ms

=(as

a

)3(

Ts

T

)2

− 1. (3.4.8)

In Mecanica Cereasca sunt foarte folosite aceste rapoarte de mase deoarece potfi determinate din observatii cu un grad ınalt de acuratete , pe cand G - ConstantaGravitatiei Universale nu este foarte exact cunoscuta

(G = 6,672× 10-20Km3/(Kg · s2)

).

Capitolul 4

Metode de calcul ın astrodinamica

4.1 Vectorii de pozitie si viteza ın integralele miscarii

In aplicatiile practice, pentru studiul orbitelor satelitilor si navetelor spatialeeste util sa cunoastem solutia problemei celor doua corpuri ıntr-un sistem de co-ordonate, decat sa cunoastem integralele miscarii. In acest capitol vom determina

vectorii de pozitie si viteza (−→r si.−→r ) ca functii ce depind de timp ın cazul miscarii

eliptice (h < 0).

Cele sase integrale ale miscarii gasite ın Capitolul 2 sunt

−→r ×.−→r = −→c

1

2

.−→r ·−→r − µ

h= h

(−→r ×−→r )×−→r +µ

r· −→r = −−→P

±2h

µ

√−2h(t + k1) = E − P

µsin E

unde

r = − µ

2h(1− P

µcos E).

Pentru a reduce cele opt constante de integrare (→c , h,

→P si k1) la sase, vom

introduce cele doua relatii scalare obtinute din Capitolul 2

41

42 CAPITOLUL 4. METODE DE CALCUL IN ASTRODINAMICA

−→c · −→P = 0

c2

µ= − µ

2h(1− (

P

µ)2).

In Capitolul 3 am identificat parametrii conicei cu unele integrale ale miscarii

p = a(1− e2) =c2

µ

e =P

µ

a = − µ

2hprecum si relatia

r =p

1 + e cos ϕ.

Atunci ecuatia lui Kepler poate fi scrisa

n(t− tπ) = M = E − e sin E (4.1.1)

unde am folosit conditia la limita

k1 = −tπ (4.1.2)

cand E = 0.

De asemenea am introdus

n = −2h

µ

√−2h =

√µ

a3(4.1.3)

siM = n(t− tπ) (4.1.4)

unde tπ se numeste timpul trecerii la pericentru, n se numeste miscare medie, si Mse numeste anomalie medie.

Ecuatia pentru miscarer = r(E)

se scrier = a(1− e cos E). (4.1.5)

4.1. VECTORII DE POZITIE SI VITEZA IN INTEGRALELE MISCARII 43

Unghiul E se numeste anomalie excentrica.

Vom prezenta ın cele ce urmeaza o rezolvare numerica a ecuatiei lui Kepler,utilizand metoda Newton-Raphson.

Definim functia

F (E) = E − e sin E − n (t− tπ) (4.1.6)

ın care sunt cunoscuti toti termenii exceptand E.

Ne propunem sa aflam valoarea lui E, pentru care este satisfacuta ecuatia luiKepler adica acel E pentru care F (E) = 0.

O solutie convenabila poate fi obtinuta dezvoltand pe E ın serie Taylor ın jurulunei valori aproximative Ek :

F (E) = F (Ek) +

(dF

dE

)

k

(E − Ek) + ... (4.1.7)

Din ecuatia de mai sus tinand seama ca F (E) = 0 obtinem o aproximare asolutiei

E = Ek − F (Ek)(dFdE

)k

. (4.1.8)

Iar din ecuatia (4.1.6) avem ca

(dF

dE

)

k

= 1− e cos Ek. (4.1.9)

Astfel din ecuatiile (4.1.8) si (4.1.9) obtinem urmatoarea aproximare a solutiei

E = Ek − F (Ek)

1− e cos Ek

. (4.1.10)

Vom continua cu calculul altor solutii aproximative ale lui E, ıncepand cuprima aproximatie Ek si vom termina acest procedeu iterativ cand eroarea solutiei|E − Ek| satisface ordinul de aproximatie cerut.

Problema care se ridica este daca aceasta metoda iterativa este convergenta.Pentru aceasta vom considera sirul (En)n≥0 definit astfel:

Luam ca valoare initiala

E0 = ζ = n (t− tπ)


siEk = ζ − e sin tk−1, k = 1, n (4.1.11)

Demonstram ca acest procedeu iterativ de aproximare este convergent, adicasirul (En)n≥0 este convergent.

Consideram seria

E0 + (E1 − E0) + (E2 − E1) + ... + (En − En−1) + ... (4.1.12)

Observam, ca convergenta seriei (4.1.12) implica convergenta sirului (4.1.11).

Pentru a demonstra convergenta seriei este necesar sa demonstram ca

∣∣∣∣En+1 − En

En − En−1

∣∣∣∣ < 1. (4.1.13)

Daca facem notatiile

f (E) = ζ − e sin E

si

En = f (En−1) = ζ − e sin En−1 (4.1.14)

atunci inegalitatea (4.1.13) este echivalenta cu

∣∣∣∣f (En)− f (En−1)

En − En−1

∣∣∣∣ < 1. (4.1.15)

Deoarece f este continua si derivabila pe R, implicit pe [En−1, En] si respectivpe (En−1, En) , rezulta conform teoremei lui Lagrange ca exista Eν ∈ (En−1, En)astfel ıncat

f (En)− f (En−1)

En − En−1

= f ′ (Eν) . (4.1.16)

Inegalitatea (4.1.13) tinand seama de relatiile (4.1.14) - (4.1.16) este adevarata:

∣∣∣∣En+1 − En

En − En−1

∣∣∣∣ = |f ′ (Eν)| < 1, (4.1.17)

ceea ce demonstreaza ca procesul de iteratie este convergent.

4.2. VECTORII DE POZITIE SI VITEZA 45

4.2 Vectorii de pozitie si viteza ın functie de anom-

alia adevarata

Consideram miscarea celor doua corpuri de masa m1 si m2 ıntr-un sistem decoordonate carteziene inertial cu originea fixata ın masa m1. Planul fundamental al

sistemului este planul normal, pe vectorul moment cinetic→c iar directia principala

este vectorul Laplace−→P .

Fie −→iP =

1

P· −→P

−→ic =

1

c· −→c

−→iQ =

−→ic ×−→iP .

Figura 4.1: Sistemul de coordonate de versori−→iP ,−→iQ si

−→ic .

Vectorul de pozitie −→r are expresia

−→r = r cos φ−→iP + r sin φ

−→iQ. (4.2.1)

Pentru a obtine viteza, diferentiem ecuatia (4.2.1) si obtinem

.−→r = (r cos φ− rφ sin φ)−→iP + (r sin φ + rφ cos φ)

−→iQ. (4.2.2)

Din legea a doua a lui Kepler ıl obtinem pe φ


r2φ = c =√

µp. (4.2.3)

Diferentiind ecuatia conicei

r =p

(1 + e cos φ)

obtinem vectorul de viteza r

r = (e sin φ

p)r2φ.

Din relatia (4.2.3) obtinem

r = e

√µ

psin φ. (4.2.4)

Introducand relatiile (4.2.3) si (4.2.4) ın expresia lui.−→r obtinem

.−→r = [(e

√µ

psin φ) cos φ− r sin φ

√µp

r2]−→iP + [(e

√µ

psin φ) sin φ− r cos φ

√µp

r2]−→iQ

=

√µ

p[e sin φ cos φ− sin φ

p

r]−→iP +

√µ

p[e sin2 φ + cos φ

p

r]−→iQ. (4.2.5)

Tinand seama de ecuatia (3.1.5) ın expresia precedenta a vectorului viteza(4.2.5) gasim

.−→r =

√µ

p[e sin φ cos φ− sin φ(1 + e cos φ)

−→iP +

√µ

p[e sin2 φ + cos φ(1 + e cos φ)]

−→iQ.

Dupa simplificari gasim ca

.−→r =

√µ

p[(− sin φ)

−→iP + (e + cos φ)

−→iQ]. (4.2.6)

Ecuatia (4.2.1) pentru −→r si ecuatia (4.2.6) pentru.−→r ne ofera expresii pentru

vectori de pozitie si de viteza ın functie de anomalia adevarata.

Urmatorul pas ın obtinerea solutiilor va fi eliminarea anomaliei adevarate φ ınfavoarea anomaliei excentrice E.

4.3. VECTORII DE POZITIE SI VITEZA 47

4.3 Vectorii de pozitie si viteza ın functie de anom-

alia excentrica

Pentru vectorii de pozitie r, avem urmatoarele doua ecuatii

r =a(1− e2)

1 + e cos φ= a(1− e cos E)

de unde gasim ca

cos φ =cos E − e

1− e cos E. (4.3.1)

Cum

r = e

√µ

psin φ

si

r = a(1− e cos E) (4.3.2)

atunci

r = ae sin EE.

Din ecuatia

dE

dt=

√µ/a

a(1− e cos E)=

1

r

√µ

a(4.3.3)

si (4.3.2) obtinem

r =e√

µ/a sin E

a(1− e cos E)(4.3.4)

sau tinand seama de (4.1.5) sub forma echivalenta

rr = e√

µa sin E. (4.3.5)


Din relatiile (4.2.1) si (4.3.4) obtinem

sin φ =

√p

a

sin E

1− e cos E

si cum

p ≡ a(1− e2)

avem

sin φ =

√1− e2 sin E

1− e cos E. (4.3.6)

Inlocuind relatiile (4.3.1) si (4.3.4) ın ecuatia (4.2.1) avem

−→r = r cos φ−→iP + r sin φ

−→iQ

= r[cos E − e

1− e cos E]−→iP + r[

√1− e2 sin E

1− e cos E]−→iQ.

Deoarece r = a(1− e cos E) si p = a(1− e2) avem

−→r = a(cos E − e)−→iP +

√ap sin E

−→iQ. (4.3.7)

Diferentiind relatia (4.3.7) obtinem

.−→r = −a sin E · E−→iP +√

ap cos E · E−→iQ

sau tinand seama de (4.3.7) si (4.3.8) gasim urmatoarea expresie

.−→r = −√

µa

rsin E

−→iP +

√µp

rcos E · −→iQ. (4.3.8)

Ecuatiile (4.3.7) si (4.3.8) ne dau expresiile pentru −→r si.→r ın functie de anom-

alia excentrica E.

4.4. ELEMENTE ORBITALE 49

4.4 Elemente orbitale

Elementele orbitale kepleriene sunt cosiderate urmatoarele (vezi Fig. 4.2)

- semiaxa mare a;

- excentricitatea e;

- timpul trecerii la pericentru tπ;

- unghiul nodal ascendent Ω;

- ınclinatia i;

- argumentul la pericentru ω.

Aceste elemente sunt si integrale de miscare ın sistemul de ecuatii diferentiale.Vom considera urmatoarea problema:

Se dau pozitia si viteza la un moment dat t, −→r si.−→r , se cer elementele arbitrare

a, e, tπ, i, Ω si $.

Vom da urmatorul algoritm de calcul.

a) Calculam energia si semiaxa mare

r = |−→r | (4.4.1)

h =1

2

.−→r ·.−→r −µ

r(4.4.2)

a = − µ

2h. (4.4.3)

b) Calculam momentul cinetic, vectorul lui Laplace si excentricitatea

−→c = −→r ×.→r

−→P =

µ

r· −→r − −→c ×

.−→r

P = ‖−→P ‖


e =P

µ. (4.4.4)

Deoarece

1

µ· −→c · −→c =

c2

µ= a(1− e2)

atunci avem

e =

√1− c2

aµ. (4.4.5)

c) Calculam timpul trecerii la pericentru

e cos E = 1− r

a

e sin E =−→r ·

.−→r√µa

E = arctg(e sin E

e cos E)

n =

√µ

a3

tπ = t− 1

n(E − e sin E). (4.4.6)

Observatii:

1. Pentru calculul excentricitatii putem de asemenea folosi si ecuatia:

e =√

(e cos E)2 + (e sin E)2. (4.4.7)

2. Cand e tinde la 0 valoarea numerica pentru anomalia excentrica devinenedefinita.

E −→ arctg(0

0)

4.4. ELEMENTE ORBITALE 51

Figura 4.2: Sistemul inertial al elementelor orbitale

si astfel timpul trecerii la pericentru (tπ) devine nedefinit.

d) Calculam ınclinatia si unghiul nodal

i = arccos(−→k · −→c )

unde

−→ic =

−→cc

; i ∈ (00, 1800) (4.4.8)

Orbitele cu 00 ≤ i ≤ 900 se numesc orbite directe si orbitele ıntre 900 ≤ i ≤1800 se numesc orbite retrograde.

Cum −→i · −→ic = sin Ω sin i

si −→j · −→c = − cos Ω sin i.

Prin ımpartire obtinem

tgΩ =sin Ω sin i

cos Ω sin i=

−→i · −→ic

−−→j · −→ic,

sau

Ω = arctg

( −→i · −→ic

−−→j · −→ic

). (4.4.9)


Din Figura 4.2 observam Ω ∈ (00, 3600). Atunci cand i −→ 0 ,sin i −→ 0 si ecuatia (4.4.9) devine

Ω −→ arctg(0

0)

si Ω devine nedefinit. Planul orbital se apropie de planul ecuatorial si se intersecteazaoriunde ın planul ecuatorial.

e) Calculam argumentul pentru pericentru

cos ω =−→iN · −→iP

sin ω =−→ic · −→iN ×−→iP

ω = arctg(sin ω

cos ω). (4.4.10)

Din Figura 4.2 observam ca ω ∈ (00, 3600). Observam ca atunci cand e −→ 0,−→P devine nedefinit:

−→iP =

1

‖−→P ‖· −→P =

1

(µe)· −→P

astfel ω devine nedefinit. De asemenea cand i −→ 0 atunci→iN si

→ω devin nedefinite.

4.5. ALTE SISTEME DE ELEMENTE ORBITALE 53

4.5 Alte sisteme de elemente orbitale

4.5.1 Elementele lui Delaunay

Elementele lui Delaunay sunt date de urmatoarele relatii

lD = M =

√µ

a3(t− tπ)

gD = ω

hD = Ω

LD =√

µa

GD =√

µa(1− e2) = c

HD =√

µa(1− e2) cos i.

Aceste transformari sunt doar schimbari de notatie a elementelor keplerienepentru anomalia medie, argumentul la pericentru, nodul ascendent si momentulcinetic. Initiala D de la elementele Delaunay este optionala. Se foloseste initialapentru a se evita confuzia cu alte elemente definite.

4.5.2 Elementele lui Poincare

Elementele lui Poincare sunt date de urmatoarele relatii

ρ1 = LD

ρ2 =√

2(LD −GD) cos(gd + hd)

ρ3 =√

2(GD −HD) cos hD


σ1 = lD + gD + hD

σ2 = −√

2(LD −GD) sin(gD + hD)

σ3 = −√

2(GD −HD) sin hD.

Avantajul elementelor lui Poincare ın raport cu elementele kepleriene este caacestea raman definite pentru ınclinatii si valori ale excentricitatii foarte mici.

Consideram urmatoarele cazuri:

Cazul a: Inclinatie mica : i −→ 0, HD −→ GD si ρ3, σ3 −→ 0. Chiar siunghiul nodal (hD = Ω) devine nedefinit , dar acest lucru nu conteaza deoarecesuma gD + hD este folosita ın elementele σ1, σ2 si ρ2.

Cazul b: Excentricitatea mica : e −→ 0, GD −→ LD si ρ2, σ2 −→ 0. Argu-mentul pericentrului (gD = ω) devine nedefinit pentru acest caz , dar acest lucru nuconteaza deoarece gD apare numai ın suma gD + hD prin elementul σ1.

Capitolul 5

Functiile astrodinamicefundamentale f si g

In acest capitol vom prezenta solutia problemei celor doua corpuri reprezentataıntr-un sistem de coordonate carteziene inertial .

Pentru obtinerea unei solutii este suficient sa reducem problema celor doua cor-puri la sase integrale independente de miscare . In cele mai multe aplicatii practiceeste util sa avem solutii ın coordonate carteziene inertiale. Vom considera solutiile

din Capitolul 4 exprimate prin versorii→iP ,

→iQ,

→ic pentru a ajunge la solutii de forma

−→r = −→rof +.−→ro g

.−→r = −→ro

.

f +.−→ro g

unde f , g ,.

f si.g sunt functii care depind de conditii initiale si de timp.

5.1 Determinarea functiilor f si g

Am aratat ın capitolul anterior ca vectorii de pozitie si viteza pot fi exprimate

ın sistemul planului orbital definit de vectorii unitate−→iP ,−→iQ si

−→ic prin expresiile

−→r = l−→iP + m

−→iQ (5.1.1)

55

56 CAPITOLUL 5. FUNCTIILE ASTRODINAMICE FUNDAMENTALE

.−→r =.

l−→iP +

.m−→iQ. (5.1.2)

Functiile l, m ,.

l si.m sunt date ın ecuatiile (4.2.1) si (4.2.6) functie de anomalia

adevarata

l = r cos φ (5.1.3)

m = r sin φ (5.1.4)

l = −√

µ

psin φ (5.1.5)

m =

√µ

p(e + cos φ). (5.1.6)

Alta multime de astfel de functii sunt date ın ecuatiile (4.3.7) si (4.3.8) ıntermenii anomaliei excentrice:

l = a(cos E − e) (5.1.7)

m =√

ap sin E (5.1.8)

l = −√

µa

rsin E (5.1.9)

m =

√µp

rcos E. (5.1.10)

Vom arata ca ecuatiile (5.1.1) si (5.1.2) pentru −→r si.−→r pot fi transformate

ıntr-o solutie cu conditiile initiale −→r0 ,.−→r0 si t0. La timpul initial t0, ecuatiile (5.1.1)

si (5.1.2) devin

−→r0 =−→l0−→iP +−→m0

−→iQ (5.1.11)

5.1. DETERMINAREA FUNCTIILOR F SI G 57

.−→r0=.

l0−→iP +

.m0

−→iQ. (5.1.12)

In cele ce urmeaza vom rezolva ecuatiile (5.1.11) si (5.1.12) pentru a afla versorii−→iP si

−→iQ.

−→r0 = x0−→i + y0

−→j + z0

−→k

.−→r0= x0−→i + y0

−→j + z0

−→k

−→ip = Px

−→i + Py

−→j + Pz

−→k

−→iQ = Qx

−→i + Qy

−→j + Qz

−→k

unde

Px =−→i · −→iP , Py =

−→j · −→iP , Pz =

−→k · −→iP

Qx =−→i · −→iQ, Qy =

−→j · −→iQ, Qz =

−→k · −→iQ.

Pentru componenta x, ecuatiile (5.1.11) si (5.1.12) devin:

x0 = l0Px + m0Qx

.x0=

.

l0 Px+.

m0 Qx (5.1.13)

sau ın notatie matriciala

(xo.

xo

)=

(lo mo.

lo.

mo

) (Px

Qx

). (5.1.14)

Din ecuatia (5.1.14) gasim ca

(Px

Qx

)=

1

∆

( .mo −mo

.

lo − lo

)(xo.

xo

)

sau


Px =1

∆(

.mo xo −mo

.xo) (5.1.15)

Qx =1

∆(−

.

lo xo + lo.

xo) (5.1.16)

unde determinantul matricii este

∆ = lo.

mo −mo

.

lo .

Analog vom obtine si componentele dupa y si z.

Din ecuatiile (5.1.14) si (5.1.15) gasim ca

−→iP =

1

∆(

.mo

−→ro −mo

.−→ro ) (5.1.17)

−→iQ =

1

∆(− .

lo−→ro + lo

.−→ro ). (5.1.18)

Pentru a determina pe ∆ vom folosi expresia momentului cinetic, ecuatiile

(5.1.11) si (5.1.12) si tinand seama ca−→iP ×−→iP = 0 si

−→iQ ×−→iQ = 0, obtinem

−→c = lo.mo (

−→iP ×−→iQ)−mo

.

lo (−→iQ ×−→iP ).

Daca−→iQ ×−→iP =

−→ic avem

−→c = (lo.mo −mo

.

lo)−→ic = c · −→ic . (5.1.19)

Decic = ∆ = l0

.m0 −m0l0 =

√µp. (5.1.20)

Ecuatiile (5.1.17) si (5.1.18) devin

−→iP =

1√µp

(.mo

−→ro −mo

.−→ro ) (5.1.21)

−→iQ =

1√µp

(− .

lo−→ro + lo

.−→ro ). (5.1.22)

Introducand ecuatiile (5.1.21), (5.1.22) ın ecuatiile (5.1.1) , (5.1.2) gasim pen-tru vectorul de pozitie −→r urmatoarea expresie

5.1. DETERMINAREA FUNCTIILOR F SI G 59

−→r =1√µp

[l(.mo

−→ro −mo

.−→ro ) + m(− .

lo−→ro + lo

.−→ro )]

sau sub forma echivalenta

−→r =1√µp

(l.

mo −m.

lo)−→ro +

1√µp

(−l mo + m lo).−→ro . (5.1.23)

Putem obtine vectorul viteza.−→r ıntr-o maniera similara ınlocuind

−→iP si

−→iQ ın

ecuatia (5.1.2) a lui.−→r .

Un procedeu mai simplu este sa derivam ın raport cu timpul expresia (5.1.23)

.−→r =1√µp

(.

l.

mo − .m

.

lo)−→ro +

1√µp

(− .

l mo+.m lo)

.−→ro . (5.1.24)

Introducem functiile

f =1√µp

(l.mo −m

.

lo) (5.1.25)

g =1√µp

(−l mo + m lo) (5.1.26)

si derivatele lor

.

f=1√µp

(.

l.mo −m

.

lo) (5.1.27)

.g=

1√µp

(−l.mo +

.m lo). (5.1.28)

Tinand seama de ecuatiile (5.1.25) - (5.1.28) ın expresiile lui −→r si.−→r (5.1.23)

si (5.1.24) obtinem :

−→r = f −→ro + g.−→ro (5.1.29)

.−→r =.

f −→ro+.g

.−→ro . (5.1.30)

Din expresia momentului cinetic


−→r ×.−→r = −→c

tinınd seama ca −→ro ×−→ro = 0 si.−→ro ×

.−→ro= 0, obtinem

−→c = f.g (−→ro×

.−→ro ) + g.

f (.−→ro ×−→ro ).

Cum

−→c = −→r ×.−→r = −→ro×

.−→ro= constant

−→c = (f.g −g

.

f)−→c (5.1.31)

obtinem urmatoarea relatie importanta

fg − gf = 1. (5.1.32)

5.2 Functiile f si g - ın functie de anomalia adevarata

Inlocuim functiile l, m,.

l si.m , date ın ecuatiile (5.1.3)-(5.1.6), ın ecuatiile

(5.1.25)-(5.1.28) pentru f, g,.

f ,.g. Ecuatia (5.1.25) devine

f =1√µp

(l.mo −m

.

lo) =

=1√µp

[(r − cos φ)︸︷︷︸√

µ

p(e + cos φo)

︸︷︷︸− (r sin φ)︸︷︷︸ (−

√µ

psin φo)

︸︷︷︸]

l.

mo m.

lo

f =r√µp

√µ

p[cos φ(e + cos φo) + sin φ sin φo]

f =r

p[e cos φ + cos φ cos φo + sin φ sin φo].

5.2. FUNCTIILE F SI G - IN FUNCTIE DE ANOMALIA ADEVARATA 61

Am aratat ca

r =p

1 + e cos φ

unde

e cos φ =p

r− 1.

Ecuatia (5.1.25) ia urmatoarea forma simplificata

f =r

p[p

r− 1 + cos(φ− φo)].

Folosind notatia

∆φ = φ− φo, (5.2.1)

ecuatia pentru f devine

f = 1− r

p(1− cos ∆φ). (5.2.2)

Pentru g vom ınlocui ecuatiile (5.1.3) si (5.1.4) ın ecuatia (5.1.26)

g =1√µp

(−lmo + mlo) = [−r cos φ︸︷︷︸ ro sin φo︸︷︷︸ + r sin φ︸︷︷︸ ro cos φo︸︷︷︸] ·1√µp

l mo m lo

=rro√µp

(sin φ cos φo − cos φ sin φo).

Vom obtine pentru g urmatoarea expresie

g =rro√µp

sin ∆φ. (5.2.3)

Tinand seama de ecuatiile (5.1.3) - (5.1.6) ın (5.1.28) obtinem


g =1√µp

(− .

l mo+.m lo) =

=1√µp

[− (−√

µ

psin φ)

︸︷︷︸ro sin φo︸︷︷︸ +

√µ

p(e + cos φ)

︸︷︷︸ro cos φo︸︷︷︸ ] =

.

lo m m lo

=ro√µp

√µ

p[sin φ sin φo + cos φ cos φo + e cos φo] =

ro

p[cos(φ− φo) + e cos φo].

Tinand seama de relatia

e cos φo

=p

ro

− 1

obtinem

g = 1− ro

p(1− cos ∆φ). (5.2.4)

Pentru a obtine o expresie pentru f vom ınlocui ecuatiile (5.2.3) - (5.2.4) ın(5.1.32)

−g.

f= 1− [1− r

p(1− cos ∆φ)][1− ro

p(1− cos ∆φ)]

sau

−.

f=

√µp

rro sin ∆φ· 1− cos ∆φ

p[r + ro − rro

p(1− cos ∆φ)].

In final obtinem pentru f expresia :

.

f=

√µ

p(1− cos ∆φ

sin ∆φ)[

1

p(1− cos ∆φ)− 1

ro

− 1

r]. (5.2.5)

Rezumand, functiile f, g ,.

f si.g ın functii de anomalia adevarata φ sunt

f = 1− r

p(1− cos ∆φ) (5.2.6)

5.3. FUNCTIILE F SI G IN FUNCTIE DE ANOMALIA EXCENTRICA 63

g =rro√µp

sin ∆φ (5.2.7)

.g= 1− ro

p(1− cos ∆φ) (5.2.8)

f =

√µ

p(1− cos ∆φ

sin ∆φ)[

1

p(1− cos ∆φ)− 1

ro

− 1

r]. (5.2.9)

5.3 Functiile f si g ın functie de anomalia excen-

trica

Inlocuim functiile l,m,.

l si.m, date ın ecuatiile (5.1.3) - (5.1.6), ın ecuatia

(5.1.25) pentru f .

f =1√µp

(l.mo −m

.

lo)

=1√µp

[a(cos E − e)

√µp

ro

· cos Eo −√ap sin E · (−√

µp

ro

sinEo) ] =

=a

ro

[(cos E − e) cos Eo + sin E sin Eo]

=a

ro

[−e cos Eo + cos E cos Eo + sin E sin Eo].

Din relatia

ro = a(1− e cos Eo)

obtinem

e cos Eo = 1− ro

a.

Astfel ecuatia (5.1.25) capata urmatoarea forma simplificata:


f =a

ro

[ro

a− 1 + cos(E − Eo)]. (5.3.1)

Folosim notatia

∆E = E − Eo (5.3.2)

ecuatia pentru f devine

f = 1− a

ro

(1− cos ∆E). (5.3.3)

Derivand ecuatia (5.3.3) vom obtine ecuatia pentru f

.

f=a

ro

d

dt(cos ∆E) = − a

ro

sin ∆EdE

dt.

Tinand seama de relatia (4.3.5)

dE

dt=

√µa

r

ecuatia ın f devine

f = −√

µa

rro

sin ∆E. (5.3.4)

Inlocuind ecuatiile (5.1.3) - (5.1.10) ın ecuatia (5.1.28) gasim pentru g

.g=

1√µp

(−lmo + mlo) =1√µp

[

√µa

rsin E

√ap sin Eo +

√µp

rcos Ea (cos Eo − e)]

=1√µp

a√

µp

r[sin E sin Eo + cos E cos Eo − e cos E]

sau

.g= 1− a

r(1− cos ∆E). (5.3.5)

Pentru a obtine o expresie pentru g , vom integra ecuatia (5.3.5) sub forma

dg

dt

dt

dE= [1− a

r(1− cos ∆E)]

dt

dE.


tinand seama de relatia (5.3.3) obtinem

dg

dE=

dt

dE− a

r(1− cos ∆E)

√a

µr

sau

dg = dt−√

a3

µ(1− cos ∆E)dE. (5.3.6)

Deoarece

dE = d(E − E0) = d(∆E)

putem integra ecuatia (5.3.6) si obtinem

g = t−√

a3

µ(∆E − sin ∆E) + o constanta. (5.3.7)

Pentru a evalua constanta, avem nevoie de valorile initiale ale lui g.

Deoarece

−→r = f−→ro + g.−→ro

la t = t0 avem ca −→r = −→ro

f(t0) = 1

g(t0) = 0

E = E0 .

Astfel ecuatia (5.3.7) la t = t0 devine

g(to) = 0 = to + o constanta

de unde

constanta = −to.


Ecuatia (5.3.7) va deveni

g = t− to −√

a3

µ(∆E − sin ∆E). (5.3.8)

Rezumand, functiile f, g,.

f si.g ın fuctie de anomalia excentrica sunt

f = 1− a

ro

(1− cos ∆E) (5.3.9)

f = −√

µa

rro

sin ∆E (5.3.10)

g = t− to −√

a3

µ(∆E − sin ∆E) (5.3.11)

g = 1− a

r(1− cos ∆E). (5.3.12)

Tinand seama de relatia (5.3.5) si de ecuatia

r = a(1− e cos E)

obtinem ca

dt =

√a3

µ(1 + e cos E) dE. (5.3.13)

Integrand relatia (5.3.13)

∫ t

t0

dτ =

√a3

µ

∫ E

E0

(1− e cos ε) dε

gasim

t− to =

√a3

µ[E − Eo︸︷︷︸−e(sin E − sin Eo)]. (5.3.14)

∆E


Din urmatoarea identitate trigonometrica

sin E = cos Eo sin (E − Eo)︸︷︷︸ + sin Eo cos (E − Eo)︸︷︷︸∆E ∆E

obtinem

e(sin E − sin Eo) = e[cos Eo sin ∆E + sin Eo cos ∆E − sin Eo]

= (e cos Eo) sin ∆E + (e sin Eo)(cos ∆E − 1). (5.3.15)

Deoarece

e cos Eo = 1− ro

a

e sin Eo =−→ro · −→ro√

µa

ecuatia (5.3.15) devine

e(sin E − sin Eo) = (1− ro

a) sin ∆E −

−→ro

.

·−→ro√µa

(1− cos ∆E).

Inlocuind acest rezultat ın ecuatia (5.3.14) obtinem

t− to =

√a3

µ[∆E − (1− ro

a) sin ∆E +

−→ro ·.−→ro√

µa(1− cos ∆E)]. (5.3.16)

Aceasta este ecuatia lui Kepler ın raport cu timpul t si anomalia excentrica∆E.

Din ecuatia

r =

√µ

a

dt

d(∆E)

unde am folosit ecuatia


d(∆E) = a(E − Eo) = dE

si din ecuatia precedenta, gasim ca

r = a[1− (1− ro

a) cos ∆E +

−→ro ·.−→ro√

µasin ∆E].

Observam ca ın ecuatia (5.3.17) apare numai un singur element orbital (semi-axa mare) si singura restrictie este ca orbita sa fie eliptica (a > 0).

5.4 Functiile f si g - ın functie de variabilele uni-

versale

Scopul acestui paragraf este acela de a exprima functiile f si g printr-o nouavariabila valabila pentru toate orbitele .

Vom prezenta cateva considerente referitoare la functiile Stumpff necesarestudiului nostru .

Functiile Stumpff sunt date de seriile

cn(z) =∞∑

k=0

(−1)k zk

(2k + n)!

unde n = 0, 1, 2, 3, ... .

Fie z = αjs2, atunci primi termeni c0, c1si c2 sunt

c0 = c0(z) =

cos√

z αj > 0ch√−z αj < 0

1 αj = 0

c1 = c1(z) =

sin√

z√z

αj > 0sh√−z√−z

αj < 0

1 αj = 0

c2 = c2(z) =

(1−cos√

z)z

αj > 0(ch√−z−1)−z

αj < 012

αj = 0.

5.4. FUNCTIILE F SI G - IN FUNCTIE DE VARIABILELE UNIVERSALE 69

Observam ca aceasta clasa de serii infinite reprezinta ımpreuna atat functiitrigonometrice (α > 0) cat si functii hiperbolice (α < 0). Cazul functiilor parabolice(α = 0) este deasemenea inclus, deoarece

cn(0) =1

n!.

Din definitie observam ca

cn(z) + zcn+2(z) =1

n!.

Functiile Stumpff au o formula de derivare convenabila.

De exemplu,

2zdcn(z)

dz= cn−1(z)− ncn(z) , n > 0

si

dcn(z)

dz=

1

2[ncn+2(z)− cn+1(z)] , n ≥ 0 .

In cazul cınd z = αs2 avem

dz

ds= 2αs

si formula pentru prima derivata devine

2αs2dcn(αs2)

dz

dz

ds= [cn−1(αs2)− ncn(αs2)]2αs

sau

sdcn(αs2)

dz= cn−1(αs2)− ncn(αs2).

Formula derivatei a doua devine

dcn(αs2)

dz

dz

ds=

1

2[ncn+2(αs2)− cn+1(αs2)]2αs

sau


dcn(αs2)

dz= αs[ncn+2(αs2)− cn+1(αs2)].

Daca privim pe αs2 ca argument al functiei Stumpff si notam cu

()′= d

dsatunci aceste doua ecuatii ale derivatelor devin:

sc′n = cn−1 − ncn , n > 0

c′n = αs(cn+2 − cn+1) , n ≥ 0.

De asemenea avem urmatoarea identitate pentru integrare

∫skck(ρs2)ds = sk+1ck+1(ρs2).

Cateva dintre aceste integrale sunt

c20(z) + zc2

1(z) = 1

c20(z)− zc2

1(z) = c0(4z)

c20(z) = 1− 2zc2(4z)

c21(z) = 2c2(4z)

c1(4z) = c20(z)c1(z).

Vom introduce functiile S(z) si C(z) definite precum urmeaza:

S(z) =1

3!− z

5!+

z2

7!− ... , (5.4.1)

pentru z > 0 avem

S(z) =

√z − sin

√z

(√

z)3

iar pentru z < 0 avem

S(z) =sh√−z −√−z

(√−z)3

;


pentru z > 0 avem

C(z) =1

2!− z

4!+

z2

6!− ... (5.4.2)

sau

C(z) =1− cos

√z

z

iar pentru z < 0 avem

C(z) =ch√−z − 1

−z.

Din considerentele teoretice precedente referitoare la functiile Stumpff ob-servam ca:

S(z) = c3(z)

C(z) = c2(z)

dC(z)

dz=

1

2z(1− zS(z)− 2C(z))

dS(z)

dz=

1

2z(C(z)− 3S(z)).

Vom introduce functiile S(z) si C(z) ın expresiile functiilor f, g, f si g date ınecuatiile (5.3.8) - (5.3.12) ca si ın ecuatia lui Kepler (5.3.16).

In aceste ecuatii vom introduce functiile trigonometrice sin ∆E si cos ∆E.

Utilizand dezvoltarea ın serie a functiei cos ∆E

cos ∆E = 1− (∆E)2

2!+

(∆E)4

4!− (∆E)6

6!+ ... (5.4.3)

vom defini variabila auxiliara prin expresia

∆E =√

αo · x (5.4.4)

sau


x =∆E√

αo

.

Am notat cu

αo =1

a

a fiind semiaxa mare.

Observam ca αo > 0 pentru orbitele eliptice, αo < 0 pentru orbitele hiperbolicesi αo = 0 pentru orbitele parabolice.

Expresia (5.4.3) a lui cos ∆E ın x tinand seama de (5.4.4) devine:

cos ∆E = 1− αox2

2!+

α2ox

4

4!− α3

ox6

6!+ ...

sau dand factor comun pe αox2 avem:

cos ∆E = 1− αox2[

1

2!− αox

2

4!+

α2ox

4

6!− ...].

Tinınd seama de expresia (5.4.2) a lui C(z) obtinem

cos ∆E = 1− αox2C(αox

2). (5.4.5)

Acelasi procedeu ıl vom folosi si pentru sin ∆E

sin ∆E = ∆E(1− (∆E)2

3!+

(∆E)4

5!− (∆E)6

7!+ ...) (5.4.6)

sau

sin ∆E = ∆E(1− (∆E)2[1

3!+

(∆E)2

5!− (∆E)4

7!+ ...]).

Tinand seama de (5.4.5) ecuatia (5.4.6) devine

sin ∆E =√

αox(1− αox2[

1

3!+

(∆E)2

5!− (∆E)4

7!+ ...]).

sau folosind expresia (5.4.1) a lui S(z)


sin ∆E =√

αox[1− αox2S(αox

2)]. (5.4.7)

Inlocuind ecuatia (5.4.5) ın ecuatia (5.3.3) avem urmatoarea ecuatie

f = 1− x2

ro

C(αox2). (5.4.8)

Similar, din ecuatia (5.3.4) si ecuatia (5.4.6)

f = −√

µa

rro

sin ∆E.

Din ecuatiile (5.3.5) si (5.4.5) obtinem

f = −√

µa

rro

[αox

3S(αox

2)− x

]. (5.4.9)

Din ecuatiile (5.3.5) si (5.4.5) obtinem ecuatia lui g

g = 1− x2

rC(αox

2).

Din ecuatiile (5.3.8) si (5.4.6) avem urmatoarea ecuatie

g = t− to − 1√µ

x3S(αox2). (5.4.10)

Rezumand functiile f, g,.

f si.g exprimate cu variabilele universale sunt:

f = 1− x2

ro

C(αox2). (5.4.11)

.

f=

√µ

rro

[αox3S(αox

2)− x] (5.4.12)

g = t− to − 1√µ

x3S(αox2) (5.4.13)

g = 1− x2

rC(αox

2). (5.4.14)


Ecuatia lui Kepler (5.3.16) tinand seama de ecuatiile (5.4.5) si (5.4.6) devine:

t− to =1√µα3

o

[α32o x3S(αox

2) + roαo

√αox(1− αox

2S(αox2))+

+

√αo

µ(−→ro ·

.−→ro )αox2C(αox

2)]

sau

√µ(t− to) =

−→ro

.−→ro√µa

x2C(αox2) + x3S(αox

2)(1− roαo) + rox. (5.4.15)

Din expresia lui r functie de anomalia excentrica tinand seama de (5.4.5) si(5.4.7) obtinem

r = a[1− (1− ro

a) cos ∆E +

−→ro

.−→ro√µa

sin ∆E]

=1

αo

[αox2C(αox

2) + roαo(1− αox2C(αox

2))+

+−→ro

.−→ro

√αo

µ

√αox(1− αox

2S(αox2))]

sau

r = ro + x2C(αox2)(1− roαo) +

−→ro

.−→ro√µ

x(1− αox2S(αox

2)).

Alternativ, putem obtine ecuatia pentru distanta r ın variabile universalefolosind expresia lui r functie de anomalia excentrica asa cum am facut ın para-graful precedent

r =

√µ

a· dt

d(∆E).

Deoarece

5.5. FUNCTIILE F SI G IN FUNCTIE DE TIMP 75

∆E =√

αox

obtinem

r =√

µαo · dt

d(√

αox)=√

µdt

dx. (5.4.17)

Ecuatiile (5.4.11)-(5.4.15) reprezinta solutia problemei celor doua corpuri subforma

−→r = f−→ro + g.−→ro

.−→r =.

f −→ro+.g

.−→ro .

Desi ea fost obtinuta pentru orbitele eliptice (αo > 0) se poate arata ca esteadevarata si de asemenea pentru orbite parabolice (αo = 0) si hiperbolice (αo < 0).

5.5 Functiile f si g ın functie de timp

Functiile f si g pot fi considerate si ca functii explicite de timp. Daca ınlocuimecuatiile (5.1.29) si (5.1.30) ın ecuatia diferentiala a miscarii a problemei celor douacorpuri vom obtine doua ecuatii diferentiale scalare

f + qf = 0 (5.5.1)

g + qg = 0. (5.5.2)

Am introdus functia

q =µ

r3(5.5.3)

pentru care obtinem ecuatia diferentiala:


r.q +3q

.r= 0. (5.5.4)

Ecuatia diferentiala pentru distanta r este

..r=

c2

r3− µ

r. (5.5.5)

Folosind definitia pentru q ecuatia diferentiala (5.5.5) devine

..r= q(

c2

µ− r). (5.5.6)

Dezvoltam ın serie Taylor ın functie de timp functiile f, g, q si distanta r

f =∞∑

n=0

an(t− to)n (5.5.7)

g =∞∑

n=0

bn(t− to)n (5.5.8)

q =∞∑

n=0

cn(t− to)n (5.5.9)

r =∞∑

n=0

dn(t− to)n. (5.5.10)

Inlocuim cele patru serii date de ecuatiile (5.5.7)-(5.5.8) ın cele patru ecuatiidiferentiale (5.5.1), (5.5.2), (5.5.4) si (5.5.5) si identificand coeficientii an,bn,cn,dn,vom gasi dupa calcule lungi dar elementare urma-

toarele formule de recurenta

dn+2 =1

(n + 1)(n + 2)(c2

µcn −

n∑

k=0

cn−kdk) (5.5.11)

cn = − 1

ndo

(3condn +n−1∑

k=1

k(3cn−kdk + ckdn−k) (5.5.12)

5.5. FUNCTIILE F SI G IN FUNCTIE DE TIMP 77

an+2 =−1

(n + 1)(n + 2)

n∑

k=0

ckan−k (5.5.13)

bn+2 =−1

(n + 1)(n + 2)

n∑

k=0

ckbn−k. (5.5.14)

Valorile initiale pentru coeficienti sunt

f(to) = ao = 1

f(to) = a1 = 0

g(to) = bo = 0

g(to) = b1 = 1

q(to) = co =µ

r3o

r(to) = do = ro

r(to) = d1 = ro.

Avantajul solutiilor astfel obtinute pentru −→r si.−→r este acela ca nu este necesar

sa rezolvam ecuatia lui Kepler.

Capitolul 6

Pamantul − corp ceresc

Sfericitatea Pamantului este dovedita prin mai multe fapte, dintre careamintim:

Ã forma circulara a orizontului aparent si cresterea razei lui cu altitudineaobservatorului

Ã variatia ınaltimii Polului lumii, daca observatorul se deplaseaza, spre nordsau spre sud, de-a lungul unui meridian geografic

Ã forma circulara a umbrei Pamantului pe discul Lunii ın timpul eclipselorde Luna

Ã fotografiile Pamantului obtinute din Cosmos cu ajutorul rachetelor si sateliti-lor artificiali

Sfericitatea Pamantului permite determinarea dimensiunilor lui. Fie douapuncte O1 si O2 doua puncte ale globului terestru, situate pe acelasi meridian ge-

ografic. Notand cu l lungimea arcului de meridian_

O1O2 (ın km de exemplu), cun0 valoarea unghiulara a acestui arc (ın grade de exemplu), iar cu R raza globuluiterestru, atunci rezulta usor:

R =1800l

πn0

unde n0 este egala cu diferenta latitudinilor geografice ale punctelor O1 si O2:

n0 = φ1 − φ2

Aceasta metoda simpla a fost folosita pentru prima data de catre Eratostene(276-195 i.e.n.).

79

80 CAPITOLUL 6. PAMANTUL − CORP CERESC

O

O

1

2

n

e

n

Figura 6.1: Determinarea razei globului terestru

Mult mai complicata este determinarea distantei liniare l dintre punctele O1 si O2.Metoda folosita este una indirecta numita triangulatie. A fost aplicata pentruprima data de catre W.Snellius ın 1615. Aceasta metoda consta din: alegerea,de o parte si de alta a arcului de cerc pe care dorim sa-l masuram, mai mul-tor puncte (A,B, C,D, ....), la distante de 30-40km unul de celalalt. Punctele sealeg astfel ca din fiecare sa fie vizibile cel putin doua puncte. In toate punctele sefac constructii speciale, numite semnale geodezice. Se alege una din laturi dreptbaza (de exemplu O1A), mai departe se masoara numai unghiurile din triunghiurileO1AB, ABC, BCD, .... Cunoscand in reteaua de triunghiuri o latura (baza) si toateunghiurile putem calcula lungimea liniei poligonale O1BDO2 (sau O1ACEO2). Tre-buie tinut cont de faptul ca triunghiurile nu sunt plane ci sferice. Determinandazimutul directiei laturii O1A (sau O1B),liniile poligonale de mai sus pot fi proiec-tate pe meridianul O1O2 adica se poate obtine lungimea arcului O1O2 ın unitatiliniare.In temeiul unor consideratii teoretice bazate pe legea atractiei universale, Newtona aratat ca, ın urma rotatiei sale, Pamantul, ca de altfel toate planetele, trebuie saaiba forma unui sferoid (elipsoid de revolutie), turtit la poli. Turtirea se definesteastfel:

ε =a− b

a

unde: a - semiaxa ecuatoriala si b - semiaxa polara a sferoidului.

In 1964, Uniunea Astronomica Internationala a adoptat urmatoarele valori aleelementelor elipsoidului terestru: a = 6378,16km; b = 6356,78km.

Forma adevarata a Pamantului nu poate fi reprezentata exact prin nici una din

6.1. CELE TREI LATITUDINI GEOGRAFICE 81

O

B

D

O

A

E

C

1

2

Figura 6.2: Triangulatia

suprafetele matematice cunoscute. De aceea vorbind de forma Pamantului se are ınvedere nu forma fizica a suprafetei terestre, cu oceane si continente, ci asa-numitasuprafata a geoidului.

Se numeste geoid acea suprafata de nivel (o suprafata la care normalele ınorice punct ale ei sunt verticale) a carei parte vizibila coincide cu suprafata neagi-tata a oceanelor; prelungind suprafata oceanelor sub continente, obtinem suprafataıntregului geoid.

Astfel deosebim trei suprafete ale Pamantului:

− suprafata fizica, asa cum ne apare cu formele de relief; pe ea se fac masurarileterestre;

− suprafata hidrostatica sau geoidul, suprafata oceanelor prelungita pe subcontinente; la ea se reduc masurarile terestre;

− suprafata matematica de referinta, adica suprafata elipsoidului terestru; peea se reprezinta masurarile terestre.

Problema determinarii formei si dimensiunilor exacte ale Pamantului se rezolvaastazi prin masurari geodezice pe suprafata Pamantului (geodezia superioara), prinstudiul miscarii satelitilor artificiali ai Pamantului(geodezie cosmica) si prin deter-minarea fortei de gravitatie la suprafata Pamantului (gravimetrie).

6.1 Cele trei latitudini geografice

In cazul Pamantului elipsoidal se pot definii trei latitudini geografice diferite (lon-gitudinea ramane aceeasi ca ın cazul Pamantului sferic). Astfel avem:

− latitudine astronomica (φ =≮ OT1q) care este unghiul dintre directia verti-


calei punctului considerat (O) si planul ecuatorului terestru (qq′);

− latitudine geocentrica (φ′ =≮ OTq) care este unghiul dintre raza vectoarea punctului O si acelasi plan al ecuatorului terestru;

− latitudinea geodezica (φ1 =≮ OT2q) care este unghiul dintre normala laelipsoid ın punctul considerat si acelasi plan al ecuatorului terestru.

Direct din observatii astronomice se determina numai latitudinea astronomica.In problemele de astronomie nu se face distinctie ıntre latitudinea geodezica si ceaastronomica (φ1 ' φ).

Putem vorbi de elipsa meridiana (elipsa cuprinsa ıntre doua cercuri concentricetangente, unul exterior cu raza a si altul interior cu raza b)

x2

a2+

y2

b2= 1, (x, y) ∈ R2

O putem reprezenta parametric ın functie de φ prin ecuatiile:

x =a cos φ√

1− e2 sin2 φ, y =

a (1− e2) sin φ√1− e2 sin2 φ

, φ ∈[−π

2,π

2

]

l = a(1− e2

) ∫ φ2

φ1

dφ

(1− e2 sin2 φ

)3

2

,

l− lungimea arcului de meridian cuprinsa ıntre punctele φ1(x) si φ2(x)

j j j1

T T T1 2

a

b

y

xq

p

p

q

O

Figura 6.3: Cele trei suprafete terestre

6.2. VARIATIA FORTEI DE GRAVITATIE 83

6.2 Variatia fortei de gravitatie la suprafata

Pamantului

Studiind problema formei Pamantului ın legatura cu rotatia lui, Newton a demon-strat ca forta de gravitatie trebuie sa se micsoreze continuu de la polii Pamantuluispre ecuator. S-a stabilit ca valorile acceleratiei de gravitatie pot fi reprezentate prinformula:

gφ = g0 + (g90 − g0) sin2 φ, g90 − g0 = 983, 2− 978, 0 = 5, 2cm/s2

O utilizare a masurarilor gravimetrice este studiul anomaliilor fortei de gravitatie,adica al abaterilor acceleratiei gravitationale de la valorile sale medii. Anomaliilelocale ale fortei de gravitatie pun ın evidenta, daca sunt pozitive, existenta unorzacaminte minerale, iar daca sunt negative zacaminte de sare gema.

6.3 Masurarea masei si densitatii medii a

Pamantului

Rezultate destul de precise ın determinarea masei Pamantului se obtin prin metodecare, ın esenta se reduc la determinarea constantei gravitationale G.

G = 6, 67 · 10−8cm3g−1s−2 = 6, 67 · 10−11Nm2kg−2

Luand pentru valoarea medie a razei Pamantului R = 6371km si pentru val-oarea medie a acceleratiei fortei de gravitatie g = G9, 81m/s2 formula

g =M⊕R2

ne da masa Pamantului:

M⊕ = 5, 98 · 1027g ' 6 · 1027g = 6 · 1024kg.

Cunoscand masa Pamantului si volumul lui putem calcula si densitatea samedie (5, 52g/cm3). Densitatea creste de la suprafata spre interior.


6.4 Structura Pamantului

1. Atmosfera − este regiunea din jurul Pamantului ın care acesta constituie ”orga-nizatorul” principal al miscarii tuturor particulelor interplanetare. Din acest punctde vedere putem distinge doua parti:

(a) prima (pana la 2000km ınaltime), ın care este preponderent campul gravific

− Atmosfera neutra este formata din atomi si molecule ın stare neutra:

− Troposfera (pana la ınaltimea de 13km)

− Stratosfera (pana la ınaltimea de25km)

− Mezosfera (ıntre 85-90km)

− Ionosfera se compune din electroni si ioni proveniti din ionizarea aeruluirarefiat sub actiunea razelor ultraviolete si X ale Soarelui. Partea sa inferioara estetermosfera. In ionosfera, electronii liberi au rolul foarte important de a reflectaundele radio;

− Exosfera se ıntinde ıntre 700-2000km si este caracterizata printr-o densitatefoarte mica.

(b) a doua parte ın care este preponderent campul magnetic terestru, de la2000km pana la cateva zeci de raze terestre (se numeste magnetosfera)

− Magnetosfera. Aici particulele au nu numai o agitatie termica ci sunt supusesi campului magnetic terestru. Magnetosfera se ıntinde pana la 50000km de parteaSoarelui si zeci de raze terestre ın partea opusa. In interiorul magnetosferei suntdoua centuri de radiatii (ale lui Van Allen)

Prima centura (interna) are densitatea maxima la o distanta de 1,5 raze tere-stre, continuand cu o populatie foarte stabila de protoni energetici, neutroni cosmicireflectati si ıncetiniti de atmosfera ınalta.

A doua centura (exterioara) este populata de particule energetice provenitedin coroana solara, atingand un un maxim al radiatiei la 19000km de suprafataPamantului.

Dincolo de magnetosfera se ıntinde coroana solara, care prin curgerea de pro-toni si electroni numita vant solar, delimiteaza atmosfera terestra.

Densitatea atmosferei (ρ) descreste foarte repede cu ınaltimea (h). Variatiadensitatii respecta aproximativ legea exponentiala:

ρ ∼ exp

(− h

H

)

6.4. STRUCTURA PAMANTULUI 85

unde H se numeste scara ınaltimilor.

Presiunea atmosferica la suprafata terestra este aceea a unei coloane de mercurcu ınaltimea de 76 cm. Aceasta scade de asemenea repede cu ınaltimea.

Compozitia chimica a atmosferei se prezinta astfel:

N2 : 78%, O2 : 21%, Ar : 0, 934%,CO2 : 0, 034%, vapori deH2O : 0− 2%, H2 : 5 · 10−5%

Atmosfera produce o serie de efecte cu consecinte astronomice:

− absoarbe radiatii, reducand stralucirea corpurilor ceresti (25%)

− exercita o absorbtie selectiva

− schimba directia razelor de lumina si deformeaza imaginile (efectelerefractiei astronomice)

Crepusculul este perioada scaderii treptate a luminii zilei dupa apusul Soare-lui (crepuscul de seara), respectiv perioada slabirii treptate a ıntunericului noptiiınainte de rasaritul Soarelui (crepuscul de dimineata). Fenomenul se produce dincauza difuziei luminii ın straturile atmosferice situate deasupra orizontului obser-vatorului. Se deosebesc crepuscule civile si astronomice. Crepusculul civil de searaıncepe ın momentul apusului Soarelui si se sfarseste atunci cand Soarele coboara la6 grade sub orizont (pe cer se observa numai stelele cele maistralucitoare). Crepusculul civil de dimineata se produce simetric, ın ordine inversa.Crepusculul astronomic de dimineata si de seara dureaza mult mai mult, ıntrucatse considera ca sfarsitul (sau inceputul) crepusculului are loc cand centrul Soareluise afla la 18 grade sub orizont. Din acest moment ıncepe noaptea propriu-zisa (ıncazul crepusculului de seara) si pe cer se vad si stelele mai putin stralucitoare. Lalatitudinea geografica (φ = 60033′) ın ziua solstitiului de vara, ınaltimea Soareluiın culminatia inferioara (miezul noptii) esteh¯ = −60. Deci la aceasta latitudine ın ziua solstitiului de vara sfarsitul crepus-culului civil de seara coincide cu ınceputul crepusculului civil de dimineata, adicacrepusculul civil dureaza toata noaptea; acesta este fenomenul noptilor albe.

2. Hidrosfera − este formata din totalitatea apei (dulce sau sarata) careacopera ın mod discontinuu aproape 75% din suprafata solida a Pamantului.Adancimea sa medie este de 4 km, ınsa poate ajunge si la 10 km.

3. Biosfera − este totalitatea materiei organice, vii sau moarte.

4. Litosfera − sau scoarta terestra este stratul superficial cu o grosime mediede 40km. Masa ei este ın medie 0,7% din cea a Pamantului.

5. Interiorul Pamantului

− mantaua terestra (pana la 3000 km adancime)


− interiorul adanc, pentrul studiul caruia se recurge la undele seismice – undelongitudinale (P = primare,compresiune)

− unde transversale (S = secundare, distorsie)

− nucleu

6.5 Miscarile Pamantului

Pamantul are urmatoarele miscari principale:

(1) Miscarea de rotatie − reprezinta miscarea Pamantului ın jurul proprieiaxe, efectuata cu Prot = 23h56min4, 098s = 86164, 98s timp mediu. Dovezile acesteimiscari sunt: devierea spre est a corpurilor de la vericala ın caderea libera; experientacu pendulul lui Focault (1851); observatii directe din spatiul cosmic.

(2) Miscarea de revolutie − reprezinta miscarea Pamantului ın jurul Soarelui,ın timpul unui an sideral. Dovezile acestei miscari sunt:paralaxele stelare si aberatialuminii.

(3) Miscarile de precesie si nutatie.

(4) Alte miscari

− deplasarea polilor geografici ai Pamantului pe suprafata sa, se produce da-torita faptului ca axa instantanee de rotatie a Pamantului nu pastreaza o directiefixa fata de acesta;

− mareele, ın vecinatatea meridianului terestru, cand Luna sau Soarele se afladeasupra acestuia, Pamantul sufera deformatii periodice numite maree (fenomenulde flux si reflux);

− deplasarea (deriva) continentelor (deplasarea relativa a continentelor unulfata de celalalt), care se explica prin structura sub forma de placi a scoartei – placicare se deplaseaza unele fata de altele.

Probleme propuse:

1. Sa se demonstreze ca valoarea unghiulara a arcului de meridian O1O2 (ınipoteza sfericitatii Pamantului) se determina cu ajutorul formulei:

n0 = φ1 − φ2 = z1 − z2,

unde φ1, φ2 sunt latitudinile geografice ale punctelor O1, O2, iar z1, z2 sunt distantelezenitale meridiane ale unei stele masurate simultan din punctele O1, O2.

6.5. MISCARILE PAMANTULUI 87

2. Considerand Pamantul drept elipsoid de rotatie,avand turtirea ε,sa se arateca ıntre aceasta marime si excentricitatea unei elipse meridiane ’e’exista relatia:

(1− ε)2 = 1− e2

3. Sa se exprime coordonatele geocentrice ecuatoriale rectangulare ale unuipunct al elipsei meridiane, M(x,y), cu ajutorul latitudinii geocentrice φ′.

4. Sa se exprime aceleasi coordonate rectangulare ca si ın problema prece-denta,ın functie de latitudinea geodezica B (φ′)

5. Sa se arate ca, coordonatele geocentrice ecuatoriale rectangulare ale unuiobservator situat la suprafata Pamantului, ın punctul avand coordonatele geodezice:L− longitudine geodezica, B− latitudine geodezica si H− ınaltime geodezica, suntdate de formulele:

x = (C + H) cos B cos L, y = (C + H) cos B sin L, z = (S + H) sin B

unde

C =a√

1− e2 sin2 B,S =

(1− e2

)C

iar a si e sunt semiaxa mare, respectiv excentricitatea elipsei meridiane.

Reamintim definitia coordonatelor geodezice: ”L− unghiul format de planulmeridian al locului dat cu planul meridianul zero de la Greenwich; B− unghiulcuprins ıntre verticala dusa la planul tangent al elipsoidului de referinta ın punc-tul dat si planul ecuatorului; H− distanta locului de observatie de la elipsoidul dereferinta.

6. Sa se arate ca ıntre latitudinea geodezica (B) si latitudinea geocentrica (φ′)exista relatia:

tgB =1

1− e2tgφ′,

unde e este excentricitatea elipsei meridiane.


7. Sa se arate ca ıntre latitudinea excentrica (Ψ) si latitudinea geodezica (B)exista relatia:

tgΨ =√

1− e2tgB,


8. Sa se demonstreze ca diferenta dintre latitudinea geodezica (B) si latitudineageocentrica (φ′) se exprima prin urmatoare relatie aproximativa:

B − φ′ = 103132′′, 4e2 sin (2B) ,


Care este max (B − φ′) si pentru care cerc meridian are loc?

9. Sa se demonstreze ca lungimea arcului de meridian l _O1O2

dintre puctele

O1 (φ1) si O2 (φ2) ,care reprezinta latitudinea astronomica,se exprima prin formula:

l _O1O2

= a(1− e2)

φ2∫

φ1

(1− e2 sin2 φ

)−3

2 dφ,

unde a si e reprezinta semiaxa mare ,respectiv excentricitatea elipsei meridiane(ε).

Capitolul 7

Fenomene care modifica pozitiaastrilor pe cer

Fenomenele care falsifica, mai mult sau mai putin, observatiile si ıngreuneazadeterminarea coordonatelor astrilor sunt: efectul optic al refractiei astronomice; efec-tul optic al miscarilor Pamantului: aberatia diurna, anuala, seculara; efectul geo-metric al miscarilor Pamantului: paralaxa diurna, anuala, seculara; deplasarea plan-etelor fundamentale de referinta: precesia si nutatia; miscarile proprii ale stelelor.

7.1 Refractia astronomica

Se numeste refractie astronomica unghiul dintre directia ın care se vede (aparent)astrul (Oσ′) si directia dupa care se propaga razele lui ın afara atmosferei (Oσ).Acest unghi se noteaza cu litera R.

Legatura ıntre z - distanta zenitala adevarata si z′ - distanta zenitala aparentaeste data de relatia (Figura 7.1):

z = z′ + R. (7.1.1)

Aceasta formula arata ca, datorita fenomenului refractiei, distanta zenitalaa astrului se micsoreaza cu marimea R. Conform primei legi a refractiei, ıntreagatraiectorie a razei este situata ın acelasi plan (planul vertical), adica refractia astro-nomica nu modifica azimutul A al astrului.

Valoarea exacta a refractiei se exprima printr-o formula de integrala definitadupa care sunt ıntocmite tabele speciale menite sa usureze munca astronomilor. Se

89

90 CAPITOLUL 7. FENOMENE CARE MODIFICA POZITIA ASTRILOR

s

s

s

Z

RZ

Z

A

O

Atm

osfe

ra

T//////////////

//////

//////////////////////////////////

Figura 7.1: Schema refractiei astronomice

deduce o formula aproximativa, pentru refractia medie-refractie corespunzatoarevalorilor medii ale presiunii si temperaturii atmosferei la un moment dat, formulacare se aplica numai pentru distante zenitale mai mici de 70 0.

Se presupune ca suprafata Pamantului este plana si ca atmosfera este ımpartitaın straturi plane si paralele cu suprafata terestra, avand indicii de refractie n0, n1, n2,..., nm (Figura 7.2).

n

n

n

n

n

0

1

2

m

mvid =1

-1

i0-1

i1

i2

im-1

im=Z

s

s

//////////////////////////

Figura 7.2: Schema refractiei pentru straturi plan-paralele

Se noteaza cu im, im−1, ..., i0 unghiurile de incidenta ale razei luminoasepesuprafetele de separare ale straturilor. Aplicand legea lui Snellius–Descartes pentrustraturile vecine se scrie:

sin imsin im−1

=nm−1

nm

;sin im−1

sin im−2

=nm−2

nm−1

; ...;sin i1sin i0

=n0

n1

.

7.2. ABERATIA LUMINII 91

Prin ınmultire membru cu membru si facand simplificarile, se obtine:

sin imsin i0

=n0

nm

. (7.1.2)

Avand im = z; i0 = z′; nm = 1, pe baza formulei (1) :

im = z′ + R ⇒ sin (z′ + R)

sin z′= n0 (7.1.3)

unde n0 se poate determina din masurari, iar z′ se poate obtine din observatii.

Cum 00 ≤ z′ ≤ 700 ⇒ cos R = 1, sin R = R sin 1′′, unde sin 1′′ =1

206265, daca

R se masoara ın secunde de arc.

Dupa dezvoltarea marimii sin (z′ + R) formula devine:

R =n0 − 1

sin 1′′tan z′. (7.1.4)

Coeficientuln0 − 1

sin 1′′se numeste constanta de refractie ; pentru conditiile nor-

male (temperatura t = 100C si presiunea p = 760 mm Hg), ea are valoarea de 58′′.3.Astfel,

R = 58′′.3 tan z′. (7.1.5)

La orizont R u 35′.

Influenta refractiei se manifesta ın urmatoarele fenomene: rasaritul si apusulastrilor, turtirea discului Soarelui si al Lunii ın aproprierea orizontului, modifi-carea coordonatelor orare, ecuatoriale, ecliptice ale astrilor, scanteierea (scintilatia)stelelor.

7.2 Aberatia luminii

7.2.1 Fenomenul aberatiei

Fenomenul aberatiei este deplasarea aparenta a directiei unui astru, datorataatat miscarii relative a observatorului ın raport cu astrul, cat si propagarii luminiicu viteza finita.

Fie observatorul ın T , animat ımpreuna cu Pamantul de viteza v fata de steauaσ, viteza orientata spre T punctul cerului numit apexul miscarii observatorului (A),


a carei directie formeaza cu directia aparenta la stea unghiul θ (Figura 7.3). Seconsidera ca observatorul din T , cu o luneta avand obiectivul ın O si reticulul ın T ,urmareste steaua σ. Datorita vitezei c a luminii, ın timpul τ cat lumina parcurgelugimea OT a lunetei, reticulul se deplaseaza cu TT ′. Pentu a vedea steaua a careilumina cade pe obiectivul din O, este necesar ca reticulul sa fie deplasat ın T ′′, astfel

ca−−→TT ” =

−−→TT ′. Steaua se va vedea ın directia TO′, care formeaza cu directia Tσ

unghiul θ, numit unghi de aberatie. Deci, pentru ca lumina stelei sa patrunda ınocular, luneta trebuie ınclinata cu obiectivul ınainte, ın sensul miscarii Pamantului,cu unghiul θ.

Din teorema sinusului pentru triunghiul TOO′ (sau TT ′O′) avem:

sin dθ

vτ=

sin θ

cτ⇒ sin dθ =

v

csin θ. (7.2.1)

Unghiul θ fiind mic, sin θ w dθ, sau, ın secunde de arc:

dθ′′ =v

c· 206265 · sin θ. (7.2.2)

Cand directia aparenta a stelei este perpendiculara pe directia miscarii Pamantului,adica θ = 900, dθ are marimea:

k =v

c· 206265′′, (7.2.3)

marime numita constanta de aberatie.

Considerand miscarea de ravolutie a Pamantului ın jurul Soarelui, avem: v =29, 79km/s si c = 299792km/s , de unde k = 20′′, 50 - valoarea constantei de aberatie(anuala).

Stelele, datorita aberatiei luminii, descriu elipse numite elipse de aberatie,avand axa mare egala cu 41′′ si axa mica cu 41′′ sin β, unde β - latitudinea eclipticaa stelei respective.

7.2.2 Aberatia Soarelui, planetelor si a cometelor

Intervalul de timp τ ın care lumina parcurge distanta de la astru la Pamantse numeste timp de aberatie sau ecuatia luminii.

Pentru determinarea timpului de aberatie este necesar sa se cunoasca distantageocentrica a astrului, ∆ , ın unitati astronomice. Daca a - lungimea unitatii ın km,avem:

τ =a

c·∆ = 498s7 ·∆ = 0z, 00577∆ (7.2.4)

Directia aparenta a astrului la un moment dat t coincide cu directia adevarataa astrului la momentul t− τ .

7.3. PARALAXE DIURNE SI ANUALE 93

7.3 Paralaxe diurne si anuale.

Determinarea distantelor astrilor prin metoda

trigonometrica

Deplasarea reala a observatorului ın spatiu produce o schimbare aparenta adirectiei astrului, numita deplasare paralactica . De aici rezulta: paralaxe diurnesau geocentrice, produse de miscarea de rotatie a Pamantului ın jurul axei proprii;paralaxe anuale sau heliocentrice ale stelelor, produse de miscarea de revolutie aPamantului ın jurul Soarelui; paralaxele seculare, produse de miscarea de translatiea sistemului solar spre apexul solar.

7.3.1 Paralaxa diurna si determinarea distantelor ın sistemulsolar

Coordonatele astrilor determinate din observatii ce se efectueaza pe suprafataPamantului se numesc topocentrice; acestea, la acelasi astru si acelasi moment, suntın general diferite pentru diferite puncte ale suprafetei terestre.

Din multimea de directii ın care astrul σ se vede din diferite puncte alePamantului, se considera fundamentala directia care porneste din centrulPamantului (T ); aceasta indica pozitia geocentrica a astrului si determina coordo-natele lui geocentrice. Efemeridele cuprind coordonatele geocentrice ale astrlor.

Se numeste paralaxa diurna sau geocentrica unghiul dintre directiile ın carese vede astrul σ′ din centrul Pamantului si dintr-un punct oarecare al suprafeteiterestre, adica unghiul p′ (Figura 7.3 ). Altfel spus, paralaxa diurna (de ınaltime),p′, este unghiul sub care se vede din astru raza Pamantului R (raza geocentrica aobservatorului).

Fie O punctul de pe Pamant de unde astrul σ′ se vede la distanta zenitala z′.Se noteaza cu ∆ distanta de la centrul T al Pamantului la astrul σ′ si cu z distantasa zenitala geocentrica. Din triunghiul OTσ′ avem:

R

∆=

sin p′

sin z′(7.3.1)

de unde:

sin p′ =R

∆sin z′. (7.3.2)

Unghiul p′ fiind mic, putem pune p′ w sin p′. Se vede ca paralaxa p′ variaza cuR si sin z′, fiind maxima cand R = R0 (raza ecuatoriala a Pamantului) si sin z′ = 1,adica z′ = 900.


T

R

O

Z

Z p

p

D

D

s

s

Z

Figura 7.3: Paralaxa diurna (de ınaltime si orizontala)

Paralaxa diurna orizontala, p, a unui astru σ (acelasi cu σ′ ) este unghiul subcare se vede din acel astru raza Pamantului R, cand astrul σ se afla la orizontullocului. Din triunghiul OTσ avem:

sin p =R

∆(7.3.3)

si formula (7.3.2) ne da:p′ = p sin z′. (7.3.4)

Valorile acestor paralaxe se calculeaza pentru o anumita raza a Pamantului;se ia pentru aceasta raza ecuatoriala R0 = 6378, 16km de unde avem paralaxaorizontala ecuatorila p0:

sin p0 =R0

∆. (7.3.5)

Figura 7.3 arata ca:

z = z′ − p′ (7.3.6)

Distanta zenitala adevarata a astrului este:

z = z′ + 35′ − p = 900 + 35′ − p.

Determinarea distantelor ın sistemul solar se poate face dupa formula:

∆ =206265

p′′0R0 (7.3.7)

Distanta pentru Soare: p′′0 = 8′′, 79 si ∆ = 149, 5 · 106.

7.3. PARALAXE DIURNE SI ANUALE 95

Distanta pentru Luna: p′′0 = 52′2′′, 5 si ∆ = 384, 4 · 103.

Distanta astrului se obtine dupa formula:

∆ =ct

2,

unde c = 3 · 105km/s - viteza de pripagare a undelor radio.

Distanta medie Pamant - Soare este ∆ = 149589500km (±500km). Aceastadistanta are o deosebita importanta ın astronomie, fiind considerata ca unitate dedistanta, numita unitate astronomica (UA).

Din anul 1970 sunt folosite urmatoarele valori ale paralaxei Soarelui si unitatiiastronomice:

p0 = 8′′, 794, 1UA = 149, 6 · 106km (7.3.8)

7.3.2 Paralaxa anuala si determinarea distantelor stelare

Se numeste paralaxa anuala sau heliocentrica a unei stele unghiul sub care sevede din stea raza medie a orbitei terestre cand ea este perpendiculara pe distantaPamant -stea.

D

ST

p

s

a

Figura 7.4: Paralaxa anuala a stelelor

Fie steaua ın σ, Soarele ın S, Pamantul ın T (Figura 7.4). Din triunghiul sfericσST avem:

sin π =a

∆(7.3.9)

unde a = 1UA, iar ∆ - distanta de la centrul Soarelui la centrul stelei σ.


Avand ın vedere faptul ca paralaxele heliocentrice ale stelelor sunt mai micidecat 1′′, din formula (7.3.9) rezulta formula pentru calculul distantelor stelelor:

∆ =206265′′

π′′a =

206265′′

π′′UA (7.3.10)

distanta ∆ se obtine ın aceleasi unitati ın care este exprimata si distanta a.

Oservam ca ın cazul cand steaua σ se afla ın directia polului ecliptic, unghiul

π este exprimata prin tan π =a

∆si deoarece π este mic, se regaseste aceeasi formula

(7.3.10).

Paralaxele stelare determinate pe baza deplasarii paralactice a stelei se numescparalaxe trigonometrice. Cele mai perfectionate instrumente de masurat unghiuripermit determinarea paralaxelor stelare cu o eroare de ±0′′, 01. Azi se cunosc par-alaxele la aproximativ 10000 de stele.

Distanta stelei celei mai apropiate Proxima Centauri, avand parralaxa helio-centrica (π = 0′′, 76) , va fi, conform formulei (7.3.10):

∆ =206265′′

0′′, 76a = 272000a = 272000UA

Parsecul (pc) este distanta corespunzatoare unei paralaxe de 1′′ : 1pc =206265′′

1′′a = 206265UA, adica ıntr-un parsec sunt exact atatea unitati astronomice

cate secunde de arc sunt ıntr-un radian. Multiplii parsecului sunt: 1kpc = 103pc,1mpc (megaparsec) = 103pc.

Anul lumina (a.l.) este distanta strabatuta de raza de lumina, cu viteza aprox-imativ 3 · 105km/s, timp de un an: 1a.l. = 9, 460 · 1012km = 63240UA = 0, 3067pcsau: 1pc = 30, 86 · 1012km = 206265UA = 3, 26a.l..

Distantele se pot masura cu ajutorul urmatoarelor formule simple:

∆ =1

π′′pc (7.3.11)

∆ =3, 26

π′′= a.l. (7.3.12)

7.3.3 Paralaxa seculara a stelelor

Soarele, ımpreuna cu sistemul solar, are o miscare de translatie catre punctulsferei ceresti numit apexul solar, aflat ın constelatia Hercule (α = 2700, δ = +300)cu o viteza V¯ w 20km/s. De aici o deplasare lenta a stelelor spre antapex, careiaıi corespunde o paralaxa seculara a stelelor (Figura 7.5).

7.4. PRECESIA SI NUTATIA 97

-V

q

O

S

V

Figura 7.5: Miscarea aparenta a stelei spre antapex cauzata de miscarea Soarelui

La aceasta se adauga deplasarea particulara a fiecarei stele ıntr-o anumitadirectie, deplasare numita miscare proprie (Figura 7.5) care este cu atat mai marecu cat steaua este mai aproape. De aceea ca repere fixe se iau stelele foarte slabe,care statistic sunt foarte ındepartate.

7.4 Precesia si nutatia

Precesia si nutatia sunt efecte ale deplasarilor seculare si periodice ale planelorfundamentale de coordonate (planul ecuatorial si planul ecliptic), datorate actiuniicomune a Lunii si Soarelui asupra proeminentei ecuatoriale a Pamantului, precumsi actiunii planetelor asupra miscarii heliocentrice a cestuia. Explicarea fenomenuluise face ın cadrul mecanicii ceresti.

Urmatoarele fapte dovedesc deplasarea planelor fundamentale

a) Cresterea longitudinilor ceresti ale stelelor cu 50′′, 27/an, datorata deplasariipunctului vernal γ ın sensul retrograd cu aceeasi viteza de-a lungul eclipticii fata destelele,,fix”.

b) Descresterea lenta, ın prezent cu 0′′, 47/an, a ınclinarii eclipticii pe ecuator,care se datoreaza deplasarii pozitiei planului eclipticii (de si a punctului vernal) ınlungul ecuatorului ceresc, fapt verificat de observatii ındelungate.

Ambele aceste dovezi determina fenomenul de precesie . Deplasarea ın lunguleclipticii a punctelor echinoctiale se numeste precesie luni-solara, iar cea ın lun-gul ecuatorului ceresc - precesie planetara. Rezultanta celor doua componente daprecesia generala (ın longitudine), a carei valoare ın prezent ınsumeaza 50′′, 27 pean.

c) Polul nord are o deplasare periodica, cu aceeasi perioada ca si perioadaretrogradarii nodurilor orbitei lunare (18, 6ani). Acest fenomen a fost numit nutatie.Polul lumii, care se misca ın urma precesiei, numit si polul mediu, este centrul unei


eclipse pe care polul adevarat se misca ın sens retrograd (Figura 7.6).

Orb

ita

po

lulu

im

ijlo

ciu

allumi

Orbita poluluial lumiiadevarat

23,5O

P

9

7

Pa

Pm

Figura 7.6: Fenomenul nutatiei

Ulterior s-a descoperit ca polul ceresc adevarat mai executa ınca doua miscariperiodice foarte mici: una avand perioada de o jumatate de an, iar cealalta de ojumatate de luna.Astfel, prin fenomenul de nutatie se ıntelege azi ansamblul tuturoroscilatiilor ale polilor lumii.

7.5 Miscarile proprii ale stelelor

Variatia ın timp a stelelor se datoreaza precesiei, nutatiei, aberatiei luminii siparalaxei anuale. Deplasarea rest a stelei pe sfera cereasca timp de un an se numestemiscare proprie; ea se exprima ın secunde de arc pe an.

Miscarea proprie a stelei σ este unghiul sub care s-ar vedea din Soare deplasareaanuala a stelei pe sfera cereasca (Figura 7.7) ea se noteaza cu µ.

Cea mai mare miscare proprie o are steaua Barnad (µ = 10′′, 27/an) care, dinacest motiv, se si numeste ”stea zburatoare”.

Miscarea proprie a stelei se efectueaza dupa un arc de cerc mare si cu o vitezaconstanta; aceata arata ca miscarea lor ın spatiu se face ın linie dreapta si uniform.

In urma miscarii proprii a stelei σ (µ) pe arcul de cerc mare σσ′

(Figura 7.7), ascensia dreapta a stelei (α) se va modifica cu marimea µα = ∆α/∆t

-numita miscarea proprie ın ascensia dreapta, iar declinatia (δ) -cu marimea µδ =∆δ/∆t -numita miscarea proprie ın declinatie.

Avand ın vedere valorile numerice posibile ale marimii µ, arcul paraleluluidiurn ale stelei µα cos δ, arcul cerului de declinatie a stelei µδ si arcul miscarii propriia stelei µ pot fii considerate linii drepte concurente ın σ si din Figura 7.8 rezulta

7.6. PROBLEMELE ASTRONOMIEI FUNDAMENTALE 99

P

S

m

m

md

s

d

ma

a

cos

ma

Ecuator ceresc

Figura 7.7: Componentele miscarii proprii a stelei

urmatoarea formula pentru calculul miscarii proprii a stelei:

µ =

√(µα cos δ)2 + µ2

δ =

√(15µs

α cos δ)2 + µ2δ , (7.5.1)

unde µs ınseamna ca marimea µα este exprimata ın unitati de timp, cum este ex-primata de obicei si α.

7.6 Problemele astronomiei (astrometriei) funda-

mentale

Problema determinarii unui sistem de referinta - adica a unui sistem de axesi plane fundamentale, la care sa se poata raporta miscarea corpurilor din sistemulsolar si din afara acestuia - se poate ınsa rezolva numai prin alegerea unor reperemateriale ale caror coordonate fata de axele si planele alese sa la defineasca pozitiile.Alcatuirea unui asemenea sistem , care se materializeaza sub forma unui catalog destele, este una din problemele astronomiei fundamentale.

Cataloagele de stele cuprind coordonatele ecuatoriale (α, δ) ale unui numarmare de stele reprezentate pe toata sfera cereasca, miscarile proprii asociate (µ),raportate la acelasi sistem de referinta si epoca, distanta (∆), viteza radiala (Vr) sicateva caracteristici fizice necesare identificarii stelelor. Cataloagele stelare cuprind,de asemenea, valorile numerice ale constelatiilor astronomice fundamentale (con-stanta aberatiei, constanta precesiei generale, constanta nutatiei, unitatea astro-nomica, parsecul, etc.), care stau la baza definirii variatiei de timp a sistemului dereferinta.

Datele necesare realizarii cataloagelor de stele sunt obtinute din observatiiabsolute sau diferentiale ale stelelor: observatiile absolute se obtin derminand coor-


donatele stelelor ın raport cu un sistem de referinta ın care ecuatorul se obtine dindistantele zenitale masurate ale stelelor, iar echinoxul din observatii ale Soarelui;obsevatiile diferentiale sau relative se obtin raportand pozitiile stelelor la o retea destele fundamentale cu coordonate cunocute cu precizie. Observatiile se efectueazacu diferite instrumente astronomice ca: cercul meridian, cercul vertical, luneta detrecere, astrlabul si astrograful.

Un catalog fundamental de stele este,,Fundamental Katalog des Berliner As-tromischen Jahrbuch (FK4), care contine 1553 de stele.

In tara noastra, Observatorul din Bucuresti a publicat catalogul stelar depozitie,,Bucharest KSZ of stars for 1950.

In afara cataloagelor stelare (de pozitii, de straluciri, spectrale), exista azinumeroase cataloage ale altor obiecte ceresti: cataloage de nebuloase si roiuri stelare;cataloage de radio surse; precum si cataloage de galaxii si roiuri de galaxii.

Probleme propuse:

1.Sa se stabileasca o formula pentru refractia astronomica ın cazul modeluluisferic concentric pentru atmosfera terestra.

2.Sa se determine efectul pe care ıl are refractia asupra coordonatelor ecuato-riale ale unui astru.

3.Sa se determine paralaxa diurna orizontala ecuatoriala a Lunii.

4.Sa se determine paralaxa diurna orizontala ecuatoriala a Soarelui .

5. Dandu-se raza Pamantului R+0, paralaxa diurna orizontala a unui astru π∗si diametrul sau aparent 2β (unghiul sub care se vede diametrul acestui astru decatre observator situat ın centrul Pamantului), sa se calculeze raza astrului respectivsi distanta pana la el.

6.Din doua observatoare diferite A,B de pe Pamant se observa ın acelasi timpastrul σ si se determina distantele zenitale zA, zB. Suma celor doua paralaxe geo-centrice ın raport cu cele doua observatoare este p. Sa se determine distanta de laastru la centrul Pamantului exprimata ın raze terestre .

7. Sa se stabileasca formulele pentru determinarea corectiilor de paralaxa di-urna ın coordonate ecuatoriale.

7.6. PROBLEMELE ASTRONOMIEI FUNDAMENTALE 101

8. Sa se determine corectiile de paralaxa heliocentrica, atat ın coordonate ecu-atoriale, cat si ın coordonate eliptice.

9. Sa se determine locul geometric al pozitiilor aparente (geocentrice) σ′ aleunei stele ın decurs de un an ın jurul pozitiei sale adevarate (heliocentrice) σ.

10. Sa se determine expresiile corectiilor de aberatie anuala ın coordonate ecu-atoriale.

Capitolul 8

Timpul si masurarea lui

8.1 Consideratii generale

Spatiul, timpul si masa sunt notiunile fundamentale ale mecanicii. In acestcapitol ne referim, ın special, la problema masurarii timpului, a instituirii unitatiilorde timp pentru exprimarea duratelor fenomenelor astronomice.

Forma de existenta a materiei ın miscare, timpul este o marime materiala.Neputındu-se realiza un etalon material de timp, ca ın cazul celorlalte marimi fun-damentale (lungime, masa), timpul, pentru a putea fi masurat, trebuie raportat laun fenomen material. Inca Epicur (sec. IV ı.e.n.) sustinea ca ”timpul nu exista ınsine, prin sine, ci doar prin intermediul unor obiecte perceptibile”. Iar Engels arataca a fi ın spatiu ınseamna a exista ”ın asezarea lucrurilor unul langa altul”, pe canda fi ın timp ınseamna a exista ”ın succesiunea lor unul dupa altul”.

Se defineste scara de timp ca fiind un ansamblu format dintr-un fenomen ma-terial masurabil, permanent si stabil, si dintr-o teorie, care da desfasurarea acestuifenomen ın functie de o variabila independenta. Aceasta variabila independentaa desfasurarii fenomenului joaca rolul timpului. Unitatea de timp este o valoareconventionala atribuita unei durate date din evolutia fenomenului de referinta, lacare, cu ajutorul teoriei, putem raporta orice alta durata. Determinarea timpului ınaceasta scara consta, deci, ın masurarea fenomenului fundamental si ın comparatiecu teoria, deducerea valorii timpului, t(citind ”indicatiile” orologiului).

In Univers exista multe fenomene evolutive carora le putem asocia cate o scarade timp uniform. In fiecare caz, criteriul de uniformitate este urmatorul: legiilemecanicii newtoniene trebuie verificate, daca consideram drept variabila indepen-denta timpul, t, un parametru cu variatie continua si uniforma (timp inertial).

Una din problemele fundamentale ale astronomiei este sa gaseasca si sa studieze

103

104 CAPITOLUL 8. TIMPUL SI MASURAREA LUI

miscari uniforme (sau cel putin aproape uniforme), acele orologii naturale care sapoata servi la masurarea timpului.

In prezent, masurarea timpului se bazeaza pe urmatoarele miscari :

(1)Miscarea de rotatie a Pamantului, deci si miscarea aparenta diurna a sfereiceresti, considerandu-se uniforma. Timpul dedus din aceasta miscare se numestetimp terestru.

(2)Miscarea orbitala a Pamantului si a Lunii, deci si miscarea aparenta a Soare-lui si a Lunii ın jurul Pamantului, dovedindu-se mai potrivita decat miscarea derotatie ın jurul axei. Timpul bazat pe aceasta miscare, numit timpul efemeridelor,reprezinta, cu suficienta aproximatie, timpul uniform al mecanicii newtoniene, t.

Totusi, ın mod practic, si rotatia Pamantului poate fi considerata ca o scara detimp uniform, daca se tine cont de efectele perturbatoare datorate Lunii si planetelorın aceasa miscare. Dar acest timp terestru poate fi utilizat numai pentru un intervalmai scurt, de ani sau chiar numai de cateva luni.

Solutia ideala ar fi stabilirea unui etalon fizic independent de constantele as-tronomice. Orologiile cu cuart si atomice, care determina ziua cu o precizie de 10−9-10−11, sunt pasi mari ın aceasta directie; pe cale astronomica ziua se determina cuo precizie de numai 10−7.

In cele ce urmeaza vom expune succint cele doua categorii de timp: timpulastronomic si timpul fizic.

8.2 Timpul astrodinamic: timpul terestru

si timpul efemeridelor

Timpul astronomic, definit cu ajutorul fenomenelor astronomice, este asa cums-a mentionat mai sus de doua feluri: timpul terestru si timpul efemeridelor.

8.2.1 Timpul terestru: timpul sideral si timpul solar

Timpul terestru este timpul definit cu ajutorul miscarii aparente diurne a sfereiceresti, miscare cauzata de rotatia Pamantului ın jurul axei sale. Daca rotatia diurnaa sferei ceresti se studiaza prin miscarea diurna a stelelor, se defineste timpul sideral.Datorita ınsa faptului ca stelele au si miscari proprii, care ın majoritatea cazurilornu sunt suficient de bine cunoscute, s-a convenit sa se studieze miscarea diurna asferei ceresti prin miscarea diurna a punctului vernal(γ), ale carui mici deplasari pesfera cereasca sunt bine studiate. Miscarea aparenta diurna si anuala a Soarelui,

8.2. TIMPUL ASTRODINAMIC 105

consecinta a miscarii de rotatie si de revolutie a Pamantului, defineste timpul solar.In ambele cazuri, practic, timpul se defineste prin unghiul orar al unui reper. Inprimul caz, reperul este punctul vernal, ın cel de-al doilea-Soarele.

Intr-adevar, modelul metematic al desfasurarii fenomenului de miscare diurnaa stelei (punctului vernal) sau a Soarelui ın raport cu timpul (t), ın sistemul decoordonate orare (δ,H)) se exprima astfel:

δ = const.,H = f(t) = ωrot · t (8.2.1)

unde ωrot - viteza unghiulara de rotatie a Pamantului, considerata constanta (=15/h).

Intr-un interval de timp bine definit, avand o corespondenta biunivoca ıntre Hsi t, dupa inversarea functiei f(t) obtinem:

t = f−1(H) =1

ωrot ·H (8.2.2)

adica din masurile de pozitii ale astrilor de reper se poate determina timpul.

(1)Timpul sideral. Unitatea de masura a timpului sideral este ziua siderala:intervalul de timp dintre doua treceri consecutive ale punctului vernal la meridianulsuperior (sau inferior) al locului de observatie. Ca ınceput al zilei siderale la unmeridian geografic dat se ia momentul culminatiei superioare a punctului vernal. Seıntelege ca ziua siderala este o notiune locala: ea ıncepe, petru doua localitati cumeridiane diferite, ın momente fizice diferite. Ziua siderala se ımparte ın 24 de oresiderale, 24 · 60 minute siderale si 24 · 60 · 60 secunde siderale.

Figura 8.1: Legatura timpului sideral cu ascensia drepta si unghiul orar.

Numim timp sideral intervalul de timp scurs de la ınceputul zilei siderale panala un alt moment oarecare, interval exprimat ın ore, minute si secunde siderale. Se


ıntelege ca din cauza ca rotatia diurna a sferei ceresti este uniforma (ın apriximatie),timpul sideral la un moment dat este exprimat prin acelasi numar de ore, minutesi secunde prin care este exprimat (ın unitati de timp) unghiul orar al punctuluivernal. Din acest motiv, unghiul orar al punctului vernal (γ) este numit (de fapt,impropriu) timp sideral, adica:

ta ≡ θ = Hhminsγ . (8.2.3)

Deoarece Hγ nu se poate masura direct, practic, pentru determinarea timpuluisideral θ la un moment oarecare, trebuie sa masuram unghiul orar H al unui astruoarecare σ, a carui ascensie dreapta α este cunoscuta. Atunci, din (3) si Fig. 8.1rezulta, pentru orice moment si orice astru, formula:

θ = Hγ = α + H, (8.2.4)

Cel mai bun mijloc de a determina ora siderala (θ) consta ın observarea, lameridianul locului, a stelelor fundamentale, a caror ascensie dreapta este cunoscutacu mare precizie.

Timpul sideral (adevarat), nefiind uniform, este ınlocuit cu timpul cu timpulsideral mediu, determinat prin unghiul orar al punctului vernal mediu (neafectat defenomenul de mutatie).

Pentru pastrarea timpului sideral se folosesc orologii siderale, instrumente careindica timpul sideral.

Timpul sideral este convenabil pentru problemele de astronomie, dar este in-comod pentru viata practica, care se calauzeste dupa Soare.

(2)Timpul solar. Avem urmatoarele sisteme de timp solar:

-timpul solar adevarat : se defineste cu ajutorul centrului discului solar (numit”Soare adevarat”: ¯). Unitatea de timp solar adevarat este ziua solara adevarata:la meridianul superior (sau inferior) al locului. Ca ınceput al zilei solare adevaratese ia, ın practica, nu momentul culminatiei superioare (amiaza adevarata), ci al celeiinferoare a ”Soarelui adevarat” (miezul noptii adevarate).

Intervalul de timp scurs ıntre ınceputul zilei solare adevarate si nu alt momentoarecare se numeste timpul solar adevarat ; el se exprima ın subdiviziunile zilei solareadevarate : ore, minute si secunde solare adevarate. Intre timpul solar adevarat ta,ın fiecare loc si moment, si unghiul orar al ”Soarelui adevarat” H¯ exista relatia:

ta = Hhmins¯ + 12h (8.2.5)

Cu toate ca masurarea timpului ın zile si fractiuni de zile solare adevarate esterelativ simpla, nici acest timp nu este potrivit pentru viata de tote zilele, deoarece


zilele solare adevarate nu sunt egale ıntre ele, adica cerinta ca intervalul de timpsa fie constant nu este ındeplinita. Durata zilei solare adevarate nu este constantadin doua cauze: a) Soarele adevarat parcurge ecliptica ın mod neuniform-datoritamiscarii reale neuniforme a Pamantului ın jurul Soarelui, si b) miscarea lui diurnaın jurul axei lumii nu este unforma din cauza ınclinarii eclipticii fata de ecuatorulceresc cu un unghi de 2327′-datorita faptului ca axa de rotatie a Pamantului esteınclinata, cu acelasi unghi, fata de planul orbitei sale.

Pentru a obtine zile de durata constanta si legate totodata de miscarea Soarelui,ın astronomie se defineste:

-timpul solar mediu, care este timpul solar adevarat corectat de inegalitatilesale amintite mai sus. Noul timp se de fineste cu ajutorul unui punct fictiv, numit”Soare mediu ecuatorial”(¯me), care se afla ın mscare uniforma pe ecuator si treceprin punctul vernal deodata cu ”Soarele adevarat”.

Se numeste zi solara medie sau, mai scurt, zi medie intervalul de timp dintredoua culminatii consecutive de acelasi fel ale ”Soarelui mediu ecuatorial” la unacelasi meridian geografic. Ea se ımparte ın 24 ore medii, 24 × 60 minute mediisi 24 × 60 × 60, secunde medii. Inceputul zilei solare medii coincide cu momentulculminatiei inferioare a ”Soarelui mediu ecuatorial”, adica cu miezul noptii mediu.

Timpul scurs de ınceputul zilei solare medii pana la un moment oarecare,exprimat ın ore, minute si secunde solare medii, se numeste timp solar mediu, ınmomentul si locul considerat. Intre timpul solar mediu tm si unghiul orar al ”Soareluimediu ecuatorial” H¯m, avem, ın conformitate cu definitiile, relatia:

tm = Hhmins¯me + 12h (8.2.6)

(3) Ecuatia timpului. Diferenta tm − ta se numeste ecuatia timpului si senoteaza cu E (prin ”ecuatie” aici se ıntelege ”corectie”); ea se determina pe bazateorie miscarii aparente a Soarelui, calculandu-se ın de timpul uniform, ascensiiledrepte α¯ si α¯me ale Soarelui, si se publica ın anuare astronomice pentru fiecare zia anului.

Pentru pastrarea timpului solar se folosesc orologii care indica timpul solarmediu.

(4) Legatura dintre unitatiile de timp mediu si de timp sideral se stabilesteastfel: ın decursul unui an tropic, punctul vernal uta n rotatii retrogradate. In acelasitimp, datorita miscarii sale aparente (asemanator miscarii Soarelui pe ecliptica),”Soarele mediu ecuatorial” va efectua deplasandu-se spre est cu ∼= 1 pe zi (3min56s),n − 1 ritatii retrogradate. Rezulta deci ca n − 1 rotatii medii= n rotatii siderale.Cu alte cuvinte:


365, 2422 zile solare medii = 366, 2422 zile siderale, (8.2.7)

de unde rezulta:

24 ore siderale = 23h56min4, 091s de timp solar mediu; (8.2.8)

24 ore solare medii = 24h3min56, 555s de timp sideral. (8.2.9)

8.2.2 Diverse sisteme de masura a timpului

(1)Timpul local. Subliniem faptul ca timpurile definite pana acum, sideral(adevarat si mediu) si solar (adevarat si mediu), fiind definite prin unghiuri orare,pentru meridianul geografic al locului de observatie, sunt timpuri locale. Se ıntelegeca pentru toate localitatile situate pe acelasi meridian geografic timpurile locale deacelasi fel, ın acelasi moment fizic, sunt egale.

HB

HA

δ

B

P

QQ

p

P

G

B

q

R

T

Z A

H A

H B

q

p

L

L

A

B

x

x

Figura 8.2: Diferenta unghiurilor orare si a longitudinilor geografice.

Se pune problema schimbarii timpului de acelasi fel cu schimbarea longitudinii.Fie doua localitati pe glob, A si B, de longitudini geografice LA si LB (fata demeridianul pGp’ de la Greenwich). Sa notam cu PσP ′ (Fig. 8.2) cercul orar alastrului σ, observat simultan ın localitatile A si B, stabilindu-i-se unghiurile orarerespective HA si HB pe sfera cereasca geocentrica.

Din constructia geometrica (Fig. 8.2) se vede ca diferenta unghiurilor orareale unui astru oarecare σ, masurate la acelasi moment fizic ın doua puncte diferite


ale suprafetei terestre, este egala numeric cu diferenta longitudinilor geografice alelocalitatilor respective, adica:

HA −HB = LA − LB (8.2.10)

Aplicand aceasta teorema la fiecare timp local, pe baza formulelor (3),(5) si(6),obtinem:

θA − θB = LA − LBtaA − taB = LA − LBtmA − tmB = LA − LB

Deci diferenta timpurilor de acelasi fel pentru doua localitati, corespunzand aceluiasimoment fizic, este egala cu diferenta longitudinilor geografice ale localitatilor, expri-mata ın unitati de timp.

(2)Timpul universal. Se numeste timp universal TU (sau GMT=GreenwichMean Time, sau T0) timpul solar mediu al meridianului localitatii Greenwich (merid-ianul zero):

TU = tmG (8.2.11)

Acest timp este unic pe ıntreaga suprafata terestra si este larg folosit ın as-tronomie pentru notarea momentelor observatiilor si pentru calcule efemeride.

Cunoscand timpul universal, timpul solar mediu local al oricarui punct de peglob (de longitudine L) se obtine dupa formula:

tm = TU + L (8.2.12)

L fiind exprimata ın unitati de timp; aceasta formula se obtine din a treiaformula (11), daca punem tmA = tm, tmB = TU,LA = L,LB = 0.

(3)Fusele orare si timpul legal. Deosebirea, ın acelasi moment fizic, a tim-purilor solare medii locale ale punctelor situate pe meridiane geografice diferite arintroduce inconveniente ın folosirea timpului solar mediu. Astfel, deplasandu-ne pesuprafata Pamantului, spre rasarit sau apus, am fi nevoiti sa mutam mereu aceleceasornicului (ınainte sau ınapoi), pentru a avea ın fiecare moment ora locala ameridianului pe care ıl traversam ın acel moment. Pentru ınlaturarea acestui incon-venient, s-a adoptat ın anul 1884 asa-numita conventie a fuselor orare. Conformacestei conventii, suprafata globului terestru a fost ımpartita ın 24 de fuse orare decate 15 longitudine geografica ın largime (Fig 8.3). Toate localitatile din interiorulunui fus au acelasi timp, timpul solar mediu al meridianului lor median. In acestfel,diferenta dintre ora fusului si ora locala nu depaseste ±30min.


Meridianorigine

15o

15o15

o

15o

15o

15o

15o

15o

15o

22 23 0 1 2

V EFusul

x

Gre

en

wic

h

Figura 8.3: Definirea fuselor orare.

Se numeste ora fusului sau timpul legal timpul solar mediu al meridianuluimedian al fusului orar respectiv. Fusul initial (fusul zero) are ca meridian medianmeridianul zero si ora fusului este chiar TU, fusul 1-meridianul de 15 longitudinegeografica, fusul 2-meridianul de 30 longitudine geografica s.a.m.d., diferenta tim-purilor lor fata de timpul universal fiind 0, 1, 2, ... ore ıntregi. Deci ora fusului neste legata de timpul universal prin relatia evidenta:

tn = TU + nk (8.2.13)

unde n este numarul de ordine al fusului orar. Daca se trece dintr-un fus orar ınfusul limitrof la rasarit sau la apus, acele ceasului se muta cu o ora ınainte, respectivınapoi.

Tara noastra, aflandu-se ın fusul n = 2, are ora Europei Orientale: T2 =TU + 2h. Pentru o tara, timpul legal este de regula timpul fusului capitalei sale.Astfel, timpul legal roman este (si se numeste) ora Bucurestiului.

(4)Timpul decretat si timpul de vara. Din motive de ordin practic, timpul legala fost avansat cu o ora fata de ora fusului. Acest timp se numeste timpul decretat :

Td = TU + (n + 1)h (8.2.14)

Astfel, Moscova, desi se afla ın fusul orar 2, traieste dupa ora fusului orar 3;timpul decretat al Moscovei se numeste ora Moscovei. Ea este deci avansata fata de


ora Bucurestiului cu 1h.

In unele tari din Europa, America etc. tot din considerente de ordin practic,ora se muta ınainte cu o unitate numai pemtru lunile de vara. In tara noastra, oraoficiala de vara se aplica din anul 1979 ; ın anul 1984, de exemplu, ea este aplicatade la 1 aprilie pana la 30 septembrie.

(5) Linia de schimbare a datei (linia de demarcatie). Folosirea fuselor orarea impus introducerea liniei de schimbare a datei, care coincide aproximativ cu an-timeridianul Geenwich. Orcine traverseaza aceasta linie:

- daca merge spre est, la miezul noptii care urmeaza dupa trecerea liniei,repeta data calendaristica (adica dupa 15 octombrie, de pilda, se va socoti tot 15octombrie).

- daca merge spre vest, la miezul noptii care urmeaza dupa trecerea liniei, seschimba data cu doua unitati (adica dupa 15 octombrie va socoti 17 octombrie).

Rezulta ca fiecare zi noua pe Pamant ıncepe la vest la linia de schimbare adatei, adica pe teritoriul estic extrem al U.R.S.S. In particular, tot acolo are locprima zi a anului, adica ınceputul fiecarui an nou.

Fusele orare si ora oficiala a diferitelor tari, respectiv orase mai mari, suntindicate ın anuare astronomice.

8.2.3 Timpul efemeridelor

Dintr-o tratare riguroasa a problemei timpului rezulta ca, fata de timpul uni-form, unitatea de timp solar mediu -ziua solara medie - nu este constanta, ci selungeste. Explicatia consta, cum s-a amintit si ın 0.1, ın neuniformitatea miscariide rotatie a Pamantlui, care se pune ın evidenta prin neconcordanta pozitiilor ob-servate ale Lunii si a planetelor apropiate de Pamant (Mercur si Venus) cu pozitiilecalculate (din efemeride) ale acestora.

Cerintele astronomiei actuale impun ca unitatea de timp sa fie determinata cuo eroare mai mica decat 10−9. De aici nevoia definirii unui alt timp, mai uniform,adica a alegerii unei untati mai potrvite cu scara timpului uniform decat ziua solaramedie.

Timpul efemeridelor, definit deja ın 0.1 ca fiind argumentul din efemerideleLunii si a planetelor, se determina cel mai bine din miscarea relativ rapida a Lunii:pozitiile obsertvate ale Lunii, care se fixeaza ın timpul neuniform TU, se compara cupozitiile calculate din efemeride, care se obtin ın timp uniform, si se citeste timpulcorespunzator acestora din urma(TE ).

Legatura dintre timpul efemeridelor si timpul universal se stabileste ın modul


urmator:

- se detrmina din observatii timpul universal TU0, care se corecteaza cu de-plasarea polului terestru instantaneu fata de cel mediu, obtinandu-se TU1 ;

- la TU1 se adaoga corectia datorata variatiei sezoniere a rotatiei Pamantului,si se obtine timpul universal cvasiuniform TU2 (TU2 este cea mai buna aproximatiela timpul uniform, pe care o putem obtine din observatii asupra miscarii diurne astelelor).

Pentru trecerea de la TU la TE se introduce urmatoarea corectie, data deformula empirica a lui H. Spencer Jones :

∆T = TE − TU = 24s, 349 + 72s, 318T + 29s, 950T 2 + 1s, 821B” (8.2.15)

unde T este socotit ın secole juliene, de la momentul 1900 ianuarie 0, 12hTE. Inaceasta formula, primul termen asigura coincidenta ınceputului zilelor efemeridelorcu ınceputul zilelor solare medii pentru anul 1900,0, al doilea este astfel ca duratazilelor efemeridelor sa fie egala cu durata medie a zilelor solare medii, al treilea tinecont de ıncetinirea seculara a rotatiei Pamantului, iar al patrulea contine fluctuatiileneregulate ale vitezei de rotatie a Pamantului ce se reflecta ın longitudinea Lunii.

Fara a fi identic cu timpul uniform al mecanicii clasice, timpul efemeridelorraspunde, ın limita preciziei observatiilor actuale, cerintelor mecanicii newtonienetot atat de bine ca si primul.

Incepand cu anul 1960, efemeridele astrlor se alcatuiesc avan drep argumenttimpul efemeridelor ; pentru acel an, valoarea corectiei ∆T a fost de +34s, 0; pentruanul 1984, valoarea preliminara a lui ∆T este de +55s, 0.

8.3 Timpul fizic: timpul atomic international

Progresele fizicii ın ultimele decenii au dus la descoperirea unor fenomene fizicece se desfasoara uniform ın timp. Ele au permis definirea timpului fizic -independentde observatii astronomice -, ca si construirea orologiilor (ceasurilor) pentru deter-minarea si pastrarea lui.

(1)Ceasurile cu cuart primul dispozitiv bazat pe un fenomen fizic pentru deter-minarea timpului: frecventa unui cristal de cuart taiat dupa o sectiune principala,aflat ıntr-un camp electric constant, se mentine constana timp ındelungat.

(2)Ceasurile atomice rezulta din asocierea unui etalon atomic cu un ceas cu

8.4. UNITATILE FUNDAMENTALE DE TIMP 113

cuart, aservit lui.

Doi atomi ai aceluiasi izotrop, pusi ın conditii fizice similare, nu vor prezentanici o diferenta ın absobtia si emisia de energie a unei tranzitii, asigurand deciaceasi frecventa etalon. De aici -construirea etaloanelor de frecvente atomice, demare stabilitate si reproductibilitate.

Deci ceasurile cu cuart pot fi folosite pentru pastrarea orei, dar ele sunt con-trolate sau chiar aservite etaloanelor atomice.

S-au construit ceasuri atomice cu cesiu, rubidiu si ın prezent cu maseri, cuhidrogen atomic etc. Precizia lor poate ajunge pana la 10−13.

Prin urmare, azi ın astronomie se folosesc trei scari de timp:

- scara timpului astronomic universal (TU ); daca se cere o precizie mai bunadecat 0s, 01, trebuie specificata forma ın care este folosit (TU0,TU1 sau TU2 );

- scara timpului (astronomic al) efemeridelor (TE ), utila pentru interpretareaobservatiilor anterioare aparitiei timpului atomic ;si

- scara timpului atomic (fizic) international (TAI ); este bazata pe secundainternationala (SI -unitatea de timp din Sistemul International de Unitati), subforma unei scari continue, ıncepand cu 1 ianuarie 1958.

Mentionam ca la baza difuzarii coordonate a frecventelor standard si a sem-nalelor orare sta scara timpului universal coordonat (TUC ); ea corespunde exact ınviteza cu TAI, de care difera printr-un numar ıntreg de secunde (salt pozitiv saunegativ de secunde) pentru a asigura o concordata aproximativa TU1 ; aceasta pro-cedura se aplica de la 1 ianuarie 1972, corectiile fiind aplicate la 1 ianuarie sau 1iulie.

8.4 Unitatile fundamentale de timp

Unitatea fundamentala de timp este secunda, pe care ınsa o definim diferit,dupa fenomenul stabil considerat:

- pentru timpul universal, secunda este 1/86400 din ziua sosolara medie; variatiaei medie 10−7 este mai mare decat erorile de masurare (10−9) ;

- pentru timpul efemeridelor, secunda este egala cu 1/31 556 925,975 din anultropic 1900,0 ianuarie 12h TE, cu o precizie de cel mult 10−9;

- pentru timpul atomic international, secunda atomica este durata a 9 192 631


770 de perioade de radiatie, corespunzand tranzitiei ıntre cele doua nivele hiperfineale starii fundamentale a unui atom de cesiu 133, neperturbt de campurile exte-rioare electromagnetice, dar tinandu-se seama de campul gravitational existent lasuprafata geoidului. Asigura o precizie de 10−11 secunde.

Pentru nevoile practicii si stiintei, ın diferite tari ale lumii sunt organizateservicii speciale ale orei. Un asemenea serviciu orar modern functioneaza si ın cadrulCentrului de Astronomie si Stiinte Spatiale din Bucuresti. Acesta este dotat cu oluneta reversibila Zeiss (10-100), cu oscilatoare cu cuart Belin si Rhode und Schwartzsi cu un post de radioreceptie a semnalelor orare. Prin sectorul sau orar, Centrul deAstronomie si Stiinte Spatiale este colaborator permanent al Biroului Internationalal Orei (Paris) si al Serviciului International al Miscarii Polului (Mzusawa, Japonia).

8.5 Calendarul

Din cele mai vechi timpuri, omul a cautat ın jurul sau repere si unitati demasura pentru masurarea timpului. Aceste repere au fost astrii, iar unitatile demasura -periodele lor de miscare.

Trei miscari au influentat direct viata omului, fiecare din ele asigurandu-i cateo unitate de timp:

(1) Miscarea aparenta diurna a Soarelui i-a dat perioada ei, ziua solara medie,adica mica unitate de timp.

(2) Repetarea fazelor Lunii i-a dat luna, unitatea mijlocie de timp; aceastaperioada are la baza revolutia sinodica a Lunii, avand o durata de 29,5306 zilemedii.

(3) Repetarea perioadelor de vegetatie (adica miscarea anuala a Soarelui) i-adat unitatea mare de timp, anul ; aceasta perioada are la baza anul tropic avanddurata de 365,2422...zile medii.

Unitatile de timp de mai sus -ziua, luna si anul-, asa cum se vede din valorilelor numerice, nu sunt comensurabile una cu alta; aceasta ınseamna ca nu putem gasio unitate care sa se cuprinda de un numar ıntreg de ori ın celalalte unitati.

Problema calendarului consta ın a gasi o unitate conventionala de timp -anulcalendaristic - care sa cuprinda un numar ıntreg nde zile, ce poate varia cel mult cuo zi, ın asa fel ıncat succesiunea lor sa reproduca succesiunea anilor tropici sau alunilor sinodice.

Diferite popoare, ın decursul veacurilor, au luat ca baza a calendarului lor anul

8.5. CALENDARUL 115

tropic; acestea sunt calendarele solare, care au ca unitate anul calendaristic (cu 365sau 366 zile). Alte popoare au la baza calendarul lor luna sinodica; acestea suntcalendarele lunare care au ca unitate luna, cu un numar ıntreg de zile. Pentru a fideacord si cu periodele de vegetatie, unele popoare, dispunand de calendare lunare,le-au transformat ın calendare luni-solare.

Dar oricare ar fi calendarul, fiecare -ca o influenta reciproca- utilizeaza toateunitatile: ın calendarele solare exista luni arbitrare, iar ın cele lunare exista unan lunar arbitrar. Pe langa aceste unitati, s-a adoptat de catre toate calendareleo noua unitate, saptamana, avand 7 zile; acest numar ısi are originea ın credintageocentrista ca exista 7 planete (ıntre care si Soarele si Luna)

Vom considera cateva moduri de solutionare a problemei calendarului.

Calendare solare. Cel mai vechi calendar solar este cel egiptean, bazat pesuccesiunea revarsarii Nilului. El are 12 luni de cate 30 de zile urmate de cinci zilesuplimentare, deci ın total 365 de zile. Fiind prea scurt, ınceputul lui se deplaseazafata de ınceputul anului tropic, astfel ıncat ın cursul a 1508 ani parcurge toate zileleanului tropic, avansand cu un an fata de succesiunea anilor tropici.

In anul 46 ı.e.n., Iulius Caesar decreteaza utilizarea calendarului ıntocmit deastronomul Sosigne (din Alexandria), calendar cunoscut sub numele de calendariulian sau stil vechi. Durata medie a anului iulian este de 365,25 zile solare medii,considerand ın practica trei ani simpli cu cate 365 zile si al patrulea -an bisect cu 365zile. Aceasta are ınsa un neajuns: ın 384 de ani ıntarzie cu 3 zile fata de succesiuneaanilor tropici.

In secolul XVI, decalarea calendarului iulian fata de anul tropic era de 10 zile.Din acest motiv, papa Grigore al XIII-lea realizeaza ın 1582, cu ajutorul astrono-mului italian Lilius, noua reforma a calendarului, cunoscut sub numele de calendargregorian sau stil nou; acesta este adoptat astazi ın majoritatea tarilor (si ın taranoastra, din anul 1924). Aceasta reforma consta ın:

- adaugarea celor 10 zile de amintite, pentru eliminarea decalajului; astfel,dupa 4 octombrie 1582 a urmat 15 octombrie 1582; ın anul 1924 decalajul a fostde 13 zile, astfel ca 1 octombrie (stil vechi) - cand s-a introdus la noi noul stil- adevenit 14 octombrie;

- suprimarea a trei zile la 400 de ani, neconsiderand bisecti anii seculari al carornumar nu este divizibil cu 4 (1700,1800,1900, - ,2100 etc.) Astfel, lungimea medie aanului gregorian este de 365,2425 zile solare medii, de unde un decalaj (ıntarziere)de o zi, fata de anul tropic, doar la 3300 ani.

Calendare lunare. Majoritatea popoarelor au avut la ınceput un calendarlunar , cu luna calendaristica de 29 de zile si 30 de zile alternativ. Anul lor lunaravea 354 sau 355 zile, adica 12 luni sinodice. Pentru a evita decalajul fata de fazele


Lunii, ei considera cicluri de 30 de ani, ın care 11 ani cu 355 zile, iar 19 ani cu 354zile.

Calendare luni-solare. S-a observat ca 235 luni sinodice ∼= 19 ani tropici.Pe aceasta baza, ıntr-un ciclu de 19 ani, se considera 12 ani cu cate 12 luni si 7 anicu 13 luni. Este atualul calendar evreiesc.

Cronologie. Se numeste era sau ınceputul cronologiei momentul de la carese numara anii ıntr-un sistem oarecare.

Grecii foloseau olimpiadele, ıncepand cu anul 776 ı.e.n. (numit ”ab urbe con-dita”). Dupa raspandirea crestinismului, s-a introdus ”era crestina”, ın care aniise numara de la legendara data a ”nasterii lui Christos”. In prezent, fiind ceamai raspandita, este denumita era noatra (e.n.); pentru anii anteriori acestei ere sementioneaza ınaintea erei noastre (ı.e.n.).

Se mai poate determina timpul prin numararea continua a zilelor, indicandData Juliana (DJ). Aceasta reprezinta Perioada Iuliana: ea ıncepe, ın mod arbtrar,da la 12h TU din 1 ianuarie 4713 ı.e.n. Unitatea este ziua medie. Se utilizeaza ınastronomie, ın special astrofizica, pentru studiul fenomenelor scurtperiodice.

Din punct de vedere practic, neajunsul calendarului actual consta ın ımpartireanerationala a anului ın luni inegale, care nu au un numar ıntreg de saptamani.

Un proiect de calendar propune ımpartirea anului ın patru trimestre de catetrei saptamani; prima luna a fiecarui trimestru ar urma sa aiba 31 de zile, iarurmatoarele doua-cate 30 de zile. In acest mod, fiecare trimestru si fiecare an arıncepe ın aceeasi zi a saptamanii. In anii simpli s-ar adauga o zi suplimentara (derepaos) -ıntre 30 decembrie si 1 ianuarie -, iar ın anii bisecti- doua zile suplimentare(una ıntre 30 iunie si 1 iulie, cealalta ca ın anii simpli).

Probleme propuse:

1. Din Bucuresti s-a observat un satelit artificial al Pamantului la momentult = 17h35m43s, 2. Care a fost momentul sideral al observatiei, stiind ca longitudinealocalitatii Bucuresti este L = +1h34m23s, 46, iar timpul sideral la miezul noptiimijlocii la Greenwich (0hTU) a fost θ0G = 1h13m32s, 6?

2. La Bucuresti s-a determinat timpul sideral, observandu-se trecerea la merid-ian a unei stele avand ascensia dreapta α = 5h05m42s, 03. Care a fost momen-tul de timp legal corespunzator observatiei, stiind ca timpul sideral la 0hTU eraθ0G = 2h24m30s, 5, iar longitudinea localitatii Bucuresti este LCj = 1h34m23s, 46?

3. La Tokyo timpul solar mijlociu este t¯m = 19h53m14s, 5. Sa se determine:

a) timpul fusului la Tokyo, stiind ca LT = 9h19m00s, 0 E si n = 9;

8.5. CALENDARUL 117

b) timpul legal roman corespunzator;

c) timpul sideral corespunzator la Bucuresti ın ziua de 17 octombrie 1973(LCj = 1h34m23s, 5 E si θ0G = 1h41m25s, 2).

4. Doua stele cunoscute, σ(α, δ) si σ′(α′, δ′), observate dintr-un loc de latitu-dine ϕ, ating o aceeasi distanta zenitala la momentele siderale θ si, respectiv, θ′. Sase calculeze aceasta distanta zenitala, precum si latitudinea locului de observare.

QP

P'Q'

Z

Z'

H'

90-o

90- o

δ

90- δo

σ

σ

H'

H

z

z'

H

Figura 8.4: Pentru calculul distantei zenitale a unui astru si al latitudinii locului deobservare.

5. Doua stele de coordonate ecuatoriale cunoscute au, ın acelasi moment(fizic), aceeasi ınaltime. Care este valoarea timpului sideral ın momentul respectiv?

6. Cunoscand directia meridianei si declinatia Soarelui la un moment dat, sase determine ora locala, utilizand pentru aceasta umbra lasata de un stalp verticalde lungime l.

7. Un acuzat de comiterea unei crime ıntr-o zi cunoscuta, la o ora cunoscuta,aduce ca o dovada a nevinovatiei sale o fotografie a sa facuta ın fata unei case dinalt oras. Pe fotografie se vede umbra lasata de un stalp de telegraf, atat pe teren,cat si pe zidul casei. Cum se poate verifica faptul ca fotografia a fost facuta ın ziuasi la ora la care s-a savarsit crima?


8. Sa se reprezinte grafic ”ecuatia timpului”:

E = tm − ta,

Folosind datele numerice din Anuarul Astronomic pentru anul 1997.

9. Care sunt scarile de timp folosite astazi ın astronomie?

Capitolul 9

Teoria perturbatiilor

In acest capitol vom prezenta elemente de teoria perturbatiilor. Am vazut ın Capi-tolul I ca problema celor doua corpuri este o problema complet rezolvabila. Candapar alte acceleratii decat atractia gravitationala, solutia problemei nu mai esteposibila, deoarece integralele nu mai sunt constante, devenind functii de timp, unelepot ramane constante, sau ar pot aparea alte integrale noi. Acceleratia impusa, altadecat a celor doua corpuri, pe care o numim perturbatie, va conduce la un sistemnerezolvabil; deoarece perturbatia va reduce ıntotdeauna numarul de integrale alemiscarii.

Solutia problemei perturbate, utilizand o metoda numerica, este numita metodalui Cowell. In aceasta metoda perturbatia ( ~F ) este tratata ın acelasi fel cu rolul pe

care ıl joaca ın problema celor doua corpuri termenul (µ

r3~r). Avantajul acestei metode

este simplicitatea. Dezavantajul metodei lui Cowell este ca erorile mici aparute laorice moment pot cauza divergenta rapida a solutiei numerice.

Alta abordare a solutiei problemei perturbate a celor doua corpuri printr-ometoda numerica este cunoscuta ca metoda lui Encke. Aceasta metoda rezolvaproblema pentru deviatia (~η)a solutiei (~r) a problemei perturbate din solutia (~ρ) aproblemei neperturbate

..

~ρ +µ

ρ3~ρ = 0.

Ecuatia diferentiala pentru deviatii este

..

~η=µ

ρ3

[(1− ρ3

r3

)(~η + ~ρ)− ~η

]+ ~F

119

120 CAPITOLUL 9. TEORIA PERTURBATIILOR

unde

~η = ~r − ~ρ

iar conditiile initiale sunt −→η0 = 0 si.−→η0= 0. Avantajul metodei lui Encke spre deose-

bire de metoda lui Cowell este ca deviatiile sunt mai mici ın modul decat solutia (~rsau ~ρ). Oricum, cresterea erorii este aceeasi ca si pentru metoda lui Cowell - erorimici implica divergenta solutiei numerice. Un dezavantaj ın plus este ca procesareasolutiei trebuie restartata (un pas numit rectificare) cand magnitudinea deviatiilordevine mare.

O abordare mult mai inteligenta este sa consideram integralele de miscare canoi variabile dependente, pentru care vom dezvolta apoi un nou sistem de ecuatiidiferentiale. Aceasta abordare are avantajul ca (1) ne da perspectiva efectuluiperturbatiei asupra integralelor miscarii; (2) cateodata ne prezinta oportunitateade a rezolva noile ecuatii diferentiale prin cateva aproximari; (3) ne da un nou sis-tem de ecuatii diferentiale care depind de solutia numerica.

9.1 Teoria perturbatiilor. Preliminarii.

Presupunem ca avem un sistem diferential de gradul ıntai

.

~x= ~f(~x, t) (9.1.1)

unde

~xT = (x1, x2, ..., xn) si ~fT = (f1, f2, ..., fn),

care are solutia

~x = ~x(~c, t) (9.1.2)

unde

~cT = (c1, c2, ...cn)

sunt constante de integrare (sau integralele miscarii). Observam ca sistemul (9.1.2)este complet rezolvabil.

9.1. TEORIA PERTURBATIILOR. PRELIMINARII. 121

Fie sistemul (9.1.1) modificat de o functie

~gT (~x, t) = (g1, g2, ...gn),

care este numita perturbatie. Sistemul perturbat este

.

~x= ~f(~x, t) + ~g(~x, t). (9.1.3)

Modificam acum solutia (9.1.2) astfel ıncat aceasta va avea forma

~x = ~x(~c(t), t). (9.1.4)

Observam ca solutiile (9.1.2) si (9.1.4) au aceeasi forma exceptand faptul ca,componentele lui ~c sunt acum functii de variabile independente. Scopul nostru estesa gasim ecuatii diferentiale ale functiilor ck(t).

9.1.1 Exemplu - Oscilatorul Armonic

Ecuatia diferentiala pentru sistemul neperturbat este

x + x = 0 (9.1.5)

care are solutia

x = a cos t + b sin t (9.1.6)

x = −a sin t + b cos t (9.1.7)

Conditiile initiale (la t = 0) sunt

x(0) = a si x(0) = b. (9.1.8)

Ecuatia diferentiala pentru sistemul perturbat este

x + x = g(x, t). (9.1.9)


Solutia ecuatiei (9.1.9) are aceeasi forma ca si ecuatiile (9.1.6) si (9.1.7), dar asi b sunt acum functii de timp. Vom obtine acum solutia ecuatiei (9.1.9) diferentiandecuatia (9.1.6) cu a = a(t) si b = b(t)

x = −a sin t + b cos t + a cos t + b sin t. (9.1.10)

Ecuatia (9.1.10) va avea aceeasi forma ca si ecuatia (9.1.7); astfel

a cos t + b sin t = 0. (9.1.11)

Derivand ecuatia (9.1.7) cu a = a(t) si b = b(t), obtinem

x = −a cos t− b sin t− a sin t + b cos t. (9.1.12)

Substituim ecuatia (9.1.6) ın ecuatia (9.1.12) si obtinem

x = −x− a sin t + b cos t. (9.1.13)

Comparand ecuatia (9.1.13) cu ecuatia (9.1.9) (ecuatia diferentiala pertur-bata), observam ca

− a sin t + b cos t = g. (9.1.14)

Din ecuatiile (9.1.11) si (9.1.14) obtinem ca

a = −g sin t (9.1.15)

b = g cos t. (9.1.16)

De remarcat ca nu am facut nici o presupunere asupra formei perturba- tieig(x, t). Ecuatiile (9.1.6) si (9.1.7) ne dau solutiile ecuatiei (9.1.9) cu a = a(t)si b = b(t), gasite prin rezolvarea ecuatiilor diferentiale (9.1.15) si (9.1.16). Deasemenea este de remarcat ca solutia depinde de forma perturbatiei g(x, t).

9.2 Metoda lui Poisson

Consideram un sistem de ecuatii diferentiale de gradul doi complet rezolvabil

..

~x= ~f(~x,.

~x, t) (9.2.1)

9.2. METODA LUI POISSON 123

unde

~xT = (x1, x2, ...xm) si ~fT = (f1, f2, ..., fm).

Consideram 2m integralele de miscare date de

~σ = ~σ(~x,.

~x, t) = constant (9.2.2)

unde

~σT = (σ1, σ2, ..., σ2m).

Observam ca pentru oricare σk (1 ≤ k ≤ 2m), avem ecuatia

σk =∂σk

∂~x

.

~x +∂σk

∂.

~x

..

~x +∂σk

∂t= 0,

deoarece σk este o constanta. Observam ca derivatele partiale ın raport cu ~x si.

~xsunt matrici de tipul 1×m. Din ecuatia (9.2.1) avem

σk =∂σk

∂~x

.

~x +∂σk

∂.

~x~f +

∂σk

∂t= 0. (9.2.3)

Vom considera sistemul perturbat

..

~x= ~f(~x,.

~x, t) + ~g(~x,.

~x, t). (9.2.4)

Derivata totala a lui σk pentru oricare solutie a ecuatiei (9.2.4) este

σk =∂σk

∂~x

.

~x +∂σk

∂.

~x

..

~x +∂σk

∂t6= 0,

deoarece σk nu mai este constanta. Folosind ecuatia (9.2.4) aceasta devine

σk =∂σk

∂~x

.

~x +∂σk

∂.

~x(~f+~g) +

∂σk

∂t. (9.2.5)

Introducand conditia

σk =∂σk

∂.

~x~g; (9.2.6)



∂σk

∂~x

.

~x +∂σk

∂.

~x~f +

∂σk

∂t= 0, (9.2.7)

care este aceeasi ca si ın cazul neperturbat.


Ecuatia diferentiala a sistemului perturbat este

x = −x + g(x, x, t),

cu m = 1.

Solutia pentru cazul neperturbat (g = 0) este

x = a cos t + b sin t

x = −a sin t + b cos t,

unde a si b sunt constante sau integrale ale miscarii. Rezolvam aceste doua ecuatiiın raport cu integralele a(= σ1) si b(= σ2) si obtinem

σ1 = a = x cos t− x sin t

σ2 = b = x sin t + x cos t.

Pentru acest exemplu, ecuatia (9.2.6) devine

(a

b

)=

∂a

∂x

∂b

∂x

g.

Calculand derivatele partiale ale ecuatiilor (9.2.8) si (9.2.9), obtinem

9.3. VARIATIA PARAMETRILOR LAGRANGE 125

∂a

∂x= − sin t

∂b

∂x= cos t.

Astfel obtinem ca

a = −g sin t

b = g cos t

care este aceeasi solutie cu cea obtinuta ın paragraful precedent.

9.3 Variatia parametrilor Lagrange

Consideram sistemul

.

~x= ~f(~x, t), (9.3.1)

cu

~xT = (x1, x2, ..., xn).

Acest sistem are solutia

~x = ~x(~c, t) (9.3.2)

cu

~cT = (c1, c2, ...cn).

Introducand din nou perturbatia

~gT (~x, t) = (g1, g2, ...gn),



.

~x= ~f(~x, t) + ~g(~x, t). (9.3.3)

Considerand solutia de forma

~x = ~x(~c(t), t). (9.3.4)

Obtinem pentru derivata totala a sa ecuatia

.

~x=∂~x

∂~c

.

~c +∂~x

∂t(9.3.5)

Pentru derivata totala a solutiei neperturbate, x = x(t), tinand seama de(9.3.1) avem relatia

.

~x=∂~x

∂t= ~f (9.3.6)

Din ecuatia (9.3.5) si (9.3.6) obtinem

.

~x=∂~x

∂~c

.

~c +~f. (9.3.7)

Din ecuatia (9.3.7) si (9.3.3) obtinem

∂~x

∂~c

.

~c= ~g. (9.3.8)

De notat ca∂~x

∂~ceste o matrice de forma

∂~x

∂~c=

∂x1

∂c1

∂x1

∂c2

...∂x1

∂cn∂x2

∂c1

∂x2

∂c2

...∂x2

∂c1...

.... . .

...∂xn

∂c1

∂xn

∂c2

...∂xn

∂cn

.

Pentru a rezolva ecuatia (9.3.8) ın raport cu.

~c, acesta matrice trebuie sa fieinversabila; astfel trebuie ca

9.3. VARIATIA PARAMETRILOR LAGRANGE 127

det

[∂~x

∂~c

]6= 0.

Din ecuatia (9.3.8) obtinem solutia noastra sub forma vectoriala

.

~c=

[∂~x

∂~c

]−1

~g. (9.3.9)


Ecuatia diferentiala a sistemului perturbat este

x = −x + g

Fie x1 = x si x2 = x; atunci

x1 = x = x2

x2 = x = −x1 + g

sau

(x1

x2

)=

(x2

−x1

)+

(0

g

),

care este de forma

.

~x =~f+~g.

Cand ~g = 0 atunci solutia este

x1 = a cos t + b sin t

x2 = −a sin t + b cos t,

iar constantele de integrare sunt


~c =

(a

b

).

Cand ~g 6= 0, ecuatia diferentiala (9.3.8) pentru ~c este

∂~x

∂~c

.

~c= ~g.

Atunci avem ecuatia matriciala

(cos t sin t− sin t cos t

)(a

b

)=

(0

g

).

Deoarece matricea este ortogonala, ınmultim ambii membri cu transpusa siobtinem

(cos t − sin tsin t cos t

) (cos t sin t− sin t cos t

)(a

b

)=

(cos t − sin tsin t cos t

)(0

g

),

sau

(1 00 1

)(a

b

)=

( −g sin tg cos t

),

de unde gasim

a = −g sin t

b = g cos t.

9.4 Integralele de miscare a problemei celor doua

corpuri

Integralele de miscare pentru problema celor doua corpuri au fost obtinute ın Capi-tolul I.

Din ecuatia vectoriala

9.4. INTEGRALELE DE MISCARE 129

..

~r +µ

r3~r = 0.

Acestea sunt

1. Integrala ariei (a momentului cinetic)

~c=~r×.

~r= constant.

2. Integrala energiei

h =1

2

.

~r ·.

~r=µ

r= constant.

3. Integrala lui Laplace (vectorul de excentricitate)

~P = µ~ε = −µ

r~r − ~c×

.

~r= constant

4. Timpul trecerii pericentrului

tπ = t−√

a3

µ(E − e sin E) = constant

unde

r = a(1− cos E)

a =−µ

2h

e = |~ε| .

Aceste integrale (~c, ~ε, h, tπ) nu sunt independente, deoarece avem doua relatiide dependenta

~c·~ε = 0

si

p ≡ a(1− e2) =c2

µ=−µ

2h(1− ~ε·~ε).


Figura 9.1: Geometria unei orbite ın spatiu

9.5 Interpretarea lui

~ic, ~iε si ~iN

Din Fig. 9.1, 9.2, obtinem urmatoarele ecuatii pentru versorii unitate ~ic, ~iε si~iN

~ic =1

c~c = sin i sin Ω~ı− sin i cos Ω~j + cos i~k

~iε =1

ε~ε = (cos Ω cos ω − sin Ω sin ω cos i)~i

+(sin Ω cos ω + cos Ω sin ω cos i)~j + sin ω sin i~k

~iN sin i = ~k×~ic

~iN = cos Ω~i + sin Ω

−→j

9.6 Problema perturbata a celor doua corpuri

Miscarea perturbata a celor doua corpuri este descrisa de solutia ecuatiei diferentialede ordinul al doilea

..

~r +µ

r3~r = ~F , (9.6.1)

9.6. PROBLEMA PERTURBATA A CELOR DOUA CORPURI 131

Figura 9.2: Geometria planului orbital

unde ~F reprezinta perturbatia. Cand ~F = 0 avem problema celor doua corpurianalizata ın Capitolul I. Vom obtine unele ecuatii diferentiale pentru cateva dinelementele orbitale.

Figura 9.3: Perturbatia ~F si sistemul de coordonate ~ir, ~ir, ~iφ

9.6.1 Energia si semi-axa mare

Energia este

h =1

2

.

~r ·.

~r −µ

r. (9.6.2)


Cand ~F = 0, h este o integrala de miscare (vezi Fig. 9.3). Cand ~F 6= 0, h va

depinde de natura lui ~F . Aplicand metoda lui Poisson energiei obtinem

h =∂h

∂.

~r~F (9.6.3)

=.

~r ·~F . (9.6.3)

Observam ca∂

∂.

~r(µ

r) = 0. Putem obtine acest binecunoscut rezultat derivand

ecuatia (9.6.2) ın raport cu timpul

h =1

2(2

.

~r ·..

~r) +µ

r2r.

Folosind faptul ca

r =~r·

.

~r

r

obtinem

h =.

~r ·..

~r +µ

r2

~r·.

~r

r=

..

~r ·(..

~r +µ

r3~r).

Acum, din ecuatia (9.6.1) gasim ca

h =.

~r ·~F ,

adica ecuatia (9.6.3), care a fost obtinuta folosind metoda lui Poisson. Cum ıntreenergie si semi-axa mare exista relatia

a =−µ

2h, (9.6.4)

rezulta ca

a =µ

2h2h.

Din ecuatia (9.6.4) obtinem


a =2

µa2

.

~r ·~F . (9.6.5)

Observam din ecuatiile (9.6.3) si (9.6.5) ca expresiile lui h si a nu sunt afectate

de componenta lui ~F care este normala vitezei.

~r, ceea ce ınseamna ca daca.

~r ⊥~F

atunci.

~r ·~F = 0, adica h = 0 si a = 0.

9.6.2 Momentul cinetic

Momentul cinetic este

~c=~r×.

~r, (9.6.6)

si este vector constant daca ~F = 0. Daca ~F 6= 0 vo m aplica metoda lui Poissonpentru a obtine ecuatiile diferentiale

.

~c=

[∂~c

∂.

~r

]~F =

[∂

∂.

~r(~r×

.

~r)

]~F = (~r×)~F

.

~c =~r×~F . (9.6.7)

Reamintim ca ın aceasta dezvoltare am folosit faptul ca un produs vectorialpoate fi reprezentat ca o matrice,

R =∂

∂.

~r(~r×

.

~r) = ~r×,

care este o matrice 3× 3 de forma

R =

0 −x3 x2

x3 0 −x1

−x2 x2 0

,

unde x1, x2, x3 sunt coordonatele carteziene ale lui ~r ıntr-un sistem inertial.

Ecuatia (9.6.7) poate fi obtinuta si diferentiind ecuatia (9.6.6) si folosindecuatia (9.6.1)

.

~c =.

~r ×.

~r +~r×..

~r =~r ×(

~F − µ

r3~r)


.

~c =~r×~F . (9.6.8)

In cele ce urmeaza vom obtine o ecuatie diferentiala pentru modulul momen-tului cinetic astfel

c2 = ~c · ~c

2cc = 2(~c · ~c)

cc = ~c·(~r×~F )

c =1

c~c·~r×~F . (9.6.9)

Exprimand perturbatia ın sistemul de coordonate~ic, ~ir, ~iφ, si tinand seama de−→ic ×−→ir =

−→iφ , obtinem

c = r~iφ·~F .

De remarcat ca c este afectat numai de componenta orizontala a lui ~F .

9.6.3 Inclinatia

Ecuatia diferentiala pentru ınclinatie rezulta din ecuatia lui ~c

~c = c(sin i sin Ω~i− sin i cos Ω~j + cos i~k). (9.6.11)

Deoarece c cos i = ~k · ~c, diferentiind obtinem

c cos i− c sin idi

dt= ~k·

.

~c .

De aici gasim expresia pentrudi

dtsi folosind ecuatiile (9.6.7) si (9.6.8) pentru

.

~c si c obtinem


c sin idi

dt= c cos i− ~k·

.

~c= r~iφ·~F cos i− ~k·~r×~F .

Folosind ~iφ=~ic×~ir obtinem

c sin idi

dt= r

[−→ic cos i− ~k

]· −→ir×~F .

Inlocuind valoarea lui ~ic, obtinem

c sin idi

dt= r

[(sin i sin Ω~i− sin i cos Ω~j + cos i~k) cos i− ~k

]·~ir×~F .

de unde, prin simplificare cu sin i obtinem

cdi

dt= r

[cos i sin Ω~i− cos i cos Ω~j − sin i~k

]·~ir×~F . (9.6.12)

Termenul din paranteza dreapta este ~iN ×~ic.

Astfel rezulta

cdi

dt= r(~iN×~ic) · (~ir×~F ).

Calculand membrul drept vom ajunge la

cdi

dt= r

[(~ic·~F )(~iN ·~ir)− (~ic·~ir)(~iN ·~F )

].

Folosind ~ic ·~ir = 0 si ~ir ·~iN = cos(ω + φ) (vezi Fig. 9.1) obtinem ın final

di

dt=

r

ccos(ω + φ)~ic · ~F . (9.6.15)

Astfel, ınclinatia este afectata numai de o perturbatie normala la planul orbital.


9.6.4 Unghiul nodal Ω

Ecuatia pentru unghiul nodal Ω este

tgΩ =~i·~c−~j·~c,

unde, din ecuatia (9.6.11) avem

~i·~c = c sin i sin Ω

~j·~c = −c sin i cos Ω.

Derivand tgΩ ın raport cu timpul

− sec2 ΩΩ =(~j·~c)(~i·

.

~c )− (~i·~c)(~j·.

~c)

(~j·~c)2.

Inmultind cu (~j · ~c)2 si folosind ecuatia (9.6.11) obtinem

Ω

cos2 Ω(c2 sin2 i cos2 Ω) = (c sin i cos Ω~i + c sin i sin Ω~j)·

.

~c .

sau

Ωc sin i = (cos Ω~i + sin Ω~j)·.

~c .

Folosind ecuatia (9.6.7) pentru.

~c, ecuatia pentru ~iN si folosind ~iN × ~ir =~ic sin(ω + φ) (vezi Fig. 9.1) gasim ca

Ωc sin i =~iN · ~r × ~F = r~iN ×~ir · ~F . (9.6.17)

De unde obtinem

Ω =r

c sin isin(ω + φ)

.

~c ·~F . (9.6.17)

Astfel unghiul nodal ascendent Ω este afectat de perturbatiile normale la planulorbital.


9.6.5 Vectorul lui Laplace

Vom introduce notatia facuta anterior

~P = µ~ε.

Din paragraful 9.4 vectorul lui Laplace este exprimat ın functie de vectorii depozitie si viteza astfel

µ~ε = −µ

r~r − ~c×

.

~r . (9.6.18)

Acesta este un vector constant cand ~F = 0. Daca ~F 6= 0 folosim metoda luiPoisson pentru a obtine ecuatia diferentiala

µ.

~ε=

[∂(µ~ε)

∂.

~r

]~F = −

[∂

∂.

~r(~c×

.

~r)

]~F .

Reamintim ca aici consideram derivata partiala∂

∂.

~r(~c×

.

~r) ca o matrice,

µ.

~ε=

[.

~r × ∂~c

∂.

~r− ~c×

]~F .

Folosind dezvoltarea lui.

~c (9.6.7) ın ecuatia precedenta, avem

.

~c=

[∂~c

∂.

~r

]~F = ~r×~F ,

obtinem

µ.

~ε=.

~r ×(~r × ~F )−(~r×.

~r )×~F . (9.6.19)

Calculand cele doua produse triplu vectoriale obtinem

µ.

~ε= (.

~r ·~F )~r−(~r·.

~r )~F−[(~r·~F ).

~r −(.

~r ·~F )~r],

sau sub forma simplificata

µ.

~ε= 2(.

~r ·~F )~r − (~r·.

~r )~F−(~r·~F ).

~r . (9.6.20)

Bibliografie

[1] Appell, P., Traite de Mecanique rationelle, vol. I-V, ed. 5., Gauthier-Villars,Paris, (1926).

[2] Arnold, V., Methodes mathematiques de la mecanique clasique, Ed. Mir,Moscova, (1976).

[3] Bate, R..R; D.D. Mueller; J.E. White, Fundamentals of Astrodynamics. DoverPublications Inc., New York, (1971).

[4] Baker, P.; M.L. Robert, Astrodynamics: Applications and Advanced Topics,Academic Press, New York, (1967).

[5] Battin, R.H. Astronautical Guidance, Mc Graw Hill, New York, (1964).

[6] Bond, V.R.; M.C. Allman, Modern Astrodynamics, Princeton University Press,New Jersey, (1996).

[7] Green, R.M. Spherical Astronomy. Cambridge University Press, Cambridge,England, (1985).

[8] Iacob, C., Mecanica Teoretica, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti, (1971).

[9] Pal, A.; V. Ureche, Astronomie, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti, (1983).

[10] Pollard, H. Mathematical Introduction to Celestial Mechanics. Prentice-Hall,(1966).

[11] Rosser, J.B; R.R. Newton; G.L. Gross, Mathematical Theory of Rocket Flight,McGraw-Hill Book Co., New York, (1959).

[12] Stuart, W.M., Celestial Mechanics, Longmans, New York, (1953).

[13] Szebehely, V. Adventures in Celestial Mechanics. University of Texas Press,Austin, (1989).

139

140 BIBLIOGRAFIE

[14] Ureche, V., Universul, vol. I. Astronomie, Ed. Dacia, Cluj-Napoca, (1982).

[15] William, T.T., Introduction to Space Dynamics, Wiley, New York, (1961).

astronomia curs

Documents

Transcript of astronomia curs