Aspecte algebrice si computationale ın studiulgeometriilor oscilante

Rezumat

Marian-George CIUCA

Cuprins

Introducere 1

1 Trigonometria numerica asociata geometriei Minkowski 31.1 Trigonometrie ın geometria Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Pseudo-produsul scalar numeric si grupul izometriilor geometriei Minkowski . . . . . . . . . . 41.3 Teoremele Pitagora-Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Aria si unghiul din mijloc ın geometria numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Cercuri Minkowski. Proprietati speciale. Echivalenta teoremei sinusurilor . . . . . . . . . . . 71.6 Obtinerea trigonometriei Lorentz din trigonometria numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Asupra unei clase speciale de suprafete. Benzile lui Mobius 112.1 Varianta clasica a benzii lui Mobius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 O banda Mobius indusa de o curba necoplanara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3 O banda a lui Mobius de curbura Gauss nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Geometrii oscilante. Metricile geometriilor oscilante 153.1 Pseudo-distanta Funk, distanta Klein, distanta Cayley-Poincare . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Semidistanta si distanta Barbilian. Obtinerea distantei hiperbolice prin procedeul lui Barbilian. 153.3 Extensii ale definitiei lui Barbilian. Obtinerea distantelor eliptice si euclidiene prin procedeul

lui Barbilian. Obtinerea metricilor geometriilor curburii constante nule si curburii constantepozitive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.4 Coincidenta locala a distantei Barbilian cu distanta indusa de o metrica riemanniana . . . . . 203.5 Metrica natural indusa de distanta Barbilian si natura ei. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.6 Metrici hiperbolice induse de distante Barbilian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.7 Obtinerea unor metrici Lagrange Generalizate ın cazurile: Primul Cadran, Banda, Sfera si

Banda lui Mobius. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.8 Obtinerea unor metrici Lagrange generalizate natural induse de distanta Barbilian ın ge-

ometriile Lorentz si Minkowski. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4 Studiul metricilor Lagrange generalizate ın Mathematica 304.1 Biblioteca de functii implementata ın mediul de programare Mathematica necesara studiului

metricilor Lagrange generalizate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.2 Exemple de metrici-GL natural induse de distanta Barbilian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Bibliografie 31

i

Introducere

Praga, 23-28 septembrie 1934, Congresul Matematicienilor din Tarile Slave.

Acesta este momentul cand Dan Barbilian a prezentat public pentru prima data un nou procedeu deconstructie a unei distante ın interiorul unei curbe simple ınchise:

”Consideram ın planul euclidian R2 o curba simpla ınchisa K, multimea J = intK si punctele P ∈ K,A, B ∈ J. Presupunem ca raportul distantelor euclidiene PA

PB atinge un maxim M si un minim m candP este variabil pe K. Atunci oscilatia logaritmica ln M

m defineste o distanta ıntre punctele A si B din J.”(Barbilian [3])

Distanta astfel definita se numeste astazi distanta Barbilian (Barbilian [7], [15]), iar metoda care folosesteoscilatia logaritmica poarta numele de procedeul de metrizare Barbilian (Kelly [45]). O prezentare detaliataa evolutiei de-a lungul timpului a procedurii de metrizare introdusa de Barbilian a fost realizata de Boskoffsi Suceava (ın [27]).

Distanta apolloniana a fost introdusa pentru prima data de Barbilian ın articolul sau [3] din 1934. Inlucrarile lui P. J. Kelly (ın [45]), L. M. Blumenthal (ın [13]) si W. G. Boskoff (ın [14], [15], [16], [17],[18], [19], [20]) aceasta distanta apare cu numele de distanta Barbilian. W. G. Boskoff s-a ocupat si degeneralizarile acestei distante, apeland la o abordare axiomatica pentru studiul geodezicelor si continuand,astfel, rezultatele lui Barbilian ın aceasta directie.

Pornind de la articolul [10] lui A. F. Beardon din 1998, F. W. Gehring si K. Hag (ın [32]), Z. Ibragimov(ın [42], [43], [44]) si P. A. Hasto (ın [33], [34], [35], [36], [37], [38], [39], [40]) au abordat aceasta tematica adistantelor apolloniene folosind tehnici de analiza complexa.

Barbilian a studiat si cazul ın care curba K este cerc si a demonstrat coincidenta dintre distanta introdusade el si distantele Klein si Cayley-Poincare (Teorema 3.2.7). Deducem de aici o conexiune intrinseca ıntrespatiul metric Barbilian obtinut si geometria Lobacevski din modelul Klein-Poincare.

Teza este structurata ın 4 capitole.In lucrarea de fata studiem metricile natural induse de distantele geometriilor oscilante (ın Capitolul

3). In acesta maniera, ın afara de metrici riemanniene consacrate obtinem si metrici Lagrange generalizateasociate geometriilor Lorentz si Minkowski. Pentru aceasta din urma determinam si o trigonometrie numericaın Capitolul 1, pornind de la articolele lui Birman si Nomizu ([11]) si Felsager ([29], [30]).

Considerand R−spatiul vectorial R2 si spatiul afin asociat peste P = R2, forma biliniara si pozitiv definita(produsul scalar euclidian)

〈x, y〉E := x1y1 + x2y2, ∀x = (x1, x2) , ∀y = (y1, y2) ,

ımpreuna cu grupul

GE ={

A (α) | A (α) =(

cosα sin α− sinα cosα

), α ∈ R

}produc geometria euclidiana ın planul P .

Birman si Nomizu (ın [11]), stabilind pe R−spatiul vectorial R2 forma biliniara (pseudo-produsul scalarlorentzian)

〈x, y〉L := x1y1 − x2y2, ∀x = (x1, x2) , ∀y = (y1, y2) ,

ımpreuna cu grupul matricelor de forma

GL ={

A (α) | A (α) =(

ch α sh αsh α ch α

), α ∈ R

},

1

au determinat o trigonometrie asociata geometriei Lorentz care depinde de functiile ch α si sh α ce apar ındefinitia lui A (α). Pornind de la aceste idei si considerand pe acelasi R−spatiul vectorial R2 forma biliniara(pseudo-produs scalar numeric)

〈x, y〉N := x1y2 + x2y1, ∀x = (x1, x2) , ∀y = (y1, y2) ,

si grupul matricelor de forma

GN ={

B (a) | B (a) =(

a 00 1

a

), a ∈ R

∗}

,

am construit o trigonometrie numerica asociata geometriei Minkowski care depinde de numerele reale a dincomponenta matricelor B (a) . Aceste matrice, B (a) , invariaza pseudo-produsul scalar numeric si producechivalentul teoremelor lui Pitagora generalizata (Teorema 1.3.5), Pitagora (Teorema 1.3.15) si teoremeisinusurilor (Teorema 1.5.11) din geometriile euclidiana si Lorentz.

De asemenea, notiunea de cerc Minkowski, prezentata ın Sectiunea 1.5, este utilizata (ın Sectiunea3.8) la determinarea unei metrici Lagrange generalizata natural indusa de distanta Barbilian.

In finalul Capitolului 1, considerand subgrupul

G′N =

{B (α) | B (α) =

(eα 00 e−α

), α ∈ R

}≤ GN ,

am reconstituit geometria si trigonometria Lorentz ıntr-o forma echivalenta cu cea prezentata ın (Birman siNomizu [11]). Am reprodus, astfel, cu ajutorul functiilor eα si e−α, functiile hiperbolice din trigonometriaLorentz, ch α si sh α, din (Birman si Nomizu [11]) si echivalentele teoremelor lui Pitagora si sinusurilor dingeometria euclidiana.

Banda lui Mobius este un exemplu canonic de suprafata cu o singura fata. Ea se poate obtine, practic,dintr-o banda de hartie careia i se unesc capetele dupa ce unul dintre ele se roteste, ın prealabil, cu 180◦.Importanta studierii unei astfel de suprafete este ıntarita de noi descoperiri din domeniul nanostructurilor,fiind regasite ın forma cristalelor de NbSe3 (selenura de niobiu) ın urma unor conditii speciale de transformaretermica si chimica (Starostin si van der Heiden [51]). Astfel, modelarea si, implicit, interesul matematiccapata sens mai ales atunci cand cautam parametrizari ale benzilor Mobius care sa reprezinte suprafetedesfasurabile (adica de curbura Gauss nula). In aceasta directie, ın Capitolul 2, am cautat obtinerea unorbenzi Mobius ce provin dintr-o clasa de suprafete generate de o curba c si un vector mobil v si definite prinf : (a, b) × (0, 2π) → R3 de forma

f (s, t) := c (t) + s · v (t) , ∀s ∈ (a, b) , ∀t ∈ (0, 2π) .

Pe parcursul capitolului am identificat cateva suprafete de curbura Gauss nula cunoscute (conul si cilin-drul), dar si benzi ale lui Mobius care nu corespundeau cerintelor. Am ıncheiat capitolul cu exemplul luiSchwartz din (Schwartz [49], Schwartz [50]), justificand alegerea vectorului mobil generator v din punct devedere teoretic. Benzile Mobius de curbura Gauss nula sunt importante ıntrucat admit ın afara de metricariemanniana o metrica Lagrange generalizata indusa de o configuratie specifica ce apare ın studiul metricilorinduse de distanta Barbilian. Rezultatul este explicat ın Capitolul 3 pornind de la modelul benzii ın plan.

Capitolul 3 este capitolul central al lucrarii. Prin intermediul geometriilor oscilante identificam modeleparticulare de geometrii. Apeland la demonstratii algebrice si computationale de existenta a distantelorBarbilian pe diferite multimi, reconstituim ıntr-o maniera originala distantele euclidiene si eliptice, dar simetrici ale geometriilor de curbura riemanniana constanta (ın Sectiunea 3.3). Realizand o extindere arezultatelor lui Barbilian, obtinem metrica hiperbolica pe Disc si Semiplanul Superior (ın Sectiunea 3.6) simetrici Lagrange generalizate natural induse de distanta Barbilian ın Primul Cadran, Banda, Sfera si BenzileMobius de curbura Gauss nula (ın Sectiunea 3.7) si ın geometriile Lorentz si Minkowski (ın Sectiunea3.8).

Datorita volumului crescut de calcule implicate ın studiul metricilor Lagrange generalizate, devine totmai actuala problematica utilizarii calculatorului si al produselor software de tip CAS (Computer Alge-bra System). Beneficiind de suportul mediului de programare Mathematica (Wolfram [53], Vosler [52]) sibazandu-ne pe suportul teoretic din (Anastasiei [1]), (Miron [46]) si (Anastasiei, Bucataru si Miron [48]),ın Capitolul 4 am realizat un pachet de functii necesar studiului metricilor−GL definite pe GL−spatii dedimensiune n. Sectiunea 4.2 evidentiaza utilitatea acestei biblioteci prin studiul a cinci exemple (patru ındimensiunea 2 si unul ın dimensiunea 3) ıntalnite ın Capitolul 3.

2

Capitolul 1

Trigonometria numerica asociata

geometriei Minkowski

In acest capitol am dezvoltat trigonometria asociata geometriei Minkowski relevand proprietatile specificepornind de la comparatia cu geometria euclidiana si geometria Lorentz, aceasta din urma analizata ıntr-unmod cat se poate de sugestiv de catre Birman si Nomizu [11].

Consideram R-spatiul vectorial R2 si spatiul afin asociat realizat peste multimea P = R2. Produsul scalareuclidian 〈x, y〉E := x1y1 + x2y2, pentru orice x = (x1, x2) si y = (y1, y2) , ımpreuna cu grupul

GE ={

A (α) | A (α) =(

cosα − sinαsin α cosα

), α ∈ R

}conduc la obtinerea geometriei euclidiene ın planul P .

Pentru acelasi plan forma biliniara 〈x, y〉L := x1y1 − x2y2, pentru orice x = (x1, x2) si y = (y1, y2) ,ımpreuna cu grupul

GL ={

A (α) | A (α) =(

coshα sinh αsinh α coshα

), α ∈ R

},

conduc la obtinerea geometriei Lorentz.Trigonometria asociata geometriei Lorentz este dezvoltata de catre Birman si Nomizu [11] si o vom

prezenta fara demonstratii ın primul subcapitol. Felsager ([29], [30]) a facut o introducere ın geometriaMinkowski fara a dezvolta, ınsa, si trigonometria aferenta.

Vom arata ca este posibila introducerea unei trigonometrii Minkowski care se bazeaza numai pe numerereale si nu pe functii. Acest lucru este posibil prin alegerea unui grup convenabil care invariaza forma biliniaraMinkowski. Aceasta trigonometrie va fi numita trigonometrie numerica asociata geometriei Minkowski.

De la ınceput trebuie spus ca trigonometria numerica si trigonometria Lorentz sunt diferite. Pentru asustine aceasta afirmatie vom arata ca grupurile asociate nu sunt izomorfe. Mai precis, vom utiliza propozitia(adevarata) ”pentru un corp comutativ (K, +, ·) grupurile (K, +) si (K∗, ·) nu sunt izomorfe”.

Grupul (GN , ·) , cel care va crea geometria Minkowski si trigonometria numerica si pe care ıl vom evidentiaın cele ce urmeaza, este izomorf cu (R∗, ·) .

Grupul (GL, ·) , cel care creaza geometria si trigonometria Lorentz, este izomorf cu (R, +) .Cum cele doua grupuri nu sunt izomorfe, cele doua geometrii si trigonometriile lor sunt diferite.In debutul acestui capitol am prezentat fara demonstratii rezultatele din articolul Birman si Nomizu [11].

1.1 Trigonometrie ın geometria Lorentz

Pe spatiul vectorial real R2 consideram forma biliniara 〈·, ·〉L definita prin

〈x, y〉L := x1y1 − x2y2, ∀x = (x1, x2) , ∀y = (y1, y2) . (1.1.1)

Numim ın continuare aceasta forma biliniara pseudo-produs scalar lorentzian si notam cuL2 :=

(R2, 〈·, ·〉L

).

Notam prin GL multimea matricelor de forma

GL :={

A (u) | A (u) =(

chu sh ushu chu

), u ∈ R

}. (1.1.2)

3

Propozitia 1.1.1. Matricele din GL pastreaza pseudo-produsul scalar lorentzian

〈A (u)x, A (u) y〉L = 〈x, y〉L , ∀x = (x1, x2) , ∀y = (y1, y2) .

Grupul GL va avea acelasi rol pe care ıl are grupul rotatiilor

G :={

R (u) | R (u) =(

cosu − sin usin u cosu

), u ∈ R

}din geometria euclidiana, care pastreaza produsul scalar euclidian.

Pornind de la ideile acestui articol, prezentate pe scurt ın acest subcapitol, precum si de la Felsager [29]si [30], am dezvoltat o trigonometrie numerica ın geometria Minkowski si o voi prezenta ın continuare. Deasemenea, aceste rezultate fac parte din articolul Boskoff si Ciuca [22].

1.2 Pseudo-produsul scalar numeric si grupul izometriilor geometriei Minkowski

Consideram pe R−spatiul vectorial R2 aplicatia

〈·, ·〉N : R2 × R2 → R

definita prin〈x, y〉N := x1y2 + x2y1, ∀x = (x1, x2) , ∀y = (y1, y2) .

Propozitia 1.2.1. Aplicatia definita mai sus are urmatoarele proprietati:a) 〈x, y〉N = 〈y, x〉N (simetrie)b) 〈ax′ + bx′′, y〉N = a 〈x′, y〉N + b 〈x′′, y〉N (liniaritate ın prima variabila)c) 〈x, ay′ + by′′〉N = a 〈x, y′〉N + b 〈x, y′′〉N (liniaritate ın a doua variabila)

Definitia 1.2.2. Vom numi aplicatia biliniara si simetrica definita mai sus pseudo-produs scalar nu-meric sau forma biliniara Minkowski.

Definitia 1.2.3. Un vector x pentru care:a) 〈x, x〉N = 0 se numeste vector Minkowski de tip nul (sau simplu, vector nul);b) 〈x, x〉N > 0 se numeste vector Minkowski de tip pozitiv (sau simplu, vector pozitiv);c) 〈x, x〉N < 0 se numeste vector Minkowski de tip negativ (sau simplu, vector negativ).

Fig. 1.1: Tipuri de vectori ın geometria Minkowski

Definitia 1.2.4. Prin pseudo-norma unui vector x = (x1, x2) ıntelegem ‖x‖N :=√|〈x, x〉N |.

Prin urmare, ‖x‖N =√|2x1x2|.

Sa consideram grupul GN =

{A (a) | A (a) =

(a 0

01a

), a ∈ R∗

}ın raport cu operatia de ınmultire.

Este evident ca A (a) · A (b) = A (ab) , deci (GN , ·) (R∗, ·) .

4

Propozitia 1.2.5. Urmatoarele afirmatii sunt adevarate:

i) Pseudo-produsul scalar numeric este conservat de grupul (GN , ·) .ii) Pseudo-norma unui vector este conservata de grupul (GN , ·) .iii) Tipul unui vector este conservat de grupul (GN , ·) .iv) |〈x, y〉N | � ‖x‖N · ‖y‖N , pentru orice doi vectori de acelasi tip (pozitivi sau negativi) x si y.v) Suma a doi vectori pozitivi (respectiv negativi) din acelasi cadran este tot un vector pozitiv (respectiv

negativ).vi) ‖x + y‖N � ‖x‖N + ‖y‖N , pentru vectorii x si y din acelasi cadran.

In sectiunea urmatoare prezentam echivalenta teoremei Pitagora din geometria euclidiana.

1.3 Teoremele Pitagora-Minkowski

Fie x un vector pozitiv de pseudo-norma unitara, adica x = (x1, x2) , ‖x‖N = 1 ⇔ 2x1x2 = 1.

Definitia 1.3.1. Spunem ca a ∈ R∗ este unghiul Minkowski (sau mai simplu unghiul) dintre vectorii xsi y daca y = A (a)x, unde A (a) ∈ GN .

Observatia 1.3.2. Norma vectorului y = A (a)x este tot 1.

Observatia 1.3.3. De asemenea, remarcam, prin calcule simple, urmatoarele:a) daca x este pozitiv, atunci y este pozitiv si, pentru a > 0, vectorul y − x este negativ,b) daca x este pozitiv, atunci y este pozitiv si, pentru a < 0, vectorul y − x este pozitiv,c) daca x este negativ, atunci y este negativ si, pentru a > 0, vectorul y − x este pozitiv,d) daca x este negativ, atunci y este negativ si, pentru a < 0, vectorul y − x este negativ.

Ne-am propus sa calculam ın continuare 〈x, y〉N pentru y = A (a)x.

Teorema 1.3.4. Pentru y = A (a)x, unde x este vector pozitiv cu ‖x‖N = 1 si A (a) ∈ GN , avem

〈x, y〉N =12

(a +

1a

). (1.3.1)

Teorema 1.3.5. (Teorema lui Pitagora-Minkowski generalizata) (Boskoff, Ciuca [22]) Pentru vectorii poz-itivi x si y, avem o relatie de forma

〈x, y〉N‖x‖N · ‖y‖N

=12

(a +

1a

). (1.3.2)

Definitia 1.3.6. Un triunghi ABC se numeste triunghi Minkowski pozitiv pur (sau simplu, triunghi

pozitiv pur) daca vectorii−→AB si

−→BC sunt vectori Minkowski pozitivi.

Observatia 1.3.7. Conform Propozitiei 1.2.5, ın triunghiul ABC Minkowski pozitiv pur, vectorul−→AC este

si el vector Minkowski pozitiv.

Propozitia 1.3.8. Fie vectorul pozitiv−→OA= (x1, x2) si consideram punctul B, necoliniar cu O si A, astfel

ıncat vectorul−→AB sa fie pozitiv, iar unghiul dintre vectorii

−→OA si

−→OB sa fie a. Atunci avem∥∥∥∥−→

AB

∥∥∥∥2

N

=∥∥∥∥−→OA

∥∥∥∥2

N

+∥∥∥∥−→OB

∥∥∥∥2

N

−(

a +1a

)∥∥∥∥−→OA

∥∥∥∥N

∥∥∥∥−→OB

∥∥∥∥N

. (1.3.3)

Relatia obtinuta este similara cu enuntul teoremei lui Pitagora generalizata din geometria euclidiana.

Observatia 1.3.9. Daca vectorii−→OA si

−→AB sunt negativi, atunci relatia (1.3.3) are loc de asemenea.

Am sintetizat cele doua rezultate de mai sus ın urmatoarea propozitie.

5

Propozitia 1.3.10. Fie x si y doi vectori de acelasi tip (pozitivi sau negativi) pentru care unghiul formateste a astfel ıncat vectorul y − x este de acelasi tip. Atunci

‖y − x‖2N = ‖x‖2

N + ‖y‖2N −

(a +

1a

)‖x‖N ‖y‖N .

Definitia 1.3.11. Fie x = (x1, x2) un vector care nu este nul. Atunci vectorul y = (y1, y2) se numesteperpendicular pe x daca 〈x, y〉N = 0.

Observatia 1.3.12. Vectorul x = (x1, x2) nu este nul, deci x1 �= 0 si x2 �= 0. Rezulta ca si vectorul y,perpendicular pe x, nu este nul. Prin urmare, y1 �= 0 si, deci exista c �= 0 astfel ıncat y1 = c · x1. Rezulta cay2 = −c · x2. Prin urmare, vectorul y, perpendicular pe x, este de forma

y = (cx1,−cx2) , unde c �= 0.

Fig. 1.2: Triunghi Minkowski dreptunghic

Putem da atunci urmatoarea definitie:

Definitia 1.3.13. Daca vectorii−→OA si

−→OB sunt pozitivi, iar vectorul

−→AB este construit ca mai sus astfel

ıncat⟨−→

OA,−→AB

⟩N

= 0, triunghiul OAB se numeste triunghi Minkowski-dreptunghic (sau mai simplu,

triunghi dreptunghic) ın geometria Minkowski. OA si AB se vor numi catete Minkowski, iar OBipotenuza Minkowski.

Propozitia 1.3.14. (Boskoff si Ciuca [22]) Fie triunghiul Minkowski-dreptunghic OAB. pentru care⟨−→OA,

−→AB

⟩N

= 0. Atunci ∥∥∥∥−→OA

∥∥∥∥N∥∥∥∥−→

OB

∥∥∥∥N

=12

(a +

1a

)si

∥∥∥∥−→AB

∥∥∥∥N∥∥∥∥−→

OB

∥∥∥∥N

=12

∣∣∣∣a − 1a

∣∣∣∣ .Putem conchide acum asupra urmatorului rezultat ce reprezinta echivalenta teoremei lui Pitagora din

geometria euclidiana.

Teorema 1.3.15. (Teorema Pitagora-Minkowski) (Boskoff si Ciuca [22])

Fie triunghiul Minkowski-dreptunghic OAB pentru care⟨−→

OA,−→AB

⟩N

= 0.

Atunci ∥∥∥∥−→OA

∥∥∥∥2

N

−∥∥∥∥−→AB

∥∥∥∥2

N

=∥∥∥∥−→OB

∥∥∥∥2

N

,

unde−→OA (vector pozitiv) si

−→AB (vector negativ) sunt catetele Minkowski, iar

−→OB este ipotenuza Minkowski.

6

1.4 Aria si unghiul din mijloc ın geometria numerica

In aceasta sectiune vom introduce ın geometria Minkowski aria Minkowski si unghiul din mijloc pentru untriunghi pozitiv pur.

Definitia 1.4.1. Fie x = (x1, x2) si y = (y1, y2) doi vectori pozitivi. Notam cu σ (x, y) aria Minkowski(sau simplu aria) a paralelogramului determinat de x si y. Prin definitie,

σ (x, y) := |x1y2 − x2y1| .Propozitia 1.4.2. Aria Minkowski este un invariant ın raport cu grupul GN .

Definitia 1.4.3. Aria unui triunghi Minkowski pozitiv pur este jumatate din aria paralelogramului

format de vectorii−→OA si

−→AB (vectori pozitivi).

Propozitia 1.4.4. Aria unui triunghi Minkowski pozitiv pur este data de formula

σOAB (x, y) =14

∥∥∥∥−→OA

∥∥∥∥N

∥∥∥∥−→OB

∥∥∥∥N

∣∣∣∣a − 1a

∣∣∣∣ .Teorema 1.4.5. (Boskoff si Ciuca [22]) Intr-un triunghi Minkowski OAB pozitiv pur, masura unghiuluiMinkowski din mijloc este egala cu produsul celorlalte doua.

Fig. 1.3: Unghiul din mijloc ın triunghiul pozitiv pur OAB

Corolarul 1.4.6. (Boskoff si Ciuca [22]) In triunghiul Minkowski OAB daca notam unghiul dintre vectorii−→OA si

−→OB cu a, unghiul dintre

−→OB si

−→AB cu b, iar unghiul dintre

−→AB si

−→OA cu c, avem abc = 1.

Observatia 1.4.7. Intr-un triunghi Minkowski daca stabilim o ordine de parcurgere a laturilor, produsulunghiurilor este 1.

1.5 Cercuri Minkowski. Proprietati speciale. Echivalenta teoremei si-

nusurilor

In cele ce urmeaza vom introduce notiunea de cerc ın geometria Minkowski si vom evidentia echivalentateoremei sinusurilor din geometria euclidiana.

Definitia 1.5.1. Multimea punctelor X care verifica ecuatia⟨ −→

OX,−→OX

⟩N

= −r2 se numeste cerc Minkowski

negativ cu centrul ın origine .

Propozitia 1.5.2. Orice trei puncte din acelasi cadran ale unui cerc negativ cu centrul ın origine determinaun triunghi pozitiv pur. Mai mult decat atat, si vectorii tangenti la acest cerc sunt pozitivi.

Definitia 1.5.3. Multimea punctelor M care verifica ecuatia⟨ −→PM,

−→PM

⟩N

= −r2

se numeste cerc Minkowski negativ (sau simplu cerc negativ) cu centrul ın P.

7

In cele ce urmeaza vom arata ca orice triunghi Minkowski pozitiv pur este inscriptibil ıntr-un cercMinkowski negativ si ın acest sens vom demonstra urmatoarea teorema.

Teorema 1.5.4. (Boskoff si Ciuca [22]) Fie triunghiul Minkowski pozitiv pur ABC, unde A (a1, a2) ,B (b1, b2) , C (c1, c2) . Atunci exista un cerc Minkowski negativ care le contine.

Ca si ın geometria euclidiana, pentru un cerc Minkowski negativ avem proprietatea:

Teorema 1.5.5. (Boskoff si Ciuca [22]) Vectorii tangenti sunt pozitivi si perpendiculari pe vectorii raza ınpunctul de tangenta.

Pentru a demonstra echivalenta teoremei sinusurilor din geometria euclidiana, avem nevoie de notiuneade unghi la centru subıntins de o coarda a cercului. In acest demers, vom da urmatoarea definitie.

Definitia 1.5.6. Pentru doua puncte A si B de pe un cerc Minkowski negativ, definim unghiul Minkowski

la centru (sau simplu, unghiul la centru) al coardei AB prin unghiul Minkowski dintre vectorii−→OA si

−→OB .

Teorema 1.5.7. (Boskoff si Ciuca [22]) Fie A si B doua puncte de pe cercul Minkowski negativ 2xy = −r2.

Atunci patratul unghiului Minkowski dintre tangenta−→tB ın B si coarda

−→AB este egal cu unghiul Minkowski

la centru al coardei AB.

Corolarul 1.5.8. Fie A si B doua puncte de pe cercul Minkowski negativ 2xy = −r2. Atunci coarda AB

face acelasi unghi Minkowski cu tangentele−→tA si

−→tB .

Corolarul 1.5.9. (Boskoff si Ciuca [22]) Fie ABC un triunghi Minkowski pur pozitiv ınscris ıntr-un cercMinkowski negativ. Atunci unghiul Minkowski de mijloc B este egal cu unghiul Minkowski la centru al coardeiAC. Astfel, daca A si C sunt fixe, iar B este mobil pe cercul negativ, unghiul B este constant.

Ca si ın geometria euclidiana, regula de sumare a doua unghiuri se traduce prin urmatoarea propozitie:

Propozitia 1.5.10. (Boskoff si Ciuca [22]) Fie patru puncte O1 (1, 1) , A

(a,

1a

), B

(b,

1b

)si C

(c,

1c

)pe cercul Minkowski unitate xy = 1 astfel ıncat O1C‖AB. Atunci unghiul Minkowski dintre vectorii pozitivi−→

OO1 si−→OC este produsul unghiurilor Minkowski dintre vectorii pozitivi

−→OO1 si

−→OA si, respectiv,

−→OO1 si

−→OB .

Fig. 1.4: Regula de sumare a doua unghiuri Minkowski

Prin analogie cu geometria euclidiana vom identifica corespondenta teoremei sinusurilor ıntr-un triunghiMinkowski pozitiv pur.

8

Teorema 1.5.11. (Echivalenta teoremei sinusurilor) (Boskoff si Ciuca [22]) Fie ABC un triunghi Minkowski

pozitiv pur. Notam cu a, b si, respectiv, c, unghiurile dintre vectorii−→AC si

−→AB,

−→AB si

−→BC si, respectiv,

−→BC

si−→AC. Atunci ∥∥∥∥−→

AB

∥∥∥∥N

12

∣∣∣∣c − 1c

∣∣∣∣ =

∥∥∥∥−→BC

∥∥∥∥N

12

∣∣∣∣a − 1a

∣∣∣∣ =

∥∥∥∥−→AC

∥∥∥∥N

12

∣∣∣∣b − 1b

∣∣∣∣ = 2r.

Fig. 1.5: Echivalenta teoremei sinusurilor din geometria euclidiana

1.6 Obtinerea trigonometriei Lorentz din trigonometria numerica

Consideram subgrupul G′N =

{B (α) | B (α) =

(eα 00 e−α

), α ∈ R

}� GN .

Astfel avem (G′N , ·) (R, +) � (R∗, ·) .

Vom arata ca grupul (G′N , ·) induce geometria si trigonometria Lorentz ıntr-o forma echivalenta cu cea

pe care o avem prezentata ın [11]. Vom explica pentru ınceput diferenta dintre cele doua geometrii. Dinpunct de vedere algebric, ın [11] se studiaza invariantii formei u2 − v2, iar ın teza studiem invariantii formei2uv. Aducerea la forma canonica a ultimei forme se face cu matricea⎛⎜⎝

1√2

− 1√2

1√2

1√2

⎞⎟⎠ .

Am obtine astfel prima forma, cea corespunzatoare cazului Lorentzian. Insa aducerea la forma canonicanu poate fi efectuata decat cu matrice din G′

N , iar matricea anterioara nu face parte din G′N . Deci se va

obtine o trigonometrie Lorentz echivalenta.

Definitia 1.6.1. Vectorii si triunghiurile Minkowski, definite mai sus, se vor numi ın acest caz vectori, si,respectiv, triunghiuri Minkowski-Lorentz.

Fie x = (x1, x2) un vector pozitiv de lungime 1, ‖x‖N = 1 ⇔ 2x1x2 = 1.

Definitia 1.6.2. Daca x este un vector unitar, iar y = B (α)x, atunci spunem ca α este unghiul Minkowski-Lorentz dintre vectorii x si y.

Observatia 1.6.3. Practic, se face ınlocuirea a → eα. Observam ca norma vectorului y este tot 1.

In continuare, ne propunem sa calculam 〈x, y〉N pentru y = B (α)x.

9

Teorema 1.6.4. Pentru y = B (α)x, avem 〈x, y〉N = ch α.

Extindem notiunea de unghi ıntre doi vectori x si y de lungimi diferite de 1 prin urmatoarea:

Teorema 1.6.5. (Teorema Pitagora-Lorentz generalizata) Pentru orice vectori pozitivi x si y, avem

〈x, y〉N‖x‖N · ‖y‖N

= ch α.

Fie triunghiul OAB Minkowski-Lorentz dreptunghic cu vectorii−→OA si

−→OB pozitivi de unghi α, iar

−→AB

negativ astfel ıncat⟨−→

OA,−→AB

⟩N

= 0.

In triunghiul Minkowski-Lorentz dreptunghic, corespondentele functiilor trigonometrice din geometriaeuclidiana sunt

cateta alaturataipotenuza

=

∥∥∥∥−→OA

∥∥∥∥N∥∥∥∥−→

OB

∥∥∥∥N

= ch α

si, respectiv,

cateta opusaipotenuza

=

∥∥∥∥−→AB

∥∥∥∥N∥∥∥∥−→

OB

∥∥∥∥N

= sh α.

Teorema 1.6.6. Intr-un triunghi OAB Minkowski-Lorentz pozitiv pur, masura unghiului Minkowski dinmijloc este egala cu suma celorlalte doua.

Urmatoarele doua propozitii se traduc ın mod evident ın geometria Lorentz echivalenta.

Propozitia 1.6.7. Aria unui triunghi Minkowski-Lorentz pozitiv pur este data de formula

σOAB (x, y) =12

∥∥∥∥−→OA

∥∥∥∥N

∥∥∥∥−→OB

∥∥∥∥N

shα.

Propozitia 1.6.8. Fie patru puncte O1 (1, 1) , A (eα, e−α) , B(eβ , e−β

)si

C (eγ , e−γ) pe cercul unitate xy = 1 astfel ıncat O1C‖AB. Atunci γ = α + β, adica unghiul Minkowski-

Lorentz dintre vectorii pozitivi−→

OO1 si−→OC este suma unghiurilor Minkowski-Lorentz dintre vectorii pozitivi

−→OO1 si

−→OA si, respectiv,

−→OO1 si

−→OB .

Teorema 1.6.9. (Teorema sinusului hiperbolic)Fie ABC un triunghi Minkowski-Lorentz pozitiv pur. Atunci∥∥∥∥−→

AB

∥∥∥∥N

sh C=

∥∥∥∥−→BC

∥∥∥∥N

sh A=

∥∥∥∥−→AC

∥∥∥∥N

sh B= 2r.

In forma prezentata, geometria Minkowski permite constructia trigonometriei numerice si particularizareaei la echivalentul trigonometriei Lorentz.Adunarea unghiurilor ısi pastreaza sensul legii de compozitie de pe o conica, determinata de paralelismuleuclidian printr-un varf al ei, ın cazul de fata o hiperbola echilatera. Formulele se obtin ın mod natural, iarinterpretarile lor geometrice de tip Minkowski sau Lorentz se fac, dupa cum am putut observa, prin analogiecu geometria clasica.

10

Capitolul 2

Asupra unei clase speciale de

suprafete. Benzile lui Mobius

Acest capitol a fost dedicat studiului suprafetelor de rotatie definite prin

f : (a, b) × (0, 2π) → R3,

de formaf (s, t) = c (t) + s · v (t) , (2.0.1)

unde a, b ∈ R, a < b, c : (0, 2π) → R3 este o curba ın pozitie generala, iar v : (0, 2π) → R3 este un vectormobil.

Definitia 2.0.10. Curba c se numeste curba generatoare a suprafetei, iar pe v se numeste vector generator.

Presupunem cunoscute notiunile de baza ale geometriei diferentiale a curbelor si suprafetelor din spatiuleuclidian R3.

Pentru curba c de mai sus notam cu k1 (t) si k2 (t) , curbura si, respectiv, torsiunea sa, iar cu e1 (t)versorul tangent, e2 (t) versorul normal si e3 (t) versorul binormal ale reperului Frenet asociat curbei.

De asemenea, pentru suprafata f, vom nota cu∂f

∂ssi

∂f

∂tvectorii tangenti, cu N (s, t) versorul normal la

suprafata, iar cu K (s, t) curbura Gauss.

Exemplul 2.0.11. Conul.

Considerand curba c : (0, 2π) → R3, definita prin

c (t) = (cos t, sin t, 1) , ∀t ∈ (0, 2π)

si vectorul v : (0, 2π) → R3, de forma

v (t) = (cos t, sin t, 1) , ∀t ∈ (0, 2π) ,

obtinem suprafata f : (−1, 1) × (0, 2π) → R3 prin procedeul (2.0.1) cu ecuatiile parametrice

f (s, t) = ((1 + s) cos t, (1 + s) sin t, 1 + s) , ∀s ∈ (−1, 1) , ∀t ∈ (0, 2π) .

Aceasta suprafata este un con circular drept, iar curbura sa Gauss este nula.Folosind procedeul descris mai sus, (2.0.1), am generat si studiat mai multe benzi Mobius.

2.1 Varianta clasica a benzii lui Mobius

In acest caz, consideram cercul unitate centrat ın origine din planul xOy, descris de curba

c (t) := (cos t, sin t, 0) , ∀t ∈ (0, 2π) ,

si vectorul mobil

v (t) =(− sin

t

2cos t,− sin

t

2sin t, cos

t

2

). (2.1.1)

11

Fig. 2.1: Banda lui Mobius generata de un cerc

Banda lui Mobius generata cu ajutorul cercului c si a vectorului v are parametrizarea

f :(−1

2,12

)× (0, 2π) → R3,

definita pentru ∀s ∈(−1

2,12

), ∀t ∈ (0, 2π) , prin

f (s, t) :=((

1 − s · sin t

2

)cos t,

(1 − s · sin t

2

)sin t, s · cos

t

2

). (2.1.2)

Calculand curbura Gauss a acestei suprafete, obtinem pentru ∀s ∈(−1

2,12

)si ∀t ∈ (0, 2π)

K (s, t) = − 4(4 + 3s2 − 2s

(s cos t + 4 sin

t

2

))2 < 0.

Remarcam faptul ca imaginea curbei generatoare este inclusa ıntr-un plan, mai precis ın xOy, iar vectorulv (t) este unitar.

2.2 O banda Mobius indusa de o curba necoplanara

In acest exemplu am considerat o curba generatoare c neplanara si am pastrat vectorul generator v dinexemplul precedent, al carui ”comportament” este convenabil constructiei benzii lui Mobius.

Am ales astfel curba elice, situata pe cilindrul drept de ecuatie x2 + y2 = 1, definita prin

c (t) =(

cos t, sin t,t

2π

), ∀t ∈ (0, 2π) . (2.2.1)

Consideram vectorul v (t) caracterizat de relatia (2.1.1), cu punctul de aplicatie pe elicea circulara de maisus. Astfel, am obtinut o noua parametrizare a benzii lui Mobius

f : (0, 1) × (0, 2π) → R3,

definita, pentru ∀ (s, t) ∈ (0, 1)× (0, 2π), prin

f (s, t) :=((

1 − s · sin t

2

)cos t,

(1 − s · sin t

2

)sin t,

t

2π+ s · cos

t

2

).

Calculand curbura Gauss pentru aceasta noua parametrizare obtinem, pentru ∀s ∈ (0, 1) si ∀t ∈ (0, 2π) ,

K (s, t) = − 4π2 (2π − 1 + cos t)2(1 + π2 (8 + 6s2) − (1 + 4π2s2) cos t − 4π (1 + 4π) s sin

t

2

)2 < 0.

12

Fig. 2.2: Banda lui Mobius generata de o elice circulara

2.3 O banda a lui Mobius de curbura Gauss nula

In cele ce urmeaza vom demonstra, prin calcule elementare de geometrie diferentiala, ca suprafetele de tipul(2.0.1) sunt de curbura Gauss nula, folosind vectori speciali v (t). Mai precis, vom utiliza vectori v (t) coliniaricu vectorul Darboux asociat curbei generatoare c. La finalul sectiunii vom prezenta si o banda a lui Mobiusde curbura Gauss nula determinata de Schwartz ın [49].

Fie I ⊆ R multime deschisa si c : I→ R3 o curba ın pozitie generala.

Fie (a, b) ⊆ R. Consideram suprafata f : (a, b) × I → R3 data prin

f (s, t) = c (t) + s · v (t) , ∀ (s, t) ∈ (a, b) × I,

undev (t) = e3 (t) +

k2 (t)k1 (t)

e1 (t) . (2.3.1)

Alegerea vectorului mobil v (t) ne-a condus la cateva proprietati remarcabile ale suprafetei f si ale curbei c.

Propozitia 2.3.1. Vectorul mobil v se mai poate scrie sub forma

v (t) =1

〈e′1 (t) , e2 (t)〉 · e2 (t) × e′2 (t) .

Teorema 2.3.2. (Ciuca) Curbura Gauss a suprafetei f este nula.

Propozitia 2.3.3. (Ciuca) Daca curba c este parametrizata canonic, atunci ea este o geodezica a suprafeteif.

Propozitia 2.3.4. (Ciuca) Daca suprafata este generata de o curba c neparametrizata canonic, atuncicurba nu este o geodezica a suprafetei.

Observatia 2.3.5. Pentru o suprafata de rotatie descrisa prin (2.0.1) avand vectorul generator v (t) deforma (2.3.1), curba c este geodezica daca si numai daca este parametrizata canonic.

Exemplul 2.3.6. Cilindrul drept

Consideram curba c : (0, 2π) → R3, definita prin

c (t) = (cos t, sin t, 0) .

Deoarece curba c (t) este plana, vectorul v (t) este constant. Atunci suprafata f de forma (2.0.1), devine

f (s, t) = (cos t, sin t, s) , ∀s ∈ (−ε, ε) , ∀t ∈ (0, 2π) .

Aceasta suprafata este un cilindru drept, iar curbura sa Gauss este nula.

13

Observatia 2.3.7. Remarcam ca pentru orice curba generatoare c plana, suprafetele f de forma (2.0.1)sunt cilindri, deoarece vectorii v (t) , descrisi prin relatia (2.3.1) sunt constanti.

Exemplul 2.3.8. Banda lui Mobius (Schwartz, [49])

Consideram curba c : (0, 2π) → R3, definita prin

c (t) =(sin t, (1 − cos t)3 , sin t (1 − cos t)

).

Suprafata f : (−ε, ε) × (0, 2π) → R3 generata de curba c dupa procedeul prezentat ne conduce la oparametrizare a benzii lui Mobius pentru care curbura Gauss este nula.

In figura care urmeaza se poate vedea banda lui Mobius si curba generatoare c, ımpreuna cu versoriireperului Frenet, de-a lungul curbei.

Fig. 2.3: O Banda Mobius de curbura Gauss nula (G. Schwartz)

Deoarecec′ (t) =

(cos t, 3 (1 − cos t)2 sin t, cos t − cos 2t

),

se observa ca∃t ∈ (0, 2π) pentru care ‖c′ (t)‖ �= 1,

deci curba c nu este parametrizata canonic si, conform Propozitiei 2.3.4, nu este geodezica a benzii luiMobius.

In capitolul urmator vom atasa printr-un procedeu geometric o metrica Lagrange generalizata acesteibenzi Mobius. Respectiva metrica Lagrange generalizata poate fi indusa pe orice banda Mobius de curburagaussiana nula.

Exemplul 2.3.9. Banda lui Mobius (Ciuca)

Consideram curba c : (0, 2π) → R3, definita prin

c (t) =(cos t, (1 − sin t)3 , cos t (1 − sin t)

).

Suprafata f : (−ε, ε) × (0, 2π) → R3 generata de curba c prin metoda (2.0.1) produce, de asemenea, obanda Mobius de curbura Gauss este nula.

De asemenea, deoarece

c′ (t) =(− sin t, 3 (1 − sin t)2 cos t,− sin t − cos 2t

),

curba c nu este parametrizata canonic, deci nu este geodezica a benzii lui Mobius.Curba folosita ın acest exemplu reprezinta, de fapt, o reparametrizare a curbei gasite de Schwartz si

prezentata ın exemplul precedent.

14

Capitolul 3

Geometrii oscilante. Metricile

geometriilor oscilante

Vom presupune cunoscute notiunile elementare relative la spatii metrice si distante. Cum spuneam si ıncelelalte capitole, am plecat de la unele probleme pe care si le-a pus Dan Barbilian si pe care le-a dezvoltatın teza sa profesorul Wladimir-Georges Boskoff. Am parcurs, de asemenea, mai multe articole (Barbilian [3],[4], [5], [6], [8], [9], Blumenthal [13], Boskoff [14], [15], [17], [24], Boskoff, Ciuca si Suceava [23], Boskoff siSuceava [27], Kelly [45]) asupra unor generalizari a metricilor clasice. Astfel, s-au conturat cateva ıntrebaripe care ni le-am pus ın legatura cu notiunea de distanta ın geometrie:

1) Exista distante privilegiate ın geometria metrica?2) Exista posibilitatea de a obtine distantele asociate planului euclidian, sferei, interiorului discului,

semiplanului Poincare si alte distante printr-un principiu comun de metrizare?3) Este acest lucru important?Vom raspunde la primele doua ıntrebari si ın cadrul prezentului capitol.Raspunsul la cea de a treia ıntrebare tine de faptul ca distantele asociate acelor multimi sunt legate de

asa zisele geometrii ale curburii constante. Pentru constructia acelor geometrii se cunosc metode axiomaticedestul de elaborate, metode algebrice de realizare a modelelor si metode ce tin de geometria diferentiala.Constructiile sunt diferite si distantele apar ın mod tehnic fiind fie introduse axiomatic, fie privite ca invariantialgebrici asociati unor functii speciale, fie sunt conectate problemelor variationale sau fie sunt induse demetricile riemanniene ale modelelor.

In prezentul capitol vom arata ca exista un unic principiu general de metrizare care ne va permiteobtinerea ıntr-o maniera unitara a distantelor asociate geometriilor curburii constante.

3.1 Pseudo-distanta Funk, distanta Klein, distanta Cayley-Poincare

Fie K o curba simpla ınchisa ın R2 cu interiorul sau, intK, multime convexa. Pentru o pereche de puncteA, B din intK sa notam cu (AB semidreapta de origine A ce contine punctul B. Cum intK este o multimeconvexa exista o unica intersectie SAB ıntre (AB si K.

Definitia 3.1.1. Prin dF (A, B) := ln‖SABA‖‖SABB‖ definim distanta Funk, unde prin ‖SABA‖ se ıntelege

distanta euclidiana ıntre punctele SAB si A.

Propozitia 3.1.2. Distanta Funk dF este o distanta nesimetrica pe intK.

3.2 Semidistanta si distanta Barbilian. Obtinerea distantei hiperbolice

prin procedeul lui Barbilian.

In cele ce urmeaza vom introduce un principiu de metrizare care, ın cazul particular al discului, producedistanta Klein-Cayley-Poincare. In plus, distanta astfel obtinuta ne va permite sa obtinem ın mod naturalmetrici riemanniene si Lagrange generalizate. Pentru dimensiunea 2, ın cazul curburii Gauss constantenegative, principiul de metrizare pe care ıl vom descrie este unificator pentru obtinerea distantelor si trecereala metrica asociata.

15

Urmatoarea definitie ıi apartine lui Dan Barbilian [5]:

Definitia 3.2.1. Pentru doua multimi K si J arbitrare, functia f : K × J → R∗+ se numeste influenta

multimii K asupra multimii J daca raportulf (P, A)f (P, B)

atinge un maxim M, pentru orice A si B ∈ J si

P variabil ın K .

Construind functia gAB : K → R∗+, prin gAB (P ) =

f (P, A)f (P, B)

, conditia ca f sa fie influenta se traduce

prin existenta maxP∈K gAB (P ) . Notam acest maxim cu MAB. Sa observam ca MAB > 0.

In plus, exista mAB = minP∈K gAB (P ) =1

maxP∈K gAB (P )=

1M

.

Urmatorul exemplu de influenta este o consecinta directa a teoremei lui Weierstrass.

Exemplul 3.2.2. Fie T un spatiu topologic, K ⊆ T o multime compacta relativ la T si J o multimearbitrara. Fie f : K × J → R∗

+ continua ın primul argument. Atunci f este influenta pe J.

Pentru f influenta si gAB definite ca mai sus, are sens:

Definitia 3.2.3. Functia d∗ : J × J → R+, d∗ (A, B) = lnmaxP∈K gAB (P )minP∈K gAB (P )

se numeste oscilatie logarit-

mica a functiei gAB : K → R∗+.

Teorema 3.2.4. (Barbilian [5]) Fie d∗ : J × J → R+ definita ca mai sus. Atunci d∗ este o semidistanta,adica satisface conditiile:

i) Daca A = B, atunci d∗ (A, B) = 0.ii) d∗ (A, B) = d∗ (B, A) , ∀A, B ∈ J.iii) d∗ (A, C) � d∗ (A, B) + d∗ (B, C) .

Definitia 3.2.5. Influenta f : K × J → R∗+ se numeste efectiva daca nu exista puncte A si B ın J astfel

ıncat raportulf (P, A)f (P, B)

sa fie constant pentru orice punct P ∈ K.

Teorema 3.2.6. (Barbilian [5]). d∗ (A, B) = lnmaxP∈K gAB (P )minP∈K gAB (P )

este distanta.

Pe un disc, avem urmatoarea teorema.

Teorema 3.2.7. Distanta Klein, distanta Barbilian si distanta Cayley-Poincare pe disc coincid.

In literatura de specialitate termenul de geometrie oscilanta desemneaza totalitatea proprietatilor geome-trice ale obiectelor unei multimi J metrizata prin procedeul oscilatiei logaritmice descris anterior. Conformcelor aratate mai sus un exemplu de geometrie oscilanta este geometria hiperbolica. Alte geometrii oscilantese obtin prin schimbarea multimii J, a multimii K si a functiei influenta. Astfel de exemple sunt prezentateın paragrafele urmatoare.

3.3 Extensii ale definitiei lui Barbilian. Obtinerea distantelor eliptice

si euclidiene prin procedeul lui Barbilian. Obtinerea metricilor ge-

ometriilor curburii constante nule si curburii constante pozitive.

Ne situam ın cazul discului determinat de:

K un cerc, J = intK,

f (M, A) = ‖MA‖ , unde M ∈ K si A ∈ J.

Analiza modului ın care apar extremele raportului de influenta din cazul anterior conduce la concluziaca, daca pe cercul K ar lipsi un singur punct, nu s-ar mai putea evidentia o distanta Barbilian ın J .

Ca urmare, vom ıncerca sa realizam o extensie a procedeului de metrizare.In cele ce urmeaza K si J sunt multimi arbitrare si presupunem numai ca, pentru orice A, B ∈ J,

∃ supP∈K gAB (P ) , unde

gAB (P ) =f (P, A)f (P, B)

.

Construim functia ds : J × J → R+ prin ds (A, B) = lnsupP∈K gAB (P )infP∈K gAB (P )

.

16

Teorema 3.3.1. (Boskoff, Ciuca, Suceava [23]) ds este semidistanta pe J.

Din cele spuse anterior reiese ca putem, prin alegeri convenabile ale lui K, J si ale influentei f(M, A), saobtinem local distante importante.

Exemplul 3.3.2. Obtinerea locala a distantei euclidiene prin procedeul de metrizare Barbilian(Boskoff, Ciuca, Suceava [23])

In cele ce urmeaza consideram multimea K un cerc ın plan, J = intK, influenta f (M, A) = e

12‖MA‖

,

∀M ∈ K, A ∈ J si gAB (M) = e

12

(‖MA‖−‖MB‖).

Fig. 3.1: Obtinerea locala a distantei euclidiene

Obtinem, astfel,

d∗ (A, B) = lnmaxM∈K gAB (M)minM∈K gAB (M)

= ln e‖AB‖ = ‖AB‖ .

Metrica asociata este de forma:

ds = d∗ (A, A + dA) = lnMdA

mdA= dσ,

unde dσ este elementul euclidian de arc.Rezulta ca ds2 = dx2 + dy2 este metrica indusa de distanta Barbilian d∗.

Exemplul 3.3.3. Obtinerea locala a distantei eliptice pe sfera S2 prin procedeul de metrizareBarbilian (Boskoff, Ciuca, Suceava [23])

Fig. 3.2: Obtinerea locala a distantei eliptice

In acelasi articol [23], am aratat cum putem obtine distanta eliptica pe o sfera S2. In acest sens, am alesK cercul mare ecuatorial, J calota ce contine A si B, influenta

f (M, A) = e

12

(MA), ∀M ∈ K, A ∈ J,

17

gAB (M) =f (M, A)f (M, B)

= e

12

((MA)−(MB)).

Avem

d∗ (A, B) = lnmaxM∈K

f(M,A)f(M,B)

minM∈Kf(M,A)f(M,B)

= ln e(AB) = (AB) .

Ca si ın exemplul planului, obtinem metrica

ds = d∗ (A, A + dA) = lnMdA

mdA= dω,

unde dω este elementul eliptic de arc.Deci, ds2 = sin2 x2 · (dx1

)2 +(dx2)2

.

Exemplul 3.3.4. Alta distanta Barbilian locala pe sfera S2 (Boskoff, Ciuca, Suceava [23])

Tot pe sfera vom obtine o alta distanta Barbilian locala, iar rezultatele au fost publicate ın acelasi articol[23]. Modul de obtinere a acestei distantei Barbilian pe sfera este ilustrat ın figura de mai jos.

Fig. 3.3: Distanta Barbilian locala pe sfera

Mutam A1 si B1 din pozitia lor pe sfera ın A si B astfel ıncat B = N si de (A1, B1) = de (A, B) , deci Bse afla pe meridianul prin N ca ın figura.

Atunci consideram J = S2, K planul ”ecuatorial” si influenta

f (M, A) = ‖MA‖ , ∀M ∈ K, A ∈ J.

Observa ca

minM∈K

‖MA‖‖MB‖ =

‖BA‖‖AT ‖2 · sA′,

maxM∈K

‖MA‖‖MB‖ =

‖BA‖‖AT ‖2 · SA′,

unde {s, S} = A′O ∩ S2, s fiind cel mai apropiat punct de pe sfera de A′, iar S cel mai departat.

Prin urmare, d∗ (A′, B′) = d∗ (A, B) = lnSA′

sA′ .

Efectuand calcule trigonometrice simple, obtinem ca

d∗ (A′, B′) = d∗ (A, B) = ln(tg(π

4+

α

2

)),

unde m (AB) = α.

18

Distante globale obtinute prin procedeul de metrizare Barbilian.In cele ce urmeaza vom obtine, prin intermediul procedeului lui Barbilian de metrizare, distantele eu-

clidiana si eliptica ın mod global. In felul acesta, tinand cont ca distanta hiperbolica Cayley-Klein-Poincarea fost obtinuta chiar de Barbilian, avem raspunsul la primele doua ıntrebari de la ınceputul capitolului.

Rezultatele expuse ın continuare au fost publicate, de asemenea, ın articolul nostru [23].

Exemplul 3.3.5. Obtinerea distantei euclidiene pe ıntreg planul π prin procedeul de metrizareBarbilian (Boskoff, Ciuca, Suceava [23])

In acest exemplu, vom arata cum procedura de metrizare Barbilian produce global distanta euclidiana aplanului.

Fig. 3.4: Distanta euclidiana pe ıntreg planul

Pentru aceasta vom considera planele paralele (δ) si (π) , multimile

K := (δ) , J := (π)

si influenta f : K × J → R∗+, definita prin

f (M, A) := exp ◦[12‖(Pr×Id) (M, A)‖

]= e

12‖M ′A‖

.

Punctul M ′ ∈ J ales este proiectia lui M pe planul (π) .Pentru punctele arbitrare A, B ∈ J, functia raport asociata influentei gAB : K → R∗

+ este de forma

gAB (M) =f (M, A)f (M, B)

= e

12(‖M ′A‖−‖M ′B‖)

.

Obtinem ca

max gAB (M) = e

12‖AB‖

, min gAB (M) = e−

12‖AB‖

.

Prin urmare, distanta Barbilian pe planul π este

d∗ (A, B) = lnmax gAB (M)min gAB (M)

= ln e‖AB‖ = ‖AB‖ = de (A, B) .

Exemplul 3.3.6. Obtinerea distantei eliptice pe ıntreaga sfera S2 prin procedeul de metrizareBarbilian (Boskoff, Ciuca, Suceava [23])

Vom arata cum procedura de metrizare Barbilian conduce global la obtinerea distantei eliptice pe sfera.Pentru aceasta vom considera doua sfere concentrice (S1) si (S2) din R3, multimile

K := S1, J := S2

si influenta f : K × J → R∗+, definita prin

f (M, A) := exp ◦[12

((Pr×Id) (M, A))]

= e

12(M ′A)

,

19

Fig. 3.5: Distanta eliptica pe ıntreaga sfera

unde prin M ′ ∈ J am notat proiectia radicala a lui M ∈ K pe J, adica intersectia lui OM cu sfera J.Rezulta ca

maxM∈K

f (M, A)f (M, B)

= e

12

(AB),

minM∈K

f (M, A)f (M, B)

= e−

12

(AB).

Astfel, obtinem

d∗ (A, B) = lnmax gAB (M)min gAB (M)

= ln e(AB) = (AB) = deliptica (A, B) .

3.4 Coincidenta locala a distantei Barbilian cu distanta indusa de o me-

trica riemanniana

Fie (M, g) o varietate riemanniana de dimensiune n.Pentru doua puncte x, y ∈ M consideram notatiile clasice:C (x, y) := {σ |σ : [0, 1] → M, σ (0) = x, σ (1) = y si σ neted pe portiuni} ,

(multimea curbelor netede pe portiuni care uneste x si y),L (σ) :=

∫ 1

0‖σ (t)‖ dt =

∫ 1

0

√g (σ (t) , σ (t))dt, ∀σ ∈ C (x, y) .

(lungimea unei curbe netede pe portiuni)Se stie ca dg (x, y) = infσ∈C(x,y) L (σ) este o distanta pe M indusa de metrica riemanniana.Notam cu S (x0, R) := {T ∈ M | dg (x0, T ) = R} sfera de centru x0 si raza R si cu B (x0, R) := intS (x0, R)

bila de centru x0 si raza R.In teorema care urmeaza vom evidentia coincidenta locala a distantei natural induse prin procedura de

metrizare Barbilian cu distanta dg indusa de metrica riemanniana.

Teorema 3.4.1. (Boskoff, Ciuca) Intr-o varietate riemanniana completa, procedura de metrizare Barbiliangenereaza, ın interiorul oricarei sfere incluse ıntr-o vecinatate normala, distanta dg indusa de metrica.

3.5 Metrica natural indusa de distanta Barbilian si natura ei.

In cele ce urmeaza vom expune o generalizare a teoremei lui Barbilian extinsa data de Boskoff [15]. Cuajutorul acestei metode vom gasi metrici ale geometriilor de curbura constant negativa (discul, semiplanulsuperior) si metrici Lagrange generalizate (primul cadran, banda, sfera). De asemenea, vom prezenta siteoremele Barbilian pentru geometriile Minkowski si Lorentz.

Teorema 3.5.1. (Teorema Barbilian extinsa, Boskoff [15]). Fie K ⊆ Rn, J ⊆ Rn, K ∩ J = ∅, influentaf (M, A) = ‖MA‖ si gAB (M) = f(M,A)

f(M,B) = ‖MA‖‖MB‖ astfel ıncat pe J sa fie definita o distanta Barbilian

20

dB (A, B) . Daca, ın plus, extremele maxM∈K gAB (M) si minM∈K gAB (M) se ating ın cate un singur punct,P si, respectiv, P ′, din K, atunci au loc urmatoarele afirmatii:

a) Pentru orice A ∈ J si orice hiperplan π care trece prin A exista exact doua hipersfere tangente ın Ala π si tangente la K ın P si P ′.

b) Metrica indusa de distanta Barbilian are forma

ds2 =(

1R1

+1r1

)2 (dx2

1 + dx22 + ... + dx2

n

),

unde R1 si r1 sunt razele hipersferelor anterioare.

Teorema 3.5.1 va fi folosita ın Subcapitolele 3.6 si 3.7 pentru obtinerea unor metrici natural indusede distanta Barbilian.

In teorema care urmeaza am demonstrat cum se obtin metricile natural induse de distanta Barbilian ıngeometria Minkowski dand si un exemplu ın Subcapitolul 3.8 (Exemplul 3.8.2).

Teorema 3.5.2. (Teorema Barbilian pentru geometria Minkowski, Boskoff si Ciuca [21]).Fie K ⊆ R2, J ⊆ R2, K ∩ J = ∅, influenta f (M, A) = ‖MA‖N si gAB (M) = f(M,A)

f(M,B) = ‖MA‖N

‖MB‖Nastfel

ıncat pe J sa fie definita o distanta Barbilian dBN (A, B) . Daca, ın plus, extremele maxM∈K gAB (M) si

minM∈K gAB (M) se ating ın cate un singur punct, P si, respectiv, P ′, din K, atunci au loc afirmatiile:a) Pentru orice A ∈ J si orice dreapta d care trece prin A exista exact doua cercuri Minkowski tangente

ın A la d si trecand prin K ın punctele P si P ′ descrise mai sus.b) Metrica natural indusa de distanta Barbilian are forma

ds2 = 2(

1R1

+1r1

)2

(dx1dx2) ,

unde R1 si r1 sunt razele cercurilor Minkowski anterioare.

In geometria Lorentz am obtinut o teorema similara teoremei prezentate mai sus pe care o vom prezentaın continuare fara demonstratie. In Subcapitolul 3.8 furnizam si un exemplu de determinare a unei metriciLagrange generalizate induse de distanta Barbilian (Exemplul 3.8.1).

Teorema 3.5.3. (Teorema Barbilian pentru geometria Lorentz, Boskoff si Ciuca [21]).Fie K ⊆ R2, J ⊆ R2, K ∩ J = ∅, influenta f (M, A) = ‖MA‖L si gAB (M) = f(M,A)

f(M,B) = ‖MA‖L

‖MB‖Lastfel

ıncat pe J sa fie definita o distanta Barbilian dB (A, B) . Daca, ın plus, extremele maxM∈K gAB (M) siminM∈K gAB (M) se ating ın cate un singur punct, P si, respectiv, P ′, din K, atunci au loc afirmatiile:

a) Pentru orice A ∈ J si orice dreapta d care trece prin A exista exact doua cercuri Lorentz tangente ınA la d si trecand prin K ın punctele P si P ′ descrise mai sus.

b) Metrica natural indusa de distanta Barbilian are forma

ds2 =(

1R1

+1r1

)2 (dx2

1 − dx22

),

unde R1 si r1 sunt razele cercurilor Lorentz anterioare.

Demonstratia se face la fel ca ın cazul teoremei 3.5.2, cu mentiunea ca dσ2 va fi ın acest caz determinatade

dσ2 = dx21 − dx2

2.

Teoremele 3.5.2 si 3.5.3 vor fi folosite pentru obtinerea unor metrici Lagrange generalizate naturalinduse de distanta Barbilian ıntre puncte infinit apropiate din submultimi ale spatiului Minkowski, respectivLorentz.

3.6 Metrici hiperbolice induse de distante Barbilian

In acest paragraf obtinem metricile hiperbolice pe disc si semiplanul superior ca metrici natural induse dedistante Barbilian.

21

Exemplul 3.6.1. Discul (Boskoff, Ciuca, Suceava [23])

Folosind notatiile din paragraful precedent consideram

K :={(x, y) |x2 + y2 = r2

}(cerc de raza r),

J :={(x, y) |x2 + y2 < r2

}(disc de raza r)

si influenta f : K × J → R∗+, unde f (M, A) = ‖MA‖ , ∀M ∈ K si ∀A ∈ J.

Fig. 3.6: Obtinerea metricii hiperbolice pe Disc

Pentru A, B ∈ J, notam cu gAB : K → R∗+, unde

gAB (M) =f (M, A)f (M, B)

=‖MA‖‖MB‖ , pentru M ∈ K.

Fie A (x0, y0) si o dreapta arbitrara care trece prin A de ecuatie

y − y0 = m (x − x0) .

Consideram cercurile de centre O1 (x1, y1) si O2 (x2, y2) , tangente ın A la dreapta si la cercul K.Prin calcule simple, obtinem razele

R1 =√

1 + m2

2· r2 − x2

0 − y20

r√

1 + m2 − y0 + mx0

, (3.6.1)

R2 =√

1 + m2

2· r2 − x2

0 − y20

r√

1 + m2 + y0 − mx0

. (3.6.2)

Atunci, relatia metrica indusa de distanta Barbilian este de forma(1

R1+

1R2

)2

=16r2

(r2 − x2 − y2)2,

deci metrica discului obtinuta prin procedeul de metrizare Barbilian este

ds2 =16r2

(r2 − x2 − y2)2(dx2 + dy2

).

Aceasta metrica genereaza pe disc geometria hiperbolica, deoarece curbura Gauss calculata pentru aceastaeste − 1

4 .

22

Exemplul 3.6.2. Semiplanul superior (Boskoff, Ciuca, Suceava [23])

Consideram K = {(x, y) ∈ R2 | y = 0} si J = {(x, y) ∈ R2 | y > 0}.Fie M ∈ K, A(x0, y0) ∈ J si B(x1, y1) ∈ J. Consideram influenta ||MA|| si raportul asociat

gAB(M) =||MA||||MB|| .

Fig. 3.7: Obtinerea metricii hiperbolice pe Semiplanul superior

Aplicam procedura de metrizare Barbilian si consideram punctul arbitrar A(x0, y0) si o dreapta arbitraracare trece prin A data prin ecuatia

y − y0 = m(x − x0).

Consideram cercurile de centre O1(x1, y1) si O2(x2, y2) tangente ın A la dreapta si la K.Atunci avem razele

R1 = y1 =y0

√m2 + 1

1 +√

m2 + 1, (3.6.3)

R2 = y2 =y0

√m2 + 1

−1 +√

m2 + 1. (3.6.4)

Aplicand teorema Barbilian, obtinem

ds2 =4y2

(dx2 + dy2),

pentru care curbura Gauss este − 14 .

3.7 Obtinerea unor metrici Lagrange Generalizate ın cazurile: Primul

Cadran, Banda, Sfera si Banda lui Mobius.

In acest paragraf obtinem metrici Lagrange generalizate aplicand Teorema 3.5.1 pentru multimi K si Jaccesibile si considerand distanta euclidiana ca functie influenta f .

Exemplul 3.7.1. Primul cadran (Boskoff, Ciuca, Suceava [23])

In acest exemplu am ınlocuit rationamentele de natura algebrica pentru existenta maximului si minimuluiraportului de influente cu rationamente de natura geometrica.

Ne situam ın cadrul

K : = {(x, 0) ∪ (0, y)|x > 0, y > 0} ,

J : = {(x, y)|x > 0, y > 0} ,

23

cu influenta f : K × J → R∗+, unde f (M, A) = ‖MA‖, pe care ıl vom numi cazul primului cadran.

Notam cu gAB : K → R∗+, unde gAB (M) =

f (M, A)f (M, B)

=‖MA‖‖MB‖ :=

MA

MB.

Vom arata ca gAB admite maxim si minim.Deci fie A si B ∈ J, M ∈ K. Notam cu A1 piciorul perpendicularei din A pe Oy si cu A2 piciorul

perpendicularei din A pe Ox.Efectuam o inversiune de pol A si putere AA2

1.Observam ca prin aceasta inversiune avem corespondentele:

A1 → A1si A2 → A′2 astfel ıncat A′

2 ∈ AA2 si AA2 · AA′2 = AA2

1,

O → O′ astfel ıncat O′ ∈ AO si A1O′ ⊥ AO,

B → B′ astfel ıncat B′ ∈ ABsi AB · AB′ = AA21.

Portiunea pozitiva a axei Oy se transforma ın arcul de cerc C1 de capete A si O′, arc ce face parte dincercul de diametru AA1 si contine punctul A1.

Portiunea pozitiva a axei Ox se transforma ın arcul de cerc C2 de capete A si O′, arc de face parte dincercul de diametru AA′

2 si contine punctul A2.Deci inversul unui punct M ∈ K va face parte din reuniunea celor doua arce mentionate anterior.Tinand cont ca

B′M ′ = AA21 ·

BM

AM · AB=

AA21

AB· BM

AM,

rezulta ca B′M ′ este maxim candAM

BMeste minim.

Sa notam cu M ′1 punctul corespunzator de pe reuniunea arcelor de cerc pentru care se realizeaza maximul

distantei euclidiene B′M ′. Unind pe A cu M ′1 si intersectand AM ′

1 cu K obtinem punctul M1 ∈ K pentrucare

m =AM1

BM1= min

M∈K

AM

BM.

Tot din formula de mai sus, deducem ca exista un punct M ′2 pentru care

B′M ′2 = minM ′∈C1∩C2 B′M ′. Inversul sau, M2, care se obtine la intersectia dintre AM2 si K are proprietatea

M =AM2

BM2= max

M∈K

AM

BM.

Deci exista dB (A, B) = lnMm

.

Metrica indusa de distanta Barbilian ın primul cadran (Boskoff, Ciuca, Suceava [23]).Consideram punctul A (x0, y0) ∈ J si dreapta d : y − y0 = m (x − x0) .

Conform celor spuse mai sus, exista cercurile Γ1 si Γ2 tangente la dreapta d ın A si tangente la K. Vomaccepta ca metrica obtinuta are un caracter global si ıi vom studia natura.

Notam cu O1 (x1, y1) centrul cercului Γ1 si cu O2 (x2, y2) centrul cercului Γ2.Determinam razelor R1 si R2 ale celor doua cercuri:

R1 = x1 =x0

√m2 + 1

m +√

m2 + 1,

R2 = y2 =y0

√m2 + 1

1 +√

m2 + 1.

Metrica este

ds2 =

(my + x + (x + y)

√m2 + 1

)2x2y2 (1 + m2)

(dx2 + dy2

).

Pentru directiile m =y

x, cu x pozitiv, metrica are coeficientii

g11 = g22 =

(yy + xx + (x + y)

√x2 + y2

)2

x2y2 (x2 + y2),

g12 = g21 = 0.

24

Analizam reductibilitatea acestei metrici Lagrange generalizate la o metrica Lagrange sau Finsler prinurmatoarea teorema.

Teorema 3.7.2. (Boskoff, Ciuca, Suceava [23]) Procedeul lui Barbilian de metrizare pentru primul cadranconduce la o metrica Lagrange generalizata nereductibila la o metrica Lagrange sau la o metrica Finsler.

Ramane ınsa remarcabil faptul ca Barbilian a intuit ca distantele de tip oscilatie logaritmica induc simetrici care nu sunt riemanniene.

Analizand ”cazul primului cadran”, determinam efectiv o astfel de metrica si ıi precizam chiar si tipul.

Exemplul 3.7.3. Banda (Boskoff, Ciuca)

Consideram cazul benzii pentru care avem

K := {(x, 0) ∪ (x, 1) |x ∈ R} ,

J := {(x, y) |x ∈ R si y ∈ (0, 1)}si influenta f : K × J → R∗

+, unde f (M, A) = ‖MA‖ .

Notam cu gAB : K → R∗+, unde gAB (M) =

f (M, A)f (M, B)

=‖MA‖‖MB‖ .

Fig. 3.8: Obtinerea metricii induse pe Banda

Studiul existentei maximului si minimului raportului de influente se face ca mai ınainte. Ne propunemsa obtinem metrica indusa de distanta Barbilian pe banda. Vom accepta, ca si ın cazul primului cadran,existenta globala a metricii induse de teorema lui Barbilian.

Fie A(x0, y0) si o dreapta arbitrara care trece prin A data prin ecuatia y − y0 = m(x − x0). Consideramcercurile de centre O1(x1, y1) si O2(x2, y2) tangente ın A la dreapta si la K; primul cerc tangent la dreaptade ecuatie y = 1, iar al doilea cerc tangent la dreapta de ecuatie y = 0.

Atunci avem

R1 = 1 − y1 =(1 − y0)

√m2 + 1

1 +√

m2 + 1, (3.7.1)

R2 = y2 =y0

√m2 + 1

1 +√

m2 + 1. (3.7.2)

Din (3.7.2) si (3.7.1), obtinem

1R1

+1

R2=

1 +√

m2 + 1√m2 + 1

· 1y0(1 − y0)

.

Notand a =√

1 + m2 > 0, avem

ds2 =(1 + a)2

a2y2(1 − y)2(dx2 + dy2

).

25

In cazul ın care x > 0, metrica de mai sus se va scrie ca metrica Lagrange astfel

ds2 =(x +

√x2 + y2)2

(x2 + y2)(1 − y)2y2

(dx2 + dy2

).

Observatia 3.7.4. Reductibilitatea la o metrica Finsler sau Lagrange se traduce prin simetria tensorului

Cartan Cijk = 12

∂gij

∂xk.

Conform Miron, Anastasiei si Bucataru [48], conditia de simetrie revine la∂g11

∂y=

∂g12

∂x. Dar

∂g11

∂y= 0

si∂g12

∂x�= 0, ceea ce arata ca nu avem simetrie pentru tensorul lui Cartan.

Deducem de aici ca aceasta metrica este Lagrange generalizata nereductibila la una Finsler sau Langrange.Observam ca, analizand cazul ”benzii”, determinam efectiv o astfel de metrica si ıi putem preciza tipul.Justificarea existentei aceleeasi metrici Lagrange generalizate indusa natural de distanta Barbilian pe

Banda pentru Cilindru si Banda lui Mobius de curbura Gauss nula este prezentata ın cele ce urmeaza.

Exemplul 3.7.5. Cilindru si Banda lui Mobius (Boskoff, Ciuca)

Fig. 3.9: Obtinerea metricii induse pe Banda, Cilindru si Banda lui Mobius

Consideram urmatoarele varietati doi dimensionale de curbura Gauss nula:(i) banda R × (0, 1) din plan;(ii) cilindrul determinat de o portiune a benzii anterioare prin identificarea capetelor u1 si u2;

26

(iii) banda lui Mobius determinata de o portiune a benzii anterioare prin identificarea lui u1 cu −u2.Acest exemplu a fost studiat ın Capitolul 2.

Are sens distanta Barbilian si metrica Lagrange generalizata indusa natural de aceasta distanta pe bandadin exemplul (i).

Observam ınsa ca aceasta configuratie are sens si pe cilindru (ii) si, respectiv, banda lui Mobius (iii).Ca urmare, chiar daca distanta nu este conservata de respectivele transformari care induc, pornind de labanda (i), cilindrul si, respectiv, banda lui Mobius, are sens metrica respectiva pe cele doua varietati doidimensionale pe care sistemul de coordonate se va nota cu (x, y) .

Deci metrica obtinuta mai devreme ın exemplul ”benzii”

ds2 =(x +

√x2 + y2)2

(x2 + y2)(1 − y)2y2

(dx2 + dy2

)este metrica Lagrange generalizata asociata celor trei varietati descrise mai sus.

Prezentam acum cazul interiorului sferei dezvoltat ımpreuna cu Domnul Profesor Boskoff.

Exemplul 3.7.6. Sfera (Boskoff, Ciuca)

Consideram multimea J interiorul sferei determinate de

K :={(x, y, z) |x2 + y2 + z2 = r2

},

J :={(x, y, z) |x2 + y2 + z2 < r2

}si definim influenta f : K × J → R∗

+, unde f (M, A) = ‖MA‖ , ∀M ∈ K si ∀A ∈ J.

Fig. 3.10: Obtinerea metricii induse pe Sfera

Pentru A, B ∈ J, functia raport asociata influentei de mai sus este gAB : K → R∗+, unde

gAB (M) =f (M, A)f (M, B)

=‖MA‖‖MB‖ , unde M ∈ K.

Pentru un punct arbitrar A (x0, y0, z0) ∈ J si un plan (π) ce trece prin acest punct, de ecuatie

a (x − x0) + b (y − y0) + c (z − z0) = 0,

construim doua sfere de centre O1 (x1, y1, z1) si, respectiv, O2 (x2, y2, z2) , tangente la planul (π) si lasfera K.

Inlocuind cu a = x, b = y si c = z, obtinem, ın final, o metrica Lagrange generalizata

ds2 =4 (xx + yy + zz + r)2

(x2 + y2 + z2 − r2)2(dx2 + dy2 + dz2

).

27

3.8 Obtinerea unor metrici Lagrange generalizate natural induse de distanta

Barbilian ın geometriile Lorentz si Minkowski.

In aceasta sectiune, exemplificam existenta unor metrici Lagrange generalizate induse de distanta Barbilianın geometriile Lorentz si Minkowski aplicand Teoremele 3.5.2 si 3.5.3.

Exemplul 3.8.1. Obtinerea unei metrici Lagrange generalizate ın geometria Lorentz (Boskoff,Ciuca [21])

In acest exemplu determinam metrica natural indusa de distanta Barbilian ın geometria Lorentz descrisaın Birman si Nomizu [11] pentru multimi K si J convenabil alese. In aceasta directie descriem mai ıntai, pescurt, cercurile acestei geometrii pe care le vom utiliza.

Conform definitiei cercurilor Lorentz din Birman si Nomizu [11], ecuatia generala a unui cerc Lorentzian(temporal) este

x21 − x2

2 − 2ax1 + 2bx2 + a2 − b2 − r2 = 0.

Consideram multimile

K := {(0, y) | y ∈ [0, 1]} , J := {(x, y) |x ∈ (0, 1) , y ∈ (3, 4)} ,

si functia influenta f : K × J → R+ definita prin f (M, A) :=∥∥∥∥ −→MA

∥∥∥∥L

pentru ∀M ∈ K si ∀A ∈ J.

Fie A (a1, a2) , B (b1, b2) ∈ J si functia gAB : K → R+ definita prin

gAB (M) =f (M, A)f (M, B)

=

∥∥∥∥ −→MA

∥∥∥∥L∥∥∥∥ −→

MB

∥∥∥∥L

.

Presupunem ca maxM∈K gAB (M) si minM∈K gAB (M) se ating ın M1 (0, 1) si, respectiv, M2 (0, 0) .Fie A (x0, y0) ∈ J si dreapta (d) , care trece prin A si are panta m, de ecuatie

y − y0 = m (x − x0) .

Fig. 3.11: Cercuri Lorentz temporale

Razele r1 si r2 ale cercurilor Lorentz (temporale) (H1) si, respectiv, (H2) sunt

r21 =

(m2 − 1

)((y0 − 1)2 − x2

0

)2

4 (1 + mx0 − y0)2 , r2

2 =

(m2 − 1

) (y20 − x2

0

)24 (mx0 − y0)

2 . (3.8.1)

Inlocuind m =y

x> 4, rezulta ca metrica atasata distantei Barbilian este o metrica Lagrange generalizata

de forma

ds2 =4(xy +

(x2 + y − y2

)(2xy − 2xy − x)

)2(y2 − x2) (y2 − x2)2

((y − 1)2 − x2

)2

(dx2 − dy2

).

28

Exemplul 3.8.2. Obtinerea unei metrici Lagrange generalizate ın geometria Minkowski (Boskoff,Ciuca [21])

In acest exemplu determinam metrica natural indusa de distanta Barbilian ın geometria Minkowskidescrisa ın Capitolul 1 pentru multimi K si J convenabil alese. In cele ce urmeaza utilizam cercurileMinkowski negative care au ecuatia generala de forma

2x1x2 − 2ax1 − 2bx2 + 2ab + r2 = 0.

Consideram multimile

K := {(x, x) |x ∈ [0, 1]} , J := {(x, y) |x ∈ (3, 4) , y ∈ (1, 2)} ,

si functia influenta f : K × J → R+ definita prin f (M, A) :=∥∥∥∥ −→MA

∥∥∥∥N

pentru ∀M ∈ K si ∀A ∈ J.

Fie A (a1, a2) , B (b1, b2) ∈ J si functia gAB : K → R+ definita prin

gAB (M) =f (M, A)f (M, B)

=

∥∥∥∥ −→MA

∥∥∥∥N∥∥∥∥ −→

MB

∥∥∥∥N

.

Fig. 3.12: Cercuri Minkowski negative

Fie A (x0, y0) ∈ J si dreapta (d) , care trece prin A si are panta m, de ecuatie

y − y0 = m (x − x0) .

Razele r1 si r2 ale cercurilor Minkowski (negative) (H1) si, respectiv, (H2) satisfac conditiile

r21 =

2mx20y

20

(mx0 − y0)2 , r2

2 =2m (x0 − 1)2 (y0 − 1)2

(1 + m (x0 − 1) − y0)2 . (3.8.2)

Inlocuind m =y

x>

23, rezulta ca metrica atasata distantei Barbilian este o metrica Lagrange generalizata

de forma

ds2 = 2((xy − xy) (2xy − x − y + 1) + xxy (1 − y))2

xy (x − 1)2 (y − 1)2 x2y2dxdy.

29

Capitolul 4

Studiul metricilor Lagrange

generalizate ın Mathematica

In acest capitol am exemplificat studiul metricilor Lagrange generalizate (definite pe spatii Lagrange gene-ralizate n−dimensionale) cu ajutorul programului Mathematica.

Geometria spatiilor Lagrange a fost introdusa de R. Miron ın [46]. Marea aplicabilitate ın biologie,mecanica si fizica a determinat un interes deosebit ın ultimele doua decenii din partea a numerosi mate-maticieni si fizicieni. Pornind de la aceste spatii, cea mai naturala extindere o reprezinta spatiile Lagrangegeneralizate. Din monografia lui Miron, Anastasiei si Bucataru ([48]) am extras cateva definitii si proprietatiale spatiilor Lagrange generalizate prezentate fara demonstratii.

4.1 Biblioteca de functii implementata ın mediul de programare Mathematicanecesara studiului metricilor Lagrange generalizate

In aceasta sectiune am dezvoltat ın Mathematica o biblioteca de functii cu ajutorul careia se pot studiametrici Lagrange generalizate definite pe spatii n−dimensionale.

Cu ajutorul acestei biblioteci, putem calcula pentru o metrica Lagrange generalizata g (x, y) urmatoarele:- coeficientii torsiunii slabe tijk (x, y) ,- coeficientii gij|k (x, y) si gij |k (x, y) ,- coeficientii Li

jk (x, y) ai conexiunii N−liniare DΓ (N) ,

- coeficientii T ijk (x, y) ai campului tensorial antisimetric T pentru conexiunea N−liniara DΓ (N) ,

- coeficientii Cijk (x, y) ai conexiunii N−liniare DΓ (N) ,

- coeficientii Sijk (x, y) ai campului tensorial antisimetric C pentru conexiunea N−liniara DΓ (N) ,

si putem stabili daca metrica are proprietatea de a fi:- reductibila la o metrica Lagrange,- de torsiune slaba nula,- de h−torsiune nula,- de v−torsiune nula,- slab regulata,- regulata ın sens Miron.Stabilirea dimensiunii spatiului Lagrange generalizat ın care se fac aceste calcule se realizeaza ın momentul

definirii metricii ın Mathematica, precum ın exemplele de mai jos:gbanda[{x ,y },{u ,v }]:={{ (u+Sqrt[u2+v2])2

u2+v2 ,0},{0, (u+Sqrt[u2+v2])2

u2+v2 }} (cazul benzii, ın dimensiune 2) si

gsf[r ][{x ,y ,z },{u ,v ,t }]:={{ (x*u+y*v+z*t+r)2

(x2+y2+z2-r2),0,0},{0, (x*u+y*v+z*t+r)2

(x2+y2+z2-r2),0},{0,0, (x*u+y*v+z*t+r)2

(x2+y2+z2-r2)}}

(cazul sferei, ın dimensiune 3)

4.2 Exemple de metrici-GL natural induse de distanta Barbilian

In aceasta sectiune am exemplificat studiul metricilor Lagrange generalizate induse prin procedeul de metrizareBarbilian prin patru exemple ın cazul 2−dimensional din Sectiunile 3.7.1 (Primul Cadran), 3.7.3 (Banda),3.8.1 (ın geometria Lorentz ) si 3.8.2 (ın geometria Minkowski) si un exemplu ın cazul 3−dimensional dinSectiunea 3.7.6 (Sfera).

30

Bibliografie

[1] M. Anastasiei – Finsler connections in generalized Lagrange spaces, Balkan J. Geom. Appl., 1 (1996),1-9.

[2] D. Bao, S. S. Chern, Z. Shen – An introduction to Riemann-Finsler geometry, Springer-Verlag, 2000.

[3] D. Barbilian – Einordnung von Lobayschewskys Massenbestimmung in einer gewissen allgemeinen Metrikder Jordanschen Bereiche, Casopsis Mathematiky a Fisyky, 64 (1934-35), 182-183.

[4] D. Barbilian – Nota asupra lucrarilor stiintifice, Ed. Bucovina, I.E. Toroutiu, 1940.

[5] D. Barbilian – Asupra unui principiu de metrizare, Stud. Cercet. Mat., 10 (1959), 68-116.

[6] D. Barbilian – Fundamentele metricilor abstracte ale lui Poincare si Caratheodory ca aplicatie a unuiprincipiu general de metrizare, Stud. Cercet. Mat., 10 (1959), 273-306.

[7] D. Barbilian – Geometrie, Ed. Tehnica, 1968.

[8] D. Barbilian – J-metricile naturale finsleriene, Stud. Cercet. Mat., 11 (1960), 7-44.

[9] D. Barbilian, N. Radu – J-metricile naturale finsleriene si functia de reprezentare a lui Riemann, Stud.Cercet. Mat., 12 (1962), 21-36.

[10] A. F. Beardon – The Apollonian metric of a domain in Rn, in Quasiconformal mappings and analysis,Springer-Verlag, 1998, 91-108.

[11] G.S. Birman, K. Nomizu – Trigonometry in Lorentzian Geometry, Amer. Math. Monthly, 91 (1984),543-549.

[12] G.S. Birman, K. Nomizu – The Gauss-Bonnet theorem for 2-dimensional spacetime, Michigan Math.J., 31 (1984), 77-81.

[13] L. M. Blumenthal – Barbilian spaces, The University of Missouri Studies, Columbia, 1938.

[14] W. G. Boskoff – A generalized Lagrange space induced by the Barbilian distance, Stud. Cercet. Mat., 50(1998), 125-129.

[15] W. G. Boskoff – About metric Barbilian spaces, Sci. Bull., Politeh. Univ. Buchar., Ser. A, 55 (1993),61-70.

[16] W. G. Boskoff – Finslerian and induced Riemannian structures for natural Barbilian spaces, Stud.Cercet. Mat., 47 (1995), No. 1, 9-16.

[17] W. G. Boskoff – Hyperbolic geometry and Barbilian spaces, Istituto per la Ricerca di Base, HadronicPress, 1996.

[18] W. G. Boskoff – The characterization of some spectral Barbilian spaces using the Tzitzeica construction,Stud. Cercet. Mat., 46 (1994), No. 5, 503-514.

[19] W. G. Boskoff – The connection between Barbilian and Hadamard spaces, Bull. Math. Soc. Sci. Math.Roum., Nouv. SZr., 39 (1996), No. 1-4, 105-111.

[20] W. G. Boskoff – Varietati cu structura metrica Barbilian, Ex Ponto, Constanta, 2002.

31

[21] W. G. Boskoff, M. G. Ciuca – Generalized Lagrange metrics induced by Lorentz and Minkowski ge-ometries, preprint.

[22] W. G. Boskoff, M. G. Ciuca – Numeric Trigonometry in Minkowskian Geometry, preprint.

[23] W. G. Boskoff, M. G. Ciuca, B. D. Suceava – Distances induced by Barbilian’s metrization procedure,Houston J. of Math., 33 (2007), 709-717.

[24] W. G. Boskoff, P. Horja – S-Riemannian manifolds and Barbilian spaces, Stud. Cercet. Mat., 46 (1994),No. 3, 317-325.

[25] W. G. Boskoff, B. D. Suceava – A metric induced by the Geometric Interpretation of Rolle’s theorem,Anal. Sti. Univ. Ovidius Constanta, 15 (2) (2007), 19-28.

[26] W. G. Boskoff, B. D. Suceava – Barbilian’s Metrization Procedure in the Plane Yields Either Riemannianor Lagrange Generalized Metrics, to appear in Czechoslovak Math. J.

[27] W. G. Boskoff, B. D. Suceava – Barbilian spaces: the history of a geometric idea, Hist. Math., 34 (2007),221-224.

[28] W. G. Boskoff, B. D. Suceava – The History of Barbilian Metrization Procedure, http://xxx.lanl.gov,math.HO/0607106.

[29] B. Felsager – Introducing Minkowski-geometry using Dynamic Geometry Programs, ICME-10, TopicStudy Group, (2004), 1-6.

[30] B. Felsager – A glimpse of Euclids twin geometry: The Minkowski geometry, ICME-10, SuplementaryNotes, (2004), 1-16.

[31] A. Gray – Modern differential geometry of curves and surfaces with Mathematica, CRC Press, BocaRaton, 1998.

[32] F. W. Gehring, K. Hag – The Apollonian metric and quasiconformal mappings, Contemp. Math., 256(2000), 143-163.

[33] P. A. Hasto – The Apollonian metric: uniformity and quasiconvexity, Ann. Acad. Sci. Fennicae, 28(2003), 385-414.

[34] P. A. Hasto – The Apollonian metric: limits of the approximation and bilipschitz properties, Abstr.Appl. Anal. 2003, no. 20, 1141-1158.

[35] P. A. Hasto – The Apollonian metric: quasi-isotropy and Seittenranta’s metric, Comput. MethodsFunct. Theory, 4 (2004), no. 2, 249-273.

[36] P. A. Hasto – The Apollonian inner metric, Comm. Anal. Geom., 12 (2004), 927-947.

[37] P. A. Hasto – The Apollonian metric: the comparison property, bilipchitz mappings and thick sets, J.Appl. Anal., 12 (2006), no. 2, 209-232.

[38] P. A. Hasto, Z. Ibragimov – Apollonian isometries of planar domains are Mobius mappings, J. Geom.Anal., 15 (2005), no. 2, 229-237.

[39] P. A. Hasto, H. Linden – Isometries of the half-apollonian metric, Complex Var. Theory Appl., 49(2004), 405-415.

[40] P. A. Hasto, S. Ponnusamy, S. K. Sahoo – Inequalities and geometry of the Apollonian and relatedmetrics, Rev. Roumaine Math. Pures Appl., 51 (2006), no. 4, 433-452.

[41] S. Ianus – Geometrie diferentiala si aplicatii ın teoria relativitatii, Ed. Academiei, 1983.

[42] Z. Ibragimov – The Apollonian metric, sets of constant width and Mobius modulus of ring domains,Ph.D. Thesis, University of Michigan, Ann Arbor, 2002.

[43] Z. Ibragimov – On the Apollonian metric of domains in Rn, Complex Var. Theory Appl., 48 (2003),no. 10, 837-855.

32

[44] Z. Ibragimov – Conformality of the Apollonian metric, Comput. Methods Funct. Theory, 3 (2003),397-411.

[45] P. J. Kelly – Barbilian Geometry and the Poincare Model, Amer. Math. Monthly, 61 (1954), 311-319.

[46] R. Miron – A Lagrangian theory of relativity, An. St. Univ. ”Al. I. Cuza” Iasi, 32 (1986).

[47] R. Miron – Lagrange Geometry, Math. Comput. Modelling, 20 (4/5) (1994), 25-40.

[48] R. Miron, M. Anastasiei, I. Bucataru – The geometry of Lagrange spaces, Kluwer Acad. Publ., (2003),969-1122.

[49] G.E. Schwartz – A pretender to the title ”Canonical Moebius Strip”, Pacific J. Math., 143 (1990),195-200.

[50] G.E. Schwartz – The dark side of the Mobius strip, Amer. Math. Monthly, 97 (1990), 890-897.

[51] E.L. Starostin, G.H. M. Van Der Heiden – The shape of a Mobius strip, Nature, 6 (2007), 563-567.

[52] D. L. Vosler – Exploring Analytic Geometry with Mathematica, Academic Press, 1999.

[53] Wolfram Research – Mathematica 6.0, http://www.wolfram.com, 2008.

33