Exemplu 1

Exemplu 1.Un comerciant este de prere c, o familie din Moldova consum ntr-un an mai puin de 12 kg de zahr i ar vrea s verifice aceast opinie. n acest sens, s-a realizat o anchet pe un eantion aleatoriu de 49 familii din toate judeele Moldovei a relevat un consum mediu de 12,2 kg anual, cu o abatere medie ptratic de 1,7 kg. Este sau nu corect prerea comerciantului, dac acceptm un nivel de ncredere de 95%?

Rezolvare:

Notaii:

= 12 kg n = 49 familii

= 1,7 kg = 12,2 kg

()100 = 95%

1. Ipoteza nul

(nu exist diferen semnificativ ntre consumul de zahr ce se va stabili i cel presupus de comerciant).2. Ipoteza alternativ

(consumul de zahr ce se va stabili este mai mic dect cel presupus de comerciant).3. Dac n= 49 familii >30 i , atunci se aplic testul Z unilateral snga4. n funcie de nivelul de ncredere, deoarece = 95%

EMBED Equation.3 = 0,05 cu ajutorul cruia se stabilete:

Z tabelar sau teoretic este de forma:= astfel

se scade din 0,5 i se obine valoarea: ; se caut valoarea 0,45 n Tabela funciei integrale a lui Laplace (Anexa 1) i se obine , de unde, n cazul testului unilateral stnga se obine valoarea critic . regiunea de respingere () : dac , atunci se respinge i este adevrat ipoteza .5. Valoarea statistic a testului (valoarea calculat) este:

6. Deoarece, , deci nu intr n , rezult c se accept, deci concluzia desprins: nu este corect prerea comerciantului (nu exist diferen semnificativ ntre consumul de zahr ce se va stabili i cel presupus de comerciant)Exemplul 2.Agenia de Drumuri i Poduri din Bucureti a reparat n ultimii doi ani strzile sectorului 3. O echip de control vrea s verifice costul mediu al reparaiei unei strzi i va cere ajutorul unui specialist n statistic. A fost selectat aleator un eantion de 50 strzi i costul mediu n eantion s-a dovedit a fi de 25 mii euro.

Conform cercetrilor, n ultimii 10 ani, costul de reparaie a unei strzi este o variabil aleatoare, distribuit normal, cu media 24 mii euro i o abatere de 3,75 mii euro. Verificai ipoteza conform creia costul mediu pentru reparaiile efectuate n ultimii doi ani este mai mare dect media ultimilor 10 ani, folosind probabilitatea de 95% .

Rezolvare:

Notaii:

= 24 mii euro n = 50 strzi

= 3,75 mii euro = 25 mii euro

= 95%

1. Ipoteza nul

(nu exist diferen semnificativ ntre costul mediu al reparaiei unei strzi efectuate n ultimii doi ani i cel al ultimilor 10 ani).

2. Ipoteza alternativ

(costul mediu al reparaiei unei strzi efectuate n ultimii doi ani este mai mare dect cel al ultimilor 10 ani).3. Dac n= 50 strzii >30 i , atunci se aplic testul Z unilateral dreapta4. n funcie de nivelul de ncredere, deoarece = 95%

EMBED Equation.3 = 0,05 cu ajutorul cruia se stabilete:

Z tabelar sau teoretic este de forma:= astfel: se scade din 0,5 i se obine valoarea: ; se caut valoarea 0,45 n Tabela funciei integrale a lui Laplace (Anexa 1) i se obine

regiunea de respingere () : dac , atunci se respinge i este adevrat ipoteza .5. Valoarea statistic a testului (valoarea calculat) este:

6. Deoarece, , deci intr n , rezult c se respinge, deci concluzia desprins: costul mediu pentru reparaiile efectuate n ultimii doi ani este mai mare dect media ultimilor 10 ani.

Exemplul 3 Un fermier dorete s verifice dac n ceea ce privete producia de lapte, dup cumprarea i utilizarea unui tonomat (aparat pentru vnzarea laptelui) profitul este mai ridicat. n acest scop a fost nregistrat profitul ntr-o lun (31 de zile) naintea cumprrii aparatului i n urmtoarea lun (30 de zile) dup achiziionarea i utilizarea lui.

Testarea ipotezei se realizeaz pe baza celor dou eantioane, datele stabilite permind nregistrarea urmtoarelor caracteristici:

Tabelul 3.3. - Caracteristicile eantioanelornainte de cumprarea aparatului:Dup cumprarea aparatului:

n=31 de zilen= 30 de zile

=1200 UM= 2030 UM

=231 UM= 323 UM

Rezolvare:

1. Ipoteza nul

(nu exist diferen semnificativ ntre profitul realizat nainte de cumprarea aparatului)

2. Ipoteza alternativ

(profitul realizat nainte de cumprarea aparatului este mai mic dect cel obinut dup cumprarea aparatului)

3. Deoarece ni n

EMBED Equation.3 30 i , atunci se aplic testul Z unilateral stnga4. n funcie de nivelul de ncredere, deoarece = 95%

EMBED Equation.3 = 0,05 cu ajutorul cruia se stabilete:

Z tabelar sau teoretic este de forma:= astfel c,

se scade din 0,5 i se obine valoarea: ; se caut valoarea 0,45 n Tabela funciei integrale a lui Laplace (Anexa 1) aa cum se prezint n tabelul de mai jos i se obine

Regiunea de respingere Rr este:

EMBED Equation.3 se respinge i este adevrat ipoteza .

5. Valoarea statistic a testului este:

6. Concluzia este: deoarece, , rezult c se respinge i este adevrat ipoteza , ceea ce nseamn c profitul fermierului productor de lapte este mai mare dup cumprarea aparatului.Exemplul 4 Un manager al unui magazin afirm c, 16% dintre clienii magazinului sunt brbai. Unul dintre vnztori nu este de acord cu aceast afirmaie. Pentru studiu se formeaz un eantion de 100 clieni i se stabilete c 25% dintre acetia sunt brbai. Ne putem baza pe afirmaia managerului cu un nivel de ncredere de 95%?

Rezolvare:

Notaii:

n = 100 persoane

Proporia eantionului

1. Ipoteza nul

(proporia stabilit nu difer semnificativ de cea presupus de manager)

2. Ipoteza alternativ

(proporia stabilit difer semnificativ de cea presupus de manager)

3. Deoarece n = 100 de persoane 30 i , atunci se aplic testul Z bilateral4. n funcie de nivelul de ncredere, deoarece = 95%

EMBED Equation.3 = 0,05 cu ajutorul cruia se stabilete: Z tabelar sau teoretic este de forma: astfel c,

se scade din 0,5 i se obine valoarea: ; se caut valoarea 0,45 n Tabela funciei integrale a lui Laplace (Anexa 1) aa cum se prezint n tabelul de mai jos i se obine

Regiunea de respingere Rr este:sau

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 se respinge i este adevrat ipoteza . 5. Valoarea statistic a testului:

6. Concluzia: deoarece , atunci se respinge, deci se accept, prin urmare, afirmaia managerului nu este adevrat, deoarece proporia stabilit difer semnificativ de cea presupus.Exemplul n vederea verificrii greutii produselor dintr-un lot de piese se extrage, aleator simplu i repetat un eantion format din 25 piese. La nivelul eantionului observat se obine o greutate medie de 340 g i o abatere standard de 10g. Se cere s se studieze ipoteza potrivit creia greutatea medie a unei piese din ntregul lot concord cu greutatea medie prevzut n normele STAS,. (riscul asumat este )

Rezolvare:

Notaii:

= 95%

1. Ipoteza nul (nu exist diferen semnificativ ntre greutatea medie a unei piese din ntregul lot i greutatea medie prevzut n normele STAS).

2. Ipoteza alternativ (exist diferen semnificativ ntre greutatea medie a unei piese din ntregul lot i greutatea medie prevzut n normele STAS).

3. Cum n =25 piese