MODIFICAREA ROTAŢIEI UNEI PLANETE DIN INTERIOR De Steven Dutch, Natural and Applied Sciences, University of Wisconsin

Nu este corect sã spunem cã nici un lucru care acţioneazã din sau în interiorul planetei nu poate sã îi modifice rotaţia. Existã unele lucruri referitoare la rotaţie care nu pot fi schimbate însã modificarea ritmului de rotaţie a planetei şi a orientãrii axei sale este posibilã. Sã începem prin analizarea unei poveşti pentru copii foarte bine cunoscute.

MICUL PRINŢ

Cartea lui Antoine de St. Exupery intitulatã « Micul prinţ » este foarte apreciatã nu numai în rândul copiilor, ci şi în rândul aviatorilor (St. Exupery însuşi a fost un pionier al aviaţiei şi s-a stins din viaţã în timpul unei misiuni în anul 1944, în timpul celui de-al doilea rãzboi mondial) şi al astronomilor.

Numele cãrţii vine de la B-612, un asteroid de mãrime mic, mai mic decât dimensiunea unei case, care se intâlneşte cu alţi asteroizi de mãrime micã în drumul sãu.

Vom evita intrebãrile adulţilor de genul: “Cum poate un asteroid atât de mic sã aibã suficientã gravitaţie pentru a-l ţine pe Micul Prinţ sau ce respirã acesta, de unde îşi cumpãrã legumele, unde merge la toaletã etc”.

Ne vom focaliza asupra a ceea ce se intâmplã când Micul Prinţ se deplaseazã pe acest asteroid.

Sã ne imaginãm pentru inceput cã Micul Prinţ stã exact în locul polului asteroidului în momentul în care acesta se invârte în jurul axei sale.

Desenul alãturat nu îl reprezintã pe Micul Prinţ din carte, deoarece “Micul Prinţ” este o carte pentru copii, ale cãrei drepturi de autor sunt pãzite de avocaţi adulţi, foarte sensibili şi lipsiţi de umor.

El stã astfel încât centrul masei sale sã se situeze exact pe masa asteroidului. Atâta timp cât stã acolo, asteroidul se poate roti lin în jurul axei sale. Dar ce se va întâmpla dacã el se mişcã?

Micul Prinţ poate afecta rotaţia asteroidului sãu numai plimbându-se în jurul lui. Cu toate acestea, două lucruri nu le poate schimba: energia cinetică de rotaţie şi viteza unghiulară (ω).

Asteroidul Micului Prinţ se învârte în jurul Soarelui. El are o viteză liniară şi o energie cinetică. Aceste elemente nu se pot schimba decât dacă apar forţe exterioare. Asteroidul are o viteză şi o energie cinetică deoarece se învârte.

IMPULSUL UNGHIULAR ŞI MOMENTUL INERŢIAL

Impulsul şi energia corpurilor aflate în stare de rotaţie au aceleaşi formule de calcul ca şi cele aplicate în cazul mişcărilor rectilinii.

Dacă avem un obiect care se deplasează pe o traiectorie rectilinie cu viteza v, atunci energia cinetică a sa este E = ½ mv2 iar impulsul este p = mv.

Pentru un obiect aflat în mişcare de rotaţie, avem o viteză unghiulară pe care o numim “ω” exprimată în radiani/secundă. Unde unghiul se măsoară în radiani.

Dacă vă aduceţi aminte de la geometrie 360º reprezintă un unghi de 2π radiani. În loc de masa “m” avem o cantitate numită momentul inerţial, notat cu “I” care este o măsură a felului în care este ditribuită masa în jurul axei de rotaţie.

Astfel, energia de rotaţie pentru asteroid (plus masa lui Little Prince) este E = ½ Iω2 iar impulsul unghiular este J = Iω. Atâta timp cât asteroidul şi Little Prince nu interacţionează cu nimic altceva, impulsul şi energia sunt constante.

Dacă asteroidul este o sferă, atunci momentul se poate calcula cu I = 2/5 mr2. În general momentul de inerţie al oricărui obiect este o constantă înmulţită cu masa înmulţită mai departe cu patratul razei.

Să presupunem că asterodiul are raza de 1.3 m şi o densitate de 3000 kg/m3. Volumul asteroidului este de 4/3 πr3, sau aproximativ 10 m3, de unde rezultă că masa m = 30.000 kg.

În acest fel calculăm momentul de inerţie I = 2/5 mr2 = 21,000 kg-m2. De aici rezultă energia cinetică E = ½ Iω2 = 1.05 joules.

Impulsul unghiular este J = Iω = 2100 kg-m2/sec. Să considerăm acum că Little Prince ar cântări 30 kg iar centrul de masă al său

ar fi la o înălţime de 0.5 m. Masa sa ar fi 1/1000 din masa asteroidului iar centrul său de masă s-ar afla la o

distanţă de 0.27 radiani. Rostul acestui exerciţiu este de a vă face să înţelegeţi un fenomen suficient de

vizibil prin faptul că Little Prince este foarte mare în comparaţie cu lumea pe care trăieşte. Altfel spus masa sa este suficient de mare încât să deplaseze centrul de masă al sistemului format din Little Prince + asteroid într-un alt punct decât centrul de masă al asteroidului, cu aproximativ 2 mm.

În desenul următor au fost exagerate aceste distanţe. Viteza unghiulară şi impulsul unghiular sunt vectori care au mărime şi sens.

Dacă obiectul e o sferă perfectă, atunci vectorul impuls inerţial e de-a lungul axei de rotaţie.

Dar dacă nu avem o sferă perfectă, ci una pe care se redistribuie o masă foarte mare (Little Prince aflat în plimbare), atunci aceasta se va roti după o axă care nu statică ci are nişte oscilaţii atât în ceea ce priveşte viteza cât şi în ceea ce priveşte amplitudinea acestor oscilaţii faţă de o origine dată.

Ceea ce nu se poate schimba niciodată pentru o planetă este vectorul impuls inerţial (deoarece nu există forţe exterioare care să o frâneze sau accelereze). Dar deoarece impulsul unghiular nu poate fi perceput din locul în care ne aflăm, putem vedea care este viteza unghiulară şi poziţia axei de rotaţie.

Viteza unghiulară a unei planete se poate schimba. Pentru a vedea aceasta, să revedem

formula de calcul a impulsului unghiular J = Iω. I este momentul inerţial care depinde de cum anume se distribuie masa pe planetă făcând-o să nu fie o sferă perfectă.

Din moment ce J nu se schimbă niciodată înseamnă ca dacă se schimbă I, atunci se va schimba şi ω (viteza de rotaţie unghiulară) astfel încât să se menţină J = constant. Iar I se schimbă uşor dacă se face o redistribuire de masă pe suprafaţa planetei (care e în mişcare de rotaţie).

Little Prince începe să se plimbe pe asteroid în fiecare zi. Să analizăm ce se întâmplă când face acest lucru. Imaginaţi-vă că face câţiva paşi până la latitudinea de 60º. Asta îl va face să stea într-o poziţie uşor înclinată faţă de axă.

În această situaţie, centrul de masă al sistemului asteroid plus Little Prince şi-a mutat poziţia cu câţiva mm “urmărindu-l” pe Little Prince.

Desigur, un calcul exact se face prin ecuaţii diferenţiale şi matriceale, dar haideţi să folosim pentru început intuiţia pentru a înţelege fenomenul ca principiu. Dacă rotaţia trebuie să sufere o schimbare, atunci pare logic ca aceasta să se facă tot înspre o stare stabilă, altfel, chiar şi cel mai mic grăunte de praf ar face ca asteroidul să se mişte haotic în toate părţile.

Pentru început să analizăm ce anume nu se poate întâmpla.

1. Axa nu va rămâne în poziţia ei originală şi nu vor fi la fel orientate deoarece centrul de masă al sistemului s-a deplasat.

2. Axa nu îşi va schimba radical poziţia deoarece vectorul impuls unghiular trebuie să arate aceeaşi direcţie şi poate face asta numai dacă asteroidul şi Little Prince se rotesc în jurul unei axe undeva nu prea departe de axa iniţială.

3. Axa nu se va înclina exact spre noua poziţie a lui Little Prince, deoarece el are o masă de numai 1/1000 din masa asteroidului, aşa că deşi el s-a mişcat mult, axa se înclină puţin.

4. Axa nu nu se va înclina spre o poziţie nouă permanentă ce poate fi mai aproape sau mai departe de Little Prince deoarece:

a) Dacă s-ar apropia de el, el oricum ar fi în afara ei, ceea ce înseamnă că ar cauza o înclinare şi mai mare şi procesul nu ar mai avea oprire – axa s-ar modifica continuu până ce ar ajunge să ocupe poziţia lui Little Prince (axa ar trece prin el)

b) Dacă s-ar îndepărta de el, el ar fi atunci şi mai în afara ei decât în cazul a), ceea ce înseamnă că ar cauza o înclinare mai mare a axei până ce Little Prince va ocupa o poziţie undeva la ecuator.

Aşadar axa nu poate rămâne unde a fost, dar nici nu se poate muta. Cum rezolvăm problema? Aceasta pare o problemă deoarece am gândit-o într-un sistem cu o singură axă de rotaţie. În natură avem o altă situaţie care e mult mai bună decât stabilitatea: oscilaţia. Deci ceea ce

se întâmplă este că axa se va deplasa uşor în poziţie (trecând prin centrul de masă) şi orientare.

Dar axa va oscila numai în jurul vectorului de inerţie unghiulară. Mare parte din această inerţie este conţinută în mişcarea de rotaţie a asteroidului, dar o mică fracţiune este acum conţinută în mişcarea de oscilaţie a axei, aşa că suma celor două este exact cât valoarea iniţială (care spuneam la început că nu se poate modifica atâta timp cât intervin doar forţe interne).

Terminologia folosită pentru a descrie mişcarea de oscilaţie a unei axe în jurul unei alte axe se numeşte precesie, dar nu o vom utiliza deoarece nu dorim să se facă o confuzie cu mişcarea de precesie a Pământului, care are cu totul alte cauze.

Vom folosi termenul “wobble” (migraţie) deoarece este un termen folosit pentru a compara migraţia axei Pământului funcţie de o distribuţie neregulată de masă.

Dacă raportăm problema la situaţia Pământului, unde Little Prince ar fi calotele plolare care se topesc, iar apa lor se scurge spre ecuator, atunci am avea situaţia : masa calotelor este 1/100,000 din masa Terrei, având o densitate de 900 kg/m3 ceea ce ar totaliza un volum de of 6.7 x 109 km3 care ar acoperi o suprafaţă de 500 milioane km2 cu o grosime de 13 km.

Pământul are masa de 6 x 1021 kg. Observăm că nu suntem în situaţia lui Little Prince nici dacă am mări de 5 ori greutatea gheţii.

Situaţia deplasărilor de masă terestră se reflectă astfel. Pe măsură ce Pământul se învârte, forţele centrifuge mai mari la ecuator şi mai mici la poli (care se turtesc uşor) vor

face ca ecuatorul să acumuleze masa redistribuită. Pentru că noi avem de-a face nu doar cu rotaţia unui corp care nu este perfect

sferic, dar nu este nici perfect rigid. Aşadar avem un Pământ uşor elastic care se roteşte sub acţiunea unor forţe

complexe. La nivel atomic, forţele care cauzează depărtarea atomilor de la o traiectorie

perfect circulară şi plană vor suferi un fenomen de elasticizare care va fi disipat sub formă de căldură. În cele din urmă, mişcarea unui corp inerţial se va stabiliza prin procesul de elasticizare.

La nivel mediu masele anomale care se deplasează, vor ajunge în cele din urmă la ecuator. În povestea lui Little Prince, dacă el stă suficient de mult undeva în afara polilor, fiecare mişcare de oscilaţie wobble a axei îl va împinge puţin câte puţin de axa vectorului de inerţie unghiulară şi deformările datorate frecării ale asteroidului vor face ca el să nu se mai întoarcă atât de aproape pe cât era la prima mişcare de oscilaţie.

Acesta e unul din motivele pentru care mulţi sateliţi artificiali ai unor planete mari au cratere mari la ecuator. Mai mult decât atât, ei exercită forţe mareice asupra planetelor însele.

Situaţia actuala a Pământului este că axa sa de rotaţie are o mişcare suplimentară de oscilaţie numită oscilaţia Chandler Wobble.

Într-o perioadă de aproximativ 400 de zile, această axă parcurge diverse elipse ale căror rază maximă poate ajunge până la 10 m.

Faptul că acum am identificat o umflare a ecuatorului este o dovadă că Pământul nu este un corp rigid şi dacă nimic altceva nu intervine, atunci această oscilaţie Chandler Wobble are trebui să dispară cam în următorii 30 de ani.

Dar variaţiile tot mai mari ale climei dintre emisferele nordice şi sudice au tot adăugat diverse mărimi la această oscilaţie, întărind-o şi mai mult.

Richard Gross de la Jet Propulsion Laboratory a publicat un articol în care a adus dovada că circulaţia oceanică conduce cel mai mult această oscilaţie. Dar în afară de oceane, Soarele are la rândul său un efect cumulativ.

Deoarece planetele mari precum Pământul, nu sunt rigide suficient de mult, ele nu au posibilitaţi de extrastabilizare. În cadrul obiectelor mari, gravitaţia tinde să împingă totul spre acelaşi nivel.

Dacă de exemplu, am încerca să facem o gaură de dimensiunea Americii de Nord şi adâncă de 50 de km şi să aruncăm materialul scos, undeva în Pacific, atunci gravitaţia care se formează în zona materialului aruncat în Pacific şi pereţii acestei gropi ar produce colapsul ei.

Greutatea materialului excavat se va scufunda sub propria greutate, iar mantaua pământului ar curge înspre zona cu presiune mai mică, adică spre groapa pe care am săpat-o şi ar provoca ridicarea ei către suprafaţă.

Fenomenul prin care gravitaţia are tendinţa de a uniformiza excesul de masă să se scufunde, respectiv deficitul de masă să provoace ridicări se numeşte izostazie. Aşa că pur şi simplu nu poţi aduna la un loc suficient de multă masă încât să se producă o instabilitate rotaţională.

Dar scoarţa terestră are o anumită rigiditate (motiv pentru care există munţi şi văi), aşa că pe de altă parte putem spune că Pământul nu uniformizează în totalitate întreaga variaţie de masă.

Un alt motiv pentru care Pământul nu face treaba asta este non-rigidatea, fapt care face posibilă îngrăşarea ecuatorului. Ecuatorul e mai înalt faţă de poli cu 21 km. Dacă comparăm aceasta cu o sferă perfectă, care are raza polară egală cu raza Pământului, atunci există un supliment de masă de 7 x 109 km3 în umflătura ecuatorială adică 2 x 1019 kg adică 0.003 % din masa totală a Pământului.

Momentan, adaosurile de masă generate de modificările climatice actuale sunt încă nesemnficative în ceea ce priveşte producerea unor efecte măsurabile iar acestea perturbă, dar nu în mod signifiant, rotaţia Pământului. Redăm mai jos harta oscilaţiilor Chandler Wobble care au crescut semnificativ în perioada 2000-2001

Pentru ca efectele să devină importante ar trebui ca mişcările de masă să se producă cu viteze neregulate şi în cât mai multe direcţii ceea ce sperăm că nu se va întâmpla.

Însă ciocnirea cu un asteroid ar putea face acest lucru.

Editat la 12 Januarie 2005