UNIVERSITATEA "TRANSILVANIA" DIN BRAOV

AANNAALLIIZZ MMAATTEEMMAATTIICC

ANDREEA FULGA

PREFA

Analiza matematic este definit, de obicei, ca fiind acea ramur a matematicii care se bazeaz pe noiunile de limit i funcie. nelegerea Analizei matematice, la unul din nivelele posibile de raiune suficient, este i un fapt de cultur i educaie, pentru c disciplineaz gndirea, cenzureaz intuiia prin raionament, stimuleaz descoperirea i contribuie la modelarea multor fenomene fizice, chimice i tehnico- economice. Analiza matematic reprezint obiect de studiu n multe institute de nvmnt superior datorit, printre altele, faptului c fr cunoaterea unor concepte i rezultate fundamentale ale acestei discipline, nu poate fi abordat studiul fizicii sau al unor discipline tehnice i nici chiar studiul unor capitole ale geometriei. Fiind considerat de nceptori ca o ramur mai dificil a matematicii, dtorit subtilitilor legate de studiul proceselor cu o infinitate de etape, analiza matematic formeaz raionamentul procesual necesar aprofundrii altor discipline sau rezolvrii a numeroase probleme tehnice. Lucrarea de fa prezint principalele rezultate teoretice clasice de calcul diferenial i integral. Exemplele incluse n fiecare capitol au drept scop s ilustreze conceptele fundamentale prezentate i constituie n acelai timp aplicaii concrete ale teoriei prezentate. n ceea ce privete rigurozitatea raionamentelor, ea va fi respectat cu strictee, prefernd renunarea la demonstraiile laborioase i neeseniale.

INTRODUCERE

Cursul de fa se adreseaz studenilor de anul I , de la Facultatea de Inginerie Tehnologic, programul de studii: Inginerie Economic Industrial.

Acest ramuri ale matematicii constituie o component important a pregtirii tiinifice a fiecrui student din nvmntul superior tehnic, prin numeroasele aplicaii pe care le are, prin abilitile de calcul pe care le dezvolt i prin numeroasele metode de modelare matematic pe care le propune. Cunotiele prezentate n aceast carte sunt fundamentale pentru pregtirea studenilor att prin contribuia adus la definirea unei gndiri riguroase a fiecrui student, dar i prin aceea c ele i gsesc n ntregime aplicabilitate n practic.

Asimilarea problemelor teoretice, a exemplelor i a exerciiilor prezentate n lucrare permit studentului s redescopere funcia modelatoare a matematicii i s o exerseze n acest sens.

Cursul a fost scris astfel ca limbajul, noiunile i succesiunea unitilor de nvare s fie n concordan cu programele analitice de la forma de nvmnt: zi.

Paragrafele teoretice sunt susinute de numeroase exemple i de probleme rezolvate, care dau posibilitatea aprofundrii noiunilor cuprinse n paragraful respectiv. Lucrarea ncearc s rspund unor necesiti de adncire a pregtirii n domeniul matematicii a tuturor celor interesai.

Obiectivele lucrrii

Obiectivul principal al acestei lucrri este de a-i iniia pe studeni n tainele analizei

matematice, att de necesar unei culturi tehnice solide.

Competene conferite Dup parcurgerea i asimilarea materialului studentul va fi capabil:

s acumuleze i s opereze cu noiunile i cunotinele de baz din domeniul analizei matematice;

s pun n practic cunotinele acumulate, att la disciplinele matematice, ct i la celelalte discipline de specialitate, utilizatoare ale noiunilor;

s-i formeze o gndire logic, un limbaj matematic adecvat i s-i dezvolte capacitatea de analiz i sintez;

s-i formeze capacitatea de autoevaluare.

Resurse i mijoace de lucru

Deoarece disciplinele amintite sunt prevzute n planul de nvmnt al anului I, vom insista mai mult asupra modului de utilizare eficient a materialului acestei lucrri.

Coninuturile unitilor de nvare sunt ntrerupte de diverse sarcini de lucru. Acestea sunt anunate printr-o imagine sugestiv i au titlul TO DO:. Este indicat rezolvarea cu

consecven a cerinelor formulate n sarcinile de lucru, imediat dup parcurgerea coninuturilor tematice i a exerciiilor rezolvate,intitulate sugestiv Exemple.

Fiecare unitate de nvare conine un test de autoevaluare,care permite cititorului s verifice singur calitatea nsuirii cunotinelor studiate. n cazul apariiei unor neclariti n legtur cu rezolvarea testelor de autoevaluare se pot folosi rspunsurile i sugestiile de rezolvare ale acestora, care se afl la sfritul fiecrui test de autoevaluare. Dac neclaritile persist este indicat a se lua legtura cu tutorele, la una dintre ntlnirile prevzute prin calendarul disciplinei.

Structura cursului

Materialul lucrrii este structurat n nou uniti de nvare. Temele de control, rezolvate, vor fi transmise tutorelui, scrise de mn i ndosariate. Rezultatele obinute de ctre studeni la temele de control, vor fi ncrcate pe platforma e-

learning a Universitii Transilvania Braov, pn la o dat prestabilit. Fiecare unitate de nvare are ca elemente constitutive: titlul unitii, cuprinsul unitii, o

introducere, competenele unitii de nvare, durata medie de parcurgere a unitii de nvare, coninutul unitii de nvare, rezumatul, testul de autoevaluare cu rspunsuri i indicaii.

Cerine preliminare

Parcurgerea materialului presupune cunoaterea noiunilor i rezultatelor de algebr i analiz matematic din clasele a XI-a i a XII-a i geometria claselor IX-XI, predate n liceu. Discipline deservite Alegerea temelor acestei lucrri i nsui modul de tratare al lor au i un alt scop: utilizarea acestui instrument de investigaie i de calcul i n : fizic, inginerie, economie, statistic, etc. Se pot enumera numeroase discipline din planul de nvmnt care se dezvolt pe baza cunotinelor dobndite n cadrul disciplinelor de fa: fizic teoretic, mecanic, rezistena materialelor, mecanica fluidelor, termotehnic, metoda elementelor finite, teoria elasticitii i plasticitii, etc.

Durata medie de studiu individual Parcurgerea de ctre studeni a aspectelor teoretice i a exemplelor unitilor de nvare poate face n 2 - 3 ore pentru fiecare unitate de nvare .

Evaluarea Evaluarea are dou componente: evaluarea continu i evaluarea final. Evaluarea continu va fi fcut pe baza temelor de control( notate de tutore).Notarea

fiecrei teme se afl menionat dup enunul subiectelor.

Media notelor obinute la fiecare tem de control, reprezint cte 45 % din nota final. Evaluarea final pentru acest curs este examenul scris. Nota obinut la examenul scris, reprezint 55% din nota final. NU EZITAI S LUAI LEGTURA CU TUTORELE PENTRU A OBINE

ALTE INDICAII SAU PRECIZRI, SAU PENTRU A DEPI EVENTUALELE BLOCAJE N NVARE !

SPOR LA TREAB I SUCCES!

1

Unitatea de nvare I. iruri i serii de numere reale

Cuprins II..11.. IInnttrroodduucceerree II..22.. CCoommppeetteennee II..33.. iirruurrii ddee nnuummeerree rreeaallee.. LLiimmiittee ddee iirruurrii II..44.. iirruurrii mmrrggiinniittee.. iirruurrii mmoonnoottoonnee II..55.. iirruurrii ffuunnddaammeennttaallee II..66.. AApplliiccaaiiii II..77.. iirruurrii rreemmaarrccaabbiillee II..88.. SSeerriiii nnuummeerriiccee.. DDeeffiinniiiiaa sseerriiiilloorr ccoonnvveerrggeennttee II..99.. CCrriitteerriiii ddee ccoonnvveerrggeenn ppeennttrruu sseerriiii ccuu tteerrmmeennii ppoozziittiivvii II..1100.. SSeerriiii aalltteerrnnaattee II..1111.. SSeerriiii ccuu tteerrmmeennii ooaarreeccaarree II..1122.. RReezzuummaatt II..1133.. TTeesstt ddee aauuttooeevvaalluuaarree II..1144.. RRssppuunnssuurrii ii ccoommeennttaarriiii llaa tteessttuull ddee aauuttooeevvaalluuaarree

I.1. Introducere Avnd n vedere faptul c n aceast unitate, dar i n cele urmtoare, intervin probleme care fac apel la noiunea fundamental de limit a unui ir, sunt introduse n prima parte chestiuni legate de acest concept.

De asemenea, sunt prezentate probleme relative la seriile cu termeni pozitivi i termeni reali.

I.2 Competenele unitii de nvare: Dup parcurgerea materialului studentul va fi capabil :

-s defineasc noiunea de ir de numere reale; -s calculeze limita unui ir; -s cunoasc definiiile i proprietile irurilor monotone i mrginite; -s deosebeasc metode de calcul a limitei unui ir convergent; -s defineasc noiunea de serie de numere reale; -s stabileasc natura unui serii numerici; -s calculeze suma unei serii convergente.

Durata medie de parcurgere a acestei uniti de nvare (fr demonstraii) este de 3 ore.

I.3. iirruurrii ddee nnuummeerree rreeaallee.. LLiimmiittee ddee iirruurrii..

Definiia 1. Se numete ir de numere reale o funcie RNf : . Notm ( )nfan = , Nn , iar irul f l notm cu ( ) Nnna sau ( ) 1nna .

Simbolul na desemneaz termenul de rang n al irului ( )na .

Definiia 2. Se numete subir al unui ir RN :f compunerea lui f cu o funcie strict cresctoare NN : .

2

Exemple 1 (exemple de iruri) 1, 2, 3, 4, .... (irul numerelor naturale); -1, -2, -3, -4, ... (irul numerelor ntregi strict negative).

Exemple 2 (exemple de subiruri) irul 2, 4, 6, .... este un subir al irului numerelor naturale; irul -1, -3, -5, ... este un subir al irului numerelor ntregi strict negative.

Definiia 3. Spunem c Ra este limita irului ( ) 1nna i notm aann =lim sau aan , dac n afara oricrei vecinti a lui a se gsesc cel mult, un numr finit de termeni. Adic, aan

n=lim ( ) ( )aV mulimea { }Van n : este finit.

Un ir care are limita finit (adic Ra ) se numete ir convergent.

Propoziia 1. Fie ( ) 1nna un ir de numere reale. (i) = lim Raann ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) > aaNnN n : a.. ,0 N . (ii) = nn alim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) >>> naNnN : a.. ,0 N . (iii) = nn alim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) > naNnN : a.. ,0 N .

Propoziia 2. Limita unui ir convergent este unic.

Propoziia 3. Dac ( )na este un ir convergent, atunci irul ( ) 1nna este convergent i n

nn

naa = limlim .

Exemple 3 1.

51

251lim =+

+ n

nn

, deoarece notnd 25

1++=

nnan , rezult c

( ) 10253

2552555

51

251

51

+=++=+

+=nn

nnnnan

i ca atare, pentru orice 0> , considernd NN i

25103>N obinem

3

Artai c

32

332lim =+ n

nn

.

Propoziia 4 (Criteriul majorrii) Fie ( ) 1nna , ( ) 1nnb dou iruri de numere reale. (i) nn ba , ( ) N n i == nnnn ba limlim ; (ii) nn ba , ( ) N n i == nnnn ab limlim ; (iii) Ra , nn aa i aan

nn

n== lim0lim .

Din afirmaia (iii) a acestei propoziii, rezult imediat:

Consecina 1. irul ( ) 1nna converge ctre Ra dac si numai dac irul ( ) 1 nn aa converge la 0, adic 0 aaaa nn .

Teorema 1. Dac ( ) 1nna , ( ) 1nnb , ( ) 1nnc sunt trei iruri de numere reale astfel nct nnn cab , ( ) 0 n i R== acb nnnn limlim , atunci i irul ( )na are limita a.

Demonstraie.

Din nnn cab , deducem nnnn bcba 0 . Deoarece ( ) 0limlimlim == nnnnnnn bcbc , rezult c i ( ) 0lim = nnn ba . Atunci, ( ) nnnn bbaa += i deci ( ) abbbaa n

nn

nnn

nn

n=+=+= lim0limlimlim .

Exemple 4

1. ,11...2

1

1

1lim =

+++

++

+ P PP PP Pn nnnn oricare ar fi 1>p .

Soluie: Pentru orice 1n i 1>p avem inegalitile: P PP PP P nnnn +

4

2. 1lim =n

nn .

Soluie: Pentru aceasta, fie 1= nn na , ( ) 2 n . Evident, 0na . Pe de alt parte, ( )

( )2

21

...1

22

2210

nnn

nn

nnnnnnn

nn

annaC

aCaCaCCan

=++++=+=

ceea ce este echivalent cu 1

20 2 nan . Deoarece 012lim = nn , rezult c i

0lim = nn a .

S se calculeze:

1. ( )!2!...!2!1lim

nn

n

+++ ; 2. 2

sin...2sin1sinlimn

nn

+++ .

S ne reamintim Se numete ir de numere reale o funcie RNf : .

Notm ( )nfan = , Nn , iar irul f l notm cu ( ) Nnna sau ( ) 1nna . Spunem c Ra este limita irului ( ) 1nna i notm aann =lim sau aan ,

dac n afara oricrei vecinti a lui a se gsesc cel mult, un numr finit de termeni.

Un ir care are limita finit (adic Ra ) se numete ir convergent. Limita unui ir convergent este unic.

I.4. iirruurrii mmrrggiinniittee.. iirruurrii mmoonnoottoonnee..

Definiia 6. Un sir de numere reale ( ) 1nna este: (i) minorat (sau mrginit inferior) dac exist un numr Ra a.. naa , ( ) N n ; (ii) majorat (sau mrginit superior) dac exist un numr Rb ,a.., ban , ( ) N n ; (iii) mrginit dac exist dou numere Rba, , ba < , a.. baa n , ( ) N n .

Observaia 1. Consideraiile din capitolul 1, cu privire la funciile mrginite se aplic, n particular, irurilor numerice.

Propoziia 6. Un ir ( ) 1nna este mrginit dac i numai dac exist un numr 0>M a.. ( ) N nMan , .

Propoziia 7. Orice ir convergent de numere reale este mrginit.

Demonstraie. Fie irul convergent ( ) 1nna , aann =lim i 1+= aM . Atunci, MaM

5

Definiia 7. Un ir ( ) 1nna de numere reale se numete: (i) cresctor dac ( ) N + naa nn ,1 ; (ii) strict cresctor dac ( ) N< + naa nn ,1 ; (iii) descresctor dac ( ) N> + naa nn ,1 ; (iv) strict descresctor dac ( ) N + naa nn ,1 .

Observatia 2. Evident, un ir cresctor i mrginit superior (de un numr b) este mrginit deoarece ( ) 1nna ( ) N nbaa n ,1 . Analog, un ir descresctor i mrginit inferior (de un numr Ra ) este mrginit, deoarece ( ) N naaa n ,1 .

Lema 1. Limita unui ir cresctor i convergent este mai mare dect toi termenii irului.

Teorema 3: Orice ir monoton i mrginit este convergent.

Demonstraie. Fie ( ) 1nna un ir monoton (s presupunem c este cresctor) i mrginit. Conform teoremei 2, irul fiind mrginit, conine un subir ( )

kna , convergent ctre un numr a. Deoarece aa kn , pentru orice 0> , exist k astfel nct

6

12212

122...

34

12

2212

212...

43

211 >>>>>= +nn aaaa

deci exist aann=lim i 2

10 a .

S se arate c irul ( ) 1nna , 321

2

2

++=

nnan este convergent (fiind monoton i mrginit).

S ne reamintim Un sir de numere reale ( ) 1nna este:

(i) minorat (sau mrginit inferior) dac exist un numr Ra a.. naa , ( ) N n ; (ii) majorat (sau mrginit superior) dac exist un numr Rb ,a.., ban , ( ) N n ; (iii) mrginit dac exist dou numere Rba, , ba < , a.. baa n , ( ) N n .

Un ir ( ) 1nna de numere reale se numete: (i) cresctor dac ( ) N + naa nn ,1 ; (ii) strict cresctor dac ( ) N< + naa nn ,1 ; (iii) descresctor dac ( ) N> + naa nn ,1 ; (iv) strict descresctor dac ( ) N + naa nn ,1 .

Orice ir monoton i mrginit este convergent.

I.5. iirruurrii ffuunnddaammeennttaallee..

n definiia limitei unui ir, aceast limita a intervenit n mod explicit. Pentru a verifica pe baza definiiei, convergena unui ir, trebuie s avem o indicaie asupra limitei. Exist ns situaii n care apar iruri crora nu le putem determina limita, chiar dac tim c sunt convergente. Noiunea de ir fundamental ce va fi definit n cele ce urmeaz, este legat de posibilitatea de a demonstra convergena unui ir prin compararea termenilor si ntre ei i nu n raport cu un element extern al irului.

Definiia 8. Un ir ( ) 1nna de numere reale se numete ir fundamental sau ir Cauchy dac satisface condiia:

( ) ( ) ( ) N ,0 > a.. ( ) ( )Nm i ( )Nn :

7

Demonstraie. Vom presupune, pentru nceput c ( ) 1nna este un ir convergent, aann =lim , i demonstrm c ( ) 1nna este ir fundamental. Deoarece aann

=lim , oricare ar fi 0> , exist ( ) NN , astfel nct, pentru orice ( )Nn avem

2

8

(iii) (Cauchy) Dac 0>na , ( ) N n i exist [ ]=+ ,0lim 1 aaa

n

nn

atunci exist i

aan nn

=lim .

Exemple 7

1. 1

1...21lim 1 +=+++

+ pnn

p

ppp

n, ( ) N p .

Soluie: Lum pppn na +++= ...21 , 1+= pn nb i avem ( )( ) =+

+=

++

ppp

nnn

nnn nn

nbbaa

11limlim

1

1

111

11

101

0111

0

...

...lim ++

++++

+ +++

+++=pp

pp

pp

p

pp

pp

p

n nCnCnC

CnCnC

( ) .11

1...11...lim 11

1

+=+++++++= ++

pnnpn

npnppp

pp

n

2. 1...21lim =+++n

nn .

Soluie: Folosim consecina 1 (iii), cu nan +++= ...21 i calculm

nnn

aa

nn

nn +++

+++++= +

...211...21limlim 1

Deoarece > nan , se poate aplica teorema 5(Stolz-Cesaro): 1

12limlimlim

1

121 =++=

= +++

+

nn

aaaa

aa

nnn

nnnn

nn

.

S se calculeze:

1. nn

n

lnlim ; 2.

=

n

kn kn 1

11lim ; 3. ( )( ) ( )nn

nnnn

2...211lim ++ .

I.7. iirruurrii rreemmaarrccaabbiillee..

1. Numrul e

irul avnd termenul general n

n ne

+= 11 este strict cresctor i mrginit: 32 ne . Limita

acestui ir se noteaz n

n ne

+=

11lim .

Observaia 3. irul ( ) 0nnE , =

=n

kn k

E0 !

1 are ca limit numrul e i avem relaia:

nn Ee , ( ) 1 n .

2. Constanta lui Euler

9

irul avnd termenul general ( ) N+++= nnn

cn ,ln1...

211 este strict cresctor i

mrginit, 10 nc , Nn , deci convergent. Limita irului ( ) 1nnc se noteaz cu c i se numete constanta lui Euler. Se arat c 577215664,0c .

3. irul lui Traian Lalescu

Este definit prin termenul general ( ) nnn nnL !!11 += + i eLnn1lim = .

I.8. SSeerriiiiii nnuummeerriiccee.. DDeeffiinniiiiaa sseerriiiilloorr ccoonnvveerrggeennttee..

O serie este un simbol al unei sume algebrice cu o infinitate de termeni cu ajutorul cruia, n anumite condiii se poate defini un numr, numit suma seriei.

Fie { }... ,2,1 , =kak o mulime de numere reale. Operaia simbolic

==+++++

1321 ......

nnn aaaaa (3.1

se numete serie de numere reale, iar na se numeste termenul general al seriei . Definim sumele pariale ale acestei serii

,....,..., 21 nSSS (3.2 unde am notat prin

pppp aSaaaS +=+++= 121 ... (3.3) i considerm irul ( )nS al sumelor pariale. Convenim, ca prin definiie s numim rezultat al operaiei (3.1) sau suma seriei (3.1), limita irului

==1

limn

nnnaSS (3.4)

Astfel, seriile pot fi mprite n funcie de natura irurilor sumelor pariale corespunztoare, anume:

1. Serii convergente dac irul ( )nS este convergent. 2. Serii divergente dac == nn SS lim .

A determina natura unei serii, nseamn a stabili creia din cele dou categorii aparine seria dat, ceeea ce revine la studiul irului sumelor pariale. Au loc urmtoarele rezultate:

Teorema 6. Dac seria na este convergent atunci 0lim = nn a . (3.5)

Teorema 7. (Criteriul de convergenta al lui Cauchy)

Seria =1n

na este convergent dac i numai dac pentru orice numr real pozitiv , exist un NN astfel nct

1 , ,...21

10

Demonstraie.

Prin definiie, =1n

na seria este convergent dac i numai dac irul sumelor pariale ( )nS este convergent. Dar, conform teoremei 4 (criteriul lui Cauchy), irul ( )nS este convergent dac i numai dac este ir fundamental, adic, dac i numai dac, pentru orice 0> , exist ( ) NN, astfel nct, pentru orice ( )Nn i oricare ar fi 1p , s avem

11

Prin urmare, seria geometric este convergent dac 1

12

...71

61

51

41

31

211

1...31

211

+

++++

++=

++++=

nSn

Se observ c pentru fiecare parantez au loc inegalitile:

121

212

31

21

=

13

4.Criteriul Raabe-Duhamel

Fie seria na , 0>na , ( ) 0 n . Presupunem c exist laan nnn =

+

1lim 1 . Atunci,

(i) Dac 1l seria este convergent.

Observaia 4: Criteriul Raabe Duhamel se ntrebuineaz atunci cnd aplicarea criteriului lui

DAlambert conduce la cazul 1lim 1 =+ n

nn a

a .

Exemple 12

Fie seria ( ) ( )( ) ( ) ++

++1 ...1

...1

n nbbbnaaan .

Deoarece ( ) ( )( ) ( )nbbbnaaanan ++

++=...1...1 , avem ( )( )( )( ) 111

11limlim 1 =++++++=

+ nbn

nana

ann

nn

deci nu putem decide natura seriei cu criteriul raportului i vom cerceta natura ei aplicnd criteriul Raabe Duhamel:

( ) ( )( )( )( )

.1 11

111lim1lim1

=

+++

+++++=

+ab

nannannbnn

aan

nn

nn .

Atunci, pentru (i) 11 ab seria este convergent, (iii) 11= ab seria devine ( )( )( ) ++++

+1 21

1

n nanaaan i aplicnd criteriul II de

comparaie , cu = nbn 1 , urmeaza c seria este divergent ( ) { }0,1\ Ra .

S se studieze convergena seriei ( )=

+1 2...642

12...531

n nn .

5. Criteriul radacinii (Cauchy) Fie na o serie real cu termeni pozitivi. Presupunem c exist lan nn =lim . Atunci, (i) dac 1l seria este divergent.

Observaia 5: n cazul 1=l nu putem spune nimic despre convergena sau divergena seriei na .

Exemple 13

Considerm seria =

+

+1

1

11n

n

n

. Avem

11

11

1lim11limlim

14

i din acest motiv seria este convergent.

Studiai natura seriei ( )

=

+

+

1

1

123

nn

n

nn

.

6.Criteriul logaritmic

Fie na , o serie cu termeni pozitivi. Presupunem c exist lnann = ln1ln

lim . Atunci:

(i) dac 1l seria este convergent.

Exemple 14

S se discute convergena seriei 1

ln

n

na , 0>a .

Soluie: Avem: nn aaln= i a

nan

na

nn

nln

lnlnlnlim

ln

1lnlim == .

Dac: (i) 11 le

a , seria este divergent;

(ii) 11 >< le

a ,seria este convergent;

(iii) e

a 1= seria devine =

=

===

11

1ln

1

ln 11

nn

n

n

n

ne

e deci, este divergent.

S se discute convergena seriei =

+++

1

1...211

n

na .

I.10. SSeerriiii aalltteerrnnaattee..

O serie de numere reale n care termenii sunt alternativ pozitivi i negativi se numete serie alternat i este de forma

( ) ....1 32101

1 ++==

aaaaan

nn , pentru Nn .

Urmtoarea teorem furnizeaz o condiie suficient pentru convergena seriilor alternate.

Teorema 8. (Leibniz) Fie ( )=

1

11n

nn a , 0>na o serie alternat, astfel nct

(i) irul ( )na este monoton descresctor, adic nn aa +1 pentru orice Nn (ii) 0lim = nn a .

Atunci seria ( )=

1

1n

nn a este convergent.

Exemple 15

Seria ( ) ...41

31

21111

1

1 ++==

n

an

nn este convergent, deoarece irul ( ) 0nna ,

15

nan

1= este pozitiv, monoton descresctor i 0lim = nn a .

S se precizeze natura seriei ( ) nn

n

311

1

1 =

.

I.11. SSeerriiii ccuu tteerrmmeennii ooaarreeccaarree..

O serie =1n

na este cu termeni oarecare dac conine o infinitatea de termeni pozitivi i o infinitate

de termeni negativi. Seriile alternate sunt un caz particular al seriilor cu termeni oarecare.

O serie cu termeni oarecare =1n

na se numete:

(i) absolut convergent dac seria modulelor ......211

++++==

nn

n aaaa este

convergent;

(ii) simplu convergent dac seria =1n

na este convergent, iar seria =1n

na este divergent.

Relativ la seriile cu termeni oarecare are loc urmtorul criteriu:

Teorema 9. Dac o serie cu termeni oarecare este absolut convergent atunci ea este convergent.

Demonstraie.

Fie =1n

na o serie absolut convergent. Rezult atunci, c seria =1n

na este convergent.

Conform criteriului lui Cauchy, pentru orice 0> , exist ( )N , astfel nct, oricare ar fi ( )Nn i oricare ar fi 1p , s avem

16

O serie =1n

na este cu termeni oarecare dac conine o infinitatea de termeni pozitivi

i o infinitate de termeni negativi.

I.12. Rezumat Aceast unitate de nvare se dau definiiile i proprietile de baz ale irurilor i seriilor de numere reale, i se prezint o serie de probleme ilustrative.

I.13. Test de autoevaluare

1. Un ir ( ) 1nna este mrginit dac 2. Un ir ( ) 1nna este ir Cauchy dac 3. Enunai teorema Stolz-Cesaro. 4. Enunai criteriul general de convergen al lui Cauchy pentru serii de numere reale. 5. Enunai criteriul Raabe-Duhamel.

6. O serie cu termeni oarecare =1n

na se numete absolute convergent dac ..

7. S se calculeze 2sin...2sin1sinlim

nn

n

+++

.

8. S se calculeze =

n

kn kn 1

11lim .

9. Studiai convergena seriei = +1 1

1

n nn.

10. Studiai convergena seriei ( )=

+1 2...642

12...531

n nn

.

II..1144.. RRssppuunnssuurrii ii ccoommeennttaarriiii llaa tteessttuull ddee aauuttooeevvaalluuaarree

11.. RReevveezzii ddeeffiinniiiiaa 66.. 22.. RReevveezzii ddeeffiinniiiiaa 88.. 33.. RReevveezzii tteeoorreemmaa 55.. 44.. RReevveezzii tteeoorreemmaa 77.. 55.. RReevveezzii ccrriitteerriiuull.. 66.. RReevveezzii ddeeffiinniiiiaa 77.. AApplliicc tteeoorreemmaa 11.. 88.. AApplliicc lleemmaa SSttoollzz--CCeessaarroo

99.. AApplliicc ddeeffiinniiiiaa sseerriiiilloorr ccoonnvveerrggeennttee;; 11

1 =+= nnnnan 1100.. Aplic criteriul raportului.

17

Unitatea de nvare II.1. LLiimmiittee.. CCoonnttiinnuuiittaattee.. DDeerriivvaabbiilliittaattee..

Cuprins IIII..11..11.. IInnttrroodduucceerree IIII..11..22.. OObbiieeccttiivveellee uunniittiiii ddee nnvvaarree IIII..11..33.. LLiimmiittaa uunneeii ffuunncciiii nnttrr--uunn ppuunncctt.. IIII..11..44.. LLiimmiittee llaatteerraallee IIII..11..55.. FFuunncciiii ccoonnttiinnuuee.. DDeeffiinniiiiaa ccoonnttiinnuuiittiiii IIII..11..66.. CCoonnttiinnuuiittaattee llaatteerraall IIII..11..77.. PPrroopprriieettiillee ffuunncciiiilloorr ccoonnttiinnuuee IIII..11..88.. DDeeffiinniiiiaa ddeerriivvaatteeii IIII..11..99.. PPrroopprriieettii aallee ffuunncciiiilloorr ddeerriivvaabbiillee IIII..11..1100.. DDeerriivvaattee ddee oorrddiinn ssuuppeerriioorr IIII..11..1111.. OOppeerraaiiii ccuu ffuunncciiii ddeerriivvaabbiillee ddee nn oorrii IIII..11..1122.. RReezzuummaatt IIII..11..1133.. TTeesstt ddee aauuttooeevvaalluuaarree IIII..11..1144.. RRssppuunnssuurrii ii ccoommeennttaarriiii llaa tteessttuull ddee aauuttooeevvaalluuaarree

II.1. Introducere n aceast unitate de nvare, este studiat, pentru nceput noiunea de limit ntr-un punct a unei funcii oarecare; mai precis, se cerceteaz ce se ntmpl cu valorile funciei ( )xf atunci cnd x se apropie tot mai mult de 0x .

Apoi, este discutat noiunea de continuitate, studiindu-se comportarea funciei nu numai n jurul lui 0x , ci i n 0x , comparndu-se valoarea funciei n 0x cu valorile sale n punctele

din vecintatea acestui punct. n ultima parte, se introduce noiunea de derivat, fiind considerate cele dou aspecte (calitativ i cantitativ) ale aceleai noiuni, anume derivabilitatea i derivata.

II.2. Competenele unitii de nvare: Dup parcurgerea materialului studentul va fi capabil :

-s calculeze limita unei funcii ntr-un punct ;

- s demonstreze c o funcie este continu ntr-un punct;

-s cunoasc proprietile funciilor continue;

- s cunoasc noiunea de derivat, respectiv funcie derivabil;

-s calculeze derivata unei funcii. - s cunoti proprietile funciilor derivabile

Durata medie de parcurgere a unitii de nvare (fr demonstraii) este de 6 ore.

IIII..33 LLiimmiittaa uunneeii ffuunncciiii nnttrr--uunn ppuunncctt

O funcie real ( )xfy = , de variabil real x, este o transformare a crui domeniu de definiie E este o mulime de numere reale (de obicei, [ ]baE ,= sau ( )baE ,= ), iar codomeniul este R. Considerm funcia real de variabil real REf : i ne propunem s cercetm comportarea sa n jurul unui punct 0x , adic s vedem ce se ntmpl cu valorile funciei ( )xf

18

aunci cnd argumentul x se apropie de 0x . Mai exact, ne intereseaz dac pentru valori ale lui x apropiate de 0x , valorile funciei ( )xf sunt apropiate de un anumit numr l (finit sau infinit). Suntem condui astfel la noiunea de limit a unei funcii ntr-un punct.

Definiia 1. Spunem c funcia REf : are limita l n punctul 0x dac pentru orice numr real pozitiv , exist 0> , astfel nct ( ) x ,

avem ( ) , exist astfel nct oricare ar fi Ex , cu

19

(iv) ( ),,0: Rf ( ) ,xaxf = 0>a , 00

lim xxxx

aa = , oricare ar fi R0x .

Dac 10 a : ,lim =x

xa .0lim =

xx

a

(v) ( ) ,,0: Rf ( ) xxf ln= , 0lnlnlim0

xxxx

= , oricare ar fi

( ) ,00x ; = xx lnlim , = xx lnlim0 ; (vi) ( ) ( ) R ,01,:f , ( ) x

xxf

+= 11 , e

x

x

x=

+

11lim , ex

x

x=

+

11lim .

Proprieti ale limitelor de funcii

Propoziia 1. Fie funcia REf : i 0x un punct de acumulare al lui E. Dac limita funciei f n punctul 0x exist, aceasta este unic.

Propoziia 2. Fie f i g dou funcii definite pe E, 0x un punct de acumulare al lui E i presupunem c exist ( ) 1

0

lim lxfxx

= i

( ) 20

lim lxfxx

= . Au loc atunci urmtoarele proprieti:

(i) ( )[ ] ( ) 100

limlim lcxfcxfcxxxx

== , oricare ar fi Rc . (ii) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) 21

000

limlimlim llxgxfxgxfxxxxxx

== .

(iii) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) 21000

limlimlim llxgxfxgxfxxxxxx

=

= .

(iv) ( )( )( )( ) 2

1

0

0

0 lim

limlim

ll

xg

xf

xgxf

xx

xx

xx==

, dac 02 l .

(v) ( )[ ] ( ) ( ) 20

1limlxg

xxlxf =

.

Folosind aceste proprieti, putem preciza limitele altor funcii elementare.

Exemple 2 Pentru orice polinom ( ) 0111 ... axaxaxaxP nnnn ++++= definit pe R, 0na , avem: ( ) ( )0

0

lim xPxPxx

= , oricare ar fi R0x ;

( ) ( )nnx axP +=lim , ( ) ( )nnx axP =lim .

Exemple 3 1. ( ) ( ) ( ) 211312132lim 33

1=+=+ xxx ;

2. ( ) 2lim32009lim 22009 =+ xx xx ; 3. ( ) ( ) ( ) ===+ 3323 2lim2lim972lim xxx xxx .

20

S se calculeze limitele: 1. ( )123lim 2

2 xxx ; 2. ( )54lim 37 + xxx ; 3. ( )14lim 2 + xx .

Exemple 4

Funcia raional ( ) ( )( )xQxPxR = , are limit ntr-un punct 0x n care nu se anuleaz

numitorul ( ) 00 xQ i ( )( )( )( )0

0

0

limxQxP

xQxP

xx= .

Dac ( ) ( )( ) 011101

11

...

...

bxbxbxbaxaxaxa

xQxPxR

mm

mm

nn

nn

++++++++==

, 0na 0mb atunci

( )( )( )

.

dac ,

dac ,

dac ,0

lim

>

= , exist 0> astfel nct oricare ar fi { }0\ xEx cu proprietatea c 00 xxx

22

S ne reamintim Funcia REf : are limita l n punctul 0x dac pentru orice numr real

pozitiv , exist 0> , astfel nct ( ) = astfel nct, oricare ar fi Ex cu

23

Un punct 0x , pentru care exist ( ) lxfxx = 0lim dar ( ) ( )00lim xfxfxx , se numete punct de discontinuitate de prima spe. n acest caz, putem redefini (prelungim prin continuitate) funcia f, astfel nct ( ) lxf =0 . Obinem astfel funcia ( ) ( )

==

0

0

dac , dac ,

xxlxxxf

xf , care este continu n 0x .

Exemple 10

Fie funcia ( ) ( ) R ,00,1:f , ( ) ( ) xxxf 11+= . Avem: ( ) ( ) exxf x

xx=+=

1

001limlim , i deci, funcia are limit n 00 =x , dar nu este

continu n acest punct, deoarece 00 =x nu aparine domeniului su de definiie. Funcia

( ) ( )

=+=

0 dac ,0 dac ,1

1

xexxxf x ,

definit pe intervalul ( ) ,1 este prelungirea prin continuitate a lui f, n punctul 0. S se prelungeasc prin continuitate funcia

( )( )

>+

=

0 dac ,1

0 dac ,1

x

xxxf

are n 0 un punct de discontinuitate de spea a doua, deoarece

( ) 11limlim00

00

===

24

Propoziia 8. Funcia REf : este continu n punctul Ex 0 dac i numai dac este continu la stnga i la dreapta n 0x .

Observaia 7. Dac 0x este un punct de acumulare al lui E, pentru care limitele laterale au sens, funcia f este continu n 0x dac i numai dac limitele laterale exist i sunt egale cu ( )0xf .

Exemple 12

S se studieze continuitatea funciei ( ) nxnx

n eexxxf ++= 1lim

2.

Explicitm funcia,

( )

=0 dac ,0 dac ,00 dac ,2

xxxxx

xf

i calculm limitele laterale n 00 =x : 0lim

00

==

xlxx

d .

Obinem astfel ( )0fll ds == , deci f este continu pe R.

S se determine valoarea parametrului real , astfel nct funcia

( )( )

( )

+

=0 ,

sin1ln2

0 ,2cos

0 ,2sin

1ln

2

xx

xtgxxx

xxx

xf

s fie continu n origine.

IIII..77 PPrroopprriieettiillee ffuunncciiiilloorr ccoonnttiinnuuee

1. Operaii cu funcii continue

Fie funciile REgf :, continue n punctul Ex 0 . Atunci: (i) funciile gfgfcf i , , sunt continue n 0x , (c fiind o constant real arbitrar); (ii) funcia

gf este continu n 0x dac ( ) 00 xg ;

(iii) gf este continu n 0x , (dac ( ) ( )00 xgxf are sens); (iv) dac f este continu n 0x i g este continu n ( )0xf , atunci funcia fg o este continu n 0x .

Observaia 8. Dac f i g sunt continue pe E, atunci gffc , i gf sunt continue pe E, iar funciile

gf i gf sunt continue pe domeniile lor de definiie.

25

2. Proprieti locale ale funciilor continue

(i) Dac funcia REf : este continu n 0x (sau pe E), atunci funcia f este continu n 0x sau pe E.

(ii) Dac funciile REgf :, sunt continue n 0x (sau pe E), atunci funciile ( )gf ,sup i ( )gf ,inf sunt continue n 0x sau pe E.

3. Proprieti ale funciilor definite pe un interval

(i) (Proprietatea lui Darboux) Dac funcia f este continu pe un interval I, atunci oricare ar fi punctele baIba

26

IIIIII..11..88 DDeeffiinniiiiaa ddeerriivvaatteeii

Fie funcia f definit pe un interval I i 0x un punct din I.

Definiia 7. Dac ( ) ( )0

0

0

limxx

xfxfxx

sau ( ) ( )x

xfxxfx

+

000

lim exist i este finit, atunci

spunem c funcia f este derivabil n 0x i notm ( ) ( ) ( )0

00

0

limxx

xfxfxfxx

=

.

Numrul ( )0xf se numete derivata funciei n punctul 0x .

Dac funcia f este derivabil n fiecare punct al intervalului I, atunci spunem c f este derivabil pe I.

Dac ( ) ( )0

0

0

limxx

xfxfxx

exist dar nu este finit, ea se numete, de asemenea, derivata

funciei f n punctul 0x , dar nu mai spunem c funcia este derivabil n 0x .

Observaia 9. Derivabilitatea i derivata reprezint aspectul calitativ i cel cantitativ al aceleai noiuni. Noiunea de derivabilitatea are un caracter punctual i are sens numai n punctele n care funcia este definit. Din punct de vedere geometric, derivata are urmtoarea interpretare: dac funcia f are derivat ntr-un punct 0x , atunci graficul su admite tangent n punctul corespunztor ( )( )00, xfxP ; dac derivata ( )0xf este finit, atunci ea este egal cu panta acestei tangente, iar dac derivata este infinit, tangenta este paralel cu axa Oy.

Se poate ntmpla ca raportul ( ) ( )

0

0

xxxfxf

s nu aib limit n 0x , dar s aib limite laterale

n acest punct. Astfel, dac ( ) ( )0

0

00

limxx

xfxf

xxxx

< exist i este finit, atunci spunem c f este

derivabil la stnga n 0x . Valoarea limitei se noteaz ( )0xfs i se numete derivata la stnga n punctul 0x . Analog, funcia f este derivabil la dreapta n 0x dac ( ) ( ) ( )0

0

0

00

lim xfxx

xfxfd

xxxx

=

> exist i este finit. Numrul ( )0xfd se numete derivata la dreapta

n punctul 0x .

Propoziia 9. Funcia RIf : are derivat ntr-un punct interior Ix 0 dac i numai dac are derivate laterale egale n 0x . n acest caz: ( ) ( ) ( )000 xfxfxf ds == .

Dac, n particular, presupunem c derivatele laterale sunt finite, obinem urmtoarea propoziie.

Propoziia 10. Funcia RIf : este derivabil n punctul Ix 0 , dac i numai dac este derivabil la stnga i la dreapta n 0x i derivatele laterale sunt egale .

Exemple 13. S se studieze derivabilitatea funciei [ ] R,0:f , ( ) ( )xxxf 3cos,cosmax= .

Considernd funcia [ ] R,0:g , ( ) ( ) xxxxxxxg 223 sincoscos1coscoscos === , avem: ( ) 0xg dac

20 x , respectiv ( ) 0>xg dac < x

2. Rezult astfel

27

c,

( )

x

x

x

xf

x

x

x

xd .

Deoarece

22

ds ff , rezult c funcia nu este derivabil n 20=x .

S se studieze derivabilitatea funciei: RR :f , ( ) ( )xxxxf ,3max 2 += .

Dei n definiia derivatei nu a fost impus continuitatea funciei, aceasta rezult din derivabilitate. Fie funcia RIf : , derivabil n 0x . Atunci pentru orice Ix , 0xx , ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

0

00 xxxx

xfxfxfxf

+= . Trecnd la limit n egalitatea anterioar, i innd cont de derivabilitatea funciei, obinem

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 0 limlimlim 00000

00

000

xfxfxfxxxx

xfxfxfxfxxxxxx

=+=+=

Rezult c f este continu n 0x . Are loc astfel urmtoarea teorem:

Teorema 2. Dac funcia RIf : este derivabil n punctul Ix 0 (pe I), atunci f este continu n Ix 0 (pe I).

28

Observaia 10. Reciproca nu este n general adevrat.

Exemple 14

Funcia ( )

==

0 dac ,0

0 dac ,1cos

x

xx

xxf este continu pe R, n particular n 00 =x ,

deoarece ( ) ( )001coslimlim00

fx

xxfxx

=== . Dar, cum

( ) ( )xx

xx

xfxf

xxx

1coslim

1coslim

00lim

000 =

= nu exist,

obinem c f nu este derivabil n 0.

S ne reamintim

Dac ( ) ( )0

0

0

limxx

xfxfxx

sau ( ) ( )x

xfxxfx

+

000

lim exist i este finit,

atunci spunem c funcia f este derivabil n 0x i notm

( ) ( ) ( )0

00

0

limxx

xfxfxfxx

= . Dac funcia RIf : este derivabil n punctul Ix 0 (pe I), atunci f

este continu n Ix 0 (pe I).

IIII..99 PPrroopprriieettii aallee ffuunncciiiilloorr ddeerriivvaabbiillee

11.. Fie funciile RIgf :, , derivabile ntr-un punct 0x . Atunci, funciile fc ( Rc ), gf , gf , respectiv

gf (dac ( ) 00 xg ) sunt derivabile n 0x i

( ) ( ) ( )00 xfcxfc = ( ) ( ) ( ) ( )000 xgxfxgf = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )00000 xgxfxgxfxgf += ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 , 002

00000 =

xg

xgxgxfxgxfx

gf .

Observaia 11. Dac funciile f i g sunt derivabile pe I, atunci funciile fc ( Rc ), gf ,gf , respectiv

gf (dac ( ) 0xg ) sunt derivabile pe I.

2. Dac funcia JIu : este derivabil ntr-un punct Ix 0 i funcia RJ: este derivabil n punctul ( ) Jxu 0 , atunci funcia compus ( )uf = este derivabil n 0x i ( ) ( )( ) ( )000 xuxuxf = . Observaia 12. Dac funcia u este derivabil pe I i funcia este derivabil pe J, atunci funcia compus uf o= este derivabil pe I i ( ) ( )( ) ( ) Ixxuxuxf = , .

29

3. Fie funcia JIf : strict monoton, astfel nct ( ) JIf = i 1f inversa funciei f. Dac f este derivabil ntr-un punct Ix 0 i dac ( ) 00 xf , atunci 1f este derivabil n punctul ( ) Jxfy = 00 i ( ) ( )00

1 1xf

yf = .

Aplicnd formula de derivare a funciilor compuse n cazul funciilor elementare, se obin urmtoarele reguli de derivare ( ( )xuu = fiind o funcie derivabil pe un interval I sau o reuniune de intervale):

1. ( ) Z= nunu nn ,1 2. ( ) ( ) ( ) Ixxu

uuu >= ,0 ,

2

3. ( ) ( ) ( ) Ixxuuuu >= ,0 ,ln

4. ( ) 1 ,0 ,ln >= aauaaa uu 5. ( ) uee uu = 6. ( ) uuu = cossin 7. ( ) uuu = sincos 8. ( ) ( ) ( ) Ixkxu

uuu += ,

212 ,

costg

2

9. ( ) ( ) Ixkxuu

uu = , ,sin

ctg2

10. ( ) ( ) Ixxuu

uu = ,1 ,

1arcsin

2

11. ( ) ( ) Ixxuu

uu = , ,

1arccos

2

12. ( )21

arctgu

uu +=

13. ( )21

arcctgu

uu +=

Exemple 15

Fie funciile u i v derivabile pe un interval I i ( ) 0>xu . Atunci, funcia uvuv eeu

v lnln == fiind compus din funcii derivabile este deasemenea derivabil i

( ) ( ) ( )

.ln

ln ln

1

lnlnln

uuvvuu

uuvuveuveeu

vv

uuvuvv v

+=

+===

30

S se calculeze derivatele funciilor:

a. ( )21

1

xxxf

++= ; b) ( ) xxf sinln= ; c) ( ) 21arcsin xxxxf += .

S ne reamintim ( ) ( ) ( )00 xfcxfc =

( ) ( ) ( ) ( )000 xgxfxgf = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )00000 xgxfxgxfxgf +=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 , 0020000

0 =

xg

xgxgxfxgxfx

gf

Dac funcia JIu : este derivabil ntr-un punct Ix 0 i funcia RJ: este derivabil n punctul ( ) Jxu 0 , atunci funcia compus ( )uf = este derivabil n 0x i ( ) ( )( ) ( )000 xuxuxf = .

IIII..1100 DDeerriivvaattee ddee oorrddiinn ssuuppeerriioorr

Fie f o funcie definit pe un interval I. Derivata funciei ( )xf n orice punct x, dac exist, este de asemenea o funcie, s spunem ( ) ( )xgxf = . Dac ( )xg este derivabil n x, atunci definim derivata a 2-a a funciei f, prin

( ) ( ) ( )( )== xfxgxf . n mod asemntor se definesc derivata a treia (sau de ordinul trei) a funciei f, notat f sau ( )3f , derivata a patra (de ordinul patru) a funciei f, notat ( )4f . Prin recuren, dac funcia f este derivabil de 1n ori pe o vecintate a punctului 0x (pe I) i

dac derivata ( )1nf este derivabil n punctul 0x (pe I), atunci spunem c funcia f este de derivabil de n ori n 0x (pe I). Derivata de ordin n a funciei f se noteaz

( )nf i se definete ca ( )( ) ( )( )( )= xfxf nn 1 .

Existena derivatei de ordinul n, ( )nf implic existena i continuitatea funciilor ( )1,...,,, nffff ntr-o vecintate a punctului x.

Exemple 16

(a) Funcia ( ) { }0 ,1 \R= xx

xf are derivate de orice ordin pe R (este indefinit

derivabil),

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )132

!1...,,2,1,1 +====

n

nn

xnxf

xxf

xxf

xxf .

(b) Funcia ( ) axexf = este indefinit derivabil pe R i ( ) ( ) ( ) ( )( ) axnnaxaxax eaxfeaxfeaxfexf ==== ...,,,, 2 .

31

Exemple 17

Funcia ( )

==

0 dac ,0

0 dac ,1sin2

x

xx

xxf este derivabil n 0=x , dar ( )xf nu

este continu n acest punct. Deoarece,

( ) ( )001sinlimlim 200

fx

xxfxx

===

,

i

( ) ( ) 01sin

lim0

0lim2

00=

=

x

xx

xfxf

xx

Rezult c funcia este continu i derivabil n 0=x , iar ( ) 00 =f . Pentru 0x , ( ) .1cos1sin2 11cos1sin21sin 222 xxxxxxxxxxxf =

+=

=

Dar, ( )

= xxxxf xx1cos1sin2limlim

00 nu exist, deoarece

xx1coslim

0 nu exist.

Aadar, funcia ( )xf nu este continu n 0=x .

IIII..1111 OOppeerraaiiii ccuu ffuunncciiii ddeerriivvaabbiillee ddee nn oorrii

Dac funciile f i g sunt de n ori derivabile pe I, atunci funciile ( )R cfc , gf i gf sunt derivabile de n ori pe I i: (i) ( )( ) ( )nn fcfc = (ii) ( )[ ] ( ) ( )nnn gfgf = (iii) (formula lui Leibniz)

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnnnnnnk

kknkn

n gfgfCgfCgfgfCgf ++++== =

... 22111

Demonstraie. Rezultatele sunt valabile pentru n=1 (vezi paragraful 3.1.9). S presupunem c sunt adevrate pentru orice n, n ipoteza c funciile f i g sunt sunt de n+1 ori derivabile pe I. Aceasta nseamn c f i g sunt derivabile odat pe I, iar derivatele gf , sunt de n ori derivabile.Au loc urmtoarele formule: ( ) gfgf +=+ , ( ) fcfc = , ( ) gfgfgf += . Funciile din membrul drept sunt derivabile de n ori, i conform proprietilor funciilor derivabile, funciile din dreapta egalitilor sunt derivabile de n ori pe I; deci, i funciile din stnga egalitilor sunt derivabile de n ori pe I. n concluzie, funciile gffcgf + ,, sunt de ( )1+n ori derivabile pe I. Demonstrarea formulelor (i) (iii) se face prin inducie. Vom demonstra ultima formul, primele dou le lsm, ca exerciiu uor, pe seama cititorului. Pentru 1=n , formula este adevrat: ( ) gfgfgf += . O presupunem acum adevrat pentru n . Atunci,

32

( )( ) ( )( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) [ ] ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).

1

0

11

1011

1

11

0101

1

1

1110

1

11

1

1

+

=+++++

=++++

+=

++=

++=

+

=++=

+++=

+=

==

n

k

kknkn

nnn

n

k

kknkn

nn

nnn

n

k

kknkn

kn

nn

n

k

kknkknkn

n

k

kknkn

nn

gfCgfCgfCgfC

gCgfCCfC

gfgfCgfCgfgf

Exemple 18

(a) S se calculeze derivata de ordinul n a funciei ( ) 3xexF x = . Fie ( ) ( ) 3 , xxgexf x == . Folosind formula lui Leibniz, obinem

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) .1661 311 33222113

1

33

xnn

xnn

xnn

xn

n

k

kknxkn

nxn

eCxeCxeCxe

xeCxexF

=

+++=

==

(b) S se arate c funcia ( ) ( )2arcsin xxf = verific relaia ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 01121 1212 = + xfnxfxnxfx nnn Derivnd egalitatea ( ) ( )2arcsin xxf = obinem

( )21

1arcsin2x

xxf

= , care ridicat la ptrat ne conduce la relaia

( )[ ] ( )2

2

14

xxfxf

= sau ( ) ( )[ ] ( )xfxfx = 41 22 . Derivm din nou, i gsim ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) =+ 4212 22 xfxfxfxxfx ( ) ( ) ( ) 021 2 = xfxxfx , egalitate ce se deriveaz de ( )1n ori dup formula lui Leibniz, adic,

( )[ ]( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) =++

=

+

=

=

0

221

01

111

121

11

12

1

1

11

1

1

121

xfCxfx

xfCxfxCxfx

fxCfxC

nn

n

nn

nn

n

n

k

kknkn

n

k

kknkn

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 01121 1212 = + xfnxfxnxfx nnn .

S se calculeze derivatele de ordinul n: a) ( )

xxxf ln= ; b) ( ) baxxf += ; c) ( ) ( )cbxexf ax += sin .

33

S ne reamintim Derivata de ordin n a funciei f se noteaz ( )nf i se definete ca

( )( ) ( )( )( )= xfxf nn 1 . (i) ( )( ) ( )nn fcfc =

(ii) ( )[ ] ( ) ( )nnn gfgf = (iii) (formula lui Leibniz)

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnnnnnnk

kknkn

n gfgfCgfCgfgfCgf ++++== =

... 22111

II.12. Rezumat Aceast unitate de nvare este dedicat nsuirii noiunilor de limit, continuitate i derivabilitate, noiuni fundamentale n Analiza Matematic.

II.13. Test de autoevaluare 1. Spunem c funcia REf : are limita l n punctul 0x dac 2. Funcia f are limit n 0x , dac i numai dac 3. Funcia REf : este continu n punctul Ex 0 4. Operaii cu funcii continue. 5. Spunem c funcia f este derivabil n 0x 6. Enunai proprieti ale funciilor derivabile.

7. S se studieze continuitatea funciei RR :f , ( ) nxnxnxnx

n eeeexf

+= lim .

8. S se studieze derivabilitatea funciei: ( ) R,0:f , ( ) ( ) ( ]( )

+

+=,1 ,1

1,0 ,2ln2

2

xx

xxxxf .

9. S se calculeze derivatele funciilor: a. ( ) ( ) xxxf cossin= ; b. ( ) xxxf1

= . 10. Calculai derivata de ordin n pentru funcia ( )

121= xxf

11. Calculai derivata de ordin n pentru funcia ( ) xxxf sin2 =

IIII..1144.. RRssppuunnssuurrii ii ccoommeennttaarriiii llaa tteessttuull ddee aauuttooeevvaalluuaarree

1. Revezi definiia 1 2. Revezi teorema 1. 3. Revezi definiia 4. 4. Revezi paragraful 3.1.7 5. Revezi definiia 7 6. Revezi 3.1.9. 7. Vezi exemplul 12. 8. Vezi exemplul 13. 9. Vezi exemplul 15. 10. 11. Vezi exemplul 18.

34

Unitatea de nvare III. Aplicaii ale derivatelor. Serii Taylor.

Cuprins

IIIIII..11.. IInnttrroodduucceerree IIIIII..22.. OObbiieeccttiivveellee uunniittiiii ddee nnvvaarree IIIIII..33.. TTeeoorreemmeellee ffuunnddaammeennttaallee aallee ccaallccuulluulluuii ddiiffeerreenniiaall IIIIII..44.. FFoorrmmuullaa lluuii TTaayylloorr IIIIII..55.. AApplliiccaaiiii aallee tteeoorreemmeelloorr ffuunnddaammeennttaallee llaa ssttuuddiiuull ffuunncciiiilloorr IIIIII..66.. PPuunnccttee ddee eexxttrreemm llooccaall IIIIII..77.. RReegguullaa lluuii LLHHoossppiittaall IIIIII..88.. DDiiffeerreenniiaallee IIIIII..99.. RReezzuummaatt IIIIII..1100.. TTeesstt ddee aauuttooeevvaalluuaarree IIIIII..1111.. RRssppuunnssuurrii ii ccoommeennttaarriiii llaa tteessttuull ddee aauuttooeevvaalluuaarree

II.1. Introducere n aceast unitate de nvare, sunt prezentate aplicaii ale derivatelor: determinarea valorilor minime (maxime) ale funciilor, teoreme de medie, reprezentarea funciilor prin serii de puteri.

II.2. Competenele unitii de nvare: Dup parcurgerea materialului studentul va fi capabil : - s cunoasc i s aplice teoremele fundamentale ale calculului diferenial; - s scrie polinomul lui Taylor asociat unei funcii date f ; - s determine punctele de extrem ale unei funcii; - s stabileasc intervalele de monotonie pentru funcii de o variabil real.

Durata medie de parcurgere a unitii de nvare (fr demonstraii) este de 3 ore.

IIII..33.. TTeeoremele fundamentale ale calculului diferenial

Fie funcia RIf : , Ix 0 i ( )hxhxV += 00 , o vecintate a lui 0x . Spunem c funcia f are un: (i) maxim local (sau relativ) n punctul 0x dac ( ) ( )xfxf 0 , pentru orice Ix ; respectiv, (ii) minim local (sau relativ) n punctul 0x dac ( ) ( )xfxf 0 , pentru orice Ix . Punctele de maxim i minim local ale funciei f se numesc puncte de extrem local (sau relativ). Valorile funciei n aceste puncte se numesc valori extreme. Urmtoarea teorem furnizeaz condiii suficiente de existen a punctelor de extrem local.

Teorema 1. (Fermat) Dac funcia f are derivat ntr-un punct de extrem Ix 0 , atunci derivata sa este nul n acest punct, ( ) 00 = xf .

Observaii. 1. Funcia f poate avea un extrem n punctul 0x , fr a avea derivat n punctul respectiv. (De exemplu, funcia RR :f , ( ) xxf = , are un minim n 00 =x , dei nu are derivat n acest punct.

35

2. n general, reciproca teoremei 3 nu este adevrat. (De exemplu, funcia RR :f , ( ) 5xxf = , are derivata ( ) 45xxf = nul n 00 =x , dar acesta nu este punct de extrem.)

Teorema 2. (Rolle) Fie f o funcie real continu pe intervalul nchis [ ]ba, i derivabil pe intervalul deschis ( )ba, . Dac ( ) ( )bfaf = , atunci exist un punct ( )bac , astfel nct

( ) 0= cf .

Observaia 1. Dac una din cele trei condiii ale teoremei nu este verificat, concluzia poate s nu

mai fie adevrat. De exemplu, funcia [ ] R2,0:f , ( ) [ )[ ]

+=

2,1 dac ,21,0 dac ,1

xxxx

xf este

continu pe [ ]2,0 , i derivabil n toate punctele intervalului cu excepia punctului 10 =x n care nu este derivabil. Derivata, ( ) ( )( )

=

2,1 dac ,21,0 dac ,1

xx

xf , nu se anuleaz n nici un punct.

Teorema 3. (Lagrange) Fie f o funcie real continu pe [ ]ba, i derivabil pe ( )ba, . Atunci, exist cel puin un punct ( )bac , , bca

36

S ne reamintim... (Fermat) Dac funcia f are derivat ntr-un punct de extrem Ix 0 , atunci

derivata sa este nul n acest punct, ( ) 00 = xf . (Rolle) Fie f o funcie real continu pe intervalul nchis [ ]ba, i derivabil pe

intervalul deschis ( )ba, . Dac ( ) ( )bfaf = , atunci exist un punct ( )bac , astfel nct ( ) 0= cf .

(Lagrange) Fie f o funcie real continu pe [ ]ba, i derivabil pe ( )ba, . Atunci, exist cel puin un punct ( )bac , , bca

37

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) xccfnxf

nxfxfxfxf n

nn

n

38

Deoarece

( )24

sinmaxmax241sin

24

4

04

0

4

3cxxcxxR

cxcx

=

,

punctul c se determin din condiia

001,024

4c sau 024,04 c .

Rezult c, 3936,0c . Dac n formula lui Taylor, restul ( ) 0xRn , cnd n , obinem dezvoltarea ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...

!...

!2!1

2+++++= af

naxafaxafaxafxf n

n

numit seria Taylor. Dac 0=a , obinem seria MacLaurin, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...0

!...0

!20

!10

2+++++= n

nf

nxfxfxfxf .

n mod similar, se demonstreaz c au loc urmtoarele dezvoltri:

1. ( )xRnxxxe n

nx +++++=

!...

!2!11

2, ( ) ( ) ( )!1!1

11

+

39

( ) ( ) ( )cf

xxxfxf =

12

12 .

Se obine astfel urmtoarea propoziie:

Propoziia 2. (monotonia funciilor) Dac ( ) 0> xf pentru orice Ix , atunci funcia f este cresctoare pe I, iar dac ( ) 0x . Astfel, ( ) 0 > x , ( ) ( ) 00 =< fxf adic, ( ) 01ln +> xxe x ; (ii) 0 ,111ln2

>+

+++

+=0 dac ,11ln

0 dac ,1 ,:2

xxxxxxff RR ,

n punctul 00 =x . Vom aplica propoziia anterioar; pentru aceasta verificm dac sunt ndeplinite cele trei condiii din ipotez. Funcia f este continu i derivabil pe ( )0, fiind definit printr-o funcie polinomial, iar pe intervalul ( ),0 este o sum de funcii continue i derivabile; deci (ii) este verificat. n plus, deoarece ( ) ( ) 11limlim 2

00

00

=+=

xxxfxx

xx

, iar ( ) 10 =f ,

40

rezult c f este continu i n 00 =x , deci i condiia (i) este verificat. Pentru a verifica existena limitei ( ( )xf

xx

0lim ), calculm mai nti derivata funciei f:

( )

>++

xf , ( ) 1

41

(ii) 0x este punct de minim, dac ( ) 00 > xf .

Dac ( ) 00 = xf , sunt necesare alte teste pentru a stabili dac 0x este punct de extrem local. Are loc urmtoarea teorem:

Teorema 6. Fie f o funcie derivabil de n ori, 2n , ntr-un punct astfel nct ( ) ( ) ( )( ) 0... 0100 ==== xfxfxf n i ( )( ) 00 xf n . (i) Dac n este par, atunci 0x este punct de maxim dac

( )( ) 00 xf n . (ii) Dac n este impar, 0x nu este punct de extrem al funciei f.

S ne reamintim... Dac f este o funcie derivabil de dou ori ntr-un punct interior Ix 0 , astfel nct ( ) 00 = xf , atunci (i) 0x este punct de maxim, dac ( ) 00 xf .

IIIIII..77 Regula lui LHospital

n cazurile exceptate de teoremele relative la operaiile cu limite de funcii, trebuie fcut un studiu direct pentru a vedea dac limita exist. Un procedeu comod de rezolvare a nedeterminrilor de

forma 00 i

l reprezint aa numita regul a lui lHospital.

Fie funciile f i g definite pe un interval I, 0x i considerm raportul ( )( )xgxf

. Dac

( ) ( )xgxfxxxx 00

lim0lim

== , atunci ( )( ) 00lim

0

= xgxf

xx i spunem c avem o nedeterminare de forma .

00

Propoziia 4. Fie I un interval din R i RIgf :, . Presupunem c sunt ndeplinite condiiile: (i) f,g sunt derivabile pe { }0\ xI (ii) ( ) ( ) { }0\ ,0 xIxxg (iii) ( ) ( )xgxf

xxxx 00lim0lim

== .

(iv) exist ( )( ) R=

l

xgxf

xx 0lim .

Atunci, funcia gf are limit n 0x i

( )( )

( )( )xgxf

xgxf

xxxx = 00 limlim .

Demonstraie.

Definim funciile RIGF :, , ( ) ( )

==

0

0

,0 ,

xxxxxf

xF , respectiv

( ) ( )

==

0

0

,0 ,

xxxxxg

xG .

Aplicnd teorema lui Cauchy funciilor F i G, rezult c exist un punct xc situat ntre x i 0x ,astfel nct:

42

( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )

( )( )x

x

x

xcgcf

cGcF

xGxGxFxF

xgxf

=

==

0

0 .

Trecnd la limit, ( )( )( )( )

( )( )xgxf

cgcf

xgxf

xxx

xxxxx

== 000 limlimlim .

(Deoarece xc fiind cuprins (strict) ntre x i 0x , avem 000 xxxcx

43

2. ( ) ( ) 0lim11

lim1

lnlim1lnlimlnlim

00

200

00

00

00

==

=

==>>>>>

x

x

x

x

x

x

xxxxx

xx

xx

xx

xx

;

3. ( ) = xxxxx exexe 1limlim . Deoarece 01limlim == xxxx eex , limita iniial ( ) ( ) == 01lim0 xe xx . 4. ( ) ( ) ( ) ( )( )

eeeeex xx

xx

xx

xx

xx

xx 1lim1coslim 2

1cos2

sinlimcoslnlimcosln1

0

1

00

2022 ======

.

S se calculeze: 1. 1cos

1lim2

0

xe x

x; 2. x

xex lim .

S ne reamintim...

Fie I un interval din R i RIgf :, . Presupunem c sunt ndeplinite condiiile:

(i) f,g sunt derivabile pe { }0\ xI (ii) ( ) ( ) { }0\ ,0 xIxxg (iii) ( ) ( )xgxf

xxxx 00lim0lim

== .

(iv) exist ( )( ) R=

l

xgxf

xx 0lim .

Atunci, funcia gf are limit n 0x i

( )( )

( )( )xgxf

xgxf

xxxx = 00 limlim .

Regula lui lHospital poate fi aplicat i n cazul n care =0x . Celelalte forme de nedeterminare: 1,,0,,0 00 sunt reductibile la

cazurile 00 sau

, primele dou prin transformri, iar celelalte trei lund logaritmul funciilor corespunztoare i apoi trecnd la limit.

IIIIII..88 Diffeerreenniiaallee

Definiia 1. Spunem c funcia RIf : este difereniabil ntr-un punct Ix 0 , dac exist un numr RA i o funcie RI: continu i nul n 0x , astfel nct, pentru orice Ix s avem ( ) ( ) ( ) ( ) ( )000 xxxxxAxfxf += .

Dac funcia este difereniabil n fiecare punct din I, spunem c f este difereniabil pe I.

Propoziia 5. Funcia f este difereniabil n 0x dac i numai dac este derivabil n 0x .

Definiia 2. Funcia ( ) hxfh 0 , definit pentru orice Rh se numete difereniala funciei f n punctul 0x i se noteaz ( )0xdf :

44

( )( ) ( ) hxfhxf = 00d . Difereniala funciei ntr-un punct oarecare Ix este: ( )( ) ( ) hxfhxf =d .

Pentru funcia ( ) xxf = definit pe R, avem ( ) 1= xf i difereniala sa verific egalitatea ( )( ) Ihhhxf = ,d . Notm prin dx difereniala funciei identice, astfel c ( ) ( )dxxfxf =d , adic, difereniala funciei f este egal cu produsul dintre derivata sa i difereniala lui x.

Exemple 10 (i) ( ) ( ) xxxxx dsindcoscosd == ; (ii) ( ) ( ) x

xxxx d1dlnlnd == .

Regulile de derivare se pstreaz i pentru difereniale: ( ) gfgf ddd = ; ( ) fcfc dd = ; ( ) gffggf ddd += ;

2gdd

dgffg

gf =

,

unde f i g sunt funcii derivabile, Rc .

Difereniala funciilor compuse

Fie funciile derivabile R jJIu : ,: i funcia compus R= Iuf :o , ( ) ( )( )xuxf = . Funcia ( )xf este derivabil (deci difereniabil) i difereniala ei este egal cu:

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )xuxuxxuxuxuxf d d dd === . Dac nu mai punem n eviden argumentul x, ( ) uuf d d = .

Exemple 11

(i) ( ) ( ) xx

xxx d1

2d arcsinarcsind4

22

== ;

(ii) xx

eex

x d2

d =

.

Difereniale de ordin superior

Fie funcia RIf : i Ix 0 .

Definiia 10. Spunem c funcia f este de dou ori difereniabil n punctul 0x , dac este derivabil ntr-o vecintate a lui 0x i derivata f este difereniabil n 0x .

Difereniala de ordinul doi n 0x se noteaz ( )02d xf i se definete prin: ( ) ( ) 2002 dd xxfxf = . n mod analog, spunem c f este de n ori difereniabil n 0x dac i numai dac are derivat de

ordinul ( )1n ntr-o vecintate a lui 0x i dac derivata ( )1nf este difereniabil n 0x . Difereniala de ordinul n n 0x se noteaz ( )0d xfn i se definete prin egalitatea: ( ) ( )( ) nnn xxfxf d d 00 = .

45

S ne reamintim... Spunem c funcia RIf : este difereniabil ntr-un punct Ix 0 , dac

exist un numr RA i o funcie RI: continu i nul n 0x , astfel nct, pentru orice Ix s avem

( ) ( ) ( ) ( ) ( )000 xxxxxAxfxf += . Regulile de derivare se pstreaz i pentru difereniale:

( ) gfgf ddd = ; ( ) fcfc dd = ; ( ) gffggf ddd += ;

2gdd

dgffg

gf =

,

unde f i g sunt funcii derivabile, Rc .

Fie funciile derivabile R jJIu : ,: i funcia compus R= Iuf :o , ( ) ( )( )xuxf = . Funcia ( )xf este derivabil (deci

difereniabil) i difereniala ei este egal cu: ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )xuxuxxuxuxuxf d d dd === .

III.9. Rezumat n aceast unitate de nvare sunt prezentate o serie de aplicaii ale derivatelor la studiul funciilor.

III.10. Test de autoevaluare

1. Enunai teorema lui Fermat. 2. Spunem c funcia f are un: maxim local (sau relativ) n punctul 0x 3. Enunai teorema lui Lagrange. 4. Scriei formula lui Taylor de ordinul n, corespunztoare funciei f , n punctul

a. 5. Spunem c funcia RIf : este difereniabil ntr-un punct 6. S se determine punctele de extrem pentru funcia

( ) R

ef 1\,0: , ( )

xxxf

ln1ln+= .

7. S se demonstreze inegalitatea: ( ) 0 , arctg1ln 2 >

46

3. Revezi teorema 3. 4. Revezi paragraful 3.2.4. 5. Revezi definiia 1. 6. Vezi exemplul 7. 7. Se consider funciile ( ) ( )21ln xxf += , ( ) arctgxxxg = , i se urmrete

exemplul 5. 8. Vezi exemplul 3. 9. Vezi exemplul 9. 10. Vezi exemplul 11.

47

Unitatea de nvare IV. Integrale i aplicaii.

Cuprins

IIVV..11.. IInnttrroodduucceerree IIVV..22.. OObbiieeccttiivveellee uunniittiiii ddee nnvvaarree IIVV..33.. PPrriimmiittiivvee IIVV..44.. MMeettooddee ddee iinntteeggrraarree IIVV..55.. IInntteeggrraallaa ddeeffiinniitt.. DDeeffiinniiiiii IIVV..66.. PPrroopprriieettiillee ffuunncciiiilloorr iinntteeggrraabbiillee IIVV..77.. MMeettooddee ddee iinntteeggrraarree IIVV..88.. AApplliiccaaiiii aallee iinntteeggrraalleeii ddeeffiinniittee IIVV..99.. RReezzuummaatt IIVV..1100.. TTeesstt ddee aauuttooeevvaalluuaarree IIVV..1111.. RRssppuunnssuurrii ii ccoommeennttaarriiii llaa tteessttuull ddee aauuttooeevvaalluuaarree

IV.1. Introducere ntr-o serie de probleme este important de cunoscut o funcie a crei derivat s fie egal cu o funcie dat. O asemenea funcie este denumit n matematic, funcie primitiv a funciei date. Ideea de baz a teoriei integralei este ca la anumite funcii, considerate pe anumite intervale, s fie asociate numere bine determinate, obinnd astfel un instrument de studiu foarte util integrala.

IV.2 Obiectivele unitii de nvare: La terminarea studiului acestei uniti de nvare vei fi capabil:

-s cunoti noiunile de primitiv, respectiv integral definit ; - s calculezi primitivele unor funcii; -s calculezi integrale definite; - s deosebeti i s aplici metodele de integrare; -s foloseti integrala definit n diverse aplicaii inginereti.

Durata medie de parcurgere unitii de nvare (fr demonstraii) este de 6 ore.

IIVV..33 PPrriimmiittiivvee

Fie ( )xf o funcie definit i continu pe un interval I. Dac exist o funcie derivabil RIF : , astfel nct ( ) ( )xfxF = , ( ) Ix , spunem c f admite primitive pe intervalul I;

funcia F se numete o primitiv a lui f. Dac funcia ( )xF este o primitiv a funciei ( )xf , atunci ( ) CxF + , (C fiind o constant arbitrar), este de asemenea o primitiv a lui f. Mulimea ( ) CxF + a tuturor primitivelor funciei f se numete integrala nedefinit a funciei f i se noteaz ( ) ( ) CxFxxf += d . Observaie. Nu orice funcie admite primitive. De exemplu, funcia [ ] R1,0:f , definit prin ( )

=

QR

Q

\ ,1 ,0

xx

xf nu admite primitive.

48

Are loc urmtoarea teorem:

Teorema 1. Orice funcie continu pe I admite primitive pe I.

Propoziia 1. (Proprieti ale funciilor integrabile). Dac f i g sunt dou funcii ce admit primitive pe intervalul [ ]ba, , atunci 1. ( ) ( ) = xxfkxxfk d d , *Rk ; 2. ( ) ( )[ ] ( ) ( ) +=+ xxgxxfxxgxf d d d .

Observaie. Proprietile 1 i 2, ne dau posibilitatea s scriem, n general

( ) ( ) ==

=n

iii

n

iii xxfkxxfk

11d d

oricare ar fi Rik , ni 1 . Din tabloul derivatelor unor funcii elementare, se obine urmtorul tablou al primitivelor imediate, funciile fiind considerate pe un interval coninut n domeniul maxim de definiie.

Cx = d 0 ; Cxkxk += d ;

1 ,1

d 1

++=+ nCnxxx

nn ;

Cxxx

+= lnd1 ; 0 ,arctg1d1

22+=+ aCa

xa

xax

;

Caxax

ax

ax++

=+ ln21d1

22;

Caxxxax

++=

2222

lnd1 :

Caxxxax

+++=+

2222

lnd1 ;

0 ,arcsind122

+= aCa

xxxa

;

1,0 ,ln

d >+= aaCaaxax

x ;

Cexe xx += d ; Cxxx += cosd sin ;

Cxxx += sind cos ; Cxx

x+= tgdcos

12

;

Cxxx

+= ctgdsin12

.

49

Exemple 1

.2

arctg2132

32

d4

13d1d2d 4

312

3

23

23

Cxxe

xx

xx

xexxx

e

x

xx

+++=+++=

+++

S se calculeze + dxxx x32 3 2 .

S ne reamintim...

Fie ( )xf o funcie definit i continu pe un interval I. Dac exist o funcie derivabil RIF : , astfel nct ( ) ( )xfxF = , ( ) Ix , spunem c f admite primitive pe intervalul I; funcia F se numete o primitiv a lui f.

Orice funcie continu pe I admite primitive pe I. Dac f i g sunt dou funcii ce admit primitive pe intervalul [ ]ba, , atunci

1. ( ) ( ) = xxfkxxfk d d , *Rk ; 2. ( ) ( )[ ] ( ) ( ) +=+ xxgxxfxxgxf d d d .

Am vzut n exemplul anterior, cum se calculeaz primitivele unor funcii simple dac, cunoatem primitivele uzuale i proprietile integralei nedefinite. Vom prezenta n continuare, cteva metode speciale de determinare a primitivelor.

IIVV..44 MMeettooddee ddee iinntteeggrraarree

1. Schimbarea de variabil

Fie RJf : , o funcie ce admite primitiva pe J, adic ( ) ( ) CtFttf += d

i funcia JI : o funcie derivabil, cu derivata continu pe I. Funcia ( ) R If :oadmite ca primitiv funcia oF , adic ( )( ) ( ) ( )( ) CxFxxxf += d .

Observaie. Uneori, trebuie s calculm primitive de forma ( )( ) xxf d . n acest caz, funcia ( )x rebuie s fie strict monoton, deoarece, prin schimbarea de variabil ( ) tx = , putem exprima ( )tx = numai dac funcia este inversabil. n acest caz,

( )( ) ( ) ( ) = tttfxxf d d .

Exemple 2

1. += xxxI d

922

.

Prin substituia tx =+ 92 , obinem txx dd 2 = i ( ) CxCt

tt

xx

x ++=+==+ 9lnlnd

d9

2 22

.

2. xxI d tg= .

50

Facem substituia tx =cos , txx dd sin = i obinem CxCt

tt

xxxxx +=+=== coslnlnddcossind tg .

Calculai: a) ( ) + dxxx 223

1; b) ( ) dxxxx lnlnln 1

2. Integrarea prin pri

Fie RIgf :, dou funcii derivabile pe RI , i cu derivate continue pe I. Atunci, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = xxgxfxgxfxxgxf d d . (formula de integrare prin pri).

Observaie. Integrarea prin pri se aplic deobicei n cazul n care funcia a crei primitiv se caut, se prezint ca produs de dou funcii.

Exemple 3

= xxxI d ln . Notm ( ) xxf ln= , ( ) xxg = . Deoarece ( )

xxf 1= , iar ( )

2

2xxg = obinem succesiv

Cxxxxxx

xxxxxI +=== 221ln2d21ln2d ln2222

.

Calculai: a) dxex x 2 ; b) dxxx

2

2ln.

Integrarea funciilor raionale n x

Considerm ( )( ) xxQ xP d , unde P i Q sunt polinoame cu coeficieni reali, 1 grad = mP , 1Q grad = n .

Dac nm , mprim polinomul ( )xP la ( )xQ i obinem (conform teoremei mpririi cu rest) ( ) ( ) ( ) ( )xRxCxQxP += sau ( )( ) ( )

( )( )xQxRxC

xQxP +=

unde ( )xC este polinomul ct, iar ( )xR este polinomul rest. Astfel, am ajuns la funcia raional ( )( )xQxR , care ndeplinete condiia QR grad grad < , motiv pentru care, vom considera n continuare

funcia raional ( )( )xQxP , cu proprietatea c ecuaiile ( ) 0=xP , ( ) 0=xQ nu au rdcini reale, iar

QP grad grad < .

Propoziia 2. Orice funcie raional ( )( )xQxP , unde QP grad grad < , se descompune n mod unic

ntr- o sum de fracii raionale simple, care sunt de urmtoarele tipuri:

(i) ax

A ; (ii) ( )nax

A ;

51

(iii) baxx

BAx++

+2 ; (iv) ( )nbaxx BAx ++ +2 , unde 042

52

( ) ( ) ( )

,12

1 arctg21

11

21 arctg

12

21

11

11

11

22

22222

22

22

Cx

xxdxx

xx

dxx

xxdxx

dxx

xxdxx

+++=

++=

+++=+

+=+

obinem

( )( ) ( ) .12 43 arctg412

ln121322

2222

2C

xxx

x

xdx

xxxx ++

++

=+++

Calculai: ( )( ) + + dxxx x 11 12 2 .

S ne reamintim...

Fie RJf : , o funcie ce admite primitiva pe J, adic ( ) ( ) CtFttf += d i funcia JI : o funcie derivabil, cu derivata continu pe I. Funcia ( ) R If :o admite ca primitiv funcia oF , adic ( )( ) ( ) ( )( ) CxFxxxf += d .

Fie RIgf :, dou funcii derivabile pe RI , i cu derivate continue pe I.

Atunci, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = xxgxfxgxfxxgxf d d . (formula de integrare prin pri).

IIVV..55 IInntteeggrraallaa ddeeffiinniitt.. DDeeffiinniiiiii..

Fie [ ] Rbaf ,: o funcie continu, i ( ) ( ) max respectiv min xfMxfmbxabxa

== . Considerm d, o diviziune a intervalului [ ]ba, , adic o familie de puncte ( )nxxx ,...,, 10 astfel nct bxxxxad nn =

53

( ) =

=n

iiid xmfs

1, suma Darboux inferioar

( ) =

=n

iiid xMfS

1, suma Darboux superioar

respectiv,

( ) ( )=

=n

iii xffS

1 . suma riemannian

Funcia f fiind continu pe un interval compact, este mrginit i i atunci marginile pe intervalul respectiv; aadar ( ) ii Mxfm , pentru orice [ ]ii xxx ,1 , i astfel, ( ) ( ) ( )fSfSfs dd .

Suma ( )fS depinde de modul n care intervalul [ ]ba, este mprit n subintervale i de asemenea, de alegerea punctelor intermediare i , corespunztoare acestor subintervale. Presupunem c 0 ix atunci cnd n . Dac exist ( ) ( ) ( ) IfSfSfs dnndn === limlimlim , pentru orice alegere a irului de subdiviziuni d i oricare ar fi punctele intermediare i , atunci spunem c funcia este integrabil n sensul lui Riemann pe intervalul [ ]ba, . Numrul I se numete integrala definit a funciei ( )xf pe [ ]ba, i se noteaz ( )=

b

adxxfI .

Observaie. Numerele finite { }dd

sI sup= i { }dd

SI inf= se numesc respectiv integrala Darboux inferioar i integrala Darboux superioar. Are loc inegalitatea: dd SIIs .

Teorema 2. (Criteriul general de integrabilitate) Condiia necesar i suficient ca funcia mrginit [ ] Rbaf ,: s fie integrabil pe [ ]ba, este ca pentru orice 0> , s existe ( ) 0> astfel nct oricare ar fi diviziunea d a intervalului [ ]ba, , cu ( ) astfel nct oricare ar fi diviziunea d a intervalului [ ]ba, , cu ( )

54

Dac funcia [ ] Rbaf ,: este continu pe [ ]ba, atunci este i integrabil pe [ ]ba, .

Dac funcia [ ] Rbaf ,: este monoton pe [ ]ba, , atunci f este integrabil pe [ ]ba, .

IIVV..66 PPrroopprriieettiillee ffuunncciiiilloorr iinntteeggrraabbiillee

1. Fie funciile [ ] Rbagf ,:, , integrabile pe [ ]ba, i R , . Funcia gf + este integrabil pe [ ]ba, i

( ) ( )[ ] ( ) ( ) +=+b

a

b

a

b

adxxgdxxfdxxgxf .

2. Dac [ ] Rbaf ,: este o funcie integrabil pe [ ]ba, i ( ) 0xf , ( ) [ ]bax , , atunci ( ) 0

b

adxxf .

3. Fie [ ] Rbagf ,:, dou funcii integrabile pe [ ]ba, astfel nct ( ) ( )xgxf , ( ) [ ]bax , . Atunci,

( ) ( ) b

a

b

adxxgdxxf .

4. Dac funcia [ ] Rbaf ,: este integrabil pe [ ]ba, i exist numerele reale m, M astfel nct ( ) Mxfm , oricare ar fi [ ]bax , atunci, ( ) ( ) ( )abMdxxfabm b

a .

Dac funcia f este i continu pe [ ]ba, , atunci exist [ ]bac , astfel nct ( ) ( ) ( )cfabdxxfb

a= , bca

55

( ) ( ) ( ) =b

aaFbFdxxf .

Observaie. Egalitatea ( ) ( ) ( )aFbFdxxfba

= , poart numele de formula Leibniz Newton. Importana teoremei fundamentale a calculului integral const n aceea c reduce calculul integralei unei funcii continue pe [ ]ba, la determinarea unei primitive a ei, integrala fiind egal cu diferena valorilor primitivei n b i a ( ba < ).

S ne reamintim...

( ) ( )[ ] ( ) ( ) +=+b

a

b

a

b

adxxgdxxfdxxgxf .

Fie [ ] Rbagf ,:, dou funcii integrabile pe [ ]ba, astfel nct ( ) ( )xgxf , ( ) [ ]bax , . Atunci, ( ) ( )

b

a

b

adxxgdxxf .

Dac funcia [ ] Rbaf ,: este integrabil pe [ ]ba, i exist numerele reale m, M astfel nct

( ) Mxfm , oricare ar fi [ ]bax , atunci, ( ) ( ) ( )abMdxxfabm b

a .

Dac [ ] Rbaf ,: este continu i mrginit pe segmentele [ ]ca, , respectiv

[ ]bc, , atunci f este integrabil pe [ ]ba, i ( ) ( ) ( ) =+b

a

b

c

c

adxxfdxxfdxxf .

Egalitatea ( ) ( ) ( )aFbFdxxfba

= , poart numele de formula Leibniz Newton.

IIVV..77 MMeettooddee ddee iinntteeggrraarree

Schimbarea de variabil

Propoziia 3. Dac BAu : este o funcie de argument x, cu derivata continu pe A, iar RBf : este o funcie continu pe B, de argument t i a, b A atunci: =

)(

)(

)( )())((bu

au

b

a

dttfdxxuxuf .

Observaie. n exerciii se noteaz t = u(x) deci ( )dxxudt = . Apoi, ( )aut =1 , ( )but =2 i se obine: ( )( ) ( ) ( ) = 2

1

t

t

b

a

dttfdxxuxuf .

Propoziia 4. Dac BAu : este o funcie de argument x, strict monoton pe A i inversa sa ( ) AAuuv = :1 are derivata continu pe u(A) i dac RBf : este o funcie de

56

argument t, continu pe B, iar Aba , , atunci: ( )( ) ( ) ( )( )( ) =bu

au

b

a

dttvtfdxxuf .

( a doua formul de schimbare de variabil).

Observaie. n aplicaii se noteaz ( ) txu = , deci ( ) ( )tvtux == 1 i ( )dttvdx = . Dac ( ) 1tau = i ( ) 2tbu = atunci: ( )( ) ( ) ( ) = 2

1

t

t

b

a

dttvtfdxxuf .

Exemple 7

S se calculeze =2

1 2 xdxI .

Notm tx = ; deci dttdx 2= . Apoi, 2 ,1 21 == tt i astfel

.22ln42222ln42

2222

22

22

2

|| 212

1

2

1

2

1

2

1

2

1

+==+====

tt

dtt

tt

dttt

dttx

dxI

S se calculeze +3

1

1 dxx .

Integrarea prin pri

Propoziia 4. Dac f i g sunt dou funcii cu derivatele continue pe segmentul [ ]ba, , atunci ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =

b

a

b

a

b

adxxgxfxgxfdxxgxf |

( formula de integrare prin pri)

Observaie. Deoarece ( ) ( )xdgdxxg = i ( ) ( )xdfdxxf = egalitatea anterioar poate fi reinut mai uor sub forma simplificat: =

b

a

ba

b

a

dfggfdgf .

Exemple 8

.27

25272

272

92

3

31

332

332

33333

1

0

31

0

331

0

31

0

321

0

32 ||

=+=

===

eeee

dxeexedxexexdxexI xx

xx

x

S se calculeze 1

0

ln dxxx .

57

S ne reamintim... Dac BAu : este o funcie de argument x, cu derivata continu pe A, iar

RBf : este o funcie continu pe B, de argument t i a, b A atunci: =

)(

)(

)( )())((bu

au

b

a

dttfdxxuxuf

Dac f i g sunt dou funcii cu derivatele continue pe segmentul [ ]ba, , atunci

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =b

a

b

a

b

adxxgxfxgxfdxxgxf |

Integralele definite au o serie de aplicaii, n particular, putnd fi folosite pentru determinarea ariei unei suprafee mrginite, lungimea unui arc de curb, aria unei suprafee de rotaie, respectiv pentru calculul volumului corpurilor de rotaie.

IIVV..99.. Rezumat n aceast unitate de nvare este introdus noiunea de primitiv, respectiv integrala definit. Sunt prezentate definiii, proprieti i metode de calcul.

IV.10. Test de autoevaluare 1. Se numete o primitiv a lui f.... 2. Formula de integrare prin pri.

3.Calculai xx dxln 4. Proprieti ale funciilor integrabile. 5. Enunai teorema fundamental a calculului integral. 6. A doua formul de schimbare de variabil.

7. S se calculeze ( )( ) dxxx x ++ + 14 122 8. S se calculze dxx

x2

3

sincos

9. S se calculeze aria plan limitat de curbele: ( ) xxf = , ( ) xxg = , [ ]4,0x ;

IIVV..1111.. RRssppuunnssuurrii ii ccoommeennttaarriiii llaa tteessttuull ddee aauuttooeevvaalluuaarree

11.. RReevveezzii ppaarraaggrraaffuull 33..33.. 22.... RReevveezzii ppaarraaggrraaffuull 33..44.. 33.. SSee nnootteeaazz tx =ln 44.. RReevveezzii 33..66.. 55.. VVeezzii tteeoorreemmaa 55.. 66.. VVeezzii pprrooppoozziiiiaa 44.. 77.. VVeezzii eexxeemmpplluull 44.. ((ssee ddeessccoommppuunnee nn ffrraacciiii ssiimmppllee)).. 88.. SSee ffaaccee sscchhiimmbbaarreeaa ddee vvaarriiaabbiill tx =sin .. 99.. VVeezzii eexxeemmpplluull 99..

58

Unitatea de nvare V. IInntteeggrraallee iimmpprroopprriiii

Cuprins VV..11.. IInnttrroodduucceerree VV..22.. OObbiieeccttiivveellee uunniittiiii ddee nnvvaarree VV..33.. IInntteeggrraallee iimmpprroopprriiii ddee ssppeeaa nnttii ((ccuu lliimmiittee ddee iinntteeggrraarree iinnffiinniittee)) VV..44.. IInntteeggrraallee iimmpprroopprriiii ddee ssppeeaa aa ddoouuaa ((ddiinn ffuunncciiii nneemmrrggiinniittee)) VV..55.. FFuunncciiiillee BBeettaa ii GGaammmmaa VV..66.. TTeesstt ddee aauuttooeevvaalluuaarree VV..77.. RRssppuunnssuurrii ii ccoommeennttaarriiii llaa tteessttuull ddee aauuttooeevvaalluuaarree VV..88.. RReezzuummaatt

V.1. Introducere

n unitatea 3, referitoare la integrala definit ( )b

a

dxxf , am considerat c:

(i) a i b sunt constante reale finite, iar (ii) funcia ( )xf este continu sau monoton pe intervalul compact [ ]ba, . Dac n ( )

b

a

dxxf ,

(i) a sau b sunt infinite, sau (ii) a, b sunt finite dar funcia ( )xf este nemrginit n ax = sau bx = sau ntr-

un punct ce aparine intervalului ( )ba, , atunci integralele obinute se numesc, (i) integrale improprii de spea nti respectiv, (ii) integrale improprii de spea a doua.

V.2. Competenele unitii de nvare: Dup parcurgerea materialului studentul va fi capabil :

- s cunoasc noiunea de integral improrie ;

- s poat stabili convergena sau divergena unei integrale improprii;

- s cunoasc definiiile i proprietile funciilor i ; - s poat calcula integrale definite folosind funciile i

Durata medie de parcurgere a unitii de nvare (fr demonstraii) este de 3 ore.

VV..33 IInntteeggrraallee iimmpprroopprriiii ddee ssppeeaa nnttii

Ne intereseaz, s evalum integrale improprii de forma

(i) ( )

adxxf , (ii) ( )

bdxxf , (iii) ( )

dxxf ,

dac ele exist. Definim aceste integrale dup cum urmeaz : (i) Pentru [ ) R,: af , integrabil pe orice interval compact [ ]Aa, , oricare ar fi aA > ,

59

( ) ( )

=A

aAadxxfdxxf lim .

Dac ( )A

aAdxxflim exist i este finit, spunem c funcia f este integrabil pe [ ),a sau, c

integrala ( )

adxxf este convergent.

Dac limita nu exist sau este infinit, atunci se spune c ( )

adxxf este divergent.

(ii) Analog, dac funcia [ ) R bf ,: este integrabil pe orice interval compact [ ]bB, , definim integrala improprie ( ) ( ) =

b

BB

bdxxfdxxf lim .

Dac limita din membrul drept exist i este finit, spunem c f este integrabil pe ( ]b, , sau, c integrala ( )

bdxxf este convergent.

(ii) Pentru ( ) ,c , avem (iii) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .limlim

+=+=

A

cA

c

BBc

cdxxfdxxfdxxfdxxfdxxf

Dac ambele integrale din membrul drept exist i sunt finite, atunci integrala improprie ( )

dxxf

este convergent. Dac una, sau ambele limite nu exist sau nu sunt finite, atunci integrala improprie considerat este divergent.

Exemple 1

S se calculeze urmtoarele integrale improprii, dac acestea sunt convergente :

(a)

+0 21 xdx ; (b)

0dxe x ; (c)

1

1 dxx

.

Soluie : (a) ( )2

0 arctg arctg lim arctglim1

lim1

|000

2===+=+

axx

dxx

dxA

A

A

A

A.

(b) ( ) 11limlimlim |000 ==== BBBxBB xBx eedxedxe . (c) ( ) ====

1lnlnlimlnlim1lim1 |111

Axdxx

dxx A

A

A

A

A,

deci funcia ( )x

xf 1= nu este integrabil pe [ ),1 .

60

Exemple 2

S se cerceteze convergena integralei

1px

dx .

Soluie : Conform definiiei, pentru 1p avem :

pA

px

xdx

xdx p

A

Ap

A

A

pAp ===

1 1lim1limlim

1

1

1

11| .

Deoarece

>p i divergent pentru 1 i astfel nct pentru orice [ ) ,ax , ( ) ( )xgxf 0 . Atunci,

(i) ( )

adxxf este convergent dac ( )

adxxg este convergent.

(ii) ( )

adxxg este divergent dac ( )

a

dxxf este divergent.

Teorema 2. Dac [ ) R,:, agf sunt dou funcii reale pozitive cu proprietatea c exist

( )( ) p , integrala improprie ( )

adxxf este convergent ;

(ii) pentru 1p , integrala improprie ( )

adxxf este divergent .

61

Exemple 3

S se cerceteze convergena urmtoarelor integrale improprii.

(a) 1

2dxe x ; (b)

+

121

dxxxx .

Soluie : (a) Pentru orice 1x , avem xx 2 i xx ee 2 . Considerm integrala improprie

1

dxe x . Avem

( )e

ee

edxedxe AA

AxA

Ax

Ax 11limlimlim |1

11

=

===

, i

1

dxe x este convergent. Aplicnd teorema 14, rezult c 1

2dxe x este de

asemenea convergent.

(b) Funciile ( )21 xxxxf +

= i ( )px

xg 1= au valori pozitive pentru 1x , iar

( )( ) 11lim1.limlim 2

23

2=+=+

=+

xx

xxxx

xgxf

p

xp

xx

dac 121

62

Exemple 4

S se studieze natura seriei ( )

= 2 ln1

npnn

.

Soluie :Aplicm criteriul integral al lui Cauchy, considernd funcia ( ) ( ) pxxf ln1= .

Avem atunci,

( ) ( )

== 22 ln pxxdxdxxfI .

Cu schimbarea de variabil tx =ln , obinem integrala

=2ln

1 dtt

Ip

, care este

convergent pentru 1>p i divergent pentru 1p . Rezult c seria ( ) ( )

=

= =

22 ln1

np

n nnnf este convergent pentru 1>p i divergent pentru 1p .

VV..44.. IInntteeggrraallee iimmpprroopprriiii ddee ssppeeaa aa ddoouuaa ((ddiinn ffuunncciiii nneemmrrggiinniittee))

Vom considera acum integrale improprii de forma ( )b

a

dxxf , unde a i b sunt constante reale finite, iar

funcia f are limite infinite n (i) ax = sau (ii) bx = sau (iii) ax = i bx = sau (iv) cx = , bca

63

(iii) Dac f are limite infinite n ax = i bx = , atunci integrala improprie se poate scrie ( ) ( ) ( ) +=

b

a

b

adxxfdxxfdxxf

,

unde este o constant finit arbitrar cuprins ntre a i b, n care f este definit. Integrala improprie se calculeaz atunci astfel :

( ) ( ) ( )

++=

2

21

1 00limlim

b

a

b

a

dxxfdxxfdxxf .

Dac ambele limite exist i sunt finite, atunci integrala este convergent (sau funcia f este integrabil pe ( )ba, ). n caz contrar, integrala este divergent. (iv) Fie [ ] { } Rcbaf \,: , ( )bac . i ( ) = xfcxlim . Dac ( )

c

adxxf i ( )

b

cdxxf sunt

convergente, atunci ( )b

adxxf este convergent i ( ) ( ) ( )

+

+=b

c

c

a

b

a

dxxfdxxfdxxf2

2

1

1 00limlim

.

Exemple 5

S se studieze convergena integralelor : (a) 1

0 xdx ; (b)

1

121 x

dx .

Soluie : (a) Fie ( ] R1,0:f , ( )x

xf 1= . Evident, ( ) = xfx 0lim . Deoarece ( ) 222lim2limlim

0

1

0

1

0

1

0| ==== xx