Bucuresti, 2014

Analiza variationala ANOVA

Student: Andriescu Andreea

Profesor coordonator: S.l. dr. ing. Petriceanu Constantin

 

Universitatea Politehnica Bucuresti, Facultatea Ingineria si Managementul Sistemelor Tehnologice,

Specializarea Ingineria si Managementul Calitatii

Bucuresti, 2014

Capitolul 1: Definirea temei

Capitolul 2: Domenii de aplicare

Capitolul 3: Principiul metodei

Capitolul 4: Studiu de caz

Capitolul 5: Bibliografie

Cuprins:

Bucuresti, 2014

Metoda ANOVA a fost analizata de catre matematicianul R.A.Fisher.

Metodele lui Fisher si generalizarile ulterioare s-au consacrat sub denumirea de “planificarea” sau “programarea experimentelor”, ori prescurtat ANOVA. 

Metoda ANOVA (Analysis of variance), reprezinta unul dintre procedeele de prelucrare statistica a datelor de observatie cele mai pertinente.

Capitolul 1: Definirea temei

Bucuresti, 2014

ANOVA constituie o cale perfectionata de rezolvare a testului egalitatii mai multor medii. Testarea se poate efectua in conditiile existentei mai multor grupe de observatii provenite din variatia unui singur factor (experiment unifactorial), doi factori (bifactorial), mai multi factori (multifactorial). Acestia pot fi la randul lor la 2, 3, mai multe niveluri.

Bucuresti, 2014

Cele mai des intalnite desing-uri de cercetare experimentala utilizeaza una dintre urmatoarele forme de analiza de varianta:

-ANOVA simpla sau unifactoriala este modelul cel mai simplu dintre tehnicile ANOVA, fiind un corespondent al testului t pentru doua esantioane independente;

-ANOVA cu masuratori repetate este un model corespondent al testului t pentru doua esantioane perechi;

1.2 Clasificarea tehnicilor ANOVA

Bucuresti, 2014

- ANOVA factoriala cel mai utilizat fiind bifactoriala este un model mai complex, testand efectele mai multor variabile independente (factori) asupra unei variabile dependente.

Bucuresti, 2014

Testul t este o procedura de testare a semnificatiei statistice a diferentei dintre doua medii.

Tipuri de teste t:•Testul t pentru un esantion;•Testul t pentru doua esantioane

independente;• Testul t pentru doua esantioane dependente.

Testul t pentru un esantion testeaza diferenta dintre media unui esantion si media populatiei. Mai general, diferenta dintre media esantionului si o valoare de referinta.

Testul t

Bucuresti, 2014

Testul t pentru doua esantioane independente compara mediile a doua grupuri formate din subiecti diferiti.

Testul t pentru doua esantioane dependente testeaza diferenta dintre mediile a doua esantioane dependente. Constituie aceeasi variabila masurata in doua momente diferite pe acelasi grup de subiecti.

Bucuresti, 2014

Aplicarea metodei este influentata de tipul experimentului. Acesta poate fi:

-cu efecte fixe sau model I;-cu efecte variabile (aleatorii) sau model II;-cu efecte mixte (acest model este o combinatie in

primele doua). Tipul experimentului se deduce raspunzand la

intrebarea: Grupurile de date reprezinta toate grupele in care experimenul este interesat?

Experimentul cu efecte fixe corespunde raspunsului „da” si cel cu efecte variabile raspunsului „nu”.

Capitolul 2: Domenii de aplicare

Bucuresti, 2014

O aplicatie deosebit de interesanta si in acelasi timp importanta o are folosirea metodei ANOVA la efectuarea incercarilor interlaboratoare in scopul determinarii abaterilor admisibile a dispersiei valorilor masurate.

Analiza variationala ANOVA se poate aplica in toate domeniile, de exemplu: inginerie, psihiatrie, statistica.

Bucuresti, 2014

ANOVA simpla permite evaluarea ipotezei nule intre mediile a doua sau mai multe serii de date cu restrictia ca acestea sa fie trepte ale aceleiasi variabile independente.

Se va utiliza aceasta tehnica in situatia in care exista o singura variabila independenta cu mai multe trepte (mai mult de doua trepte si implicit grupe de subiecti) si o singura variabila dependenta.

ANOVA simpla permite compararea simultana a trei sau mai multe grupe mentinand nivelul α la valoarea dorita, de maxim 0,05.

Capitolul 3: Principiul metodei3.1 ANOVA simpla

Bucuresti, 2014

Procedeul matematic implicat in ANOVA simpla consta in analiza dispersiei variabilei dependente.

In aceasta analiza dispersia totala are doua componente:

-dispersia din interiorul fiecarui grup format;

-dispersia intre mediile grupelor si marea medie (media totala fara a tine cont de grupele formate).

Bucuresti, 2014

Un cercetator doreste sa urmareasca efectul unei terapii asertive asupra stimei de sine la debilii mintali. Toti subiectii aveau un IQ intre 70 si 80 impartindu-i in trei grupe de subiecti.

Din totalul de 15 participanti au fost relizate trei grupe a cate cinci subiecti fiecare.

O prima grupa a urmat o terapie individuala bisaptamanala timp de o luna de zile, cel de-al doilea grup a urmat o terapie de grup in aceleasi conditii în timp ce al treilea grup, de control, n-a urmat nici o forma de terapie.

Studiu de caz privind ANOVA simpla

Bucuresti, 2014

La sfarsitul experimentului subiectii au fost testati in ceea ce priveste nivelul stimei de sine, care in acest caz constituie variabila dependenta.

Rezultatele sunt prezentate in tabelul de mai jos:

Terapie individuala Terapie grup Grup de controlx x² x x² x x²

12 144 9 81 6 3610 100 7 49 7 4911 121 6 36 2 4

7 49 9 81 3 910 100 4 16 2 4

∑ x 50 514 35 263 20 102Media 10 103 7 52,6 4 20,4

Bucuresti, 2014

Pentru calcularea raportului F din ANOVA simpla, cea mai usoara cale este metoda denumita ABC, unde:

Unde: N- numarul total de subiecti; n- totatul de subiecti ai grupei; X- rezultatul unui subiect.

Bucuresti, 2014

Tabelul ANOVA se prezinta astfel:

Unde:-suma patratelor (SS) este suma abaterilor

standard;-media patratica (MS) este expresia ANOVA a

dispersiei esantionului;-numarul de grade de libertate (df);- raportul ANOVA (F); -numarul de grupe (k).

Dispersia SS df MS FIntergrup C-B k-1 (C-B)/(k-1)MS1/MS2Intragrup A-C N-K (A-C)/(N-k)Total A-B N-1

Bucuresti, 2014

Calculand A, B si C obtinem:A = 514+263+102= 879;B = (50+35+20)² / 15= 735;C = (50)² / 5 + (35)² / 5 + (20)² / 5 = 825. Ca urmare tabelul ANOVA devine:

Bucuresti, 2014

F>Fcritic => se respinge ipoteza nula Respingerea ipotezei nule arata ca

cele trei grupe nu sunt egale in ce priveste media rezultatelor variabilei dependente.

Bucuresti, 2014

Daca ANOVA simpla era in analogie cu testul t independent, ANOVA cu masuratori repetate este in corespondenta cu testul t dependent.

Termenul masuratori repetate implica evaluarea unui individ de doua sau mai multe ori in ceea ce priveste variabila dependenta.

In aceasta situatie, suma patratelor totala si implicit dispersia totala sunt impartite in trei componente:

-dispersia dintre indivizi; -dispersia datorata variabilei independente; -dispersia reziduala.

3.2 ANOVA cu masuratori repetate

Bucuresti, 2014

Tabelul ANOVA cu masuratori repetate:Sursa dispersiei SS df MS FIndividuala C-B n-1 SS/dfVariabila independenta D-B k-1 SS/df FReziduala (A-B)[(C-B)+(D-B)] (k-1)(n-1) SS/dfTotal N-1

Bucuresti, 2014

Unde:-n este numarul de subiecti a unei grupe; -N numarul de subiecti din experiment;- k este numarul de repetari a testarii. A, B, C si D se calculeaza dupa relatiile:

Bucuresti, 2014

Un cercetator este interesat sa observe in ce masura interactiunile sociale ale populatiei cu persoane apartinand etniei rroma vor reduce atitudinea refractara fata de acestia si vor elimina prejudecatile.

Drept urmare, sase subiecti sunt pusi sa interactioneze zilnic cu un grup de alti sase minoritari rromi, in vederea realizarii unui proiect comun timp de doua luni de zile.

Subiectilor li se aplica un chestionar validat de masurare a atitudinii fata de rromi, realizat in vederea depistarii impresiei populatiei majoritare asupra rromilor, pe o axa acceptare-respingere. Scorurile mari arata un nivel crescut de acceptare.

Studiu de caz:

Bucuresti, 2014

Subiectii sunt testati de patru ori: -inainte de inceperea experimentului; -la o luna dupa declansarea proiectului comun; -la finalizarea proiectului (dupa inca o luna); -la o luna dupa terminarea proiectului.

Cum a influentat trecerea unui anumit interval de timp atitudinea fata de etnia rroma?

Ipoteza pe care o lanseaza cercetatorul este: persoanele cu cat interactioneaza mai frecvent cu cei din etnia rroma, cu atat vor avea o atitudine mai toleranta fata de acestia.

Ipoteza nula a cercetarii este: M1 = M2 = M3 = M4

Bucuresti, 2014

Rezultatele celor sase subiecti la cele patru testari sunt trecute in tabelul de mai jos:

S Inainte Dupa 1 luni Dupa 2 luni Dupa 3 lunix x² x x² x x² x x²

1 6 36 9 81 12 144 11 1212 8 64 10 100 14 196 15 2253 5 25 6 36 10 100 11 1214 7 49 9 81 9 81 10 1005 4 16 8 64 10 100 9 816 9 81 6 36 11 121 10 100

∑ 39 271 48 398 66 742 66 748M 6,5 8 11 11

Bucuresti, 2014

Tabelul ANOVA:

F>Fcritic => ipoteza nula este respinsa, constatandu-se diferente semnificative in ceea ce priveste mediile celor patru serii de evaluari.

Bucuresti, 2014

In ANOVA factorial este vorba de studiul influentei simultane a doua sau mai multe variabile independente asupra unei variabile dependente.

ANOVA factorial conduce la calculul a trei teste statistice F.

Se prezinta in continuare forma grafica a unui design experimental bifactorial, in care cele doua variabile independente au cate trei trepte.

3.3 ANOVA bifactoriala

B1 B2 B3A1 A1B1 A1B2 A1B3 Media A1A2 A2B1 A2B2 A2B3 Media A2A3 A3B1 A3B2 A3B3 Media A3

Medie B1 Medie B2 Medie B3

Bucuresti, 2014

Dupa cum se observa, din combinarea celor doi factori fiecare cu trei trepte, se obtin noua situatii experimentale diferite. Acestea poarta numele de celule.

In cazul ANOVA factoriala exista patru surse ale dispersiei totale, si anume:

-dispersia intracelula (echivalenta cu dispersia intragrup);

-dispersia de-a lungul mediei liniilor; -dispersia de-a lungul mediei coloanelor;-dispersia datorata interactiunii dintre cele

doua variabile independente, suma ultimeler trei fiind echivalentul dispersiei intergrup.

Bucuresti, 2014

Din aceasta cauza sunt testate trei ipoteze nule in cazul ANOVA bifactorial:

-primele doua se refera la efectul variabilelor independente luate separat (media fiecarei linii este egala, respectiv media fiecarei coloane este egala);

-cea de-a treia se refera la interactiune. Pornind de la aceste coordonate se

prezinta tabelul pentru ANOVA factorial:

Bucuresti, 2014

Unde: -l este numarul de linii (treptele variabilei A);-c este numarul de coloane (treptele

variabilei B),-df gradele de libertate Pentru intracelule se calculeaza

scazand din df total celelalte grade de libertate (linii, coloane,interactiune).

Utilizand aceasta metoda ABC in calcularea celor trei F pentru ANOVA factorial este necesar mai intai sa calculam A, B, C, D si E.

Bucuresti, 2014

Unde:

Bucuresti, 2014

Un cercetator doreste sa studieze in ce masura relatarile martorilor oculari sunt influentate de intrebarile adresate si de experienta subiectilor fata de situatia in cauza, pentru a stabili gradul de incredere in depozitiile martorilor.

In experiment, cercetatorul propune subiectilor sa vizioneze un film despre un accident de circulatie. Dupa vizionare le cere subiectilor sa estimeze viteza cu care rulau masinile în momentul accidentului (variabila dependenta). El este interesat de influenta a doua variabile independente.

Studiu de caz:

Bucuresti, 2014

O prima variabila este data de manipularea experimentatorului. Astfel, el cere unui grup sa estimeze viteza cu care s-au "zdrobit" masinile; unui al doilea grup i s-a cerut acelasi lucru, dar foloseste expresia "s-au lovit", iar in a treia situatie subiectii au fost intrebati "ce viteza" aveau masinile in momentul accidentului.

Cea de a doua variabila independenta luata in calcul a fost experienta subiectiilor care a avut doua trepte: soferi si ne-soferi. Avem asadar un model de ANOVA factorial de tip 3x2 (trei linii si doua coloane).

Ipoteza cercetatorului este: relatarile subiectilor sunt influentate atat de expresiile utilizate (intrebarile anchetatorului) cat si de experienta subiectilor in situatia descrisa, in sensul ca subiectii soferi pot estima mai bine decat ne-soferii viteza de deplasare a masinii.

Bucuresti, 2014

Tabel date:

Bucuresti, 2014

Tabelul ANOVA:

Bucuresti, 2014

Asadar, se observa ca din cele trei raporturi F, doua sunt semnificative statistic F linii (determinat de factorul A) si F interactiune (determinat de actiunea comuna a factorilor A si B).

Bucuresti, 2014