Analiza Cursul 1

8/18/2019 Analiza Cursul 1

1/7

1

CSIE - Cursul 1

Fie A o mulţime. Spunem că A este finită dacă are un număr finit de elemente. O mulţime carenu este finită se numeşte mulţime infinită. Spunem că o mulţime A este numărabilă1 dacă existăo aplicaţie biunivocă (bijectivă) între A şi mulţimea numerelor naturale N. Exemple de mulţimi

numărabile: mulţimea numerelor naturale, mulţimea numerelor întregi, mulţimea numerelorraţionale. Spunem că o mulţime este cel mult numărabilă dacă este finită sau este numărabilă.Pentru o mulţime finită, numărul elementelor sale se numeşte cardinalul său. Pentru mulţimile

infinite se foloseşte simbolul 0 (alef-zero) pentru mulţimea numerelor naturale, iar pentru

mulţimea numerelor reale R sau pentru intervalele de numere reale ,a b , ,a b , ,a b , ,a b se spune că sunt de puterea continuului (ele nu sunt mulţimi numărabile, zicem că au putereacontinuului deoarece pot fi puse în corespondenţă biunivocă (bijectivă) cu mulţimea punctelor de

pe o axă). Notaţie: ,-R R (dreapta încheiată), 0,1,2,3,N , 1,2,3,N* .Definiţia 1. O funcţie : f X N (sau : f A X , unde A N este o mulţime infinită) se

numeşte şir de elemente ale lui X . Notând n x f n pentru orice n N obţinem şirul de

elemente ale lui X în notaţia obişnuită n n x N . Mai general, şirul este o funcţie definită pe o

submulţime infinită a mulţimii numerelor naturale, deci pentru A N infinită vorbim de şirul

n n A x . Dacă R X vorbim de şir de numere reale (şir numeric).

Definiţia 2. Spunem că şirul n n x este şir fundamental (sau şir Cauchy) dacă pentru orice

0 există un rang (număr natural) N astfel încât pentru orice N n şi orice p N avem

n pn x x .

Un cadru mai general: Fie R , X un spaţiu vectorial real înzestrat cu o distanţă (metrică) d , deci d X , este un spaţiu metric. Spunem că şirul de vectori (puncte) n

n

x X este şir

fundamental (sau şir Cauchy) dacă pentru orice p N avem lim , 0n n pn

d x x

.

Definiţia 3. Fie R . Spunem că mulţimea V este vecinătate a lui dacă V conţine uninterval deschis centrat în (adică există 0 astfel încât V , ).Prin extensie: Mulţimea V este vecinătate a lui dacă V conţine intervale deschise şinemărginite de forma ,a . Mulţimea V este vecinătate a lui dacă V conţine intervaledeschise şi nemărginite de forma b, .

Definiţia 4. Punctul R se numeşte limita şirului numeric n n x dacă orice vecinătate V a lui

conţine o infinitate de termeni ai şirului şi nu conţine cel mult un număr finit de termeni ai

şirului (altfel spus: V conţine toţi termenii şirului, eventual exceptând un număr finit de termeniai şirului). Se notează lim n

n x

.

Definiţia 5. Spunem că şirul n n x este convergent dacă are limită finită, adică lim nn x

R .

Un şir care nu este convergent se numeşte şir divergent.

1După unii autori: infinit numărabilă


2/7

2

Criteriul lui Cauchy pentru şiruri numerice

Un şir numeric n n x este convergent dacă şi numai dacă şirul n n x este şir fundamental.

Observa ţ ie : În cadrul general al unui spaţiu metric d X , este valabilă:

Propoziţia 1. Orice şir convergent este şir fundamental (adică: Dacă şirul n n x este convergent,

atunci n n x este şir fundamental).Definiţia 6. Un spaţiu metric , X d se numeşte spaţiu metric complet dacă orice şirfundamental al său este şir convergent. Observaţi e : Reciproca propoziţiei 1 este valabilă numai în spaţiile metrice complete.

Serii numerice. Convergenţe. Proprietăţi

Fie şirul de numere reale n nu . Să notăm 1 1,S u 2 1 2 11

, ,n

n n k k

S u u S u u u

,…

Se obţine astfel un şir nn

S N

, numit şirul sumelor parţiale.

Definiţia 7. Perechea formată de cele două şiruri se numeşte seria numerică asociată şirului

n nu şi se notează1

nn

u

(sau 1 2 nu u u ). Termenii şirului n nu se numesc termenii

seriei, nu este termenul general al seriei1

nn

u

, iar termenii şirului n nS N se numesc sumele

par ţ iale ale seriei 1

nn

u

.

Observaţie. Deoarece 1 1u S şi 1, 2n n nu S S n , seria1

nn

u

este complet determinată de

şirul sumelor sale par ţiale n nS N şi studiul seriei se reduce la studiul acestui şir.

Definiţia 8. O serie numerică1

nn

u

se numeşte convergentă dacă şirul n nS N al sumelor

ei par ţiale este convergent; în acest caz, numărul lim nn

S S

se numeşte suma seriei şi scriem

1n

n

u S

(astfel capătă sens adunarea repetată de o infinitate de ori).

Dacă limn

nS

sau şirul n nS N nu are limită, vom spune că seria este divergentă (altfel

spus: seriile care nu sunt convergente se numesc serii divergente) . Seriile cu proprietatea că şirulsumelor par ţiale nu are limită se numesc serii oscilante.

Exemplu:

1. Seria geometrică. Fie r R . Seria 20

1n n

n

r r r r

se numeşte seria

geometrică de raţie r . Pentru 1r , termenul general al şirului n nS este:


3/7

3

2 1 1 111 1 1

n nn

n

r r S r r r

r r r

şi, deoarece

0, 1,1

lim , 1,

nu exista, pentru 1

n

n

r

r r

r

,

rezultă

1, 1,1

1lim

, 1,

nu exista, pentru 1

nn

r r

S r

r

.

Pentru 1, nr S n şi lim nn

S

.

Sintetizând rezultatele, obţinem:

- pentru 1,1r seria geometrică este convergentă şi are suma1

1 r ;

- pentru 1,r seria geometrică este divergentă şi are suma .

- pentru , 1r seria geometrică este divergentă şi oscilantă.

Observaţie: Seria geometrică

1n

nr de raţie r este convergentă pentru 1,1r şi are suma

r

r

1.

Teorema 1. (Criteriul general al lui Cauchy de convergenţă a seriilor ).

Seria1

nn

u

este convergentă dacă şi numai dacă pentru orice 0 există un rang N ,

astfel încât pentru orice n N şi orice p N avem 1 2n n n pu u u

(sau echivalent: pentru orice m n N avem 1 2n n mu u u ).

Propoziţia 2. (Criteriul necesar de convergenţă). Dacă seria1

nn

u

e convergentă, atunci

lim 0nn

u

.

Demonstraţie. Dacă1

nn

u

este convergentă atunci lim n

nS S

. Dar 1n n nu S S şi

1lim lim lim 0n n nn n n

u S S S S

.

Corolar (Criteriu suficient de divergenţă). Dacă lim 0nn

u

sau nu există, atunci seria1

n

n

u

este

divergentă.

Definiţia 9. Numim restul de ordinul1

al seriei nn

p u

N seria

1 pnnu .

Propoziţia 3. Dacă seria1

nn

u

este convergentă, atunci lim 0 p

p R

, unde

1 p n

n p

R u

.


4/7

4

Demonstraţie. Dacă notăm cu S suma seriei, putem scrie S = S p + R p sau R p = S – S p, de

unde lim lim 0 p p p p

R S S S S

.

Definiţia 10. Seria1

nn

u

se numeşte absolut convergentă dacă seria

1n

n

u

este convergentă.

Dacă o serie este convergentă fără a fi absolut convergentă, vom spune că ea este semiconvergentă.

Propoziţia 4. Dacă seria1

nn

u

este absolut convergentă, atunci ea este convergentă.

Teorema 2 (Criteriul lui Abel ). Fie1

nn

a

o serie cu şirul sumelor parţiale mărginit şi fie

n nu *N un şir de numere pozitive descrescător şi convergent la 0. Atunci seria1

n nn

a u

este

convergentă. Serii cu termenii pozitivi

Definiţia 11. Seria numerică1

nn

u

se numeşte serie cu termenii pozitivi dacă 0nu oricare

ar fi n *N .Observaţie. O serie cu termeni pozitivi are întotdeauna o sumă, deoarece şirul sumelor ei

par ţiale este crescător. Suma va fi finită dacă şirul sumelor par ţiale este mărginit superior sauegală cu în caz contrar.

1. Primul criteriu al comparaţiei . Fie1

nn

u

şi

1n

n

v

două serii cu termeni pozitivi pentru

care există un rang 0n N , astfel încât pentru orice 0n n avem n nu v . Atunci:

a) Dacă1

nn

v

este convergentă, rezultă că

1n

n

u

este convergentă.

b) Dacă1

nn

u

este divergentă, rezultă că

1n

n

v

este divergentă.

2. Criteriul comparaţiei cu limită. Fie seriile cu termenii pozitivi1

nn

u

şi

1n

n

v

astfel încât

lim nn

n

u L

v . Avem:

i) dacă 0 L , atunci rezultă că seriile au aceeaşi natură;

ii) dacă 0 L şi seria1

nn

v

este convergentă, atunci rezultă că şi seria

1n

n

u

este

convergentă. iii) dacă L şi seria

1n

n

v

este divergentă, atunci rezultă că şi seria

1n

n

u

este divergentă.

3) Criteriul r aportului (al lui d’Alembert). Fie1

nn

u

o serie cu termenii pozitivi.


5/7

5

a) Dacă există un rang 0n *N şi un număr 0,1 astfel încât 1n

n

u

u

, pentru orice

0n n , atunci seria1

nn

u

este convergentă.

b) Dacă există un rang 0n *N astfel încât 1 1nn

u

u pentru orice 0n n , atunci seria

1n

nu

este divergentă.

Corolar (Forma scurtă pent ru criteri ul raportulu i ): Fie1

nn

u

o serie cu termenii pozitivi

astfel încât 1lim nn

n

u L

u

. Atunci:

i) Dacă 1 L seria1

n

n

u

este convergentă.

ii) Dacă 1 L seria1

n

nu

este divergentă. iii) Dacă 1 L , criteriul nu poate preciza natura seriei.

4) Criteriu l radicalului sau al rădăcinii (al lui Cauchy) Fie1

nn

u


a) Dacă există un rang 0n *N şi un număr 0,1 astfel încât n nu , pentru orice 0n n ,

atunci seria1

nn

u

este convergentă.

b) Dacă 1nn

u pentru o infinitate de termeni, atunci seria1 nn

u

este divergentă.

Corolar (Forma scurtă pentru criteriul rădăcini ). Fie1

nn

u

o serie cu termenii pozitivi astfel

încât lim n nn

L u

. Atunci:

a) Dacă 1 L seria1

nn

u

este convergentă.

b) Dacă 1 L seria1

nn

u

este divergentă.

iii) Dacă 1 L , criteriul nu poate preciza natura seriei.

5). Cri teri ul Raabe-Duhamel : Fie1

nn

u


a) Dacă există un rang 0n *N şi un număr 1 astfel încât

1

1n

n

un

u

pentru orice

0n n , atunci seria1

nn

u

este convergentă.


6/7

6

b) Dacă există un rang 0n *N astfel încât

1

1 1n

n

un

u

pentru orice0n n , atunci seria

1n

n

u

este divergentă.

Corolar (Forma scurtă pentru criteriul Raabe-Duhamel ): Fie1

nn

u

o serie cu termenii

pozitivi astfel încât1

lim 1nn

n

un

u

. Atunci:

i) pentru 1 seria dată este convergentă.ii) pentru 1 seria dată este divergentă. iii) Dacă 1 , criteriul nu poate preciza natura seriei.

Exemplu. Să studiem natura seriei1

1

n n

(seria armonică generalizată). unde R . Pentru

0 avem 1 1, 1nn , deci1lim 1n

nu

n , aşadar seria este divergentă.

Pentru 1 seria armonică1

1

n n

este divergentă, deoarece nu verifică criteriul lui Cauchy.

Într-adevăr, avem1

nun

şi există1

02

astfel încât oricare ar fi rangul ( ) , N k *N

k n k şi p k , pentru care avem 1 21

2n n n p

k k k u u u , deoarece

1 1 1 1 1

1 2 2 2 2k

k k k k

.

Pentru 0,1 avem 1 1 , 1nnn

. Cum seria armonică1

1n n

este divergentă, conform

primului criteriu de comparaţie, rezultă ca în acest caz seria1

1

n n

este divergentă.

Pentru 1 vom arăta că seria1

1

n n

este convergentă. Considerăm funcţia

1

1

1 f x

x

, care are derivata '

1 f x

x pe orice interval , 1 , 1k k k . Fiind

continuă şi derivabilă, conform teoremei lui Lagrange , 1k c k k astfel încât

'1 11

k

k

f k f k f ck k c

. Dar 1 1 11 k k c k

şi

1 1 1 , 11 k

k k k c

, rezultă

1 11 , 1

1 f k f k k

k k

.


7/7

7

Notând suma parţială de ordin n cu nS avem

1 1 1

1 1 11 1

1 1

n n n

n nk k k

S f k f k S k k n

Rezultă

11 1 1 1 1

1n f n f S f n f

n

Dar

1

1 1 1 11 1 1 1

11 1 1 1 f n f

n n n

1 11 1

n

n

, aşadar 0 , 1

1nS n

, şirul n nS mărginit şi cum este

şi crescător (avem serie cu termenii pozitivi) rezultă că şirul n nS este convergent, deci seria

1

1

n n

este convergentă pentru 1 .

Analiza Cursul 1

Documents

Transcript of Analiza Cursul 1