Cursul 1. Recapitulare liceu

download Cursul 1. Recapitulare liceu

of 209

  • date post

    28-Jan-2017
  • Category

    Documents

  • view

    237
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Cursul 1. Recapitulare liceu

  • 1

    Cursul 1. Recapitulare liceu

    Bibliografie:

    1. G. Streinu-Cercel, G. Constantinescu, G. Oprea, Matematic. Manual pentru clasa a XI-a

    ed. Sigma, Bucureti, 2006.

    2. C. Nstsescu, C. Ni, I. Stnescu, Matematic. Elemente de algebr superioar. Manual

    pentru clasa a XI-a ed. Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1993.

    3. C. Crciun, L. Lupa, Matematic pentru studeni strini ed. Didactic i Pedagogic,

    Bucureti, 1983.

    Scopuri:

    1) Utilizarea operaiilor cu matrice

    2) Calcularea valorii unui determinant; proprietiile determinanilor

    3) Determinarea inversei unei matrice

    4) Rangul unei matrice

    5) Metode de rezolvare a sistemelor de ecuaii liniare

    1. Utilizarea operaiilor cu matrice

    Noiunea de matrice a intervenit n studiul sistemelor de ecuaii liniare. Ea a fost introdus

    de matematicianul englez Artur Cayley n 1858.

    Definiia 1. Fie nm, i fie o mulime de numere C,,,, Q . Se numete

    matrice de tipul nm, cu elemente din , o funcie nmA ,,2,1,,2,1: ; notm

    mnmm

    n

    n

    aaa

    aaa

    aaa

    A

    21

    22221

    11211

    sau njmiijaA

    11 .

    Observaia 1. Matricele sunt o generalizare a vectorilor; vectorii sunt matrice cu o linie

    (matrice linie), sau cu o coloan (matrice coloan).

    Definiia 2. Matricea ptratic de ordinul n ,

    nnnn

    n

    n

    aaa

    aaa

    aaa

    A

    21

    22221

    11211

    este o matrice

    cu n linii i n coloane.

  • 2

    Definiia 3. Matricea linie nnaaa ,,, 2211 este diagonala principal, iar matricea

    coloan 11,21 ,,, nnn aaa este diagonala secundar a matricei A .

    Mulimea tuturor matricelor de tipul nm, cu elementele din mulimea se noteaz prin

    nm, .

    Mulimea tuturor matricelor ptratice de ordinul n cu elemente din mulimea se

    noteaz prin n .

    Definiia 4. Urma unei matrice nA , njniijaA

    11 este suma elementelor de pe

    diagonala principal;

    n

    iiiaA

    1

    tr .

    Definiia 5. Dou matrice de de tip nm, , njmiijaA

    11 i

    njmiijbB

    11 se numsc egale

    dac njmiba ijij ,1,,1, .

    Definiia 6. Fie matricele nmBA ,, , njmiijaA

    11 ,

    njmiijbB

    11 . Suma matricelor

    A i B este matricea njmiijcC

    11 , cu njmibac ijijij ,1,,1, , notat BAC .

    Teorema 1 (proprietile adunrii matricelor). Pentru orice matrice nmCBA ,,, :

    1) ABBA (comutativitatea)

    2) CBACBA (asociativitatea)

    3) elementul neutru; AAA nmnm ,, OO , unde nm,O este matricea nul (are

    toate elementele 0) de tip nm, .

    4) matricea opus nmA , , nmAAAA ,O . Pentru

    njmiijaA

    11 , avem

    njmiijaA

    11 .

    Deci, mulimea matricelor de tipul nm, mpreun cu operaia de adunare are o structur

    de grup abelian.

    Definiia 7 (nmulirea cu scalari). Fie nm

    njmiijaA ,

    11 i . Produsul

    dintre numrul (numit scalar) i matricea A este matricea njmiijbB

    11 , cu

    njmiab ijij ,1,,1, , care se noteaz cu A .

    Teorema 2 (proprietile nmulirii cu scalari a matricelor). Pentru orice matrice

    nmBA ,, , i ba, :

  • 3

    1) AA 1

    2) AbAaAba

    3) BaAaBAa

    4) bAaAab ,

    5) BaAABa .

    Observaia 2. Pentru a efectua produsul a dou matrice trebuie ca numrul de coloane ale

    primei matrice s fie egal cu numrul linii al celei de-a doua matrice.

    Definiia 8. Fie pnm ,, , nm

    njmiijaA ,

    11 i

    pknjjkbB

    11 . Produsul

    matricelor A i B (n aceast ordine), este matricea pk

    miikcC

    11 ,

    pkmibacn

    jjkijik ,1,,1,

    1

    ; matricea produs se noteaz BA .

    BAC

    npnkn

    jpjkj

    pk

    mnmjm

    iniji

    nj

    mpmkm

    ipiki

    pk

    bbb

    bbb

    bbb

    aaa

    aaa

    aaa

    ccc

    ccc

    ccc

    1

    1

    1111

    1

    1

    1111

    1

    1

    1111

    Teorema 3 (proprietile nmulirii matricelor). Fie qpnm ,,, .

    1) Oricare ar fi matricele nmA , , pnB , , qpC , :

    BCACAB (asociativitatea)

    2) Oricare ar fi matricele nmA , , pnCB ,, :

    ACABCBA (distributivitatea nmulirii la stnga fa de adunare)

    3) Oricare ar fi matricele nmBA ,, , pnC , :

    BCACCBA (distributivitatea nmulirii la dreapta fa de adunare)

    4) Matricea unitate de ordinul n ,

    100

    010

    001

    I

    n este element neutru fa de

    nmulire, adic nA avem AAA nn II .

    Observaia 3. n general ABBA .

  • 4

    Definiia 9 (ridicarea la putere a matricelor ptratice). Dac nA , nA O ,

    definim nA I0 i AAAAA k

    orikde

    k 1 , k .

    Observaia 4. Observm c

    kppk

    pkpk

    AA

    AAA, pk, .

    Definiia 10. Transpusa unei matrice njmiijaA

    11 este matricea

    mjniij

    t aA

    11 definit

    prin mjniaa jiij ,1,,1, .

    Observm c transpusa unei matrice se obine din matricea iniial schimbnd liniile n

    coloane i invers.

    nmnn

    n

    m

    mnnn

    m

    m

    t

    mnmm

    n

    n

    t

    aaa

    aaa

    aaa

    aaa

    aaa

    aaa

    aaa

    aaa

    aaa

    A

    21

    22221

    11211

    21

    22212

    12111

    21

    22221

    11211

    Teorema 4 (proprietile transpunerii matricelor). Dac nmBA ,, iar

    atunci

    1) ttt BABA

    2) tt AA

    3) ttt ABAB

    4) AA tt

    Exemplul 1. Fie 321 ,, xxx soluiile ecuaiei 03 baxx , ba, , 0a i

    111

    321

    2

    3

    2

    2

    2

    1

    xxx

    xxx

    A . Calculai tAA .

    Soluie.

    31

    1

    1

    111 3212

    3

    2

    2

    2

    1

    321

    2

    3

    2

    2

    2

    1

    3

    3

    3

    2

    3

    1

    2

    3

    2

    2

    2

    1

    3

    3

    3

    2

    3

    1

    4

    3

    4

    2

    4

    1

    3

    2

    3

    2

    2

    2

    1

    2

    1

    321

    2

    3

    2

    2

    2

    1

    xxxxxx

    xxxxxxxxx

    xxxxxxxxx

    xx

    xx

    xx

    xxx

    xxx

    AA t .

    Folosind relaiile lui Viete avem:

    01

    0321 xxx ; a

    axxxxxx

    1313221 ; bxxx 321 .

  • 5

    Obinem:

    aa

    xxxxxxxxxxxx 21

    22 3231212

    32123

    22

    21

    bbxxxa

    xxxxxxxxxxxxxxxxxx

    3330

    33

    321

    3213213231213

    32133

    32

    31

    22223222321222122

    322

    21

    43

    42

    41 2242 aaaxxxxxxxxxxxx ,

    unde

    223213212

    31322123

    22

    23

    21

    22

    21 022 abaxxxxxxxxxxxxxxxxxx

    Deci

    302

    023

    232 2

    a

    ab

    aba

    AA t .

    Definiia 11. Matricea nA se numete simetric dac tAA .

    Definiia 12. Matricea nA se numete antisimetric dac tAA .

    2. Calcularea valorii unui determinant; proprietile determinanilor

    Definiia 13. Determinantul unei matrice de ordinul al 2-lea,

    2221

    1211

    aa

    aaA este numrul

    21122211

    2221

    1211det aaaa

    aa

    aaA .

    Pentru calculul determinanilor de ordinul 3 vom aplica urmtoarele trei reguli de calcul:

    1. Regula lui Sarrus: scriem sub linia a treia primele dou linii, apoi adunm

    produsul elementelor de pe cele 3 diagonale paralele cu direcia i scdem

    produsul elementelor situate pe cele 3 diagonale paralele cu direcia

    322311332112312213231231133221332211

    232221

    131211

    333231

    232221

    131211

    aaaaaaaaaaaaaaaaaa

    aaa

    aaa

    aaa

    aaa

    aaa

    Fig. 1

    2. Regula triunghiului: evideniem triunghiuri cu vrfurile n elementele

    determinantului, ca n Fig 2. Se adun produsele elementelor care se afl pe

    diagonala principal i n vrfurile triunghiurilor ce au o latur paralel cu aceasta

  • 6

    i se scad produsele elementelor care se afl pe diagonala secundar i n vrfurile

    triunghiurilor ce au o latur paralel cu aceasta.

    322311332112312213231231133221332211

    333231

    232221

    131211

    aaaaaaaaaaaaaaaaaa

    aaa

    aaa

    aaa

    Fig. 2

    3. Regula minorilor: dezvoltarea determinantului dup o linie sau coloan

    3231

    1211

    23

    3331

    1311

    22

    3332

    1312

    21

    3231

    2221

    13

    3331

    2321

    12

    3332

    2322

    11

    333231

    232221

    131211

    aa

    aaa

    aa

    aaa

    aa

    aaa

    aa

    aaa

    aa

    aaa

    aa

    aaa

    aaa

    aaa

    aaa

    Alegem o linie i sau o coloan i nmulim fiecare element ija , 3,1j al acestei linii sau

    coloane cu determinantul de ordin inferior obinut prin eliminarea liniei i i a coloanei j i cu

    ji1 i adunm produsele astfel rezultate i obinem valoarea determinantului.

    Definiia 14. Determinantul unei matrice de ordinul n este numrul

    n

    kkjkj

    jkAa

    1

    1 ,

    unde cu kjA se noteaz minorul elementului kja , adic determinantul matricei de ordinul 1n

    care se obine din matricea A eliminnd linia i i coloana j .

    Proprietile determinanilor sunt:

    1. Determinantul unei matrice este egal cu determinantul matrici transpuse.

    Datorit acestei proprieti putem transcrie proprietile o