ALGEBRACLASA XII -a

Pag. 1 din 12

Polinoame

Fie polinoamele:

f(x) = anxn + an-1xn-1 +..... + a2x2 + a1x + a0

g(x) = bnxn + bn-1xn-1 +..... + b2x2 + b1x + b0

Gradul unui polinom – este dat de puterea cea mai mare a necunoscutei x.

Polinomul f(x) = a0 - se numeste polinom constant

Polinomul f(x) = 0 – se numeste polinom nul

an + an-1 +..... + a2 + a1 + a0 - se numesc coeficienti polinomului

akxk – se numesc termenii polinomului

Operatii cu polinoame

a. Egalitatea a 2 polinoame

f(x) = g(x) => an = bn

an-1 = bn-1

::a0 = b0

b. Polinomul nul

f(x) = 0 daca an = 0 an-1 = 0 : : a0 = 0

c. Adunarea polinoamelor

f(x) + g(x) = (an + bn)xn + (an-1 + bn-1)xn – 1 + …............+ a0 + b0

d. Inmultirea polinoamelor

f(x) · g(x) = a0 · b0 + ( a1 b0 + a0 b1)x + ( a0 b2 + a1 b1 + a2 b0 ) x2 + …................

e. Inmultirea cu scalari a polinoamelor (k ЄR)

k·f(x) = kan xn + k an-1xn – 1 + …...................+ka1 x + ka0

Proprietatile adunarii polinoamelor

1. Comutativitatea

f + g = g + f

Pag. 2 din 12

2. Asociativitatea

(f + g) + h = f + (g + h)

3. Element neutru

f + 0 + 0 + f = f

4. Elementul opus

f + (-f) = -f + f = 0

Proprietatile inmultirii polinoamelor

1. Comutativitate

f · g = g · f

2. Asociativitate

( f · g)h = f(g· h)

3. Element neutru la inmultire

f · 1= 1 · f = f

4. Distributivitatea inmultirii fata de adunare

f·(g + h) = f · g + f · h

Proprietatile gradului unui polinom

a. grad (f + g) ≤ max (grad f, grad g)

b. grad (f · g) = grad f + grad g

Valoarea unui polinom

Valoarea polinomului f in x = α este:

f(x) = anαn + an-1 αn-1 + …...+ a2α2 + a1α + a0

Radacina unui polinom

x = α este radacina a polinomului f daca: f(α) = 0

Teorema impartirii cu rest

f : g = C si restul r

unde: f = deimpartitorul g = impartitorul c = catul r = restul

Pag. 3 din 12

Teorema impartirii cu rest

f = g · c + r

Daca r = 0 spunem ca g devide f

f = g · c

Exemplu:

3x3 + 2x2 - x + 5 | x2 – x …................................................ -3x3 + 3x2 | 3x + 5 = c

…......................... .|/ 5x2 - x + 5 |….......................... -5x2 +5 x ….......................... / 4x + 5 = r

Teorema impartirii cu rest

3x3 + 2x2 - x + 5 = (x2 - x)(3x + 5) + 4x + 5

Exemplu:Impartirea polinoamelor in Z6

Stiind ca: (din tabla impartirii in Z6

| ….........................................................

|

|

| …................................

Teorema lui Bezaut

Daca a este radacina a unui polinom atunci polinomul se devide cu x – a

Teorema restului

Restul impartirii unui polinom cu (x – a) este egal cu f(a)

Radacini multiple a unui polinom

Daca “a” este radacina multipla de ordin “p” pentru polinomul f atunci polinomul “f” se divide cu (x – a)p

Deci: daca “a” este radacina de ordin p = 1 (radacina simpla) atunci f se divide la (x – a); daca “a” este radacina de ordin p = 2 (radacina dubla) atunci f se divide la (x – a)2.

Pag. 4 din 12

Teorema

Daca a este radacina multipla de ordin “p” atunci:

f(a) = f'(a) = ….= f(p-1)(a) = 0 si f(p)(a) ≠ 0.

Deci:

daca f este radacina de ordin p = 1 (radacina simpla) atunci f(a) = 0 si f'(a) ≠ 0. daca f este radacina de ordin p = 2 (radacina dubla) atunci f(a) = f'(a) = 0 si f”(a) ≠ 0.

Descompunerea unui polinom in factori

Fie f(x) = anxn + an-1xn -1 + ...+ a1x + a0 care are radacinile x1, x2 ….. xn atunci

f(x) = an(x - x1)(x – x1) ….(x – xn)

Cel mai mare divizor comun a polinoamelor f si g (notat (f,g)

a. - Se descompun polinoamele f si g in produse de factori primi; - c.m.m.d.c. Este produsul factorilor primi, comuni, luati o singura data, la puterea

cea mai mica;

b. Se aplica algoritmul lui EuclidEtape:

se imparte f : g = c1 si restul r1

se imparte g : r1 = c2 si restul r2

se imparte r1 : r2 = c3 si restul = 0atunci c.m.m.d.c. = r2 (ultimul rest ≠ 0)

Exemplu: Sa se afle c.m.m.d.c. Pentru polinoamele:f(x) = x4 + x3 + 7x2 - x+ 6g(x) = x3 - x2 – 4x + 4

x4 + x3 + 7x2 - x+ 6 │x3 - x2 – 4x + 4….......................................................

-x4 + x3 + 4x2 – 4x │x + 2 …...........................

/ 2x3 - 3x2 - 5x+ 6│ - 2x3 + 2x2 +8x -8|…...........................│ - x2 + 3x – 2

x3 - x2 – 4x + 4 │-x2 + 3x – 2…..............................................

-x3 + 3x2 – 2x │-x - 2….....................│/ 2x2 – 6x + 4│ -2x2 +6x - 4….................... / / /

c.m.m.d.c. = x2 – 3x -2 (ultimul rest ≠ 0)

Polinoamele f si g sunt prime intre ele daca c.m.m.d.c.(f,g) =1

Pag. 5 din 12

Radacinile comune ale polinoamelor f si g sunt radacinile celui mai mare divizor comun al polinoamelor f si g.

Cel mai mic multiplu comun al polinoamelor f si g (notat [f,g])

a. - se descompun polinoamele f si g in produse de factori primi; - c.m.m.m.c. Este produsul factorilor primi comuni si necomuni, luati o singura data la

puterea cea mai mare.

b. [f,g] =

Radacinile complexe a unui polinom

Daca un polinom are o radacina complexa x1 = a + bi atunci are radacina si conjugata lui x1 adica x2= a - bi

Daca functia are radacinile complexe x1 = a + bi si x2= a - bi atunci functia de divide cu (x - x1)((x – x2) = (x – (a – bi)(x – (a + bi) = (x – a + bi)(x – a – bi) =(x – a)2 -(bi)2 = x2 – 2ax + a2 + b2

Orice polinom cu coeficienti reali, de grad impar, are cel putin o radacina reala.

Radacinile irationale a unui polinom

Daca un polinom f are radacini el va avea o radacina si pe conjugata lui x1

Daca un polinom are radacinile si el se divide cu

(x - x1)·(x – x2) = = (x – a)2 - = x2 -2ax + a2 – b

Radacinile rationale si intregi ale unui polinomFie f(x) = anxn +an-1xn-1 +...............+.a1x +a0

Radacinile intregi ale polinomului f se gasesc printre divizorii termenului liber “a0”.

Radacinile rationale ale polinomului f sunt de forma unde: p este divizorul termenului liber a0

q este divizorul coeficientului puterii celei mai mari “an”.

Schema lui HORNER

Fie polinomul f(x) = 12x4 - 16x3 + x2 + 4x -1Radacinile intregi se gasesc printre D-1 = {±1}

x4 x3 x2 x1 x0 Observatii

…...................................................................................................... 12 -16 1 4 -1…...................................................................................................... -1 12 -28 29 -25 24 x1=-1 nu este radacina …...................................................................................................... 1 12 -4 -3 1 0 x = 1 este radacina a polinomului f

Catul impartirii lui f la x – x1= x + 1 este 12x3 - 4x2 - 3x + 1

Pag. 6 din 12

Relatiile lui Viete

a. Polinom de grad IIf(x) = ax2 + bx + c

S = x1 + x2 = -

P = x1 · x2 =

Polinomul care are S si P are forma:

x2 -Sx + P = 0

b. Polinom de grad III

f(x) = ax3 + bx2 - cx + d

S1 = x1 + x2 + x3 = -

S2 = x1 · x2 + x1 · x3 + x2 · x3 =

S3 = x1 - x2 - x3 = -

Polinomul care are S1, S2, si S3 are forma:

x3 -S1x2 + S2x - S3 = 0

c. Polinom de grad IV

f(x) = ax4 +bx3 +cx2 +dx + e

S1 = x1 + x2 + x3 + x4 = -

S2 = x1 · x2 + x1 · x3 + x1 · x4 + x2 · x3+ x2 · x4 + x3 · x4=

S3 = x1 x2 x3 + x1 x2 x4 +x1 x3 x4 + x2 x3 x4 = -

Pag. 7 din 12

S4 = x1 x2 x3 x4 =

Polinomul care are S1, S2, S3 si S4 are forma:

x4 -S1x3 + S2x2 - S3 x + S4= 0

Ecuatii algebrice de grad superior

1. Ecuatii binominala

xn – a = 0

xn = a se scrie a sub forma trigonometrica

a = r (cos α + i· sin α)

xk = unde k = 0,1,2,...,n-1

2. Ecuatii bipatrate

a) ax4 +bx2 +c = 0

Notez x2 = t, t > 0

at2 + bt + c = 0 → t1 si t2

Daca

t1 > 0 →x2 = t1→ x1,2 =

t2 > 0 →x2 = t2→ x3,4 =

b) ax6 +bx3 +c = 0

Notez: x3 = t, t Є R

3. Ecuatii reciproce

O ecuatie este reciproca daca coeficientii termenilor externi si ai celor egal departati de extremi sunt egali.

a. Ecuatie reciproca de grad 3

ax3 + bx2 +bx + a = 0

Rezolvare: orice ecuatie reciproca de grad impar are ca radacina x = - 1 se imparte polinomul cu x + 1 si se obtine o ecuatie de gradul II care se rezolva.

Pag. 8 din 12

b. Ecuatia reciproca de grad 4

ax4 +bx3 +cx2 +bx + a = 0/: x2

Notez:

Obtinem:a(t2 – 2) + bt + c = 0 – o ecuatie de grad II care se rezolva.

c. Ecuatie reciproca de grad 5

ax5 +bx4 +cx3 +cx2 + bx + a = 0

Orice ecuatie reciproca de grad impar are ca radacina x = -1Se imparte polinomul cu x + 1 si se obtine o ecuatie reciproca de grad 4 care se rezolva.

GRUPURI

Parte stabila

Fie (M1*) structura algebrica formata din multime nevida si *alege de compozitie.

HCM

Daca x,y Є H => x*y Є N atunci N este parte stabila a lui M in raport cu operatia *

Proprietatile legilor de compozitie

1.Asociativitatea

x,y,z Є M

(x*y) + z = x * (y + z)

2. Comutativitatea

x,y Є M

x * y = y * x

3. Element neutru

x Є M, e Є M astfel incat

Pag. 9 din 12

x * e = e * x = x

4. Element simetric

x Є M, X' Є Mastfel incat

x * x' = x' * x = e

Monoidul

Cuplul (M, *) este monoid daca legea * satisface urmatoarele conditii:

M1) Legea * este asociativaM2) Legea * are element neutru

Daca legea * admite si conditia :

M3) Legea * este comutativa cuplul (M, *) se numeste monoid comutativ

Grupul

Cuplul (G1 * ) se numeste grup daca indeplineste urmatoarele conditii:

G1) Legea * este asociativa

G2) Legea * are element neutru

G3) Legea * are element simetricDaca legea * indeplineste si conditia

G4) Legea * este comutativa atunci grupul se numeste grup comutativ (abelian)

Morfism si izomorfist de grupuri

Fie (G, * ) si (G',0) doua grupuri

O functie f: G → G' se numeste monfism (sau omomorfism) de grupuri daca are loc relatia:f(x*y) = f(x) o f(y) x, y Є G

Daca f:(G, ·) → (G', ·) este un morfism de grupuri si daca e si e' sunt elemente neutre a lui G si G' atunci:

1. f(e) = e'2. f(x-1) = (f(x))-1

3. f(xn) = (f(x))n

Fie (G, * ) si (G',o) doua grupuriO aplicatie f: G → G' se numeste izomorfism de grupuri daca:

1. f este un morfism de grupuri2. f este bijectiva

Inele si corpuri

Distributivitatea

Fie ,,*'' si ,,o'' doua operatii pe aceasi multime M.

Pag. 10 din 12

Operatia ,,*'' este distributiva la stanga fata de operatia ,,o'' daca:

x*(y o z) = (x * y) o (x*z), x, y, z Є M

Operatia ,,*'' este distributiva la dreapta fata de operatia ,,o'' daca:

(y o z) * x = (y + x) o (z * x), x, y, z Є M

Operatia ,,*'' este distributiva fata de operatia ,,o'' daca este distributiva la stanga si la dreapta.

Inelul

Tripletul (A, +, ·), cu A ≠ Ø se numeste inel unitar daca:

A1) (A1 +) este grup abelian

A2) (A, ·) este monoid

A3) Inmultirea este distributiva fata de adunare

DefinitieInelul (A, +, ·) are divizori a lui zero daca A contine cel putin un devizor a lui zero.

Un inel nenul care nu are devizori ai lui zero, comutativ, se numeste inel integru (sau domeniu de integritate).

Corpuri

Tripletul (K, +, ·) unde K este o multime cu cel putin 2 elemente se numeste corp daca sunt indeplinite urmatoarele conditii:

K1) (K, +) este grup obelian, cu element neutru 0

K2) (K -{ 0 },·) este grup cu element neutru 1

K3) Inmultirea este distributiva fata de adunare

Daca este indeplinita si conditia:K4) Inmultirea este comutativa atunci (K1, +, ·) se numeste corp comutativ sau camp.

Teorema

Un corp nu admite devizori ai lui zero adica din x, y Є K, x ≠ 0, y ≠ 0, x·y ≠ 0, deci orice corp este domeniu de integritate.

Morfism si izomorfism de inele si corpuri

Fie (A, +, ·) si (A', +, ·) doua inele.

O aplicatie f:A → A' se numeste morfism (sau omomorfism) de inele daca sunt satisfacute urmatoarele doua conditii:

1. f(x + y) = f(x) + f(y)2. f(x · y ) = f(x) · f(y)

Pag. 11 din 12

Definitie

Fie (A, +, ·) si (A', +, ·) doua inele. Un morfism de inele f: A → A' cu proprietatea f(1) = 1' se numeste morfism unitar de inele (unde 1 si 1' sunt elementele unitate din A si A')Un morfism de inele f: A → A' se numeste izomorfism daca f este bijectiva.

Fie (K, +, ·) si (K', +, ·) doua corpuri.O aplicatie f: K → K' se numeste:a. morfism de corpuri daca:

1. f(x + y) = f(x) + f(y)2. f(x · y) = f(x) · f(y)

b. izomorfism de corpuri daca:3. f este morfism de corpuri4. f este bijectiva

Pag. 12 din 12