Algebra Clasa X-A

7/24/2019 Algebra Clasa X-A

http://slidepdf.com/reader/full/algebra-clasa-x-a 1/15

ALGEBRĂclasa a X-a.

1. Funcţia exponenţială şi funcţia logaritmică

Funcţia exponenţială Funcţia logaritmică

DefiniţieFuncţia : , ( ) x

f f x a+→ = cu 0,a >1a ≠ , se numeşte funcţie exponenţială.

Evident că 0, xa x> ∀ ∈ .

Funcţia : , ( ) loga

f f x x+ → = cu 0,a >1a ≠ , se numeşte funcţie logaritmică. Evident

că 0 x > şi loga x ∈ .

- Dacă baza este 10a = atunci se notează

10log lg x x= (logaritm zecimal) şi dacă baza

a e= (e = numărul lui Neper) atunci se noteazălog lne

x x= (logaritm natural).

Graficul şi monotonia funcţiei

După cum se observă şi de pe grafic funcţia

exponenţială este crescătoare pentru 1a > şidescrescătoare pentru 0 1a< < .

După cum se observă şi de pe grafic funcţia

logaritmică este crescătoare pentru 1a > şidescrescătoare pentru 0 1a< < .

Observaţie: Graficele celor două funcţii (exponenţială şi respectiv logaritmică) sunt simetricefaţă de prima bisectoare a sistemului de axe (dreapta de ecuaţie, y x= ), pentru fiecare caz înparte:

Cazul 1a > Cazul 0 1a< <

De asemenea cele două funcţii (exponenţială şi respectiv logaritmică) sunt inverse una celeilalte în sensul

că, dacă ( ) x f x a= atunci 1( ) loga

f x x− = (şi avem evident loga xa x= ) şi respectiv dacă

( ) loga f x x= atunci 1( ) x f x a− = (şi avem evident log x

a a x= ). Această ultimă relaţie permite

calculul relativ uşor a lui loga x (dacă x este o putere a lui a , deci dacă , p x a p= ∈ , atunci

log log p

a a x a p= = - spre exemplu, 6

2 2log 64 log 2 6= = ).



Proprietăţi

Evident că 0, xa x> ∀ ∈ şi loga xa x= ;

- Alte proprietăţi.0 1a = ;

1 x

xa

a

− = ;

1 21 2 .. n n x x x x x xa a a a

+ + +⋅ ⋅ ⋅ = ; x

x y

y

aa

a

−= ;

( ) y

x x ya a

•= ; x

y x ya a= .

- Formula de schimbare a bazei.Formula de trecere dintr-o baza a într-o baza b

este:

a)log

loglog

b

a

b

x x

a= (folosită de regulă când b a< )

saub) log log log

a b a x x b= ⋅ (folosită de regulă când

b a> )

Din a) rezultă că 1

loglog

a

b

ba

= , (formulă ce

inversează baza cu argumentul).- Alte proprietăţi.log 1 0a = ; log x

a a x= ; log 1a a = ;

1 2 1 2log ( ) log log .. loga n a a a n x x x x x x= + + + ;

log log loga a a

x x y

y= − ;

log logn

a a x n x= ;

1log logn

a a x x

n= .

Ecuaţii

Exponen ţiale Logaritmice

Sunt de mai multe forme:

1) Elementare( )

, 0, f xa b b= >

Rezolvare:

- Dacă b a = atunci ( ) f x = şi se rezolvă

această ecuaţie (exemplu: 22 128 x+ =⇒ 2 72 2 2 7 x

x+ = ⇒ + = , deci 5 x = );

- Dacă a c = şi b c = atunci ( ) f xc c = , deunde ( ) f x = şi se rezolvă această ecuaţie

(exemplu: 28 128 x+ = ⇒ 3( 2) 72 2 x+ =

3 6 7 x⇒ + = , deci 1

3

x = );

- Dacă nu se aplică nici una din variantele demai sus atunci logaritmăm şi obţinem:

( )lg lg ( ) lg lg f xa b f x a b= ⇒ = şi deci

lg( )

lg

b f x

a= care se rezolvă (exemplu:

2 3 x = ⇒ lg3lg 2 lg 3

lg 2

x x= ⇒ = ).

Se poate logaritma în baza a şi obţinem:( )log log f x

a aa b= ( ) log loga a f x a b⇒ = şi

deci ( ) loga f x b= care se rezolvă (exemplu:

2 3 x = ⇒ 2 2 2

log 2 log 3 log 3 x x= ⇒ = ).

Pentru rezolvarea ecuaţiilor logaritmice se parcurg următorii paşi.1. Se pun condiţii de exitenţă a logaritmilor:log ( )a f x există ⇔ ( ) 0 f x > şi 0, 1a a> ≠ .

Rezultă de aici un domeniu de existenţă D ,deci x D∈ .2. Se aduc logaritmii în aceiaşi bază.3. Folosind proprietăţile logaritmilor se aduceecuaţia la una din formele:

( )

log ( ) log ( ) de unde ( ) ( )

log ( ) ( ) de unde ( )

a a

g x

a

f x g x f x g x

sau

f x g x f x a

= ⇒ = = ⇒ =4. Se rezolvă ecuaţiile finale de la punctul 3,

rezultând o mulţime de soluţii { }1 2, ,... M x x= .Se intersectează această mulţime cu domeniulde existenţă D , obţinându-se o submulţime 1 M

a lui M , deci 1 M M ⊆ care sunt soluţiile

ecuaţiei date.

Exemple de ecua ii logarirmice .

1) Să se rezolve1

lg( 6) 2 lg(2 3) lg 252

x x

+ − = − −



E cuaţii

Exponenţiale Logaritmice

2) Ecuaţii de forma2 1 x x xa a a b+ ++ + =

Rezolvare:

( )2 1

2 11 1

x x b

a a a b a a a+ + = ⇒ = + + ,ceea ce ne conduce la o ecuaţie de forma 1).3) Ecuaţii de forma

2 0 x xm a n a p⋅ + ⋅ + =

Rezolvare:Se face substituţia x

a t = şi se obţine ecuaţia2 0m t n t p⋅ + ⋅ + = . Pentru soluţiile 0it > se

rezolvă apoi ecuaţiile , 1, 2 x

ia t i= = , ceea ce

evident ne conduce la o ecuaţii de forma 1).

4) Ecuaţii de forma

0 x xm a n b⋅ + ⋅ =

Rezolvare: Deoarece 0 xb > se împarte ecauţia cu xb şise obţine

x x

x

a n a n

m b mb

= − ⇔ = −

.

Dacă 0n

m− > atunci evident că avem de

rezolvat o ecuaţie de forma 1).

5) Ecuaţii de forma2 2 0 x x x x

m a n a b p b⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = Rezolvare:

Deoarece 2 0 xb > se împarte ecauţia cu 2 x

b

şi se obţine2

2

2

0

0

x x

x x

x x

a am n p

b b

a am n pb b

⋅ + ⋅ + = ⇔

⋅ + ⋅ + =

.

ceea ce ne conduce la o ecuaţie de forma 3).

6) Ecuaţii de forma x x x

a b c+ = , unde , ,a b c sunt numere

pitagorice, deci 2 2 2a b c+ = cu ,a b c< . Rezolvare:

Evident că 2 x = este o soluţie a ecuaţiei. Sedemonstrează că 2 x = este soluţia unică a

ecuaţiei:

Rezolvare:

Se pun condiţii6 0 3

,2 3 0 2

x x

x

+ > ⇒ ∈ ∞ − > .

Avem lg( 6) lg100 lg 2 3 lg 25 x x+ − = − − ,deci

6 2 3 6 2 3lg lg

100 25 100 25

x x x x+ − + −= ⇔ = ⇔

( ) ( )2 26 16 2 3 20 84 0 x x x x+ = − ⇔ − + = , de

unde 1

314 ,

2 x

= ∈ ∞

şi 2

36 ,

2 x

= ∈ ∞

sunt

soluţiile ecuaţiei.

2) 5 25 1

5log 2 log log 8 x+ =

Rezolvare: Avem evident 0 x > deci(0, ) x ∈ ∞ . Aducem logaritmii în aceiaşi bază 5:

5 525

5

log loglog

log 25 2

x x x = = şi

5

1 5

55

log 8log 8 log 8

1log

5

= = − şi atunci

ecuaţia devine

5 5 5

1log 2 log log 8

2 x+ = − ⇔

5 5 5log 2 log log 8 0 x+ + = ⇔

( ) 05log 2 8 0 4 2 5 x x⋅ ⋅ = ⇔ = , de unde

1(0, )

32 x = ∈ ∞ este soluţia ecuaţiei.

3) 4

5log log 4

2 x

x + =

Rezolvare:

Pentru ecuaţia 4

5log log 4

2 x x + = se impun

condiţiile 0, 1 x x> ≠ , deci (0, ) {1} x ∈ ∞ − . Cu

notaţia 4log x t = ecuaţia devine 1 5

2t

t + = şi

deci 22 5 2 0t t − + = cu soluţiile 1 2t = şi

2

1

2t = . Deci

4

1log

2 x = şi 4log 2 x = de unde

1 2 (0, ) {1} x = ∈ ∞ − şi 2 16 (0, ) {1} x = ∈ ∞ −sunt soluţii ale ecuaţiei.



1 0

x x

x x x a ba b c

c c

+ = ⇔ + − =

. Funcţia

( ) 1

x xa b

f xc c

= + −

, este o funcţie

descrescătoare ( ,a b c< ) şi (2) 0 f = .

Pentru 2 x < avem ( ) (2) ( ) 0 f x f f x> ⇔ > ,deci ecuaţia nu are soluţii pentru 2 x < .Pentru 2 x > avem ( ) (2) ( ) 0 f x f f x< ⇔ < ,deci ecuaţia nu are soluţii pentru 2 x < .Unica soluţie este deci 2 x = .

7) Ecuaţii de forma

( ) ( )4 15 4 15 62 x x

+ + − =

Rezolvare:

Deoarece ( ) ( )4 15 4 15 1+ − = atunci

14 15

4 15− =

+ şi notând ( )4 15

x

t + =

ecuaţia devine 2162 62 1 0t t t

t + = ⇔ − + = ,

de unde ( )2

1,2 31 8 15 4 15t = ± = ± . De

unde ( ) ( )2

14 15 4 15 2 x

x+ = + ⇒ = şi

( ) ( )2

24 15 4 15 2

x

x+ = − ⇒ = − .

4) ( )22

2 1

2

log 2 log ( 2) 5 x x− − − =

Rezolvare: Avem 2 0 (2, ) x x− > ⇒ ∈ ∞ şi

21 2

22

log ( 2)log ( 2) log ( 2)

1log

2

x x x

−− = = − − şi

( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

22 22

2 2

2 2

2 2

log 2 log 2

2log 2 4 log 2

x x

x x

− = − =

= − = −.

Notând 2log ( 2) x t − = , ecuaţia iniţială devine

24 5 0t t + − = , cu 1 1t = şi

2

5

4t = − . De unde

1

2 1log ( 2) 1 2 2 4 (2, ) x x x− = ⇒ − = ⇒ = ∈ ∞şi

5

42 2 4

5 1log ( 2) 2 2 24 2 2

x x x−− = − ⇒ − = ⇒ = +

care sunt soluţiile ecuaţiei iniţiale.

Inecuaţii

Exponenţiale Logaritmice

Inecuaţiile exponenţiale pot fi sub una dinformele:

( ) ( )( , , ) de unde

( ) ( , , ) ( ) dac

şi

( ) ( , , ) ( ) dac

f x g xa a

f x g x a

f x g x a

< ≤ ≥ > ⇒ < ≤ ≥ > > > ≥ ≤ < < <

saulog ( )( ) ( , , ) ( ), dar ( )

de unde

( ) ( , , ) log ( ) dac

şi

( ) ( , , )log ( ) dac

a g x f x

a

a

a g x g x a

f x g x a

f x g x a

< ≤ ≥ > = ⇒ < ≤ ≥ > >

> ≥ ≤ < < <

Exemple.1) Să se rezolve inecuaţia

4 23 3 3 4 < 0 x x− ⋅ − .

Pentru rezolvarea inecuaţiilor logaritmice se parcurg următorii paşi.1. Se pun condiţii de exitenţă a logaritmilor:log ( )a f x există ⇔ ( ) 0 f x > şi 0, 1a a> ≠ .

Rezultă de aici un domeniu de existenţă D ,deci x D∈ .2. Se aduc logaritmii în aceiaşi bază.

3. Folosind proprietăţile logaritmilor se aduceinecuaţia la una din formele:

log ( ) ( , , ) log ( ) de unde

( ) ( , , ) ( ) dac

şi

( ) ( , , ) ( ) dac

a a f x g x

f x g x a

f x g x a

< ≤ ≥ > ⇒ < ≤ ≥ > > > ≥ ≤ < < <sau

( )

( )

log ( ) ( , , ) ( ) de unde

( ) ( , , ) dac

şi

( ) ( , , ) dac

a

g x

g x

f x g x

f x a a

f x a a

< ≤ ≥ > ⇒

< ≤ ≥ > > > ≥ ≤ < < <



Rezolvare:Notând 23 x

t = , inecuaţia devine2

3 4 < 0t t − − cu soluţia ( )1,4t ∈ − , dar

0t > deci soluţia finală este ( )0,4t ∈ .

Rezultă: ( )23 0,4 x ∈ , deci3log 42 20 3 4 0 3 3 x x< < ⇔ < < adică

32 <2log 2 x deci 3< log 2 x şi deci

3( , log 2) x ∈ −∞ .

2) Să se rezolve inecuaţia

( )23

14

x x x

x x− +

< .

Rezolvare:Din condiţiile de existenţă rezultă

( ) { }0, \ 1 x ∈ ∞ .Dacă ( )0,1 x ∈ atunci inecuaţia devine

23 1

4 2

x x x− +> adică 22 5 2 0 x x− + < sau

( )1 1

, 2 0,1 ,12 2

x ∈ ∩ =

.

Dacă ( )1, x ∈ ∞ atunci inecuaţia devine23 1

4 2

x x x− +< adică 22 5 2 0 x x− + > sau

( )2, x ∈ ∞ . Soluţia inecuaţiei va fi deci

( )1

,1 2,2

x ∈ ∪ ∞

.

3) Inecuaţia21 2 1

32 42 4 8 7 16

x x x

x

++ −

+ + ≤ ⋅ aresoluţia:a) ( )0,1 ; x ∈ b) ( ),1 ; x ∈ −∞ c) { } ; x ∈ ∅

d) [ )1, ; x ∈ +∞ e) ( )1,1 . x ∈ −Rezolvare: Inecuaţia dată este echivalentă cu

1 2 2 12 2 2 7 2 x x x x+ + −+ + ≤ ⋅ , de unde obţinem[ )2 17 2 7 2 2 1 1, . x x

x x x−⋅ ≤ ⋅ ⇔ ≤ − ⇔ ∈ +∞

Răspuns corect d).

4. Se rezolvă inecuaţiile de la punctul 3,obţinându-se o mulţime de soluţii M . Seintersectează această mulţime cu domeniul D ,obţinându-se o submulţime 1 M a lui M , deci

1 M M ⊆ , care este şi soluţia inecuaţiei date.

Exemple.

1) Să se rezolve2

1 7

5

5log log 0

4

x x

x

−< +

Rezolvare:Se impune condiţia

2 2 2

7

5 5 6 4log 0 1

4 4 4

x x x x x x

x x x

− − − −> ⇔ > ⇔ >

+ + +de unde rezultă că

( ) ( )4,3 13 3 13, x ∈ − − ∪ + ∞ .

Inecuaţia2

1 7

5

5log log 04

x x x

− < + se mai poate

scrie2

1 7 1

5 5

5log log log 1

4

x x

x

−< +

de unde

rezultă2

7

5log 1

4

x x

x

−>

+ sau

25

74

x x

x

−>

+ şi prin

urmare2 12 28

04

x x

x

− −>

+ cu soluţia

( ) ( )4, 2 14, x ∈ − − ∪ ∞ care interesectată şi cu

condiţia de existenţă dă ( ) ( )4, 2 14, x ∈ − − ∪ ∞ .

2) Să se rezolve 2

log 0, 0, 13

m

mm m

m

+< > ≠

+

Rezolvare: Deoarece 2

0 13

m

m

+< <

+, pentru ca

logaritmul să fie negativ trebuie ca baza, m, săfie supraunitară, adică 1m > .

Probleme rezolvate.

1) Să se rezolve ecuaţiilea) 2 x+1 - 2 x + 2 x-2 - 2 x-3 = 9,

b) 2 x+1 - 2 x+2 - 2 x+3 = 5 x - 5 x+1,

c) x2

·2

x+1

+ 2

| x-3|+2

= x

2

·2

| x-3|+4

+ 2

x-1

.



Rezolvări.a) Ecuaţia se scrie

3 4 3 3 32 (2 2 2 1) 9 2 9 9 2 1 3 0 x x x x− − −− + − = ⇔ ⋅ = ⇔ = ⇒ − = , de unde 3 x = .b) Ecuaţia se scrie

2 x+1-2 x+2 -2 x+3 = 5 x-5 x+1 ⇔ 2 x·2-2 x·4 -2 x·8 = 5 x-5 x·5 ⇔

2 x(2-4-8) = 5 x(1-5) ⇔ 2 x(-10) = 5 x(-4) ⇔ 2 2 15 5

x

x = ⇒ = .

c) Se trec toţi termenii în partea stângă a ecuaţiei şi se grupează convenabil( x2·2 x+1 -2 x-1)+(2| x-3|+2- x2·2| x-3|+4) = 0.

2 x-1(4 x2-1) +2| x-3|+2(1-4 x2) = 0Se scoate factor comun (4 x2-1):

(4 x2-1)·(2 x-1 -2| x-3|+2) = 0de unde prima ecuaţie

4 x2-1=0are soluţiile

x1 = -1/2 şi x2 = 1/2,iar a doua se rezolvă utilizând proprietăţile modulului:

2 x-1 = 2| x-3|+2 ⇔ x-1 = | x-3|+2 ⇔ x-3 = | x-3| ⇔ x-3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3.Deci x ∈ {± 1 / 2} ∪[3,+∞).

2. Inducţia matematică. Probleme de numărare.

Principiul inducţiei matematice este valabil pentru o proprietate P(n) care depinde denumerele naturale n.

Exemplu:

P(n):

( 1)

1 2 2

n n

n n N

++ + + = ∀ ∈

Modalitatea de demonstrare a unei proprietăţi P(n) prin inducţie este următoarea:

1) Demonstrăm P(n) pentru un n particular. Dacă P(0) sau P(1) sunt adevărate (când P(n)exprimă o divizibilitate) şi dacă P(2) sau P(3) sunt adevărate (când P(n) exprimă osumă, un produs, o inegalitate) atunci:

2) Presupunem că pentru orice număr natural k , P(k ) este adevărată;3) Demonstrăm că P(k +1) este adevărată, folosind faptul că P(0), P(1),…,P(k ) sunt

adevărate4) Atunci putem concluziona că pentru toate numerele naturale n, P(n) este adevărată.

Să aplicăm cele spuse pe exemplul anterior:

1) P(3): Avem 1 2 3 6+ + = şi 3(3 1)

62

+= , deci P(3) este adevărată;

2) Presupunem că P(k ) este adevărată, deci ( 1)

1 22

k k k k N

++ + + = ∀ ∈ ;

3) Demonstrăm că P(k +1) este adevărată. Avem

4) ( 1)

1 2 ( 1) +(k+1)=2

k k k k

++ + + + + =

( 1) 2(k+1) ( 1)( 2)= ,

2 2

k k k k k N

+ + + += ∀ ∈ , deci P(k +1) este adevărată;

5) Rezultă că: ( 1)

1 2 ,2

n nn n N

++ + + = ∀ ∈ , deci P(n) este adevărată.



Sume importante.

1

1

( 1): 1 2 ,

2

n

k

n nS n k n N

=

++ + + = = ∀ ∈∑

2 2 2 2

2

1

( 1)(2 1): 1 2 ,

6

n

k

n n nS n k n N

=

+ ++ + + = = ∀ ∈∑

2

3 3 3 3 2

3 1

1

( 1): 1 2 ( ) ,2

n

k

n nS n k S n N =

+ + + + = = = ∀ ∈ ∑

Modul de calcul al unor sume.a) Sumele al căror termen general este un produs de factori sau o putere se pot calcula

cu ajutorul sumelor 1 2 3,S S S . Se descompune termenul general şi apoi se distribuie suma la

fiecare termen în parte.

Exemple:

1) 2 2

2 1

1 1 1 1

1 2 2 3 ( 1) ( 1) ( )n n n n

k k k k

S n n k k k k k k S S = = = =

= ⋅ + ⋅ + + ⋅ + = + = + = + = + =∑ ∑ ∑ ∑

*

( 1) ( 1)(2 1) ( 1)( 2)+ = ,

2 6 3

n n n n n n n nn N

+ + + + += ∀ ∈ ;

2) 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

1 3 (2 1) (2 1) (4 4 1) 4 4 1n n n n n

k k k k k

S n k k k k k = = = = =

= + + + − = − = − + = − + =∑ ∑ ∑ ∑ ∑

2

2 1 *

( 1)(2 1) ( 1) (4 1)4 4 4 4 + ,

6 2 3

n n n n n n nS S n n n N

+ + + −= − + = − = ∀ ∈ .

b) Sumele al căror termen general este o fracţie se pot calcula descompunândtermenul general în fracţii simple şi apoi sumând.

Exemplu. Fie suma1

1 1 1 1

1 2 2 3 ( 1) ( 1)

n

k

S n n k k =

= + + + =⋅ ⋅ ⋅ + +∑ .

Descompunem termenul general1

( 1)k k + în fracţii simple şi avem:

1 ( 1)

( 1) 1 ( 1)

A B A k Bk

k k k k k k

+ += + = ⇔

+ + +0 1

1 ( 1) 1 ( )1 1

A B B A k Bk A B k A

A A

+ = = − ≡ + + ⇔ ≡ + + ⇔ ⇔

= =

,

deci 1 1 1

( 1) 1k k k k = −

+ + şi atunci

1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 11 1

( 1) 1 2 2 3 1 1 1

n n

k k

nS

k k k k n n n n= =

= = − = − + − + + − = − = + + + + + ∑ ∑ .



3. Analiza combinatorie. Binomul lui Newton.

3.1. Permutări. Aranjamente. Combinări.

Permută ri Defini ţ ie: O mulţime împreună cu o ordine bine determinată de dispunere a

elementelor sale este o mulţ ime ordonat ă şi se notează 1 2{ , , , }na a a. Defini ţ ie: Se numesc permut ări ale unei mulţimi A cu n elemente toate mulţimile

ordonate care se pot forma cu cele n elemente ale lui A.Numărul permutărilor cu n elemente, n ∈ , este notat cu nP şi

1 2 ( 1) !nP n n n= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ = ,

simbolul !n se numeşte factorial de n sau n-factorial, iar 0! 1= (prin definiţie).Factoriale ( propriet ăţ i):• ! ( 1)!n n n= −

• ( 1)!

!1

nn

n

+=

+

Aranjamente

Definiţ ie: Se numesc aranjamente a n elemente luate câte k ( 0 , ,k n n k ≤ ≤ ∈ ) aleunei mulţimi A cu n elemente, toate submulţimile ordonate cu câte k elemente care se potforma din cele n elemente ale mulţimii A. Se notează cu k

n A iar numărul aranjamentelor a n

elemente luate câte k este :

( )sauprodusul are factori

!( 1) ( 1)

!k

n

k

n A n n n k

n k = − − + =

−

Exemplu: Dacă mulţimea A este { , , , } A a b c d = , atunci toate submulţimile de câte 2elemente formate cu elementele mulţimii A sunt

{ }{ , },{ , },{ , },{ , },{ , },{ , },{ , },{ , },{ , },{ , },{ , },{ , }a b b a a c c a a d d a b c c b b d d b c d d c

deci un total de 12 submulţimi, confirmând că 2

4 4 3 12 A = ⋅ = .

Proprietati: !, , !

0!

n n n

n n n n

n A P A A n= = =

Combină ri

Defini ţ ie: Se numesc combinări a n elemente luate cate k ( 0 , ,k n n k ≤ ≤ ∈ ) aleunei multimi A cu n elemente toate submulţimile distincte cu câte k elemente, care se potforma din cele n elemente ale mulţimii A. Se notează cu k

nC . Numarul combinarilor a n

elemente luate cate k este:

( )

! ( 1) ( 1)

! ! 1 2 ( 1)

k

k n

n

k

A n n n n k C

P k n k k k

− − += = =

− ⋅ − ⋅

.

Exemplu: Dacă mulţimea A este { , , , } A a b c d = , atunci toate submulţimile distincte decâte 2 elemente formate cu elementele mulţimii A sunt

{ }{ , },{ , },{ , },{ , },{ , },{ , }a b a c a d b c b d c d

deci un total de 6 submulţimi, ceea ce confirmă că 2

4

4 36

1 2C

⋅= =

⋅.

Remarcă: Se poate o bserva diferenţa dintre aranjamente (care ia în considerare toate

submulţimile ordonate de k elemente) şi combinări (care ia în considerare doar submulţimiledistincte de k elemente)



Propriet ăţ i:• 1

nC n= ; 0 0

0 1n

n nC C C = = = ;

• k n k

n nC C −= (formula combinărilor complementare, eficientă atunci când

2

nk > );

• 1 1

1

k k k

n n nC C C − −

−= + (formula de recurenţă a combinărilor);

• Numărul submulţimilor unei mulţimi cu n elemente este 2n

.

Exerciţii relative la permutări, aranjamente, combinări.

1) Să se rezolve ecuaţia2 10 2

7 28

x

xC C + = ;

Rezolvare: Se impun condiţiile: 27 10 0 x x≥ + ≥ şi x N ∈ de unde 2 7 10 0 x x− + ≤

sau [2,5] x ∈ care intersectat şi cu x N ∈ dă {2,3,4,5} x ∈ . Avîndu-se în vedere şi că2 26

28 28C C = , prin încercări în ecuaţia dată rezultă că soluţia este 4 x = .

2) Care este valoarea lui x pentru care are loc egalitatea1 2 1 254 x

x x xC C C −+ + + =

Rezolvare: Folosind egalitatea 0 1 2 12 x x x

x x x x xC C C C C −+ + + + + = , cu x N ∈ , ecuaţia

dată devine 2 2 254 x − = de unde 2 256 x = şi deci 8 x = .

3) Numerele 349 349 350

1000 999 1000C , C , Cm n p= = = satisfac următoarea relaţie:

a) ; p m n= − b) 1000 p m n= ⋅ + ; c) ; p m n= + d) 1000 999 ; p m n= ⋅ + ⋅ e) 350 349 p m n= ⋅ + ⋅ .

Rezolvare: Relaţia corectă este c) deoarece 350 349 349

1000 1000 999C C C= + (formula de recurenţă).

4) Ştiind că 25

100C x = şi 75

100C y = , care dintre relaţiile următoare este corectă?

a) 3 ; y x= ⋅ b) 3 ; y x= c) ; y x= d) 5 ; y x= e) 5 y x= ⋅ . Rezolvare: Din formula combinărilor complementare rezultă că cele două numere sunt

egale. Răspunsul corect este c).

5) Să se rezolve ecuaţia 3 3

8 65n

n nC A++ +=

Rezolvare: Se impune condiţia: , 3n n∈ ≥ − .

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

8 ! 6 !5 7 8 600

3 !5! 3 !

n nn n

n n

+ += ⇔ + + =

+ +. Conform condiţiei impuse rezultă

numai soluţia 17n = .

6) Valoarea lui n ∈ pentru care 1 23 C 2 C 8n n

⋅ + ⋅ = este:

a) 2;n = b) 16;n = c) 5;n = d) 8;n = e) 4.n =

Rezolvare: Avem( ) ( )

1 2 ! !3 C 2 C 8 3 2 8

1! 1 ! 2! 2 !n n

n n

n n⋅ + ⋅ = ⇔ ⋅ + ⋅ =

⋅ − ⋅ − şi în urma

simplificărilor, obţinem 22 8 0n n+ − = , ecuaţie cu rădăcinile 1 2n = şi

2 4n = − ∉ , deci nu

convine. Rezultă 2.n =



3.2. Binomul lui Newton

Dacă ,a b ∈ şi n ∈ , atunci formula binomului lui Newton este:

0 1 -1 - -1 -1

1

( )n

n n n k n k k n n n n k n k k

n n n n n n

k

a b C a C a b C a b C ab C b C a b−

=

+ = + + + + + + = ∑ şi

0 1 -1 - 1 -1 -1

1

( ) ( 1) ( 1) ( 1)

( 1)

n n n k k n k k n n n n n n

n n n n n

nk k n k k

n

k

a b C a C a b C a b C ab C b

C a b

−

−

=

− = − + + − + + − + − =

= −∑

Se notează cu T k+1, termen general al dezvoltării, 1

k n k k

k nT C a b−

+ = pentru ( )na b+ şi

1 ( 1)k k n k k

k nT C a b−

+ = − pentru ( )na b− iar k se numeşte rangul termenului dezvoltării.

Propri etă i :1) în dezvoltarea ( )n

a b± sunt (n+1) termeni;

2) 0 1 -1, , , , , ,k n n

n n n n nC C C C C se numesc coeficien ţ i binomiali ai dezvoltării; trebuie să

se facă distincţie între coeficientul unui termen al dezvoltării şi coeficientul binomial alaceluiaşi termen.

3) Pentru a determina rangul celui mai mare termen folosim rela ţiile: 1

1 2

k k

k k

T T

T T

+

+ +

≥ ≥

;

4) În dezvoltarea ( )na b+ şi ( )na b− , dacă facem a b= atunci:0 1 -1

2k n n n

n n n n nC C C C C + + + + + + =

şi0 1 2 1 -1

( 1) ( 1) 0n n n n

n n n n nC C C C C −− + − + − + − =

de unde prin adunarea şi respectiv scăderea celor două relaţii se obţine0 2 4 1 3 5 12n

n n n n n n

C C C C C C −

+ + + = + + + =

5) Identităţi utile:1 1 1

1 2 1

k k k k

n n n k C C C C − − −− − −= + + +

0 1 1 0k k k k

n m n m n m n mC C C C C C C −

+ = + + +

Exerci i i .

1). Pentru binomul 2

3

1 n

x x

−

suma coeficienţilor binomiali este 512 . Mulţimea S a

soluţiilor ecuaţiei 7 102

12

84

T x T

x

− ⋅ = (unde 7T şi 10T sunt al şaptelea, respectiv al zecelea

termen al dezvoltării) este:a) { 1,1}S = − ; b) S = ∅ ; c) {2}S = ; d) {1}S = ; e) {6,8}S = .

Rezolvare: Deoarece pentru binomul ( )n

a b+ suma coeficienţilor binomiali este 2n atunci

pentru 2

3

1 n

x x

−

avem 2 512n = , de unde 9n = . Din formula termenului general

1

k n k k

k nT C a b−

+ = , rezultă ( )6

36 2 6 6 4 47 6 1 9 9 23

1 1 9 8 784

1 2 3T T C x C x x x

x x+

⋅ ⋅= = − = ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅

şi

( )

9

09 2 910 9 1 9 9 3 331 1 1T T C x C

x x x+ = = − = − ⋅ = −

. Ecuaţia 7 102

1 284

T x T x

− ⋅ = devine



4

2 3

1 184 2

84 x x

x x

⋅ − ⋅ − =

şi deci ( ) 2

2 4 2 2

2

12 2 1 0 1 0 x x x x

x+ = ⇔ − + = ⇔ − = de unde

1,2 1 x = ± , deci răspunsul corect este a).

2). Coeficienţii binomiali ai termenilor de rang doi, trei şi patru din dezvoltarea

( )5lg(10 3 ) ( 2) lg 32 2

xn

x− −+ sunt respectiv primul, al treilea şi al cincilea termen ai unei progresii

aritmetice. Mulţimea S a valorilor lui x pentru care al şaselea termen al dezvoltării este egalcu 21este:a) {1}S = ; b) {3,9}S = ; c) {0, 2}S = ; d) {2,5}S = ; e) { }16S = .

Rezolvare: Coeficienţii binomiali ai termenilor de rang doi, trei şi patru din dezvoltarea

( )5lg(10 3 ) ( 2) lg 32 2 x

n x− −+ sunt 1 2 3, ,

n n nC C C şi deoarece aceştia sunt respectiv primul, al treilea şi

al cincilea termen ai unei progresii aritmetice rezultă că1 3

2

2n n

n

C C C

+= şi deci 1 3 22

n n nC C C + = .

De aici rezultă că 2( 1)( 2) ( 1)2 ( 9 14) 0

6 2

n n n n nn n n n− − −+ = ⇔ − + = cu soluţiile 1 0n = ,

2 2n = şi 3 7n = . Soluţia care convine este 7n = . Din egalitatea 6 21T = rezultă

( ) ( )2 5

55 lg(10 3 ) ( 2) lg 3 lg(10 3 ) ( 2) lg 37 2 2 21 21 2 2 21

x x x xC

− − − −⋅ = ⇔ ⋅ ⋅ = deci

lg(10 3 ) ( 2) lg 3 ( 2) ( 2)2 1 lg(10 3 ) lg3 0 lg(10 3 )3 0 x

x x x x x− + − − −= ⇔ − + = ⇔ − = 2(10 3 )3 1 x x−⇔ − = . Cu

notaţia 3 xt = ultima ecuaţie devine 2(10 )

1 10 9 09

t t t t

− ⋅= ⇔ − + = cu soluţiile 1 1t = şi

2 9t = . De aici rezultă 3 1 x = şi 3 9 x = de unde 1 0 x = şi 2 2 x = , deci răspunsul corect este

c).

3). Fie dezvoltarea ln 1 n

x x x

+

. Determinaţi valoarea lui x ştiind că suma coeficienţilor

binomiali ai dezvoltării este 128, iar termenul al şaselea al dezvoltării este egal cu4

21

e( unde

e este baza logaritmilor naturali).a) 2

1 23e, e x x= = ; b) 31 22e, e x x= = ; c) 1 3

1 22e , e x x− −= = ; d) 21 23e, e x x −= = ; e) 4

1 2e, e x x= = .

Rezolvare: Ştim că suma coeficienţilor binomiali ai dezvoltării ln 1 n

x x

x

+

este egală cu 2n .

Dar din egalitatea 72 128 2n = = rezultă 7n = . Din expresia termenului general

1

k n k k

k nT C a b−

+ = rezultă că ( )5

25 ln

5 1 7 4

1 21

e

xT C x

x+

= =

. Atunci ln 5 4e x x − −= şi prin

logaritmare 4

1 2e, e x x= = .

4). Fie dezvoltarea4

1 n

x x x

+

. Dacă diferenţa dintre coeficientul termenului al treilea al

dezvoltării şi coeficientul termenului al doilea al dezvoltării este egală cu 44 atunci termenul

din această dezvoltare care nu-l conţine pe x este egal cu:a) 4

11C ; b) 4

13C ; c) 170 ; d) 3

11C ; e) 3

12C .



Rezolvare: Din expresia termenului general 1

k n k k

k nT C a b−

+ = şi relaţia din enunţ rezultă2 1 44n nC C = + , adică 2

88 0n n− − = , ecuaţie ce are soluţia pozitivă 11n = . Atunci

( )( )3 11

11 42

1 11 114

1 k k

k k k k

k T C x x C x

x

−− −

+ = =

va fi termenul general al dezvoltării iar termenul

care nu-l conţine pe x va fi termenul pentru care 3k = şi va fi egal cu 3

4 11

T C = .

5). Fie dezvoltarea2012

3

12 2

3

+

. Numărul termenilor iraţionali din această dezvoltare

este egal cu:a) 1845 ; b) 1844 ; c) 2000 ; d) 167; e) 1989.

Rezolvare: Din expresia termenului general 1

k n k k

k nT C a b−

+ = rezultă că( )3 2012

341 2012 2 3

k k

k

k T C

− −

+ = . Pentru ca un astfel de termen să fie raţional trebuie ca puterile

( )3 2012

,4 3

k k − − să fie întregi, adică pentru k se pune condiţia să fie multiplu de 12, deoarece

numerele 3 şi 4 sunt prime între ele. În mulţimea numerelor întregi de la 0 la 2012 avem167+1 multipli de 12 şi deci în dezvoltarea considerată avem 168 de termeni raţionali.Deoarece dezvoltarea are 2013 termeni rezultă că dintre ei termeni iraţionali sunt 1845.

6). Numărul termenilor raţionali ai dezvoltării ( )100

42 3+ este:

a) 24; b) 26; c) 0; d) 25; e) 1.

Rezolvare: Termenul general este100

502 4 2 41 100 100C 2 3 C 2 2 3

k k k k

k k

k T − −

+ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ∈ , implică

4 ,k n n= ∈ deci [ ]0,25n ∈ . Rezultă că numărul termenilor raţionali este 26. Răspunscorect b).

7). În dezvoltarea6

32 , 0 x x

x

⋅ + >

, termenul independent de x are valoarea:

a) 2160; b) 2159; c) 2162; d) 2161; e) nu există.

Rezolvare: ( )6

66 2

1 6 6

3C 2 C 2 3

k k k k

k k k k

k T x x

x

−− −−+

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

. Pentru ca termenul să fie

independent de x, trebuie ca

6

0 22

k

k k

−

− = ⇔ = . Obţinem astfel,

2 4 2

3 6C 2 3 2160.T = ⋅ ⋅ =Răspuns corect a).

8). În dezvoltarea ( )49

23 x y+ , termenul 1k T + care îi conţine pe x şi y la aceeaşi putere este:

a) 28 ;T b)

23 ;T c) 22 ;T d)

29 ;T e) 30 .T

Rezolvare:( )2 49

3 21 49C

k k

k

k T x y

−

+ = ⋅ ⋅ . Punând condiţia ca x şi y să aibă aceeaşi putere, obţinem

( )2 49

283 2

k k k

−= ⇒ = , deci 29 .T Răspuns corect d).



4. Progresii

4.1 Funcţii definite pe mulţimea numerelor naturale (şiruri de numere reale).

Modalităţi de a definii un şir .Fie f o funcţie definită pe mulţimea numerelor naturale cu valori în mulţimea

numerelor reale , deci : f → . O astfel de funcţie se numeşte şir de numere reale şi înloc de notaţia specifică funcţiilor ( ) f n = expresie aritmetică se foloseşte notaţia

na = expresie arit metică sau

nb = expresie arit metică, etc.

Spre exemplu, 2

3 1n

na

n=

+, oricare ar fi n ∈ , este un şir de numere reale.

na se

numeşte termenul general al şirului şi prin atribuirea de valori lui n ∈ se obţin termenii

şirului: 1

2 1

3 1 2a = =

+, 2

2 2 4

3 2 1 7a

⋅= =

⋅ +, ....., etc.

Şiruri mărginite.

Un şir na este mărginit dacă există , ∈ , astfel încât ,n

a n ≤ ≤ ∀ ∈ sau

na este mărginit dacă există , 0 p p∈ > , astfel încât ,na p n≤ ∀ ∈ . Dacă

,na n ≤ ∀ ∈ , atunci

na este mărginit superior iar dacă ,n

a n ≤ ∀ ∈ , atunci na este

mărginit inferior.

Spre exemplu şirul 2

3 1n

na

n=

+ este mărginit, deoarece 0 1,na n≤ ≤ ∀ ∈ .

Ş iruri monotone.Un şir

na este cre scător (respectiv strict crescător ) dacă 1 ,n n

a a n+≤ ∀ ∈ (respectiv

1 ,n na a n+< ∀ ∈ ).

Şirul na este descre scător (respectiv strict descrescător ) dacă 1 ,n na a n+≥ ∀ ∈

(respectiv 1,n na a n+> ∀ ∈ ).

Observaţie. Monotonia unui şir na se poate studia în felul următor: Se studiază

semnul expresiei 1n n E a a+= − şi dacă 0 E ≤ (respectiv 0 E < ) atunci

na este descrescătoar

(respectiv strict descrescătoar ) iar dacă 0 E ≥ (respectiv 0 E > ) atunci na este crescătoar

(respectiv strict crescătoar ).

Monotonia unui şirului na se mai poate studia făcând raportul 1n

n

a E

a

+= şi dacă

1 E ≤ (respectiv 1 E < ) atunci na este descrescătoar (respectiv strict descrescătoar ) iar dacă1 E ≥ (respectiv 1 E > ) atunci

na este crescătoar (respectiv strict crescătoar ).



4.2 Progresii aritmetice, progresii geometrice.

Un caz particular de şiruri de numere reale sunt progresiile (aritmetice şi geometrice).Iată cîteva din proprietăţile importante ale acestora.

Progresii aritmetice Progresii geometrice

Definiţie

Un şir de numere reale 1 2, , , na a a formează

o progresie aritmetică dacă 1k k a a r + = + ,

oricare ar fi k N ∈ , unde 0,r r ≠ ∈ senumeşte raţia progresiei.Termenul general al progresiei se notează cu

na şi avem 1 *,

n na a r n N −= + ∀ ∈ sau ţinând

seama de definiţia progresiei aritmetice avem

1 *( 1) ,n

a a n r n N = + − ⋅ ∀ ∈ .

Un şir de numere reale 1 2, , , na a a formează

o progresie geometrică dacă 1k k a a q+ = ⋅ ,

oricare ar fi k N ∈ , unde 0, 1,q q q≠ ≠ ∈

se numeşte raţia progresiei.Termenul general al progresiei se notează cu

na şi avem 1 *,

n na a q n N −= ⋅ ∀ ∈ sau ţinând

seama de definiţia progresiei geometriceavem 1

1 *,n

na a q n N −= ⋅ ∀ ∈ .

Monotonia

Progresia aritmetică 1 2, , , na a a este

crescătoare dacă 0r > şi descrescătoare

dacă 0r < .

Progresia geometrică 1 2, , , na a a este

crescătoare dacă 1q > , descrescătoare dacă0 1q< < şi alternantă dacă 0q < .

Proprietate

Trei termeni consecutivi 1 1, ,n n na a a− + ai unei

progresii aritmetice au proprietatea că

1 1

*,

2

n n

n

a aa n− ++

= ∀ ∈ . Proprietatea se

poate generaliza în sensul că trei termeni, ,n i n n i

a a a− + ai unei progresii aritmetice au

proprietatea că *,2

n i n i

n

a aa n− ++

= ∀ ∈ . Şi

mai general un termen na este media

aritmetică a oricărui grup de termeni din progresie care sunt dispuşi simetric faţă de

na . Spre exemplu

2 2

*,4

n i n i n i n i

n

a a a aa n− − + ++ + +

= ∀ ∈

În concluzie, condiţia ca şirul 1 2, , , na a a să

formeze o progresie aritmetică este ca1 1

*,2

n n

n

a aa n− ++

= ∀ ∈ .

Trei termeni consecutivi 1 1, ,n n na a a− + ai unei

progresii geometrice au proprietatea că2

1 1 *( ) ,

n n na a a n− += ⋅ ∀ ∈ . Proprietatea se

poate generaliza în sensul că trei termeni, ,n i n n ia a a− + ai unei progresii geometrice au

proprietatea că 2

*( ) ,n n i n ia a a n− += ⋅ ∀ ∈ . Şimai general un termen

na este media

geometrică a oricărui grup de termeni din progresie care sunt dispuşi simetric faţă de

na . Spre exemplu4

2 2 *( ) ,n n i n i n i n ia a a a a n− − + += ⋅ ⋅ ⋅ ∀ ∈

În concluzie, condiţia ca şirul 1 2, , , na a a să

formeze o progresie geometrică este ca2

1 1 *( ) ,n n na a a n− += ⋅ ∀ ∈ .

Suma progresiei

Suma progresiei aritmetice 1 2, , , na a a este

1

1 2

( )

2

n

n n

a a nS a a a

+ ⋅= + + + = . sau

1[2 ( 1) ]

2n

a n r nS

+ − ⋅ ⋅= = 2 12

2 2

a r r n n

−= ⋅ + ⋅

Obs. Pentru 0r ≠ rezultă că suma unei progresiiaritmetice nS este un polinom de gradul 2 în n ,

fără termen liber şi fără n (dacă 12r a= ).

Suma progresiei geometrice 1 2, , , na a a este

1

1 2 *,1

n

n n

a q aS a a a n

q

⋅ −= + + + = ∀ ∈

− .

Suma se mai poate exprima (ţinând seama dedefiniţia termenului general) şi sub forma

1 *1,1

n

n qS a nq

−= ∈− .



Exerci ţii.

1) Soluţia ecuaţiei ( 1) ( 4) ( 7) ( 28) 155 x x x x+ + + + + + + + = este:a) 1 x = ; b) 1 x = − ; c) 27 x = ; d) 100 x = ; e) 55 x = .

Rezolvare: Termenii 1, 4, 7,..., 28 x x x x+ + + + sunt termenii unei progresii aritmetice

cu raţia 3r = . Din formula termenului general 1 ( 1)n

a a n r = + − rezultă

28 1 ( 1) 3 x x n+ = + + − ⋅ şi deci 10n = . Suma progresiei este

1( ) ( 1 28) 10

(2 29) 52 2

n

n

a a n x xS x

+ ⋅ + + + ⋅= = = + ⋅ de unde (2 29) 5 155 x + ⋅ = şi deci

1 x = , răspunsul corect fiind a).

2) Cea mai mare valoare a numărului n ∈ pentru care expresia 1 3 9 27 ... 3n E = + + + + +este mai mică decât 1000 este:a) 3;n = b) 5;n = c) 100;n = d) 10;n = e) 20n = .

Rezolvare: Folosind formula de calcul a sumei progresiei geometrice cu raţia 3, obţinem

( )1

3 13 1

n

E n+

−= − . Deoarece ( )5 364 E = şi ( )6 1093 E = , rezultă că 5.n = Răspunsul corect

este b).

3) Dacă şirul ( )1n n

x≥

este o progresie aritmetică cu 1 1 x = şi 4 2 x = , atunci 100 x este:

a) 30 ; b) 31 ; c) 32 ; d) 33 ; e) 34.

Rezolvare: Din condiţiile date rezultă că raţia progresiei este 1

3r = deci 100 1 99 34 x x r = + = .

Deci răspuns corect e).

4) Fie ( )n na ∈ o progresie aritmetică în care termenul al nouălea şi al unsprezecelea sunt,respectiv, cea mai mică şi cea mai mare rădăcină a ecuaţiei

( )2 21 1lg 2 lg 4 5 lg 4 5 1

2 2 x x x x + + + = − + + . Atunci suma primilor 20 de termeni ai

progresiei este egală cu:

a) 15; b) 22; c) 40; d) 30; e)18. Rezolvare: Observăm că ecuaţia este definită pentru orice x real şi folosind proprietăţilelogaritmilor precum şi faptul că funcţia logaritm este injectivă obţinem ecuaţia

2 6 5 0 x x− + = care are soluţiile 1 21, 5 x x= = . Dacă în progresia aritmetică 9 5a = şi 11 1a =

atunci raţia progresiei este 2r = − iar 1 21a = şi 20 17a = − . Atunci suma primilor 20 determeni ai progresiei este egală cu

( )( )

1 20 20

21 17 10 402

a a+= − ⋅ = .

5) Se consideră şirul de numere reale ( )1n n

a≥

, cu termenii progresie aritmetică şi în care

1 1a = şi 5 13.a = Atunci, valoarea lui 2009a este:

a) 6013; b) 6026; c) 6024; d) 6022; e) 6025.

Rezolvare: 1 2 1 3 1 4 1 5 11, , 2 , 3 , 4 13a a a r a a r a a r a a r = = + = + = + = + = deci raţia

progresiei aritmetice este 3.r = Rezultă 2009 1 2008 1 6024 6025.a a r = + ⋅ = + = Răspuns

corect e).

Algebra Clasa X-A

Documents

Transcript of Algebra Clasa X-A