1

SINTEZĂ – ALGEBRĂ ANUL II, SEMESTRUL II

Cuprins

Capitolul 1. ProprietăŃi aritmetice ale inelelor.........................................................................2 1.1 Divizibilitate. Asociere în divizibilitate .........................................................................2 1.2 Cmmdc (cel mai mare divizor comun), cmmmc (cel mai mic multiplu comun) .............2 1.3 Elemente prime, elemente ireductibile ..........................................................................3

Capitolul 2. Inele euclidiene, principale, factoriale .................................................................4

2.1 Inele euclidiene.............................................................................................................4 2.2 Inele principale .............................................................................................................4 2.3 Inele factoriale ..............................................................................................................4

Capitolul 3. Factorialitatea inelelor de polinoame. Criterii de ireductibilitate pentru

polinoame ...........................................................................................................5 3.1 Teoremă (Gauss)...........................................................................................................5 3.2 Criterii de ireductibilitate pentru polinoame ..................................................................5

Capitolul 4. Corpuri şi extinderi de corpuri .............................................................................6

4.1 Extindere de corpuri. Extindere finită. Extindere finit generată. ....................................6 4.2 Elemente algebrice. Extinderi algebrice. .......................................................................6 4.3 Închiderea algebrică a unui corp....................................................................................7

4.3.1 Teorema fundamentală a algebrei (teorema lui d’Alembert). ..................................7 Capitolul 5. Corpuri finite.......................................................................................................8

5.1 Grupul lui Galois ..........................................................................................................8 5.2 Corpuri finite ................................................................................................................8 5.3 Teorema lui Wedderburn. .............................................................................................8 5.4 ExistenŃa şi unicitatea corpurilor finite ..........................................................................9 5.5 Extinderi simple............................................................................................................9 5.6 Extinderi normale .........................................................................................................9 5.7 Extinderi algebrice separabile .......................................................................................9 5.8 Corp de descompunere al unui polinom ......................................................................10 5.9 Teorema fundamentală a teoriei lui Galois ..................................................................10 5.10 Caracterizarea ecuaŃiilor rezolubile prin radicali........................................................10

Bibliografie …………………………………………………………………………………...11

2

Capitolul 1. Propriet ăŃi aritmetice ale inelelor

1.1 Divizibilitate. Asociere în divizibilitate NotaŃie. Fie A un inel comutativ cu unitate, care este domeniu de integritate, iar U(A) mulŃimea elementelor inversabile (care formează grup abelian, numit grupul unităŃilor lui A)

DefiniŃie. a ∈ A divide b ∈ A (sau a este divizor al lui b) şi se notează a | b dacă există c ∈ A astfel încât b = ac.

NotaŃie. Aa sau (a) este idealul principal generat de a ∈ A, adica Aa ={λa | λ ∈ A}

ProprietăŃi ale relaŃiei de divizibilitate. 1) a | b ⇔ Ab ⊂ Aa, ∀a,b ∈ A 2) a | a, ∀ a ∈ A 3) a b, b c ⇒ a c, ∀ a,b,c ∈ A 4) Dacă a bi, i = 1,2,...,n, atunci a c1b1 + c2b2 + … + cnbn, ∀ ci ∈ A, i = 1,2,...,n 5) a b şi b a ⇔ ∃ u ∈ U(A) astfel încât b = ua

Obs. Proprietatea 2 arată că relaŃia de divizibilitate este reflexivă, iar proprietatea 3 că

este tranzitivă. RelaŃia de divizibilitate nu este simetrică (2 divide 4, dar 4 nu divide 2 în Z), nici antisimetrică (2 divide -2, -2 divide 2, dar 2 ≠ -2 în Z). Proprietatea 5 ne permite să definim o relaŃie binară pe A:

DefiniŃie. a,b ∈ A sunt asociate în divizibilitate şi se notează a ∼ b dacă a b şi b a ProprietăŃi ale relaŃiei de asociere în divizibilitate

1) a ∼ b ⇔ Aa = Ab 2) ∼ este o relaŃie de echivalenŃă 3) a ∼ 1 ⇔ a ∈ U(A) ⇔ Aa = A

1.2 Cmmdc (cel mai mare divizor comun), cmmmc (cel mai mic multiplu comun) DefiniŃie. Dacă a,b ∈ A, d ∈ A se numeşte cmmdc şi se notează (a,b) dacă:

i. d a, d b ii. dacă d’ a şi d’ b, atunci d’ d

Obs. Dacă există d1 şi d2 din A cu proprietăŃile de mai sus, atunci ele sunt asociate în divizibilitate, prin urmare (a,b) desemnează un cel mai mare divizor comun al lui a şi b (adică cel mai mare divizor comun al lui 4 şi 6 este 2, pentru că 2 şi -2 sunt asociate în divizibilitate)

DefiniŃie. a şi b din A se numesc prime între ele dacă (a,b) = 1

ProprietăŃi ale cmmdc. Fie A un domeniu de integritate cu proprietatea că pentru oricare două elemente există un cmmdc. Atunci :

1) (a,b) = a ⇔ a b 2) (a,0) = a 3) Dacă (a,b) = d, a ≠ 0, b ≠ 0 şi scriem a = da’, b = db’, atunci (a’,b’) = 1 4) (ac,bc) = c(a,b) 5) (a,(b,c)) = ((a,b),c)

3

DefiniŃie. Dacă a,b ∈ A, m ∈ A se numeşte cmmmc şi se notează [a,b] dacă: i. a m, b m ii. dacă a m’ şi b m’, atunci m m’

Obs. Cmmmc este unic, abstracŃie făcând de o multiplicare cu un element inversabil

(ca la cmmdc). Teoremă. Fie A un domeniu de integritate. AfirmaŃiile de mai jos sunt echivalente : 1) ∀ a,b ∈ A, există (a,b) 2) ∀ a,b ∈ A, există [a,b] 3) intersecŃia oricăror ideale principale este un ideal principal.

În plus, dacă este adevărată o afirmaŃie, avem relaŃia: (a,b)[a,b] = ab

1.3 Elemente prime, elemente ireductibile DefiniŃie. Fie A un domeniu de integritate. p ∈ A este prim dacă :

a) p ≠ 0 şi p ∉ U(A) b) dacă p ab, atunci p a sau p b

DefiniŃie. Fie A un domeniu de integritate. q ∈ A este ireductibil dacă : a) q ≠ 0 şi p ∉ U(A) b) dacă q = ab, atunci a sau b este inversabil (adică aparŃine lui U(A))

Obs. Un element asociat în divizibilitate cu un element prim (ireductibil) e prim

(ireductibil). Teoremă. Fie A un domeniu de integritate şi p,q ∈ A nenule. Atunci sunt adevărate

afirmaŃiile : 1) p prim ⇔ idealul principal (p) e prim 2) q ireductibil ⇔ (q) este maximal în mulŃimea tuturor idealelor principale şi proprii

ale lui A 3) orice element prim este ireductibil 4) dacă în A, oricare două elemente au cmmdc, atunci orice element ireductibil este

prim

Exemple. 1) În Z[i 5 ], elementele 2, 3, 1+i5 , 1-i 5 sunt ireductibile dar nu sunt prime. 2) Fie K corp şi K[X] inelul polinoamelor într-o nedeterminată cu coeficienŃi în

corpul K. Orice polinom de gradul 1 din K[X] este ireductibil.

3) În Z[i 5 ], elementele 6 şi 2(1+i 5 ) nu au cmmdc. JustificaŃi singuri. 4) În Z[i], 7+12i este prim, deci şi ireductibil 5) În inelul polinoamelor în două nedeterminate cu coeficienŃi în mulŃimea numerelor

raŃionale Q[X,Y], polinomul X2+Y2 este ireductibil

4

Capitolul 2. Inele euclidiene, principale, factoria le

2.1 Inele euclidiene DefiniŃie. Un inel integru A, împreună cu o funcŃie f : A-{0} → N (unde N este

mulŃimea numerelor naturale) este inel euclidian dacă : 1) ∀ a,b ∈ A – {0}, cu a b ⇒ f(a) ≤ f(b) 2) ∀ a,b ∈ A, cu b ≠ 0 ⇒ ∃ q, r ∈ A astfel încât a = bq + r, unde r = 0 sau f(r) < f(b)

Exemple. 1) (Z,+,*) este inel euclidian, considerându-se f(n) = n 2) Dacă K este corp, atunci K este inel euclidian, luându-se f(a) = 1, ∀ a ∈ K 3) Dacă K este corp, K[X] inelul poilnoamelor într-o nedeterminată, atunci K[X]

este inel euclidian, considerându-se f(g) = grad(g), ∀ g ∈ K[X]

2.2 Inele principale DefiniŃie. Un inel integru A este inel principal dacă orice ideal al său este principal.

PropoziŃie. Orice inel euclidian este principal.

Obs. Reciproca nu este adevărată (de exemplu, inelul

+2

191 iZ

PropoziŃie. Într-un inel euclidian, orice două elemente au un cmmdc.(care se calculează cu algoritmul lui Euclid)

PropoziŃie. Într-un inel principal A există (a,b) şi [a,b], ∀ a,b ∈ A.

Corolar . Într-un inel euclidian, orice element ireductibil este prim.

PropoziŃie. Fie A un inel integru care nu este corp. Atunci inelul polinoamelor într-o nedeterminată A[X] nu este inel principal.

Teoremă. Într-un inel principal orice element nenul şi neinversabil se descompune în produs finit de elemente prime.

2.3 Inele factoriale DefiniŃie. Un inel integru A este inel factorial sau cu descompunere unică în factori primi (ireductibili) dacă orice element neinversabil şi nenul din A se descompune într-un produs finit de elemente prime.

Teoremă. Fie A un inel integru. Următoarele afirmaŃii sunt echivalente: 1) A este inel factorial 2) Orice element nenul şi neinversabil din A se descompune în produs finit de

elemente ireductibile şi orice element ireductibil este prim. 3) Orice element nenul şi neinversabil din A se descompune în produs finit de

elemente ireductibile şi două astfel de descompuneri sunt unice, în afară de ordinea factorilor de asociere

4) Orice element nenul şi neinversabil din A este produs finit de elemente ireductibile şi orice două elemente din A au un cel mai mare divizor comun.

Corolar . Într-un inel factorial orice element ireductibil este prim.

5

Capitolul 3. Factorialitatea inelelor de polinoame. Criterii de ireductibilitate pentru polinoame

3.1 Teorem ă (Gauss). Dacă A este un inel factorial, atunci A[X] este un inel factorial.

DefiniŃie. Fie A un inel integru şi f ∈ A[X]. f este un polinom primitiv dacă coeficienŃii lui f nu se divid cu acelaşi element prim din A

Obs. Produsul a două polinoame primitive este un polinom primitiv.

Lemă. Fie A un inel factorial şi f ∈ A[X] cu grad f ≥ 1. Atunci următoarele afirmaŃii sunt echivalente:

1) F este ireductibil în A[X]; 2) F este primitiv şi reductibil în K[X], unde K este corpul de fracŃii al lui A.

Lemă. Dacă A este inel factorial, orice polinom ireductibil din A[X] este prim.

Lemă. Orice inel de polinoame de n nedetrminate cu coeficienŃi într-un corp este inel factorial.

3.2 Criterii de ireductibilitate pentru polinoame

Criteriul lui Eisenstein . Fie A un inel factorial, K corpul său de fracŃii, ∑=

=n

i

ii Xaf

0

un polinom de grad n >1 din A[X] şi p un element prim în A cu proprietăŃile: an ≡ 0 (mod p), ai ≡ 0 (mod p) pentru i < n şi a0 ≡ 0 (mod p2). Atunci f este polinom ireductibil în K[X]. Criteriul reducerii. Fie u : A → un morfism de inele integre cu A inel factorial, K corpul de fracŃii al lui A şi L corpul de fracŃii al lui B. Notăm cu u’ morfismul A[X] → B[X], cu proprietatea că u’(X) = X şi care extinde pe u. Atunci dacă f ∈ A[X] este astfel încât u’(f) este ireductibil în L[X], iar grad(f) = grad(u’), rezultă că f este ireductibil în K[X]. Dacă este primitiv, atunci este ireductibil în A[X].

Exemple.

1) Polinomul X5 + 15X4 + 20X3 – 40X + 35 este ireductibil în Q[X] (folosind direct criteriul lui Eisenstein)

2) Fie p un număr prim. Atunci polinomul f = 1 + X + ... + Xp-1 este ireductibil în Q[X] (indicaŃie: se arată că f(X+1) este ireductibil)

3) Fie p un număr prim şi a ∈ Z cu (a,p) = 1. Atunci polinomul Xp – X + a∈Q[X] este ireductibil

6

Capitolul 4. Corpuri şi extinderi de corpuri Obs. Considerăm în acest capitol corpurile despre care discutăm ca fiind subcorpuri ale corpului numerelor complexe C, pentru o mai bună înŃelegere a noŃiunilor.

4.1 Extindere de corpuri. Extindere finit ă. Extindere finit generat ă. DefiniŃie. Dacă K şi E sunt două corpuri astfel încât K este un subcorp al lui E, se spune că E este o extindere a lui K şi se notează K ⊂ E. DefiniŃie. O extindere E a corpului K se numeşte finit ă dacă există în corpul E un număr finit de elemente α1, α2, ..., αn, astfel încât orice element b ∈ E se scrie în mod unic sub forma unei combinaŃii liniare de aceste elemente:

b = a1α1 + a2α2 + ... + anαn, unde a1, a2, ..., an ∈ E

DefiniŃie. Un sistem de n astfel de elemente liniar independente peste K şi care generează E se numeşte bază. Numărul elementelor dintr-o bază se notează cu [E : K].

PropoziŃie. Fie E o extindere finită a lui K şi F o extindere finită a lui E. Atunci F este o extindere finită a lui K şi în plus [F : K] = [F : E] [E : K]

DefiniŃie. Fie K un corp şi α1, α2, ..., αn numere complexe arbitrare.Considerăm toate corpurile care sunt extinderi ale lui K şi care conŃin numerele α1, α2, ..., αn. IntersecŃia tuturor acestor corpuri este un corp, se numeşte extinderea generată de numerele α1, α2, ..., αn şi se notează cu K(α1, α2, ..., αn). Oextindere E a lui K se spune finit generată dacă există elementele α1, α2, ..., αn astfel încât E = K(α1, α2, ..., αn).

Notăm cu K[α1, α2, ..., αn] = {x ∈ C există f ∈ K[X 1, X2, ..., Xn, x = f(α1, α2, ..., αn)}. Se observă că K[α1, α2, ..., αn] ⊆ K(α1, α2, ..., αn).

4.2 Elemente algebrice. Extinderi algebrice. DefiniŃie. Un număr complex α se zice algebric peste corpul K dacă există un polinom nenul f ∈ K[X] astfel încât f(α) = 0. Un număr complex care nu este algebric peste K se numeşte transcendent peste corpul K. Dacă K = Q, atunci numărul α se numeşte număr algebric, respectiv număr transcendent.

DefiniŃie. Polinomul unitar nenul f ∈ K[X], de grad cel mai mic, astfel încât f(α) = 0 se numeşte polinom minimal al lui α.

Obs. Dacă g ∈ K[X] este un alt polinom astfel încât g(α) = 0, atunci se deduce uşor, din formula împărŃirii cu rest, că f divide pe g. Obs. Polinomul minimal este ireductibil.

DefiniŃie. O extindere E a lui K se numeşte algebrică dacă orice element al lui E este algebric peste K.

Exemple. 1) Numărul 2 este algebric peste corpul Q, fiind rădăcina polinomului X2-2∈Q[X],

care este şi polinomul său minimal. 2) Corpul numerelor complexe C este o extindere algebrică a corpului numerelor

reale R. GăsiŃi polinomul minimal al oricărui număr complex de forma z = a + ib!

3) Numărul 2 + 3 este algebric peste corpul Q, fiind rădăcina unui polinom de gradul 4. Care este acesta ?

7

PropoziŃie. Dacă E este o extindere algebrică finită a lui K, atunci E este algebrică peste K.

PropoziŃie. Fie K corp şi α un număr complex algebric peste K. Atunci K(α) este o

extindere finită a lui K şi [K(α) : K] este egal cu gradul polinomului minimal al lui α.. În plus, K(α) = K[α].

Corolar . Dacă E este o extindere algebrică şi finit generată a lui K, atunci E este o extindere finită a lui K.

Corolar . Dacă E este o extindere algebrică a lui K şi F este o extindere algebrică a lui E, atunci F este o extindere algebrică a lui K

4.3 Închiderea algebric ă a unui corp Corolar . Fie K un corp. Dacă

}lg{ KpesteebricaEK αα ∈=

atunci K este un subcorp al lui E.

DefiniŃie. Corpul K se numeşte închiderea algebrică a lui K în C Teoremă. Fie K un corp. Următoarele afirmaŃii sunt echivalente :

a) K este algebric închis ; b) Orice polinom de grad ≥ 1 din K[X] are o rădăcină în K; c) Orice polinom de grad ≥ 1 din K[X] are toate rădăcinile în K ; d) Orice polinom de grad ≥ 1 din K[X] se descompune în produs finit de factori

liniari ; e) Singurele polinoame ireductibile din K[X] sunt cele de grad 1.

Exemple. 1) Corpul numerelor raŃionale Q nu este algebric închis pentru că polinomul X2+1 ∈

Q[X] este ireductibil şi nu este de gradul 1 2) Corpul numerelor reale nu este algebric închis, deoarece acelaşi polinom de mai sus,

ca polinom din R[X], este ireductibil. PropoziŃie. Un corp finit nu este algebric închis.

4.3.1 Teorema fundamental ă a algebrei (teorema lui d’Alembert). Teoremă.Corpul numerelor complexe este algebric închis

PropoziŃie. Orice corp K are o extindere E care este corp algebric închis.

8

Capitolul 5. Corpuri finite

5.1 Grupul lui Galois DefiniŃie. Fie E un corp. Notăm cu Aut(E) mulŃimea tuturor automorfismelor (unitare) de inel ale lui E. Aut(E) este o submulŃime nevidă a grupului S(E) al tuturor permutărilor mulŃimii E. Fie K un subcorp al lui E. Notăm cu G(E/K) mulŃimea acelor elemente σ∈Aut(E) care au proprietatea că σ(a) = a, ∀a ∈ K. G(E/K) este un subgrup al lui Aut(E) şi se numeşte grupul lui Galois al extinderii E a lui K.

Exemplu. Fie Q(i 2 ) extinderea lui Q. Grupul G(Q(i 2 /Q) are două elemente,

automorfismul identic şi automorfismul definit prin u ∈ G(Q(i 2 /Q), u(r + si 2 ) = r-si 2 . Acest grup este deci izomorf cu Z2.

NotaŃii . Fie E un corp, extindere a corpului K, şi H un subgrup al lui G(E/K). Notăm cu EH elementele x ∈ E cu proprietatea u(x) = x, ∀u ∈ H, adică elementele din E care sunt invariante de elementele din H. EH este un subcorp al lui E care conŃine pe K.

Fie L un subcorp al lui E care conŃine pe K. Acestui corp îi putem asocia grupul G(E/L) care este un subgrup al lui G(E/K), iar dacă L’ este un alt subcorp al lui E cu L’ ⊇ L, atunci G(E/L’) ⊆ G(E/L). Se obŃine astfel o funcŃie antimonotonă (pentru relaŃia de incluziune) de la subcorpurile lui E care conŃin pe K la subgrupurile grupului lui Galois G(E/K).

5.2 Corpuri finite Fie E ⊆ L o extindere de corpuri finite. Presupunem că E are q elemente. Corpul L este spaŃiu vectorial peste E şi fie r = dimEL. Se deduce că corpul L are qr elemente. Dacă L’ este un subcorp al lui L care conŃine pe E şi s = dimEL’, atunci s divide pe r. Orice corp finit este de caracteristică p > 0 şi deci conŃine corpul prim Zp, deci E ca avea pn elemente, unde n = dimZpE.

Teoremă. Orice subgrup finit al grupului multiplicativ al elementelor nenule dintr-un corp comutativ este ciclic.

DefiniŃii . Fie E un corp comutativ algebric închis de exponent caracteristic p şi n > 1 un număr întreg cu proprietatea (p,n) = 1. Notăm cu Un mulŃimea rădăcinilor polinomului Xn-1 în E. Elementele lui Un se numesc rădăcini de ordin n ale unităŃii din E . Grupul Un ete un grup ciclic, deci este izomorf cu Zn. Orice generator al grupului Un se numeşte rădăcină primitiv ă de grad n a unităŃii . Numărul acestor rădăcini este ϕ(n) (funcŃia lui Euler). Dacă E=C şi ζ este o rădăcină primitivă de grad n a unităŃii din C, atunci corpul Q(ζ) se numeşte al n-lea corp ciclotomic.

Teoremă. Fie ζ o rădăcină primitivă de gran n a unităŃii din C şi f polinomul minimal al lui ζ (peste Q). Atunci f ∈ Z[X] şi este polinomul minimal al oricărei rădăcini primitive de grad n a unităŃii. În plus, gradul lui f este egal cu ϕ(n) şi deci [Q(ζ) : Q] = ϕ(n)..

5.3 Teorema lui Wedderburn. Teoremă (Wedderburn). Orice corp finit este comutativ. Corolar . Grupul multiplicativ al elementelor nenule dintr-un corp finit este ciclic.

9

5.4 Existen Ńa şi unicitatea corpurilor finite DefiniŃie. Un corp K de caracteristică 0 sau de caracteristică p > 0 pentru care

morfismul u : K → K, definit prin u(x) = xp (numit endomorfismul lui Frobenius) este izomorfism se numeşte corp perfect. PropoziŃie. Fie K un corp algebric închis de caracteristică p > 0. Atunci K conŃine un singur subcorp finit cu pr elemente pentru orice r > 0. Acest corp este format din elementele lui K invariante de ur. Corolar . Fie K un corp finit cu pr elemente. Corpul K conŃine un subcorp L cu ps elemente dacă şi numai dacă s divide pe r.

Obs. Corpul finit care are pr elemente, p > 0 fiind un număr întreg prim, se notează cu GF(pr) sau rp

F . În particular, corpul prim de caracteristică p se notează cu Fp.

5.5 Extinderi simple DefiniŃie. O extindere se numeşte simplă dacă există un α ∈ E astfel încât E = K(α).

Teoremă (a elementului primitiv). Dacă E este o extindere finită a lui K, atunci ea este simplă. Obs. Această teoremă arată că mulŃimea extinderilor finite, mulŃimea extinderilor algebrice finit generate şi mulŃimea extinderilor algebrice coincid.

5.6 Extinderi normale DefiniŃie. Două numere α, β algebrice peste K se zic conjugate dacă au acelaşi polinom minimal.

Exemplu. Numerele 1 + i şi 1 – i sunt conjugate, deoarece sunt rădăcinile aceluiaşi polinom minimal X2 – 2X + 2 ∈ Q[X].

DefiniŃie. O extindere E a lui K se numeşte normală peste K dacă E este o extindere finită a lui K şi orice număr conjugat cu un număr din E aparŃine de asemenea lui E. Extinderile normale ale lui Q se numesc corpuri normale . Exemple.

1) Q( 2 ) este o extindere normală a lui Q şi [Q( 2 ) : Q] = 2 2) C este o extindere normală a lui R, [C : R] = 2

5.7 Extinderi algebrice separabile DefiniŃie. Fie E o extindere algebrică a corpului K şi x ∈ E. Vom spune că x este separabil peste K dacă polinomul minimal al lui x nu are rădăcini multiple. Extinderea E se numeşte separabilă dacă orice element din E este separabil peste K, în caz contrar extinderea fiind numită neseparabilă. PropoziŃie. Fie K un corp. Dacă caracteristica lui K este 0, orice element algebric peste K este separabil peste K. Dacă caracteristica lui K este p ≠ 0, atunci un element x akgebric peste K este separabil peste K dacă şi numai dacă polinomul minimal al lui x peste K nu aparŃine lui K[Xp].

10

PropoziŃie. Fie K ⊆ E ⊆ F extinderi algebrice de corpuri. Dacă x ∈ F este un element separabil peste K, atunci x este separabil peste E. În particular, dacă F este extindere separabilă a lui K, atunci F este extindere separabilă a lui E.

PropoziŃie. Dacă K ⊆ E şi E ⊆ F sunt extinderi algebrice separabile de corpuri, atunci K ⊆ F este extindere separabilă (tranzitivitatea extinderilor separabile).

Corolar . Dacă K este un corp şi M o submulŃime de elemente algebrice separabile dintr-o extindere a lui K, atunci coprul K(M) este o extindere separabilă a lui K.

5.8 Corp de descompunere al unui polinom DefiniŃie. Fie K un corp şi f ∈ K[X] un polinom cu grad(f) = n ≥ 1; fie α1, α2, ..., αn rădăcinile complexe ale lui f (conform teoremei lui d’Alembert). Corpul K(α1, α2, ..., αn) se numeşte corpul de descompunere peste K al lui f.

Exemplu. Fie polinomul f = X4 – 2 ∈ Q[X]. Rădăcinile lui f sunt 4444 2,2,2,2 ii −− .

Corpul de descompunere al lui f este E = Q( 4444 2,2,2,2 ii −− ) = Q(i, 4 2 )

Teoremă. Fie E o extindere a lui K. Atunci E este normală peste K dacă şi numai dacă E este corpul de descompunere al unui polinom cu coeficienŃi în K.

Teoremă. Fie K un corp şi f ∈ K[X] un polinom cu grad(f) = n > 0. Atunci există o extindere finită a lui K în care f are n rădăcini .

PropoziŃie. Două corpuri de descompunere ale unui polinom cu coeficienŃi în corpul K sunt K-izomorfe.

PropoziŃie. Două corpuri finite cu acelaşi număr de elemente sunt izomorfe.

5.9 Teorema fundamental ă a teoriei lui Galois DefiniŃie. O extindere algebrică E a unui corp K se numeşte galoisiană dacă este normală şi separabilă.

Teoremă. Fie E o extindere galoisiană şi finit ă a corpului K cu grupul Galois G. Atunci aplicaŃia care asociază fiecărui subgrup H al lui G subcorpul EH al lui E este bijectivă şi antimonotonă. Corpul EH este o extindere normală a lui K dacă şi numai dacă subgrupul H este normal în G. Dacă H este subgrup normal în G, restricŃia elementelor lui G la EH induce un izomorfism al grupului G/H cu subgrupul lui Galois al extinderii EH ⊇ K.

PropoziŃie. Fie K un corp şi f ∈ K[X] cu grad(f) ≥ 1. Atunci grupul Galois al corpului de descompunere E al lui f este un subgrup al lui Sn, unde n este numărul de rădăcini distincte ale lui f.

5.10 Caracterizarea ecua Ńiilor rezolubile prin radicali DefiniŃie. Fie un corp K de caracteristică 0. Considerăm că toate extinderile algebrice

ale lui K sunt conŃinute în K , care este închidera algebrică a lui K. Un element x ∈ K este radical peste K dacă x este o rădăcină a unui polinom de forma Xn – a, a∈K.

Obs. Acest polinom de mai sus nu are rădăcini multiple şi ele se obŃin din una din ele sau prin înmulŃire cu rădăcinile polinomului Xn -1

DefiniŃie. Se numeşte extindere radicală simplă a lui K corpul de descompunere al unui polinom de forma Xn – a, a∈K.

11

Obs. E este o extindere normală a lui K şi avem E = K(ζ,θ), unde ζ este rădăcina primitivă de ordinul n a unităŃii, iar θ este o radăcină a polinomului Xn – a, a∈K.

DefiniŃie. O extindere algebrică L a lui K o numim radicală peste K dacîă există şirul de subcorpuri

K = K0 ⊆ K1 ⊆ ... ⊆ Ks = L

astfel încât Ki+1 să fie extindere radicală simplă a lui Ki, pentru i = 0,1,...,s-1.

Obs. O extindere radicală nu este neapărat normală, de exemplu Q( 4 3 ). DefiniŃie. Fie f ∈ K[X] un polinom de grad mai mare ca 0. Atunci ecuaŃia f(x) = 0 este rezolubilă prin radicali dacă există o extindere radicală E a lui K (care este şi o extindere radicală normală) care conŃine toate rădăcinile lui f. Numim grupul lui Galois al lui f grupul lui Galois al corpului de descompunere al lui f peste K. Teoremă. Fie K un corp de caracteristică 0 şi f ∈ K[X] un polinom de grad mai mare ca 0. Atunci ecuaŃia f(x) = 0 este rezolubilă prin radicali dacă şi numai dacă grupul lui Galois al lui f este rezolubil. PropoziŃie. Dacă K ⊆ E este o extindere normală de corpuri de grad n cu grupul lui Galois ciclic şi corpul K conŃine rădăcinile de gradul n ale unităŃii, atunci E = K(θ), unde θ este rădăcină a unui polinom de forma Xn – a, a∈K[X]. PropoziŃie. Orice ecuaŃie algebrică de grad mai mic sau egal cu 4 este rezolubilă prin radicali.

Bibliografie 1) Ion D.Ion, Nicolae Radu – „Algebră”, Ed.Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1991 2) Lorena Tufan – „Algebră. Culegere de probleme”, Ed. FRM, Bucureşti, 2000 3) Lorena Tufan – „Module.Teoria corpurilor.Culegere de probleme de algebră”, Ed.FRM,

Bucureşti, 2006 4) Ion D.NiŃă, N.Radu, C.NiŃă, D.Popescu – „Probleme de algebră”, Ed.Didactică şi

pedagogică Bucureşti, 1981 5) C.Năstăsescu, C.Nită – „Teoria calitativă a ecuaŃiilor algebrice”, Ed.Tehnică, Bucureşti, 1979