Album de desene realizate cu functii supermatematice Selariu – 2012

Ion Ghiocel, P R E F A Ţ Ă

P R E F A Ţ Ă

Pentru PREFAŢĂ, fiind “repartizate” doar 2(două) pagini, sunt nevoit să intru direct în subiect,

predicat, complement, cât, mai ale , în sfera complimentelor... Căci, dacă DEX-ul defineşte un ALBUM

drept “caiet în care se păstrează fotografii, ilustrate, mărci poştele, versuri, citate etc.”, în cazul de faţă

contemplăm o alcătuire aparte, inter, intra şi transdisciplinară, cu imagini (şi nu numai) de referinţă, care

nu pot lăsa insensibilă percepţia retinei & creierului...

Nemargini de sugestivitate „afişează” autorul încă de la coperta principală, unde, desparte în

silabe şi scrie titlul pe două rânduri ... În tendinţa generalizată de „cosmopolitism” (cu accent pe engleză),

dublând consoana L şi substituind vocala U prin OO, rezultă ALL BOOM, adică, într-o traducere (cât se

poate de) liberă, totul (e) senzaţional !

De altfel, oricine are privilegiul să “răsfoiască“ ALBUMul nu va considera exagerată deducţia din

fraza anterioară! În plus, experienţa de viaţă şi de-o viaţă mă îndeamnă să fiu prudent (până la avariţie) cu

aprecierile pozitive, conştient fiind că unele elogii neagă valoarea (e ca şi cum ai spune că Shakespeare

are talent...) ...Şi totuşi, cu toată circumspecţia de rigoare, adevărul nu trebuie (nu poate fi) escamotat !

O precizare sunt dator a face, în calitate de prim “cititor” (am primit de-a lungul timpului, capitol

cu capitol, în ritmul elaborării, ceea ce mi-a dat răgazul să analizez / aprofundez toate detaliile): precum,

între artele frumoase, muzica se distinge detaşat, aşişderea, între multiplele albume imaginabil, ALBUMul

prezent este absolut singular...

S-a spus că, în înţelegerea muzicii (e vorba, evident, de MAREA MUZICĂ, de sorginte cultă)

sunt de parcurs trei etape :

1) nebulos-afectivă (percepţie preponderent senzorială),

2) lucid-intelectuală (cu accent pe depistarea unui „suport literar”),

3) afectiv-intelectuală (recepţie, deopotrivă, prin simţire şi raţiune ).

Paralelismul invocat în alineatul anterior se menţine, astfel încât simpla răsfoire (în ordine, ori

aleatorie) a filelor din ALBUM induce senzaţia de plăcere, de dragoste la prima vedere...

Varietatea “exponatelor”, insolitul unora dintre ele, eleganţa, simetria “punerii în pagină”,

cromatica etc. etc. stau la originea desfătării ochiului, dar, în egală măsură, incită la prospecţiuni

intelectuale ...

O amplă şi doctă INTRODUCERE (30 file !) explicitează geneza “figurilor” inserate, destinatari

fiind, fără criterii discriminatorii : ingineri, matematicieni, pictori, graficieni, arhitecţi ş.m.a.

Noile complemente de matematică, reunite sub titulatura de matematică excentrică (ME), extind

(teoretic, la infinit) aria de aplicabilitate, FUNCŢIILE SUPERMATEMATICE ŞELARIU fiind argumente

indubitabile în acest sens ! Autorul a trudit îndelung (cu deosebire, în ultimele trei decenii) şi fecund pe

ogorul elitist al domeniului: simpla consultare a BIBLIOGRAFIEI atestând că, din 67 “poziţii”

menţionate, 42 (articole, studii, conferinţe, lucrări propriu-zise) îi aparţin în exclusivitate , iar 13 sunt

colaborări cu personalităţi de pregnantă notorietate ştiinţifică .

Sintagme şocante, precum “multiplicarea vertiginoasă a dimensiunilor Universului” devin

plauzibile (şi explicitate) prin înlocuirea timpului (din spaţiul cvadridimensional al lui Einstein) cu

excentricitatea (e)...Pe cale de consecinţe, clasicele corpuri geometrice (pentru e = 0) : sferă, cilindru, con

se metamorfozează (pt. e = +/- 1) respectiv, în cub, prismă, piramidă ...

Ion Ghiocel, P R E F A Ţ Ă

Pe lângă “expunerea de motive” şi relaţiile explicative, zeci de grafice, varii figuri şi reprezentări

întregesc spectrul introductiv, de aşa manieră încât consultarea ALBUMului propriu-zis să se facă în

deplină cunoştinţă de cauză.

Dacă este să enumerăm “repere” din CUPRINS, vom menţiona, pentru început, elementele

specific matematice : cuburi, conuri, piramide, diferite variante de tor, “obiecte” ale matematicii centrice

& excentrice şi lista e departe de a fi completă...

Nu lipsesc cele ce s-ar încadra în categoria“utilitare”: lampioane, pocale, clepsidre, împletituri,

nici cele numite de autor “fluturaşi”, „caracatiţe”, „farfurii zburătoare”, „meduze” etc., toate realizate

superlativ d.p.d.v. al formelor şi cromaticii !

„Arătări în 3 vederi”, „aranjamente în 3D”, linii de nivel, joc de ape, ouă colorate şi

încondeiate (chiar excentrice!) ş.m.a. adaugă valenţe suplimentare de netăgăduit. Cu referire la “ultimul

sortiment” din înşiruirea anterioară, mică paranteză se impune. Într-una din magnificele sale poeme,

regretatul Nichita Stănescu afirmă : „Cu asupra de măsură / Făcui cercului curbură / Şi, gândindu-l în

ecou, / L-am ogivă pân-la ou”. Poetul nepereche reuşeşte (pe parcursul unui singur catren) două

performanţe :

(1) să curbeze cercul şi

(2) să dea substantivului ogivă valenţe de verb, în sensul că a ogivat cercul până la stadiul de ou..!

Imprevizibilul autor al ALBUMului nu se lasă mai prejos, şi, graţie SUPERMATEMATICII sale,

capacitează galinaceele să producă ouă excentrice !

Spirit ordonat prin excelenţă, autorul nu ezită a organiza chiar HAOSul, 27 de imagini (inserate în

pag.164-167) stau mărturie în acest sens...

În sfera sculptural - ecumenică, se remarcă Statuia lui Budha, cât şi multiplele ipostaze ale

coloanei fără sfârşit, la care eroticul şi ereticul nu se exclud, ci, dimpotriv, sunt complementare...

Nu ar fi completă această înşiruire, fără evidenţierea celor 24 ipostaze ale organului numit GURĂ

(vezi pag.109-112), implicat / implicată într-un esperanto gestual de subtil rafinament...

Anexa 1 aduce pertinente clarificări în calificarea SPAŢIULUI MATEMATICII CENTRICE

drept caz particular al SPAŢIULUI SUPERMATEMATIC (e = 0), iar Anexa 2 se doreşte a fi (şi este!) un

eseu ÎN CĂUTAREA INVIZIBILULUI... Parafrazându-l pe Blaise Pascal, autorul ALBUMului proclamă

sentenţios: „Universul este un cerc /(o sferă) – sau poate avea oricare altă formă geometrică 3D inchisă-

al cărui excentru E(e, ε) e pretutindeni , iar circumferinţa nicăieri” !

& & &

La capătul acestor modeste consideraţii, este de subliniat faptul că un ALBUM nu poate fi

povestit, ci trebuie văzut, răsfoit, stăruit asupra fiecărei pagini, studiat în ansamblu...

...Strădania vă va fi răsplătita „cu asupra de măsură”...Mă pun chezaş în această speţă !

„Vânturile, valurile” au favorizat întâlnirea (subsemnatului cu autorul) în urmă cu 54 de ani !

Timp de un lustru am fost colegi la Institutul Politehnic Timişoara, Facultatea de Mecanică, secţia

TCM...

Perioadă suficientă de cunoaştere reciprocă ...Mărturisesc sincer că aş avea suficiente motive să-l

„bârfesc”, din invidie, pur şi simplu... În studenţie mă depăşea la toate capitolele : era f. bun matematician,

desenator, caricaturist, campion regional şi la două zone la gimnastică, fotbalist de performanţă... Ca să nu

mai vorbesc de cariera didactică postuniversitară, activitatea ştiinţifică de largă recunoaştere internaţională

...............................................................

Aşadar...recomand cu toată căldura acest ALBUM, cu deplin temei putând fi consemnat, pentru

prezent şi posteritate, ALL BOOM !

Ing.Ioan Ghiocel

ALBUM DE DESENE

REALIZATE CU FUNCŢII SUPERMATEMATICE ŞELARIU

5

Motto: “ Creaţia- singurul surâs al tragediei noastre”

Lucian Blaga

Capitolul 1 I N T R O D U C E R E

FUNCŢIILE SUPERMATEMATICE

CARE AU FĂCUT POSIBILĂ REALIZAREA ACESTUI ALBUM

Nu INTRODUCEREA, ci PREFAŢA este cea mai importantă parte a unei cărţi. Chiar şi

criticii o citesc. De aceea, am lăsat-o pe sema unui coleg şi prieten care ştie să mă laude. Imi plac,

sincer, laudele! Şi să ofer, dar, mai ales, să le primesc. Dacă găsiţi măcar simpatic acest ALBUM, la

preţul la care l-aţi achizitionat, nu vă sfiiţi, comunicaţi-ne. Printr-un e-mail. Adresa este dată în finalul

introducerii. Aşa se obişnuieşte. Puteţi folosi şi adresa Redacţiei Editurii “ TREIRA “ din Oradea.

Să nu uitaţi să o felicitaţi pentru că a publicat acest ALBUM. Numai aşa, o nouă ediţie a

ALBUM-ului ar putea soluţiona cererea pieţei. Alţii citesc introducerea după ce au terminat de răsfoit

/ citit întreaga carte. E bine şi aşa, numai scrieţi-ne ! De bine !

Aici nu e cazul. Un ALBUM întâi se răsfoieşte, apoi se citeşte pe sărite şi doar cei ce găsesc

teme, sau desene, care i-ar putea interesa, mai continuă. Să citească şi să admire, dacă este cazul, şi

sperăm să fie, doar ce-i interesează. Din când în când, mai privesc desenele care le-au rămas întipărite

pe retină, de fapt în / pe creier, dar aşa se zice: “pe retină”.

Nimeni nu citeşte matematica din “scoarţă în scoarţă”. Darămite, o introducere, chiar dacă este

o introducere “artistică”, zice autorul, în aceste frumoase taine ale noii matematici. De aceea, vă

sfătuim să vă ascundeţi banii într-o carte de Matematică. Pe asta n-o deschide nimeni !

Cu supermatematica e cu totul şi cu totul altfel. Unii se descurajează chiar de la început. Nu

citesc nici măcar introducerea. Prefaţa, nici atât. Apoi cârcotesc, cârcotesc, cârcotesc.

De aceea îmi permit, în INTRODUCERE, să le spun lucrurilor pe nume: Nu vă place

matematica, săriţi peste Introducere ! De ce e necesară o prezentare a “uneltelor matematice de

desenare” ? Mi-am pus şi eu această întrebare în anul 2007, când a apărut primul ALBUM de acest fel

în SUA. Locul 10, în topul de 10, în luna august 2007, din peste 1650 de lucrări, după o statistică

Gallup. Ȋn lunile următoare s-a vândut şi mai bine ! Mi-a răspuns editorul: “Americanii vor să ştie cum

l-ai facut, ca să poată face şi ei !” Inteligentă constatare, inteligenţi americanii ăştia ! Dar românii ?

Românii, vor şi ei să ştie ? Vor şi ei să facă ? Să facă şi mai bine ? Mai bine ca americanii ?

Pentru orice eventualitate, am specificat, în numeroase cazuri şi ecuaţiile utilizate. Şi vă spun

un secret: Multe din formele prezentate în ALBUM sunt rezultatul scrierii greşite a unor ecuaţii (v.

Fig. 7,b). Le-am denumit … “modificate”. Ecuaţiile. Dacă mi-au placut, le-am salvat, şi vi le prezint

şi dumneavoastră. “De gustibus et coloribus non est disputandum”, a zis Seneca !

Albumul, pe care-l ţineţi în mână, mi-aş dori să vă fie un aliat fidel în lupta / dorinţa voastră

de descifrare plăcută a tainelor noilor complemente de matematică, reunite sub denumirea de

supermatematică. De aceea, INTRODUCEREA a fost scrisă, intenţionat, nu în limbaj matematic, ci

într-un limbaj comun, de poveste, pe înţelesul tuturor.

Acest ALBUM este realizat tehnic în diverse programe de matematică, precum

MATHEMATICA 8 a lui Stephan Wolfram dar nu este o carte de matematică. Şi nici autorul nu este

matematician. “Spune-le c-ai fost fotbalist” mi-a sugerat cineva, “aşa se va vinde mai bine”! Aşa-i !

Introducerea ALBUM-ului este despre supermatematică, mai precis, o poveste despre

supermatematică, o poveste despre ce-ar putea fi nou (dar chiar este nou !) în matematică.

De aceea, ea poate fi citită fără dificultate de colegii autorului. De ingineri. Chiar şi

matematicienii ar putea găsi, fară un efort exagerat, unele lucruri noi, extrem de noi, care ar putea să-i

ALBUM DE DESENE


6

intereseze. Cei cu un ascuţit simt artistic, pictori, graficieni, arhitecţi şi alţii, care agreează acest

ALBUM, pot găsi în el, în ALBUM, forme noi care ar putea să-i inspire ! Dacă nu, măcar banii

ascunşi! Ne inspirăm din natură, dar puteţi uşor constata că şi supermatematica este o a doua natură.

Ȋnseşi graficele diverselor funcţii supermatematice, în sine, sunt suficient de “artistice” pentru a fi

incluse în prezentul ALBUM, chiar în această Introducere (v. Fig.2, Fig.3, Fig.4, Fig.5, Fig.6, ş.m.a.).

Funcţiile, care stau la baza generării obiectelor mai tehnice şi mai mult sau mai puţin artistice,

neogeometrice, incluse în acest album, sunt denumite funcţii supermatematice (FSM).

Denumirea de neogeometrice le-a dat-o reputatul matematician american, de origine română,

Prof. Dr. Math. Florentin Smarandache, şeful Departamentului de Stiinţă şi Matematică al

Universităţii Gallup din New Mexico.

Tot el a adăugat la “supermatematice” şi denumirea de “Şelariu”, ca să se deosebească de

alte, eventuale, funcţii supermatematice. Asta înseamnă să ai viziunea viitorului ! El este şi primul

editor al albumului “TEHNO ART OF SELARIU SUPERMATHEMATICS FUNCTIONS” în Editura

ARP (American Research Press), 2007. El i-a stabilit şi titlul. Poate de aceea se vinde atât de bine.

Aceste funcţii sunt rodul a 42 de ani de cercetări, începute în anul 1969, la Universitatea din

Stuttgart, timp în care au fost publicate peste 67 de lucrări, în acest domeniu, scrise de peste 21 autori,

aşa cum se poate deduce şi din capitolul de Bibliografie.

Orice carte, care se respectă, chiar şi un ALBUM, care se respectă şi el, trebuie să fie

prevăzut/ă sau să conţină şi o Bibliografie, din care să rezulte stadiul de dezvoltare al domeniului

respectiv. Ȋn ceea ce priveşte supermatematica, acesta este satisfăcător spre mulţumitor, dar se putea

şi mai bine ! Detalii cu privire la cine, ce şi cum au pus frâne supermatematicii, se găsesc în Revista

Agero Stuttgart (http://www.agero-stuttgart.de/) în articolul “ Nimic despre supermatematică,

totul despre prostie ”.

Fig.1 Schiţă explicativă pentru definirea funcţiilor supermatematice circulare excentrice

(FSM-CE) cosinus (cex1,2θ) şi sinus (sex1,2θ) de variabilă excentrică θ ◄

şi de variabilă centrică α (Cexα1,2 şi Sexα1,2) ►

Denumirea de supermatematică (SM) aparţine regretatului matematician Prof. em. dr. doc.

ing. Gheorghe Silaş care, la susţinerea primelor lucrări din acest domeniu [1], [3], la Prima Conferinţă

Naţională de Vibraţii în Construcţia de Maşini, Timişoara, 1978, intitulate “ FUNCŢII CIRCULARE

http://www.agero-stuttgart.de/

ALBUM DE DESENE


7

EXCENTRICE” a declarat: “ Tinere, dumneata nu ai descoperit numai nişte funcţii, ci o nouă

matematică, o supermatematică ”. M-am bucurat, la cei 40 de ani, câţi aveam atunci, ca un

adolescent. Şi am constatat, cu multă satisfacţie, că s-ar putea să aibă dreptate ! Ȋn 1978 ! Ȋn 2000,

deci după 22 de ani, mi-a propus să scriu un articol de supermatematică în revista de “Mecanica

Solidului Rigid” la care era redactor. Aşa s-a născut lucrarea [26] “TRANSFORMAREA RIGUROASĂ

ÎN CERC A COMPLIANŢEI”. Importantă, zicem noi. Are şi frecvenţă negativă !

Fig.2 FSM-CE cosinus cexθ ◄ şi sinus sexθ ► excentrice de variabilă excentrică θ

Prefixul super se justifică astăzi, pentru a scoate în evidenţă apariţia noilor complemente de

matematică, reunite sub denumirea de matematică excentrică (ME), cu entităţi mult mai importante

şi infinit mai numeroase decât entităţile existente în actuala matematică, ordinară, pe care suntem

obligaţi să o denumim matematică centrică (MC).

1 2 3 4 5 6

1.0

0.5

0.5

1.0

1 2 3 4 5 6

1.0

0.5

0.5

1.0

ALBUM DE DESENE


8

Fiecărei entităţi din MC îi corespund o infinitate de entităţi similare în ME, astfel că,

supermatematica (SM) este reuniunea celor două domenii, adică SM = MC ME şi MC este un caz

particular, de excentricitate nulă a ME. Adică, MC = SM(e = 0).

Fiecărei funcţii cunoscute în MC îi corespund o familie, cu o infinitate de funcţii în ME şi, în

plus, dacă după infinit se mai poate plusa, apar o serie de funcţii noi, cu largi utilizări în matematică şi

în tehnologie. Ȋn ordine alfabetică: aex, bex, cex, dex, (e, f, g, h, i, j k, l, m, n, o, p - deocamdată NU !)

qcos sau coq, qsin sau siq, rex, sex, tex, uex, vtan sau tav, vtex sau texv, - V de la Voinoiu Octavian!-

Astfel, la x = cosα îi corespunde familia de funcţii x = cexθ ≡ cex(θ, S) ≡ cex [θ, S(s, ε)] în

care s = e/R este excentricitatea liniară (numerică s şi reală e) şi ε este excentricitatea unghiulară,

ambele fiind coordonatele polare ale excentrului S(s,ε), corespunzător cercului unitate / trigonometric

şi, respectiv, E(e,ε) corespunzator cercului oarecare, de raza R (Fig.1).

Fig.3 FSM-CE cosinus Cexα1,2 ◄ şi sinus Sexα1,2 ► excentrice de variabilă centrică α

Excentrele S şi E sunt considerate poli ai unei drepte excentrice d, care se roteşte în jurul lui

E sau S cu unghiul de poziţie θ, generând, astfel, funcţiile trigonometrice excentrice, sau funcţii

supermatematice circulare excentrice (FSM-CE), prin intersecţia lui d cu cercul unitate (v.Fig.1).

Deoarece, o dreaptă, dusă prin S, interior cercului (s ≤ 1 e < R), intersectează cercul în

două puncte W1 şi W2, notate concentrat W1,2, rezultă că vor exista două determinări ale funcţiilor

supermatematice circulare excentrice (FSM-CE): una principală, de indice 1 cex1θ şi una

secundară de indice 2 cex2 θ, notate concentrat cex1,2θ (Fig.2). Ideea ne-a fost sugerată de Prof. Dr.

1 2 3 4 5 6

1.0

0.5

0.5

1.0

1 2 3 4 5 6

1.0

0.5

0.5

1.0

ALBUM DE DESENE


9

Math. Horst Klep pentru a aduce de acord Trigonometria, care, de la Euler încoace, operează cu

semidrepte, cu Geometria Analitică, care operează, de când lumea, cu drepte.

S(s = 0, ε = 0), R = 1 S(s = ± 1, ε = 0), R = 1

Fig.4 Transfigurarea obiectelor geometrice ale matematicii centrice (MC)

E şi S au fost denumite ex-centre pentru că au fost expulzate din centrul O(0,0). Această

expulzare a condus la apariţia ME şi, implicit, a SM. Prin ea, toate obiectele matematice s-au

ALBUM DE DESENE


10

multiplicat de la unu la infinit: unei unice funcţii din MC, de exemplu cosα, corespunzându-i o

infinitate de funcţii cexθ, graţie posibilităţilor infinite de plasare în plan a excentrului S şi / sau E.

S(e,ε) poate ocupa o infinitate de poziţii, în planul în care se află cercul unitate sau

trigonometric. Pentru fiecare poziţie, a lui S şi E, se obţine câte o familie de funcţii cexθ, sexθ, texθ,

ctexθ şi multe altele, care, aparent, nu au corespondente în centric ca: aexθ, bexθ, rexθ, dexθ, ş.m.a.

Dacă S este un punct fix, atunci se obţin funcţii SM circulare excentrice (FSM–CE) de

excentru (punct) fix, sau cu s şi ε constante. Dar, S sau E se pot deplasa, în plan, după diverse reguli

sau legi, în timp ce dreapta d, care generează funcţiile, denumită dreaptă generatoare excentrică,

prin intersecţia ei cu cercul, se roteşte cu unghiul θ în jurul lui S şi / sau E (Fig.1). Ȋn acest caz, avem

de-a face cu FSM-CE de excentru S/E punct variabil, adică s = s (θ) şi/sau ε = ε (θ).

Dacă poziţia variabilă a lui S/E este reprezentată tot de FSM-CE, de acelaşi excentru S(s, ε)

sau de un alt excentru S1(s1, ε1), atunci se obţin funcţii de dublă excentricitate. Prin extrapolare, se pot

obţine funcţii de triplă şi de multiplă excentricitate. Prin urmare, FSM-CE sunt funcţii de atâtea

variabile câte dorim, sau câte sunt necesare în aplicaţia respectivă, pe care vrem să o rezolvăm. Numai

aşa se poate face faţă multiplicării vertiginoase a dimensiunilor Universului, care, de la

cvadridimensional, câte dimensiuni i-a atribuit Albert Eistein, cu excentricitatea şi nu cu timpul ca a

patra dimensiune, a proliferat continuu în numărul de dimensiuni.

Transformarea sferei în cub Transformarea cilindrului circular în cilindru pătrat

Transformarea conului în piramidă Transformarea cilindrului în prismă

Fig.5 Metamorfozarea obiectelor matematice centrice

Dacă x, y, z sunt dimensiunile liniare de localizare în spaţiu, dacă θ, φ, ψ, sunt dimensiunile

unghiulare de orientare, atunci excentricităţile liniare ex, ey, ez şi cele unghiulare εθ, εφ, εψ sunt noile

dimensiuni de formare ale spaţiului, dimensiuni până de curând invizibile (v. ȊN CĂUTAREA

INVIZIBILULUI, Revista Agero Stuttgart sau Anexa 2). Ele sunt dimensiunile de formare sau de

deformare ale spaţiului. Aşa se explică de ce, pentru e = 0, cu aceleaşi ecuaţii, se obţine sfera, conul

cilindrul, iar pentru e = ± 1 se obţine cubul, piramida şi, respectiv, prisma, toate perfecte, aşa cum se

poate constata din figurile 4 şi 5.

ALBUM DE DESENE


11

Toate aceste obiecte geometrice aparţin matematicii centrice (MC), dar transfigurarea sau

transformarea / metamorfozarea sferei în cub, de exemplu, este un proces continuu, aşa cum se poate

constata din figura 5. Numai obiectele de la extremităţile transformării, pentru e = 0 şi e = ±1, aparţin

MC, celelalte obiecte, corespunzătoare pentru e (0, 1) sau e (-1, 0), într-o infinitate de forme,

aparţin matematicii excentrice (ME).

Dacă distanţele de la O la punctele W1,2, de pe cercul C(1,O), sunt constante şi egale cu raza

R = 1 a cercului trigonometreic C(O,1), distanţe pe care le vom denumi raze centrice, distanţele de la

S la W1,2, notate cu r1,2, sunt variabile şi sunt denumite raze excentrice ale cercului unitate C(1,O) şi

reprezintă, totodată, noi funcţii supermatematice circulare excentrice (FSM-CE). Au fost denumite

funcţii radiale excentrice şi notate cu rex1,2θ, dacă se exprimă în funcţie de variabila denumită

excentrică θ şi, în acelaşi timp motoare, care este unghiul θ la excentrul E. Sau, funcţii radiale

excentrice, de variabile centrice α1,2, notate Rexα1,2, dacă se exprimă în funcţie de unghiul α, sau de

variabila centrică, unghiul la centrul O(0,0) al cercului C(O,1), (Fig.1, cu graficele în Fig.5,a).

Dreapta d, denumită dreaptă excentrică, este împărţită de excentrul S d în cele două

semidrepte: una pozitivă d+

şi una negativă d─. De aceea, se poate considera r1 = rex1θ un segment

orientat pozitiv pe d ( r1 > 0), iar r2 = rex2θ un segment orientat în sens negativ pe d ( r2 < 0 ) şi

în sensul semidreptei negative d ─.

Prin relaţii trigonometrice simple, în triunghiurile oarecare OSW1,2, sau, mai precis, scriind

teorema sinusului (în funcţie de θ) şi teorema lui Pitagora generalizată (pentru variabilele α1,2) în

aceste triunghiuri, rezultă imediat expresiile invariante ale funcţiilor radial excentrice, şi anume:

r1,2(θ) = rex1,2 θ = ─ s.cos(θ ─ ε) ± )(sin1 22 s şi

r1,2(α1,2) = Rexα1,2 = ± )cos(..21 2,1

2 ss .

Fig.6 Lemniscatele lui Booth în 2D ◄ şi în 3D►

Câteva observaţii, legate de aceste funcţii REX (˝rege˝), se impun :

Funcţiile radial excentrice exprimă distanţa, în plan, în coordonate polare, dintre două puncte :

S(s,ε ) şi W1,2 (R =1, α1,2), pe direcţia dreptei excentrice d, înclinată cu unghiul θ faţă de axa Ox; Ele

au fost normate, adică au devenit adimensionale, la sugestia Prof. Dr. Ing. Dan Perju.

Ca urmare, cu ajutorul lor, şi numai al lor, pot fi exprimate ecuaţiile tuturor curbelor plane

ALBUM DE DESENE


12

cunoscute, cât şi a altora noi, care au apărut odată cu apariţia ME. Această constatarea, ca şi

denumirea de ˝rege˝, aparţine Prof. Dr. Math. Octavian Emilian Gheorghiu, şeful, de atunci, al

Catedrei de Matematica 1 a Universităţii ˝POLITEHNICA ˝ din Timişoara, anterior, în tinereţe,

asistent al Acad. Grigore C. Moisil. Un exemplu il reprezintă lemniscatele lui Booth (v. Fig.6),

exprimate prin relaţiile, în coordonate polare, de ecuaţia

ρ(θ) = R (rex1 θ + rex 2 θ) = ─ 2 s.R cos(θ - ε) pentru R = 1, ε = 0 şi s [0, 3]

şi care constituie o transformare continuă a unui cerc în două cercuri tangente exterior (v. Fig.6, ◄ în

2D), dar care, d.p.d.v. tehnic, poate constitui un amestecător de fluide, cu două conducte de aducţiune

la întrare şi una sau două la ieşire, mai dificil de proiectat, asistat de calculator, în mod obişnuit.

Fig. 7,a FSM-CE radial excentrice de variabilă excentrică θ

rex1,2θ ◄ şi de variabilă centrică α Rexα 1,2θ ► în 2D ▲ şi în 3D ▼

Graţie acestui obiect 3D, autorul a fost invitat de Prof. Dr. Horvat, şeful Departamentului de

Tehnologie al Universităţii din Budapesta, unde, la 3 decembrie 1998, a ţinut o Conferinţă despre

SUPERMATEMATICĂ, la care a fost invitată şi Catedra de Matematică a Universităţii din Budapesta.

Ca urmare, au fost parafate două colaborări în acest domeniu.

1 2 3 4 5 6

2

1

1

2

1 2 3 4 5 6

2

1

1

2

ALBUM DE DESENE


13

O altă consecinţă, consistă în generalizarea definiţiei cercului:

“ Cercul este curba plana, ale cărei puncte M se găsesc la distanţele r(θ) = R.rex [θ, E(e, ε)] =

R.Rex [α, E(e, ε)], faţă de un punct oarecare din planul cercului E(e, ε) ”.

Dacă S ≡ O(0,0), atunci s = 0 şi rex θ = 1 constant şi r(θ) = R constant, obţinându-se

definiţia clasică a cercului: puncte situate la aceeaşi distanţă R de centrul cercului O.

Funcţiile rexθ şi Rexα exprimă funcţiile de transmitere de ordinul zero, sau de transfer al

poziţiei, din teoria mecanismelor şi este raportul dintre parametrul R(α1,2), ce poziţionează elementul

condus OM1,2 şi parametrul r1,2(θ) = R rex1,2θ ce poziţionează elementul conducător EM1,2.

Ȋntre aceşti doi parametri, există urmatoarele relaţii, care se deduc la fel de simplu din figura /

schiţa de definire a FSM–CE (Fig. 1 ◄).

Ȋntre unghiurile de poziţie ale celor două elemente, condus şi conducător, există relaţiile

şi

θ = α1,2 ± β1,2(α1,2) = α1,2 ± arcsin[)cos(..21

)sin(.

2,1

2

2,1

ss

s] = Aex(α1,2), în care sunt

unghiurile din punctele W1,2 sub care se văd centrul O şi excentrul S, privind pe direcţiile dreptelor

centrice OW1,2 şi excentrice W1,2S în sensul lor pozitiv şi rotind privirea, în sens trigonometric pozitiv,

adică sinistrorum sau levogin. Se va putea constata că β1 + β2 = π.

Fig. 7,b FSM-CE radial excentrice, de variabilă centrică, modificate

Toate FSM–CE au expresii invariante, din care cauză ele nu trebuie tabelate; tabelate fiind

funcţiile centrice, din MC, cu ajutorul cărora se exprimă. Ȋn toate expresiile lor, se va găsi, invariabil,

unul dintre radicalii funcţiilor radial excentrice de variabilă excentrică

del1,2θ = Depistarea celor două determinari este simplă: pentru + (plus) în faţa radicalilor se obţine,

întotdeauna, prima determinare (r1 > 0), principală 1 şi pentru semnul ─ (minus) se obţine cea de a

doua determinare (r2 < 0), secundară 2. Regula ramâne valabilă pentru toate FSM–CE.

Prin convenţie, prima determinare, principală, de indice 1, se poate utiliza / scrie şi fără indice,

când confuziile sunt excluse.

Funcţiile aex1,2θ şi Aexα1,2 sunt FSM-CE denumite amplitudine excentrică deoarece ele

ALBUM DE DESENE


14

se pot utiliza la definirea FSM-CE cosinus şi sinus excentrice tot aşa cum funcţia amplitudine sau

amplitudinus am(k,u) a lui Jacobi se foloseste la definirea funcţiilor eliptice Jacobi:

sn(k,u) = sin[am(k,u)] şi cn(k,u) = cos[am(k,u)] .

Adică:

cex1,2θ = cos[aex1,2(θ, S)] şi Cexα1,2 = cos[Aex(α1,2, S)] (Fig.2) şi

sex1,2θ = sin [aex1,2(θ, S)] şi Sex α1,2 = cos[Aex(α1,2 ,S)] , (Fig.3) ;

Funcţiile radiale excentrice pot fi considerate ca module ale vectorilor de poziţie ai

punctelor W1,2 de pe cercul unitate C(1,O), vectori exprimaţi prin relaţiile , în

care radθ este vectorul unitate de direcţie variabilă, sau versorul / fazorul direcţiei dreptei d+, a cărui

derivată este fazorul derθ = d(radθ)/dθ şi reprezină vectori perpendiculari pe direcţiile dreptelor

OW1,2, tangenţi la cerc în punctele W1,2. Ei sunt denumiţi fazorii radial centric şi derivată centrică.

Fig.8 FSM-CE beta excentrice de variabilă excentrică

Totodată, modulul funcţiei radθ este corespondentul, în MC, a funcţiei rexθ pentru s = 0 θ

= α când rexθ = 1 iar derα1,2 sunt versorii tangenţi la cercul unitate în punctele W1,2.

3 2 1 1 2 3

1

1

2

3

4

ALBUM DE DESENE


15

Fig. 9 FSM-CE derivată excentrică dex1,2θ ◄de variabilă excentrică şi Dexα1,2►

1 2 3 4 5 6

0.5

1.0

1.5

2.0

1 2 3 4 5 6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

ALBUM DE DESENE


16

Derivatele vectorilor de poziţie ai punctelor W1,2 C, în funcţie de timp,

sunt vectorii viteză = Ω. dex1,2θ. derα = Ω.[1

] derα, în care dex1,2θ este FSM-CE

denumită derivată excentrică de variabilă excentrică θ deoarece dex1,2θ =

, iar inversa ei este

funcţia de variabilă centrică α, deoarece Dexα1,2= dθ( ))/(dα(1,2) .

Fig. 10 FSM-Q cosinus cvadrilob coqθ ◄ şi sinus cvadrilob siqθ►

Se poate observa că, introducerea fazorilor radθ, radα şi derθ, derα ne scuteşte de scrierea

vectorilor cu o bară deasupra lor. Fazorii în funcţie de θ, sau ai direcţiei θ, sunt defazaţi în avans faţă

de fazorii în funcţie de α cu unghiul β = arcsin[s.sin(θ-ε)] ≡ bexθ (Fig.8).

Ȋn figura 8 sunt reprezentate graficele FSM-CE beta excentrice bex1,2θ: bex2θ sus şi bex1θ

jos şi se poate constata, facil, că suma lor este π, adica β1 + β1 = π, sau bex1θ + bex2θ = π.

Ele, ca şi multe alte FSM-CE, sunt importante pentru că pot genera / reprezenta funcţii

periodice triunghiulare simetrice, ca funcţii de θ şi în dinţi de ferestrău, ca funcţii de α, pentru

excentricitatea s = ±1, fără serii Fourier şi mult mai perfect / bine decât acestea.

Dimensiunea de deformare s, deformează funcţiile cosα şi sinα deplasându-le punctele de

acelaşi y cu distanţa bexθ, pe direcţia orizontală Ox, aşa cum se poate constata în figura 2,

1 2 3 4 5 6

1.0

0.5

0.5

1.0

1 2 3 4 5 6

1.0

0.5

0.5

1.0

ALBUM DE DESENE


17

transformându-le în FSM-CE cexθ şi, respectiv, sexθ. Ecartul ±1, care este şi domeniul de definiţie al

acestor funcţii, se păstrează intact. Nu şi în cazul funcţiilor supermatematice elevate (FSM-EL), la

care, deplasarea punctelor funcţiilor elevate, faţă de cele circulare centrice, la creşterea valorii

dimensiunii de deformare s, are loc pe verticală, de unde provine şi denumirea lor.

{s, -1 , 1}◄ ► {s, -2 , 2}

{s, -1 , 1}◄ ► {s, -2 , 2}

Fig. 11 FSM-CE amplitudine excentrică (denumite, ca generalizare a dreptei, şi strâmbe plane)

de variabilă excentrică θ aexθ ◄şi de variabilă centrică α Aexα ►

Ȋn mişcarea de rotaţie pe cerc a punctelor W1,2, cu viteze de module variabile v1,2 = dex1,2θ,

dreapta generatoare d se roteşte în jurul excentrului S cu viteza unghiulară Ω.

Modulele vectorilor viteză au expresiile prezentate în continuare, prin FSM-CE derivată

excentrică dex1,2θ şi Dexα1,2. Expresiile funcţiilor SM–CE dex1,2θ, derivat excentric de θ, sunt,

totodată şi derivatele unghiurilor α1,2 (θ) în funcţie de variabila motoare sau independentă θ, adică

dex1,2θ = dα1,2 (θ)/d θ =

=

, ca funcţie de θ şi

Dexα1,2 = dθ/dα1,2 =

=

, ca funcţii de α1,2 .

FSM–CE dex1,2θ, prezentate în figura 9 ◄ şi, respectiv Dexα1,2 ►, iar jos ▼sunt prezentate

în stare asamblată. Aceste funcţii sunt, după părearea autorului, cele mai frumoase funcţii periodice în

general şi cele mai frumoase FSM-CE în special, la fel de frumoase ca şi funcţiile cvadrilobe FSM-Q

(Fig.10), nu numai pentru că FSM-Q au fost introduse în Matematică de autor prin lucrarea [19].

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6

2

4

6

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

ALBUM DE DESENE


18

]

Fig.12 EXCENTRICE CIRCULARE

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

ALBUM DE DESENE


19

FSM-Q siq[θ,S] se aseamănă destul de mult cu funcţia eliptică Jacobi sinus eliptic sn(u,k) şi

coq[θ,S] cu cosinus eliptic cn(u,k), iar FSM-CE aexθ şi Aexα se aseamănă cu funcţia eliptică

amplitudine am(u,k), sau amplitudinus, transformată în funcţie periodică de perioada 2π cu ajutorul

lui K(k).

FSM-CE amplitudine excentrică prezintă o importanţă deosebită deoarece ele generalizează

noţiunea de dreaptă. Ele generează familii de strâmbe şi, pentru dimensiunea de deformare sau

excentricitatea numerică liniară s = 0, se obţine dreapta. Ȋn figura 11, dreapta este prima bisectoare.

Fig.13 EXCENTRICE CVADRILOBE

Iar, pentru s = ±1 se obţine linia frântă, formată din segmente de linii drepte.

Aşa cum rezultă şi din figura 11, FSM-CE de variabilă excentrică sunt continue numai în

domeniul s [-1,1], iar cele de variabilă centrică sunt continue pentru oricare valoare a excentricităţii

s şi e. Observaţia este valabilă pentru toate FSM-CE.

S-a demonstrat [23, 24] că, funcţiile SM-CE derivat excentric dex1,2θ exprimă funcţiile de

transfer, sau raportul de transmitere de ordinul 1, sau ale vitezelor unghiulare, din teoria

mecanismelor, pentru toate (!) mecanismele plane cunoscute. Pentru detalii v.[23], §6.4 pag. 201 …

217.

Funcţia radial excentric rex θ exprimă exact deplasarea mecanismului bielă - manivelă S =

R.rex θ, a cărui manivelă motoare are lungimea r, egală cu excentricitatea reala e şi lungimea bielei L

este egală cu raza cercului R, un mecanism atât de cunoscut, pentru că intră în componenţa tuturor

autoturismelor, cu excepţia acelora cu motor Wankel. Şi aplicaţiile funcţiilor radiale excentrice ar

putea continua, dar vom reveni la aplicaţiile mai generale ale FSM-CE.

2 1 1 2

1

1

2

3

3 2 1 1 2 3

3

2

1

1

2

3

ALBUM DE DESENE


20

Fig.14,a RACHETE SUPERMATEMATICE ROMANEŞTI

Fig.14,b Ajutaje pentru rachetele romaneşti

Concret, unicelor forme de cerc, pătrat, parabolă, elipsă, hiperbolă, diverse spirale, ş.m.a. din

MC, grupate acum sub denumirea de centrice, denumire dată de regretatul matematician Anton

Hadnady, le corespund o infinitate de forme excentrice, de acelaşi gen: excentrice circulare (Fig.12),

pătratice (cuadrilobe Fig.13), spirale (Fig.15,b şi Fig.15,d) sub formă de elice (Fig.15,a, Fig.15,c şi

ALBUM DE DESENE


21

Fig.15,e), parabolice, eliptice, hiperbolice [V. 24, SUPERMATEMATICA. FUNDAMENTE VOL.II]

ş.m.a. Cu unele dintre ele putându-se reprezenta obiecte tehnice ca rachete, ajutaje (Fig.14) ş.m.a.

ParametricPlot3D[{{0.3 Cos[t] Exp[0.2 (0.25 t-ArcSin[1 Sin[0.25 t]])], 0.3 Sin[t] Exp[0.2

(0.25 t-ArcSin[1 Sin[0.25 t]])],

0.5 (0.25 t-ArcSin[Sin[0.25 t]])} }, {t,0,26}]

Cu FSM-CE amplitudine excentrică (aex) de variabilă excentrică , de excentricitate numerică liniară s = 1 şi unghiulară ε = 0

Fig.15,a ELICEA SUPERMATEMATICẮ

PolarPlot[{0.3 Exp[0.2 (t/4-ArcSin[ Sin[t/4]])]}, {t,0,10 Pi}] ParametricPlot[{{0.3 Cos[t] Exp[0.2(0.25t-ArcSin[1Sin[0.25 t]])],

0.3Sin[t] Exp[0.2 (0.25t- ArcSin[1 Sin[0.25 t]])]}},{t,0,26}]

Fig.15,b SPIRALE SUPERMATEMATICE Ecuaţii parametrice în 2D cu FSM-CE amplitudine excentrică aexθ

www.supermathematica.com ; www.supermatematica.ro

Oricare excentrică, pentru excentricitate nulă (e = 0), degenerează într-o centrică, care

reprezintă, totodată, şi curba ei generatoare. De aceea, însăşi MC aparţine ME, pentru unicul caz (s =

e = 0), din infinitatea de cazuri posibile în care poate fi plasat, în plan, un punct denumit excentru E(e,

ε). Caz în care, E se suprapune peste unul sau două puncte denumite centru: originea O(0,0) a unui

reper, considerat originea O(0,0) a sistemului referenţial şi / sau centrul C(0,0) al cercului unitate,

http://www.supermathematica.com/

ALBUM DE DESENE


22

pentru funcţii circulare, respectiv, centrul de simetrie al celor două ramuri ale hiperbolei echilaterale,

pentru funcţii hiperbolice centrice şi excentrice.

A fost suficient ca un punct E să fie expulzat din centru (O şi/sau C), pentru ca, din lumea

MC să apară o nouă lume a ME, iar reuniunea celor două lumi să dea naştere lumii SM.

Şi această apariţie, a avut loc în oraşul revoluţiei române, din 1989, Timişoara, acelaşi oraş în

care, la 3 noiembrie 1823, Janos Bolyay scria: "Din nimic am creat o nouă lume". Cu aceste cuvinte

a anunţat descoperirea formulei fundamentale a primei geometrii neeuclidiene.

ParametricPlot3D[{(0.3 Cos[t]/Sqrt[1-(0.9 Sin[t])^2]) Exp[0.2 (0.25 t-ArcSin[1 Sin[0.25 t]])], (0.3 Sin[t]/Sqrt[1-(0.9 Cos[t])^2]) Exp[0.2 (0.25 t-ArcSin[1 Sin[0.25 t]])], 0.5 (0.25 t-ArcSin[Sin[0.25 t]])} ,{t,0,26}]

Fig.15,c ELICE SUPERMATEMATICE PĂTRATE de excentricitate numerică s = 1, în care FCC cos şi sin sunt înlocuite cu FSM cvadrilobe

cosinus coq şi sinus siq cvadrilobe (în engleză quadrlobics*)

ParametricPlot[{{(0.3 Cos[t]/Sqrt[1-(0.9 Sin[t])^2]) Exp[0.2 (0.25 t-ArcSin[1 Sin[0.25 t]])], (0.3 Sin[t]/Sqrt[1-(0.9 Cos[t])^2]) Exp[0.2 (0.25 t-ArcSin[1 Sin[0.25 t]])]} },{t,0,26}]

Fig.15,d SPIRALE SUPERMATEMATICE

El din nimic, eu din efortul colectiv de multiplicare a funcţiilor periodice, funcţii necesare

INGINERULUI pentru a descrie anumite fenomene periodice, am completat matematica cu noi funcţii,

cu noi obiecte, în general, cu o infinitate de entităţi matematice complet noi (Fig. 15).

ALBUM DE DESENE


23

Dacă Euler, la definirea funcţiilor trigonometrice, ca funcţii circulare directe, n-ar fi ales trei

puncte confundate: originea O, centrul cercului C şi S ca pol al unei semidrepte, cu care a intersectat

cercul trigonometric/unitate, FSM-CE puteau fi cunoscute demult, eventual sub o altă denumire.

ParametricPlot3D[{1/13 (2 t) Cos[t] (5+Cos[(2 π t)/13+u]), 1/13 (2 t) Sin[t] (5+Cos[(2

π t)/13+u]),

8 (0.25 t+1/13 0.3 (2 t) Sin[(2 π t)/13+u]-ArcSin[Sin[0.25 t]])},{t, 0, 26},{u, 0, 2π}]

CIRCULARẮ PẮTRATẮ

sx = 0,4; sy = 0; sz = 0,25 ◄ TRIUNGHIULARE ► sx = 0,9; sy = 0; sz = 0,25

ParametricPlot3D[{1/13 (2 t) Cos[t-ArcSin[0.9 Sin[t]]] (5+Cos[(2 π t)/13+u]), 1/13 (2 t)

Sin[t] (5+Cos[(2 π t)/13+u]),

8 (0.25 t+1/13 0.3 (2 t) Sin[(2 π t)/13+u]-ArcSin[Sin[0.25 t]])},{t, 0, 26},{u, 0, 2π}

Fig.15,e ELICE SUPERMATEMATICE


Ȋn funcţie de modul în care se ”splitează” (separă câte un punct, din cele suprapuse, sau

toate), apar următoarele tipuri de FSM:


ALBUM DE DESENE


24

O ≡ C ≡ S Funcţii Centrice, aparţinând MC; iar cele aparţinând ME sunt

O ≡ C ≠ S Funcţii Supermatematice Circulare Excentrice (FSM-CE);

O ≠ C ≡ S Funcţii Supermatematice Circulare Elevate (FSM-CEL);

O ≠ C ≠ S Funcţii Supermatematice Circulare Exotice (FSM-CEX);

Fig.16 ELICE: ARCURI SPIRALE DE DIVERSE SECŢIUNI



ALBUM DE DESENE


25

Aceaste complemente noi de matematici, reunite sub denumirea provizorie de SM, sunt

unelte, sau instrumente, deosebit de utile, de mult aşteptate, dovadă fiind numărul mare şi diversitatea

funcţiilor periodice introduse în matematică şi modul, uneori complicat, de a se ajunge la ele,

încercându-se substituirea cercului cu alte curbe, în majoritate lor închise.

Fig.17 SFERA-CUB ◄ CONOPIRAMIDA ŞI PIRAMIDA CONICĂ ►

ALBUM DE DESENE


26

Pentru obţinerea unor funcţii speciale şi periodice noi, s-a încercat înlocuirea cercului

trigonometric cu pătratul sau cu rombul, aşa cum a procedat fostul şef al Catedrei de Matematică de

Fig.18 Miriapozi şi cvadripozi. Rampe suport pentru lansarea rachetelor româneşti

la Facultatea de Mecanica din Timişoara, profesorul universitar Dr. mat. Valeriu Alaci, descoperind

funcţiile trigonometrice pătratice şi rombice. Apoi, profesorul de matematică timişorean Eugen Vişa

ALBUM DE DESENE


27

Fig.19 TOR CENTRIC ŞI TOR EXCENTRIC

ALBUM DE DESENE


28

a întrodus funcţiile pseudo-hiperbolice, iar profesorul de matematici M. O. Enculescu a definit

funcţiile poligonale, înlocuind cercul cu un poligon cu n laturi; pentru n = 4 obţinând funcţiile

trigonometrice pătratice Alaci.

De curând, matematiciana americană, de origine română, Prof. Malvina Baica de la

Universitatea Wisconsin, impreună cu Mircea Cấrdu au completat spaţiul dintre funcţiile circulare

Euler şi funcţiile pătratice Alaci cu funcţiile transtrigonometrice (Periodic Transtrigonometric

Functios), infratrigonometrice ş.m.a. Matematicianul sovietic Marcuşevici a descris, în lucrarea “Funcţii sinus remarcabile”

funcţiile trigonometrice generalizate şi funcţiile trigonometrice lemniscate.

Ȋncă din anul 1877, matematicianul german Prof. Dr. August Biehringer, substituind

triunghiul dreptunghic cu unul oarecare, a definit funcţiile trigonometrice înclinate.

Fig.20 CLEPSIDRE SUPERMATEMATICE

Savantul englez, de origine română, ing. George (Gogu) Constantinescu a înlocuit cercul cu

evolventa şi a definit funcţiile trigonometrice ramâneşti: cosinus românesc şi sinusul românesc,

exprimate de funcţiile Corα şi Sirα cu care a soluţionat exact unele ecuaţii diferenţiale neliniare ale

teoriei sonicităţii, creată de el. Şi ce puţin cunoscute sunt, toate aceste funcţii, chiar şi în România !

Ce simple pot deveni şi, de fapt, sunt lucrurile complicate! Acest paradox sugerează că, prin simpla

deplasare / expulzare a unui punct dintr-un centru şi prin apariţia excentrului, poate să apară o nouă

lume, lumea ME şi, totodată, un nou univers, universul SM.

Apropo de paradox. Cel care l-a contrazis pe Albert Einstein, Prof. Dr. Math. Florentin

Smarandache este şi iniţiatorul curentului de avangardă numit paradoxism, la care participă peste

300 de scriitori de pe glob. Pentru introducerea în Matematică a ”SFEREI PĂTRATE” şi a ”CUBULUI

CIRCULAR” (vezi figura 17), autorul acestui ALBUM a fost admis în Asociaţia Internaţională de

Paradoxism, ca membru de onoare (cu diplomă), cu deviza, referitoare la Supermatematică ”Orice

ALBUM DE DESENE


29

este posibil, chiar şi imposibilul ”, iar Universitatea Gallup, din Now Mexico, i-a acordat un

CERTIFICAT DE APRECIERE pentru contribuţiile aduse la dezvoltarea Matematicii.

Fig. 21 CUB ÎN CAROURI ŞI CUB CIOBIT

Fig.22 CUBUL ROMȂNESC, cel mai uşor cub din lume (V = 0), format din 6 piramide cu vârful comun, fără suprafeţele lor de bază.

Şi, fiindcă suntem în zona aprecierilor, nici Academia României nu s-a lăsat mai prejos şi, în

anul 1983, i-a acordat autorului Premiul ”Traian Vuia” pentru automatizări, pe anul 1981 (!), pentru

primul robot industrial românesc REMT-1 şi prima linie automată robotizată de la ”Electromotor” din

ALBUM DE DESENE


30

Timişoara. ”Premiul” a fost de 0 lei, 0 bani !.Şi, în acele vremuri, se ştia, doar teoretic, ce-i criza

economică mondială. Autorul a mai conceput, proiectat şi realizat, primul robot românesc (didactic),

din Laboratorul său de Proiectarea Dispozitivelor, Dispozitive de Automatizare a Proceselor de

Producţie şi Roboţi Industriali, primul robot industrial pur pneumatic ”Voinicel I”, care şi-a pierdut

braţul sub berbecul unei prese vechi cu fricţiune, în procesul de producţie de la ”Ambalajul Metalic”

din Timişoara şi a conceput şi proiectat în 1985, pentru URSS, în cadrul unui contract internaţional,

robotul de deservire a preselor de materiale plastice ”ROMAPET” (RObot MAteriale Plastice

Electrotimiş Timişoara). Ȋn paragraful de ”laude” poate fi acceptată şi înfiinţarea, îniţial la Catedra de

TCM şi apoi la Facultatea de Mecanică, a Universităţii ”POLITEHNICA” din Timişoara a primei

specializări din domeniul MECATRONICII din România.

celθ, pentru S(s [0,1], ε = 0) selθ, pentru S(s [0,1], ε = 0)

celθ, pentru S(s [0,1], ε = 1) selθ, pentru S(s [0,1], ε = 0)

Fig.23 FSM ELEVATE directe ══ şi inverse║

Noţiuni ca ”Supermathematics Functions” şi ”Funcţii circulare excentrice” au apărut pe

cele mai utilizate motoare de căutare ca Google, Yahoo, Altavista ş.a. încă de la apariţia Internetului.

Noile noţiuni, cum ar fi cea de cuadrilobe « quadrilobas », cu care sunt numite excentricele

care umplu continuu spaţiul dintre un cerc şi un pătrat, circumscris cercului, au fost incluse şi în

dicţionarul de matematică. Intersecţia cudrilobei cu drepta d generează noile funcţii denumite cosinus

cuadrilob şi sinus cuadrilob. Cu unele forme matematice noi, ca cele din figura 18, se mândresc şi o

serie de web-site-uri care crează şi distribuie programe de matematică performante.

Acelaşi lucru se întâmplă şi cu torul (Fig.18) care, din tor circular poate deveni pătrat, ca

formă şi/sau în secţiune. Diferenţa consistă în faptul că supermatematica poate să facă acest lucru

2 2 4 6

2

2

4

6

1 1 2 3 4 5 6

1

1

2

3

4

5

6

2 4 6

2

4

6

2 2 4 6

2

2

4

6

ALBUM DE DESENE


31

simplu, cu FSM derivată excentrică, sau cu funcţii cvadrilobe şi chiar cu funcţii centrice, pe când

”restul omenirii” are nevoie de programe de matematică special realizate în acest scop.

ParametricPlot3D[{{0.4 u Cos[t]+8,0.1 u Sin[t-ArcSin[0.8 Sin[t]]],9.5-4.5 u},{3.5 u-

2,((0.7-0.1 u)Cos[t])/ ,((1-0.1 (u+0.25 u2))

Cos[t+/2])/ },

{4-2.1 u, (1.4-0.4 u) Cos[t], (1.2-0.4 u) Sin[t]},{2.5 u-0.5,0.3 Cos[t], 0.3 Sin[t]+0.8},

{1+4 u,(0.7-0.1 u) Cos[t], (0.8-0.2 u) Sin[t]},{0.8 u Cos[t] +3.5,-4.5+2 u,

0.2 u Sin[t-ArcSin[0.8 Sin[t-5.8]]]},{0.8 u Cos[t]+3.5,4.5-2 u,

0.2 u Sin[t-ArcSin[0.8 Sin[t-5.8]]]}},{t,0,2 },{u,1,2}]

Fig.24 AVION SUPERMATEMATIC

Chiar dacă se scrie doar ”Cub”, ”Thor”, ”Sferă”, ş.a., în spatele lor se află programe elaborate

de matematică, uneori ”stufoase”, realizate cu mare efort şi multe cunoştinte de matematică şi, mai

ales, de programare pe calculatoare numerice.

Beneficiile pe care SM le aduce, în ştiinţă şi în tehnologie, sunt mult prea numeroase pentru a

fi etalate aici. Dar, ne face o deosebită plăcere să amintim că SM şterge graniţele dintre liniar şi

neliniar; liniarul aparţinând MC, iar neliniarul fiind apanajul ME, ca şi dintre ideal şi real, sau dintre

perefecţiune şi imperfectiune.

Se afirmă că Topologia este o parte a matematicii care nu face deosebire dintre un covrig şi o

ceaşcă. Ambele au câte un orificiu perforat. Ei bine, SM nu face distincţie dintre un cerc (e = 0) şi un

pătrat perfect (s = ± 1), dintre un cerc şi un triunghi perfect, dintre elipsă şi un dreptunghi perfect,

dintre o sferă şi un cub perfect ş.m.a; cu aceleaşi ecuaţii parmetrice obţinându-se atât formele ideale

ale MC (cerc, elipsă, sferă ş.m.a) cât şi cele reale (pătrat, dreptunghi, cub ş.m.a.), care nu aveau, până

de curând, adică, până la apariţia supermatematicii, ecuaţii matematice de definiţie.

Pentru s [-1,1], în cazul funcţiilor de variabilă excentrică de θ, ca şi în cazul funcţiilor de

variabilă centrică α, pentru s [-, +], se obţin o infinitate de forme intermediare, ca de exemplu,

pătrat, dreptunghi sau cub cu colţuri rotunjite şi cu laturi şi, respectiv, feţe din ce în ce mai curbate,

odată cu creşterea excentricitaţii s. Ceea ce facilitează utilizarea noilor funcţii SM la desenarea şi

ALBUM DE DESENE


32

reprezentarea unor piese tehnice, cu muchii rotunjite sau teşite, în programele SM-CAD / CAM, care

nu mai utilizează computerul ca pe o planşetă de desen, ci realizează obiectele tehnice dintr-odată, prin

ecuaţii parametrice, cu consecinţe remarcabile în economia de memorare a acestora; memorate fiind

ecuaţiile şi nu imensitatea de pixeli care definesc / mărginesc o piesă tehnică. A se vedea figura 24.

Numeroasele funcţii prezentate, fiind pentru întâia dată introduse în matematică, pentru

fixarea lor în memorie, autorul a considerat necesară o prezentare a ecuaţiilor lor, astfel încât, cei ce

doresc să contribuie la extinderea aplicaţiilor lor, să o poată face.

Funcţiile SM circulare elevate (FSM-CEL), denumite astfel, pentru că, prin modificarea

excentricităţii numerice s, punctele curbelor funcţiilor sinus elevat selθ ca şi a funcţiei circulare

elevate cosinus elevat celθ ”se elevează”, adică se ridică pe verticală ieşind din ecartul de [-1, +1] al

celorlalte funcţii sinus şi cosinus centrice şi excentrice.

Graficele funcţiilor celθ şi selθ pot fi simplu reprezentate prin produsele :

cel1,2θ = rex1,2θ.cosθ şi Celα1,2 = Rexα1,2.cosθ

sel1,2θ = rex1,2θ.sinθ şi Selα1,2 = Rexα1,2.sinθ

şi sunt prezentate, împreună, în figura 23, numai cele directe şi cele inverse, de variabilă excentrică θ.

Cele mai generale funcţii SM sunt funcţiile circulare exotice, care sunt definite pe un cerc

unitate, ne centrat în originea sistemului de axe xOy şi nici în excentrul S, ci într-un punct oarecare

C(c, γ), din planul cercului unitate, de coordonate polare (c, γ), în reperul xOy.

Foarte multe dintre planşele cuprinse în ALBUM sunt realizate cu FSM-CE de excentru

variabil şi de arce care sunt multipli n de θ (n.θ).

Relaţiile folosite, pentru fiecare caz în parte, sunt prezentate explicit, în majoritatea cazurilor

utilizându-se funcţiile matematice centrice, prin care, aşa cum s-a văzut, pot fi exprimate toate

funcţiile SM, mai ales atunci când programele de vizualizare a graficelor nu dispun de FSM.

Primele desene în 3D, ale funcţiei rex[θ, s], au fost reprezentate, cu mulţi ani în urmă, de

regretatul Prof. Dr. Ing. Victor Ancuşa, prin deplasarea manuală a hârtiei în imprimanta Hp, unică în

Timişoara la acea vreme, cu câte un pas, pentru fiecare valoare atribuită excentricităţii s [0, 2].

Primul program de (super)matematică, de vizualizare a FSM-CE, fără scrierea explicită a

relaţiilor lor de definiţie, ci scriind doar cex(θ, e, ε), sex(θ, e, ε), rex(θ, e, ε), dex(θ, e, ε) ş.a.m.d. a fost

ALBUM DE DESENE


33

realizat, sub denumirea comercială de Realan10, Realan11, Realan12, de programatorul american de

excepţie, de origine română, Dr. ing. Dan Micşa în cadrul Proiectului de Diplomă de absolvire a

Secţiei de TCM (v. imaginile dinspre parc a unora dintre laboratoarele secţiei), a Facultaţii de

Mecanică, din cadrul Universităţii ”POLITEHNICA” din Timişoara, promoţia 1991.

Primul program de vizualizare a FSM-CE, de excentre variabile, adică funcţii şi nu constante,

a fost realizat apoi de Prof. dr. ing. Dănuţ Şoşdean, atunci asistent, acum şeful Catedrei de TCM.

Ceea ce nu înseamnă că, în viitor, computerele nu vor avea implementate noile complemente

de matematică, pentru a le lărgi vast domeniul lor de utilizare. Microsoft a zis că mai cugetă asupra

avantajelor şi dezavantajelor acestei acţiuni. Cugetă, ardeleneşte, de peste 10 ani !

Şi nici specialiştii în realizarea de programe de proiectare, asistate de calculator

CAD/CAM/CAE, nu vor întârzia prea mult în realizarea noilor programe, fundamental diferite, prin

care obiectele tehnice sunt realizate cu FSM circulare sau hiperbolice parametrice, aşa cum sunt

exemplificate unele realizări ca avioane (Fig. 24), case ş.a. în http://www.eng.upt.ro/~mselariu şi cum

o şaibă poate fi reprezentata ca o excentrică toroidală (sau ca un “tor excentric”) pătrată sau

dreptunghiulară într-o secţiune axială şi, respectiv, o placă pătrată cu un orificiu central pătrat poate fi

un “tor pătrat de secţiune pătrată”. Toate acestea, deoarece SM nu face distincţie dintre cerc şi pătrat,

sau dintre elipsă şi dreptunghi, aşa cum s-a mai afirmat.

Dar, cele mai importante realizări pot fi obţinute în ştiinţă prin soluţionarea unor probleme

neliniare, deoarece SM reuneşte, într-un tot unitar, cele două domenii atât de diferite în trecut, dintre

care domeniul neliniar necesita ingenioase abordări pentru rezolvarea fiecărei probleme în parte.

Astfel, în domeniul vibraţiilor, caracteristici elastice statice (CES) neliniare moi (regresive)

sau tari (progresive) se pot obţine foarte simplu scriind y = m.x, numai că m nu mai este m = tanα, ca

în cazul liniar (s = 0), ci m = tex1,2θ şi în funcţie de semnul excentricităţii numerice s, pozitiv sau

negativ, sau pentru S plasat pe axa x negativă (ε = π) sau pe axa x pozitivă (ε = 0), se obţin cele două

tipuri de caracteristici elastice neliniare şi, evident, pentru s = 0 se va obţine CES liniară.

http://www.eng.upt.ro/~mselariu

ALBUM DE DESENE


34

Deoarece, funcţiile cexθ şi sexθ ca şi Cexα şi Sexα şi combinaţiile lor, sunt soluţii ale unor

ecuaţii diferenţiale de ordinul doi, cu coeficienţi variabili, s-a constatat că şi pentru s = ± 1, şi nu

numai pentru s = 0, se obţin sisteme liniare (Cebâşev). La acestea, masa (punctul M) se roteşte pe cerc

cu o viteză unghiulara ω = 2.Ω = constant, dublă (faţă de a sistemului liniar de s = 0 de ω = Ω =

constant), dar se roteşte numai o jumătate de perioadă, iar în cealaltă jumătate de perioadă stagnează

în punctul A(R,0), pentru e = sR = R sau ε = 0 şi în punctul A’(─ R, 0), pentru e = ─ s.R = ─1, sau ε

= π. Ȋn acest fel, perioada de oscilaţie T, a celor trei sisteme liniare, este aceeaşi şi egală cu T = Ω /

2π. Pentru celelalte valori, intermediare, ale lui s şi e se obţin sisteme de CES neliniare.

Proiecţia, pe oricare direcţie, a mişcării de rotaţie a punctului M pe cercul de raza R, egală cu

amplitudinea oscilaţiei, cu viteza unghiulară ω = Ω.dex θ variabilă (după funcţia dexθ) este o mişcare

oscilantă neliniară.

Apariţia funcţiei ”rege” rex θ şi a proprietăţilor ei a facilitat apariţia unei metode hibride

(analitico-numerică) prin care s-a obţinut o relaţie simplă, cu numai doi termeni, de calcul a

integralei eliptice complete de prima speţă K(k), cu o precizie incredibil de mare, de minimum 15

zecimale exacte, după numai 5 paşi. Realizarea paşilor următori, poate conduce la obţinerea unei noi

relaţii de calcul a lui K(k), cu precizie considerabil mai mare şi cu posibilităţi de extindere şi la alte

integrale eliptice şi nu numai. Relaţia lui E(k), după 6 paşi, are aceeaşi precizie de calcul [23], [24].

Apariţia FSM a facilitat apariţia unei noi metode de integrare, denumita integrare prin

divizarea diferenţialei [25]. Cu nete avantaje, ce rezultă din soluţionarea simplă, în domeniul real, al

unor integrale rezolvabile în domeniul complex prin teorema reziduurilor.

SM nu este o lucrare încheiata ci, de abia o introducere în acest domeniu vast, un prim pas,

un pas mic al autorului şi un pas uriaş al matematicii.

Ne oprim aici, pentru a nu va răpi din plăcerea de-a vă delecta privirea cu planşele prezentului

ALBUM.

Albumul debutează cu entităţi geometrice ”luminoase” : LAMPIOANELE.

Deşi par produse chinezeşti, ele sunt realizate cu funcţii 100% româneşti, funcţii introduse în

diverse programe demonstrative, ca cel prezentat în continuare.

Lampioanele sunt realizate după un program demonstrativ, întocmit cu contribuţia lui

Michael Schreiber, la sugestia lui John Snadden şi prezentat de "Duck Cut" from The Wolfram

Demonstrations Project_ http://demonstrations.wolfram.com/DuckCut/ în care funcţia

circulară centrică sint a fost substituită cu FSM-CE sext modificată

, în sensul că,

în expresia funcţiei sext modificată, notată sexmt, FCC arcsin[ ] a fost substituită cu arctan[], iar ca

FSM-QL siqt, de expresie siqt =

, a fost modificată astfel siqmt =

.

Ȋn rezumat sint

= siqm[θ ≡ t, S(s,ε)], ceea ce constituie

modificarea în discuţie / cauză.

Prin modificarea valorii excentricitătilor numerice s în FSM-CE sexmt şi în FSM-QL siqmt

se pot obţine diversele forme, prezentate în ALBUM, iar cititorul / răsfoitorul poate obţine şi el, la

rândul lui, multe alte forme care-i plac mai mult.

Vizionare plăcută !

Autorul

e-mail : [email protected]

[email protected];

www.supermathematica.com

www.supermatematica.ro

www.eng.upt.ro/~mselariu

www.cartiAZ.ro

mailto:[email protected]


http://www.supermatematica.ro/

ALBUM DE DESENE


35

L A M P I O A N E 1

După un program în care FCC au fost substituite cu FSM-CE

"Duck Cut" from The Wolfram Demonstrations Project_ http://demonstrations.wolfram.com/DuckCut/

ALBUM DE DESENE


36

L A M P I O A N E 2

www.Supermathematica.com www.eng.upt.ro/~mselariu www.Supermatematica.ro

ALBUM DE DESENE


37

L A M P I O A N E 3

www.Supermatematica.ro

ALBUM DE DESENE


38

L A M P I O A N E 4


ALBUM DE DESENE


39

L A M P I O A N E 5


ALBUM DE DESENE


40

L A M P I O A N E 6


ALBUM DE DESENE


41

POCALE 1


ALBUM DE DESENE


42

POCALE 2


ALBUM DE DESENE


43

A R Ă T Ă R I A L B A S T R E Ȋ N 3 V E D E R I 1


ALBUM DE DESENE


44

A R Ă T Ă R I G A L B E N E Ȋ N 3 V E D E R I 2


ALBUM DE DESENE


45

A R Ă T Ă R I R O Ş I I Ȋ N 3 V E D E R I 3


ALBUM DE DESENE


46

A R Ă T Ă R I C I A N Ȋ N 3 V E D E R I 4


ALBUM DE DESENE


47

A R Ă T Ă R I P E S T R I Ţ E Ȋ N 3 V E D E R I 5


ALBUM DE DESENE


48



ALBUM DE DESENE


49



ALBUM DE DESENE


50



ALBUM DE DESENE


51

C L E P S I D R E D I V E R S C O L O R A T E 1


ALBUM DE DESENE


52

C L E P S I D R E D I V E R S C O L O R A T E 2

www.Supermathematica.com

ALBUM DE DESENE


53

C U B U R I D I V E R S E


ALBUM DE DESENE


54

C U B U R I S U P R A P U S E

www.Supermathematica.com

ALBUM DE DESENE


55

CUBURI DIVERSE PRELUCRATE 1


ALBUM DE DESENE


56



ALBUM DE DESENE


57



ALBUM DE DESENE


58



ALBUM DE DESENE


59

CUBURI CVADRILOBE IN 3 VEDERI 1

www.SuperMatematica.ro

CUBURI CVADRILOBE IN 3 VEDERI 2


ALBUM DE DESENE


61

CUBURI CVADRILOBE 3


CUBURI CVADRILOBE 4


ALBUM DE DESENE


63

CVADRILOBE EXCENTRICE SPECIALE 1

DE EXCENTRICITATE NUMERICĂ LINIARĂ s = 1

ParametricPlot[{( Cos[3x])/ Sqrt[1-(0.9Sin[3 x])^2],(Sin[x]) / Sqrt[1-

(0.9 Cos[4 x])^2]}, {x,0,2 Pi}]

ParametricPlot[{Cos[t+ArcSin[Sin [Sin[2 t]]]]/Sqrt[1-(Sin[Sin [t+Arc

Sin[Sin[2t]]]])^2], Sin[t+ArcSin[

Sin[Sin[2t]]]]/Sqrt[1-(Cos[Sin[t +ArcSin[Sin[2t]]]])^2]},{t,0,2Pi}

ParametricPlot[{( Sin[3 x])/ Sqrt[1-(0.9 Cos[3 x])^2], ( Cos[x]) / Sqrt[1-(0.9 Sin[4

x])^2]},

{x,0,2 Pi}]

DE EXCENTRICITATE NUMERICĂ

LINIARĂ s = 0.8

DE EXCENTRICITATE NUMERICĂ

LINIARĂ s = 0.5

ParametricPlot[{Cos[t-ArcSin[0.8 Sin[Sin[t-Pi/2]]]] /Sqrt[1-

( 0.8 Sin[t-ArcSin[0.8 Sin[Sin[t]]]])^2], Sin[t-ArcSin[- 0.8 Sin[Sin[t]]]]/Sqrt[1+(0.8 Cos[t-ArcSin[- 0.8 Sin[Sin[t-

Pi/2]]]])^2]},{t,0,2 Pi}]

ParametricPlot[{Cos[t-ArcSin[0.5 Sin[Sin[t-Pi/2]]]]/ Sqrt[1-(0.5

Sin[t-ArcSin[0.5Sin[Sin[t]]]])^2],Sin[t-ArcSin[0.5Sin[Sin[t]]]]/Sqrt[1+(0.5 Cos[t-ArcSin[- 0.5 Sin[Sin[t-

Pi/2]]]])^2]},{t,0,2 Pi}]

www.SuperMatematica.Ro

1.0 0.5 0.5 1.0

2

1

1

2

1.0 0.5 0.5 1.0

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

1.0 0.5 0.5 1.0

2

1

1

2

1.5 1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

CVADRILOBE EXCENTRICE SPECIALE 2

ParametricPlot[{(Cos[3x])/ Sqrt [1-(0.9Sin[Sin[Sin[Sin[3 x]]]]) ^ 2

],(Sin[Sin[Sin[Sin[x]]]])/Sqrt[1-

(0.9Cos[4 x])^2]}, {x,0,2Pi}]

ParametricPlot[{(Cos[5 x])/ Sqrt [1-(0.9 Sin[5 x])^2],

Sin[x]/ Sqrt [1-(0.9 Cos[4

x])^2]},{x,0,2 Pi}]

ParametricPlot[{(Cos[3x])/ Sqrt [1-(0.9 Sin[Sin[Sin[Sin[3 x]]] ]) ^ 2],

(Sin[Sin[Sin[Sin[x]]]]) /Sqrt [1 -(0.9 Cos[5

x])^2]}, {x,0,2 Pi}]

ParametricPlot[{(Cos[x])/Sqrt[1-(0.9 Sin[Sin [Sin[

Sin[3x]]]])^2], (Sin[Sin[Sin[Sin[x]]]])/

Sqrt[1-(0.9 Cos[5 x])^2]}, {x,0,2 Pi}]

ParametricPlot[{{( Cos[3 x])/Sqrt[1-(0.8 Sin[Sin[

Sin[3 x]]])^2], (Sin[5 x])/

Sqrt[1-(0.9 Cos[5 x])^2]}}, {x,0,2 Pi}]


1.0 0.5 0.5 1.0

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

1.0 0.5 0.5 1.0

2

1

1

2

1.0 0.5 0.5 1.0

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

1.0 0.5 0.5 1.0

1.5

1.0

0.5

0.5

1.0

1.5

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

ALBUM DE DESENE


R E L I E F P L O T 1

www.SuperMathematica.com ; www.supermatematica.ro



66

R E L I E F P L O T 2




ALBUM DE DESENE


JOC DE APE 1




68

JOC DE APE 2




ALBUM DE DESENE


JOC DE APE 3




70

JOC DE APE 4




ALBUM DE DESENE


JOC DE APE 5




72

JOC DE APE 6




ALBUM DE DESENE


JOC DE APE 7




74

LINII DE NIVEL 1

www.SuperMathematica.com

ALBUM DE DESENE


LINII DE NIVEL 2


76

LINII DE NIVEL 3


ALBUM DE DESENE


LINII DE NIVEL4


78

LINII DE NIVEL 5


ALBUM DE DESENE


LINII DE NIVEL 6


80

LINII DE NIVEL 7


ALBUM DE DESENE


M E D U Z A 1


ALBUM DE DESENE


82

M E D U Z E 2


ALBUM DE DESENE


O B I E C T E G E O M E T R I C E A L E M A T E M A T I C I I C E N T R I C E 1

www.SuperMathematica.com www.eng.upt.ro/~mselariu www.SuperMathematica.com

ALBUM DE DESENE


84

O B I E C T E G E O M E T R I C E A L E M A T E M A T I C I I C E N T R I C E 2


ALBUM DE DESENE


O B I E C T E G E O M E T R I C E A L E M A T E M A T I C I I E X C E N T R I C E 3


ALBUM DE DESENE


86



ALBUM DE DESENE




ALBUM DE DESENE


88

ELEMENTE ALE COLOANELOR IMBRATIŞĂRII DINTRE GALBEN ŞI CIAN


ALBUM DE DESENE


89

ELEMENTE ALE COLOANELOR IMBRATIŞĂRII DINTRE GALBEN ŞI CIAN


ALBUM DE DESENE


90

ELEMENTE ALE COLOANEI IUBIRII ETERNE 1

www.SuperMatematica.RO

ALBUM DE DESENE


91

ELEMENTE ALE COLOANEI IUBIRII ETERNE 2


ALBUM DE DESENE


92

ELEMENTE ALE COLOANEI EXCENTRICE

A RECUNOŞTINŢEI FĂRĂ SFȂRŞIT 3


ALBUM DE DESENE


93

ELEMENTE ALE COLOANELOR IMBRATIŞĂRII VEŞNICE 6


ALBUM DE DESENE


94



ALBUM DE DESENE


95



ALBUM DE DESENE


96



ALBUM DE DESENE


97



ALBUM DE DESENE


98



ALBUM DE DESENE


99



ALBUM DE DESENE


100

ARANJAMENTE ȊN 3 D


ALBUM DE DESENE


101

C A P S U L A S P A Ţ I A L Ă

C A P S U L E S P A Ţ I A L E


ALBUM DE DESENE


102

P L Ă C I L E P R O T E C T O A R E A L E C A P S U L E I S P A Ţ I A L E


ALBUM DE DESENE


103

F A R F U R I I Z B U R A T O A R E


ALBUM DE DESENE


104


ALBUM DE DESENE


105

STATUIA LUI BUDHA STILIZATĂ

DIN PORTELAN ROZ DIN STICLA COLORATA

DIN SARMA DIN LUT


ALBUM DE DESENE


106

OBIECTE SUPERMATEMATICE MULTICOLORE CU GOLURI 1


ALBUM DE DESENE


107



ALBUM DE DESENE


108



ALBUM DE DESENE


109

G U R A . . .

LA CARE NU AJUNGI …. LA ….NAS … D E B R O S C O I

…. ZĂU DRAGĂ ?… … C A O . . . L A D Ă

… CARE SPUNE “ NU MAI SPUNE…” … DE CONFERENŢIAR


ALBUM DE DESENE


110

G U R A . . .

… NEINCREZATOARE … MARE

… CARE ŞOPTEŞTE … AŞTEPTȂND SĂ CADĂ PARA …

… M I S T I C A … CARE SUSEŢINE ECHIPA…

www.Supermatematica.ro, www.Supermathematica.com

ALBUM DE DESENE


111

G U R I . . .

… CARE AU CAZUT… DE ACORD I N D I S P U T A V E R B A L A

CEA MICĂ MUŞCĂ PE CEA MARE … ȊN UNANIMITATE DE PĂRERI

…CARE SE SUSŢIN RECIPROC … CASCATE


ALBUM DE DESENE


112

G U R A …

… NEAGRA IN CERUL GURII …ȊNCRȂNCENATĂ

… C Ă S C A T Ă … DE PADURAR

… ECOLOGICĂ … ȊNCHISĂ

www.Supermatematica.ro, www.Supermathematica.com

ALBUM DE DESENE


IMPLETITURI 1


ALBUM DE DESENE


114

IMPLETITURI 2


ALBUM DE DESENE


IMPLETITURI 3


ALBUM DE DESENE


116

IMPLETITURI 4


ALBUM DE DESENE


IMPLETITURI 5


ALBUM DE DESENE


118

OBIECTE SM STRANII 1


ALBUM DE DESENE


OBIECTE SM STRANII 2


ALBUM DE DESENE


120

SEMICONURI CU SEMIPIRAMIDE CONCAVE ŞI SEMIPIRAMIDE CONVEXE

www.SuperMatematica.ro, www.eng.upt.ro/mselariu, www.SuperMathematica.com

http://www.supermathematica.ro/

http://www.eng.upt.ro/mselariu

http://www.supermathematica.co/

ALBUM DE DESENE


121

SUPRAFEŢE SM ȊN DOUĂ VEDERI 1


ALBUM DE DESENE


122



ALBUM DE DESENE


123



ALBUM DE DESENE


124



ALBUM DE DESENE


125



ALBUM DE DESENE


126

S U P R A F E Ţ E C O M P L E X E Ȋ N T R E P Ă T R U N S E 1

Plot3D[{0,5 Re[tanv(z)], 0,5 Im[sin(z)]}],

z = x+i.y, x [ -2π, 2π] ,y [-π, π]

Plot3D[{ Re[siqx+i.aexy], 0,5 Im[sinx+i.aexy]}],

z = x+i.y, x [ -2π, 2π] ,y [-2π, 2π]

Plot3D[{Re[coqx + i.y], Abs[coqx+i.y]}]

y [0, 2] ◄ z = x+i.y, x [ -2π, 2π] , ►y [-π, π]

Legenda:

www.SuperMathematica.com www.eng.upt.ro/~mselariu www.SuperMatematica.Ro

ALBUM DE DESENE


127


Plot3D[{0,5Abs[sinz]-2, 0,5Abs[sinz], 0,5 Re[sinx/Abs[cosy]]}]

y [0, 2] ◄ z = x+i.y, x [ -2π, 2π] , ►y [-π, π]

◄Plot3D[{0,5 Abs[sinz], 0.5Im[sinz]}] Plot3D[{0,5 Abs[sinz], 0.5Abs[sinz]}]►

Z = x + i.y, x [ -2π, 2π] , y [-π, π]


ALBUM DE DESENE


128


]


ALBUM DE DESENE


129

S U P R A F E Ţ E C O M P L E X E C A V E Ȋ N T R E P Ă T R U N S E 4

Plot3D[{Abs[aex(x) + i.y] +1, Abs[aexz]},

{x,- π, π },{- π , π }, s = 0,98]

Plot3D[{Abs[aex(x) + i.y] , Im[aexz]},

{x,- π, π },{- π , π }, s = 0,98]

Plot3D[{Re[aex(x) + i.y], Im[aexz]},

{x,- π, π },{- π , π }, s = 0,98]

Plot3D[{Abs[aex(x) + i.y], Re[aex(x) + i.y]},

{x,- π, π },{- π , π }, s = 0,98]


ALBUM DE DESENE


130


Plot3D[{tanz, sinz}, {x,-2 π, 2π },{y,-π ,π}]

z = x +i.y

Plot3D[{Re[coqx+iy], Re[siqx,+iy],

Abs[siqx +iy]},{x, -2π, 2π},{y,-π, π }]

Plot3D[{0,5Re[sexx+i.y],0,5Abs[cos(aexx+i.y) +1,

0,5Abs[sex(x +i.y)] ] ]},{x,-2π, 2π},{y, -π, π}] Plot3D{Re[coq(x+π/2)+iy], Re[coqx+i.y], -1,

Abs[siqx+i.y]-2},{x,-2π, 2π,},{y,-π, π}]

Plot3D[{0.5(Abs[cosz], Re[cosz], Im[cos(x+Pi/2 +i.y0])]},{x,-2 π, 2 π },{- π, π }]


ALBUM DE DESENE


131

TOR SM COMPLET ȊN TOR SM SECŢIONAT 1


ALBUM DE DESENE


132

OBIECTE GEOMETRICE ALE MATEMATICII E X C E N T R I C E

TURNURI VALERIU ALACI

SAU CILINDRUL CONICO-PĂTRAT


ALBUM DE DESENE


133

TURNURI VALERIU ALACI


ALBUM DE DESENE


134

Toruri SM bicolore 1


ALBUM DE DESENE


135


ALBUM DE DESENE


136


ALBUM DE DESENE


137

TOR EXCENTRIC REALIZAT DIN SEGMENTE CENTRICE


ALBUM DE DESENE


138


ALBUM DE DESENE


139

FIGURI CU ROLE DE RULMENT SI TOR PATRAT 1


ALBUM DE DESENE


140



ALBUM DE DESENE


141



ALBUM DE DESENE


142

F L U T U R A Ş I


ALBUM DE DESENE


143

C A R A C A T I T E 1


ALBUM DE DESENE


144

C A R A C A T I T E 2


ALBUM DE DESENE


145

C U R B E F R U M O A S E

2 2 4 6

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

2 2 4 6

2

1

1

ALBUM DE DESENE


146

C U R B E C V A D R I L O B E F R U M O A S E

www.SuperMatematica.ro, www.eng.upt.ro/mselariu, www.SuperMathematica.com.

1 2 3 4 5 6

1.0

0.5

0.5

1.0

2 2 4 6

1.0

0.5

0.5

1.0

1 2 3 4 5 6

1.0

0.5

0.5

1.0

1 2 3 4 5 6

1.0

0.5

0.5

1.0

http://www.supermathematica.ro/

http://www.eng.upt.ro/mselariu


ALBUM DE DESENE


147

E L I C E S U P E R M A T E M A T I C E

ALBUM DE DESENE


148

C U B U R I C U P A N G L I C I


ALBUM DE DESENE


149

O B I E C T E I N C U B U R I I N T R E I V E D E R I 1


ALBUM DE DESENE


150

O B I E C T E I N C U B U R I I N T R E I V E D E R I 2


ALBUM DE DESENE


151

A R T Ă P E S A R M Ă 1


ALBUM DE DESENE


152



ALBUM DE DESENE


153



ALBUM DE DESENE


154



ALBUM DE DESENE


155

DANS POPULAR ROMȂNESC


ALBUM DE DESENE


156

TOR SUPERMATEMATIC VIU COLORAT

www.SuperMathematica.com www.SuperMatematica.Ro

ALBUM DE DESENE


157

MELCI EXCENTRICI




ALBUM DE DESENE


158

FIGURI PE CORPURI GEOMETRICE 1

www. SuperMathematica.com

ALBUM DE DESENE


159



ALBUM DE DESENE


160



ALBUM DE DESENE


161

FLORI ARTIFICIALE SM 1

www.SuperMathematica.com; www.SuperMatematica.ro


ALBUM DE DESENE


162




ALBUM DE DESENE


163




ANEXA 1 la ALBUMUL DE DESENE


187

Moto: “Mecanica este paradisul ştiinţelor matematice,

deoarece prin ea se ajunge la fructele matematicii ”

Leonardo da Vinci

“Ori de câte ori aud de “cvadridimensional”

matematicienii sunt scuturaţi de un frison mistic..”

Albert Einstein

SPAŢIUL MATEMATICII CENTRICE (ME)

ŞI SPAŢIUL MATEMATICII EXCENTRICE ( ME)

Spaţiul este o categorie filozofică ce desemnează forme obiective şi universale de existenţă a

materiei în mişcare. Spaţiului exprimă ordinea, poziţia (localizarea şi orientarea), distanţa, mărimea,

forma şi întinderea obiectelor coexistente în lumea reală ca şi a corpurilor sau părţilor ce formează

aceste obiecte. Pentru Newton, spaţiul şi timpul sunt absolute, obiective şi universale, deci

independente de materia în mişcare. Acesta ar putea fi numit spaţiul matematicii centrice (MC).

şi s = 1 v’ > v s’ > s

Fig. 1.12 Contracţia spaţiului (L) şi dilatarea temporală (t) stânga

şi variaţia lor cu creşterea vitezei dreapta.

www.SuperMathematica.ro

Constituirea geometriilor neeuclidiene de către Lobacevski, Bolyai, Gauss, Riemann, ş.a. a

contribuit la formarea concepţiei, conform căreia, proprietăţile geometrice spaţiale nu sunt

pretutindeni aceleaşi, fiind determinate de proprietăţile lui fizice. Spaţiul este deci neomogen şi

anizotrop. Teoria relativităţii lui Einstein, a demonstrat că proprietăţile spaţio-temporale (lungimea

corpurilor şi durata fenomenelor v.Fig.1.12), depind de viteza de deplasare a sistemelor materiale şi

că structura sau proprietăţile continuului spaţio-temporal variază în funcţie de concentrarea maselor

substanţei şi de intensitatea câmpului gravitaţional generat de către acestea. De aceea, ea a fost

numită şi teoria fizică a spaţiului şi timpului. Dacă acesta ar fi spaţiul matematicii excentrice (ME),

atunci, se poate adăuga că, în acest spaţiu, toate entităţile sau figurile geometrice se pot

metamorfoza, prin existenţa excentricităţii ca o nouă dimensiune a acestui spaţiu, sau, mai precis,

ca noi dimensiuni ale lui.

http://ro.wikipedia.org/wiki/Filozofie

http://ro.wikipedia.org/wiki/Materie

http://ro.wikipedia.org/wiki/Mi%C5%9Fcare

http://ro.wikipedia.org/wiki/Geometrii_neeuclidiene

http://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Lobacevski&action=edit&redlink=1

http://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Bolyai&action=edit&redlink=1

http://ro.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss

http://ro.wikipedia.org/wiki/Riemann

http://ro.wikipedia.org/wiki/Teoria_relativit%C4%83%C5%A3ii

http://ro.wikipedia.org/wiki/Albert_Einstein

http://ro.wikipedia.org/wiki/Mas%C4%83

http://ro.wikipedia.org/wiki/Substan%C5%A3%C4%83

http://ro.wikipedia.org/wiki/C%C3%A2mp

http://ro.wikipedia.org/wiki/Teorie

Excentricitate pote fi considerată un amănunt, dar nu este ! Şi, chiar dacă ar fi, “Nu neglijaţi

amănuntele. Amănuntele creează perfecţiunea şi perfecţiunea nu-i un amănunt !” ne-a îndemnat,

cu aproape 500 de ani înainte, Michelangelo Buonarroti.

Excentricitate reală poate fi distanţa de la punctul E(e,ε) până la un punct O(0,0), considerat

centru, ca în matematica excentrică (ME). O diferenţă de potenţial în electricitate, o diferenţă de

presiune în hidraulică, datorită căreia fluidul se deplasează într-un sens sau altul într-o conductă. Fără

această excentricitate-- diferenţă de presiune, mişcarea nefiind posibilă; fluidul staţionând.

Diferenţa dintre originile a două sisteme inerţiale, sau spaţiu deplasării relative a acestora este

e = s.t, şi nu timpul t, aşa cum se consideră în continuare, caz în care excentricitatea este o mărime

variabilă care creşte continuu, în care raportul s =

a fost denumit excentricitate numerică.

Fără existenţa unei excentricităţi originare oarecare, apariţia şi mişcarea în univers n-ar fi fost

posibilă. “Amănutele crează perfecţiunea şi perfecţiunea nu-i un amănunt !” Cât de mult adevăr în

spusele lui Michelangelo Buonarroti !

Fig. 1.13 Contracţia spaţiului (LE) şi dilatarea temporală (tE) în cazul factorului Lorentz

excentric, pe direcţia θ <


În figura 1.12 este schiţată situaţia a două sisteme inerţiale, iniţial suprapuse în O(0, 0), sau a

unui sistem considerat fix în originea O(0, 0) şi al doilea, care se deplasează, pe direcţia axei x (ε = 0),

cu viteza v, o fracţiune (0,6 în figura 1.12) din viteza c a luminii în vid, astfel că, deplasarea relativă a

celor doua sisteme s = , este dată de o nouă dimensiune a spaţiului e, adică e = s.t =

, care este

excentricitatea liniară reală variabilă este e iar s este excentricitatea liniară numerică, ambele, aici,

considerate constante. Acesta este spaţiul 2 D excentric, notat 2DE cu 3 dimensiuni: x, y şi e =

, în

care e variază uniform, în raport cu timpul t. Dacă E se deplasează pe o direcţie de orientare ε, faţă de

axa x, ε = ct, situaţia nu se schimbă, decât dacă deplasarea se realizează şi pe direcţia z, caz în care ne

situăm în spatiul 3D excentric, spaţiu 3D cu patru dimensiuni: x, y, z şi e, notat 3DE, dacă ε = ct şi cu

5 dimensiuni dacă ε este variabil ε = ε (t) . Excentricitatea unghiulară fiind ε.

In figura 1.12, sunt reprezentate contracţia spaţiului (L < 0) şi dilatarea temporală (t > 0)

pentru un unghi la excentrul S de θ = π/2 şi pentru unitatea de lungime L = R = 1 şi respectiv, unitatea

de timp t = R = 1 e = s. Acestea sunt



189

(1.26)

.

În aceeaşi figură, în partea dreptă, este prezentată accentuarea dilatării timpului şi a contracţie

temporale la o creşterea viteze de la v la v’.

.Factorul Lorentz centric (s), constant pentru un anumit s şi

factorul Lorentz excentric E (s, θ), variabil în funcţie de θ pentru un anumit s

E ≤ , θ =

E =

Variaţia unităţii de lungime L datorită contracţiei, în cele două cazuri

(s =

) E (s, θ)

Fig. 1.14 Factorii Lorentz centric şi excentric E

Se observă şi din figură că, pentru v = c s = 1 şi L – L, adică lungimea se reduce la

zero (L’ 0, L = L’ - L = 1) şi timpul se dilată nemărginit t’ = t ∞.

În relaţiile anterioare, factorul Lorentz, notat în mod obişnuit cu γ, aici a fost notat cu

(litera grecească fiind mai apropiată de iniţiala numelui lui Lorentz decât gama - γ) şi are expresia

(1.27) =

=

> 1

Pentru o anumită valoare a vitezei v = ct., rezultă o excentricitate numerică s = ct. şi, ca

urmare, şi un factorul Lorentz constant, pentru care contracţia spaţiului şi, mai precis, a unitaţii de

lungime L pe direcţia y (Fig. 1.12) este şi dilatarea temporală a unitaţii de timp t va fi t’ =

.t.Se poate deduce că aceste valori sunt invariante la sensul de deplasarea (pozitiv pe semiaxa x+ sau

1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

negativ pe direcţia semiaxei negativa x–, şi, evident, nici la unitaţi de lungime şi timp orientate pe x,

dar marcate pe sensurile pozitive sau negative ale direcţiei y, aşa cum se observă şi în figura 1.15.

Pentru θ = ±

, = E astfel că L = L’ – L minim şi t = t’ – t maxim posibil, pentru o

anumita valoare a lui s [ 0, 1].

Deşi mărimile L, L’, t, t’ sunt reprezentate pe directia y, ele corspund deplasării relative ale

sistemelor inerţiale pe direcţia axei x. Ca urmare, contracţia L şi dilatarea t au loc pentru lungimi L

şi lungimi de undă sau frecvenţe, care măsoară timpul, orientate tot pe direcţia de mişcare x.

L = L’ – L şi LE, pentru L = 1 t = t’ – t şi LE, pentru t = 1

Fig. 1.15 Contracţiile lungimilor şi dilatarea temporală pentru cei doi factori Lorentz

centric şi excentric E, pentru s [ 0, 1] cu pasul 0,1


Fig. 1.16 Deformaţiile unui disc circular la deplasarea lui pe direcţia x cu viteza v,

o fracţiune s din viteza c a luminii în vid s [0, 1], cu pasul 0,1, e =

t,

în 2D stânga şi în 3D în dreapta


Dacă, în relaţiile anterioare, unghiul θ este diferit de un unghi drept, atunci fenomenul de

dilatare a timpului se accentuează, iar cel de contracţie a spaţiului se atenuează, odată cu scăderea lui θ

(Fig. 1.13 şi 1.14). Pentru direcţia de θ = 0, lungime L, care este orientată pe direcţia de deplasare x,

nu-şi modifică lungimea, oricarear fi raportul s al vitezelor (Fig. 1.14), astfel că L’ = L şi atenuarea

contracţiei lungimii este completă l = 0, iar dilatarea temporală este maximă posibilă, deoarece t’

∞. Dacă unghiul θ =

însemnă mărimi reprezentate pe axa y dar orientate pe direcţia x, atunci

θ = 0 poate înseamna aceleaşi marimi reprezentate pe direcţia x dar orientate pe direcţia transversală y.

Se poate obţine, astfel, un factor Lorentz variabil E, denumit factor Lorentz excentric,

variabil cu direcţia θ de orientare a mărimii, pentru a se deosebi de cel constant centric . Expresie lui

E este

3 2 1 1 2 3

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

3 2 1 1 2 3

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0



191

(1.28) E =

=

[, 1], pentru θ [

],

În consecinţă, fenomenul de contracţie a lungimilor depinde de direcţia θ, de orientare în

spaţiu a lungimii etalon, fiind maximă pe direcţia de mişcare relativă x de deplasare a sistemului

inerţial mobil, adică θ =

E(θ) = şi minimă (zero) pe direcţia transversală y (θ = 0).

Ca urmare, un disc circular, care se deplasează pe direcţia x cu viteza v, fracţiune s =

din

viteza c a luminii în vid (Fig.1.16), se va turti pe directia x, astfel că, la atingerea vitezei absolute a

luminii în vid, viteză v = c s = 1, va deveni o bara de lungime Ly = 2R, pe direcţia transversală de

mişcare y şi de dimensiune Lx = 0 pe direcţia de mişcare x. Pierzându-şi una dintre cele două

dimensiuni, de fapt discul circular va dispărea.

La întrebarea “Ce se va întâmpla cu discul la viteze supraluminale ?” vă poate răspunde Prof.

Dr. math. Florentin Smarandache, seful Departamentului de Ştiinţă şi Matematica a Universităţii

Gallup din New Mexico (SUA), care a elaborat o teorie în cazul vitezelor ce depasesc viteza luminii.

De aceea, în matematica centrică (MC), există doar 3 dimensiuni liniare x, y, şi z care sunt,

totodată, şi dimensiuni de formare a obiectelor 3D, prin ecuaţiile lor parametrice, de exemplu.

Fig. 1.17 Factorii Lorentz şi E = E(θ = 0,8

) stânga, precum şi

variaţia lungimii L = 1 în funcţie de s =

şi θ [0, π] dreapta

www.SuperMathematica.Ro

Ecuaţia polară a obiectului de lungime L=1, care se deformează, contractându-se la L’, odată

cu creşterea vitezei relative s, de deplasare a sistemului inerţiale pe direcţia x ( v s ), în aceste

situaţii, este

(1.29) ρ = ,

iar, în coordonate parametrice, este

(1.30)

,

cu graficelor din figurile 1.15, 1.16 şi 1.17.

NOI DIMENSIUNI ALE SPAŢIULUI ŞI CONSECINŢELE LOR :

HIBRIDAREA ŞI METAMORFOZAREA MATEMATICĂ

Spaţiul este o entitate abstractă care reflectă o formă obiectivă de existenţă a materiei. Apare

ca o generalizare şi abstractizare a ansamblului de parametri prin care se realizeazã deosebirea între

diferite sisteme ce constituie o stare a universului.

El este o formă obiectivă şi universală a existenței materiei, inseparabilă de materie, care are

aspectul unui întreg neîntrerupt cu trei dimensiuni și exprimă ordinea coexistenței obiectelor lumii

reale, poziția, distanța, mărimea, forma, întinderea lor.

În concluzie, se poate afirma că spaţiul apare ca o sinteză, ca o generalizare şi abstractizare a

constatărilor cu privire la o stare, la un moment dat, a universului.

În cadrul mecanicii clasice, noţiunea de spaţiu este aceea a modelului spaţiului euclidian

tridimensional (E3) omogen, izotrop, infinit.

Când se discută despre spaţiu, primul gând este îndreptat spre poziţie, adică noţiunea de

poziţie este direct asociată noţiunii de spaţiu. Poziţia este exprimată în raport cu un sistem de referinţă

(reper) sau, mai scurt, printr-un sistem de coordonate.

Un obiect tridimensional are în spaţiu E3 6 grade de libertate, constituite din cele 3

translaţii, pe direcţiile X, Y şi Z şi din 3 rotaţii, în jurul axelor X, Y şi Z, notate, respectiv, cu θ, φ, ψ

în Matematică şi în Mecanică şi cu A, B şi C, în tehnologie şi în robotică.

Un obiect poate fi “realizat” sau, mai precis, poate fi reprodusă imaginea lui în spaţiul virtual,

când apare în 3D, pe ecranul monitorului unui computer, prin folosirea unor programe tehnice (CAD)

sau matematice comerciale (MATHEMATICA, MATLAB, MATHCAD, MAPLE, DERIVE, ş,a.) sau

speciale, care folosesc FSM-Excentrice, Elevate sau/şi Exotice - la descrierea obiectelor, cum este

SM-CAD-CAM.



Fig. 1.18 Metamorfozarea obiectelor matematice


Prin modificarea excentricitaţii, obiectele cunoscute şi formate în domeniul centric al

supermatematicii (SM), adică, în matematica centrică (MC), pot fi deformate în domeniul excentric al

SM, adică, în matematica excentrică (ME) şi transformate iniţial în obiecte hibride, proprii ME, ca,

apoi, să fie re-transformate în obiecte de alt gen, cunoscute în MC. Ca de exemplu, deformarea unui

con perfect (s = 0) în cono-piramide [s (0, 1)] cu baza un pătrat perfect şi vârful conic, care

constitue obiectele hibride, situate între con şi piramidă, pâna la transformarea ei într-o piramidă

perfectă (s = ± 1) cu baza un pătrat perfect (Fig.1.18). Obiectul poate fi realizat în fapt, prin diversele

http://www.webdex.ro/online/dictionar/pozi%C8%9Bia

http://www.webdex.ro/online/dictionar/distan%C8%9Ba

http://www.webdex.ro/online/dictionar/m%C4%83rimea

http://www.webdex.ro/online/dictionar/forma



193

metode de prelucrare mecanice [v. Mircea Şelariu, Cap.17 Dispozitive de prelucrare,

PROIECTAREA DISPOZITIVELOR, EDP, Bucureşti, 1982, coordonator Sanda-Vasii Roşculeţ] de

formare (turnare, sinterizare), deformare (la cald şi la rece), dislocare (decupare, aşchiere, eroziune,

netezire) şi agregare (sudare şi lipire).

Conopiramidă Cilindru C/P

Sferocub Cilindru C/T

Fig.1.19 Obiecte matematice hibride


În ambele cazuri, sunt necesare mişcări ale sculei şi/sau ale piesei, respectiv, ale spotului

luminos care delimitează pe ecran un pixel şi trece de la un pixel la altul.

Mişcarea este strâns legată de spaţiu şi de timp.

Mişcarea mecanică poate fi de

formare în timp a corpurilor şi, implicit, a obiectelor ;

schimbarea în timp a poziţiei obiectelor, sau a părţior sale, denumite corpuri, în

raport cu alte corpuri, alese drept sisteme de referinţă;

schimbarea în timp a formei corpurilor şi, implicit, a formei obiectelor, prin

deformarea lor .

Spaţiul reflectă raportul de coexistenţă dintre obiecte şi fenomene, sau părţi ale acestora,

indicând:

întinderea/mărimea lor, denumită dimensiune de gabarit;

locul obiectelor, prin coordonatele liniare X, Y, Z, în spatiul 3D, denumite dimensiuni de

localizare;

orientarea obiectelor, în spaţiul 3D, prin coordonatele unghiulare , , , sau A, B ,C,

denumite dimensiuni de orientare;

poziţiile relative sau distanţele dintre obiecte, denumite dimensiuni de poziţionare, dacă se

referă la localizarea şi orientarea absolută şi/sau relativă a obiectelor, iar dacă se referă la părţi

ale acestora, numite corpuri, atunci sunt denumite dimensiuni de coordonare;

forma obiectelor şi, respectiv, evoluţia fenomenelor, denumite dimensiuni de formare, care

definesc, totodată, şi ecuaţiile de definire a obectelor;

deformarea obiectelor şi modificarea evoluţiei fenomenelor, denumite dimensiuni de

deformare sau excentricităţi.

Strâmbe de variabilă excentrică θ Strâmbe de variabilă centrică

Fig.1.20 Strâmbele ce trec prin punctul P(2, 3) ca o generalizare a dreptei


Ultima dimensiune a spaţiului, excentricitatea, făcând posibilă apariţia matematicii

excentrice (ME) şi realizând trecerea din domeniul matematicii centrice în cel al matematicii

excentrice, precum şi saltul de la o singură entitate matematică, existentă în Matematică şi domeniul

centric, la o infinitate de entităţi, de acelaşi gen, dar deformate din ce în ce mai pronunţat, odată cu

creşterea valorii excentricităţii numerice s, până la transformarea lor în alte genuri de obiecte, existente

în domeniul centric. Un exemplu, devenit deja clasic, este deformarea continuă a unei sfere până la

transformarea ei într-un cub (Fig.1.18), prin utilizarea aceloraşi dimensiuni de formare (ecuaţii

parametrice), atât pentru sferă cât şi pentru cub, doar excentricitatea modificându-se: fiind s = e = 0

pentru sfera de rază R şi s = ± 1, sau e = R, pentru cubul de latură L = 2R; pentru s [(-1, 1) \ 0]

obţinându-se obiecte hibride, proprii matematicii excentriec (ME), anterior inexistente în

Matematică, sau, mai precis, în Matematica Centrică (MC).

2 2 4 6

2

2

4

6

8



195

Aşa cum s-a mai prezentat, dreapta este un spaţiu unidimensional şi, totodată, în

Supermatematică (SM), o strâmbă de excentricitate zero (Fig. 1.20).

Creşterea excentricităţii, de la zero la unu, transformă linia dreaptă într-o linie frântă,

ambele existând şi sunt cunoscute în Matematica Centrică, nu şi restul strâmbelor, care sunt proprii

Matematicii Excentrice, fiind generate de FSM-CE amplitudine excentrică. Astfel, dreapta de

coeficient unghiular m = tan = tan

= 1 care trece prin punctul P(2, 3) are ecuaţia

(1.26) y – 3 = x – 2,

iar familia de strâmbe, din aceeaşi familie cu dreapta, au ecuaţia

(1.27) y [x, S(s, ε)] – y0 = m {aex [, S(s, ε)] –x0},

(1.28) y – y0 = m{θ – arcsin[s.sin(θ–ε)]} – x0 , m = tan = 1, P(2, 3), s [-1, +1], în coordonate excentrice θ (Fig. 20 stânga) şi, în coordonate centrice , ecuaţia este

(1.29) y[x, S(s, ε)] - y0 = m (Aex [, S(s, ε)] –x0),

(1.30) y – y0 = m { + arcsin

}, m = tan = 1, P(2, 3), s [-1, +1],

(1.31) y – y0 = m {

}.

Diferenţa, dintre cele două tipuri de strâmbe, de θ şi de , este aceea, că cele de θ sunt

continue numai pentru excentricitatea numerică din domeniul s [ -1, 1], pe când cele de sunt

continue pentru toate valorile posibile a lui s, adică s [- ∞ , +∞].

Linia frântă este cunoscută în Matematica Centrică (MC) dar fără să i se cunoască ecuaţiile ei

! Ceea ce nu mai este cazul în SM şi, evident, şi în ME unde se obţine pentru valoarea s = 1 a

excentricităţii numerice s (Fig. 1.20).

Un fenomen asemănător metamorfozării matematice, prin care din MC un obiect cunoscut

trece prin matematica excentrică (ME) luând forme hibride şi se reîntoarce în matematica centrică

(MC), ca un alt tip de obiect (Fig.1.18), este considerat că ar avea loc şi în fizică: din vid apar

continuu particule de un anumit tip şi se reîntorc în vidul cosmic. Aceleaşi sau altele ?

Cosmologia are o teorie ce se aplică întregului Univers, formulată de Einstein în 1916:

relativitatea generală. Ea afirmă că forţa de gravitaţie, ce se exercită asupra obiectelor, acţionează şi

asupra structurii spaţiului, care îşi pierde cadrul rigid şi imuabil, devenind maleabil şi curb, în funcţie

de materia sau energia pe care le conţine. Adică, spaţiul se deformează.

Continuum-ul spaţiu-timp, al relativităţii generale, nu este conceput fără conţinut, deci nu

admite vidul! Cum spunea şi Einstein ziariştilor, care îl rugau să le rezume teoria sa: "Înainte, se

credea că, dacă toate lucrurile ar dispărea din Univers, timpul şi spaţiul ar rămîne, totuşi. În teoria

relativităţii, timpul şi spaţiul dispar, odată cu dispariţia celorlalte lucruri din univers."

Aşa cum s-a mai afirmat, s = e = 0 este lumea MC a liniarului, a entităţilor perfecte, ideale, în

timp ce infinitatea de valori posibile atribuite excentricităţiilor s şi e, nasc ME şi, totodată, lumi ce

aparţin realului, lumii imperfecte, tot mai indepărtată de lumea ideală cu cât s şi e sunt mai îndepărtate

de zero.

Ce se întâmpla dacă e = s 0 ? Lumea reală, ca şi ME dispar şi cum lume ideală nu exista,

dispare totul !

Ceea ce susţine teoria autorului din SUPERMATEMATICA. Fundamente, Vol. I, Editura

POLITEHNICA, Timisoara, Cap. 1 INTRODUCERE prin care expansiunea universului este un proces

de desvoltare a ordinii în haosul absolut, o trecere progresivă a spaţiului haotic în ordine din ce în ce

mai pronunţată.

În concluzie, spaţiul, ca şi timpul, se formează şi se deformează, adică, excentricitatea

spaţiului, de o anumită valoare, duce la formarea spaţiului, apoi, prin modificare valorii ei, spaţiul se

deformează/modifică.

Forma modificată a spaţiului este dependentă de valoarea excentricităţii, care devine o nouă

dimensiune a spaţiului: dimensiunea de deformare.

Energia şi masa materiei să crească odată cu creşterea excentricităţii ? Sau invers?

Excentricitatea să determine valoarea masei şi a energiei prezente / localizate într-un anumit loc în

spaţiu ?

Instalarea unei piese de prelucrat (obiect de prelucrat) în spaţiul de lucru a unei maşini-unelte

moderne, cu comenzi numerice de conturare (CNC), este foarte asemănătoare cu “instalarea “ unui

obiect matematic în spaţiul euclidian tridimensional R3. De aceea, vom folosi unele noţiuni din

domeniul tehnologic.

În tehnologie, instalarea este operaţia premergătoare prelucrării; numai un obiect / piesă

instalată poate fi prelucrată. Ea presupune următoarele faze sau operaţii tehnologice, în această

succesiune / ordine; numai înfăptuirea unei faze, facând posibilă trecerea la realizarea fazei următoare:

1. ORIENTAREA, este acţiunea sau operaţia prin care elementele geometrice ale obiectului,

care sunt baze de referinţă tehnologică de orientare, prescurtat baze de orientare (BO), primesc o

direcţie bine determinată, faţă de direcţiile unui sistem de referinţă. În tehnologie, faţă de direcţiile

unor mişcări principale şi/sau secundare de lucru, sau/şi faţă de direcţiile mişcărilor de reglare

diemensională a sistemului tehnologic.

Drept baze de orientare (BO) pot servi :

3) Un plan al obiectului, respectiv o suprafaţă plană a piesei, dacă ea există, caz în care,

această suprafaţă, determinată de trei puncte de contact dintre obiect şi dispozitiv, este denumită bază

de referinţă tehnologică de orientare de aşezare (BOA), sau, pe scurt, bază de aşezare (BA), fiind

determinată, teoretic, de cele trei puncte comune de contact ale piesei cu dispozitivul, care are sarcina

de a realiza instalarea piese în cadrul maşinii de lucru. Drept BA, în principiu, se alege suprafaţa cea

mai întinsă a piesei, dacă nu există altfel de condiţii de poziţie, sau de la care suprafaţa rezultată în

urma prelucrării are impusă precizia cea mai înaltă, sau condiţii de paralelism cu BA.

Punând condiţia păstrării contactului piesă / dispozitiv pe BA, obiectul / piesa pierde 3 grade

de libertate, dintre care, o translaţie pe direcţia, s-o numim Z, perependiculară pe BA (plan) şi două

rotaţii: în jurul axelor X, notată în tehnologie cu A şi în jurul axei Y, notată în tehnologie cu B.

Obiectul / piesa se mai poate roti în jurul axei Z, rotaţie notată cu C şi se poate translata pe

BA pe direcţiile X şi Y păstrând în permanenţă contactul cu BA.

De la această suprafaţă se stabileşte, în tehnologie, coordonata z, de exemplu, ca distanţă

dintre BOA şi baza tehnologică de prelucrare (BTP), sau, pe scurt, bază de prelucrare (BP), adică

planul pe care îl va genera pe piesă scula de prelucrat. Dacă o suprafaţă se prelucrează integral /

complet (prin frezare, de exemplu, cu freze de mari dimensiuni, pentru o singură trecere), atunci

celelalte coodonate / dimensiuni y şi x pot fi stabilite cu foarte mare aproximaţie, întrucât ele nu

influenţează precizia realizării suprefeţei plane, la distanţa z de BA, rezultate în urma prelucrării piesei

şi denumită bază tehnologică de prelucrare (BTP), sau, pe scurt, bază de prelucrare (BP). A cărei

cerinţă tehnologică este să fie paralelă cu BOA şi să fie situată la distanţa z de aceasta. Dimensiunea z

fiind, în acest caz, o dimensiune de formare a piesei, pe de o parte şi dimensiune de coordonare, în

acelaşi timp, pentru poziţia relativă scula-piesă, iar, d.p.d.v. tehnologic, una dintre dimensiunile de

reglare dimensională a sistemului tehnologic MDPS (Maşină-Dispozitiv-Piesă-Sculă). Matematic

exprimat, două suprafeţe plane situate la distanţa z, ca urmare, paralele între ele.

2) O dreaptă aparţinând obiectului, dacă aceasta există, ca axe şi/sau muchii, ca intersecţie de

-suprafeţe- plane în Matematică.

În Tehnologie, muchiile se evită, datorită neregularităţii lor, adică, a abaterilor de la forma

geometrică liniară, a semifabricatelor, ca şi a pieselor, în urma prelucrarii semifabricatelor lor.

În Tehnologie, această dreaptă este determinată de cele două puncte de pe o suprafaţă a piesei,

alta decât BA, comună piesei şi dispozitivului, care realizează baza de orientare a piesei şi a

dispozitivului, ca elemente dedublate, dreaptă denumită bază de orientare de dirijare (BOD), sau pe

scurt baza de dirijare (BD), denumire care derivă din faptul că aceste două elemente de dirijare

dirijează /ghidează mişcarea obiectului / piesei în vederea localizarii lui, dacă în tot timpul mişcării se

menţine contactul piesă-dispozitiv. În acest fel BD preia 2 grade de libertate ale obiectului: translaţia

pe o direcţie perpendiculară pe dreapta determinată de cele două puncte de contact piesa / dispozitiv,

ce materializează BD, translaţie pe direcţia Y, de exemplu, dacă BD este paralelă, întotdeauna, cu BA

din planul XOY şi rotaţia în jurul axei Z, notată în tehnologie cu C.

Drept BOD se alege, în principiu, din motive lesen de înţeles, care vizează precizia de ghidare,

suprafaţa cea mai lungă a piesei, dacă nu există alte raţiuni impuse, prin desenul de execuţie al piesei.



197

De la BOD poate fi stabilită / măsurată cota / dimensiunea y, paralelă cu BOA şi

perpendiculară pe BOD, ca de exemplu, perpendiculară pe z, fiindcă BOD este paralelă cu BOA.

Astfel, dacă cele două puncte aparţin unei obiect paralelipipedic, mărginit, deci, de suprafeţe

plane, şi BOD este paralelă cu BOA, păstrând contactul piesă / dispozitiv pe cele două baze, printr-o

mişcare de translaţie, piesa mai poate fi doar translatată, în dispozitiv, pe direcţia X, până când

tamponează un element de localizare.

1) De la acesta, denumit element de localizare, respectiv baza tehnologică de localizare

(BTL), sau, pe scurt, baza de localizare (BL) poate fi stabilită coordonata / dimensiunea x

perpendiculară simultan pe y şi z. Dar fără să fie coordonate / dimensiuni / segmente concurente într-

un punct comun O(x,y,z) ca în matematică, decât, dacă BOD şi BTL coboară la nivelul BOA şi, în

plus, BTL se deplaseaza spre BOD şi va fi conţinută şi în ea, ambele urmând să fie conţinute în BOA,

astfel că, punctul O(x,y,z) ca şi BTL va fi un vârf al piesei paralelipipedice, conţinut simultan în

planul BOA, dreapta BD în punnctul BL, rezultând, în acest caz că O(x,y,z) BL .

Dacă, localizarea se realizează printr-o mişcare de translaţie, aşa cum s-a presupus anterior, ea

mai poartă denumirea de localizare prin translaţie (LT).

Dacă, localizarea se realizează printr-o mişcare de rotaţie a obiectului, atunci este denumită

localizare prin rotaţie (LR). În acest caz BD poate fi, sau este, deobicei, o axă a unei suprafeţe de

rotaţie (cilindrice sau sferice) a obiectului, denumită baza de orientare de centrare (BOC) în jurul

căreia, obiectul se roteşte, până când, un alt corp al piesei, tamponează elementul de localizare prin

rotaţie. Sau, până când un fixator pătrunde intr-un orificiu perpendicular pe BOC sau intr-un canal

paralel cu BOC.

Fig. 1.21 Schimbarea prin rotaţii succesive a orientării unui obiect în 3D Reproducere din “Mica enciclopedie matematica” Ed.Tehnica, Buc., 1980

Obiectele care nu prezintă elemente / baze de orientare, cum ar fi sfera în matematică şi

bilele de rulment în tehnologie, de exemplu, sunt obiecte neorientabile.

2. LOCALIZAREA, este operaţia sau acţiunea de stabilire a locul, în spaţiul euclidian

tridimensional E3, a unui punct O(x,y,z) caracteristic al obiectului, ce aparţine unui element de

referinţă de orientare al acestuia, de la care se stabilesc coordonatele / dimensiunile liniare x, y, z faţă

de un sistem de referinţă dat, sau, în tehnologie, faţă de scula de prelucrare.

Punctul O(x,y,z) al obiectelor neorientabile este centrul de simetrie al acestora, iar al pieselor

orientabile, ca cele paralelipipedice, în Tehnologie, de exemplu, punctul O(x,y,z) este diseminat în

trei puncte distincte, pentru fiecare coordonată în parte Ox ⊂ BL pentru x , Oy ⊂ BD pentru y şi Oz ⊂

BA pentru z, aşa cum s-a explicat anterior.

Fig. 1.22 Conopiramida în stânga,

conul, cubul românesc de volum nul şi piramida în dreapta


In tehnologie, succesiunea orientare localizare este obligatorie; numai un obiect orientat

poate fi apoi localizat. Ca şi în matematică, dealtfel. Intâi se alege un sistem de referinţă solidar cu

obiectul (O, x, y, z) apoi, unul invariant (O, X, Y, Z) ce coincide, iniţial, cu celălalt, în spaţiul 3D sau

euclidian tridimensional E3 şi apoi se operează diverse transformări de translaţii şi / sau de rotaţii aşa

cum se poate observa cu rotaţiile unui cub, prezentate în figura 1.21.

Reuniunea dintre orientare şi localizare reprezintă cea mai importantă acţiune / operaţie

tehnologică, denumită poziţionare, adică:



199

orientarea ∪ localizarea = poziţionare Dacă poziţionarea obiectului este realizată / desăvârşită / implinită, atunci, poate fi menţinută

poziţia relativă piesă / dispozitiv prin operţia de fixare a piesei în dispozitiv. În continuare pot fi

stabilite cotele / dimensiunile dintre scula şi piesă, astfel, încât să se obţină piesa la dimensiunile şi

preciziile impuse prin desenul de execuţie al piesei.

Această operaţie tehnologică este denumita reglare dimensională. Cu care, operaţia de

instalare este incheiată şi prelucrarea piesei poate să înceapă.

Ca urmare, istalarea unui obiect este o reuniune a poziţionarii cu fixarea şi cu reglarea

dimensională a sistemului tehnologic, adică:

instalare = poziţionare ∪ fixare ∪ reglare (dimensională) În Tehnologie, fixarea se poate realiza prin forţă (de fixare) sau prin formă (care impiedică

deplasarea piesei în timpul preucrării).

În Matematică, fixarea se “realizeaza” prin convenţie. Zicând că sistemul (O, x, y, z) este

legat de piesă el nu se mai poate deplasa relativ faţă de ea (dezlega), ci numai împreună cu obiectul,

deci sunt “fixate“ unele de altele (Fig. 1.21).

Astfel, în Matematică, fixarea obiectelor, faţă de sistemele de referinţa, se subînţelege, sau se

realizează de la sine, ea nu mai există, pentru că în Matematică nu există “forţe matematice”; ele fiind

proprii Mecanicii, în speţă dinamicii ei şi nici scule de prelucrare, nici diverse dimensiuni de

coordonare, de reglare dimensionala, de prelucrare ş.a.

De aceea, în Matematica Centrică (MC), există doar 3 dimensiuni liniare x, y, şi z care sunt,

totodată, şi dimensiuni de formare a obiectelor 3D, prin ecuaţiile lor parametrice, de exemplu. Ca urmare, în această Matematica Centrică (MC) entităţi ca dreapta, pătratul, cercul, sfera,

cubul ş.a. sunt unice, pe când, în Matematica Excentrică (ME) şi, implicit în Supermatematică (SM),

ele sunt multiplicate la infinit prin hibridare, hibridare posibilă prin introducerea noii dimensiuni a

spaţiului excentricitatea.

Hibridarea matematică poate fi definită ca procesul matematic de încrucişare a două entităţi

matematice din MC. Adică, de trecere continuă de la o entitate oarecare, existentă în MC, la o altă

entitate, existentă în MC, printr-o infinitate de entităţi hibride, proprii doar ME. Altfel spus, o

transformare a unei entităţi matematice centrice în altă entitate matematică centrică, acţiune devenită

posibilă în cadrul Matematicii Excentrice prin utilizarea funcţiilor supermatematice.

Prin metamorfozare se obţin entităţi noi, anterior inexistente în MC, denumite entităţi

hibride, ca şi entităţi excentrice sau supermatematice (SM), pentru a se deosebi de cele centrice, şi

prin denumire, pentru că, prin formă, diferă esenţial.

Primul corp obţinut prin hibridare matematică a fost conopiramida: un obiect

supermatematic cu baza pătrată a unei piramide şi cu vârful unui con circular drept, rezultat din

transformarea continuă a pătratului unitate de L = 2 în cercul unitate de R = 1, şi/sau invers (Fig.1.19

şi 1.22). Ecuaţiile parametrice ale conopiramidei se obţin din ecuaţiile parametrice ale conului circular

drept, în care FCC sunt înlocuite/convertite cu funcţiile supermatematice cvadrilobe (FSM-Q)

corespondente

(1.32)

, (Fig. 1.19 şi 1.22),

deoarece FSM-Q pot realiza transformarea continua a cercului în pătrat şi invers, ca şi FSM-CE

derivate excentrice dex1,2θ.

Cubul românesc din figura 1.22 – dreapta - mijloc, “cel mai uşor cub din lume”, este cubul

de volum nul, obţinut din 6 piramide, fără suprafeţele lor de bază pătrate, cu vârful comun în centrul

de simetrie al cubului.

176

CONICE SUPERMATEMATICE CIRCULARE EXCENTRICE


ALBUM DE DESENE


COŞULEŢE INCHISE 1


178



ALBUM DE DESENE




180



ALBUM DE DESENE




182



ALBUM DE DESENE




184


ALBUM DE DESENE


TOR EXCENTRIC REALIZAT DIN SEGMENTE EXCENTRICE 1


186

TOR EXCENTRIC REALIZAT DIN SEGMENTE EXCENTRICE 2




187

Moto: “Mecanica este paradisul ştiinţelor matematice,

deoarece prin ea se ajunge la fructele matematicii ”

Leonardo da Vinci

“Ori de câte ori aud de “cvadridimensional”

matematicienii sunt scuturaţi de un frison mistic..”

Albert Einstein

SPAŢIUL MATEMATICII CENTRICE (ME)


Spaţiul este o categorie filozofică ce desemnează forme obiective şi universale de existenţă a

materiei în mişcare. Spaţiului exprimă ordinea, poziţia (localizarea şi orientarea), distanţa, mărimea,

forma şi întinderea obiectelor coexistente în lumea reală ca şi a corpurilor sau părţilor ce formează

aceste obiecte. Pentru Newton, spaţiul şi timpul sunt absolute, obiective şi universale, deci

independente de materia în mişcare. Acesta ar putea fi numit spaţiul matematicii centrice (MC).

şi s = 1 v’ > v s’ > s

Fig. 1.12 Contracţia spaţiului (L) şi dilatarea temporală (t) stânga

şi variaţia lor cu creşterea vitezei dreapta.


Constituirea geometriilor neeuclidiene de către Lobacevski, Bolyai, Gauss, Riemann, ş.a. a

contribuit la formarea concepţiei, conform căreia, proprietăţile geometrice spaţiale nu sunt

pretutindeni aceleaşi, fiind determinate de proprietăţile lui fizice. Spaţiul este deci neomogen şi

anizotrop. Teoria relativităţii lui Einstein, a demonstrat că proprietăţile spaţio-temporale (lungimea

corpurilor şi durata fenomenelor v.Fig.1.12), depind de viteza de deplasare a sistemelor materiale şi

că structura sau proprietăţile continuului spaţio-temporal variază în funcţie de concentrarea maselor

substanţei şi de intensitatea câmpului gravitaţional generat de către acestea. De aceea, ea a fost

numită şi teoria fizică a spaţiului şi timpului. Dacă acesta ar fi spaţiul matematicii excentrice (ME),

atunci, se poate adăuga că, în acest spaţiu, toate entităţile sau figurile geometrice se pot

metamorfoza, prin existenţa excentricităţii ca o nouă dimensiune a acestui spaţiu, sau, mai precis,

ca noi dimensiuni ale lui.

http://ro.wikipedia.org/wiki/Filozofie

http://ro.wikipedia.org/wiki/Materie

http://ro.wikipedia.org/wiki/Mi%C5%9Fcare

http://ro.wikipedia.org/wiki/Geometrii_neeuclidiene

http://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Lobacevski&action=edit&redlink=1

http://ro.wikipedia.org/w/index.php?title=Bolyai&action=edit&redlink=1

http://ro.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss

http://ro.wikipedia.org/wiki/Riemann

http://ro.wikipedia.org/wiki/Teoria_relativit%C4%83%C5%A3ii

http://ro.wikipedia.org/wiki/Albert_Einstein

http://ro.wikipedia.org/wiki/Mas%C4%83

http://ro.wikipedia.org/wiki/Substan%C5%A3%C4%83

http://ro.wikipedia.org/wiki/C%C3%A2mp

http://ro.wikipedia.org/wiki/Teorie

Excentricitate pote fi considerată un amănunt, dar nu este ! Şi, chiar dacă ar fi, “Nu neglijaţi

amănuntele. Amănuntele creează perfecţiunea şi perfecţiunea nu-i un amănunt !” ne-a îndemnat,

cu aproape 500 de ani înainte, Michelangelo Buonarroti.

Excentricitate reală poate fi distanţa de la punctul E(e,ε) până la un punct O(0,0), considerat

centru, ca în matematica excentrică (ME). O diferenţă de potenţial în electricitate, o diferenţă de

presiune în hidraulică, datorită căreia fluidul se deplasează într-un sens sau altul într-o conductă. Fără

această excentricitate-- diferenţă de presiune, mişcarea nefiind posibilă; fluidul staţionând.

Diferenţa dintre originile a două sisteme inerţiale, sau spaţiu deplasării relative a acestora este

e = s.t, şi nu timpul t, aşa cum se consideră în continuare, caz în care excentricitatea este o mărime

variabilă care creşte continuu, în care raportul s =

a fost denumit excentricitate numerică.

Fără existenţa unei excentricităţi originare oarecare, apariţia şi mişcarea în univers n-ar fi fost

posibilă. “Amănutele crează perfecţiunea şi perfecţiunea nu-i un amănunt !” Cât de mult adevăr în

spusele lui Michelangelo Buonarroti !

Fig. 1.13 Contracţia spaţiului (LE) şi dilatarea temporală (tE) în cazul factorului Lorentz

excentric, pe direcţia θ <


În figura 1.12 este schiţată situaţia a două sisteme inerţiale, iniţial suprapuse în O(0, 0), sau a

unui sistem considerat fix în originea O(0, 0) şi al doilea, care se deplasează, pe direcţia axei x (ε = 0),

cu viteza v, o fracţiune (0,6 în figura 1.12) din viteza c a luminii în vid, astfel că, deplasarea relativă a

celor doua sisteme s = , este dată de o nouă dimensiune a spaţiului e, adică e = s.t =

, care este

excentricitatea liniară reală variabilă este e iar s este excentricitatea liniară numerică, ambele, aici,

considerate constante. Acesta este spaţiul 2 D excentric, notat 2DE cu 3 dimensiuni: x, y şi e =

, în

care e variază uniform, în raport cu timpul t. Dacă E se deplasează pe o direcţie de orientare ε, faţă de

axa x, ε = ct, situaţia nu se schimbă, decât dacă deplasarea se realizează şi pe direcţia z, caz în care ne

situăm în spatiul 3D excentric, spaţiu 3D cu patru dimensiuni: x, y, z şi e, notat 3DE, dacă ε = ct şi cu

5 dimensiuni dacă ε este variabil ε = ε (t) . Excentricitatea unghiulară fiind ε.

In figura 1.12, sunt reprezentate contracţia spaţiului (L < 0) şi dilatarea temporală (t > 0)

pentru un unghi la excentrul S de θ = π/2 şi pentru unitatea de lungime L = R = 1 şi respectiv, unitatea

de timp t = R = 1 e = s. Acestea sunt



189

(1.26)

.

În aceeaşi figură, în partea dreptă, este prezentată accentuarea dilatării timpului şi a contracţie

temporale la o creşterea viteze de la v la v’.

.Factorul Lorentz centric (s), constant pentru un anumit s şi

factorul Lorentz excentric E (s, θ), variabil în funcţie de θ pentru un anumit s

E ≤ , θ =

E =

Variaţia unităţii de lungime L datorită contracţiei, în cele două cazuri

(s =

) E (s, θ)

Fig. 1.14 Factorii Lorentz centric şi excentric E

Se observă şi din figură că, pentru v = c s = 1 şi L – L, adică lungimea se reduce la

zero (L’ 0, L = L’ - L = 1) şi timpul se dilată nemărginit t’ = t ∞.

În relaţiile anterioare, factorul Lorentz, notat în mod obişnuit cu γ, aici a fost notat cu

(litera grecească fiind mai apropiată de iniţiala numelui lui Lorentz decât gama - γ) şi are expresia

(1.27) =

=

> 1

Pentru o anumită valoare a vitezei v = ct., rezultă o excentricitate numerică s = ct. şi, ca

urmare, şi un factorul Lorentz constant, pentru care contracţia spaţiului şi, mai precis, a unitaţii de

lungime L pe direcţia y (Fig. 1.12) este şi dilatarea temporală a unitaţii de timp t va fi t’ =

.t.Se poate deduce că aceste valori sunt invariante la sensul de deplasarea (pozitiv pe semiaxa x+ sau

1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

negativ pe direcţia semiaxei negativa x–, şi, evident, nici la unitaţi de lungime şi timp orientate pe x,

dar marcate pe sensurile pozitive sau negative ale direcţiei y, aşa cum se observă şi în figura 1.15.

Pentru θ = ±

, = E astfel că L = L’ – L minim şi t = t’ – t maxim posibil, pentru o

anumita valoare a lui s [ 0, 1].

Deşi mărimile L, L’, t, t’ sunt reprezentate pe directia y, ele corspund deplasării relative ale

sistemelor inerţiale pe direcţia axei x. Ca urmare, contracţia L şi dilatarea t au loc pentru lungimi L

şi lungimi de undă sau frecvenţe, care măsoară timpul, orientate tot pe direcţia de mişcare x.

L = L’ – L şi LE, pentru L = 1 t = t’ – t şi LE, pentru t = 1

Fig. 1.15 Contracţiile lungimilor şi dilatarea temporală pentru cei doi factori Lorentz

centric şi excentric E, pentru s [ 0, 1] cu pasul 0,1


Fig. 1.16 Deformaţiile unui disc circular la deplasarea lui pe direcţia x cu viteza v,

o fracţiune s din viteza c a luminii în vid s [0, 1], cu pasul 0,1, e =

t,

în 2D stânga şi în 3D în dreapta


Dacă, în relaţiile anterioare, unghiul θ este diferit de un unghi drept, atunci fenomenul de

dilatare a timpului se accentuează, iar cel de contracţie a spaţiului se atenuează, odată cu scăderea lui θ

(Fig. 1.13 şi 1.14). Pentru direcţia de θ = 0, lungime L, care este orientată pe direcţia de deplasare x,

nu-şi modifică lungimea, oricarear fi raportul s al vitezelor (Fig. 1.14), astfel că L’ = L şi atenuarea

contracţiei lungimii este completă l = 0, iar dilatarea temporală este maximă posibilă, deoarece t’

∞. Dacă unghiul θ =

însemnă mărimi reprezentate pe axa y dar orientate pe direcţia x, atunci

θ = 0 poate înseamna aceleaşi marimi reprezentate pe direcţia x dar orientate pe direcţia transversală y.

Se poate obţine, astfel, un factor Lorentz variabil E, denumit factor Lorentz excentric,

variabil cu direcţia θ de orientare a mărimii, pentru a se deosebi de cel constant centric . Expresie lui

E este

3 2 1 1 2 3

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

3 2 1 1 2 3

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0



191

(1.28) E =

=

[, 1], pentru θ [

],

În consecinţă, fenomenul de contracţie a lungimilor depinde de direcţia θ, de orientare în

spaţiu a lungimii etalon, fiind maximă pe direcţia de mişcare relativă x de deplasare a sistemului

inerţial mobil, adică θ =

E(θ) = şi minimă (zero) pe direcţia transversală y (θ = 0).

Ca urmare, un disc circular, care se deplasează pe direcţia x cu viteza v, fracţiune s =

din

viteza c a luminii în vid (Fig.1.16), se va turti pe directia x, astfel că, la atingerea vitezei absolute a

luminii în vid, viteză v = c s = 1, va deveni o bara de lungime Ly = 2R, pe direcţia transversală de

mişcare y şi de dimensiune Lx = 0 pe direcţia de mişcare x. Pierzându-şi una dintre cele două

dimensiuni, de fapt discul circular va dispărea.

La întrebarea “Ce se va întâmpla cu discul la viteze supraluminale ?” vă poate răspunde Prof.

Dr. math. Florentin Smarandache, seful Departamentului de Ştiinţă şi Matematica a Universităţii

Gallup din New Mexico (SUA), care a elaborat o teorie în cazul vitezelor ce depasesc viteza luminii.

De aceea, în matematica centrică (MC), există doar 3 dimensiuni liniare x, y, şi z care sunt,

totodată, şi dimensiuni de formare a obiectelor 3D, prin ecuaţiile lor parametrice, de exemplu.

Fig. 1.17 Factorii Lorentz şi E = E(θ = 0,8

) stânga, precum şi

variaţia lungimii L = 1 în funcţie de s =

şi θ [0, π] dreapta


Ecuaţia polară a obiectului de lungime L=1, care se deformează, contractându-se la L’, odată

cu creşterea vitezei relative s, de deplasare a sistemului inerţiale pe direcţia x ( v s ), în aceste

situaţii, este

(1.29) ρ = ,

iar, în coordonate parametrice, este

(1.30)

,

cu graficelor din figurile 1.15, 1.16 şi 1.17.

NOI DIMENSIUNI ALE SPAŢIULUI ŞI CONSECINŢELE LOR :

HIBRIDAREA ŞI METAMORFOZAREA MATEMATICĂ