CURS CLASA a-X-a FR

CAPITOLUL I –MULTIMI DE NUMERE

1. Puteri , radicali si logaritmul unui numar real pozitiv

2. Multimea numerelor complexe

CAPITOLUL II- FUNCTII SI ECUATII

1. Functii injective, surjective, bijective, inversabile.Inversa unei functii

2. Functia putere cu exponent natural

3. Functia radical

4. Functia exponentiala

5. Functia logaritmica

6. Functii trigonometrice

7. Ecuatii irationale,ecuatii exponentiale, ecuatii logaritmice

8. Ecuatii trigonometrice

CAPITOLUL III-METODE DE NUMARARE

1. Metoda inductiei matematice

2. Multimi finite ordonate

3. Permutari,aranjamente,combinari.binomul lui Newton

CAPITOLUL IV – MATEMATICI FINANCIARE

1. Elemente de calcul financiar

2. Elemente de statistica

3. Elemente de calculul probabilitatilor

CAPITOLUL V – GEOMETRIE

1. Reper cartezian in plan

2. Dreapta in plan.ecuatii ale dreptei in plan

3. Conditii de paralelism, conditii de perpendicularitate a doua drepte in plan

4. Calcule de distante si arii

CAPITOLUL I –MULTIMI DE NUMERE

1. PUTERI ŞI RADICALI

Puteri cu exponent natural:

an unde a|R, n|N; a0=1; a1=a;

an = ;

a – baza puterii; n – exponentul puterii;

(ab)n=anbn, a,b|R, n|N*; (am)n=amn, a|R, m,n|N*; aman=am+n, a|R, m,n|N*;

, b0, a,b|R, n|N*;

, a|R*, m,n|N*, m>n.

Puteri cu exponent întreg negativ:

a-n= unde a|R*, n|N; restul proprietăţilor se păstrează.

Puteri cu exponent raţional pozitiv:

, a≥0, ℚ+;

, a≥0, , ℚ+;

, a,b≥0, ℚ+;

, a≥0, b>0, ℚ+;

, a≥0, , ℚ+;

, a>0, , ℚ+, > .

Puteri cu exponent raţional negativ:

, a>0, ℚ+; restul proprietăţilor se păstrează.

Puteri cu exponent real

a). Puteri cu exponent real pozitiv

Fie a > 1. Se numeşte puterea x a lui a un număr real y care, pentru orice număr natural n , satisface inegalităţile :

,

unde numărul real x>0 are reprezentărie zecimale şi prin lipsă şi repectiv prin ados cu o eroare mai micş decât .

Numărul y dat de definiţia precedentă se notează şi se citeşte a la puterea x.

Fie 0 < a < 1 şi x un număr real pozitiv. Se numeşte puterea x a lui a un număr real y care, pentru orice număr natural n , satisface inegalităţile : .

Atenţie ! Oricare ar fi a > 0 şi x > 0 are loc > 0.

b). Puteri cu exponent real negativ

Dacă a > 0 şi x > 0 este un număr real negative, atunci prin definiţie are loc: .

Prin convenţie se scrie

Radicalul unui număr pozitiv:

ecuaţia xn-a=0 (n|N, n2, a|R, a0) are o singură rădăcină reală pozitivă;

dacă a0, n|N, n2 se numeşte radical de ordin n din a, numărul pozitiv a cărui putere a n-a este a;

notaţie x= ; notaţie = ; =0; ;

Radicalul de ordin impar al unui număr negativ:

ecuaţia xn-a=0 (n|N, n2, n impar, a|R, a<0) are o singură rădăcină reală negativă; dacă a<0, n|N, n2, n impar, se numeşte radical de ordin n din a, numărul negativ a cărui putere a n-a

este a; notaţie x= = ;

Proprietăţile radicalilor: m, n, kℕ*, m, n, k≥2

P1) , a,b≥0;

P2) , a≥0, b>0;

P3) , a≥0;

P4) ( )m = , a≥0; P5) = , a≥0; P6) , a≥0.

Operaţii cu radicali:

1. scoaterea unui factor de sub semnul radical: se descompune numărul de sub radical în factori, se aplică proprietăţile 1, 3 şi 5;

2. introducerea unui factor sub semnul radical: se utilizează proprietăţile 1, 3 şi 5;3. înmulţirea radicalilor de acelaşi ordin sau ordine diferite: se utilizează proprietatea 1 şi 5; , a1, a2, …, ak≥0; , a, b≥0;4. împărţirea radicalilor de acelaşi ordin sau ordine diferite: se utilizează proprietăţile 2 şi 5;

, a≥0, b>0;

, a≥0, b>0;

5. raţionalizarea numitorilor: operaţia de eliminare a radicalilor de la numitorul fracţiilor; expresii conjugate: - expresii cu radicali care prin înmulţire dau o expresie fără radicali;- , a, b≥0;- , 2. LOGARITMI

1). Logaritmi

Fie a>0 un număr realşi a1. Ecuaţia de forma (1) are o soluţie unic determinată notată prin: (2).

se numeşte logaritmul numărului pozitiv N în baza a.

Din (1) şi (2) se obţine , care ne arată că logaritmul unui număr real pozitiv este exponentul la care trebuie ridicată baza a pentru a obţine numărul dat.

De exemplu, a calcula ,înseamnă a găsi un număr real x aşa încât să avem x2 = 32. rezultă x = 5.

a). În practică se folosesc logaritmii în baza zece care se mai numesc logaritmi zecimali. Se notează cu în loc de

a). În matematică se folosesc logaritmii în baza care se numesc logaritmi naturali şi se notează cu în loc de .

2). Proprietăţile logaritmilor

1. Dacă A şi B sunt două numere positive, atunci are loc: .

Proprietatea se poate extinde pentru n numere pozitive şi avem : .

2. .

3. Dacă A este un număr pozitiv şi m un număr real arbitrar, atunci are loc : .

4. Dacă A este un număr pozitiv şi n 2 un număr natural, atunci are loc : .

Proprietatea 4 poate fi privită ca un caz particularal proprietăţii 3.

3). Schimbarea bazei logaritmului aceluiaşi număr

Dacă a şi b sunt două numere pozitivediferite de 1, iar A un număr pozitiv oarecare, are loc egalitatea:

Numită formula de schimbare a bazei unui logaritm.

Dacă în egalitatea de mai sus, A = a, atunci formula devine ;

.

4). Operaţia de logaritmare a unei expresii

Operaţia de logaritmare are scopul de a transforma operaţii complicate de înmulţire, împărţire şi ridicare la putere în operaţii de adunare, scădere şi împărţire la numere naturae.

Să se logaritmeze expresia: E =

Se logaritmează expresia într-o bază oarecare a :

=

= .

În general, dacă E este o expresie algebrică în care apar produse de puteri şi radicali, putem să-i asociem o expresie, notată logE , în care apar sume, diferenţe de logaritmi înmulţite cu anumite numere raţionale.

3. MULŢIMEA NUMERELOR COMPLEXE “ℂ”

ℂ =ℝ x ℝ =(x, y) | x, yℝ= z | z=x+iy, x,yℝ – mulţimea numerelor complexe;

z=(x, y) – număr complex; (x, 0)=x; (0, 0)=0; (1, 0)=1; (0, 1)=i unitate imaginară; (x, y)=(x, 0)+(0, y)= (x, 0)+(y, 0)(0, 1); z1+z2=(x1, y1)+(x2, y2)=(x1+x2, y1+y2) adunarea; z1z2=(x1, y1)(x2, y2)=(x1x2-y1y2, x1y2+x2y1) înmulţirea.

Proprietăţi:

(z1+z2)+z3=z2+(z1+z3), z1,z2,z3ℂ asociativitatea adunării; (z1z2)z3=z2(z1z3), z1,z2,z3ℂ asociativitatea înmulţirii; z1+z2=z2+z1, z1,z2ℂ comutativitatea adunării; z1z2=z2z1, z1,z2ℂ comutativitatea înmulţirii; z+0=0+z=z, zℂ, 0 element neutru pentru adunare; z1=1z=z, zℂ, 1 element neutru pentru înmulţire; z+(-z)=(-z)+z=0, zℂ, (-z) element opus pentru z; zz-1=z-1z=1, zℂ*, z-1 element invers pentru z; z1(z2+z3)=z1z2+z1z3, z1,z2,z3ℂ distributivitatea înmulţirii faţă de adunare; (z1+z2)z3=z1z3+z2z3, z1,z2,z3ℂ distributivitatea înmulţirii faţă de adunare.

Forma algebrică a numărului complex: z=x+iy Re(z)= x partea reală; Im(z)=y coeficientul părţii imaginare; iy parte imaginară;

i unitate imaginară; i2=-1; z1+z2=(x1+iy1)+(x2+iy2)=(x1+x2)+i(y1+y2) adunarea; z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1) înmulţirea

.Egalitatea a două numere complexe:

z1=(x1+i y1)= (x1,y1), z2=(x2+iy2)= (x2,y2), z1=z2 x1=x2 şi y1=y2;

Conjugatul numărului complex z:

; ; ; ; .

Modulul unui număr complex:

|z|=|x+iy|= ℝ. |z1z2|=|z1|·|z2|;

.

Puterile lui i:

Reprezentarea geometrică a numerelor complexe:

z=x+iy=(x,y), x,yℝ i se asociază punctul M(x,y); M se numeşte imaginea geometrică a numărului complex x+iy; x+iy se numeşte afixul punctului M; ΔAOM OM=

Forma trigonometrică a numerelor complexe: z=r(cos t* + i sin t*)

OM= - r raza polară a imaginii lui z;

x=r cos t*, y=r sin t*, tg t*= ; arg z=t* argument redus al lui z;

Arg z=t | t=arg z +2k, kℤ=t | t=t*+2k, kℤ argumentul lui z; z1=r1(cos t1 + i sin t1), z2=r2(cos t2 + i sin t2) ⇒ z1· z2=r1· r2 [cos(t1+ t2) + i sin (t1+ t2)] - înmulţirea; z=r(cos t + i sin t) ⇒ zn=rn (cos nt + i sin nt) – ridicarea la putere; (cos t + i sin t)n = (cos nt + i sin nt) – formula lui Moivre;

z1=r1(cos t1 + i sin t1), z2=r2(cos t2 + i sin t2) ⇒ [cos(t1- t2) + i sin (t1- t2)] - împărţirea;

zn=r(cos t* + i sin t*) ⇒ zk= , k0, 1, …, n-1- rădăcina de ordinul n.

Rezolvarea ecuaţiei de gradul II cu coeficienţi reali: ax2+bx+c=0 a, b, c|R, a0, =b2-4ac,

cazul - x1, x2 sunt rădăcini complexe conjugate;

Ecuaţii binome: zn+c=0, c ℂ, nℕ, n≥2

se scrie numărul (-c) sub formă trigonometrică⇒zn=r(cos t+i sin t)⇒zk= ,

k0, 1, …, n-1;

CAPITOLUL II- FUNCTII SI ECUATII

1. Functii

Prin funcţie (aplicaţie) f definită pe mulţimea A cu valori în mulţimea B se înţelege orice procedeu (lege sau convenţie) prin care oricărui element x din A i se asociază un unic element y notat cu f(x) din B.

A – mulţimea pe care este definită funcţia sau domeniul de definiţie al funcţiei;

B – mulţimea în care ia valori funcţia sau domeniul valorilor funcţiei sau codomeniul funcţiei;

f – lege sau procedeu sau convenţie;

f: AB sau A B sau xf(x) – “f definită pe A cu valori în B”;

xA – variabilă independentă sau argument; y=f(x)B – imaginea lui x prin funcţia f sau

valoarea lui f în x sau variabilă dependentă; Im(f)= f(x) | xA – imaginea funcţiei f.

Moduri de a defini o funcţie:

a) sintetic – numind pentru fiecare element în parte din A elementul ce i se asociază din mulţimea B;b) analitic – specificând o proprietate ce leagă elementul x din A de elementul y=f(x) din B.

Graficul unei funcţii: Gf=(x, f(x)) | xA.

Tabel de valori:

Injectivitate: f injectivă sau injecţie dacă

1) x1,x2A, xy f(x1)f(x2); sau2) x1,x2A, f(x1)= f(x2) x1= x2; sau

3) orice paralelă dusă la axa OX prin codomeniu intersectează graficul funcţiei în cel mult un punct.

Surjectivitate: f surjectivă sau surjecţie dacă

1) yB xA astfel încât f(x)=y; sau 2) orice paralelă dusă la axa OX prin codomeniu intersectează graficul funcţiei în cel puţin un punct

Bijectivitate: f bijectivă sau bijecţie dacă

1) injectivă + surjectivă; sau 2) orice paralelă dusă la axa OX prin codomeniu intersectează graficul funcţiei într-un singur punct.

Compunerea funcţiilor:

f: AB, g: BC, h: AC, h(x)=(gf)(x)=g(f(x)); f: AB, g: BC, h: CD h(gf)=(hg)f.

Funcţii inversabile:

f: AB, g: BA, (f1A)(x)=f(x) şi (1Ag)(x)=g(x);

f: AB – inversabilă dacă g: BA astfel încât (fg)(x)=1B(x) şi (gf)(x)=1A(x);

f inversabilă f bijectivă; g(x)=f -1(x); graficele funcţiilor f şi f -1 sunt simetrice faţă de

prima bisectoare y=x.

Funcţii pare şi impare:

f pară dacă f(-x)=f(x), are graficul simetric faţă de axa OY;

f impară dacă f(-x)=-f(x), are graficul simetric faţă de origine.

Funcţii periodice: f: A|R, A|R

f periodică dacă T0 astfel încât xA f(x+T)=f(x) şi x+TA;

T este perioada lui f; cel mai mic T este perioada principală.

Funcţii egale: f1 : A1 B1 , f2 : A2 B2 se numesc egale dacă : A1= A2 , B1=B2, şi x A1 f1(x)= f2(x).

Funcţii monotone: f: AB, x1,x2A

f strict crescătoare pe A (x1x2 f(x1)f(x2)); f strict descrescătoare pe A (x1x2

f(x1)f(x2)); f strict monotonă pe A dacă f este strict

crescătoare sau strict descrescătoare pe A; f crescătoare pe A (x1x2 f(x1) f(x2)); f descrescătoare pe A (x1x2 f(x1) f(x2)); f monotonă pe A dacă f este crescătoare sau

descrescătoare pe A;

x1x2 , R(x1,x2)= - rata creşterii

(descreşterii) funcţiei f.

2. Funcţia putere cu exponent natural nenul:

f(x)=xn, f:|R|R, n|N*;

monotonia: ;

paritate: ;

semn: .

Funcţia putere cu exponent întreg negativ:

f(x)=x-n, f:|R-0|R, n|N*;

monotonia: ;

paritate: ;

semn: .

Funcţia putere cu exponent raţional:

f(x)= = , f:(0, ) →(0, ), ℚ*;

dacă >0 ⇒ f strict crescătoare;

dacă <0 ⇒ f strict descrescătoare

2. Funcţia radical:

f(x)= , f:[0, )[0, ), n|N, n2; monotonia: f strict crescătoare pe [0, ); f(x)0 x[0, ); funcţia este bijectivă; inversa ei este funcţia putere.

f(x)= , f:|R|R, n|N, n2, n impar

3. Funcţia exponenţială

Definiţie. Funcţia f:R(0,+), f(x) = , unde a > 0, a 1 se numeşte funcţia exponenţială de bază a.

Proprietăţi

1). a). Dacă a >1, atunci pentru x > 0 avem >1 ar loc > 1, iar pentru x < 0 are loc < 1.

b). Dacă 0 <a <1, atunci pentru x > 0 avem <1, iar pentru x < 0 avem > 1.

2). Dacă x = 0. atunci oricare ar fi a > 0 are loc

3). Pentru a > 1, funcţia exponenţială f:R(0,+), f(x) = este strict crescătoare, iar pentru 0 < a < 1, funcţia este strict descrescătoare.

4). Funcţia exponenţială f:R(0,+), f(x) = , a > 0, a 1 este bijectivă.

5). Funcţia exponenţială f:R(0,+), f(x) = , a > 0, a 1 este inversabilă. Inversa funcţiei exponenţiale se numeşte funcţie logaritmică.

Graficul funcţiei exponenţiale

Graficul funcţiei exponenţiale se construieşte prin puncte.

Exemplu.

Să se construiască graficul funcţiei f:R(0,+), f(x) = , pentru .

Se întocmeşte un tablou de valori pentu cele două cazuri :

x 3 2 1 0 1 2 3 +

f(x) 1 2 4 8

x 3 2 1 0 1 2 3 +

f(x) 1

4. Funcţia logaritmică

Prin definiţie, se numeşte funcţie logaritmică funcţia , unde a > 0, a 1.

Proprietăţi :

1. , ceea ce înseamnă că .2. Funcţia logaritmică este monotonă şi anume dacă a>1, funcţia este strictcrescătoare, iar dacă 0<a <1,

funcţia este strict descrescătoare.3. Funcţia logaritmică este bijectivă.4. Funcţia logaritmică este inversabilă. Inversafuncţiei ligaritmice în baza a este funcţia exponenţială

.Dacă x avem

şi dacă , atunci .

Graficul funcţiei logaritmice

Exemplu

Să se construiască graficul funcţiei f: (0,+)R, f(x)= , pentru .

Se întocmeşte un tablou de valori pentu cele două cazuri :

x 0 1 2 8 +

f(x) | 0 1 3

x 0 1 2 8 +

f(x) | 0 1 3

1).Graficele se găsesc la dreapta axei Oy ;

2).Trec prin punctul de coordonate (1, 0) ;

3).Graficul fiecărei funcţii este construit dintr-o singură ramură care ,,urcă’’ dacă

baza a > 1 şi ,,coboară’’ dacă baza 0<a<1

4).Graficul se apropie din ce în ce mai mult de axa Oy pozitivă dacă 0<a<1 şi de axa Oy negativă dacă a > 1.

5).Graficul funcţiei logaritmice este simetricul graficului funcţieiexponenţiale faţă de prima bisectoare.

5. Funcţii trigonometrice (directe)

1.

este periodică de perioadă principală ;

este impară ;

Semnul: este pozitivă pe intervale de forma şi negativă pe intervale de forma

, unde ;

Monotonia: este strict crescătoare pe intervalele de forma şi strict

descrescătoare pe intervalele de forma , unde ;

Tabel de valori:

Graficul:

f(x)= f(x)=

1 2 3 x

y

1 2 3 x

y

2.

este periodică de perioadă principală ;

este pară ;

Semnul: este pozitivă pe intervale de forma şi negativă pe intervale de

forma , unde ;

Monotonia: este strict crescătoare pe intervalele de forma şi strict

descrescătoare pe intervalele de forma , unde ;

Tabel de valori:

Graficul:

3. ,

este periodică de perioadă principală ;

este impară ;

Semnul: este pozitivă pe intervale de forma şi negativă pe intervale de forma

, unde ;

Monotonia: este strict crescătoare pe orice interval de forma , unde ;

Tabel de valori:

Graficul:

4. ,

este periodică de perioadă principală ;

este impară ;

Semnul: este pozitivă pe intervale de forma şi negativă pe intervale de forma

, unde ;

Monotonia: este strict descrescătoare pe orice interval de forma , unde ;

Tabel de valori:

0

Graficul:

Formule trigonometrice

,

, ,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

Exprimatea funcţiilor trigonometrice cu ajutorul lui :

, , .

6. Funcţii trigonometrice inverse

1. , , , ,

este impară ,

Semnul: este pozitivă pe intervalul şi negativă pe intervalul

Monotonia: este strict crescătore;

Tabel de valori:

Graficul:

2. , , , , ;

, ;

Semnul: este pozitivă;

Monotonia: este strict descrescătore;

Tabel de valori:

Graficul:

3. , , , , ;

este impară , ;

Semnul: este pozitivă pe intervalul şi negativă pe intervalul .

Monotonia: este strict crescătore;

Tabel de valori:

Graficul:

4. , , , , ;

, ;

Semnul: este strict pozitivă;

Monotonia: funcţia arcctg este strict descrescătoare;

Tabel de valori:

1 0

Graficul:

Soluţiile ecuaţiilor trigonometrice fundamentale:

Ecuaţia Mulţimea soluţiilor

,dacă

, dacă

,dacă

, dacă

,

,

7. Ecuaţii exponenţiale

Se numeşte ecuaţie exponenţială, ecuaţia în care necunoscuta este exponent sau în care este exponentul este o expresie.

În practică, atunci când avem de rezolvat o ecuaţie exponenţială, vom proceda astfel :

Pasul 1. se impun condiţii de existenţă exponenţilor şi bazei atunci când este cazul ;

Pasul 2. se fac transformări echivalente folosind proprietăţie funcţiei exponenţiale până se obţin ecuaţii agebrice cunoscute ;

Pasul 3. se verifică dacă valorile obţinute la pasul 2 aparţin domeniului ecuaţiei sau se fac veificări în ecuaţia dată iniţial.

a). Ecuaţii de tipul .

Pe baza injectivităţii funcţiei exponenţiale ecuaţia dată este echivalentă cu ecuaţia : . În aceste ecuaţii b trebuie exprimat ca o putere a ui a(atunci când este posibil).

Exemplu. Să se rezolve ecuaţia : .

.

Prin rezolvarea ecuaţiei de gradul doi se obţin soluţiile : S = 2,3.

b). Ecuaţii de tipul .

Pe baza injectivităţii funcţiei exponenţiale ecuaţia dată este echivalentă cu ecuaţia algebrică , care se rezolvă cu metode cunoscute.

Exemplu. Să se rezolve ecuaţia : .

.

Prin rezolvarea ecuaţiei de gradul doi se obţin soluţiile : S = 0,6.

c). Ecuaţii de tipul .

În acest caz se logaritmează ecuaţia convenabil întro anumită bază şi apoi se fac transformări pentru a obţine o ecaţie algebrică mai simplă.

Exemplu. Să se rezolve ecuaţia : .

Pe baza injectivităţii funcţiei logaritmice se obţine prin logaritmare în baza 10 ecuaţia echivalentă :

.

d). Ecuaţii de tipul

.

În acest caz se face substituţia şi se formează o ecuaţie

de gradul doi, de forma , cu soluţiile căreia se revine la substituţia făcută. În final se verifică dacă valorile obţinute verifică condiţiile de existenţă ale ecuaţiei sau se verifică direct dacă egalitatea dată iniţia este adevărată.

Exemplu. Să se rezolve ecuaţia : .

Se observă o substituţie de forma :

.

Ecuaţia de gradul doi ataşată , are soluţiile . Revenind la substituţie, se acceptă numai t = 16. Se obţine .

d). Ecuaţii de tipul

.

Ecuaţia de gradul doi ataşată , are soluţiile . Revenind la substituţie, se acceptă numai valoarea pozitivă t = 16. Se obţine .

8. Ecuaţii logaritmice

Se numeşte ecuaţie logaritmică, ecuaţia în care necunoscuta este sub logaritm sau la baza logaritmului.

În practică, vom proceda astfel :

Pasul 1. se impun condiţii de existenţă asupra bazei logaritmului şi a expresiilor de sub logaritm ;

Pasul 2. se fac transformări echivalente folosind proprietăţiele funcţiei logaritmice şi a logaritmilor până se obţin ecuaţii agebrice cunoscute ;

Pasul 3. se verifică dacă valorile obţinute la pasul 2 aparţin domeniului ecuaţiei sau se fac veificări în ecuaţia dată iniţial.

a). Ecuaţii de tipul .

Pe baza definiţiei logaritmului ecuaţia dată este echivalentă cu ecuaţia de forma . De aici se obţin soluţiile.

b). Ecuaţii de tipul

.

Pe baza injectivităţii funcţiei logaritmice ecuaţia dată este echivalentă cu ecuaţia algebrică , care se rezolvă.

c). Ecuaţii de tipul

În acest caz se face substituţia şi se formează o ecuaţie de gradul doi, de forma , cu soluţiile căreia se

revine la substituţia făcută. În final se verifică dacă valorile obţinute verifică condiţiile de existenţă ale ecuaţiei sau se verifică direct ca

egalitatea dată iniţial să fie adevărată.

9. Ecuaţii iraţionale:

ecuaţii care conţin necunoscuta sub semnul radical; rezolvarea constă în eliminarea radicalilor prin diferite transformări (ridicări la putere = cu ordinul

radicalului, înmulţire cu expresia conjugată), reducându-le la ecuaţii studiate; condiţii de existenţă numai pentru radicali de ordin par : f(x)≥0 unde f(x) este o expresie în

funcţie de x;10. Ecuaţii trigonometrice fundamentale

Ecuaţiile cuprinse sub această titulatură sunt :

1) , . Dacă ,ecuaţia nu are soluţii, iar dacă ,mulţimea S de soluţii a ecuaţiei este :

.

2) , . Dacă ,ecuaţia nu are soluţii, iar dacă ,mulţimea S de soluţii a ecuaţiei este:

.

3) , .Soluţiile acestei ecuaţii sunt date de mulţimea .

4) , .Soluţiile acestei ecuaţii sunt date de mulţimea

Dacă intervin mai multe funcţii trigonometrice , dar care au acelaşi argument , de exemplu , atunci exprimăm ambele funcţii trigonometrice prin alte funcţii, de exemplu :

, .

Dacă intervine numai o funcţie trigonometrică , dar cu argumente diferite , atunci cu ajutorul formulelor trigonometrice de adunare transformăm funcţiile astfel ca să avem în expresie un argument unic.

Exemplul 1.Diferite funcţii trigonometrice ale aceluiaşi argument ( vezi ex. 3,b) :

, .

Exprimăm şi în funcţie de , pentru , şi se obţine

,

.Cum , alegem doar .Prin rezolvarea ecuaţiei cu ajutorul acestor formule în care folosim

excludem soluţia căci nu este definită pentru aceste valori.Totuşi este o soluţie a

ecuaţiei respective.Deci .

Observaţie: Întrucât numărul , nu există dacă , , rezultă că eventualele soluţii

de această formă se pierd; prin urmare , în final, trebuie verificate in ecuaţie şi numerele respective .

Ecuaţii care conţin funcţii de acelaşi nume

1) , ; 3) ,

.

2) , ; ,

4). ,

.

, .

Exemplul 2. Aceeaşi funcţie trigonometrică cu argumente diferite:

, .

În rezolvarea acestei ecuaţii se foloseşte formula de transformare a sumei în produs:

;ecuaţia devine sau .

Mulţimea de soluţii a ecuaţiei este ,iar mulţimea de soluţii a ecuaţiei

este . Deci mulţimea soluţiilor ecuaţiei este .

Exemplul 3. Diferite funcţii trigonometrice cu argumente diferite( vezi ex. 4, h):

, .

Utilizând formula obţinem

sau .Mulţimea de soluţii a ecuaţiei este ,iar

mulţimea de soluţii a ecuaţiei este .Deci mulţimea soluţiilor ecuaţiei

este .

Ecuaţiile liniare în sinx şi cosx sunt de forma , unde a, b, c sunt numere reale, (alte cazuri conduc la ecuaţii uşor de analizat).

Distingem urmatoarele metode de rezolvare :

a) Metoda unghiului auxiliar . Se împarte ecuaţia prin ”a” şi se obţine ; se notează

, deci , ; după câteva calcule se ajunge la ecuaţia elementară

.

b) Metoda substitutiei . Cu ajutorul formulelor , obţinem o ecuaţie

de gradul al doilea cu necunoscuta .

Exemplul 4. , (vezi ex.2 ,b).

Rezolv ecuaţia utilizând metoda unghiului auxiliar ; se împarte ecuaţia prin şi se obţine

.

Cum , alegem şi .Deci .

Exemplul 5. , (vezi ex. 4, j).

Această ecuaţie se rezolvă uşor cu ajutorul cofuncţiei , observându-se că

.Ecuaţia devine ,

.

Mulţimea soluţiilor ecuaţiei este .

CAPITOLUL III-METODE DE NUMARARE

1. Metoda inductiei matematice

Este o metoda de rationament prin care stabilim ca:

O proprietate P(n) care depinde de un numar natural n este verificata pentru orice numar natural nk atunci sunt satisfacute simultan conditiile:

a) Proprietatea P(n) este adevarata pentru n=k; kN

b) (P(k), kn) P(n+1), () nk, adica presupunem P(k) adevarata pentru orice kn rezulta p(n+1) adevarata, pentru orice nk.

2. Permutari

Fie E=1, 2, …,n o multime finita cu n elemente. Se numeste permutare a multimii E orice functie bijectiva f : E E.

Notam permutarea in felul urmator

Notam numarul de permutari Pn: Pn= n!=1.2.3…n

conditie de existenta: nN

conventie: 0!=1 ; 1!=1

Pn=n(n-1)!=n(n-1)(n-2)!

3. Aranjamente

Notam cu Ank

Sistemele ordonate cu k elemente, care se pot forma cu elementele unei multimi cu n elemente (nk), se numesc aranjamente de n elemente luate cate k.

Ank=n!/(n-k)!=n(n-1)(n-2)…(n-k+1)=(n-k+1)An

k-1

c.e. nk

conventie: n=k Ann=Pn

4. Combinari Notam cu Cnk

conventie: Cn0=Cn

n=1 c.e. nk

Formule pentru combinari complementare: Cnk=Cn

n-k

Cnk=Cn-1

k+Cn-1k-1

5. Binomul lui Newton

Daca a, bR, nN, atunci:

(a+b)n=Cn0an+Cn

1an-1b+Cn2an-2b2+…+Cn

kan-kbk+…+Cnn-1abn-1+Cn

nbn

Tk+1=termen general

k=se numeste rangul termenului al dezvoltarii

(a-b)n= Cn0an-Cn

1an-1b+Cn2an-2b2-…+(-1)n-kCn

kan-kbk+…+(-1)n-1Cnn-1abn-1+(-1)nCn

nbn

sau

Obs: 1) in dezvoltarea (a+b)n, dupa formula lui Newton, sunt n+1 termeni.

2) Cn0, Cn

1, Cn2,…,Cn

n se numesc coeficienti binomiali

3) Sa se faca distinctie intre coeficientul unui termen al dezvoltarii si coeficientul binomial al aceluiasi termen.

4) Pentru a determina rangul celui mai mare termen folosim relatia:

5) In dezvoltarea (a+b)n si (a-b)n, daca a=b atunci:

Cn0+Cn

1+Cn2+…+Cn

n=2n

Cn0+Cn

2+Cn4+…=Cn

1+Cn3+Cn

5+…=2n-1

6) Identitatile utile:

a) Cnk=Cn-1

k-1+Cn-2k-1+…+Ck-1

k-1

b) Cn+kk=Cn

0Cmk+Cn

1Cmk-1+…+Cn

kCm0

7) Suma puterilor asemenea ale primelor n numere naturale

Fie k1 un numar natural si Sk=1k+2k+3k+…+nk

CAPITOLUL IV – MATEMATICI FINANCIARE

1.Procente, dobanzi, tva

1. Procente. Raport procentual. Determinara procentului dintr-un numar

Numim raport procentual un raport de forma p/100, p>=0.

Numarul p se numjeste procent. Notatie: p%

Pentru aflarea a p% dintr-un numar dat se efectueaza p/100 din numarul respectiv adica p/100 inmultit cu numarul dat.

Exemplu:

Un televizor costa 160$. Cu ocazia sarbatorilor de Craciun se acorda o reducere de 15%. Cat va trebui platit pentru televizor?

Raspuns: cumparatorul plateste cu 15/100 *160= 24$ mai putin. Deci, pentru un televizor se plateste suma 160-24= 136 $.

Determinarea unui numar cand se cunoaste un procent din el.

Se cere sa se determine un numar s daca stim ca p% din s (adica p/100*s) este t, cu alte cuvinte are loc egalitatea p/100*s=t, iar de aici s= (100*t)/p, reprezinta numarul determinat

Exemplu:

Un elev citeste 180 de pagini dintr-o carte, ceea ce reprezinta 60% din numarul total de pagini ale cartii. Cate pagini are cartea?

Raspuns: daca notam cu x numarul de pagini ale cartii, atunci din enunt (60/100)*x=180. De aici x = 300. Deci cartea are 300 de pagini.

2. Dobanzi. Dobanda simpla

Notiunea de baza a matematicilor financiare este dobanda. Dobanda este suma de bani care se plateste de catre debitor creditorului pentru un împrumut banesc.

Cea mai simpla investitie care sa aduca un venit este depunerea banilor la o banca sau la C.E.C. pe o anumita perioada cu o anumita dobanda (care reprezinta o anumita suma de bani pe care deponentul o primeste dupa o perioada de timp). Aceasta este dobanda simpla.

Daca insa aceasta suma se adauga la cea initiala si pentru ea se calculeaza dobanda pentru o aceeasi perioada de timp, aceasta adaugandu-se la sfarsitul perioadei etc., atunci vorbim de o dobanda compusa.

Pentru cele doua tipuri de dobanzi distingem: dobanda platita, care este dobanda platita de banci sau C.E.C. deponentilor pentru sumele depuse si dobanda incasata, care este dobanda incasata de banci sau C.E.C. de la debitori pentru sumele imprumutate.

Dobanda unitara este suma data de o unitate monetara pe timp de un an, este notata i. Dobanda data de 100 de unitati monetare pe timp de un an se numeste procent, notat p. Deci p=100i

Pentru S unitati monetare (u.m.) pe timp de un an se obtine dobanda:

D=Si=Sp/100

Pentru S u.m. pe timp de t-ani dobanda, numita dobanda simpla este:

D= S*i*t= (S*p*t)/100

unde S este suma depusa, t numarul de ani pe care s-a depus suma, iar p este procentul dobanziicare reprezinta suma care se plateste pentru suma depusa pe 100 de unitati monetare (u.m.) pentru o perioada de un an. S/100 este numarul de seturi de 100 continute de suma S, (S/100) *p este dobanda pe un an pentru suma depusa, iar D reprezinta dobanda pe n ani pentru suma S. De aici formula dobanzii p m luni este data de formula:

D=(S*p*m)/(100*12)

Observatie. In finante, anul comercial are 360 zile si fiecare luna are 30 de zile.

Dac S’ este suma depusa initial pe perioada t cu dobanda unitara i atunci suma

finala sau valoarea finala este:

St=S’+D=S’+S’it=S’(1+it)

Exemplu:

1. La o banca un deponent pune suma de 100.000 lei cu un procent al dobanzii de 15%. Care este dobanda obtinuta dupa un an? Dar dupa trei ani?

Raspuns: dupa un an dobanda este egala cu 100000*(15/100)=15000 lei, dupa trei ani valoarea acesteia este egala cu 3*15000=45000 lei.

2. Sa se determine procentul dobanzii, daca o suma de 12000 u.m. aduce in sase ani o dobanda de 2.880 u.m.?

Raspuns: aici S=12000 u.m., D=2880, t=6. Din formula dobanzii simple rezulta p= (100*D)/S*t=4, ceea ce inseamna ca procentul annual al dobanzii este de 4 %.

3. Dobanda compusa

O suma de bani este plasata cu doband compusa (capitalizat ) daca , la

sfsrsitul primei perioade, dobanda simpla a acestei perioade este adugata la suma pentru a produce la randul ei dobanda in perioada urmatoare: Fie S 0 suma initiala ; p procentul; i =100 p dobanda unitara ; t durata de plasament a sumei S 0 (numar întreg) i S t suma finala dupa t perioade, atunci:

Daca 1+i= u va fi un factor de fructificare gasit in tabele financiare pentru t=1,2,3,... pentru diferite procente atunci suma finala va fi:

Dobanda compusa va fi pentru t- întreg:

Suma initiala depusa va fi:

4. Taxa pe valoarea adaugata

Taxa pe valoarea adaugata este o taxa care cuprinde toate fazele circuitului economic, respectiv productia, serviciile si distributia pâna la vânzarile catre consumatorii finali, inclusiv.

Din punct de vedere al bugetului de stat taxa pe valoarea adaugata este un impozit indirect care se stabileste asupra operatiilor privind transferul proprietatii bunurilor si asupra prestarilor de servicii. Este

o taxa unica ce se percepe în mod fractionat corespunzator valorii adaugate la fiecare stadiu al circuitului economic.Valoarea adaugata este echivalenta cu diferenta dintre vânzarile si cumpararile aferente aceluiasi stadiu al circuitului economic

5. Profitul

Profitul (notat cu P) reprezinta diferenta dintre venituri (notat cu V, sau incasari) si cheltuieli (sau costul total notat CT)

Deci, P=V-CT

Tot profitul il putem calcula ca diferenta intre valoarea productiei si costul total. In acest caz P=p*Q-CT unde p este pretul unitary ( pretul unui produs), iar Q este productia ( exprimata prin numarul de bucati)

Daca P se calculeaza pe o bucata (unitate) de produs atunci vorbim de profit unitar, iar daca P se calculeaza pe toata productia, atunci spunem ca este vorba de profit total. Profitul astfel calculat il numim profit brut. Dacxa din acest profit se scade impozitul pe profit se obtine ceea ce se cheama proftul net.

Prin profit normal (sau unitary) intelegm profitul care asigura agentului economic probabilitatea de a-si continua activitatea.

Numim rata profitului, notat rp, raportul dintre profit (P) si costurile totale (CT).

Deci, rp= P/CT*100 (%)

2. Elemente de Statistica Matematica

Statistica matematica se ocupa de gruparea, analiza si interpretarea datelor referiotare la un anumit fenomen precum si cu unele previziuni privind producerea lui viitoare.

Populatia statistica este orice multime definite de obiecte de aceeasi natura. Elementele unei populatii se numesc unitati statistice sau indivizi. Numarul de elemente care constituie populatia se numeste volumul populatiei.

Caracteristica (sau variabila statistica) a populatiei trasatura comuna tuturor unitatilor (indivizilor) populatiei. Caracteristica poate fi cantitativa sau calitativa.

Caracteristicile cantitative pot fi discrete (sau discontinue) daca variabila statistica ia valor finite sau continue daca variabila poate lua orice valoare dintr-un interval finit sau infinit.

Numarul tuturor indivizilor unei populatii se numeste efectivul total al acelei populatii.

Se numeste frecventa absoluta a unei valori x a caracteristicii, numarul de unitati ale populatiei corespunzatoare acestei valori.

Se numeste frecventa relativa a unei valori xi a caracteristicii raportul dintre frecventa absoluta ni a valorii xi si efectivul total al populatiei.

Elemente Caracteristice ale unei Serii Statistice:1. Media

Se numeste media caracteristicii x numarul:

2. MedianaMediana este o valoare astfel incat jumatatea valorilor ale esantionului sunt mai mici sau egale cu

si cealalta jumate a valorilor sunt mai mari sau egale cu .

3. ModululPrin modulul (sau dominanta) unei serii statistice se intelege valoarea caracteristicii corespunzatoare

cele mai mari frecvente daca valorile caracteristicii sunt discrete si valoarea centrala a clasei corespunzatoare celei mai mari frecvente daca variabila este continua.

4. Dispersia

Numarul v se numeste dispersia valorilor esantionului.

Numarul se numeste abaterea mediei patratelor.

Problema 1

Un profesor isi ia din catalogul unei clase mediile la matematica pe semestrul trecut in vederea unor prelucrari statistice. Acestea sunt: 6, 7, 7, 5, 9, 8, 4, 10, 7, 5, 6, 6, 7, 8, 4, 4, 6, 5, 8, 6, 7, 5, 6, 9, 7.

1) Sa se completeze un tabel care contine rubricile: Nota, Frecventa absoluta, Frecventa relativa, Frecventa Cumulata. Realizati reprezentarea in batoane si poligonul frecventelor.

2) Folosind datele din tabel precizati:a. Cati elevi au note mai mici decat 5? Indicati procentul lor.b. Cati elevi au note intre 5 si 7? Indicati procentul lor.c. Cati elevi au note intre 7 si 10? Indicati procentul lor.d. Reprezentati aceste date printr-o diagrama in forma unui disc, cu a), b), c) indicate prin

sectoare ale cercului.3) Determinati media aritmetica, mediana, dispersia si abaterea mediei patratice.

1)

2) a. 3 elevi au note sub 5. Acestia reprezinta 12%.

b. 10 elevi au note intre 5 si 7. Acestia reprezinta 40%.

c. 12 elevi au note intre 7 si 10. Acestia reprezinta 48%.

3) Media aritmetica = (4*3+5*4+6*6+7*6+8*3+9*2+10)/25=6.48

Mediana = 7

Dispersia = 2.48 (calculate tabelar)

Abaterea = 1.57

Problema 2

In cadrul laboratorului de matematica aplicata se considera aruncarea simultana a doua zaruri de cate doi elevi si se inregistreaza suma punctelor obtinute pe cele doua zaruri. Se arunca zarurile de 30 de ori. Completati un tabel care contine urmatoarele coloane: Suma obtinuta, Frecventa absoluta, Frecventa relativa, Frecventa cumulata crescatoare. Alcatuiti diagrama in batoane. Calculati media, dispersia si abaterea mediei patratica.

Media = 7,033333333

Dispersia = 8,165567

Abaterea = 2,857545

Problema 3

La examenul de bacalaureat, cei 500 de elevi ai unui liceu au obtinut la proba de matematica rezultatele din tabelul alaturat. Sa se alcatuiasca histograma si poligonul frecventelor. Calculati media, dispersia si abaterea mediei patratica.

3. Elemente de calculul probabilitatilor

1. Experienta. Proba. Eveniment

Prin experienta, se intelege realizarea practica a unui complex de conditii corespunzator unui criteriu dat de cercetare a colectivitatilor statistice omogene. Realizarea o singura data a experientei, se numeste proba.

EXEMPLU Se poate considera drept experienta, aruncarea unui zar perfect construit din punct de vedere geometric si omogen din punct de vedere fizic, caz in care, proba este reprezentata de aruncarea o singura data a zarului.

Prin intermediul exemplului de mai sus se poate identifica notiunea de colectivitate statistica prin multimea punctelor care apar pe fetele zarului.

Prin eveniment se intelege rezultatul unei probe. Evenimentele pot fi clasificate in trei mari categorii: evenimente sigure, evenimente imposibile si evenimente intamplatoare.

Prin eveniment sigur, se intelege evenimentul care se produce in mod obligatoriu la efectuarea unei probe a unei experiente. Evenimentul imposibil este acela care nu se produce la efectuarea nici unei probe. Se numeste eveniment intamplator (aleator) un eveniment care poate fie sa se produca, fie sa nu se produca la efectuarea unei singure probe.

EXEMPLE

1. Extragerea unei bile albe dintr-o urna care contine numai bile albe, este un eveniment sigur.2. La aruncarea unui zar, evenimentul care consta in aparitia oricarei fete de la 1 la 6 constituie

evenimentul sigur.3. Aparitia unui numar de 7 puncte la o proba a aruncarii unui zar este un eveniment imposibil.4. Extragerea unei bile negre dintr-o urna care contine numai bile albe, este un eveniment imposibil.5. Aparitia fetei 1 la aruncarea unui zar este un eveniment intamplator.

Evenimentele intamplatoare se supun unor legitati, numite legitati statistice. In acest sens, nu se poate prevedea daca intr-o singura aruncare a unui zar se obtine fata 1; daca insa se efectueaza un numar suficient de mare de aruncari se poate prevedea cu suficienta precizie numarul de aparitii ale acestei fete.Evenimentele intamplatoare pot fi compatibile si incompatibile. Doua evenimente se numesc incompatibile, daca realizarea unuia exclude realizarea celuilalt.

EXEMPLE

1. Evenimentele: aparitia fetei 1 la aruncarea unui zar si respectiv aparitia fetei 2 la aruncarea unui zar, sunt incompatibile.

2. Evenimentele: aparitia fetei 1 la aruncarea unui zar si respectiv aparitia unei fete cu un numar impar de puncte la aruncarea unui zar, sunt compatibile

Evenimentele pot fi dependente sau independente.

Doua evenimente se numesc independente daca realizarea unuia nu influenteaza probabilitatea realizarii celuilalt si dependente in caz contrar.

EXEMPLE

1. Evenimentele: aparitia fetei 1 la aruncarea unui zar si respectiv aparitia fetei 2 la o alta aruncare a zarului, sunt independente.

2. Evenimentele: obtinerea unui numar de 7 puncte la aruncarea a doua zaruri si aparitia fetei 2 pe unul dintre doua zaruri, stiind ca acestea au suma punctelor de pe fetele de deasupra 7, sunt dependente.

2. Operatii cu evenimente

Notatiile folosite sunt cele cunoscute din teoria multimilor. Multimile vor fi evenimentele aleatoare si vor fi notate cu: A, B, C,….

Fie evenimentul sigur si evenimentul imposibil. Acestea corespund multimii totale considerate si respectiv multimii vide.

DEFINITIE Se spune ca evenimentul A implica evenimentul B, daca realizarea lui A, atrage dupa sine realizarea lui B. Notatia folosita este:

OBSERVATII a) Implicatia evenimentelor este echivalenta cu incluziunea multimilor

c) Orice eveniment aleator, precum si evenimentul imposibil, implica

evenimentul sigur:

, .

DEFINITIE Se spune ca un eveniment este contrar evenimentului A, daca realizarea sa consta in nerealizarea lui A. Notatia folosita este .

OBSERVATII a) Evenimentul contrar evenimentului A, este echivalent cu complementara lui A din teoria multimilor .

b) Evenimentele A si sunt contrarii, adica, daca se realizeaza A, atunci nu se realizeaza si reciproc.

DEFINITIE Reuniunea (sau adunarea) evenimentelor si este evenimentul S care consta in realizarea a cel putin unuia dintre evenimentele sau .

Notatia este .

OBSERVATII a) Daca evenimentele sunt reprezentate prin cercurile si din fig. 3 si 4, reuniunea lor este reprezentata prin interiorul hasurat al celor doua cercuri. Prin urmare, faptul ca un punct al evenimentului S se gaseste in regiunile hasurate constituie evenimentul .

In cazul prezentat in fig. nr. 4 evenimentele si sunt incompatibile, deoarece realizarea evenimentului exclude realizarea evenimentului si invers, pe cand evenimentele din fig. nr. 3 sunt compatibile, caci alegerea unui punct comun celor doua cercuri atrage dupa sine realizarea atat a evenimentului

, cat si a evenimentului .

b) Daca , atunci . Geometric, acest lucru inseamna ca cercul este interior lui .

c) Oricare ar fi evenimentul , au loc relatiile :

AB

A

A B

A

B

,

,

,

.

DEFINITIE Intersectia (sau produsul) evenimentelor si este evenimentul P care consta in realizarea simultana a evenimentelor si .

Notatia este : .

Prin introducerea notiunii reuniune si intersectie, unele notiuni din teoria probabilitatilor pot fi formulate in mod mai precis. Astfel, pentru evenimentele opuse se pot formula in acest moment urmatoarele DEFINITII:

I) evenimentele si se numesc opuse daca au loc relatiile si

II) Evenimentele si sunt incompatibile daca: .

In caz contrar ( ), evenimentele se numesc compatibile.

Daca intr-o operatie de masa care are loc in conditii identice, un eveniment se produce in medie de ori, adica la din unitati elementare ale colectivitatii studiate, probabilitatea evenimentului este

.

In aceasta relatie, reprezinta numarul cazurilor egal posibile, pe cand reprezinta numarul cazurilor favorabile; ea sintetizeaza definitia clasica a notiunii de probabilitate: se numeste probabilitatea unui eveniment A si se noteaza cu , raportul dintre numarul de rezultate favorabile producerii lui si numarul total de rezultate posibile ale experientei, in conditia ca toate rezultatele sa fie egal posibile.

Pe baza acestei definitii se vede imediat ca probabilitatea de aparitie – la o singura aruncare – a uneia din

fetele unui zar omogen si perfect construit este , sau probabilitatea de aparitie a uneia din fetele monedei

este etc.

Deoarece rezulta ca probabilitatea oricarui eveniment intamplator satisface dubla inegalitate : .

Cu cat este mai apropiat de , cu atat evenimentul are loc mai des. Daca , evenimentul sau nu are loc niciodata, sau are loc foarte rar, asa ca practic il consideram imposibil. Daca , evenimentul are loc totdeauna, deci este un eveniment sigur.

Din definitia clasica a probabilitatii , rezulta urmatoarele:

PROPRIETATI

1. Probabilitatea evenimentului sigur este , intrucat in acest caz ;

2. Probabilitatea evenimentului imposibil este , intrucat in acest caz ;

3. Probabilitatea unui eveniment intamplator este cuprinsa intre si , intrucat in acest caz .

Se considera evenimentele , , …, apartinand unui acelasi camp , incompatibile doua cate

doua, adica: , , . Atunci :

Conform definitiei, doua evenimente si sunt contrare sau complementare, daca:

si .

Doua sau mai multe evenimente se numesc independente daca probabilitatea efectuarii unuia dintre ele nu este influentata de faptul ca celelalte evenimente s-au produs sau nu.

EXEMPLE a) Daca dintr-un lot continand atat piese standard cat si piese rebut se extrage cate o piesa care revine la lot dupa fiecare extractie, evenimentele care constau in extragerea unei piese standard la fiecare extractie sunt independente.

b) Daca se arunca o moneda de doua ori, probabilitatea aparitiei stemei (evenimentul ) in a doua aruncare nu depinde de faptul ca in prima aruncare s-a produs sau nu aparitia valorii (evenimentul ).

Doua sau mai multe evenimente se numesc dependente daca probabilitatea unuia dintre ele este influentata de evenimentele anterioare (depunde de faptul ca evenimentele anterioare s-au produs sau nu).

Fie si doua evenimente dependente. Se va determina in continuare probabilitatea producerii simultane a acestor evenimente, adica .

.

, relatie care constituie regula de inmultire a probabilitatilor a doua

evenimente dependente. .

In mod analog, probabilitatea evenimentului conditionata de este : .

DEFINITIE Daca , se va spune, ca evenimentele si sunt independente intre ele. Se vede ca doua evenimente sunt independente daca probabilitatea unuia dintre ele nu depinde de faptul ca celalalt eveniment s-a produs sau nu. Daca, de pilda, se arunca o moneda de doua ori este clar ca probabilitatea aparitiei stemei (evenimentul ) in prima aruncare nu depinde de faptul ca in a doua aruncare are sau nu loc evenimentul (aparitia valorii) ; si invers, probabilitatea lui nu depinde de faptul ca s-a produs sau nu evenimentul .

CAPITOLUL V – GEOMETRIE

1.Reper cartezian in plan

REPER CARTEZIAN IN PLAN COORDONATELE UNUI VECTOR

Un reper cartezian în plan este definit de o pereche ordonată formată din două axe perpendiculare, având aceeaşi origine. Punctul O se numeşte originea reperului. Prima axă, notată Ox, se numeşte axa absciselor, iar a doua axă, notată Oy, se numeşte axa ordonatelor. NotaŃia uzuală pentru un reper cartezian este xOy sau (O, i, j), unde i şi j sunt versorii (vectorii unitate) pentru axele Ox, respectiv Oy (figura 1).

Pentru fiecare punct M din plan,

j () i

i

vectorul OM se descompune în mod unic după direcŃiile axelor de coordonate: OM = OM1+OM2

Vectorii OM1 şi OM2 se numesc componentele vectorului OMDe asemenea vectorul OM se descompune în mod unic după vectorii necoliniari i şi j (figura 2).

Rezultă că există numerele reale x, y e R, unic determinate, cu proprietatea că OM = x · i + y ·j (1)Rezultă că există numerele reale

MM2

Numerele reale x, y care verifică egalitatea se numesc coordonatele vectorului OM în reperul cartezian (O, i, j).De asemenea, numerele x şi y reprezintă coordonatele punctului M în sistemul de j

coordonate xOy. o i M1Numărul real x se numeşte abscisa, iar numărul y se numeşte ordonata punctului M, şi se foloseşte scrierea M(x, y). Pentru punctele M de pe axa Ox se scrie M(x, 0), pentru punctele N de pe axa Oy se scrie N(0,

y), iar pentru origine se scrie O(0, 0).

Fie v un vector în planul P raportat la reperul cartezian ,având ca reprezentant segmentul orientat AB,

unde A(x1, y1) şi B(x2, y2).

Din egalitatea AB = OB - OA (figura 3) se obŃine că: AB = (x2i + y2j)-(x1i + y1j) = (x2-x1)i + (y2-y1)j.

Numerele x2 – x1 şi y2 – y1 reprezintă coordonatele vectorului v în reperul cartezian (O, i, j ) şi se scrie: v(x2-x1,y2-y1).

Dacă α e R, atunci : αAB = α(x2-x1)i + α(y2-y1)j (2iar coordonatele vectorului αAB sunt α (x2-x1) şi α (y2-y1).

COORDONATELE UNEI SUME VECTORIALE

Fie v1 (a1, b1) şi v2 (a2, b2) doi vectori.Rezultă că v1= a1i +b1j, v2 =a2i +b2j şi suma lor este: v1 + v2 = (a1+a2)i+(b1+b2)j.Aşadar, vectorul sumă v1 +v2 are coordonatele (a1 +a2 , b1 +b2).adică se adună componentele celor 2 vectori.

2.Elemente de geometrie analitică plană

Fie o dreaptă oblică din plan. Numărul real , unde este unghiul făcut de dreaptă cu sensul pozitiv al axei , se numeşte panta dreptei .

O

B

A

X1 X2

Y1

P

x

y

Y2

Coordonatele centrului de greutate al unui triunghi cu vârfurile , unde sunt

, .

Distanta dintre doua puncte

Considerăm punctele distincte , cu . Panta dreptei ce trece

prin punctele este : .

Două drepte oblice sunt paralele dacă şi numai dacă au pantele egale şi sunt perpendiculare dacă şi numai dacă produsul pantelor lor este egal cu -1.

Forme ale ecuaţiei dreptei în plan :

Considerăm punctul şi vectorul . Ecuaţiile se numesc ecuaţiile parametrice ale dreptei .

Ecuaţia dreptei ce trece prin punctul şi are panta este : .

Dacă punctele sunt situate pe axele de coordonate adica dacă , , cu

atunci ecuaţia dreptei are forma , numită ecuaţia dreptei prin tăieturi.

Ecuaţia carteziană generală a unei drepte : . Panta dreptei date

în formă generală este , dacă . Dacă , atunci dreapta este verticală, deci nu are pantă.

Observaţii. Punctul aparţine dreptei (se află pe dreapta) , dacă

coordonatele sale verifică ecuaţia dreptei, adică dacă .

Punctul de intersecţie a două drepte se obţine rezolvând sistemul format din ecuaţiile dreptelor.

Două drepte , coincid dacă şi numai dacă au

coeficienţii proporţionali, adcă : .

Distanţa de la un punct la o dreaptă

Distanţa de la punctul la dreapta de ecuaţie este dată de formula

Aria unui triunghi

Def: Prin aria unui triunghi înţelegem aria suprafeţei din interiorul triunghiului.

Formule de calcul pentru aria unui triunghi

1. Aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul unei laturi a triunghiului cu înălţimea corespunzătoare ei .

2.

h a

a

h c

ch b

b

A

B CD

3. Formula lui Heron

.

4. Aria triunghiului echilateral

TESTE CLASA a X a FR

TEST 1

1. Pentru ce valori ale lui x au loc radicalii?

a) ; b) c)

2 .Calculaţi:

a)

b)

c)

TEST 2

1. Să se raţionalizeze numitorii

2.Rezolvati ecuatiile: a)

b)

3. Să se determine , pentru care este definit logaritmul :

TEST 3

1. Să se calculeze :

a)

b)

2.Să se rezolve următoarele ecuaţii:

a)

b)

c)

TEST 4

1. Calculaţi : a) ,

b) .

2. Calculaţi : .

3. Determinaţi R pentru care este definit .

4.Să se rezolve următoarele ecuaţii:

a)

b) 2

TEST 5

1. În mulţimea numerelor complexe calculaţi: ;

2. Să se rezolve ecuaţia .

3. Să se calculeze .

4. Să se determine termenul:

a) al optulea al dezvoltării:

b) în care nu apare x din dezvoltarea

TEST 6

1) (5p) Se consideră în reperul cartezian xOy,punctele:A( -1,3), B(2, 1), C(3, 6).

Să se găsească :

a) Ecuaţia dreptei AB.b) Ecuaţia paralelei, prin C la AB.c) Ecuaţia mediatoarei segmentului : [ A B ].d) Lungimea medianei din C e) Ecuaţia înălţimii din C.f)

2) (2p) Se dau, în reperul cartezian xOy, punctele :A( - 2, -5), B( -1, -2), C( 0, 1).

Demonstraţi, (indiferent de metodă) că punctele sunt coliniare.

3) (2p) Se consideră dreptele variabile :

(d1) : 3x - 2 y + 5 = 0 ;

(d2) : x – (2 - 1) y + 1 = 0 ; Determinaţi parametrul real , astfel încât :

a) dreptele (d1) , (d2) , să fie paralele.

b) dreptele (d1) , (d2) , să fie perpendiculare.

TEST 7

1. Se considera numarul complex z=5-2i. Calculati:

Opusul lui z Conjugatul lui z

Modulul lui z Inversul lui z

2. Sa se calculeze

3. Fie punctele: A(-2 , 2),B( 1,3), C(-1, 2).

Sa se determine:

a) Determinati perimetrul triunghiului ABC;

b) Lungimea medianei din B.

c) Coordonatele centrului de greutate al triunghiului ABC, G(x,y) unde

, ,

d) Determinati ecuatia dreptei AB.

e) Determinati ecuatia dreptei ce trece prin C si este paralela cu AB.

f) Coordonatele simetricului punctului B, in raport cu punctul A.