ECUATII RECIPROCE

O ecuaie de forma anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0=0, an o pentru care an-i=ai, 0 i n (termenii egali desprii de extremi au coeficieni egali) se numete ecuaie reciproc de gradul n. Iat forma ecuaiilor reciproce pe care le rezolvm: ax3+bx2+bx+a=0, a 0, dac n=3; ax4+bx3+cx2+bx+a=0, a 0, dac n=4; ax5+bx4+cx3+cx2+bx+a=0, a 0, dac n=5.

Dac gradul ecuaiei reciproce este impar, atunci ea admite soluia x=-1, iar rezolvarea acestei ecuaii se reduce la rezolvarea ecuaiei x+1=0 ( cu soluia x=-1 ) i a unei ecuaii reciproce de grad par.Rezolvarea unei ecuaii reciproce de grad patru se face mprind ecuaia prin x2 i obinem:

0c)x1b(x)

x1a(x 2

2=++++

(1).

Acum se noteaz y

x1x =+

cnd 2y

x1x 22

2=+

i (1) se scrie n funcie de y: ay2+by+c-

2a=0 cu soluiile y1, y2. revenim la substituie i rezolvm ecuaiile 1yx

1x =+,

2yx1x =+

. Toate soluiile acestei ecuaii sunt soluiile ecuaiei date. Aplicaii: Aplicaie 1.. S se rezolve ecuaiile: 2x3+3x2+3x+2=0;

S observm c este o ecuaie reciproc de grad impar. Rezolvarea ei se reduce la rezolvarea ecuaiei x+1=0 (cnd x=-1) i a unei ecuaii (reciproce) de gradul al doilea. Pentru a gsi coeficienii acestei ecuaii utilizm schema lui Horner (coeficienii din ultima linie, mai ngroai, sunt coeficienii cutai).

X3 X2 X X0

2 3 3 2 -1 2 1 2 0

Din schem rezult ecuaia 2x2+x+2=0 cu rdcinile 415i1

. Ecuaia dat are soluiile :

-1, 415i1

.

x4-x3-10x2+2x+4=0

Fr a fi o ecuaie reciproc de gradul patru, utilizeaz pentru rezolvare o tehnic

asemntoare. Se mparte ecuaia prin x2 i se scrie sub forma 010)

x2(x

x4x 2

2=+

. Se

noteaz y

x2x =

, etc. Ecuaia data are soluiile: 2173

, 31 . Aplicaie 2. S se rezolve ecuaiile:

x3-3x2-3x+1=0 dac are rdcin 32x1 = ;Fiind o ecuaie cu coeficieni raionali, se tie c dac ecuaia admite o rdcin ptratic

32x1 = , atunci ea admite i rdcina ptratic conjugat 32x2 += . Deci polinomul din membrul stng al ecuaiei se divide prin

14xx32)(x]32)][(x32)[(x)x)(xx(x 222

21 +==+= .

Efectund mprirea gsim 1)1)(x4x(x13x3xx223 ++=+ . Aadar a treia rdcin a

ecuaiei este dat de x+1=0, adic x3=-1.

Observaie. Pentru rezolvarea acestei ecuaii, mai simplu era dac aplicam prima relatie a lui

Vite x1+x2+x3=3. Cum 32x1 = , 32x2 += , atunci x3=3-4=-1. z3+(4-2i)z2+(2-7i)z-3-3i=0 dac admite cel puin o rdcin real.

Fie rdcina real a ecuaiei. Deci pentru z= se verific ecuaia i avem: 3+(4-2i)2+(2-7i)-3-3i=0 sau 3+42+2-3+i(-22-7-3)=0 care este un numr complex. Acesta este 0 dac:

=++

=++

0372

0324

2

23

Ecuaia 22+7+3=0 are soluiile 1=-3, 21 2 =

. Dar numai =-3 verific ambele ecuaii ale sistemului.Prin urmare, singura rdcin real este =-3. Cu schema lui Horner se obine ecuaia de gardul al doilea rezultat dup ce am pus condiia de rdcin a ecuaiei pentru =-3.

Z3 Z2 z Z0 1 4-2i 2-7i -3-3i -3 1 1-2i -1-i 0

Aceasta este z2+(1-2i)z-1-i=0 cu =1. Deci rdcinile ecuaiei sunt z1=i, z2=-i+1. Ecuaia dat are soluiile: -3, i, -1+i. x4-2(m-1)x2+(m2-5m-7)x2+(3m2+11m+4)x-4m2-4m=0, dac are rdcini independente de m.

Se ordoneaz ecuaia dup puterile descresctoare ale lui m i se obine: m2(x2+3x-4)+m(-2x3-5x2+11x-4)+x4+2x3-7x2+4x=0, (1).Dac x este rdcin independent de m nsemn c (1) are loc oricare m R, iar aceasta are loc dac coeficienii trinomului de gradul al doilea n m sunt nuli, adic

=++

=+

=+

04x7x2xx0411x5x2x

043xx

234

23

2

Din prima ecuaie x1=-4, x2=1. Aceste valori verific i celelalte dou ecuaii. Deci ele reprezint rdcinile, independente de m ale ecuaiei date.Cu schema lui Horner gsim i celelalte rdcini ale ecuaiei de gradul patru n x.

Ecuaia x2-(1+2m)x+m2+m=0 are soluiile x3=m, x4=1+m.Ecuaia data are soluiile: -4, 1, m, m+1. S se determine parametrii reali m, n astfel nct ecuaia x4-x3-mx2-x+n=0 s aib rdcin dubl x=1 i s se rezolve ecuaia dat.

Metoda 1. Dac x=1 este rdcin dubl a polinomului x4-x3-mx2-x+n, atunci acesta se divide prin (x-1)2 i deci restul mpririi celor dou polinoame este polinomul nul.

Efectund mprirea avem egalitatea X4-x3-mx2-x+n=(x2-2x+1)(x2+x+1-n)-2mx+n+m-1Restul fiind polinomul nul, adic 2mx+n+m-1=0 d m=0 i n+m-1=0, adic m=0 i n=1.

Celelalte rdcini ale ecuaiei sunt soluii (ctul egal cu zero) ale ecuaiei x2+x+1=0, adic

231x3,4

=

.

Metoda 2 (schema lui Horner) n schema lu Horner cerem ca x=1 s fie rdcin dubl cnd avem:

X4 X3 X2 x X0 1 2-2m m2-5m-7 3m2+11m+4 -4m2-4m 1 1 3-2m m2-7m-4 4m2+4m 0 -4 1 -1-2m m2+m 0

x4 x3 x2 x x0

1 -1 -m -1 n 1 1 0 -m -m-1 -m+n-1=0 1 1 1 1-m -2m=0

Deci m+n-1=0 i m=0 dau m=0 i n=1, iar celelalte rdcini ale ecuaiei date coincid cu ale ctului x2+x+1=0. Metoda 3 (metoda identificrii). Dac x=1 este rdcin dubl a ecuaiei atunci trebuie s avem egalitatea : x4-x3-mx2-x+n=(x2-2x+1)(x2++). De aici prin identificare rezult sistemul:

n21

12m21

=

=

+=

=

Din prima i a treia ecuaie rezult =1, =1. Acum din celelalte ecuaii se obine m=0, n=1. Acum ecuaia se scrie (x2-2x+1)(x2+x+1)=0.

Celelalte dou rdcini sunt date de rdcinile ecuaiei x2+x+1=0, adic 23i1x 3,4

+=

.

Metoda 4 (metoda reducerilor succesive) Dac f=X2-2X+1, g=X4-X3-mX2-X+n, atunci cel mai mare divizor comun dintre f i g trebuie s fie f.De asemenea i polinomul q=g-X2f se va divide prin f. Avem: q=X3-(1+m)X2-X+n. De asemenea i polinomul s=q-Xf=(1-m)X2-2X+n se va divide prin f. Cum s i f au acelai grad i s se divide prin f rezult c ele au aceleai rdcini.Condiia ca dou polinoame f1=a1 X 2+b1 X+c1, f2=a2 X 2+b2 X+c2 s aib aceleai rdcini este aceea de proporionalitate a coeficienilor termenilor de acelai grad

2

1

2

1

2

1

cc

bb

aa

==

(relaii ce rezult uor din relaiile lui Vite 22

1

121 a

babxx ==+

,

2

2

1

121 a

cacxx ==

).

n cazul nostru 1n1

mm1

==

. De aici m=0, n=1. Metoda 5. (relaiile lui Vite). Din enun x1=x2=1. Avnd o relaie ntre rdcini vom asocia acesteia relaiile lui Vite pentru o ecuaie i avem

=

=+++

=+++

=+++

nxxxx1)x(xxxx)xx(x

10x)(xx(xxx1xxxx

4321

43212121

432121

4321

sau

=

=

=

=+

nxx1xx

m1xx1xx

43

43

43

43

Din relaiile a doua i a treia rezult 1-m=1, adic m=0, iar din a doua i a patra n=1-m=1. Pentru a gsi rdcinile x3, x4 se rezolva sistemul x3+x4=-1, x3x4=1, adic ecuaia x2+x+1=0,

cnd 23i1x 3,4

=

.

ECUATII RECIPROCEMetoda 1. Dac x=1 este rdcin dubl a polinomului x4-x3-mx2-x+n, atunci acesta se divide prin (x-1)2 i deci restul mpririi celor dou polinoame este polinomul nul. Efectund mprirea avem egalitatea x3