91-92 Teorema Sinusurilor. Teorema Cosinusurilor

8/18/2019 91-92 Teorema Sinusurilor. Teorema Cosinusurilor

1/8

PROIECT DE TEHNOLOGIE DIDACTICĂProfesor: Beşliu AlionaData: Grupa:Obiectul: MatematicăNumărul lecţiei con orm proiectului !e lun"ă !urată:91-92

#ubiectul lecţiei: Teorema sinusurilor. Teorema cosinusurilor Tipul lecţiei: mixtă#ubcompetenţe curriculare:Obiecti$e operaţionale:

O1: Să identifice elementele triunghiului pe care le cunoaşte şi pe cele care i se cer O : Să aplice rela!iile metriceO": Să aplice teorema sinusurilor şi a cosinusurilor la re#ol$area pro%lemelor O&: Să aplice func!iile trigonometriceO': Să determine aria triunghiurilor O(: Să aplice formule de calcul prescurtat

%eto!e olo&ite: con$ersa!ia) descoperirea) pro%lemati#area) explica!ia) metoda exerci!iului) exerci!iu comentat) muncă independentă) acti$idiferen!iată pe grupe $alorice) acti$itate frontală de sistemati#are şi organi#are a informa!iilor %i'loace !e (n$ăţăm)nt utili*ate: manualul) culegere de pro%leme) mape de lucru) fişe de lucru) planşeE$aluare:


2/8

DE#+Ă,-RAREA LEC.IEI

Nr/Crt/ ETAPELE LEC.IEI

O0/OPER/ CON.IN-T-L LEC.IEI

%ETODE ,IPROCEDEE

+OR%E DEORGANI1ARE

1. Moment organi#atoric Asigurarea condi!iilor optime pentru desfăşurarea lec!iei*cură!enie) lumină+. ,erificarea pre#en!ei-on$ersa!ia

.-aptarea aten!iei O1) O ,erificarea frontală a temei calitati$ şi cantitati$. Pre#entarea la

ta%lă a re#ol$ării unor pro%leme considerate mai dificile dintemă

-on$ersa!iaemonstra!ia

/xplica!ia". Anun!area temei şi ao%iecti$elor

,om enun!a şi demonstra o nouă teoremă cu a0utorul căreia$om re#ol$a triunghiul oarecare)Teorema co&inu&ului

-on$ersa!iaPro%lemati#area

&.

eactuali#areacunoştin!elor

O P: -are sunt teoremele şi no!iunile cu a0utorul cărora putemre#ol$a un triunghi dreptunghic2E: acă triunghiul este dreptunghic a$em rela!ii metrice şielemente de trigonometrie.P: ar ce facem dacă a$em un triunghi oarecare2 3a această

4ntre%are $om da răspuns la lec!ia de astă#i. ăspuns:)

-on$ersa!ia/xplica!ia

'. Pre#entareacon!inutului şidiri0area 4n$ă!ării

O

O&

O"

P: acă triunghiul este oarecare apelăm la teorema sinusurilor sau a cosinusurilor

Teorema &inu&urilor/5n orice triunghi AB- are loc egalitatea:

sin sin sin BC AC AB

R A B C

= = = ) unde este ra#a cercului

circumscris triunghiului AB-.Ob&er$aţii/6ormula dată se aplică la determinarea ariei triunghiurilor

Teorema co&inu&ului/ 5n orice triunghi ABC

are loc rela!iacosa b c bc A= + −Ob&er$aţii/1+ 6ormula mai este numită şi 7teorema lui Pita"ora"enerali*ată8

+ Analog) cosb a c ac B= + −


3/8

O&

O'O(

cosc a b ab C = + −"+ in Teorema cosinusului se deduc formulele

cosb c a

Abc

+ −=

cosa c b

Bac

+ −=

cos b a cC ab

+ −=

E2emplu/ 9&'a b B= = = . Afla!i celelalte elemente aletriunghiului.Re*ol$are/ in teorema sinusurilor a$em

sin sin sina b c

A B C = =

91sin "9

sin sin sin

A A A B A

×

= ⇒ = ⇒ = = ⇒ =

9 91;9 19' A B C C + + = ⇒ =Aplicăm Teorema cosinusului ca să aflămc

cosb a c ac B= + −

& 9c c c c= + − × × × ⇔ − − =

1 1 " 1 "c c⇒ = + = − ) c nu con$ine.

(. Asigurarea feed


4/8

Teorema sinusului:

In orice tiun"3i A0C are loc relatia: R

C

c

B

b

A

a

sinsinsin=== 4 un!e R e&te ra*a cercului circum&cri& triun"3iului A0C/

Demon&tratie:Anali#am ca#ul triunghiului ascutitunghic. -elelalte ca#uri se $ordemonstra in mod analog.

A

0 D C

?n triunghiurile dreptunghice AB şi A - deducem:

C

c

B

bbC c B

bC AD AC

ADC

c B AD AB

AD B

sinsinsinsin

sinsin

sinsin

=⇒•=•⇒•=⇒=•=⇒= Analog) se arata:

C c

Bb

Aa

Deci A

a B

bsinsinsin

.sinsin

===

A

OOOOoooooo

B --onstruim cercul circumscris triunghiului AB-.

-onstruim prin B diametrul B ) B


5/8

( ) ( ) ( )

R A

a Ra

A BD BC

C D B

cdreptunghi BDC diametru BD

AC Bm

C D BmC A Bm

sinsinCsin

CC

=⇒=⇒=

∆⇒

===

?n mod asemanator se arata ca :

RC

c

B

b

A

a Deci

RC

c

R B

b

sinsinsin

sin

sin

===

=

=

+ormulele ariei triun"3iului

5/ Notaț iio 6ie D AB- cu AB c) B- a) -A %.o 5n loc de m*≮A+ se $a scrie uneori Ao 4n loc de≮A se $a scrie uneori A .o S aria triunghiuluio ha AAE 4nălț imea din A) h % BBE 4nălț imea din B) hc --E 4nălț imea din -

6/ Demon&traț ia ormulei 6 a ariei triun"3iului

http://vioricavinersan.files.wordpress.com/2013/05/g090300ariatriunghi_03fo2aria.gif


6/8

o

7/ Demon&traț ia ormulei 7 a ariei triun"3iuluiNotaț ii

• 6ie D AB- cu AB c) B- a) -A %.• 5n loc de m*≮A+ se $a scrie uneori A• 4n loc de≮A se $a scrie uneori A .• S aria triunghiului• R este ra#a cercului circumscris triunghiului AB-) cercul -*O) +)• O centrul cercului circumscris triunghiului intersecț ia mediatoarelor laturilor triunghiului• Teorema &inu&urilor

se $a utili#a mai 0os.

http://vioricavinersan.files.wordpress.com/2013/05/g090300ariatriunghi_02dem2.gif


7/8

5n D AB- aria triunghiului areș i formula :

Teorema cosinusului. 5n orice triunghi ABC are loc rela!ia cosa b c bc A= + −Demon&traţia analitică/ 6ie CD AB⊥ .5n triunghiul 9* * + 9 + ABC m D =V S

cos AD

A AC

⇒ = ⇒ cos cos AD AC A AD b A⇒ = × ⇒ = ×

Aplicăm Teorema lui Pitagora 4n DBC V9* * + 9 +m D BC BD DC = ⇒ = +S

in ADC V T. Pitagora

9* * + 9 +m D = =S a$em

DC AC AD DC b AD= − ⇒ = − . eci * +a DC DB b AD DB b AD c AD= + = − + = − + − =cosb AD c c AD AD b c cb A= − + − × + = + − *F.e.d.+

http://vioricavinersan.files.wordpress.com/2013/05/g090300ariatriunghi_02dem5.gif


8/8

+I#A DE L-CR- Cla&a a8I98a5/ #a &e arate ca triun"3iul in care : &in 0;&in C0AD? < / DC b &in>DAC?@/ #a &e !emon&tre*e ca intr8un triun"3i oarecare are loc relatia : a &in>0 BC?; b &in>C B A?; c &in>AB 0? < /

/ Daca intr8un triun"3i a$em m>∠ A? < 4 m>∠ 0?< =@ &i a

91-92 Teorema Sinusurilor. Teorema Cosinusurilor

Documents

Transcript of 91-92 Teorema Sinusurilor. Teorema Cosinusurilor