Prof. Ovidiu Bdescu

Teorie minimal

11 sept 2005

Prof. Ovidiu Bdescu

Teorie minimal

11 sept 2005

OVIDIU BDESCU

2005, Editura Neutrino Titlul: Teorie minim obligatorie bac-ului la mate Autor: Ovidiu Bdescu I.S.B.N. 973-87223-2-2

TEORIE MINIMAL OBLIGATORIE BAC-ULUI LA MATE 2006

Este, aa cum o spune i titlul o teorie minimal, adic pe nelesul tuturor, nu e destul ceea ce vei gsi aici. De ce atunci a aprut sub aceast form? Pentru c...solicitrile multor elevi i profesori din ora sau jude au fost numerose...i pentru c era nevoie de ea ACUM... Sunt stul de foi xeroxate sau de pdf-uri imprimate care sunt greu de manevrat...i consider c o asemenea reeditare este binevenit.Cu siguran putea fi extraordinar daca timpul mi-ar fi permis...ns n lips de altceva...e bun i sub starea care e acum. Autocritica sper s m salveze de comentariile celor ce susin c tot ceea ce e aici nu merita efortul...ns sunt mulumit de prerile elevilor i studenilor actuali care mi dau telefon pentru a le mprumutaCartea de teorie .

MATEMATIC

Editor: Ovidiu Bdescu Coperta: Ovidiu Bdescu

Editura Neutrino Reia, 2005

2005, Editura Neutrino Toate drepturile rezervate Tel/ fax: 0255-224411 Mobil: 0724224400 E-mail: editura_neutrino@email.ro 2

Prof. Ovidiu Bdescu

Teorie minimal

11 sept 2005

Prof. Ovidiu Bdescu

Teorie minimal

11 sept 2005b

CLASA A IX-ACapitolul I Operaii cu numere reale1) Formule utile : a 2 b 2 = ( a b )( a + b )

4) Definiia radicalului de ordin superior a x b = x a 5) Condiii pentru radicali de ordin superior 2 k f ( x) = g ( x)

f ( x) 0 x I 1 Conditii: x I1 I 2 = I c g ( x) 0 x I 2f ( x) = g ( x) Conditii: x R 6)Semnul suma si semnul produs , definiia factorialului2 k +1

( a b ) = a 2 2ab + b2 ( a + b ) = a 2 + 2ab + b2 3 3 ( a b) = a3 b3 3ab( a b) ( a + b) = a3 + b3 + 3ab( a + b) a3 b3 = ( a b ) ( a2 + ab + b2 ) a3 + b3 = ( a + b) ( a2 ab + b2 ) a n b n = ( a b ) ( a n 1 + a n 2b.... + b n 1 ) a n + b n = ( a + b ) ( a n 1 a n 2b + .... + b n 1 ) ,doar pentru n impar2 2

exp:

k = 1 + 2 + ... + nk =1

n

kk =1 n

n

2

= 12 22 ... n 2

Obs1:n 2

a 3 + b3 + c3 3abc = ( a + b + c ) ( a 2 + b 2 + c 2 ab bc ac )

2 2 a12 + a2 + ...an = ( a1 + a2 + ...an ) 2 ( a1 a2 + a1 a3 + ...an 1an ) 2

1 = nk =1

n

k =k =1

n(n + 1) 22

a 3 + b3 + c3 3abc = ( a + b + c ) ( a + b + c ) 3 ( ab + bc + ac )2

(

)

n n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1) k = k3 = 2 6 k =1 k =1 Obs2:Constantele ies in fata sumei (respectiv produsului, insa la produs vor fi la puterea n)

a 3 + b3 + c3 = ( a + b + c ) 3 ( a + b )( b + c )( c + a )3

2) Fracii periodice mixte i simple - se repet zecimalele 123456 123 Exemplu : 1, 23(456) = e mixt (apar cifre ntre 99900 123 1 e simpl (nu apar cifre ntre virgul i perioad) 1, (23) = 99 virgul i perioad) 3)Aproximarea numerelor reale Exp: a=12,345 Aproximarea prin lipsa: 12; 12,3 ; 12,34 ;12,345 Aproximarea prin adaos:13 ; 12,4 ; 12,35 ;12,346 Eroare absoluta : a = a a , unde a este aproximarea lui a; 3

3k 2 = 3 k 2k =1 k =1

n

n

3k 2 = 3n k 2k =1 k =1

n

n

Obs3:Daca in interiorul sumei este suma (respectiv la produs e produs), se distribuie suma (respectiv produsul). x, x > 0 7) Modulul unui numar real: x = 0, x = 0 d semnul x, x < 0

plus numrului, exprim distana de la numr pn la origine Obs.: Proprietati ale modulului: a ) a 0 : a = 0 a = 0;b) a < 2 a (2;2); a < 2 a a > 2 a (;2) (2; ) a > 2 a R

4

Prof. Ovidiu Bdescu

Teorie minimal

11 sept 2005

Prof. Ovidiu Bdescu

Teorie minimal

11 sept 2005

a a = ; b b Obs.2:Definiia minimului i a maximului a dou numere utiliznd a +b a b a +b+ a b i max(a, b) = modulul min(a, b) = 2 2 8)Parte ntreag -ntregul mai mic sau egal dect numrul nostru, se noteaza [x] (i este ntregul din stnga numrului) Parte fracionar :se noteaza { x} , { x} = x [ x ] c) a b a b a + b ; d ) a b = a b iObs.: { x} [ 0;1)9)Proprietati pentru parte intreaga si fractionara: a )[ x] = x d.d. x Z ; b){x} = 0 d.d. x Z ; c)[m + x] = m + [ x], m Z ; d ){m + x} = {x}, m Z ; e)[ x] x < [ x] + 1; f ) x 1 < [ x] x; 1 n 1 g) [ x] + x + + ... + x + = [ nx ] identitatea lui Hermite n n 10)Proprietati ale puterilor: 1 c)a x = x ; a )a 0 = 1, a 0; b)0 a = 0, a 0 a x y a e) y = a x y d )a x a y = a x + y f ) ( a x ) = a x y ag) ( a b) = a bx x x

f ) x 2 k = y 2 k x = y sau x = y i x 2 k +1 = y 2 k +1 x = y12)Conjugat, tipuri de conjugat:-conjugatul unei expresiiexpresie cu care daca inmultim expresia initiala, dispare radicalul Numar Conjugat Rezultat a a a ab a b b

a b a+ b3

a+ b a b3

a b

a +3 b a 3 b

a 2 3 ab + 3 b 2

a2 b a+ba b

3

3

a 2 + 3 ab + 3 b 2

a+3 b a 2 a3 b + 3 b 2 13)Formula radicalilor dubli (compusi): A B =

a3 + b

A + A2 B A A2 B 2 2 2 Obs: Se utilizeaza doar daca A B este ptrat perfect14)Inegalitati evidente: a b a b a) Dac ab >0 + 2 b) Dac ab2) D termen liber Et 1) se calculeaza D = ; unde D este divizor D coeficient dominant Et 2) se face schema lui Horner pentru x - , unde este divizor , pana obtinem restul 0 , celelalte linii se taie. Et 3) se scrie proba impartirii : Deimpartit = Impartitor Cat + Rest 7

b unde = b 2 4ac 2a Etapa 2) se alege linia corespunzatoare cazului nostru din tabelul x x1 x1= x 2 x2 >0 sgn ( a ) 0 sgn ( a ) 0 sgn ( a ) =0 0 , deci cand =0 ( respectiv 0 sau se iau doar intervale deschise P ( x) P ( x) Obs : 0 f = a( x x1 )( x x 2 ) E1) Se scrie P = = 0 f = a( x x1 )2

Obs. Formulele sunt valabile dac toi coeficienii sunt nenuli, dac b = 0 sau c = 0 atunci i numitorului corespunztor trebuie s i impunem condiia s fie 0 23) Conditia ca 2 ecuatii de gradul II sa aiba o radacina 2 comun: (ac a c ) = (ab a b )(bc bc ) Obs: Pentru a gsi rdcina comun, o determinm inlocuind parametrul gasind mai sus si rezolvand cele doua ecuatii. 24) Determinarea lui m daca stim o relatie doar intre radacini E1) Se prelucreaza relatia, se obtine o relatie doar intre S si P E2) Se folosesc formulele: x12 + x2 2 = S 2 2 P x13 + x23 = S 3 3PSx14 + x2 4 = S 2 2 P

< 0 f ireductibil

(

)

2

2P2

x1 x2 = S 2 4 P

Observatie: toate aceste formule se pot deduce; E3) Se obtine o ecuatie in m care se rezolva.

21) Calcularea unei expresii simetrice referitoare la radacini E1) x1 radacina verifica ecuatia x12 = .. in functie de x1

E2) Daca se cer puteri mai mari ale lui x1 , x 2 se inmulteste relatia cux1 , x1 , etc si se inlocuiesc recursiv E3) Se obtine doar o relatie intre puteri de gradul I ale lui x1 respectiv x2 E4) Se folosesc relatiile lui Viete 22) Conditia ca doua ecuatii de gradul II sa aiba: a b c = = a) aceleasi radacini: a b c a b c = = b) radacini respectiv inverse : c b a (adica cand prima are radacini pe x1 , x 2 cea de-a doua sa aiba pe 1 1 x3 = , respectiv x 4 = ) x1 x2 112

25) Tipuri de ecuatii irationale TIP 1: 2 k f ( x ) = g (x )

f ( x ) 0 x I1 Conditii: g ( x ) 0 x I2 2k

I C = I1 I 2

TIP 2: 2 k +1 f ( x ) = g (x ) Conditii: x I C = () f (x) = [g(x)] 2k +1

() HORNER f ( x) = g ( x) x { se aleg doar valorile din I C } k

2k +1

} HORNER x {, se aleg valorile din I C =

TIP 3: m f ( x) n g ( x) = E1)Eventuale conditii E2)notam m f ( x) = u => x = ... (in functie de u)

12

Prof. Ovidiu Bdescun

Teorie minimal

11 sept 2005

Prof. Ovidiu Bdescu

Teorie minimal

11 sept 2005

g ( x) = v => x = ... (in functie de v) E3)egalam x =>ecuatia(1) intre u si v E4) ecuatia (2) este u v = =>sistem =>u =,v =, => x = 26)Tipuri de inecuatii irationale TIP I : f ( x) < g ( x) f ( x) 0 => x I1 Conditii : I c = I1 I 2 g ( x) 0 => x I 2 ( )2 => f ( x) < [g ( x)]2 => x I 3 =>solutia este I c I 3

TIP II:

f ( x) > g ( x)

f ( x) 0 => x I1 Cazul I: I c = I1 I 2 => x I c e solutie g ( x) < 0 => x I 2 =>solutia I c = I f ,1 f ( x) 0 => x I 3 => I c , 2 = I 3 I 4 Cazul II: g ( x) 0 => x I 4

E2) se obtine un sistem cu S si P, se obtine S=...; P= E3) se formeaza ecuatia de grad II : t 2 St + P = 0 t =x t =y 1 sau 1 t2 = y t2 = x Obs : orice sistem simetric ce are solutia (,) are si solutia (,) 33) Sisteme omogene: toti termenii considerai n ambele necunoscute au acelasi grad E1) notam y=tx , inlocuim in ambele ecuatii, dam factor comun x ... (....) = ... E2) daca vreuna din cele 2 ecuatii are termenul liber 0 x = 0 sau (.) =0 t = Dac ambii termeni liberi sunt diferii de 0, impartim cele 2 ecuatii, simplificam x ... t = E3) Caz I: t 1 = ... y=x, inlocuim in cea mai simpla ecuatie solutiile, analog Caz II

()

Capitolul III Elemente de logica matematic1)Propoziie-un enun despre care putem spune ca e adevarat sau fals 2) Tabele de adevar: p q p p q p q pq pq 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1

2

=> f ( x) > [g ( x)] => x I 5 deci solutia I f , 2 = I c , 2 I 523

Solutia finala: I f ,1 I f , 2TIP III:f ( x) g ( x )

Conditii: x R

()

3

=> f ( x) [g ( x )] x I I f = I 3

27) Sisteme formate dintr-o ecuatie de grad I si una de grad II: E1) Gasim x sau y din ecuatia de grad I E2) Inlocuim in cealalta, o rezolvam E3) Revenim la substitutie 32) Sisteme simetrice - schimband x cu y ecuatia este aceeasi E1) se folosesc formulele: 2 3 x 1 + x 2 = S2 2 P x 1 + x 3 = S3 3PS 2 24 x1 + x 4 = (S2 2 P) 2 2 P 2 2

x1 x 2 = S2 4P 2

Obs. : numrul liniilor din tabel este egal cu 2n , unde n este numrul propoziiilor care apar Obs. p non p se completeaz invers decat la p p q p sau q disjunctie e adevarata cand sau p sau q e adevarata : 14

13

Prof. Ovidiu Bdescu

Teorie minimal

11 sept 2005

Prof. Ovidiu Bdescu

Teorie minimal

11 sept 2005

p q p si q conjunctie e adevarata cand si p si q e adevarata: p q p implica q implicatie e falsa cand din adevarat se obtine fals: p q p echivalent cu q e adevarata cand si p si q au aceeasi valoare de adevar: 3) tautologie -propozitie identic adevarata antilogie -propozitie identic falsa 4)predicate enunturi ce depind de variabile si care, pentru diferite valori ale variabilelor ,devin propozitii 5)cuantificatorul existential : x a.i x => ... cuantificatorul universal: Obs: cuantificatorii pot comuta doar daca sunt de acelasi tip: xy yx, xy yx , dar xy yx este falsa 6) Tipuri de teoreme : a)teorema directa : I => C b)teoreme reciproca: C => I c)teorema contrara: C => I d)teorema a reciprocei: I=> C Obs.: Se arata (cu tabele) ca : (I => C) (C =>I ) si (C => I ) ( I => C) asadar de multe ori in loc sa aratam I=>C, aratam ca : C => I 7)Conditii necesare, suficiente a)conditie necesara: pentru ca x=2 e necesar ca: x 2 = 4 , pentru ca x 2 = 4 nu e necesar ca x=2 b)conditie suficienta : pentru ca : x 2 = 4 e suficient ca x=2, pentru ca x=2 nu e suficient ca x 2 = 4 c)conditie necesara si suficienta: pentru ca: x 3 = 8, x R e necesar si suficient ca x=2. Obs.1: notam CNS pentru ca .sau ..sau.d.d.. Obs.2: orice echivalenta are 2 sensuri: => si presupunerea facuta e falsa=>q.e.d. 9)Constructia lui P(k+1) daca stim P(k):

E1)inlocuim pe k cu k+1 in P(k) E2)Comparam P(k) cu P(k+1) in functie de :primul element , ultimul element,regula sirului; E3)Adunam ,scadem,inmultim,impartim pe P(k) astfel incat sa porneasca tot de unde porneste P(k+1) si sa se opreasca unde se opreste P(k+1); 10) Inducia cu pasul p p N are etapele I. Se arat c primele p valori posibile sunt adevrate II. Pp. c P ( k ) , P ( k 1) ,..., P ( k p + 1) adev i artm cP ( k + 1) este adev

11)Egalitati demonstrate prin inductie: I ) P(prima valoare posibila) adevarata II) Presupunem P(k) adevarata (?)=>P(k+1) adevarata, unde P(k): P(k+1):. Metoda I: Stim P(k)adevarata =>adevarata apoi adun, scad, inmultesc sau impart astfel incat sa obtin M s ( P{k + 1)) = ... Se

arata M d ( P(k + 1)) prin calcule. Metoda II: Vreau sa arat P(k+1) adevarata,echivalent cu . adevarata, echivalent cu..,echivalent cuadevarata Deoarece s-au folosit relatii echivalente =>P(k+1) adevarata=>P(n) adevarata n N 12)Inegalitati demonstrate prin inductie I)P(prima valoare posibila) adevarata. II)Presupunem ca P(k) adevarata =>(?)P(k+1) adevarata ,unde : P(k): P(k+1): Stim P(k) adevarata=> apoi adun, scad, inmultesc sau impart astfel incat sa obtin M s ( P{k + 1)) = ... .. adevarata M s ( P{k + 1)) .. E suficient sa aratam ca> < M d ( P (k + 1)) ...... 13)Divizibilitate demonstrata prin inductie 16

15

Prof. Ovidiu Bdescu

Teorie minimal

11 sept 2005

Prof. Ovidiu Bdescu

Teorie minimal

11 sept 2005

I)P(prima valoare posibila) adevarata II)Presupunem P(k)adevarata=>(?)P(k+1) adevarata, unde: P(k): P(k+1): Stiu P(k) adevarata. .......e divzibil cu c Za.i..... = c =>scoatem cea mai mare putere a lui k in functie de c, o inlocuim in P(k+1) => P(k+1) adevarata =>P(n) adevarata, n N 14)Calculul unor sume prin metoda coeficientilor nedeterminati: E1)se scrie suma ca suma de termen general; E2)se descompune termenul general in fractii simple de numitori cunoscuti si numaratori necunoscutele A,B,C,etc. E3)se aduce M d la acelasi numitor ,egalam termenii liberi , coeficientii lui k ,ai lui k 2 ,etc=>sistem; E4)Gasim coeficientii,gasim descompunerea, apoi dam valori lui k=1, k=2,.....se adun => S= Obs. In partea dreapta se reduc unii termeni E5) Se demonstreaza suma prin inductie Obs. Daca vrem inductie, se rescrie suma de termen general sub form desfasurata pentru a ne fi mai simplu. 15) Calculul unor sume date prin termen general E1) Se descompune termenul general in functie de 2 termeni consecutivi sau il aducem la o forma mai simpla E2) Dam valori lui k, reducem => S= . E3) Aratam prin inductie rezultatul gasit Obs. Uneori folosim formule cunoscute si redistribuim suma

d)diferenta simetrica :A B=(A\B) (B\A) Obs.: Mulimi disjuncte sunt mulimi care verific A B = Obs. :complementara unei multimi(doar pentru A E) CE A={ x E x A}=E\A Obs 2. :E\A exista intotdeauna,insa CE A doar daca A E2) Prile unei mulimi P ( A ) = {M M A}

Obs.: card ( P ( A ) ) = 2cardA , deci numrul submulimilor unei

mulimi cu n elemente este 2n Obs 2: este submulime a oricrei mulimi, deci P( A)3)Proprieti ale operaiilor cu mulimi a) distributivitatea reuniunii i a interseciei A (B C)=(A B) (A C) A (B C)=(A B) (A C) b) Legile lui De Morgan C E (A B) = C E A C E B C E (A B) = C E A C E B 4)Reprezentarea geometrica a produsului cartezian a 2 multimi A B={ ( x, y ) x A si y B} a) A si B multimi de numere {...} A B format din puncte b) A interval, B={...} A B formata din segmente paralele cu Ox c)A={...}, B interval A B formata din segmente paralele cu Oy d)A interval, B interval A B este formata din dreptunghiuri 5) compunerea functiilor se poate realiza doar daca Cd f1 = D f2

Capitolul IV Funcii1) Operaii elementare cu mulimi a)reuniunea: A B={ x x A sau x B} b)intersectia: A B={ x x A si x B} c)diferenta: A\ B={ x x A si x B }

a)functii fara acolade ( f g )( x ) = f ( g ( x)) = f (....) si inlocuim in f pe x cu ...... b)functii cu acolade:

17

18

Prof. Ovidiu Bdescu

Teorie minimal

11 sept 2005

Prof. Ovidiu Bdescu

Teorie minimal

11 sept 2005

f ( g1 ( x)), g1 ( x )...., x... g )( x ) = f ( g ( x)) = f ( g 2 ( x)), g 2 ( x)...., x... f1 ( g1 ( x)), g1 ( x)....si, x, a.i. f1 f ( g ( x)), g ( x)....si, x, a.i. f 2 1 1 2 = f1 ( g 2 ( x)), g 2 ( x)....si, x, a.i. f1 f 2 ( g 2 ( x)), g 2 ( x)...si, x, a.i. f 2 Obs 1: f 1| A = f si 1| A f = f , f functie Obs 2: ,, functiilor este asociativa, nu este comutativa 6)Derivata unei functii polinomiale se noteaza f ' ( x ) se foloseste :

(f

adevrat, adic dac e injectiv nu rezult c f , ( x) > 0 si f , ( x) = 0 pentru un numar finit de puncte sau c f , ( x) < 0 si f , ( x) = 0 10)Functii surjective f surjectiva a) y Cd f , x D f astfel nct f ( x) = y b) y Cd f ,ecuatia f ( x) = y are cel putin o solutie D f c) y Cd f ,paralela prin y la Ox intersecteaza graficul lui f in cel putin un punct Obs. : Dac artm c f elementara (adica functii des intilnite) i c limitele la capetele D f =capetele Cd f , eventual inversate atunci f este surjectiv, ns reciproc nu este adevrat, adic dac f este surjectiv nu rezult c limitele la capetele D f =capetele Cd f , eventual inversate 11)Funtii bijective f bijectiva a) f injectiva si surjectiva b) y Cd f ,ecuatia f ( x) = y are exact o solutie D f c) y Cd f ,paralela prin y la Ox intersecteaza graficul lui f in exact un punct Obs. : Se mai poate arta bijectivitatea i cu ajutorul lui f ' ( x ) ..pt. injectivitate i limite..pt. surjectivitate 12)Inversa unei functii f : A B admite invers g : B A astfel nct g f = 1A i f g = 1B Obs. : f : A B admite invers f este bijectiv Obs. : Determinarea inversei se face astfel : E 1 )Artm f bijectiva, notand f ( x) = y x = ..... in functie de y Obs 1:Daca nu exista x sau daca x nu e unic f nu e bijectiva nu exista f 1 ( x)

( x )' = x 1 '=0 ( f g )' = f ` g ` 7)Limitele functiei polinomiale -se noteaza lim f ( x) respectiv lim f ( x)x x

-se obtin prin inlocuirea lui x cu Observatie: lim f (x) sau lim f (x) se obtin prin calculareax x

limitei termenului de grad maxim. 9)Functii injective f injectiva a) f ( x1 ) = f ( x2 ) x1 = x2 b) y Cd f ,ecuatia f ( x) = y are cel mult o solutie D f c) y Cd f ,paralela prin y la Ox intersecteaza graficul lui f in cel mult un punct Obs. : Dac artm c f , ( x) > 0 si f , ( x) = 0 pentru un numar finit de puncte f strict crescatoare f injectiva sau dac artm c f , ( x) < 0 si f , ( x) = 0 pentru un numar finit de puncte f strict descrescatoare f injectiva, ns reciproc nu e 19

20

Prof. Ovidiu Bdescu

Teorie minimal

11 sept 2005

Prof. Ovidiu Bdescu

Teorie minimal

11 sept 2005

E 2 ) notam f 1 ( y ) = .... in functie de y, revenim la notatie f 1 ( x) = ..... in functie de x Obs 2:Daca f : A B f 1 : B A, inclusiv la functii cu ramuri (la care se discuta tabelul) Obs 3:G f si G f 1 sunt simetrice fata de prima bisectoare13)Functii cu acolade exprimate in tabele E 1 )se face tabel de tipul

f si g au monotonii diferite f

g f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2

Obs.5: rata creterii (descreterii) R(x1,x2) =

E 2 ) lim f ( x) = .... , lim f ( x) = .... , f ( ) = ... , lim f ( x) = ....x x x f ( x2 )Obs 1: In probleme pornim cu x1 < x2 , calculam f ( x1 ) f ( x2 ) si-l comparam cu 0. Obs 2: Daca f '( x) 0 si f '( x) = 0 pe o multime finita f s Daca f '( x) 0 si f '( x) = 0 pe multime finita f s Obs 3:Pentru functii cu acolade trebuie sa fie de aceeasi monotonie si f1 si f 2 , iar f1 ( ) f 2 ( ) pentru f1 , f 2 i f1 ( ) f 2 ( ) pentru f1 , f 2 Obs.4: f si g au aceeasi monotonie f g 21

format din puncte izolate care nu se unesc 21)Trasarea Gf, f(x) = ax2 + bx + c , a 0 E1) a > 0 f are minim, i G f va fi parabol cu ramurile n sus a < 0 f are maxim, i G f va fi parabol cu ramurile n jos E2) OY : x = 0 f(0) = A (0;..) Gf OX: f(x) = 0 daca > 0 B (x1,0),C(x2,0) Gf = 0 B (x1,0) Gf < 0 Gf Ox b ; E3) vrful V 2a 4a 22) Studierea monotoniei, determinarea punctului minim b b (maxim) Pentru a > 0 f s pe ; si fs , ; 2a 2a b b Pentru a < 0 f s pe ; si fs , 2a 2a 22

Prof. Ovidiu Bdescu

Teorie minimal

11 sept 2005

Prof. Ovidiu Bdescu

Teorie minimal

11 sept 2005

b , se atinge pentru x = , iar 4a 2a b pentru a < 0 f are maxim egal cu , se atinge pentru x = 4a 2a 2 b 23)Forma canonic a funciei de gradul II f ( x) = a x + + 2a 4a Obs.:Poate dedus prin formarea ptratului perfect 24) Determinarea locului geometric pentru vrfurile unei familii de parabole b E1) Scriem coordonatele vrfurilor xv = yv = 2a 4a E2 ) Se gsete m din cea mai simpl, se nlocuiete n cealalt. E3) Se obine o relaie ntre xv i yv care nu depinde de m acea relaie este locul geometric cutat. E4) Se transpune locul geometric n figura corespunztoare. 25). Determinarea punctelor fixe pentru o familie de parabole E1) notm f (x) = y, ordonm n funcie de m (.................) = 0 E2 ) obinem m (.) + = 0 .................... = 0 E3 ) se rezolv sistemul x = .. y = .., aceste puncte sunt puncte fixe cerute 26) Imaginea funcilor Im f = f ( x) x D f

Obs: a > 0 f are minim egal cu

c) pentru funcii cu acolade, de face tabelul ataat i se determin intervalele I1 , I 2 ... pe care f e monoton, iar Im f = f ( I1 ) f ( I2 ) ... d) dac tim G f Im f este reuniunea segmentelor posibile pentru y 27) Situarea rdcinilor unei ecuaii fa de parametrii reali, parametrii notai cu , , E1)Se scriu relaiile sub forma < x1 < < x2 < (eventual ) E2) Se fac axele de coordonate , se situeaz numerele , , , se face Gf cu ramurile n sus (deci a > 0) deoarece condiiile vor fi acelai E3) Se pun condiii de tip: a f (nr.) b 2a E4) Se rezolv fiecare condiie , se intersecteaz intervalele. Obs.1: condiii de tip > 0 dac rdcinile sunt distincte (sau apare cuvntul ambele) 0 dac rdcinile pot fi egale < 0 dac f nu are rdcinile reale (sau dac f pstreaz semn constant) Obs.2: condiii de tip af (nr.) Gsim semnul lui f (nr.), deci semnul lui af (nr.) va fi acelaiObs.: Dac vreo rdcin poate fi unul din numere, se pune af (nr.) respectiv af (nr.) 0

{

}

a) funcii cu modul sau ce conin ptrate perfecte, folosim x 0 sau

( )

2

02

ax 2 + bx + c b)funcii de tipul f(x) = ax + bx + c sau f ( x) = 2 dx + ex + f 2 E1) notm f(x) = y x (..) + x (.) + ..= 0 E2) x R x 0 y I I = Im f

23

24

Prof. Ovidiu BdescuObs. 3 : condiii de tip

Teorie minimal

11 sept 2005

Prof. Ovidiu Bdescu

Teorie minimal

11 sept 2005

b . Se pun doar pentru numere din afara 2a b < numr 2a

rdcinilor i aceste condiii sunt xv < numr sau xv > numr b > numr 2a

28)Condiia ca o ecuaie de gradul II s aib dou rdcini din care una n intervalul ( , ) este f ( ) f ( ) < 0Obs.:nu apare condiie de deoarece f ( )f ( )< 0 f ( ) i f ( ) au semne diferite , deci o rdcin( , );

29)Condiia ca o funcie de gradul II s pstreze semn constant pe Ra) f(x) > 0, x R a > 0 b) f(x) < 0, x R a < 0

a)mediana-uneste varful triunghiului cu mijlocul laturii opuse,se intersecteaza in G centru de greutate situat la 1/3 din baza si 2/3 din varf b)inaltimea-perpendiculara din varf pe latura opusa,se intersecteaza in H-ortocentru (poate pica in afara triunghiului) c)bisectoarea-imparte unghiul in doua parti egale,se intersecteaza in I-centrul cercului inscris d)mediatoarea-perpendiculara pe mijlocul laturii,se intersecteaza in O-centrul cercului circumscris(poate sa nu treaca prin varf) e)linia mijlocie-uneste mijloacele a doua laturi, e paralela cu a treia si este egala cu din baza 2.Vector-orice reprezentant al mutimii segmentelor orientate paralel de acelasi sens si lungime Obs.:Vectorul este diferit de segmentul orientat Se noteaza, AB = v iar segmentul orientat AB respectiv v , desi in unele probleme se confunda

0 0

1 Imaginea e o figura asemenea mai mare decat cea initiala Pentru k(0;1) Imaginea e o figura asemenea mai mica Pentru k(- ;-1) Imaginea e o figura rotita, mai mare Pentru k (-1;0) Imaginea e o figura rotita, mai mica Pentru k=1 Imaginea e o figura congruenta Pentru k= -1 Imaginea e o figura congruenta, rotita Obs.2: hO ,k1 hO ,k2 = hO ,k1 k2 Obs.3: Se obtin figuri asemenea; 36

Prof. Ovidiu Bdescu 60) Omotetia conserva: a)masura ungiurilor c)paralelismul dreptelor

Teorie minimal

11 sept 2005

Prof. Ovidiu Bdescu

Teorie minimal

11 sept 2005

b)raportul a doua doua segmente d)coliniaritatea punctelor

Capitolul VI Elemente de trigonometrie1) Rezolvarea triunghiului dreptunghic gasirea tuturor elementelor daca stim doua dintre ele. Sunt cazurile: d)(C; Uopus) e)(C; C) a)(I; C) b)(I; U) c)(C; Ualaturat) 2)Tabelul trigonometric gsit n Capitolul V 3) Cercul trigonometric- este un cerc cu centul n origine, de raz 1 parcurs n sens invers acelor de ceasornic n care considerm dreptele: Ox cos; Oy sin; 4) Transformarea din grade in radiani si invers se folosete 180 ........................................ regula de 3 simpl ..........................................x Dac se tie se gsete x, i dac se tie x se gsete 5) a)reducere la cercul trigonometric Se da un unghi mai mare de 360 , se cere sa-l exprimam fata de valori ale unghiului din [ 0; 2 )E1)Se scot ntregii din fracie, se folosete A R = C + unde C este B B ctul mpririi lui A la B, iar R este restul mpririi E2) Folosim periodicitatea funciilor sin i cos, adic sin x = sin ( x 2k ) , k Z , cos x = cos ( x 2k ) , k Z i se obtine

6) Formule trigonometrice fundamentale a) sin2x +cos2x =1 b) cos (a b) = cos a cos b sin a sin b Obs.: cos pastreaza functia, schimba semnul c) sin (a b) = sin a cos b cos a sin b Obs.: sin schimba functia, pastreaza semnul tga tgb d) tg ( a b ) = 1 tga tgb Obs.: tg la numarator pastreaza semnul, la numitor este schimbat ctga ctgb 1 e) ctg ( a b ) = ctga ctgb 7) Formule trigonometrice pentru dublul unui unghi a) sin 2x = 2sinxcosx b) cos 2x = cos2x sin2x = 2cos2x 1 = 1- 2sin2x

un unghi [ 0; 2 )

b)reducerea la primul cadran -se deduc formulele de reducere Cd II Cd III Cd IV cos cos( -t) cos (t- ) cos (2 -t) sin sin ( -t) sin (t- ) sin (2 -t) Obs.: Semnele se aleg corespunzator cadranelor 37

( ctgx ) 1 2 tgx d) ctg 2 x = 2 1 tg x 2ctgx Obs.: notm tg2x = (tgx)2, analog pentru celelalte; a a 1 + cos a 1 cos a ; sin = Obs.2: cos = 2 2 2 2 x x Obs.3: 1 cos x = 2sin 2 i 1 + cos x = 2 cos 2 2 2 8)Transformarea produselor in sume 1 a) sin a cos b = ( sin(ab) + sin(a+b)) 2 1 b) cos a cos b = (cos(ab) +cos(a+b)) 2 1 c) sin a sin b = (cos(ab) cos(a+b)) 2 9) Transformarea sumelor in produs a+b ab a) sin a + sin b = 2 sin cos 2 22

c) tg 2x =

38

Prof. Ovidiu Bdescu

Teorie minimal

11 sept 2005

Prof. Ovidiu Bdescu

Teorie minimal

11 sept 2005

ab a+b cos 2 2 a+b ab cos c) cos a + cos b =2 cos 2 2 a+b a b sin d) cos a cos b = 2 sin 2 2 10) Substitutia universala a a 2tg 1 tg 2 2 ; cos a = 2 ; sin a = 2 a 2 a 1 + tg 1 + tg 2 2 b) sin a sin b = 2 sin

b)sin nu e bijectiva, alegem restrictia sin : [- 2 ; 2 ] [-1; 1] c) sin inversabila, sin -1 not arcsin arcsin:[-1;1] [- 2 ; 2 ] d)sin crescatoare pe [- 2 ; 2 ] si sin descrescatoare pe [ 2 ; 3 ] 2 15) Trasarea graficului cos a) cos : [-1;1]

2tg tg a =

a 2 a 2

tg

1 tg 2

a 1 cos a = ; 2 sin a

11)Calcularea unghiului in functie desin ( tg (

2

respectiv :

2

x) = cos x ; x) = ctg x;

cos ( ctg (

2

x) = sin x;

b) cos nu e bijectiva, alegem cos : [0; ] [-1;1] c) cos -1 not arccos, arccos : [-1;1] [0; ] d) coss descrescatoare pe [0; ] coss crescatoare pe [ ; 2 ] 16) Trasarea graficului tg a) tg : \ {

- x) = tg x; 2 2 12) Paritatea, imparitatea functiilor sin ( x ) = sin x cos ( x ) = cos x tg( x) = tg x ctg (x) = ctg x 13) Periodicitatea functiilor sin ( x + 2k ) = sin x cos ( x + 2k ) = cos x tg (x + k ) = tg x ctg (x + k ) = ctg x , k Z 14) Trasarea graficului sin a) sin : [-1;1]

2

+k / k Z }

b) tg nu e bijectiva, alegem restrictie tg : (- 2 ; 2 ) c) tg -1 not arctg, arctg : (- 2 ; 2 ) d) tg este strict crescatoare pe (- 2 ; 2 )

39

40

Prof. Ovidiu Bdescu

Teorie minimal

11 sept 2005

Prof. Ovidiu Bdescu

Teorie minimal

11 sept 2005

17) Trasarea graficului ctg a) ctg : \{ k / k Z}

b) ctg nu e bijectiva, alegem ctg : (0; ) c) ctg -1 not arcctg, arcctg (0; ) d) ctg strict descrescatoare pe (0; ) Obs.: Graficul functiei si graficul arc. sunt simetrice fata de prima bisectoare.xR

Obs. arctgx + arcctgx =

2

x[ 1;1]

= arcsin x + arccos x

a)sin f(x)= sau b)cos f(x)= , etc pentru ||>1 x iar pentru||1 f(x) {arcsin+2k/kZ}{arcsin+2k/kZ} x{./kZ}{../kZ} Obs: Se lucreaza ca la ecuatii, se scoate x in functie de elementul generic al multimii (inclusiv 2k se modifica ). 21) Rezolvarea de ecuatii date prin egalitati de functii a)sin f(x) = sin g(x) f(x) = g(x)+2k sau f(x) = g(x)+2k x{..}{} b)cos f(x) = cos g(x) f(x) = g(x)+2k sau f(x) = g(x)+2k x{..}{} c)tg f(x) = tg g(x) f(x) = g(x)+k x{..} d)ctg f(x) = ctg g(x) f(x) = g(x)+k x{..} Obs: Daca sin f(x)=cos g(x) sin f(x)=sin( g(x)) 2 f(x)= g(x)+2k sau f(x)= ( g(x))+2k 2 2

a b 1 + ab a+b arctg ( a ) + arctg ( b ) = arctg 1 ab 18) Calcularea valorilor functiilor trigonometrice inverse arcsin (x)= arcsin (x) arccos (x)= arccos (x) arctg ( x) = arctg (x) arcctg ( x) = arcctg (x) 19) Ecuatii trigonometrice fundamentale a)sin x= pentru ||>1 x pt ||1 x{arcsin+2k/kZ}{ arcsin+2k/kZ} Obs: Este echivalenta cu x{(-1)k arcsin+k/kZ} b)cos x= pentru ||>1 x pentru ||1 x {arccos+2k/kZ}{ arccos+2k/kZ} c)tg x= x {arctg+k/kZ} d)ctg x= x {arcctg+k/kZ} 20) Ecuatii reductibile la ecuatii fundamentale Obs.2: arctg ( a ) arctg ( b ) = arctg 41

Analog pentru tg f(x) = ctg g(x). 22) Ecuatii trigonometrice ce se rezolva prin notatii Notam functia care apare cu t, obtinem o ecuatie algebrica care se rezolva Obs: Daca t = sin(x), cos(x) alegem doar t[-1,1], daca t = tg(x), ctg(x) alegem tR. 23) Ecuatii liniare in sinx si cosx Met I: folosim sin2x+cos2x=1, notam u = cosx, v = sinx sistem Metoda II: avem ecuatia: a sinx+b cosx=c. E1) Se imparte ecuatia prin a 2 + b 2 a b c E2) sin x + cos x = 2 2 2 2 2 a +b a +b a + b2 a E3) Din 2 2 a +b b + 2 2 a +b 422

= 1,

2

Prof. Ovidiu Bdescunotam cos = a a +b2 2

Teorie minimal; sin =b a +b2 2

11 sept 2005, sau inversc

Prof. Ovidiu Bdescu

Teorie minimal

11 sept 2005

E4) Obtinem sin x cos + cos x sin = E5) sin( x + ) = E6) Dacc a2 + b2

a + b22

c a2 + b2> 1 x iar dacc a2 + b2 a 1 x + {.....}

Obs1: Metoda e indicata atunci cand valori din tabel. Obs 2: E indicat a se verifica daca

a +b2

2

si

b a + b22

26) Ecuatii simetrice in sin si cos 2 E1) Se folosesc formulele de la sisteme simetrice x 1 + x 2 = S2 2 P 2 3 4 x 1 + x 4 = (S2 2 P) 2 2 P 2 x 1 + x 3 = S3 3PS 2 2 E2) Se formeaz sistem cu ecuaia iniial i ecuaia obinut din sin2x +cos2x =1 E3)Se determin S sau P, apoi se folosesc metodele de mai sus 27) Inecuatii trigonometrice fundamentale E1) Se face graficul functiei care apare E2) Se rezolv ecuaia ataat, se dau valori particulare lui k Z , preferabil k {1;0;1}E3) Se aleg din grafic valorile corespunzatoare prin taierea cu paralele la Ox E4) Se tine cont de periodicitatea functiilor care apar 28) Inecuatii trigonometrice generale E1) Aducem inecuatia la o forma echivalenta E2) Facem tabelul de semne E3) Eventual ajungem la inecuatii fundamentale 29) Teorema sinusurilor a b c Oricare ar fi triunghiul ABC = = = 2R sin A sin B sin C 30) Teorema cosinusului Oricare ar fi triunghiul ABC a 2 = b 2 + c 2 2bc cos A si analoagele. 31) Exprimarea cos, sin in functie de laturi b2 + c2 a2 a cos A = si analoagele sin A = 2bc 2R 32) Functii trigonometrice ale unghiului pe jumatate ( p b)( p c) p( p a) A A sin = cos = 2 bc 2 bc p( p a) ( p b)( p c) A A tg = ctg = 2 p( p a) 2 ( p b)( p c) 44

sunt

c a2 +b2

1, altfel direct x.

24) Ecuatii omogene in sin si cos Analog sistemelor algebrice din algebra E1) Se noteaza cos x = t sin x E2) Se inlocuieste in ecuatie sin x = 0 sau ()=0. E3) Se discuta fiecare caz i se verific n ecuaia iniial, de obicei soluia ecuaiei sin x = 0 nu verific ecuaia iniial 25) Ecuatii date sub form de sum sau produs 2 , se ajunge a) tim sin x + cos x = -se nmulete ecuaia cu 2 la sin x + = care se rezolv 4 Obs. : se pot folosi ca i formule sin x + cos x = 2 sin x + = 2 cos x 4 4 b) tim sin x cos x = , se nmulete ecuaia cu 2, se ajunge la sin 2 x = 2 , care se rezolv43

Prof. Ovidiu Bdescu

Teorie minimal

11 sept 2005

33) Calcularea lungimii unor linii importante 2bc A cos a)bisectoarea: l a = b+c 2 2 2 2(b + c ) a 2 2S 2 c)inaltimea: ha = b)mediana: m a = 4 a 34) Rezolvarea triunghiului oarecare: a) (L.U.L.)E1) Teorema cosinusuluiL3 E2) Teorema sinusurilorU1, U2 b) (U.L.U.)E1) Suma unghiurilor in triunghi U3 E2) Teorema sinusurilor L2, L3 c) (L.L.L.)E1) Teorema cosinusului de 3 ori U1, U2, U3 Obs: Se poate utiliza de foarte multe ori suma unghiurilor in triunghi = 180 35) Formule pentru aria triunghiului a ha ab sin C a) S = b) S = c) S = p( p a)(p b)(p c) Heron 2 2 abc d) S = r p , e) S = , 4R unde r raza cercului inscris, R raza cercului circumscris, a+b+c p= semiperimetru 2

45