7_INCOVOIERE

7/23/2019 7_INCOVOIERE

http://slidepdf.com/reader/full/7incovoiere 1/12

Facultatea de Construcţii Timişoara 2009/2010Tudor Clipii & Agneta Tudor

NOTE DE CURS - BETON ARMAT 81

ÎNCOVOIERE

CU FORŢĂ AXIALĂ

7.1 IPOTEZE DE CALCUL Calculul la starea limită ultimă în secţiuni normale la acţiunea momentului încovoietor cu/f ăr ă

for ţă axială se face pe baza următoarelor ipoteze simplificatoare:•

secţiunile r ămân plane şi după deformarea elementului;•

armătura şi betonul înconjur ător au aceeaşi deformaţie specifică;• contribuţia betonului întins dintre fisuri se neglijează;•

distribuţia eforturilor unitare de compresiune în beton rezultă din curba (fig. 6.7

sau fig. 6.8);cc εσ −

•

efortul unitar în armătur ă rezultă din diagrama ss εσ − (fig. 6.11).

Calculul secţiunii transversale se face pe baza diagramei de deformaţii specifice din figura 7.1,

având în vedere următoarele precizări:−

pentru secţiunile supuse la compresiune axială, deformaţia specifică a betonului se limitează la(fig. 6.7) sau (fig. 6.8);2cε 3cε

− pentru secţiunile care prezintă şi zonă întinsă, deformaţia specifică a betonului comprimat selimitează la (fig. 6.7) sau2cuε 3cuε (fig. 6.8);

−

pentru cazuri intermediare, deformaţia specifică la compresiune se obţine presupunând că secţiunea se roteşte în jurul pivotului C .

În cazul utilizării curbei cu consolidare, deformaţiile specifice ale armăturii se limitează

la , valoarea recomandată fiind . Pentru armăturile la care ramura superioar ă a curbei

este orizontală nu este necesar să se verifice deformaţia ultimă.

ss εσ −

ud ε uk 9,0 ε

ss εσ −

În cazul secţiunilor cu armare simetrică supuse unei for ţe de compresiune se va lua în considerareo excentricitate minimă 2030he0 ≥= mm, h fiind înălţimea secţiunii corespunzătoare planului de

încovoiere.

7.2 STAREA DE DEFORMAŢII

Cedarea unei secţiuni supuse la încovoiere cu for ţă axială este ilustrată de diagrama deformaţiilorspecifice pe înălţimea secţiunii transversale, care trebuie să treacă în mod obligatoriu prin unul dincele trei puncte A, B sau C reprezentate în figura 7.1 - regula celor trei pivo ţ i . Din punct de vederegrafic, pivoţii reprezintă punctele definite prin deformaţiile specifice limită ale betonului şi armăturii.Se disting trei domenii, în funcţie de modul cum se poate produce cedarea secţiunii.

Poziţia pe verticală a pivotului C se obţine din asemănarea triunghiurilor OBO′ şi DBC (fig. 7.1):

s

2c2cu2cu

dh

εεε −= , rezultând h1d

2cu

2cs ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

ε

ε şi hd

2cu

2ci

ε

ε= , respectiv

s

3c3cu3cu

dh

εεε −= , rezultând h1d

3cu

3cs ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

ε

ε şi hd

3cu

3ci

ε

ε=

DOMENIUL 1 - pivot A

Acest domeniu este caracterizat de cedarea prin deformaţii excesive a celei mai întinse armăturiAs1, în care s-a atins deformaţia specifică ultimă εud. Efortul unitar de calcul în această armătur ă este




NOTE DE CURS - BETON ARMAT82

σs1 = f yd. În cazul în care există un moment încovoietor se produce rotirea secţiunii în jurul pivotuluiA. Subdomeniul 1a reprezintă întinderea centrică (dreapta AA′) sau întinderea excentrică cu mică excentricitate. Secţiunea este fisurată în întregime, axa neutr ă fiind plasată în afara acesteia. Creştereamomentului încovoietor conduce la subdomeniul 1b, care reprezintă întinderea excentrică cuexcentricitate mare sau încovoierea în cazul elementelor cu procente reduse de armare. Axa neutr ă este

plasată în secţiune astfel încât există beton comprimat. În mod curent, deformaţia specifică a betonuluicomprimat este mai mică decât deformaţia specifică limită.Limita dintre domeniul 1 şi 2 este definită de atingerea simultană a deformaţiilor limită a celor

două materiale (dreapta AB).

DOMENIUL 2 - pivot B

Acest domeniu este caracterizat prin zdrobirea betonului comprimat. Efortul unitar în cele două armături depinde de deformaţia specifică corespunzătoare. În subdomeniul 2a cedarea secţiunii se

produce prin curgerea armăturii întinse As1 şi zdrobirea betonului comprimat. Acest domeniucorespunde încovoierii, respectiv solicitărilor excentrice cu excentricitate mare. Subdomeniul 2b estecaracterizat prin creşterea înălţimii zonei comprimate, motiv pentru care cedarea secţiunii se produce

prin zdrobirea betonului comprimat şi curgerea armăturii comprimate, f ăr ă ca armătura întinsă să

curgă. Limita dintre cele două subdomenii (dreapta BB′) reprezintă starea de balans: iniţierea curgeriiarmăturii întinse simultan cu zdrobirea betonului comprimat. În subdomeniul 2c toate armăturile suntcomprimate, însă în armătura As1 efortul unitar de compresiune este mai mic decât limita de curgere.Axa neutr ă atinge, la limită, marginea inferioar ă a secţiunii, care devine comprimată în întregime.

întindere (‰)

O compresiune (‰)

εc2 εcu2 (εc3 εcu3)

εud εyd

1b 1a

2c 2b

2a

3

B′

εyd = f yd/Es

D′

A′ O′ D B

A

di

ds

d2

d h

d1

As2

As1

C

Fig. 7.1 Diagrama deformaţiilor specifice sub efectul încovoierii cu for ţă axială

DOMENIUL 3 - pivot C

Secţiunea este comprimată în întregime, axa neutr ă fiind plasată în afara secţiunii. Betonulcomprimat se zdrobeşte, pentru valori ale deformaţiei specifice în fibra cea mai comprimată aflate în

intervalul εc2 ... εcu2 (εc3 ... εcu3). Rotirea secţiunii în jurul pivotului C atrage după sine modificareadeformaţiei specifice maxime la compresiune a betonului, care începe să scadă, depărtându-se de

( ) şi tinzând spre ( ), care corespunde compresiunii centrice (dreapta DD′). Pe măsura

creşterii deformaţiei specifice din fibra inferioar ă, starea de deformaţii devine tot mai uniformă,apropiindu-se de cazul solicitării centrice. Rotirea secţiunii se produce în jurul pivotului C, deoarece îndreptul acestui punct deformaţia specifică este ( ). Atunci când deformaţiile specifice ale celor

două armături ating valoarea ε

2cuε

3cuε 2cε 3cε

2cε 3cε

yd, acestea vor începe să curgă.Analizând diagrama deformaţiilor specifice, în conexiune cu poziţia axei neutre, se disting trei

modalităţi de cedare a secţiunii:• întindere preponderentă (1a): întindere centrică precum şi întindere excentrică cu mică

excentricitate;





• încovoiere preponderentă (1b, 2): întindere excentrică cu excentricitate mare, încovoiere pur ă şi compresiune excentrică cu excentricitate mare;

• compresiune preponderentă (3): compresiune excentrică cu excentricitate mică.

7.3 EVALUAREA REZULTANTEI COMPRESIUNILOR DIN BETON

În cele ce urmează, se face referire numai la diagrama parabolă – dreptunghi (fig. 6.7), pentru beton de clasă ≤C50/60.

Valoarea rezultantei compresiunilor în beton şi poziţia ei faţă de axa neutr ă se determină pe bazamodelelor şi relaţiilor principiale din figura 7.2.

Fc

f cd εcs

yFc

εc2

εci

σcy

Fc

yFc

b) secţiune comprimată în întregime

a) axa neutr ă în secţiune

εc σc ≤ f cd

σcy

G

by

y

dy x

h by G

y

dy x

f cd

εcy

εcy

σci

h

∫ σ=x

0ycyc dy bF

∫ σ=x

0

ycy

c

Fc ydy b

F

1y

∫−

σ=h

hxycyc dy bF

∫−σ=

h

hxycy

cFc ydy b

F

1y

ds

Fig. 7.2 Rezultanta compresiunilor în beton în cazul secţiunilor monosimetrice

Evaluarea rezultantei din zonele comprimate ale secţiunilor dreptunghiulare şi T, precum şi

poziţia acesteia, se face luând în considerare un efort unitar mediu de compresiunec

F

cdf cm f α=σ ,

uniform distribuit pe înălţimea zonei comprimate, conform celor de mai jos.

Sec ţ iunea dreptunghiular ă

Dacă axa neutr ă se găseşte în secţiune (fig. 7.3a), valoarea rezultantei compresiunilor şi poziţia

ei faţă de fibra cea mai comprimată se determină cu relaţiile:

cF

cd

; (7.1a, b)( )cdf c f bxF α= xd xc δ=

Dacă secţiunea este comprimată în întregime fig. 7.3b), valoarea rezultantei compresiunilor şi

poziţia ei faţă de centrul de greutate al secţiunii se determină cu relaţiile:cF

ce

; (7.2a, b)( )cdf c f bhF α= hhce δ=

Sec ţ iunea T

Dacă axa neutr ă este plasată în inima secţiunii, valoarea rezultantei compresiunilor în beton şi

poziţia ei faţă de axa neutr ă se determină pe baza procedeului schematizat în figura 7.5.cF

cy





f cd

Fc

xd xc δ=

h

b

x

εc

cdf cm f α=σ

h x

b

f cd

cdf cm f α=σ

Fc

εcs

εci

he hc δ=

( )cdf c f bxF α=

a) axa neutr ă în secţiune b) axa neutr ă în afara secţiunii

( )cdf c f bhF α=

Fig. 7.3 Rezultanta compresiunilor în beton pentru secţiunile dreptunghiulare

Coeficienţii şif α xδ sau se obţin din figura 7.4 în funcţie de deformaţia specifică de

compresiune a secţiuniihδ

csε .

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5

‰)(cε

xf ; δα

f α xδ

0,415

0,810

a) axa neutr ă plasată în secţiune

0,0

0,1

0,20,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5

0.80

0.82

0.84

0.86

0.88

0.90

0.92

0.94

0.96

0.98

1.00

↑↑( )‰csε

f α

h10δ

10ciε

f α10;10 cih εδ

b) axa neutr ă plasată în afara secţiunii Fig. 7.4 Coeficienţi pentru calculul rezultantei compresiunilor în secţiunile dreptunghiulare





7.4 SITUAŢII DE PROIECTARE

Având ca bază de pornire diagrama deformaţiilor specifice din figura 7.1, sunt posibile cele patrucazuri de distribuţii ale eforturilor unitare din figurile 7.6...7.9, pentru fiecare situaţie prezentându-seetapele de calcul pentru stabilirea momentului încovoietor capabil.

7.4.1. Secţiune fisurată în întregimeSecţiunea din figura 7.6 este întinsă în întregime, cu axa neutr ă în afara secţiunii, diagrama de

eforturi unitare corespunzând întinderii centrice sau întinderii excentrice cu excentricitate mică - pivotA(1a). Cedarea secţiunii se produce prin deformaţii excesive, adică prin atingerea deformaţieispecifice ultime εud în armătura cea mai întinsă, ceea ce înseamnă yd1s f =σ . Deformaţia specifică în

armătura superioar ă As2 poate avea orice valoare în intervalul (0...εud], ceea ce înseamnă .yd2s f 0 ≤< σ

hf x

Fc2

Ac

≡

Ac1

Ac1 = bx Ac2 = (b - bw) (x – hf ) Ac = Ac1 – Ac2

Ac2

b

bw

Fc Fc1

Fc = Fc1 – Fc2

( )cd1f 1c1c f AF α=

cε

cf ε x 1cd

( )cd2f 2c2c f AF α=

2cdyc1 yc2

yc

∑∑

=

ici

icici

cF

yF

y

Fs

( )

( )cf 2x2f

c1x1f 3.7fig.

f ;

f ;

ε=δα

ε=δα→

h

xd 1x,1c δ=

( )f 2x,2c hxd −δ=

dc

z = d – dc

d

x - hf

Fig. 7.5 Rezultanta compresiunilor în beton pentru secţiuni T

Pentru calculul momentul încovoietor capabil al secţiunii se procedează după cum urmează:- se alege o valoare pentru x;- pe baza diagramei deformaţiilor specifice se scrie:

dxdx

ud

2

2s

+

ε=

+

ε din care rezultă 2sε şi yds2s2s f E ≤ε=σ

- valoarea aleasă pentru x este corectă dacă:0Af A N 2s2syd1sEd =σ−−

- ecuaţia de momente în raport cu for ţa Fs2 este:( ) ( ) 0ddf Ady NM 2yd1s22GEdEd =−−−+

momentul încovoietor capabilÎn conformitate cu metoda stărilor limită condiţia de verificare este:

( ) ( )22GEd2yd1sRdEd dy Nddf AMM −−−=≤





As1

MEd

NEd

Fs1 = As1f yd

G

h d

εs1 = εdu

A

1a

As2Fs2 = As2σs2

d − d2

d1

d2 εs2

x

yG1

yG2

Fig. 7.6 Secţiunea întinsă cu axa neutr ă în afara secţiunii

7.4.2. Axa neutră situată în secţiune

Dacă axa neutr ă se află plasată în secţiune se disting două situaţii, şi anume, rotirea secţiunii în jurul pivotului A (subdomeniul 1b), respectiv rotirea secţiunii în jurul pivotului B (domeniul 2).

În cazul secţiunii din figura 7.7, rotirea secţiunii se produce în jurul pivotului A (subdomeniul 1b),caz în care cedarea secţiunii se produce prin deformaţiile excesive ale armăturii inferioare, ceea ceînseamnă . Deformaţia specifică în armătura superioar ă poate fi de întindere sau

compresiune. Efortul unitar în fibra cea mai comprimată de beton este , în funcţie de

mărimea deformaţiei specifice ε

yd1s f =σ

cdc f ≤σ

c. Dacă c c2ε ≤ ε distribuţia eforturilor unitare se face după o

diagramă parabolică, dar dacă diagrama este una de tip parabolă-dreptunghi. c cε > ε 2

σc ≤ f cd

x

εc

εs1

± NEd

Fs1=As1f ydεudAs1

A

G

B

1b

As2d2

d

d1

yG1

εs2

Fs2 = As1σs2

Fc dc

z = d −dc h

εcy

MEd

σcy y

Fig. 7.7 Axa neutr ă în secţiune – subdomeniul 1b

Deoarece rotirea secţiunii se produce în jurul pivotului A, celelalte deformaţii specifice sedetermină în funcţie de deformaţia specifică a armăturii As1 apelând la asemănarea triunghiurilor carese formează în diagrama deformaţiilor specifice.

Pentru calculul momentul încovoietor capabil al secţiunii se procedează după cum urmează:- se alege o valoare pentru x;- pentru a obţine deformaţia specifică de compresiune în beton la nivelul y, respectiv la partea

superioar ă a secţiunii, se scrie:

xdyudcy

−ε

=ε

→ şicyε cyσ

xdx

udc

−ε

=ε

→ cε şi cσ

- rezultanta compresiunilor în beton Fc şi poziţia acesteia se determină în funcţie de tipul secţiuniidupă cum urmează:





Tipul secţiunii Modul de calculMonosimetrică Se aplică procedura din figura 7.2a

Dreptunghiular ă Din figura 7.4a, în funcţie de εc se determină αf şi δx

Cu relaţiile 7.1a, b se calculează Fc şi dc

T

Dacă x ≤ h p calculul se face ca pentru o secţiune dreptunghiular ă

de lăţime b;Dacă x > h p se aplică procedura din figura 7.5

- pe baza diagramei deformaţiilor specifice se poate scrie:

xddxud

2

2s

−ε

=−ε

din care rezultă 2sε şi yds2s2s f E ≤ε=σ

- valoarea aleasă pentru x este corectă dacă:0AFf A N 2s2scyd1sEd =σ−−+±

- ecuaţia de momente în raport cu for ţa Fs1 este:( ) ( ) ( ) 0ddAddFdy NM 22s2scc11GEdEd =−σ−−−−±

momentul încovoietor capabilÎn conformitate cu metoda stărilor limită condiţia de verificare este:

( ) ( ) ( )11GEd22s2sccRdEd dy NddAddFMM −−σ+−=≤ m

În cazul secţiunii din figura 7.8 rotirea secţiunii are loc în jurul pivotului B (domeniul 2), cedareasecţiunii producându-se prin zdrobirea betonului comprimat (σc = f cd; εc = εcu2 ). În mod curentarmătura inferioar ă este întinsă dar pot apare cazuri când aceasta este comprimată. Deformaţiaspecifică în armătura superioar ă este comprimată, în mod uzual ajungând la curgere.

x

f cd

MEd

Fc

± NEd

Fs1 =As1σs1 As1

G

εs1

εud

B

εyd = f yd/Es

A2

As2 εs2

εcu2

d

d2

d1

h

Fs2 = As2σs2

z = d − dc

dc

yG1

y εcy

σcy

Fig. 7.8 Axa neutr ă în secţiune – subdomeniul 2

Deoarece rotirea secţiunii se produce în jurul pivotului B celelalte deformaţii specifice sedetermină în funcţie de deformaţia specifică a marginii comprimate a secţiunii apelând la asemănareatriunghiurilor care se formează în diagrama deformaţiilor specifice.

Pentru calculul momentul încovoietor capabil al secţiunii se procedează după cum urmează:• se alege o valoare pentru x;• pe baza diagramei deformaţiilor specifice se poate scrie:

• s1 cu2

d x x

ε ε=

− din care rezultă şi1sε yds1s1s f E ≤ε=σ ;

• s2 cu2

2x d x

ε ε=

− din care rezultă 2sε şi yds2s2s f E ≤ε=σ ;

În continuare, evaluarea rezultantei compresiunilor în beton Fc şi poziţia acesteia, verificarea poziţiei axei neutre, precum şi calculul momentului încovoietor capabil se face ca mai sus.





7.4.3. Secţiune comprimată în întregime

Secţiunea din figura 7.9 este comprimată în întregime, axa neutr ă fiind plasată în afara secţiunii.Această situaţie corespunde compresiunii excentrice cu mică excentricitate, respectiv, la limită,compresiunii centrice. Rotirea secţiunii se produce în jurul pivotului C (domeniul 3), cedarea secţiuniise produce prin zdrobirea betonului comprimat la o deformaţie specifică cuprinsă în intervalul

. Dacă deformaţia specifică de scurtare2cu2c ε−ε 1sε a armăturii As1 , mai puţin comprimată, estemai mare decât limita corespunzătoare începutului curgerii ydε atunci yd1s f =σ , în caz contrar

. Deformaţia specifică în armătura superioar ă Ayd1s f <σ s2, cea mai comprimată, depăşeşte în mod

curent valoarea , ceea ce înseamnă atingerea limitei de curgere.ydε Deoarece rotirea secţiunii se produce în jurul pivotului C celelalte deformaţii specifice sedetermină în funcţie de deformaţia specifică 2cε de la nivelul pivotul C apelând la asemănarea

triunghiurilor care se formează în diagrama deformaţiilor specifice.

As1

MEdx

εci

εs1

As1σs1; σs1 ≤ f yd σci

f cd

C

B

G

3

εc2

As2

εs2

εcs

εcu2

εyd = f yd/Es

As2f yd

εcy

y

NEd

Fc

cddz −= yFc h

d1

d2

yG1 di

dsyG2 dc

dc

Fig. 7.9 Secţiunea comprimată, cu axa neutr ă în afara secţiunii

Pentru calculul momentul încovoietor capabil al secţiunii se procedează după cum urmează:• se alege o valoare pentru x;• pe baza diagramei deformaţiilor specifice se poate scrie:

• cy c2

sx h y x d

ε ε=

− + − → şicyε cyσ

• s1 cu2

sx d x d

ε ε=

− − din care rezultă şi1sε yds1s1s f E ≤ε=σ ;

• s2 cu2

2 sx d x d

ε ε=

− − din care rezultă 2sε şi yds2s2s f E ≤ε=σ ;

• rezultanta compresiunilor în beton Fc şi poziţia acesteia se determină în funcţie de tipul secţiuniidupă cum urmează:

Tipul secţiunii Modul de calcul

Monosimetrică Se aplică procedura din figura 7.2b

Dreptunghiular ă Din figura 7.4b, în funcţie de hcyc =ε=ε se determină αf şi δh

Cu relaţiile 7.2a, b se calculează Fc şi ec; dc = yG2 − ec

T În mod curent x > h p; se aplică procedura din figura 7.5





• valoarea aleasă pentru x este corectă dacă:0FAf A N c2s2syd1sEd =−σ−−

• ecuaţia de momente în raport cu for ţa Fs1 este:( ) ( ) ( ) 0ddAddFdy NM 22s2scc11GEdEd =−σ−−−−+

momentul încovoietor capabilÎn conformitate cu metoda stărilor limită condiţia de verificare este:( ) ( ) ( )11GEd22s2sccRdEd dy NddAddFMM −−−σ+−=≤

7.5 CURBA DE INTERACŢIUNE M - N

Modul de cedare al unei secţiuni supuse la încovoiere cu for ţă axială depinde corelaţia care există între cele două eforturi secţionale, corelaţie care poate fi transpusă grafic prin curba de interac ţ iune

M − N . Curba de interacţiune se obţine prin reducerea lui x din ecuaţiile de echilibru static (Σ N = 0; ΣM= 0).

Pentru o secţiune cu armare simetrică, cunoscând calitatea materialelor, se obţine o curbă deinteracţiune ca cea din figura 7.10. Dacă punctul determinat de M şi N se găseşte în interiorul curbei

sau chiar pe curbă secţiunea este capabilă să preia cele două eforturi secţionale.Din analiza aspectului curbei M− N se disting următoarele aspecte:- în raport cu încovoierea, for ţa axială de întindere conduce la scăderea momentului încovoietor

capabil al secţiunii;- în raport cu încovoierea, for ţa axială de compresiune produce o creştere a capacităţii portante,

dar după depăşirea valorii corespunzătoare punctului B capacitatea portanta scade cu creştereafor ţei axiale;

- evidenţierea celor trei tipuri mari de solicitare ale secţiunii în funcţie de poziţia axei neutre,respectiv în funcţie de cei trei pivoţi: întinderea preponderentă (pivotul A), încovoierea preponderentă (pivotul B), respectiv compresiunea preponderentă (pivotul C);

- cele cinci moduri de cedare ale secţiunii: întinderea cu mică (îeem) şi mare excentricitate

(ÎEEM), încovoierea, respectiv compresiunea cu mică (ceem) şi mare excentricitate (CEEM);- în principiu armătura As1 este o armătur ă întinsă; funcţie de valoarea şi semnul for ţei axiale,efortul unitar din armătura As1 poate atinge limita de curgere sau nu; în anumite situaţii această armătur ă este comprimată;

- în principiu armătura As2 este o armătur ă comprimată; în funcţie de valoarea şi semnul for ţeiaxiale, efortul unitar din armătura As2 poate atinge limita de curgere sau nu; în anumite situaţiiaceastă armătur ă este supusă la întindere.

Pe curba M− N se disting câteva punctele importante:- intersecţia curbei cu ordonata sistemului de axe în zona întinderii, for ţa capabilă la

întindere centrică fiind ( ) yd2s1stRd f AA N += ;

- intersecţia curbei cu ordonata sistemului de axe în zona compresiunii, for ţa capabilă la

compresiune centrică fiind ( ) yd2s1scdccRd f AAf A N ++= ;

- punctul de balans, situaţie pentru care începutul curgerii armăturii întinse As1 are loc înacelaşi timp cu zdrobirea betonului comprimat (fig. 7.11); în această situaţie se obţinevaloarea maximă a momentul încovoietor capabil.





)d2/h( N 2Ed −

N

M

CEEM

Încovoiere

PUNCT DE BALANS B

Întindere centrică

Compresiune centricăcRd N

ck cf A08,0

tRd N

01s =σ ceem

ÎEEM

îeem

Compresiune preponderentă 0ci =σ

σ s 1 - î n

t i n d e r e

σ s 1 - c o m p r e s i u n e

σ s 1 = f y d

σ s 1 <

f y d

σ s 2 - c o m p r e s i u n e

σs2 - înt.

As2 = As1

As1

Î n c o v o i e r e p r e p o n d e r e n t ă

( a x a n e u

t r ă î n

s e c ţ i u n e )

Întindere preponderentă

Fig. 7.10 Curba de interacţiune

xli

As1

G

εs1 = εyd = f yd/Es

εcu2

d

d1

h

Fig. 7.11 Situaţia de balans Situaţia de balans este caracterizată printr-o mărime bine definită a înălţimii relative a zonei

comprimate ξlim = xlim/d, valoare care se obţine din asemănarea triunghiurilor din diagrama

deformaţiilor specifice (f ig. 7.11).ydcu2

lim limx d x

εε=

− → cu2

limcu2 yd

x ε=

ε + ε

Pentru betoane de clasă ≤ C50/60 rezultă în final:

sydlim Ef 10005,3

5,3

+=ξ

În tabelul 7.1 sunt date valorile pentru înălţimea relativă a zonei comprimate ξlim pentru două tipuri de oţel românesc şi două tipuri generice de oţel european.





Tabelul 7.1 Valorile lim

Oţel f yd (Mpa) Es (Mpa) εyd (‰) ξlim

S400 400/1,15 = 348 1,74 0,668S500 500/1,15 = 435

2000002,17 0,617

PC52 345/1,15 = 300 1,43 0,710

PC60 405/1,15 = 352210000

1,68 0,676

Pentru calculul practic se construiesc familii de curbele de interacţiune (fig. 7.12) pentru valorirelative (adimensionale) ale eforturilor secţionale şi ale armăturilor folosindu-se următoarele notaţii:

cd bhf N=ν

cd2f bhM=μ

cdyd2scdyd1s bhf f A bhf f A ==ω

Modalităţile de utilizare ale curbelor de interacţiune sunt prezentate în figura 7.11 şi tabelul 7.2.

Tabelul 7.2 Etapele de calcul în cazul utiliz ării curbelor de interac ţ iune

a) Determinare MRd b) Determinare NRd

c) DimensionareAs1 = As2

Date de intrare νEd şi ω μEd şi ω μEd şi νEd

Date de ieşire μRd νRd ωreq

Rezultat MRd = μRd bh2f cd NRd = νRd bhf cd As1 = As2 = ω req bhf cd/f yd

ν

μ

ω1

ω5

νEd

μRd

ν

μ

ω1

ω5 νRd

μEd

ν

μ

ω1

ω5 νEd

μEd

ωreq

a) b) c)

Fig. 7.12 Exemplificarea modalităţilor de utilizare a diagramelor de interacţiune

7.6 R EMARCI FINALE

a. Procedura prezentată în paragraful 7.4 nu este un instrument practic în proiectarea curentă pentru dimensionarea armăturii, dar poate fi folosită pentru calculul momentului încovoietor capabil prin încercări succesive.

Metoda poate fi utilizată de asemenea pentru scrierea de programe de calcul şi pentru întocmireade tabele şi diagrame de interacţiune M− N, pentru proiectarea curentă.

b. În conformitate cu prevederile din EC2 pentru calculul la moment încovoietor se poate folosidiagrama de eforturi unitare (stress block) din figura 6.9c.





c. În procedeul de calcul bazat pe utilizarea diagramei „stress block” în betonul comprimat, se auîn vedere următoarele:

- clasa betonului este conform tabelului 6.1, adică ≤ C50/60;- utilizarea unui oţel f ăr ă limitarea deformaţiilor (fig. 6.11).

7_INCOVOIERE

Documents

Transcript of 7_INCOVOIERE