Probleme propuse1

Clasele primare

P.164. Scrie vecinii vecinului comun al numerelor 16 si 18.(Clasa I ) Diana Tanasoaie, eleva, Iasi

P.165. Dupa ce dau celor doi frati mai mari ca^te doua banane, mana^nc si eu treibanane. I^n cos ^mi rama^ne un numar de banane ce poate scris cu doua cifre diferitesi care este cel mai mic numar de acest fel. Ca^te banane am avut ^n cos?(Clasa I ) Inst. Maria Racu, Iasi

P.166. Din cei 8 catelusi albi sau negri, cel mult 3 sunt albi. Care este numarulmaxim de catelusi negri? Dar cel minim?(Clasa a II-a) Ioana Baragan, eleva, Iasi

P.167. I^ntr-o camera se joaca un pisoi cu doi pisici, un catelus care tine ^n gurao papusa si un baietel care sta calare pe un calut de lemn. Ca^te picioare participa lajoc?(Clasa a II-a) Alexandru Dumitru Chiriac, elev, Iasi

P.168. Exista numerele naturale a; b; c; d astfel ^nca^t a + b + c + d = 123 sia : b = b : c = c : d = 1?(Clasa a III-a) Amalia Cantemir, eleva, Iasi

P.169. Calculeaza diferenta urmatoare, fara a efectua parantezele: (2 + 4 + 6 +8 + : : :+ 1000) (1 + 3 + 5 + 7 + : : :+ 999) =(Clasa a III-a) Madalina Bucsa, eleva, Iasi

P.170. Doi frati au cumparat un teren ^n forma de patrat pe care l-au ^mpartit ^ndoua dreptunghiuri egale. Fiecare doreste sa ^mprejmuiasca propriul teren cu gard.Ca^t mai are de lucru ecare, daca primul a realizat 430 m, al doilea 470 m, iarperimetrul patratului este de 1000 m?(Clasa a III-a) Dragos Iacob, elev, Iasi

P.171. Daca a+b+c = 175 si a+2c = 200, calculati produsul (2a+b+3c) (cb):(Clasa a IV-a) Inst. Marian Ciuperceanu, Craiova

P.172. Ca^te numere abc au suma cifrelor 7 si pot rotunjite cu numarul ab0?(Clasa a IV-a) Maria Nastasiu, eleva, Iasi

P.173. Se formeaza sirul de numere: 34, 334, 344, 3334, 3444, : : :. Ca^te cifre de3 are numarul de pe locul 2008?(Clasa a IV-a) Petru Asaftei, Iasi

Clasa a V-aV.102. Un ^ntreprinzator doreste sa cumpere un numar de frigidere de la un

angrosist, pe care urmeaza sa le transporte catre rma sa cu ajutorul unui camionde mare tonaj, care consuma 10 l de motorina la 100 km (1l de motorina costa 3 lei).I^ntreprinzatorul poate opta ^ntre doi furnizori: A vinde frigiderul cu 1000 lei/buc.,

1Se primesc solutii pa^na la data de 31 decembrie 2009.

71

iar B vinde acelasi produs cu 990 lei/buc., ^nsa are depozitul mai departe deca^t A, lao distanta pe sosea AB = 150 km.

a) Daca ^ntreprinzatorul doreste sa cumpere 20 de frigidere, ce furnizor va alege?b) La ce numar de frigidere, costurile de achizitie nu depind de furnizor?

Marian Ciuperceanu, Craiova

V.103. Se considera numerele naturale m =3x+ 5

2x+ 2, a =

2y + 5

3, b =

5z + 2

5;

unde x; y; z 2 N. Demonstrati ca m nu poate divizor al lui a, dar poate divizoral lui b.

Claudiu Stefan Popa, Iasi

V.104. Scrieti numarul 2008 ca suma de trei cuburi perfecte. (Gasiti toateposibilitatile!)

Veronica Plaesu si Dan Plaesu, Iasi

V.105. Se considera numarul a = 7 + 72 + 73 + : : :+ 72009.a) Demonstrati ca a nu poate patrat perfect.b) Aati restul ^mpartirii lui a la 400.

Damian Marinescu, Ta^rgoviste

V.106. Sa se determine numarul natural a si cifra b, daca (a+3) 200b = a 2009.Enache Patrascu, Focsani

V.107. Daca n 2 Nnf0; 1g este dat, determinati x; y 2 N pentru care x(x+2y+1) = 2n 135:

Petru Asaftei, Iasi

V.108. Pe tabla sunt scrise numerele 2; 0; 0; 9: Putem sterge de pe tabla oricaredoua numere, scriind ^n loc succesorii acestora. Este posibil ca, ^n urma mai multoroperatii de acest fel, sa obtinem patru numere egale?

Catalin Budeanu, Iasi

Clasa a VI-aVI.102. O asociatie de locatari este formata din trei familii care au consumat

^ntr-o luna 27m3; 16m3, respectiv 4m3 de apa potabila. Din consumul total, pentru38m3 de apa trebuie platita o taxa de canalizare, care se ^mparte proportional cuconsumul ecarei familii. Daca pretul apei este de 1,6 lei/m3, taxa de canalizare estede 0,56 lei/m3 si ecarei sume i se aplica T.V.A. de 19 %, aati ce suma trebuie saplateasca ecare familie (efectuati calculele cu doua zecimale exacte).

Petru Asaftei, Iasi

VI.103. Sa se determine numarul prim p si numerele ^ntregi a si x pentru care(x a)(x 1)(a 1) = p:

Gheorghe Iurea, Iasi

VI.104. Determinati numerele prime p si q, stiind ca exista x; y 2 N astfel ^nca^tx2 + y2 = p; iar x+ y + 1 = q:

Andrei Cozma, elev, Bucuresti

VI.105. Sa se arate ca numarul N = 332009 332008 se poate scrie ca produs a trei

numere naturale consecutive.Dan Nedeianu, Drobeta-Tr. Severin

72

VI.106. Se considera unghiulxOy si punctele A;B 2 (Ox;C;D 2 (Oy astfel ^nca^tA 2 (OB), iar C 2 (OD). Mediatoarele segmentelor [AB] si [CD] se intersecteaza ^nS, iarSAB SCD:

a) Demonstrati ca BC = AD:

b) Daca, ^n plus, punctele B;D si S sunt coliniare, iar m(SAB) = 60, aratati caAC?SC , BS = 2 SD:

Romanta Ghita si Ioan Ghita, Blaj

VI.107. Se considera A;B;C;D;E; F sase puncte ^n plan astfel ^nca^t AB =CD = CF = DF = 3cm, BC = BE = CE = 5cm, iar AD = 11cm. Stabiliti ca^tedrepte determina cele sase puncte.

Gabriel Popa, Iasi

VI.108. Un ogar situat ^n va^rful A al unei curti dreptunghiulare ABCD (AB =80m, BC = 160m), porneste ^n urmarirea a trei iepuri aati ^n B;C si D, alerga^ndde-a lungul gardurilor. Daca viteza ogarului este 4m=s, iar vitezele iepurilor sunt3m=s, aati dupa ca^t timp reuseste ogarul sa prinda ecare iepure.

Marian Ciuperceanu, Craiova

Clasa a VII-aVII.102. I^n urma unui razboi dus ^ntre doua triburi de canibali, ^n ma^inile

^nvingatorilor rama^n zece prizonieri, printre care si capetenia ^nvinsilor. Seful detrib al ^nvingatorilor alege, pentru prepararea cinei, ca^tiva prizonieri (macar unul), la^nta^mplare. Care este probabilitatea ca seful tribului ^nvins sa rama^na ^n viata?

Gabriel Popa, Iasi

VII.103. Aati numerele ^ntregi x si y pentru care y 4x+6 < 0; 2yx 2 > 0si 3y + 2x 24 < 0:

Gheorghe Iurea, Iasi

VII.104. Spunem ca un numar natural are proprietatea (P ) daca este prim, celputin egal cu 5 si se poate scrie ca suma de doua patrate perfecte. Daca numerelep1; p2; : : : ; pn au proprietatea (P ), aratati ca numarul A = p1+p2+: : :+pn+n

2n+2nu poate patrat perfect.

Cosmin Manea si Dragos Petrica, Pitesti

VII.105. Pentru x; y 2 R, denim a(x; y) = min(2x y2; 2y x2). Aratati ca:a) a(x; y) 1;8x; y 2 R; b) maxfa(x; y)jx; y 2 Rg = 1.

Ovidiu Pop, Satu Mare

VII.106. Se considera paralelogramul ABCD;E si F mijloacele laturilor [AB],respectiv [AD]; fGg = CE\BD; fHg = CF\BD; fPg = FG\BC; fQg = EH\CD:Aratati ca 3EF = 2PQ:

Mirela Marin, Iasi

VII.107. Fie ABC un triunghi cu m(C) = 60, L proiectia lui A pe BC; Mproiectia lui B pe AC; iar D mijlocul lui [AB]. Demonstrati ca triunghiul DML esteechilateral.

Neculai Roman, Mircesti (Iasi)

73

VII.108. Consideram ^n plan trei cercuri distincte, congruente, ale caror centrenu sunt coliniare. Construiti cu rigla si compasul un cerc la care cercurile date sa etangente interior.

Adrian Corduneanu, Iasi

Clasa a VIII-a

VIII.102. Rezolvati ^n R ecuatia

x+ 2

x 12

+

x 2x+ 1

2

265 x

2 4x2 1 = 0:

Vasile Chiriac, Bacau

VIII.103. Aratati ca oricare ar n 2 N, exista m 2 N astfel ^nca^t n4 m + 1este numar compus.

Lucian Tutescu si Ion Visan, Craiova

VIII.104. Fie x; y; z 2 R+ astfel ^nca^t x2y2+y2z2+z2x2 = 3x2y2z2. Demonstratica

1

x2 + x+ 1+

1

y2 + y + 1+

1

z2 + z + 1 1:

Razvan Ceuca, elev, Iasi

VIII.105. Determinati x; y 2 N pentru care x3 y3 = 3xy + 17:Liviu Smarandache si Ion Visan, Craiova

VIII.106. I^n tetraedul V ABC, avem AB = 4cm;BC = 5cm;CA = 6cm; iar

ariile fetelor V AB; V BC si V CA sunt egale cu15p7

4cm2. Calculati sinusurile unghi-

urilorAV B;BV C siCV A.

Vlad Emanuel, student, Bucuresti

VIII.107. Fie ABCD un tetraedru, iarm1;m2 si m3 lungimile bimedianelor sale.Demonstrati ca 3(AB2 +AC2 +AD2 +BC2 + CD2 +DB2) 4(m1 +m2 +m3)2.

D.M. Batinetu-Giurgiu, Bucuresti

VIII.108. I^ntr-un reper cartezian xOy; se considera punctele Aij(i; j), unde1 i; j 5: Determinati numarul triunghiurilor care au ca va^rfuri trei dintre puncteledate.

Gabriel Popa, Iasi

Clasa a IX-aIX.96. Determinati triunghiurile ^n care tangentele unghiurilor se exprima prin

numere naturale. (I^n legatura cu X.78 din RecMat 1/2007.)

Titu Zvonaru, Comanesti

IX.97. Demonstrati ca ^n orice triunghi are loc inegalitatea m2ahbhc +m2bhcha +

m2chahb 4S2

2 +r

2R

:

Catalin Cristea, Craiova

IX.98. Aati a; b; c 2 R; a 6= 0, pentru care jax2 + bx+ cj

x 1a

2

;8x 2 R:Marian Ursarescu, Roman

74

IX.99. Fie k 2 [0; 1); n 2 N si numerele i 2 R, i 2 R; "i 2 f1; 1g; i = 1; n,astfel ^nca^t "11 + "22 + : : :+ "nn = 0: Rezolvati ecuatia

j1x+ 1j+ j2x+ 2j+ : : :+ jnx+ nj = kj"11 + "22 + : : :+ "nnj:

Dumitru Mihalache si Gabi Ghidoveanu, Ba^rlad

IX.100. Fie (an)n1 si (bn)n1 doua siruri de numere reale, cu an 6= 0;8n 1

si 3 nX

k=1

(akb2k a2kbk) =

nX

k=1

ak

!3

nX

k=1

a3k;8n 1: Demonstrati ca, pentru oricen 1; exista n 2 f0; 1g astfel ^nca^t bn = n(a1+ : : :+an)(1n)(a1+ : : :+an1).

Marian Tetiva, Ba^rlad

Clasa a X-aX.96. Daca a; b; c sunt numere reale pozitive cu suma 1, demonstrati ca ab bc ca

+ ba cb ac 2(ab+ bc+ ca):Dorin Marghidanu, Craiova

X.97. Fie a; b; c 2 C numere complexe distincte astfel ^nca^t (a b)3 = (b c)3 =(c a)3. Aratati ca j2a b cj = j2b c aj = j2c a bj.

Dan Nedeianu, Drobeta-Tr. Severin

X.98. Fie Ai(zi); i = 1; 3 va^rfurile unui triunghi din planul xOy si P (z) un punctdin acest plan (zi si z sunt axele punctelor Ai, respectiv P ). Sa se arate ca P estesituat ^n interiorul triunghiului A1A2A3 sau pe una din laturile sale daca si numaidaca exista i 0; i = 1; 3, astfel ^nca^t 1 + 2 + 3 = 1 si z = 1z1 + 2z2 + 3z3:

Adrian Corduneanu, Iasi

X.99. Consideram triunghiurile echilaterale ABC si A1B1C1 si construim tri-unghiurile echilaterale AA1A2; BB1B2; CC1C2; AB1A3, BC1B3; CA1A3; AC1A4,BA1B4 si CB1C4; toate triunghiurile citate sunt orientate pozitiv. Fie puncteleM2 2 A2B; N2 2 B2C; P2 2 C2A; M3 2 A3B; N3 2 B3C, P3 2 C3A; M4 2 A4B;N4 2 B4C si P4 2 C4A astfel ^nca^t M2A2

M2B=

N2B2N2C

=P2C2P2A

=M3A3M3B

=N3B3N3C

=

P3C3P3A

=M4A4M4B

=N4B4N4C

=P4C4P4A

. Demonstrati ca triunghiurile M2N2P2;M3N3P3 si

M4N4P4 sunt echilaterale si au acelasi centru.Catalin T igaeru, Suceava

X.100. Demonstrati ca ^n orice triunghi ABC are loc inegalitatea

1

sin2A(sinB + sinC)2+

1

sin2B(sinC + sinA)2+

1

sin2 C(sinA+ sinB)2 4

3:

Marius Olteanu, Rm. Va^lcea

Clasa a XI-aXI.96. Fie " radacina primitiva de ordin trei a unitatii, iar A;B 2 M3(R) cu

det(A+ "B) = 0. Demonstrati ca det(AB) = detA detB.Dan Popescu, Suceava

75

XI.97. Fie n 3 un numar natural. Aratati ca pentru orice k 2 f2; 3; : : : ; n1g,exista A 2Mn(f0; 1g) astfel ^nca^t Ap 6= In, 8p 2 f1; 2; : : : ; k 1g si Ak = In.

Gheorghe Iurea, Iasi

XI.98. Demonstrati ca functia f :

0;

2

! R, f(x) = ln

1 cosx1 + cosx

este

concava si, folosind eventual acest lucru, aratati ca ^n orice triunghi ascutitunghic

ABC are loc inegalitatea1 cosA1 + cosA

1 cosB1 + cosB

1 cosC1 + cosC

127

.

Bogdan Victor Grigoriu, Falticeni

XI.99. Studiati convergenta sirului (vn)n1 denit prin vn+1 =(vcn + d)

1=c

vn;

8n 1, unde v1; c si d sunt numere reale pozitive date.Gheorghe Costovici si Adrian Corduneanu, Iasi

XI.100. Demonstrati ca

(x+ 1)

sin

x+ 1 cos

x+ 1

< x

sin

x cos

x

;8x 2 [2;1):

Petru Raducanu, IasiClasa a XII-a

XII.96. Rezolvati ^n S5 ecuatia x11 =

1 2 3 4 55 3 4 1 2

.

Liviu Smarandache si Ionut Ivanescu, Craiova

XII.97. Fie ak 2 R; k = 0; n, iar m 2 (0;1) astfel ^nca^tmX

k=0

akm+ k

= 0. Sa se

arate ca ecuatia a0 + a1x+ : : :+ anxn = 0 admite solutie ^n intervalul (0; 1):

Mihail Bencze, Brasov

XII.98. Determinati primitivele functiei f : (0; )! R, f(x)=sin3n1 x cosn1 x

sin4n x+ cos4n x;

n 2 N.I.V. Maftei, Bucuresti si Mihai Haivas, Iasi

XII.99. Se considera functia f : (0;1)! (0; 1) continua si descrescatoare si sirulstrict crescator (an)n1 de numere reale pozitive, astfel ^nca^t sirul

an+1an

n1este

strict descrescator. Denim In =1

an

Z an+1

an

f(x)dx; 8n 2 N.a) Demonstrati ca (In)n1 este un sir descrescator.b) Daca lim

n!1an+1an

= 1, calculati limn!1 In.

Cosmin Manea si Dragos Petrica, Pitesti

XII.100. I^n raport cu un reper cartezian xOy, consideram puncteleA(a; 0); B(0; b)si T 2 (AB), unde a > 0; b > 0. Determinati parabola y = x2+ care este tangenta^n T la AB; stiind ca aria suprafetei determinata de parabola si axele de coordonateeste maxima.

Adrian Corduneanu, Iasi

76