174

CAPITOLUL 6 FUNCŢII IMPLICITE

Întâlnim în matematică curbe sau suprafeţe date sub formă implicită printr-o relaţie de forma: ( ) ( )( )( )

( )( )

==

==

==

0,,,0,,,

sau0,,0,,

sau0,,sau0,

2

1

2

1

vzyxFvuyxF

zyxFzyxF

xyxFyxF

(1)

Ne interesează să găsim funcţiile explicite: ( )

( )

=

=

yxzz

xyy

,sau (2)

care să verifice relaţiile corsepunzătoare din (1). În unele cazuri acest lucru se poate realiza uşor folosind parametrizări, iar în alte cazuri acest lucru este imposibil de realizat. Explicitarea relaţiilor (1) este foarte utilă în geometria diferenţială unde se cere să se determine tangenta şi normala la o curbă plană şi să se determine triedrul lui Frenet pentru o curbă în spaţiu, sau să se determine planul tangent, normala la o suprafaţă dată sub formă implicită. În cazul în care nu putem explicita relaţiile (1), atunci putem determina elementele necesare cu ajutorul teoremei funcţiilor implicite (T.F.I.). În cele ce urmează vom prezenta celebra teoremă a funcţiilor implicite pentru cazurile cele mai importante.

A. Funcţii implicite definite de o relaţie de forma ( ) 0, =yxF

Fie funcţia ( ) EyxEEEf ∈⊂=→ 002 ,,,: RR

. Teorema 1(existenţă, unicitate, continuitate şi derivabilitate): Dacă funcţia F satisface ipotezele:

1. ( )00 ,1 , yxV VCF V∈∈

2. ( ) 0, 00 =yxF (3)

175

3. ( )

000 ,

≠∂∂

yxyF

Atunci există vecinătăţile 01 xV V∈ şi

02 yV V∈ şi există şi este unică funcţia ( )xfy = cu 21: VVf → . şi care satisface concluziile:

)1c ( )( )( ) ( )

∈∀≡=

)'4( 0,)4(

1

00

VxxyxFxfy

)2c f este continuă pe 1V

)3c f este derivabilă pe 1V şi avem că ( ) ( )

( )00 ,

0'

0'

yxyFxF

xfxy

∂∂∂∂

−== (5).

Demonstraţie: Pentru )1c şi )2c vezi [1], [2], [4]. Pentru )3c avem în vedere relaţia (4’), atunci

( ) ( )( ) 0, ≡==Φ xyxFxnot

(6) este funcţia compusă de o variabilă (x) prin intermediul funcţiei de două variabile ( )yxF , , atunci:

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 0,,' =⋅∂∂

+∂∂

=Φdx

xdyxyxyFxyx

xFx pentru ( ) 1Vx∈∀ (7)

Facând pe 0xx = în (7) rezultă folosind (4) că :

( ) ( ) ( ) 0,, 0'

0000 =⋅∂∂

+∂∂ xyyx

yFyx

xF

sau

( )( )

( )00

00

0'

,

,

yxyF

yxxF

xy

∂∂∂∂

−= .

Observaţii: 1. Dacă ipoteza 1. din teorema 1 se modifică în sensul că n

VCF ∈ , atunci concluzia 3c devine n

VCf1

∈ .

176

2. Cele mai importante aplicaţii ale acestei teoreme se rezumă la determinarea lui ( )0

' xy (panta tangentei) şi a lui ( )0'" xy (concavitatea

curbei ( )xyy = în 0x ) chiar dacă nu ştiu ( )xyy = . 3. În cazul în care se cere ( )0

" xy , atunci ipoteza 1. cere ca 2VCF ∈ , iar

concluzia )3c spune că f este derivabilă de două ori în 0x ( 2

1VCf ∈ ). Pentru determinarea acestei derivate folosim relaţia (7) pe care o derivăm încă o dată şi rezultă:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ).'7( 0,

,,,,

1"

''2

22'

2

2

2"

VxxyyxyF

xyxyyxyFyx

yxFxyyx

yxFyx

xFx

∈∀=⋅∂∂

+

+⋅

⋅

∂∂

+∂∂

∂+

⋅

∂∂∂

+∂∂

=Φ

Înlocuind pe x cu 0x în (7’) rezultă (folosind (4) şi (5)) că

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ).8( 0,

,,2.

0"

00

2

0'

002

2

00

2

0'

002

2

=⋅∂∂

+

+⋅∂∂

+∂∂

∂⋅+

∂∂

xyyxyF

xyyxyFyx

yxFxyyx

xF

sau

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) )'8( ,,,

,,2,,,

1

2

00002

2

00

0000

22

00002

2

3

00

0"

∂∂

⋅∂∂

+∂∂⋅

⋅

∂∂⋅

∂∂∂

−

∂∂

⋅∂∂

∂∂

−=

yxxFyx

yFyx

yF

yxxFyx

yxFyx

yFyx

xF

yxyF

xy

B. Funcţii definite implicit de o relaţie de forma ( ) 0,,,. 21 =yxxxF n

Fie R→×YXF : cu RYXX n ⊂⊂= ,R

şi ( ) YXyxP ×∈000 , unde ( ) Xxxxx n ∈= 00

20

10 ,,, şi Yy ∈0 . Teorema 2 (existenţă, unicitate, continuitate şi derivabilitate): Dacă funcţia f satisface ipotezele:

1. ( )00 ,1 , yxV VCF V∈∈

177

2. ( ) ( )( )0,0,,,, 00000

20

1 == yxFyxxxF n

3. 00

≠∂∂

PyF

atunci există vecinităţile 01 xV V∈ şi

02 yV V∈ şi există şi este unică funcţia ( ) ( )nxxxfxfy ,,, 21 == cu 21: VVf → care satisface concluziile:

)1c ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

∈=∀≡==

)'9( ,,,0,,,,,,,)9( ,,,

1212121

002

0100

VxxxxxxxyxxxFxxxfxfy

nnn

n

)2c f este continuă în 0x )3c f este derivabilă în 0x şi avem că:

( ) ( )( )

( )( ) { }ni

yxyF

yxxF

xxfx

xy i

ii

,2,1,

,

00

00

00 ∈∀

∂∂∂∂

−=∂∂

=∂∂ (10)

Demonstraţie: Pentru )1c şi )2c vezi [1], [2], [4]. Pentru )3c avem în vedere relaţia (9’), atunci:

( ) ( ) ( )( ) 0,,,,,,,,,, 212121 ≡==Φ=Φ nn

not

n xxxyxxxFxxxx (11) este funcţie compusă de variabilele nxxx ,,, 21 prin intermediul unei funcţii ( )yxxxF n ,,,, 21 , atunci derivata parţială în raport cu o variabilă curentă

{ }( )nixi ,,2,1 ∈ este:

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 0,,,,,,,,,, 21212121 =∂∂

⋅∂∂

+∂∂

=∂Φ∂

ni

nni

ni

xxxxyxyx

yFxxxyxxx

xFxxx

x

(12)

Înlocuind 0xx = în (12) rezultă folosind (9) că

( ) ( ) ( ) 0,, 00000 =∂∂

⋅∂∂

+∂∂ x

xyyx

yFyx

xF

ii

sau

( )( )

( )00

00

0

,

,

yxyF

yxxF

xxy i

i

∂∂∂∂

−=∂∂ .

178

Observaţii: 1. Dacă ipoteza 1. din teorema 2 se modifcă în sensul că n

VCF ∈ , atunci concluzia )3c este că n

VCf ∈ .

2. În cazul în care se cere ( ) ( ) { }njixxxy

ji

,,2,1,0

2

∈∀∂∂

∂ , atunci ipoteza

1. cere ca 2VCF ∈ , iar concluzia 3c spune că f este derivabilă parţial

de două ori în 0x ( 2

1VCf ∈ ). Pentru determinarea acestei derivate folosim relaţia (12) care se derivează în raport cu { }( )njx j ,,2,1 ∈ şi rezultă

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) )13(0,,,

,,

2

2

22

222

=∂∂

∂⋅

∂∂

+

∂∂

⋅∂∂

+∂∂

∂⋅

⋅∂∂

+∂∂

⋅∂∂

∂+

∂∂∂

=∂∂Φ∂

xxxyxyx

yFx

xyxyx

yFxyx

xxF

xxyx

xyxyx

xxFxyx

xxFx

xx

jijji

ijjijiji

Înlocuind 0xx = şi având în vedere (9) rezultă

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { }njiyxxy

yxyFx

xyyx

yFyx

yxF

xxyyx

yxFx

xyyx

yxFyx

xxF

jijj

ijjiji

,,2,1,0,,,

,,,

02

000002

2

00

2

000

2

000

2

00

2

∈∀=∂∂

∂⋅

∂∂

+

∂∂

⋅∂∂

+∂∂

∂⋅

⋅∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

∂∂∂

+∂∂

∂

(14).

Din această relaţie se poate scoate ( )ji yx

xy∂∂

∂ 02

având în vedere (10).

3. Un caz particular foarte important şi foarte des întâlnit în teoria suprafeţelor este cazul când avem relaţia ( ) 0,, =zyxF care reprezintă o suprafaţă în plan dată sub formă implicită. Dacă în punctul ( )000 ,, zyx sunt îndeplinite ipotezele teoremei 2 atunci avem:

Teorema 2’: Dacă funcţia F satisface ipotezele:

1. ( )000 ,,1 , zyxV VCF V∈∈

2. ( ) 0,, 000 =zyxF

3. ( )

0000 ,,

≠∂∂

zyxzF

179

atunci există vecinităţile ( )00 ,1 yxV V∈ şi 02 zV V∈ şi există şi este unică funcţia

( )yxzz ,= cu 21: VVz → care satisface concluziile:

)1c ( )( )( ) ( )

∈∀≡=

)'15( ,0,,,)15( ,

1

000

VyxyxzyxFyxzz

)2c z este continuă în ( )00 , yx

)3c z este derivabilă în ( )00 , yx şi avem că

( )( )

( )

( )( )

( )

)16(

,,

,,,

,,

,,,

000

000

00

000

000

00

∂∂∂∂

−=∂∂

∂∂∂∂

−=∂∂

zyxzF

zyxyF

yxyz

zyxzF

zyxxF

yxxz

Cu ajutorul acestor derivate parţiale putem determina ecuaţia planului tangent şi a normalei la o suprafaţă în punctul ( )000 ,, zyx . C. Funcţii definite implicit de un sistem de m relaţii în care întâlnim m+p variabile Fie *, N∈nm şi fie funcţiile R→×YXFi : , },...,2,1{ mi∈ cu

mp YYXX RR ⊂=⊂=

, , iar punctul ( ) YXyx ×∈00 , , unde ( ) Xxxxx p ∈= 00

20

10 ,,, şi ( ) Yyyyy m ∈= 002

010 ,,, .

Teorema 3 (existenţă, unicitate, continuitate şi derivabilitate): Dacă funcţiile { }( )miFi ,,2,1 ∈ satisfac ipotezele:

1. ( ) { }miVCF yxVi ,,2,1,,00 ,

1 ∈∈∈ V 2. ( ) ( ) { }miyxFi ,,2,10, 00 ∈∀=

3. ( )( ) ( )

0,,,

,,

00 ,21

21 ≠yxm

m

yyyDFFFD

atunci există vecinităţile 01 xV V∈ şi

02 yV V∈ şi există şi sunt unice funcţiile ( )pkk xxxyy ,,, 21 = cu 21: VVyk → pentru { }mk ,,2,1 ∈ cu proprietăţile:

180

)1c( )

( ) ( )( )

≡=

)'17( 0,,,,,,,,,,,,)17(

2121121

00

pmppi

kk

xxxyxxxyxxxFxyy

( ) { }mki ,,2,1, ∈∀ )2c ( ) ( )pkkk xxxyxyy ,,, 21 == sunt continue în 0x pentru ( ) { }mk ,,2,1 ∈∀ )3c Funcţiile sunt derivabile parţial şi avem că

( )

( )( )( )

( )( ) ( )

)18( ,

,,,,,,

,,,,,,,

,,,

0021

21

00111

21

0

yxyyyDFFFD

yxyyxyyD

FFFD

xxy

m

m

mkik

m

i

k

+−−=∂∂

pentru { }mk ,,2,1 ∈ şi { }pi ,,2,1 ∈ . Demonstraţie: Vezi [1]. [2], [4]. Observaţia 1: O curbă în spaţiu este dată sub formă implicită ca intersecţia a două suprafeţe.

(c) ( )( ) )19(

0,,0,,

2

1

==

zyxFzyxF

Pentru această curbă trebuie determinat triedrul lui Frenet în punctul ( )000 ,, zyx . În acest caz se aplică teorema 3, care datorită utilităţii ei va fi reluată. Teorema 3’ (existenţă, unicitate, continuitate şi derivabilitate):

Dacă funcţiile 1F şi 2F satisfac condiţiile: 1. ( )000 ,,

121 ,, zyxV VCFF V∈∈

2. ( )( )

==

0,,0,,

0002

0001

zyxFzyxF

3. ( )( ) ( ) 0,,

,,

00021 ≠zyx

zyDFFD

atunci există vecinităţile 01 xV V∈ ,

02 yV V∈ şi 03 zV V∈ şi există şi sunt unice

funcţiile ( )xyy = şi ( )xzz = cu 3121 :,: VVzVVy →→ care satisfac condiţiile:

181

)1c

( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )

∈∀≡≡

==

)'20( 0,,0,,

)20(

12

1

00

00

VxxzxyxFxzxyxF

xzzxyy

)2c ( )xyy = şi ( )xzz = sunt funcţii continue în 0xx = )3c Funcţiile sunt derivabile în 0x şi avem

( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

)21(

,,,,

,,,,

,,,,

,,,,

00021

00021

0'

00021

00021

0'

−=

−=

zyxzyDFFD

zyxxyDFFD

xz

zyxzyDFFD

zyxzxDFFD

xy

Aceste derivate se obţin derivând relaţiile (20’) în raport cu x şi rezultă:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ))22(

0,,,,,,

0,,,,,,

222

111

=⋅∂∂

+⋅∂∂

+∂∂

=⋅∂∂

+⋅∂∂

+∂∂

dxdzxzxyx

yF

dxdyxzxyx

yFxzxyx

xF

dxdzxzxyx

yF

dxdyxzxyx

yFxzxyx

xF

Înlocuind pe 0xx = şi având în vedere relaţiile (20) rezultă sistemul:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ))23(

0,,,,,,

0,,,,,,

0'

0002

0'

0002

0002

0'

0001

0'

0001

0001

=⋅∂∂

+⋅∂∂

+∂∂

=⋅∂∂

+⋅∂∂

+∂∂

xzzyxyFxyzyx

yFzyx

xF

xzzyxyFxyzyx

yFzyx

xF

în necunoscutele ( )0' xy şi ( )0

' xz date de (21). Dacă se cer ( )0

" xy şi ( )0" xz , atunci se mai derivează sistemul (22) în raport

cu x şi apoi se înlocuieşte x cu 0x . Analog pentru ( )0'" xy şi ( )0

'" xz . Aplicaţia 1. Se dă relaţia:

044 22 =−+− yxyx

182

Să se arate că în vecinătatea punctului ( )1,1 se poate defini funcţia ( )xyy = ,

apoi să se calculeze ( )1'y şi ( )1"y .

Soluţie.

Dacă se consideră funcţia

44),( 22 −+−= yxyxyxf

şi punctul ( ) ( )1,1,0 =yx , atunci aplicînd teorema 1 avem :

1) F este funcţia derivabilă în ( )1,1 , pentru că este funcţie elementară

(polinom)

2) 0)1,1( =F

3) ( ) ( )( ) 011,1

21,1

≠=+−=∂∂ yx

yF ,

atunci există 11 V∈V şi 12 V∈V şi )(xyy = cu 21: VVy → astfel încît

)1C ( )( )( )

≡==

0,110

xyxFyy , pentru ( ) 1Vx∈∀ (a)

sau

( ) ( ) 044 22 =−+⋅− xyxyxx (b)

)2C ( )xyy = este continuă şi derivabilă.

Să calculăm ( )1'y .

Derivînd relaţia (b) în raport cu x avem:

( ) ( ) ( ) ( ) 0'2'8 =⋅+⋅−− xyxyxyxxyx (c)

Înlocuind în (c) pe 1=x , obţinem

( ) ( ) ( ) ( ) 01'121'18 =⋅⋅+−− yyyy (d)

Cum

( ) 11 =y

(din (a)), rezultă

( ) ( ) 01'21'18 =⋅+−− yy

183

sau

( ) 71' −=y (e)

Pentru a calcula ( )1"y , derivăm relaţia (c) în raport cu x:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0"2'2"''8 2 =⋅++⋅−−− xyxyxyxyxxyxy (f)

Înlocuind în (f) pe x=1 şi având în vedere relaţiile (a) şi (b) rezultă:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 01"121'21"1'28 2 =⋅++−− yyyyy

sau

( ) ( ) ( ) ( ) 01"2721"728 2 =⋅+−⋅+−−⋅− yy

sau

( ) 1201" −=y

adică graficul funcţiei ( )xyy = este concav în .1=x

Observaţie.

Pentru acest exemplu, relaţia dată poate fi pusă sub forma următoare:

( ) 044 22 =−+− xxyy

apoi explicităm pe y cu ajutorul ecuaţiei de grad doi:

( )2

1616 22

2,1+⋅−±

=xxxxy

adică

( )2

1516 2

1xxxy −−

=

( )2

1516 2

2xxxy −+

=

S-au obţinut două funcţii din care noi trebuie să alegem funcţia care trece

prin punctul ( )1,1 .

Pentru 1=x se obţine:

( ) 02

1111 =−

=y

184

( ) 12

1112 =+

=y

Deci funcţia care ne interesează este:

( )2

1516 2xxxy −+=

Atunci

( )

−−=

21516

15121'

x

xxy şi ( ) 71' −=y

respectiv

( ) ( )321516

162

15"x

xy−

⋅−= cu ( ) .1201" −=y

În acest exemplu s-a putut explicita funcţia dată de T.F.I. şi are expresia:

( )2

1516 2xxxy −+=

şi transformă relaţia dată iniţial întro identitate.

Aplicaţia 2.

Să se studieze concavitatea curbei ( )xyy = în 1=x , dacă funcţia este definită

de relaţia:

02),( 33 =−+−+= yxyxyxF

şi dacă 0)1,1( =F

Soluţie

Cum funcţia ),( yxF satisface condiţiile T.F.I. (vezi teorema 1) cu

( ) ( ) 041,1

131,1

2 ≠=+=∂∂ y

yF

atunci există, este unică, continuă şi derivabilă funcţia

21: VVy →

unde

185

1211 ; VV ∈∈ VV

şi în plus avem:

( )( )( ) ( )

=−+−+

==

)(02

)(1133

0

bxyxxyx

ayy

Derivînd relaţia (b) se obţine:

( )( ) ( ) ( ) 0'1'33 22 =+−⋅+ xyxyxyx (c)

Înlocuind 1=x şi din (a) rezultă

( )( ) ( ) ( ) 01'11'133 2 =+−⋅+ yyy

sau

( ) ( )211'021'4 −=⇔=+ yy (d)

care reprezintă panta tangentei.

Derivînd relaţia (c) rezultă

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 0""3'66 22 =+⋅++ xyxyxyxyxyx (e)

Înlocuind 1=x şi avînd în vedere (a) şi (d) rezultă

( ) 08

151" <−=y

adică graficul este concav în 1=x .

Observaţie.

Avînd panta tangentei în 1=x , atunci putem scrie şi ecuaţia tangentei la

graficul funcţiei în 1=x care este:

( ) ( )( )000 ': xxxyyy −=−Τ

Cum 10 =x şi 10 =y ,

atunci ( ) ( )1211: −−=−Τ xy

186

Aplicaţia 3.

Se dă relaţia:

( ) 01,,222

=−

+

+

=

cz

by

axzyxF

reprezentând ecuaţia unui elipsoid şi un punct fix ( )00,0 , zyxP situat pe

elipsoid, cu 00 ≠z . Să se arate că această relaţie defineşte pe ( )yxzz ,= şi apoi

să se calculeze xz∂∂ şi

yz∂∂ în acest punct.

Soluţie.

Conform T.F.I. (teorema 2’), funcţia ),,( zyxF satisface ipotezele teoremei 2’,

atunci există

( )00 ,1 yxV V∈ şi 02 zV V∈

şi există şi este unică, continuă şi derivabilă funcţia

21: VVz →

astfel ca:

( )

( )

≡−

+

+

=

)( 01,

)( ,

222

000

bc

yxzby

ax

siayxzz

( )( ) 1, Vyx ∈∀

Derivînd (b) în raport cu x obţinem:

( ) ( ) 0,,2222 =

∂∂⋅+ yx

xz

cyxz

ax (c)

Înlocuind 0xx = în (c) rezultă folosind (a) că:

187

( ) 0,22

0020

20 =

∂∂⋅+ yx

xz

cz

ax

sau

( )0

02

2

00 ,zx

acyx

xz

⋅−=∂∂ (d)

Derivînd (b) în raport cu y obţinem:

( ) ( ) 0,,2222 =

∂∂⋅+ yx

yz

cyxz

by (e)

Înlocuind 0xx = în (c) rezultă folosind (a) că:

( ) 0,22

0020

20 =

∂∂⋅+ yx

yz

cz

by

sau

( )0

02

2

00 ,xy

bcyx

yz

⋅−=∂∂

Aplicaţia 4.

Sistemul:

=−−++

=−+++

02

014422

22

vuyx

vuyx

este verificat de punctul ( )2,1,1,1 − şi defineşte funcţiile:

( )( )

==

yxvvyxuu

,,

Să se calculeze:

yv

xv

yu

xu

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ ,,, în punctul ( ) ( )1,1, 00 =yx .

Soluţie. Funcţiile

( ) 1,,, 221 −+++= vuyxvuyxF

( ) 2,,, 44222 −−++= vuyxvuyxF

188

verifică condiţiile T.F.I. (teorema 3) în punctul ( )2,1,1,10 −M , atunci defineşte

în mod unic funcţiile:

==

),(),(

yxvvyxuu cu ( )

( )( )

( )

==−

⇒

==

2,121,11

,,

000

000

vu

yxvvyxu (a)

şi transformă ecuaţiile în identităţi, adică:

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )

≡−−++

≡−+++

02,,

01,,4422

22

yxvyxuyx

yxvyxuyx , pentru ( ) ( ) 1,1, Vyx ∈∀ (b)

Derivînd relaţiile (b) în raport cu x, obţinem:

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

=∂∂⋅⋅−

∂∂⋅+

=∂∂⋅⋅+

∂∂⋅+

0,,4,,42

0,,2,,21

33 yxxvyxvyx

xuyxux

yxxvyxvyx

xuyxu

(c)

Înlocuind pe 1,1 == yx şi din (a) rezultă

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

=∂∂⋅⋅+

∂∂⋅+

=∂∂⋅+

∂∂⋅+

01,11,141,11,142

01,11,121,11,121

33

xvv

xuu

xvv

xuu

sau

( ) ( )

( ) ( )

=∂∂

−∂∂

−

=∂∂

+∂∂

−

01,1321,142

01,141,121

xv

xu

xv

xu

sau

( ) ( )

( ) ( )

−=∂∂

−∂∂

−

−=∂∂

+∂∂

−

21,1321,14

11,141,12

xv

xu

xv

xu

Rezolvînd acest sistem rezultă:

189

( )

( )

=∂∂

=∂∂

01,1

211,1

xvxu

Derivînd relaţiile (b) în raport cu y, obţinem

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

=∂∂⋅⋅−

∂∂⋅⋅+

=∂∂⋅⋅+

∂∂⋅+

0,,4,,42

0,,2,,21

33 yxyvyxvyx

yuyxuy

yxyvyxvyx

yuyxu

Înlocuind ( ) ( )1,1, 00 =yx şi folosind (a) rezultă:

( ) ( )

( ) ( )

−=∂∂

−∂∂

−

−=∂∂⋅+

∂∂⋅−

2,321,14

11,141,12

yxyv

yu

yv

yu

care are soluţia:

( )

( )

=∂∂

=∂∂

01,1

211,1

yvyu

Tema 6

1)Să se calculeze: ( )0'y şi ( )0"y pentru funcţia definită implicit de

ecuaţia:

0233 =−++ yxyyx

ştiind că punctul ( )1,0 verifică ecuaţia dată.

2) Să se calculeze: ( )xy' şi ( )xy" pentru funcţia definită de ecuaţia

yxy ln+= , y>0

190

3) Să se calculeze: ( ) ( ) ( )xyxyxy '",",' pentru funcţia definită implicit de

relaţia 122

=

+

ay

ax

4) Să se calculeze: ( ) ( ),",' xyxy pentru funcţia definită implicit de relaţia:

022 ≠

⋅=+ acu

xyarctgayxn , 0≠x .

5) Relaţia:

0222 =−−+ xyzyx

defineşte funcţia ( )yxz , în punctul ( )1,0,1− .

Să se calculeze: xz∂∂ şi

yz∂∂ în ( )0,1− .

6) Sistemul de ecuaţii:

=++=+1yvxu

yxvu

defineşte pe ( )yxu , şi ( )yxv , . Să se calculeze:

yv

xv

yu

xu

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ ,,, .

7) Sistemul

=−−++

=−++

0102

04222 xzyx

zyx

defineşte pe ( )xy şi ( )xz în punctul ( )1,3,2 − .

Să se calculeze ( )2'y şi ( )2'z .