48803324-INTEGRAREA-NUMERICĂ-II

1 Carmen-Sanda Georgescu, Tudor Petrovici, Radu Popa Metode numerice. Fişa de laborator nr. 6: INTEGRAREA NUMERICĂ (continuare). DERIVAREA NUMERICĂ 3.3. METODA ROMBERG ŞI PROCEDURADE EXTRAPOLARE RICHARDSON Metoda lui Romberg îmbunătăţeşte eficienţa formulelor de cuadratur ă numerică, aplicând repetat una din formulele de calcul, în asociere cu înjum ătăţirea simultană a intervalului h, deci dublând numărul de intervale pe domeniul [a;b]. Se notează cu 1 , i valoarea calculat ă a integralei ( ) ∫ = b a x x f d , f olosind f or mu la trapezelor (5.3), pentru i n 2 = intervale pe [ a;b], cu i ≥ 0. Dacă se consider ă numai două noduri, x 0 = a şi x 1 = b, atunci h = (b−a), n = 1, i = 0 şi se obţine: ( ) ( ) ( ) [ ] b f a f a b + − = 2 1 , 0 . (6.1) Prin inducţie, se obţine formula Romberg: 1 unde , 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 , 1 1 , ≥ − + − + = ∑ − = ∆ = − − i k a b a f a b i k k i i i i . (6.2) Rapiditatea convergenţei se măreşte folosind procedura de extrapolare Richardson, ilustrată în tabelul 6.1. Dacă se foloseşte o formul ă de cuadratur ă pentru care eroarea este propor ţională cu h α , la două aplicaţii succesive ale acestei formule, cu intervalele 2h şi respectiv h, se obţin erorile α ε ≅ ε 2 1 2 . Exponentul α ia valorile: α = 2, 4, 8, 16, 32,… Notând cu valoarea exact ă a integralei, se poate scrie: 2 2 1 1 ε + = ε + = . Se obţine astfel formula de extrapolare Richardson: 1 2 1 2 2 − − + ≅ α , (6.3) care sugerează faptul că dacă se consider ă două valori succesive 1 şi 2 care aproximeaz ă pe , se poate obţine o a treia valoare, mai bun ă, adică mai apropiat ă de . Tabelul 6.1. – Ilustrarea grafic ă a procedurii de extrapolare Richardson pentru Exemplul 1 (pentru un număr de intervale n = 8) i n =2 i α=2 α=4 α=8 0 1 0,1 =91.526 0,2 = 116.48 1 2 1,1 =110.24 0,3 = 132.58 1,2 = 131.57 0,3 =139.71 2 4 2,1 =126.24 1,3 = 139.68 2,2 = 139.17 3 8 3,1 = 135.94 Obţinute cu(6.1) si (6.2) Obtinute cu (6.3) Folosind relaţia (6.3) cu α = 2 (eroarea propor ţională cu h 2 ), din secvenţa 0,1 ; 1,1 ; 2,1 ; ... i,1 determinată cu metoda Romberg (6.1) −(6.2), se obţine un nou şir 0,2 ; 1,2 ;..., luând succesiv câte doi termeni din primul şir.

48803324-INTEGRAREA-NUMERICĂ-II

Documents

Transcript of 48803324-INTEGRAREA-NUMERICĂ-II