MINISTERUL EDUCAIEI I CERCETRII INSPECTORATUL COLAR JUDEEAN IAI

CONCURSUL DE MATEMATIC

FLORICA T. CMPAN

IASI, ETAPA JUDEEAN, 18 FEBRUARIE 2006CLASA a IV a

I. S se mpart la trei persoane 24 sticle de suc identice ca mrime, din care 5 sunt pline, 11 umplute pe jumtate i 8 goale, nct fiecare s aib acelai numr de sticle, dar i aceeai cantitate de suc.

II. ntre cele 9 numere de mai jos exist un intrus. Acesta nu respect relaia dintre cifrele ce exist la fiecare din celelalte opt numere.

Descoper i scrie relaia precum i numrul intrus.

9334; 4862; 6148; 5132; 7835; 3524; 9963; 9782; 8133.

III. Cntarul pe care vor s se cntreasc trei copii nu msoar mase mai mici de 40 kg. Fiecare dintre cei trei copii cntresc ntre 25 i 30 kg.

Cum a reuit fiecare copil s se cntreasc? Clasa a V-a

1. Cifrele care alctuiesc vrsta bunicului reprezint vrstele celor doi nepoi. Daca mprim vrsta bunicului la suma vrstelor nepoilor, se obine ctul 4 i restul 12. Aflai vrsta bunicului i vrstele nepoilor.

2. Se consider nmulirea urmtoare, unde literele nu reprezint obligatoriu cifre distincte.

a3b (

cd ef3g hik_ 2np3

a) Determinai e.b) Artai c bd=63.c) Reconstituii nmulirea.3. Se consider mulimea A={2,3,4,,13}.

a) Determinai B,C disjuncte astfel nct B(C=A i suma elementelor din B este egal cu suma elementelor din C.

b) Artai c nu exist M, N disjuncte cu M(N = A i produsul elementelor din M egal cu produsul elementelor din N.c) Gsii dou mulimi X, Y disjuncte cu X (Y = A, X avnd dou elemente, cu produsul elementelor lui X egal cu suma elementelor lui Y.Clasa a VI-a

1. Pe o tabl s-au scris trei numere naturale. Cnd n locul lor s-au scris: suma, produsul i suma produselor cte dou, s-a vzut c pe tabl au aprut aceleai numere ca cele iniiale. Care este produsul lor? Explicai!

2. Pe o tabl este scris numrul 12. La fiecare minut numrul se nmulete sau se mparte fr rest fie la 2, fie la 3, iar rezultatul se scrie pe tabl n locul numrului iniial. S se arate c numrul scris pe tabl dup exact o or (60 de minute) nu poate fi 54.

3. Unghiurile proprii (AOB i (BOC sunt adiacente suplementare. Fie [Ox i [Oy bisectoarele acestora. Dac m((BOy) ( (* i m((COx) = p ( m((BOy), unde p este numr prim, aflai numrul p.

CLASA a VII a1) Fie a un numr natural arbitrar, divizibil prin 9, avnd 2007 cifre. Notm cu s(a) numrul care reprezint suma cifrelor lui a. Gsii s(s(s(a))).Prof. Gabriel Mranu2) Vrfurile unui cub se noteaz cu 8 numere ntregi consecutive iar centrul fiecrei fee se noteaz cu media aritmetic a vrfurilor feei respective.

a) S se demonstreze c suma centrelor oricror dou fee opuse este aceeai i s se afle ct este aceasta n funcie de cel mai mic dintre numerele cu care sunt notate vrfurile.

b) S se gseasc n ce condiii centrul unei fee este un numr ntreg. Sa se scrie vrfurile fetelor ale caror centre sunt numere intregi.

c) Artai c, dac centrele a trei fee care au un vrf comun sunt notate cu numere ntregi, atunci i centrele celorlalte fee sunt notate tot cu numere ntregi.Prof. Julieta Grigora

3) n ara TI a triunghiurilor isoscele era mprat, firesc, triunghiul echilateral. El decretase c este singurul care binemerit numele de Prearostogolibil; supuii si trebuiau s fie numii epoi dac au o latur mai scurt dect cele egale, respectiv turtii dac au o latur mai lung dect cele egale. (Vorba congruent era socotit de ocar pe acele meleaguri). Nite unghiuri umblau venetice prin TI cutnd fiecare triunghi isoscel la al crui vrf s slujeasc.

- eposule, zise un unghi . Eu i vecinii mei de pribegie blbitul de i nemsuratul de ne cutm stpni n TI. Ne-ai fi de mare folos dac ai binevoi s ne spui dac nu cumva ai o bisectoare interioar a ta exact att de lung ca o latur a ta.

- Dup vorbire se cunoate c venii de pe coclauri unde lucrurile nu sunt fcute din linii drepte bine limitate. ntrebi de lucruri la care nu gndete nimeni fiindc nu sunt de nici un folos. Dar, pn cercetez pentru rspuns, fii bun mi crcnatule i spune-mi dac aa se obinuiete pe la voi: s-i ponegreti colegii cu vorbe necuviincioase?

- Nu e necuviin prea-limitatule. Eu, , m exprim frumos n grade, de aceea sunt purttor de cuvnt; nu cunoate fracii ordinare ci doar zecimale i se blbie grozav cnd ncearc s spun cte grade are; nc nu tie dac este msurabil n grade. Dar bag seam c ntrzii cu rspunsul la ntrebarea mea; o fi capul tu mai mult ascuit dect ncptor?

- Bine, mi vorbreule. Am cercetat i rspund precis: am exact dou bisectoare interioare exact aa de lungi ca laturile mele egale.

- Am neles. Te rog s m ieri c i-am zis epos; neleg c eti turtit. Mie personal nu mi eti de folos, dar iat c pentru eti bun de stpn. Dac bisectoarele tale egale erau ct latura ta scurt, te recunoteam eu de stpn. Dac o singur bisectoare a ta era ct latura ta scurt, te-ar fi slujit cu credin.

a) Exprimai cu fracii ordinare gradele lui i .

b) Exprimai cu fracii zecimale numrul de grade, minute i secunde ale lui .

c) Argumentai c triunghiurile isoscele care convin lui , respectiv , sunt epoase respectiv turtite.

d) Desenai un triunghi isoscel cu unghiul de la vrf . Este el epos sau turtit?Prof. Dan BrnzeiClasa a VIII-a

1. ntr-o clas sunt 20 de elevi. De ,,Sf. Valentin, fiecare fat ofer fiecrui biat trei flori i fiecrei fete o floare, iar fiecare biat ofer cte trei flori fiecrei fete i cte o floare fiecrui biat.

a) Artai c numrul maxim de flori oferite este 780.

b) Cte fete ar trebui s fie n clas, astfel nct s fie oferite exact 780 de flori?

2. Pe fiecare fa a unui cub este scris cte un numr natural nenul, iar fiecrui vrf i corespunde produsul numerelor de pe cele trei fee adiacente acestuia. Dac suma numerelor corespunztoare tuturor vrfurilor cubului este 2006, artai c exist cel puin dou fee pe care este scris acelai numr.

3. Fie paralelipipedul dreptunghic ABCDMNPQ i punctele E((BN), F((DQ) astfel nct suma AE+AF+PE+PF este minim. Artai c EF ( AP daca si numai daca ABCDMNPQ este prisma regulat.

BAREME Clasa a IV-a

I. 1. Numrul de sticle repartizate fiecrei persoane:

24 : 3 =8

3 p.

2. Cantitatea de suc ce revine fiecrei persoane:

5 x 2 +11=21 jumti

21 jumti :3=7 jumti (3 pri ntregi + 1 jum.) 5p.

3. Soluie posibil:

I copil

II copil

III copil

3 sticle pline

1 sticl plin 1 sticl plin

1 jumtate

5 jumti 5 jumti

4 sticle goale

2 goale 2 goale

5 p.

Din oficiu:

2 p.

TOTAL :

15P

II. 1. Descoperirea relaiei dintre cifrele numerelor:

abcd a + b = cxd

10 p.

2. Descoperirea intrusului pe baza relaiei 3 p

( Descoperirea intrusului fr precizarea relaiei dintre cifre conduce la pierderea celor 10 p.)

Din oficiu:

2 p.

TOTAL :

15PIII. Notm copiii cu A, B, C i greutatea fiecrui copil ,respectiv cu a, b, c.

1. Se urc pe cntar cei trei copii mpreun i rezult greutatea lor total. 7 p.

2. Urc A i B i se afl a + b, apoi se calculeaz greutatea lui C

2 p.

3 Se urc B iC i se afl greutatea lui A 2 p

4. Se urc A i C i se afl greutatea lui B

2 p

Din oficiu:

2 p.

TOTAL :

15P Observaie: Oricare alte soluii corecte se noteaz cu punctaj maxim.

Clasa a V-a

1.Teorema mpririi cu rest ..2p

ab = 4(a + b) + 12 ...2p

10a + b = 4a + 4b + 12 1p

6a = 3b + 12 1p

2a = b + 4 1p

b par

b = 2, a = 3 fals

b = 4, a = 4 fals

b = 6, a = 5 fals 4p

b = 8, a = 6 ( vrsta poate fi 68 ani sau 86 ani .2p

Oficiu 2p

Total .15p

2.a) e + h = 2 ( e = h = 1 .3p

b) b ( d = 3 2p

(b, d) ( {(1, 3); (3, 1); (7, 9); (9, 7)} ...2p

(b, d) = (1, 3) ( fals 1p

(b, d) = (3, 1) ( fals 1p

c) (b, d) = (9, 7) ( fals 1p

(b, d) = (7, 9) convine ..3p

Oficiu 2p

Total 15p

3.a) 2 + 3 + +13 = 90 .2p

SB = SC = 45 .2p

Putem alege B = {9, 11, 12, 13} (sau altfel) ...2p

b) 11(M, dar 11(N 3p

c) X = {6, 12}, y = A \ X 4p

Oficiu 2p

Total 15p

Barem de corectare pentru clasa a VI-a

1. Fie a, b, c numerele din problem 1p

{a, b, c} = {a+b+c; a(b(c; ab+bc+ca} ...3p

a = a(b(c ( a = 0 sau b(c = 1 3p

a = 0 ( a(b(c = 0 ..2p

b(c = 1 ( Nu convine ...2p

Finalizare a(b(c = 0 2p

Oficiu 2p

Total 15p

2. 12 = 22 ( 3 ..3p

Dup un minut suma exponenilor i schimb paritatea ..2p

Dup 2 minute paritatea sumei exponenilor revine la paritatea iniial ...2p

Dup 60 minute paritatea sumei exponenilor este aceeai cu cea iniial .2p

12 = 22 ( 3 are suma exponenilor 3

54 = 2 ( 33 are suma exponenilor 4 3p

Concluzia 1p

Oficiu 2p

Total 15p

3. Figura ..3p

m(xOy) ( 900 ..2p

900 ( u ( p(u ...2p

900 ( u ( (p 1) ( p 1 ( D90 ...2p

p ( 2 2p

p( {3, 7, 11, 19, 31} 2p

Oficiu 2p

Total 15p

Clasa a VII-a

SUBIECTUL 1

a9 s(a) 9 s(s(a)) 9 s(s(s(a))) 9 2 p

a are 2007 cifre a

EMBED Equation.3 s(a) 2007 = 18063 .2 p

Deci s(a) are cel mult 5 cifre ...3 p

s(a) 99999 s(s(a)) = 45 ..3 p

s(s(s(a))) = 9 .3 p

Oficiu ..

2 p

15 p

SUBIECTUL 2

a) Suma centrelor = S = 3p

S = = 2n+7 2 p

b) Centrul = = n+

EMBED Equation.3 (a+b+c+d) 4 2 p

Scrierea fetelor - 18 posibilitati .3 p

c) Fie C1, C2, C3 centrele numere intregi si D1, D2, D3 centrele fetelor opuse;

C1 + D1 = C2 + D2 = C3 + D3 = 2n+7Z

C1, C2, C3 Z

D1, D2, D3 Z 3 p

Oficiu ..

2 p

15 p

SUBIECTUL 3

este intr-un triunghi tepos, triunghiul tepos are 2 bisectoare interioare egale cu latura scurta

este intr-un triunghi turtit, triunghiul turtit are 2 bisectoare interioare egale cu laturile egale3 p

Fie x = m(unghiului de la baza) :2, 2x=x+ .

1 p

5x=1800 , x=360 .1 p

Fie y = m(unghiului de la baza) :2, =3y 1 p

7y=1800, y= 1 p

5400: 7 = 770 08 34,(285714) ..3 p

in triunghiul cu latura egala >bisectoarea latura egala > baza triunghi tepos 1 p

in triunghiul cu bisectoarea < baza latura egala < baza triunghi turtit 1 p

bisectoarea nu poate fie gala cu una din laturile egale baza este latura scurta

este in triunghi tepos ...1 p

Oficiu ..

2 p

15 p

Clasa a VIII-a

1. a) Noteaz f = numrul de fete, b = numrul de biei i f + b = 20 ..2p

1 fat ofer 3b + f 1 flori

2p

1 biat ofer 3f + b 1 flori

Numrul de flori este n = f (3b + f 1) + b (3f + b 1) = f2 + b2 + 6fb f b4p

n = 780 4 (f 10)2 ( 780 ...3p

b) Numrul maxim se obine pentru f = 10 ..2p

Oficiu 2p

Total .15p

2.

Q P

M N

D C

Noteaz x, y, z, u, t, v numerele de pe feele:

ABCD, MNPQ, ABNM, CDQP, BCPN i, A B

respectiv, ADQM .1p

Numerele corespunztoare vrfurilor sunt: A ( xzv, B ( xtz, C ( xtu, D ( xuv,

M ( yzv, N ( yzt, P ( yut, Q ( yuv ...3p

xzv + xtz + xtu + xuv + yzv + yzt + yut + yuv = 2006 2p

(x +y)((z +u)((t + v) = 2006 .4p

2006 = 2(17(59 .1p

Oricare din cele 3 paranteze este ( 2 1p

Exist o parantez = 2 ( x = y = 1 (sau alte 2 numere) ..1p

Oficiu 2p

Total .15p

3.

Q P

F

M N

O

D C

E

A B

M1 Q P N M2

Desfurare ..4p

E

F

A1 D C B A2Din desfurare ( EB = FQ. n paralelipiped avem BEQF paralelogram ( AEPF paralelogram 6p

EF(AP ( AEPF romb ( AF = PF ( AD = QP ( ABCD ptrat 3p

Oficiu 2p

Total.15p

_1201722418.unknown

_1201725534.unknown

_1201725668.unknown

_1201750044.unknown

_1201750158.unknown

_1201751182.unknown

_1201725600.unknown

_1201725640.unknown

_1201725132.unknown

_1201725360.unknown

_1201722632.unknown

_1201721965.unknown

_1201722288.unknown

_1201722238.unknown

_1201722270.unknown

_1201722103.unknown

_1201721836.unknown