1

1

DETERMINAREA LUNGIMII DE UNDA A UNEI RADIATII LUMINOASE CU RETEAUA DE DIFRACTIE

1. Scopul lucrarii Scopul teoretic al acestei lucrari de laborator este acela de a studia fenomenul

de difractie Fraunhofer , fenomen care se manifesta la trecerea unui fascicul paralel de lumina printr-o retea unidimensionala plana.

Scopul practic al acestei lucrari este acela de a stabili valoarea explicita a lungimilor de unda pentru principalele componente spectrale (linii spectrale) ale radiatiei luminoase utilizate n desfasurarea acestui experiment.

2. Teoria lucrarii . 2.1. Notiuni generale despre difractie. Intelesul general al termenului de difractie a undelor circumscrie ntreaga

varietate a fenomenelor ce au loc atunci cnd undele ntlnesc - n propagarea lor - neomogenitati ale mediului. Prin urmare difractia desemneaza nu numai particularitati ale propagarii undelor n dreptul fantelor, orificiilor, ecranelor sau n prezenta altor obstacole (difractie n sens restrns) ci si totalitatea fenomenelor de reflexie , refractie sau difuzie ( sensul general al acestei notiuni).

Propagarea undelor n medii neomogene prezinta particularitati determinate de faptul ca neomogenitatile provoaca ntreruperea partiala sau deformarea suprafetelor de unda, ceea ce poate avea drept consecinta abaterea de la propagarea rectilinie. Din acest motiv, putem defini difractia drept fenomen care consta n modificarea directiei de propagare a undei - atunci cnd aceasta ntlneste o neomogenitate (de exemplu : un obstacol) - nsotita (eventual, nu obligatoriu ) de o redistribuire spatiala a intensitatii acesteia ,[1].

Explicarea fenomenului se poate face cu ajutorul principiului Huygens-Fresnel.

Principiul lui Huygens are - el nsusi - un caracter mai mult calitativ. El afirma ca sursa primara

(vezi Figura 1) poate fi nlocuita printr-o distributie continua , pe suprafata , de surse secundare punctuale convenabil alese, astfel nct n punctul M functia de unda produsa prin suprapunerea tuturor undelor secundare sa se identifice cu cea produsa de unda primara.

Formularea originala a acestui principiu impunea conditia ca suprafata nfasuratoare a suprafetelor undelor secundare sferice sa fie

Figura 1

rr rr p

M

Sp = sursa primara Suprafata

Elementul de arie dA

2

2

o suprafata de unda a undei primare, aceasta cerinta fiind - asa cum se vede - de natura geometrica.

Principala deficienta a aplicarii stricte a acestui principiu rezida n absenta oricaror informatii referitoare la intensitatile si fazele undelor secundare, termenul de surse punctiforme secundare convenabil alese nefiind, n aceasta privinta, ctusi de putin explicit.

Un procedeu mai perfectionat de stabilire a caracteristicilor surselor secundare a fost formulat de catre Fresnel , sub forma unui postulat care-i poarta numele. Astfel, postulatul lui Fresnel afirma : amplitudinea si faza fiecarei surse secundare sunt egale, n fiecare punct al suprafetei auxiliare , cu amplitudinea si faza produse n acel punct de catre unda primara.

Principiul Huygens-Fresnel (care reprezinta o completare si o dezvoltare a principiului lui Huygens, prin asimilarea postulatului lui Fresnel) admite ca undele secundare sunt coerente si au amplitudini care pot fi calculate, functie de conditiile date (geometria problemei). Prin aceasta devine posibil calculul interferentei produse prin suprapunerea undelor secundare, iar suprafata de unda nfasuratoare rezulta automat n urma acestei suprapuneri.

Atunci cnd fasciculul difractat este intersectat cu un ecran se obtine, ca urmare a difractiei, o figura de difractie al carui aspect depinde n mod esential de caracteristicile neomogenitatii1 . Att experimental ct si teoretic se constata ca fenomenul este observat fara dificultate atta timp ct dimensiunea neomogenitatii care ntrerupe suprafata de unda are acelasi ordin de marime cu lungimea de unda a radiatiei difractate, [2].

Principiul Huygens-Fresnel nu da rezultate corecte pentru faza undei rezultante, dar permite calcularea amplitudinii si implicit stabilirea figurii de difractie, [1].

Atunci cnd sursa luminoasa punctiforma este apropiata de obstacol, difractia corespunzatoare a luminii poarta numele de difractie Fresnel. Acest tip de difractie presupune un fascicul luminos divergent (modelul undei sferice) care - n urma interactiei cu obstacolul - conduce la aparitia de franje vizibile direct pe un ecran, fara a fi necesara utilizarea vreunui sistem optic special.

Fenomenul de difractie ce apare atunci cnd sursa de lumina este foarte ndepartata de obstacol, astfel nct razele luminoase sunt - practic - paralele, se numeste difractie Fraunhofer (n lumina paralela sau a undelor plane).

Acest din urma tip de difractie poate fi obtinut si cu ajutorul unei surse punctiforme apropiate de obstacol, dar care este plasata n focarul unui sistem optic convergent.

1 Dungile luminoase si ntunecoase obtinute ca urmare a fenomenelor de difractie a luminii poarta numele

de franje de difractie. Franjele produse de deschideri circulare sunt cercuri concentrice, iar cele produse de fante

dreptunghiulare sunt segmente rectilinii, paralele. Luminozitatea franjelor luminoase scade de la franja centrala spre

marginea cmpului de difractie.

3

3

2.2. Difractia Fraunhofer printr-o fanta. Se considera o fanta, adica o deschidere dreptunghiulara a carei lungime L

este considerata practic infinita n raport cu largimea a (vezi Figura 2). Asupra fantei cade o unda plana a carei directie de propagare este situata

ntr-un plan normal pe fanta si paralel cu latura a, care face un unghi nul cu normala la fanta.

Unda va suferi difractia sub toate unghiurile formate n raport cu normala la

fanta, cuprinse ntre 2 2

.

Expresia undei rezultante provenita de la ntreaga fanta se obtine nsumnd (integrnd) contributia tuturor surselor secundare , aflate n planul fantei. Aceasta este , [3] :

= = const e dx const e

jkej kx ta

j tjka( sin ) sin

sin( )

0 1 (1)

unde este expresia matematica a undei armonice plane rezultante, k este modulul vectorului de unda iar este frecventa unghiulara.

Intruct intensitatea undei difractate se calculeaza, prin definitie, prin nmultirea lui * cu , calculele conduc la urmatorul rezultat :

I * = (const)sin

(2)

22

0

=

= = = = =

ka

ka

ka notatie

I I

unde I I I

sin

sin

sin

sin

( ) ( )

2

2

2

0 0

20

2

2

Curba I = I() este aratata n Figura 3.

Figura 2

a

x

x sin

x

a

L >>

4

4

Se constata ca intensitatea undei difractate prezinta minime (nule) ori de cte ori este ndeplinita conditia sin = 0 (cu 0) , adica atunci cnd este ndeplinita conditia = m (m = 1, 2, 3...) sau : asin = m (3) .

Pentru a stabili celelalte valorile maxime ale lui I() (n afara de maximul principal corespunzator conditiei = 0 ) trebuie impusa conditia matematica : d

dI

0

2

2 0sin

= ale carei solutii sunt radacinile ecuatiei transcendente tg = ,

anume : =0 ; 1,43 , 2,46 , etc. Trecnd la variabila independenta rezulta, pentru conditia de maxim,

expresia : asin=n , cu n = 0 ; 1,43 ; 2,46 ...... (4)

Figura 3. Din ecuatia (3)

rezulta ca primul minim apare atunci cnd este ndeplinita conditia :

= arcsina

Prin urmare, atunci cnd a>> , este foarte mic (neglijabil) si - n consecinta - figura de difractie se reduce la imaginea fantei. Atunci cnd a are acelasi ordin de marime cu , figura de difractie se etaleaza din ce n ce mai mult,

maximul principal devenind din ce n ce mai putin ascutit (deoarece aria cuprinsa sub curba trebuie sa-si pastreze valoarea constanta, egala cu intensitatea undei incidente pe retea.

Cnd a = se observa ca = /2 , adica maximul central se extinde n tot cmpul.

Cazul n care a 1 nu exista) si prin urmare efectul corespunzator consta n faptul ca nu se mai obtine difractie.

Important. Asa cum s-a mai afirmat deja, efectele de difractie trebuie luate n calcul si avute n vedere numai atunci cnd dimensiunea fantei este comparabila cu lungimea de unda , pna la aproximativ doua ordine de marime.

-3 -2 - 0 2 3

I ()

5

5

Atunci cnd unda difractata nu este monocromatica, fiecare componenta spectrala si formeaza maximele si minimele proprii. Figura de difractie observata apare ca o suprapunere de figuri de difractie monocromatice, cu un maxim central comun si cu pozitii diferite (dependente de lungimile de unda corespunzatoare) ale maximelor si minimelor secundare. Primul minim ntlnit (plecnd de la maximul central) va apartine lungimii de unda minime2 .

2.3. Difractia Fraunhofer produsa de o retea optica plana

unidimensionala O retea unidimensionala consta dintr-un ansamblul de N fante

dreptunghiulare identice, distribuite regulat (echidistant) dupa o directie (vezi Figura 4) . Una dintre laturile fantei este foarte mare (astfel nct nu contribuie la fenomenul de difractie) iar cealalta latura are dimensiunea a. Notnd cu b distanta dintre doua fante succesive, marimea d=a+b constituie o caracteristica a retelei (ea se si numeste, de fapt, constanta retelei). Ordinul de marime al acestei constante este, de regula (10-3 10-2 ) mm.

Daca pe o astfel de retea optica cade o unda plana, la incidenta normala, figura de difractie obtinuta n planul focal al unei lentile prezinta un aspect particular, fiind rezultatul a doua procese paralele, simultane :

- un fenomen de difractie, care se produce independent pe fiecare fanta (si care este guvernat de toate observatiile si relatiile semnalate deja n paragraful precedent);

- un proces de interferenta multipla, datorat suprapunerii a N unde coerente (adica a undelor difractate de cele N fante ale retelei).

Calculul intensitatii n functie de unghiul de observatie - n cazul retelelor plane - este similar celui efectuat pentru o singura fanta, cu singura deosebire ca, de aceasta data, integrala (1) trebuie extinsa asupra ntregului sistem de fante :

2 1 1 2 2 2 2= = < >a

x

a b

d=a+b

b

a

Figura 4

a < b ; a

x

6

6

= +=

const e dxj kx tndnd an

N( sin )

0

1

(5)

Daca se introduc notatiile :

ka

kd

sin

sin

2

2

=

=

se poate calcula intensitatea

undei rezultante : I IN = * sin sin

sin02

2

2

2

(6)

Din relatia (6) rezulta faptul ca unda difractata de o retea plana poate fi privita

ca o unda de intensitate I N02

2sinsin

, modulata de factorul

s i n 22

.

Aspectul functiei exprimate de factorul s in 2

2

a fost deja studiat (el corespunde cazului precedent , n care am studiat difractia pe o singura fanta). Aceasta functie variaza cu unghiul mult mai lent dect cea care exprima dependenta de tipul I

N0

2

2sinsin

.

Functia sinsin

2

2N [unde = kd (sin ) / 2 ] exprima distributia intensitatii

luminii ca rezultat al interferentei multiple a undelor provenite prin difractie de la toate cele N fante ale retelei. Ea prezinta maxime atunci cnd :

=

=

= n , deoarece limn

; maximele corespunzatoare

se numesc maxime principale (7.a)

dd

cu n N tg = tgN , conditie pentru care

se gasesc maxime secundare (7.b)

sinsin

sinsin

2

22

2

2 0

NN

N

Maximele secundare au valori mult mai mici dect maximele principale. Pentru valori mari ale lui N maximele secundare sunt practic imperceptibile, n

timp ce maximele principale au intensitatea data de expresia I I N= 0 22

2sin .

Deoarece experimentul de laborator se desfasoara utilizndu-se o retea cu numar foarte mare de fante (de regula N = 103) , singurele maxime care vor conta (vor putea fi vizualizate) sunt maxime principale, pentru care - prin urmare - este ndeplinita conditia :

7

7

= = n n kdsin2

, adica n = d sin (cu n N) (8)

Minimele apar atunci cnd este ndeplinita conditia : = mN cu m N . Observatie. Deoarece - asa cum se poate urmari si n Figura 5 - intensitatea

relativa a doua maxime de difractie succesive ale functiei modulatoare scade foarte repede, n realitate se observa numai maximele principale de interferenta din interiorul maximului principal de difractie, corespunzator intervalului (-,+). Pozitia acestor maxime principale este data de relatia (8).

Experimental se masoara unghiul n la care se gasesc maximele principale corespunzatoare diferitelor ordine (valori) ale lui n (n = 1 , 2 , 3 ...).

Lungimea de unda se determina cu relatia (8) : = d nnsin

Maxime principale

Anvelopa data de factorul

de modulare sin2() /2

Maxime secundare

I()

0 2 3 ......n

0 2

0 2 3

8

8

Observatie importanta. Reamintim ca atunci cnd se lucreaza cu radiatie luminoasa avnd mai multe componente spectrale, succesiunea maximelor acestora va arata ca n Figura 6 , respectndu-se ordinea indicata n cazul unei singure fante. Maximul central , pentru care n = 0, reprezinta locul unde se suprapun toate maximele tuturor componentelor din spectru, rezultanta fiind o linie alba .

3. Descrierea dispozitivului experimental Dispozitivul experimental este un goniometru prevazut cu un colimator C si o

luneta L. In centrul goniometrului, pe o masuta rotunda, se gaseste fixata reteaua de difractie R (Figura 6).

Sursa de lumina este o lampa cu vapori de mercur care - asa cum se stie - reprezinta o sursa de radiatie cu spectru discret (vezi lucrarea Spectroscop).

Lumina intra n colimator printr-o fanta F de forma dreptunghiulara, verticala, paralela cu micile fante ale retelei. Observatia se face n planul focal al lentilei ocular a lunetei, unde maximele principale de interferenta apar ca niste linii luminoase ( imagini ale fantei F). Intensitatea maximelor secundare situate ntre cele principale este asa de mica, nct practic nu se observa.

4. Modul de lucru Se alimenteaza lampa cu vapori de mercur si se asteapta cteva minute pentru

a se asigura ncalzirea acesteia (lucrul n regim de functionare normal). Se verifica - ntre timp - daca reteaua de difractie este asezata perpendicular

pe directia fasciculului luminos care iese din colimator. Se fac observatii calitative cu luneta (aliniata pe directia fasciculului luminos),

reglndu-se fanta (de pe colimator) astfel nct maximele observate sa fie ct mai nguste si sa aiba o pozitie verticala , paralela cu pozitia pe care o are firul reticular cu care este prevazuta luneta (un fir negru, care se observa usor n cmpul vizual, mai ales daca imaginea acestuia este suprapusa pe un fond luminos, eventual pe o franja de difractie). Claritatea imaginii observate se asigura deplasndu-se ocularul lunetei L.

Figura 6

9

9

Deoarece sursa luminoasa folosita (lampa cu vapori de mercur) emite mai multe radiatii monocromatice, maximul cel mai intens, de ordinul 0, este de culoare alba ; maximele de ordin superior (n = 1 , 2 , 3..) - pentru fiecare culoare - sunt dispuse simetric fata de cel de ordinul zero.

Estimarile cantitative care sunt urmarite n cadrul acestei lucrari experimentale constau n masurari de unghiuri. Maniera si precizia de citire a unghiurilor pe vernierul V al cercului gradat al goniometrului va fi explicata de catre cadrul didactic.

Masurarea unghiului n consta ntr-o succesiune de operatii de citire a pozitiilor la care se afla un anumit maxim, n stnga si n dreapta maximului de ordinul zero. Astfel, se roteste luneta la dreapta maximului central si se aseaza firul sau reticular pe centrul liniei a n-a (fata de maximul central) de o anumita culoare (si deci avnd o anumita lungime de unda ) ; se citeste unghiul corespunzator de pe discul goniometrului, unghi care se noteaza cu nd . Se deplaseaza apoi luneta la stnga maximului central si se aseaza firul reticular pe centrul liniei simetrice , care reprezinta maximul de acelasi ordin n al aceleiasi lungimi de unda ; valoarea citita a unghiului corespunzator se noteaza cu ns t . Diferenta nd ns t reprezinta dublul unghiului n . Rezultatele se trec n urmatorul tabel (Tabelul 1).

5. Prelucrarea datelor experimentale Deoarece sursa este o lampa cu vapori de mercur, se vor face citiri pentru

diferite linii spectrale (n fapt trei dintre acestea, mai usor de vizualizat) care au ordinul n = 1 , 2 si 3.

Tabelul 1.

n Linie spectrala

(culoare)

nd ns t n nd

nst

= 2

sinn n (nm)

Violet 1 Verde Portocaliu Violet 2 Verde Portocaliu Violet 3 Verde Portocaliu

Observatie : A nu se uita ca unghiurile se citesc n grade, minute si secunde. Adunarile, scaderile, mpartirile acestor unghiuri sunt guvernate de regulile nvatate n cursul primar . (Este interzis a se folosi scrierea zecimala !)

10

10

Pentru a calcula valorile lui n (cu ajutorul relatiei (8) ) se indica - pentru constanta retelei - valoarea d = 150 mm .

Intruct citirea unghiurilor de catre fiecare membru al subgrupei este o operatie care poate introduce erori , experimentul necesita si o etapa de estimare a acestora. In acest scop, fiecare dintre membrii subgrupei va alege - n cea de-a doua etapa a experimentului - o anume linie spectrala, corespunzatoare ordinului 2 de difractie, linie spectrala pentru care va face 10 citiri de unghiuri. Astfel, fiecare student va completa Tabelul 2 (tabel cu valori personale, de aceasta data !).

Tabelul 2 n = 2 Linie spectrala (culoare) _____________ i ( )2d i ( ) 2st i

( )( ) ( ) 2 2 22i

di

sti=

(sin2)i i (nm)

(nm)

(nm)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

6. Intrebari 6.1. Ce se ntelege prin difractie si ce principiu sta la baza ntelegerii

fenomenului de difractie ? 6.2. Exista vreo legatura ntre fenomenul de difractie si cel de interferenta ? 6.3. Constanta retelei , d , este de ordinul de marime al sutimii de mm. Nu se

pot utiliza si retele (mai usor de confectionat) , a caror constanta sa fie de ordinul milimetrului ?

6.4. Prin ce difera difractia Fraunhofer (aplicata n acest caz) de difractia Fresnel (ntlnita si studiata n cadrul experimentului care-i poarta numele ) ?

7. Bibliografie [1] Anghelescu D., Preda Alex., Moisil, D., Mller L., Fizica pentru

studentii facultatilor cu profil chimic , Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti , 1986

[2] Anghelescu D., Moisil D., Datcu Vl., Lectii de fizica (pentru uz intern) , Ed. Universitatii Politehnica , Bucuresti, 1976

[3] Moisil C.G., Fizica pentru ingineri. Vol. I , Editura Tehnica, Bucuresti, 1967

[4] Colectivul Catedrei de Fizica, Lucrari practice de fizica. Indrumar de laborator. Volumul I , Editura Universitatii Politehnica , Bucuresti, 1981