U N I V E R S I T A T E A P O L I T E H N I C A T I M I Ş O A R A

F A C U L T A T E A D E A R H I T E C T U R Ă

AANTIPRISMENTIPRISME ŞIŞI

SECŢIUNISECŢIUNI PLANEPLANE ÎNÎN POLIEDREPOLIEDRE

PRUNICI ION

ARH AN I

TIMIŞOARA 2009

AANTIPRISMENTIPRISME

Antiprismele sunt o subclasă a prismelor. Diferenţa între o prismă şi o antiprismă e că la antiprisme bazele sunt un pic rotite una faţă de alta şi feţele laterale sunt triunghiuri, nu patrulatere cum sunt la prisme.

DDEFINIŢIEEFINIŢIE::n-antiprisma regulată este un poliedru semiregulat, definit de două poligoane

regulate cu n laturi şi 2n triunghiuri echilaterale

ObservaţieObservaţie::Cele două baze ale antiprismei sunt situate în plane paralele astfel încât dacă

fixăm o bază, cealaltă se obţine din aceasta printr-o rotaţie π/n. Fiecare vârf al bazei se uneşte cu două vârfuri alăturate celeilalte baze.

Coordonatele carteziene:Coordonatele carteziene:Coordonatele carteziene ale vârfurilor unei n-antiprisme drepte, cu feţe lateraleCoordonatele carteziene ale vârfurilor unei n-antiprisme drepte, cu feţe laterale

triunghiuri isoscele este:triunghiuri isoscele este:

,

unde k ia valori de la 0 la 2n-1.Dacă feţele laterale sunt triunghiuri echilaterale, atunci

FormuleFormule de calcul: de calcul:

ntgah 223

2

1 π−×=

+×=

ntg

naA

π

13

22

ntg

nhV

2

3

6 π

×=

nn

c tgtg

ar 2

2

2

514

ππ

×+×=

nn

i tgtg

ar 2

2

2

14

ππ

+×=

Unde :h – înălţimea an tiprismei,a – latura antiprismein – numărul de laturiA – aria totalăV – volumul antiprismeirc – raza sferei circumscrise antiprismeiri – raza sferei înscris în prismăAntiprisme:Antiprisme:

1. Triunghiulară n=32. Pătratică n=4

3. Pentagonală n=54. Hexagonală n=6

5. etc.

AANTIPRISMANTIPRISMA TRIUNGHIULARĂTRIUNGHIULARĂ

- are şase vârfuri, 12 muchii, două baze triunghiuri echilaterale şi 6 feţe laterale.- se mai numeşte octaedru, deoarece au aceleaşi

caracteristici (nr. de vîrfuri, de feţe, de muchii, forma feţelor)

- formulele de calcul caracteristice sunt:h=4/3×aA= 2×31/2×a2

V=21/2×3×a3

- în natură această formă se întâlneşte la cristalul de alaun cu crom (KCr(SO4)2×12H2O)

- în arhitectură nu se prea foloseşte această formă, putând fi eventual o parte din structura de susţinere, în deosebi în structura stîlpilor unor hale industriale sau săli de expoziţie, spaţii cu săli mari.

ANTIPRISMAANTIPRISMA PĂTRATICĂPĂTRATICĂ

În geometrie antiprisma pătratică este al doilea corp din infinitatea de corpuri antiprismatice.

Când opt puncte sunt distribuite pe suprafaţa unei sfere cu scopul de a maximaliza distanţa între ele în oarecare măsură, atunci forma rezultată mai bine corespunde unei antiprisme pătratice decât unui cub.

- este un poliedru prismatic uniform- are 8 feţe laterale triunghiuri echilaterale şi două baze

pătrate, 16 muchii şi 8 vârfuri- în arhitectură s-au realizat clădiri care au o aşa formă –

cum ar fi Freedom Tower. Forma este de o antiprismă pătratică, numai că baza de sus şi baza de jos nu au pătrate de aceleaşi dimensiuni. Şi totuşi nu am putea spune că are forma unei antiprisme neregulate. Feţele laterale reprezintă nişte triunghiuri isoscele.

- în sculptură de asemenea reprezintă o formă care creează compoziţii interesante şi captivante. Ca exemplu poate servi monumentul din faţa unui hotel din Sevillia.

ANTIPRISMAANTIPRISMA PENTAGONALĂPENTAGONALĂ

ANTIPRISMAANTIPRISMA HEXAGONALĂHEXAGONALĂ

În aceste antiprisme s-ar putea de efectuat diferite tăieturi şi îmbinări care să creeze noi corpuri interesante folosite în sculptură în special. Ele sunt mai puţin funcţionale pentru arhitectură, deoarece formează unele colţuri care nu ar fi tocmai potrivite pentru a le întrebuinţa pentru o mobilare sau transformarea în un element de mobilier. Am sa încerc în continuare să prezint nişte corpuri formate din antiprisme:

Antiprsma pătratică:- dacă am tăia antiprisma prin

muchiile feţelor laterale pînă în centru, şi am translata bucăţile obţinute, lipindu-le faţă pe faţă:

- dacă ar fi luăm una din jumătăţi ar fi potrivite pentru un element de susţinere a unei case care stă în consolă sau pentru o casă pe care arhitectul o vede a fi ridicată de la nivelul solului.

- din aceste două jumătăţi dacă am tăia iarăşi în jumate şi piramidele obţinute le-am roti cu cîe 2700 pînă

se lipesc feţele verticale, am obţine în total 4 tetraedre cu muchii laterale a şi

muchiile bazei 2

2a .

- Prin rotaţii de la 0 la 2π, prin separări de acest gen, lipiri şi diferite rotaţii am putea obţine diferite forme bizare, şi totuşi interesante.

SSECŢIUNIECŢIUNI PLANEPLANE ÎNÎN POLIEDREPOLIEDRE

Secţionând un poliedru convex cu un plan dat prin punctele M, N şi P se obţine un poligon convex. Punctele M, N şi P pot fi situate pe muchiile poliedrului sau pe feţele acestuia. Pentru construcţia secţiunii ne folosim de teorema Menelaus.

TTEOREEOREMAMA M MENELAUSENELAUS

Fie un ΔABC şi o dreaptă d care nu trece prin A, B sau C. Dacă d intersectează AB, BC şi CA în

R, T şi S, atunci 1=××SA

CS

TC

BT

RB

AR.

În problemele de construcţie a secţiunii rezultate, ca şi în problemele de construcţie cu rigla şi compasul, pentru a justifica construcţia se foloseşte reciproca teoremei Menelaus:

RRECIPROCAECIPROCA TEOREMEITEOREMEI::Dacă R aparţine lui AB, T aparţine lui BC şi S aparţine lui AC şi dacă R,S şi T

sunt situate două pe laturi şi unul pe prelungirea laturii sau toate trei pe prelungirile

laturilor şi dacă 1=××SA

CS

TC

BT

RB

AR, atunci punctele R, S şi T sunt coliniare.

Exemplu de costrucţie a secţiunii într-o prismă triunghiulară:

O altă problemă pe care o impune exerciţiile de construcţie a secţiunii este determinarea raportului în care un vârf al poligonului de secţiune împarte muchia poligonului, cunoscând poziţiile exacte ale lui M, N şi P, raportul in care imparte inălţimea poliedrului secţionat, natura figurii obţinute la secţionare, aria figurii, volumele corpurilor obţinute după secţionare.

În urma secţionării poliedrelor se pot obţine figuri de diferite naturi. Spre exemplu la o piramidă cu baza triunghi secţiunea poate fi un triunghi sau un patrulater. Cazul cînd secţiunea dă un triunghi este atunci cînd punctele M, N şi P se află pe muchiile laterale ale piramidei (fig. 1). Dacă am avea unul din aceste trei puncte pe o latură a bazei, atunci am obţine un patrulater (fig. 2).

Fig. 1 Fig. 2

În fig. 1 dacă bază ar fi un triunghi echilateral, şi dacă cele trei puncte se află la distanţe egale de vîrf, atunci figura din secţiune este un triunghi asemenea cu cel din bază. Pentru fig. 2 dacă MQ este linie mijlocie în triunghiul acărui plan aparţine şi NP este linie mijlocie în triunghiul din planul din care se află segmentul, atunci pentru un

tetraedru regulat secţiunea va fi un pătrat, iar pentru unul oarecare va fi un dreptunghi sau trapez sau un oricare alt patrulater neregulat.

Secţiunile într-un cub de asemenea diferă. Pot fi: triunghi, patrulater, pentagon sau hexagon.

Dacă cele trei puncte se află pe trei laturi ce se unesc într-un vîrf, atunci se obţine un triunghi în secţiune. Dacă ele ar fi egal depărtate de vîrf, atunci triunghiul de secţiune va fi echilateral. Pentru celelalte cazuri nu este o regulă bine definită pentru a obţine tipurile de secţiuni căutate. Sunt 8 laturi ale cubului şi trei puncte deja definite care prin îmbinări diferite ar da secţiuni de diferite forme, însă natură menţionată mai sus. Ar fi posibil de căutat raportul în care împarte cele trei puncte muchiile astfel încît să obţinem o figură regulată. Spre exemplu la cub dacă secţiunea este paralelă cu o muchie şi punctele M, N şi P se află la o distanţă de jumate de diagonală a unei feţe a cubului de la muchia la care secţiunea este paralelă, atunci secţiunea va fi un pătrat.

De obicei aceste secţiuni în arhitectură se folosec la realizarea unui concept – se porneşte de la un paralelipiped în care se face o secţiune pe o diagonală sau o oricare altă direcţie de secţiune, apoi o jumate de corp se foloseşte mai departe, iar apoi se mai fac vreo două secţiuni paralele la secţiunea anterioară şi printr-un oarecare ritm unele

bucăţi obţinute se înalţă, altele se coboară. Astfel fiind definit conceptul construcţiei. Iată nişte exemple de case construite pe baza ideii de secţionare a unei forme primare, dar şi adiţionare a altor forme obţinute de asemenea prin secţionare:

1. LetterBox House proiectată de Mcbride Charles Ryan

2. Klein Bottle House proiectată de Mcbride Charles Ryan

3. Cape Schanck House proiectată de Jackson Clements Burrows

4. House on a Slope proiectatî de Dellekamp

Diferite corpuri geometrice obţinute prin secţionare cu un plan se mai folosesc şi pentru diferite jocuri cu ar fi jocurile de puzzele 3D Cubul Lucas sau SuperCub: este un cub alcătuit din 8 piese egale ca volum, însă ca formă diferită. Piesele sunt obţinute prin secţionarea unui cub, detaşarea unei prisme şi alipirea lor în diferite poziţii.

Cubul Lucas:Cubul Lucas:

SuperCub:SuperCub:

Datorită secţiunilor prin corpuri putem obţine o infinitate de corpuri care sa fie folosite în arhitectură, deci cunoaşterea construcţiei secţiunii facilitează o rezolvare formală corectă, cît şi o manevrare cu forme variate.

BBIBLIOGRAFIEIBLIOGRAFIE

1. Cursul de matematică pentru arhitecţi, Cursul numărul 2, Antiprisme şi secţiuni plane în poliedre

2. internet• http://www.mathcurve.com/polyedres/prisme/antiprisme.shtml • http://en.wikipedia.org/wiki/Antiprism • http://fr.wikipedia.org/wiki/Antiprisme • http://mathworld.wolfram.com/Antiprism.html

• http://pagesperso-orange.fr/logoplus/private/prismes%20et %20antiprismes.pdf

• http://demonstrations.wolfram.com/CrossSectionsOfRegularPolyhedra/ • http://www.wolfram.com/products/player/download.cgi • http://www.korthalsaltes.com/es/index.html#Antiprisma • http://www.cit.gu.edu.au/~anthony/graphics/polyhedra/anti_prisms/ • http://www.archdaily.com