2M · m. b) Ar atat˘i c a, dac a A 2M ˘si exist a num arul ^ ntreg k 1 astfel ^ ncat A k 2M, A...
1
Societatea de Științe Matematice din România Olimpiada Nat ¸ional˘ a de Matematic˘ a Etapa Judet ¸ean˘ a¸ si a Municipiului Bucure¸ sti, 10 martie 2018 CLASA a XI-a Varianta 2 Problema 1. Ar˘ atat ¸i c˘ a, dac˘ a n ≥ 2 este un num˘arˆ ıntreg, atunci exist˘ a matricele inversabile A 1 ,A 2 ,...,A n ∈M 2 (R), cu elementele nenule, a¸ sa ˆ ıncˆat A -1 1 + A -1 2 + ... + A -1 n =(A 1 + A 2 + ... + A n ) -1 . Gazeta Matematic˘ a Problema 2. Consider˘ am mult ¸imea M = a b c d ∈M 2 (C) | ab = cd . a) Dat ¸i exemplu de matrice A ∈ M astfel ˆ ıncˆat A 2017 ∈ M ¸ si A 2019 ∈ M , dar A 2018 / ∈ M . b) Ar˘ atat ¸ic˘a,dac˘a A ∈ M ¸ si exist˘ a num˘ arul ˆ ıntreg k ≥ 1 astfel ˆ ıncˆat A k ∈ M , A k+1 ∈ M ¸ si A k+2 ∈ M , atunci A n ∈ M , oricare ar fi num˘ arul ˆ ıntreg n ≥ 1. Problema 3. Fie ¸ sirul (a n ) n≥1 cu propriet˘ at ¸ile a n > 1¸ si a 2 n+1 ≥ a n a n+2 , oricare ar fi n ≥ 1. Ar˘ atat ¸i c˘ a¸ sirul (x n ) n≥1 dat de x n = log an a n+1 pentru n ≥ 1 este convergent ¸ si calculat ¸i-i limita. Problema 4. Fie a<b numere reale ¸ si f :(a, b) → R o funct ¸ie astfel ˆ ıncˆ at funct ¸iile g :(a, b) → R, g(x)=(x - a)f (x)¸ si h :(a, b) → R, h(x)=(x - b)f (x)s˘afiecresc˘atoare. Ar˘ atat ¸ic˘afunct ¸ia f este continu˘ a pe (a, b). Timp de lucru 4 ore. Fiecare problem˘ a este notat˘ a cu 7 puncte.
Transcript of 2M · m. b) Ar atat˘i c a, dac a A 2M ˘si exist a num arul ^ ntreg k 1 astfel ^ ncat A k 2M, A...
Societatea de ȘtiințeMatematice din România
Olimpiada Nationala de MatematicaEtapa Judeteana si a Municipiului Bucuresti, 10 martie 2018
CLASA a XI-a
Varianta 2
Problema 1. Aratati ca, daca n ≥ 2 este un numar ıntreg, atunci exista matriceleinversabile A1, A2, . . . , An ∈M2(R), cu elementele nenule, asa ıncat
A−11 + A−1
2 + . . . + A−1n = (A1 + A2 + . . . + An)−1.
Gazeta Matematica
Problema 2. Consideram multimea
M =
{(a bc d
)∈M2(C) | ab = cd
}.
a) Dati exemplu de matrice A ∈ M astfel ıncat A2017 ∈ M si A2019 ∈ M , dar A2018 /∈M .
b) Aratati ca, daca A ∈ M si exista numarul ıntreg k ≥ 1 astfel ıncat Ak ∈ M ,Ak+1 ∈M si Ak+2 ∈M , atunci An ∈M , oricare ar fi numarul ıntreg n ≥ 1.
Problema 3. Fie sirul (an)n≥1 cu proprietatile an > 1 si a2n+1 ≥ anan+2, oricare ar fin ≥ 1. Aratati ca sirul (xn)n≥1 dat de xn = logan an+1 pentru n ≥ 1 este convergent sicalculati-i limita.
Problema 4. Fie a < b numere reale si f : (a, b) → R o functie astfel ıncat functiileg : (a, b)→ R, g(x) = (x− a)f(x) si h : (a, b)→ R, h(x) = (x− b)f(x) sa fie crescatoare.Aratati ca functia f este continua pe (a, b).
Timp de lucru 4 ore.Fiecare problema este notata cu 7 puncte.
