Tehnici de diagnoză și decizie

Cursul 2

Semnale aleatoare Noţiuni fundamentale

5.1. Definirea semnalelor aleatoare Un semnal aleator este o mărime fizică guvernată, cel puţin parţial, de legi probabilistice.

Atunci când mărimile aleatoare (nedeterministe) sunt asociate cu variabila timp, se obţin funcţiile stochastice. Pentru a modela matematic un semnal aleator (funcţie stochastică), se face apel la noţiunea de proces stochastic, definit după cum urmează (Murgan şi colab., 1995): Definiţia 5.1. Un proces aleator real este o funcţie de doi parametri X(ζ , t) unde ζ aparţine mulţimii valorilor fizic posibile (numit şi spaţiul eşantioanelor sau evenimentelor) iar t ia valori pe axa reală pozitivă şi are semnificaţia de timp. Un proces stochastic complex este:

Z(ζ , t)=X(ζ , t)+jY(ζ , t) (5.1) unde X(ζ , t) şi Y(ζ , t) sunt procese aleatoare reale. Fiecărei valori ζ îi corespunde o funcţie X(ζ , t), numită realizare particulară. Familia de realizări particulare care constituie procesul stochastic poate fi ordonată şi după variabi- la timp, pentru fiecare moment obţinându-se o variabilă aleatoare Xt(ζ). După cum variază cei doi parametri ζ şi t, deosebim cazurile:

ζ şi t variabile: X(ζ , t) este un proces aleator, respectiv o familie de realizări particulare. ζ variabil, t fix: X(ζ , t)=Xt(ζ) este o variabilă aleatoare. ζ fix, t variabil: X(ζ , t)=Xζ (t) este o realizare particulară. ζ şi t fix: X(ζ , t) reprezintă un număr.

În funcţie de variabila timp t, deosebim (Murgan şi colab., 1995), (Şerban şi colab., 2000):

proces aleator continuu în timp, pentru ℜ∈t şi poate fi de amplitudine continuă – Xt(ζ) variabilă aleatoare continuă (fig. 5.1), sau de amplitudine discretă - Xt(ζ) variabilă aleatoare discretă (fig. 5.2).

Fig. 5.1. Realizări particulare cu amplitudine continuă.

X1(t) X2(t) X3(t)

X(t)

t=t1

t

x

Fig. 5.2. Realizări particulare cu amplitudine discretă.

proces aleator discret în timp sau serie aleatoare, pentru t=nT şi Z∈n şi poate fi de amplitudine continuă – Xn(ζ) variabilă aleatoare continuă (fig. 5.3), sau de amplitudine discretă – Xn(ζ) variabilă aleatoare discretă (fig. 5.4).

Fig. 5.3. Serie aleatoare cu amplitudine continuă

Fig. 5.4. Serie aleatoare cu amplitudine discretă (semnal numeric)

O serie aleatoare constituită din variabile aleatoare discrete, care iau valori într-o mulţime finită de valori reale, se mai numeşte serie aleatoare digitală sau semnal aleator digital şi se notează prin { },...,...,, 21 kaaa . Orice proces aleator, continuu sau discret în timp, se obţine ca urmare a efectuării unui experiment ce constă în alegerea din spaţiul eşantioanelor E a unui eşantion elementar ζi care determină alegerea funcţiei X(ζi , t) din familia de funcţii X(ζ , t). Exemplul 5.1.(Murgan şi colab., 1995). • Experiment: stabilirea fazei unei tensiuni sinusoidale. • Spaţiul eşantioanelor: Ε = {toate fazele unei tensiuni sinusoidale la t = t0}. • Proces aleator: X(ζ , t) =U0sin[ωt+ϕ(ζ)]. Realizările particulare ale acestui proces sunt forme de undă sinusoidală, de faze diferite. Dacă realizările particulare depind numai de o singură variabilă aleatoare (în acest caz, faza) procesul aleator reprezintă un semnal condiţionat determinist, deoarece observarea unei realizări pe un interval finit de timp, permite predicţia evoluţiei sale.

X1(t) X2(t) X3(t)

X(t)

t=t1

t

x

X(nT)

nT

X(nT)

nT

5.2. Funcţii de repartiţie şi densităţi de probabilitate ale semnalelor aleatoare continue în timp

Fie N realizări ale unui semnal aleator (fig. 5.1). Presupunem că printre aceste realizări, un număr n1 au la momentul t=t1 valori inferioare sau egale cu x. Probabilitatea pentru ca X(t) la momentul t=t1 să fie inferior sau egal valorii x, este: ( ){ } N

nN

limxtXP 11 ∞→

=≤ (5.2)

Această probabilitate depinde de două variabile (x şi t1) fiind notată:

( ) ( ){ }xtXPx,tF 111 ≤= (5.3) şi se numeşte funcţie de repartiţie a probabilităţii de ordinul întâi. Cu ajutorul acestei funcţii se defineşte densitatea de probabilitate:

( ) ( )x

txFtxp

∂∂

= 1111

,, (5.4)

În aceeaşi manieră, considerând un număr mare de variabile, se defineşte funcţia de repartiţie de ordinul n:

( )( ) ( ) ( ){ }nn

nnn

xtXxtXxtXPtttxxxF

≤≤≤==

,...,,,...,,,,...,,

2211

2121 (5.5)

şi respectiv densitatea de probabilitate de ordinul n:

( )( )

n

nnnn

nnn

xxxtttxxxF

tttxxxp

∂∂∂∂

=

...,...,,,,...,,

,...,,,,...,,

21

2121

2121

(5.6)

Dacă densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare continue are alura din figura 5.5, atunci probabilitatea ca variabila să ia valori în intervalul [a, b] la momentul t1 este:

( ){ } ( )∫=≤≤b

adxtxpbtXaP 11 , (5.7)

densitatea de probabilitate verificând următoarele două proprietăţi:

( )

( )∫ℜ

=

≥

1,

0,

1

1

dXtxp

txp (5.8)

Funcţia de repartiţie simultană a două semnale aleatoare continue în timp, X(ζ, t) şi Y(ζ, t), este:

0 a b x

p(x,t1)

Fig. 5.5

( ) ( ) ( ){ }ytYxtXPttyxF ≤ζ≤ζ= 212112 ,,,,,, (5.9) În acest caz, ambele procese aleatoare sunt definite pe acelaşi spaţiu al eşantioanelor. Densitatea de probabilitate simultană a celor două semnale este:

yx

ttyxFttyxp

∂∂∂

=),,,(

),,,( 21122

2112 (5.10)

Conceptele de funcţie de repartiţie simultană şi densitate de probabilitate simultană, se pot extinde la n momente de timp şi/sau la n procese aleatoare. Dacă două semnale aleatoare sunt definite pe acelaşi spaţiu al eşantioanelor, atunci se poate defini independenţa statistică a celor două semnale.

Semnale statistic independente Definiţia 5.2. Două semnale aleatoare, X(ζ, t) şi Y(ζ, t), definite pe acelaşi spaţiu al

eşantioanelor, se numesc statistic independente, dacă pentru orice moment de timp t1 şi t2 sunt adevărate relaţiile (Murgan şi colab., 1995):

),(),(),,,( 21112112 tyFtxFttyxF = (5.11)

),(),(),,,( 21112112 typtxpttyxp = (5.12) Practic, două semnale aleatoare pot fi considerate statistic independente, dacă provin din surse independente, fără influenţe reciproce.

5.3. Valori medii temporale ale semnalelor aleatoare. Noţiuni fundamentale.

Mediile temporale se calculează pe o realizare particulară X(ζ, t) şi depind de valorile parametrului ζ,. Sunt definite următoarele valori medii:

Valoarea medie (componenta continuă a semnalului):

( ) ( ) )(,1lim2/

2/tXdttX

T

T

TTx ζ−∞→

=ζ=ζμ ∫ (5.13)

Valoarea pătratică medie (momentul de ordinul 2):

( )[ ] ( )[ ] [ ]∫−

ζ∞→

=ζ=ζμ2/

2/

22)2( )(,1limT

TTx tXdttXT

(5.14)

Momentul de ordinul n:

( )[ ] ( )[ ] [ ]nT

T

n

T

nx tXdttX

T)(,1lim

2/

2/

)(ζ

−∞→=ζ=ζμ ∫ (5.15)

În cazul semnalelor aleatoare discrete mărimile enunţate au următoarele expresii:

Valoarea medie:

( ) ( )∑−=

∞→ζ

+=ζμ

2

2

,1

1lim

N

Nie

Nx iTX

N (5.16)

unde Te reprezintă perioada de eşantionare a semnalelor.

Valoarea pătratică medie (momentul de ordinul 2):

( )[ ] ( )[ ]∑−=

∞→ζ

+=ζμ

2

2

2)2( ,1

1lim

N

NieNx iTX

N (5.17)

Momentul de ordinul n:

( )[ ] ( )[ ]∑−=

∞→ζ

+=ζμ

2

2

)( ,1

1lim

N

Ni

neN

nx iTX

N (5.18)

Funcţii de corelaţie şi covariaţie

Pentru semnale cu timp continuu, avem: Funcţia de autocorelaţie:

( ) ( )∫−∞→

ζζ +ζ+ζ=++=2/

2/212121 ,,1lim)()(),(

T

TTxx dtttXttX

TttXttXttR

(5.19) Funcţia de intercorelaţie:

( ) ( )∫−∞→

ζζ +ζ+ζ=++=2/

2/212121 ,,1lim)()(),(

T

TTxy dtttYttX

TttYttXttR

(5.20) Funcţia de autocovariaţie:

)]()()][()([),( 2121 ζμ−+ζμ−+= ζζ xxxx ttXttXttC (5.21)

Funcţia de covariaţie:

)]()()][()([),( 2121 ζμ−+ζμ−+= ζζ yxxy ttYttXttC (5.22)

Pentru semnale cu timp discret, avem:

Funcţia de autocorelaţie:

( ) [ ]∑−=

∞→+ζζ

+=

2

2

)(,,1

1lim)(

N

NieeNxx TmiXiTX

NmR (5.23)

Funcţia de intercorelaţie:

( ) [ ]∑−=

∞→+ζζ

+=

2

2

)(,,1

1lim)(

N

NieeNxy TmiYiTX

NmR (5.24)

Semnalele aleatoare, spre deosebire de semnalele deterministe, nu pot fi reprezentate prin funcţii temporale analitice. Fie un set de înregistrări ale unor mărimi fizice, provenind de la o serie de procese de aceeaşi natură (fig. 5.6).

Fig. 5.6. De exemplu, xi(t) poate fi temperatura corpului (generată de procesul Px), în timp ce yi(t) poate reprezenta un traseu de pe electroencefalograma aceluiaşi pacient (generat de procesul Py). Se poate formula următoarea problemă: există o relaţie (o legătură) între procesele fizice Px şi Py care generează semnalele accesibile şi măsurabile xi(t) şi yi(t)? Dacă o astfel de relaţie există, se poate determina un coeficient a astfel încât la un moment de timp t0 realizările celor două procese se "suprapun" cel mai bine posibil. Matematic, se poate scrie relaţia: minimal)()( 00 =− taytx ii (5.25) Simplificând notaţiile relaţia (5.20) mai poate fi scrisă sub forma:

∫∫+∞

∞−

+∞

∞−τ−=τ+=τ dttytxdttytxRxy )()()()()( (5.26)

Două semnale x(t) şi y(t), pentru care Rxy(τ)=0, se numesc necorelate (independente). În cazul în care x(t) = y(t) (avem un singur semnal) pornind de la relaţia (5.19) se obţine funcţia de autocorelaţie:

∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

τ−=τ+=τ dttxtxdttxtxRxx )()()()()( (5.27)

Funcţia de autocorelaţie evaluată în origine (τ=0) reprezintă energia semnalului:

∫+∞

∞−

= dttxRxx )()0( 2 (5.28)

Considerăm că observarea semnalelor se face pe un interval de timp de durată T. Revenim la relaţia (5.25) pe care o scriem sub forma:

0 50 100

0 50 100

0 50 100

0 50 100

x1(t)

x2(t)

x3(t)

x4(t)

0 50 100

0 50 100

0 50 100

0 50 100

y1(t)

y2(t)

y3(t)

y4(t)

)()()( taytxt −=ε (5.29) De această dată nu vom considera valorile instantanee. Vom calcula o diferenţă în medie, conform relaţiei: )()()( tyatxt −=ε (5.30) Notaţiile utilizate au următoarea semnificaţie:

∫+

ε=εTt

tdtt

Tt

0

0

)(1)( (5.31)

∫+

=Tt

tdttx

Ttx

0

0

)(1)( (5.32)

∫+

=Tt

tdtty

Tty

0

0

)(1)( (5.33)

Se defineşte abaterea medie pătratică ca fiind:

)()(2)()()()()( 22222 tytxatyatxtaytxt −+=−=ε (5.34) unde

∫+

=Tt

tdttytx

Ttytx

0

0

)()(1)()( (5.35)

Căutând valoarea lui a care să minimizeze relaţia (5.34), se găseşte:

2)(

)()(

ty

tytxa = (5.36)

Expresia erorii (abaterii) medii pătratice devine în această situaţie:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=ε 22

222

)()(

)()(1)()(

tytx

tytxtxt (5.37)

Facem notaţia:

22

)()(

)()(

tytx

tytx=ρ , constanta fiind denumită coeficient de corelaţie.

Rezultă:

[ ]222 1)()( ρ−=ε txt (5.38)

Analizând ultima relaţie se pot trage următoarele concluzii: ρ = ±1, semnalele x(t) şi y(t) sunt total corelate; ρ = 0, semnalele x(t) şi y(t) nu sunt corelate, ceea ce înseamnă, în majoritatea cazurilor, că

cele două semnale sunt independente. -1 < ρ < 1, semnalele au un anumit grad de interdependenţă (cauzalitate).

Dacă se consideră că semnalele sunt ergodice (staţionare în timp) atunci coeficientul de corelaţie se poate calcula cu ajutorul relaţiei:

yx

xyRσσ

τ=ρ

)( (5.39)

în care σx şi σy reprezintă dispersiile celor două semnale. Exemplul 5.2. Pentru ilustrarea noţiunilor teoretice prezentate, vom considera cazul unui filtru (fig. 5.7) la intrarea căruia se aplică un semnal de tip sinus atenuat (fig. 5.8-a):

Fig. 5.7.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.5

0

0.5

1Semnalul de intrare x

Am

plitu

dine

a) Timp [x 0.01 secunde]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.5

0

0.5

1Semnalul de iesire y

Am

plitu

dine

b) Timp [x 0.01 secunde]

Fig. 5.8.

Filtru x(t)

y(t)

Generator semnal aleator

r(t)

Corelaţie x-y

Corelaţie r-x

Corelaţie r-y

Rxy(τ)

Rrx(τ)

Rry(τ)

)()sin()(csin)( tSt

tttx a=π

π== (5.40)

Conform structurii studiate, este evident că semnalul de ieşire y(t) (fig. 5.8-b) este corelat

(dependent) cu semnalul de intrare x(t). Pe de altă parte, semnalul aleator r(t) este independent (necorelat) în raport cu oricare dintre cele două semnale (x(t) şi y(t)). În figura 5.9 este prezentată funcţia de corelaţie intrare ieşire Rxy(τ). Se observă că valoarea maximă se atinge după un interval de timp τ=0,1 secunde, interval ce corespunde timpului necesar pentru propagarea semnalului prin filtru. Pe măsură ce "distanţa" în timp creşte între punctele pentru care se calculează funcţia de corelaţie, se observă că, în mod logic:

0)(lim →τ

∞→τxyR (5.41)

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9Functia de corelatie x-y

Am

plitu

dine

Tau [ x 0,01 secunde]

Fig. 5.9. Funcţia de corelaţie intrare ieşire Rxy(τ).

În figura 5.10 este reprezentat semnalul aleator r(t), generat independent de faţă de semnalele x(t) şi y(t). Funcţiile de corelaţie între aceste trei semnale sunt prezentate în figurile 5.11 şi 5.12. Se poate observa că amplitudinile sunt mult reduse, funcţiile descrescând rapid în funcţie de τ . Se poate face afirmaţia că nu avem o corelaţie (legătură de cauzalitate) între cele trei semnale.

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8Semnalul aleator r

Am

plitu

dine

Timp [ x 0.01 secunde]

Fig. 5.10. Semnalul aleator r(t).

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9Functia de corelatie x-r

Am

plitu

dine

Tau [ x 0,01 secunde]

Fig. 5.11. Funcţia de corelaţie Rxr(τ).

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9Functia de corelatie y-r

Am

plitu

dine

Tau [ x 0,01 secunde]

Fig. 5.12. Funcţia de corelaţie Ryr(τ).

5.4. Transferul semnalelor stochastice prin sisteme liniare O funcţie aleatoare este staţionară (în sens larg) dacă speranţa matematică (media) μx este constantă, iar funcţia de autocorelaţie Rxx depinde numai de diferenţa τ=t2-t1 (Şerban şi colab., 2000). O funcţie aleatoare staţionară se poate caracteriza cu transformata Fourier a funcţiei de autocorelaţie:

∫∞

∞−

ωτ− ττ=ω deRS jxxx )()( (5.42)

)(ωxS se numeşte funcţia de densitate spectrală de putere. Relaţia (5.42) se mai poate scrie sub

forma:

∫∫∞

∞−

∞

∞−ωωττ−ωωττ=ω dRjdRS xxxxx )sin()()cos()()( (5.43)

Dar, integrala dint-o funcţie impară este nulă, deci:

0)sin()( =ωωττ∫∞

∞−dRxx (5.44)

Ca urmare a relaţiei (5.44) şi ţinând cont de faptul că funcţia de autocorelaţie este o funcţie pară )()( τ−=τ xxxx RR (5.45) relaţia (5.43) devine:

∫∫∞∞

∞−ωωττ=ωωττ=ω

0)cos()(2)cos()()( dRdRS xxxxx (5.46)

Fie S un sistem liniar, invariant în timp, având funcţia de transfer H(s).. Dacă intrarea u(t) este un semnal stochastic, atunci şi ieşirea y(t) va fi de asemenea o mărime stochastică (fig. 5.13).

Fig. 5.13. Conform (5.42), fie )(ωuS şi )(ωyS funcţiile de densitate spectrală de putere ale intrării, respectiv ieşirii:

∫∞

∞−

ωτ− ττ=ω deRS juuu )()( (5.47)

∫∞

∞−

ωτ− ττ=ω deRS jyyy )()( (5.48)

În condiţii iniţiale nule este valabilă relaţia (integrala de convoluţie):

∫∞

τττ−=0

)()()( duthty (5.49)

unde h(t) este funcţia pondere a sistemului S. Transformata sa Fourier este:

∫∞

ω−=ω0

)()( dtethjH tj (5.50)

Ţinând cont de (5.47), (5.48), (5.49) şi (5.50) se demonstrează că: )()()()( ωωω−=ω uy SjHjHS (5.51) sau echivalent )()()( 2 ωω=ω uy SjHS (5.52) Din (5.52) se poate reveni în domeniul timp, rezultând:

∫∫∞

∞−

ωτ∞

∞−

ωτ ωωωπ

=ωωπ

=τ deSjHdeSR ju

jyyy )()(

21)(

21)( 2 (5.53)

-- * --

S u(t) y(t)