2013 Matematica Concursul 'Lumina Math' Etapa 1 Clasa a III-A Subiecte
2015 Matematica Balcaniada de Juniori Subiecte
2
19 th Junior Balkan Mathematical Olympiad June 24-29, 2015, Belgrade, Serbia Language: Romanian vineri, 26 iunie 2015 1. Determinat ¸i toate numerele prime a,b,c ¸ si numerele naturale nenule k care satisfac egalitatea a 2 + b 2 + 16c 2 = 9 k 2 + 1. 2. Fie a, b, c numere reale pozit ive astfel ˆ ıncˆ at a + b + c = 3. Determinat ¸i valoarea minim˘ a a expresiei A = 2 − a 3 a + 2 − b 3 b + 2 − c 3 c . 3. Fie ABC un triunghi ascut ¸itunghic. Dreptele 1 ¸ si 2 sunt perpendiculare pe dreapta AB ˆ ı n punct ele A, respectiv B. Pe rpen dic ula rele duse din mijlocul M al segmentului [AB] pe dreptele AC ¸ si BC intersecteaz˘ a 1 ¸si 2 ˆ ı n punct el e E ¸ si res pect iv F . Dac˘ a D este punctul de intersect ¸ie a dreptelor EF ¸ si M C , ar˘ atat ¸i c˘ a ∠ADB ≡ ∠EMF. 4. O ,,form˘ a L” este oricare din urm˘ atoarele patru piese, fiecare constˆ and din trei p˘ atr˘ at ¸ele unitate: Se dau: o tabl˘ a 5 × 5, constˆ and din 25 de p˘ atr˘ at ¸ele unitate, un num˘ ar natural nenul k ≤ 25 ¸ si o col ect ¸ie nelimitat˘ a de ,,forme L”. Doi juc˘ atori, A ¸ si B, joac˘ a urm˘ atorul joc: ˆ ıncepˆand cu A, ei marcheaz˘ a, alternativ, cˆ ate un p˘ atr˘ at ¸el care nu era marcat anterior, pˆan˘ a cˆ and pe tabl˘ a sunt k p˘ atr˘ at ¸ele marcate. O a¸sezare a unor ,,forme L” pe p˘ atr˘ at ¸elele r˘ amase nemarcate pe tabl˘ a se nume¸ st e bun˘ a dac˘ a fiecare pies˘ a acoper˘ a exact trei p˘ atr˘ at ¸ele un itate nemarcat e ¸ si oricare dou˘ a piese nu se suprapun. Juc˘ atorul B cˆ a¸ sti g˘ a dac˘ a ori ce a¸ seza re bun˘ a a unor ,,forme L” las˘ a neacoperite cel put ¸in trei p˘ atr˘ at ¸ele unitate nemarcate. Determinat ¸i valoarea minim˘ a a lui k pentru care B are strategie cˆ a¸ stig˘ atoare. Timp de lucru: 4 or e ¸ si 30 de minute Fiecare problem˘ a valoreaz˘ a 10 puncte
description
Matematica balcaniada
Transcript of 2015 Matematica Balcaniada de Juniori Subiecte
-
19th Junior Balkan Mathematical OlympiadJune 24-29, 2015, Belgrade, Serbia
Language: Romanianvineri, 26 iunie 2015
1. Determinati toate numerele prime a, b, c si numerele naturale nenule k care satisfacegalitatea
a2 + b2 + 16c2 = 9k2 + 1.
2. Fie a, b, c numere reale pozitive astfel ncat a+b+c = 3. Determinati valoarea minimaa expresiei
A =2 a3a
+2 b3b
+2 c3c
.
3. Fie ABC un triunghi ascutitunghic. Dreptele `1 si `2 sunt perpendiculare pe dreaptaAB n punctele A, respectiv B. Perpendicularele duse din mijlocul M al segmentului[AB] pe dreptele AC si BC intersecteaza `1 si `2 n punctele E si respectiv F .Daca D este punctul de intersectie a dreptelor EF si MC, aratati ca ADB EMF.
4. O ,,forma L este oricare din urmatoarele patru piese, fiecare constand din trei patrateleunitate:
Se dau: o tabla 5 5, constand din 25 de patratele unitate, un numar natural nenulk 25 si o colectie nelimitata de ,,forme L.Doi jucatori, A si B, joaca urmatorul joc: ncepand cu A, ei marcheaza, alternativ, cateun patratel care nu era marcat anterior, pana cand pe tabla sunt k patratele marcate.O asezare a unor ,,forme L pe patratelele ramase nemarcate pe tabla se numeste bunadaca fiecare piesa acopera exact trei patratele unitate nemarcate si oricare doua piese nuse suprapun.Jucatorul B castiga daca orice asezare buna a unor ,,forme L lasa neacoperite cel putintrei patratele unitate nemarcate. Determinati valoarea minima a lui k pentru care B arestrategie castigatoare.
Timp de lucru: 4 ore si 30 de minuteFiecare problema valoreaza 10 puncte
