Marian ANDRONACHE' Dinu $ERBANESCUMarius PERIANU . C[t6lin CIUPALA'Florian DUMITREL

Matematicenentru examenul' de bacalaurefitFiliera teoretic[, profilul real,specializarea gtiinle ale naturii

Filiera tehnologicl - toate profilurile

@1/ cr-usur- \/urreumctEt.ltron\

Tema 1.1.

Tema 1.2.

Tema 1.3.

Tema 1.4.

Tema 1.5.

Tema 1.6.

Tema 1.7.

Tema 1.8.

Tema 1.9.

Tema 1.1O.

Algebfi/GeometrieClasele IX-X

Mullimi de numere. Mullimi gielemente de logica matematica

(clasa a lX-a)

Funcfiidefinite pe multimea numerelor naturale ($iruri)

(clasa a lX-a)

Funclii. ProprietSli generale. Lecturi grafice

(clasele lX-X)

Funclia de gradul l. Funclia de gradul al ll-lea

(clasa a lX-a)

Puteri ti radicali. Ecualii iralionale(clasa a X-a)

Exponenliale gi logaritmi(clasa a X-a)

Numere complexe(clasa a X-a)

Metode de numdrare. Elemente de combinatorica(clasa a X-a)

Vectori in plan. Geometrie vectoriald. Geometrie analitice

(clasele lX-X)

Elemente de trigonometrie. Funclii 5i ecualii trigonometrice(clasa a X-a)

ParteaAlgebrd 1.turele )c-><tl)

Tema 1.1. Matrice. Determinanfi(clasa a Xl-a)

Tema 1.2. Sisteme de ecualii liniare(clasa a Xl-a)

Tema 1.3. Structuri algebrice(clasa a Xll-a)

Tema 1.4. Polinoame cu coeficienliintr-un corp comutativ(clasa a Xll-a)

Analiz6,matematiclClasele )O-)CI

Tema 3.{ Limite de func-tii. Functii continue. Func[ii derivabile

Tema 3.2 Primitive

Tema 3,3 Fun4ii integrabile

Variante de subiecte

4.1. Subiecte date la examenul de bacalaureat in anul 2013

4.1.1. Filiera teoreticd, profil real, specializarea $tiinle ale naturii

4.1.2. Filiera tehnologicS, toate profilurile 9i specializarile

4.2. Subiecte date la examenul de bacalaureat in anii 2010-2012 .

4.3. Variante de subiecte propuse spre rezolvare

. ln anii 2010, 2Ol 1 5i 2112,clasele de profil real, specializarea gtiinle ale naturii, 5i clasele

de la filiera tehnologici, toate profilurile gi specializirile, au avut, la matematicS, aceea5i

programd 5i acelea;i subiecte de examen.

Tema 1,1Multimi de numere.

Mulgimi gi elemente de logici matematici

1. Partea intreagi gi partea fraclionari a unui numir real

Definifie. Fie r e lR . Cel mai mare num[r intreg mai mic sau egal decdt x se numegte

parteaintreagda luir. Se noteaz6: [r]= -rr{p eZl p< x}.

Num[ru] real {r} = x-lxf se nume$teparteafraclionard ahrix'

Proprietili1. [r]<x<[x]+1, VxeIR;2. x-l<[x]Sx,VxelR.;3. [x]=xexeZ;4. lx+n)=lxf+neneZ;ldentitatea lui Hermite.

1. {x} e [0,1), Vx e JR ;

2. {*l =0<> xeZ;3. {x} = {y} e x-y eZ,4. {x+n} ={x}e neZ.

Probleme propuse

1. Si se determine a2}L2-azecimalda numdrului a:t,(tZZ+) .

2. Sd se determine a2}}8-azecimald a num[rului 0,(285714) .

3. Sd se calcvlezeprodusul primelor 4 zecimaleale numdrului J2gO .

4. Determinati suma primelor 5 zecimale ale numirului 2,1G2).

5. Ardtali cd numdrul q = -J, +3 -1..n - Ol- (t -..6) "rt. natural.

6. Sd se demonstreze cd E = @-f . Fq este un num6r natural.

7. Careeste sumaprimelor dou6 zecimale ale numirului G ?

8. Care este partea intreagi a numdrului (* Jz)'

9. Comparafl numerele a =logr4 si b = 1'lT7 .

10. Ordonali crescdtor numerele.

o Jr, {1, ra.

,1 lr-b),' ,rrJr"tt'

1-c1 l, log,2. lrr-2, J3,1.2-0 Jr, {r, J6 .

^.=

I

rJ

=lrtF

=I

utOE

ts

=oLa

42IJUa

=zsGuto

=,li,raulzEcurrr!cia!!I\,zoOEoz

=I

6

11. Se se determine valoare de adevdr a afrmaliei: ,,Suma oric[ror doul numere iralionaleeste un num6r irafional."

Yariante bac al aure at 2 0 09

12. Determinali valoarea de adevdr a urmdtoarelor propozilii.a) ,,Diferen\a oriciror doud numere naturale este un numdr natural"D,) ,,Existi doui numere iralionale cu produsul lor un numdr natural".

c,) ,,Pentru orice numlr natural a numlrul G "rt"

iralional".

13.Se consider6 tunc{ia /:tR +re,"f(r)=t4(t-{4), unde {a} rcprezrntd partea

frac{ionardanumrrului reat a.calculaf; ,(1) ,(i) ,(;)

t 4. Se consideri mu[imea I = {" + bJi I a,b e Z\ .

r:-----=;a) Ardta[ice ,t(t -Jz)- e e .

b) Ar5ta\i "e

Jz*Ji . ,q.

c,) Determinali un element al mullimii Zn(0, t).

15. Determinaf numlrut de elemente ale mu[imii lxezl (* -e)(z* -r-l)=0].,r- a) Calculali partea intreagd a numdrului a = $0 .

b) Calculalipartea intreagi a numirului a = Ji - Ji .

c/ Calculali partea fraclionari a numdrului o = I .

J

d) Caleulaf, [Ji].[Jt]. .[J*], unde [a] este partea intreagd a numsrului a.

17. Arataticdl Jn'+n., L l=z,pentruoricezeN.18. Determinafi cel mai mic element al mullimii {r e R l(x+2)(x' -4)= 0} .

19. Determinafi numerele naturale din mul]imea n ={*e m 1-=1--=. , < 2}.t Jz+Jt )

2O. Se considerdmullimile l={xeRllxl<2} ti B=[-:,0). Determinali AaBaZ.

21. Se consideri mullimile A={0,2,4,6,...,50} 9i B ={0,3,6,9,...,48} . Determinali

cardinalulfieclreimul{imi A, B , A^B qi AvB.

22. Se consideri frac(ia zecimaldinfiniti !:O,orrr.... Determinali numirul de elemente7

ale mullimii A= {a'a.r,a3,...\ .

23. Se consideri fraclia zecimald infinitl

mullimii A= {ao,a,ar,...} .

4

- = ao,qtq2... . Determinati suma elementelorll

24. Determinali m e lR pentru care {t;Z} . {, = R.lx2 +rux+4 = 0} .

25. Determinafiperechile (lz,n)e1R.xlR pentrucare {t;Z}:{xeR'l x2 +ta+n:0\.

26. Determin ali a e Z pentru"ut" {, e R I 12 - ax + 2= 0} n {0, t, 2,...,10\ + A .

27. SA se dea un exemplu de mu[ime I pentru care mullimea Aw{-1,0,1} are cel puf;n 4

elemente' variante bacalaureat 2007

28. Se se determine mullimile X care verificd egalitatea X u {:, S} = {3, 5, Z} '

Vari ant e b ac al aureat 2 0 0 7

29. Se se determine cdte numerele intregi sunt in mu[imea {JL,JL,JI,...,J00} .

30. Sa se determine numdrul elementelor mu[imii qn{i/i,V2,{6,...,Vl00} .

31. Dali un exemplu de doud numere x,y e Q\Z astfel incdt x-y e N .

32. Dali un exemplu de doud numere intregi a,b >l astfel incit Ji -{U =t .

33. Dali un exemplu de doui mrmere naturale a Si b care indeplinesc condilia

Ji +\og,b eZ.

34. Dali un exemplu de doui numere iralionale a Si b care indeplinesc condiliile q+b eZ

Sia.beZ.35. Determinaf, o pereche (a,b) e N x N care verificd condifia 2' =logtb .

le. Gdsili numerele intregi din intervalul [-r.n,ar, f).

gz. Fie 1={*+yJil x,y e Q, x2 -3y' =l\ . :

a) Ardtaf cd 2e A,dat -le A.

b) /rrdtati cd, 2-Jl e A.

38. Determinali perechile (*, y).lR x lR. pentru care (x' -Z)'(y' + 2y -3\ = 0 .

39. Determinali (x,y)elR.xlR. pentru care x'+2xy+2y2 =0.

40. a) Aritali ci x' + y' + z' -(xy + xz + yz)=Ilt.- r1' +@- z)' *(y - r)'f,Vx,y,z e JR.

b) /irdta\i cd dacd x' + y' + z' - xy + xz + yz, atttnci x = y = 2 .

c,) Determinali mu[imea {(o,O1.R' I o' +b2 + 4 = ab +2a +2b\

N

=I

L'

=gJ

=I

7

Funcliidefinite pe mullimea numerelor naturale (tiruri)

UJOE

ts

==oI

o.ltJUafzsollIA

=a=L,,vtUJ

=ocuJrr!.

cigl-\,=oco=

=I

8

Tema 4 -2

1. $iruri

Definilie. $irul de numere reale

xn a xn*r (x, < xn*r), yn> l,

$irul de mrmere reale (*,),.,x,2 x,rt (r, , r,*,), Yn>1.

(r, ),-, este monoton (strict) crescdtor dacd

este monoton (stric\ descrescdtor dacd

Definilie. $irul de numere reale (x, ),,, este mdrginit inferior dacd existd un numirreal (notat cu) n astfel incdt m I xn, Yn) l.

$irul de numere reale (r, ),-, este mdrginit superior dac[ existi un numdr real (notat

cu) M astfel incdt x, < M, Yn> l.Dacd girul (*^),, este mrrginit at6t inferior c6t qi superior, spunem cr qirul este

mdrginit.

2. Progresii aritmetice

Definilie. $irul de numere rrale (o,),., este o progresie aitmeticd de ralie r dacd

a,+t - Q, = r, Yn > 1 (adicd diferenfa oric5ror doi termeni consecutivi este constanti).

Propriet5li1. a,=ar+(n-l)'r, Yn>l

2. a-:a'-t*a'*L.Yn>2.'2

3. s, = n(ar+a,)

-nr,qr'('),yn) l,unde sn=or+a2+...+at."2',2

l. n - an-al +1, yn> l, r + o.r

3. Progresii geometrice

Definifie. $irul de numere reale nenule (b, ),r, este o progresie geometricd de rafie q dacd

bn*r = bn.q (adicd raportul oricEror doi termeni consecutivi este constant).

ProprietS!il. b,=br'qn-t,Vn>l2. F, =bn-1.b,*1, Yn> 2.

l- a^-l3. E = 1O;-'o*' ,unde s, =br+br+...+bn.

lr4, e =l

Probleme propuse

1. S[ se arate cd numerele logr2, C, qi 5 sunt termeni consecutivi ai unei progresii

aritmetice.

2. S[ se determine al zeceleatermen al girului l, 7, 13, 19, ...

Yariante bacalaureat 2009

Variante b ac alaur eat 2 0 0 9

3. Se consideri funcfia /: R. -+ m, "f

(r) =3x-l .

a) Ardtalic[ numerele f (2), f (4) $i /(6) sunt in progresie aritrnetica.

D,) calculafl s = /(o)+ /(1)+ 1(z)+...+7(to).c) pg5ta!, ci dacd numerele reale a, b Si c sunt in progresie aritmeticd, atunci qi

f (o) , f (t) li / (") sunt in progresie aritmetica'

4. Determinali xeJR. gtiindc6 x, (x-l)'qi x+2 suntinprogresiearitmeticd.

5. Determinali xelR. pentru care numerele x-1,x+1 qi 3r-1 sunt in progresie

aritmeticd' Bacaraureat 2oI r

6. Sd se determine num[ru] real x gtiind cd numerele x+1, l-x gi 4 sunt in progresie

aritmeticS.

7. Fie progresia aritmetici (o,),,, astfel incdt as =7 ;i ar, = 43 .

a)Determina\i a,A Numerul 2015 este termen al progresiei?

c/ Calculafi suma I = a2 + as + as +...+ aB .

8. tntr-o progresie aritmetic[ (o,),r, se cunosc a, = 6 si at = 5 . Calculafl au .

Bacalaureat 201 Ig. Sd se calculeze sulna primilor 10 de termeni ai progresiei aritmetice (o,),rr, gtiind ci

at-az=2 gi ar+a3+cts*au=Jg '

10. Se considerd o progresie aritrnetici (o,),r, in care as = 5 9i qs =ll. Calculali suma

primil0rgapteterm aiprogresiei' Bacaraureat 2010

1 1. Calculali sumele.

a) l+3+5+...+19.Variante bqcalaureat 2009

b) 2+6+10+...+102.

c) l+3+5+...+ (Zn-t), n e N".

d) l+5+9+...+(+n-3), z e N..

12. Ardtatl cI suma primelor 100 numere naturale impare este un pdtrat perfect.

N

=I

t

=utF

=I

9