GRADUL II, 2014

Cluj-Napoca

I. 1. Definit, i c.m.m.d.c. s, i c.m.m.m.c. a două numere naturale s, i precizat,i cinci proprietăt,i alerelat,iei de divizibilitate în N.

2. Formulat,i sarcini didactice pentru demonstrarea la clasă, cu elevii, a următoarelor exercit

,ii :

a) Numerele naturale a s, i b sunt relativ prime. Arătat,i că cel mai mare divizor alnumerelor a+ b s,i a2 + b2 este egal cu 1 sau cu 2.

b) Să se arate că numărul 1 · 2 · 3 · . . . · 1111 se divide cu 11110, dar nu se divide cu 11111.II. 1. Definit, i distant,a de la un punct la o dreaptă s, i distant,a de la un punct la un plan.

2. Formulat,i sarcini didactice pentru demonstrarea la clasă, cu elevii, a următoarei probleme:

Fie A, B, C, D patru puncte necoplanare astfel încât DC ⊥ (ABC), AB ⊥ (BDC),AC = a

√6, AB = a

√3 s,i DC = a. Să se calculeze:

a) distant,a de la punctul B la dreapta AD;b) distant,a BB′, unde BB′ ⊥ (ADC), B′ ∈ (ADC).

III. 1. Enunt,at,i s, i demonstrat,i teorema lui Fermat.2. Formulat

,i sarcini didactice pentru demonstrarea la clasă, cu elevii, a următorului exercit

,iu:

Funct,ia f : [a, b] → R este o funct, ie Rolle. Să se arate că există un punct c ∈ (a, b) astfelîncât

f ′(c) =a+ b− 2c

c2 − (a+ b)c+ abf(c).

1

2 GRADUL II, 2014

Bucures,ti

I. Se consideră polinomul p = (X3 +X + 1)1000 +X ∈ R[X ].1. Demonstrat,i că p este divizibil cu X3 + 1. Propunet,i o altă problemă ce se rezolvă în

acelas,i mod. Rezolvat,i problema propusă s,i explicat,i în ce constă modificarea făcută.2. Notăm cu x1, x2, . . . , x3000 ∈ C rădăcinile polinomului p. Calculat,i x1 + x2 + · · ·+ x3000

s, i x21 + x2

2 + · · ·+ x23000.

3. Descriet,i trei posibile dificultăt,i pe care le-ar putea avea elevii în rezolvarea problemelorpropuse la punctele 1 s, i 2. Indicat,i modul în care at,i putea interveni, pentru a-i ajuta peelevi să depăs,ească aceste dificultăt, i.

II. Fie funct, ia f : R → R, f(x) = 3

√

(x+ 2)2 − 3

√

(x− 2)2.1. Să se studieze derivabilitatea funct, iei f . Comentat,i din punct de vedere metodic studiul

derivabilităt,ii.2. Să se determine punctele de extrem s,i imaginea funct, iei f . Explicat,i din punct de vedere

metodic de ce se poate sau nu se poate aplica teorema lui Fermat punctelor de extremobt,inute.

3. Să se determine aria domeniului mărginit de graficul funct,iei f , axa Ox s, i dreptelex = −2, x = 2. Facet,i câteva comentarii din punct de vedere metodic privind modul dedeterminare al ariei.

III. 1. Să se arate că în orice triunghi sunt adevărate formulele S = p · r s, i S = (p− c) · ρ, unde reste raza cercului înscris iar ρ este raza cercului exînscris corespunzător unghiului C. Să

se deducă relat,iar

ρ= tan

A

2tan

B

2.

2. Fie ABC un triunghi s, i M un punct situat în interiorul segmentului [AB]. Să se arate căr

ρ=

r1ρ1

· r2ρ2

, unde r, r1, r2 sunt razele cercurilor înscrise iar ρ, ρ1, ρ2 sunt razele cercurile

exînscrise (corespunzătoare unghiurilor ∢ACB, ∢ACM , respectiv ∢MCB), triunghiuri-lor ABC, ACM , respectiv CMB.Descriet,i din punct de vedere metodic cum predat,i sau cum introducet,i la clasă o not,iunece apare la punctele 1 s, i 2 (de exemplu: ariile figurilor poligonale, funct, iile trigonometrice,cercul, etc).

3. Să se enunt,e s, i să se demonstreze un rezultat ce generalizează problema de la punctul 2.Dat, i un alt exemplu ce apare în geometria de liceu sau gimnaziu, prin care se poate arătatrecerea de la particular la general.

IAS,I, VARIANTA 1 3

Ias,i, Varianta 1

I. Elaborat,i un proiect didactic pentru lect,ia de predare „Condit,ii de paralelism s

,i condit

,ii de

perpendicularitate a două drepte în plan” (clasa a X-a). Justificat,i formulele de caracterizare,iar ca aplicat,ie rezolvat,i următorul:

Exercit,iu. Fie familia de drepte

dλ : 2x− y − 6 + λ(x − y − 4) = 0, λ ∈ R.

(i) Să se determine λ ∈ R astfel încât dreapta dλ să fie paralelă cu dreaptad : 3x+ 2y − 6 = 0.

(ii) Să se determine λ ∈ R astfel încât dreapta dλ să fie perpendiculară pe dreapta d.II. Exemplificat, i fundamentarea cunos,tint,elor privind continuitatea s,i derivabilitatea funct, iilor,

reprezentând grafic funct,ia

f : R → R, f(x) =

{

x−√x2 − 1, dacă x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,+∞)

x3, dacă x ∈ [−1; 1].

III. Pentru evaluarea finală a cunos,tint,elor de algebră, elevii primesc următoarele subiecte:(i) Enunt,at,i s,i demonstrat,i teorema lui Bézout privind restul îmărt,irii unui polinom

la X − a.(ii) Să se determine polinomul f de gradul 2 care împărt,it la X − 1 dă restul 6, împărt,it

la X dă restul 3 s, i împărt,it la X + 1 dă restul 2.Elaborat,i un barem de notare rezolvând complet subiectele.

4 GRADUL II, 2014

Ias,i, Varianta 2

I. Elaborat,i un proiect didactic pentru lect,ia de predare „Teorema împărt,irii cu rest în mult

,imea

numerelor naturale” (clasa a VI-a) prezentând:– Teorema împărt

,irii cu rest (enunt, s, i demonstrat,ie);

– două exemple;– rezolvarea s,i comentarii metodice pentru următorulExercit

,iu. Arătat,i că:

(i) Orice număr impar este de forma 4k + 1 sau 4k + 3.(ii) Pătratul oricărui număr impar este de forma 8k + 1.

II. Exemplificat,i fundamentarea cunos,tint,elor privind calculul vectorial în plan, rezolvând urmă-torul

Exercit,iu. Se consideră sistemul cartezian de axe ortogonale xOy.

(i) Centrul de greutate al triunghiului oarecare ABC din plan este G. Determinat,ivectorul

# »

OG în funct, ie de vectorii# »

OA,# »

OB s, i# »

OC.(ii) Fie A(2;−3) s, i B(−5; 1). Determinat,i coordonatele punctelor C s, i G s,tiind că punctul

C se află pe axa Oy, iar centrul de greutate G al triunghiului ABC se află pe axa Ox.III. Pentru evaluarea finală a cunos,tint,elor referitoare la studiul funct, iilor cu ajutorul derivatelor

(clasa a XI-a), elevii primesc următorul subiect:

Fie funct, ia f : R∗ → R, f(x) =|x3 − 1|

x2.

(i) Studiat,i continuitatea funct, iei f .(ii) Studiat, i derivabilitatea funct, iei f .(iii) Reprezentat,i grafic funct,ia f .Elaborat,i un barem de notare rezolvând complet subiectul.

IAS,I, VARIANTA 3 5

Ias,i, Varianta 3

I. Elaborat,i un proiect didactic pentru lect,ia recapitulativă „Teoremele lui Rolle, Lagrange s,i

Cauchy” (analiză matematică, clasa a XI-a) prezentând:– enunt,urile celor trei teoreme;– două exemple;– rezolvarea s, i comentat,i din punct de vedere metodic următorulExercit

,iu. Fie f , g, h : [a, b] → R trei funct, ii continue pe intervalul [a, b] s, i derivabile pe

intervalul (a, b). Definim funct,ia F : [a, b] → R prin:

F (x) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

f(x) g(x) h(x)f(a) g(a) h(a)f(b) g(b) h(b)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

.

(i) Să se arate că există c ∈ (a, b) astfel încât F ′(c) = 0.(ii) Să se arate că pentru h(x) = 1, ∀ x ∈ [a, b] se obt,ine teorema lui Cauchy, iar

pentru h(x) = 1 s,i g(x) = x, ∀ x ∈ [a, b] se obt,ine teorema lui Lagrange.II. Exemplificat, i fundamentarea cunos,tint,elor de la lect,ia „Semnul funct

,iei de gradul 2” (clasa a

IX-a) prin rezolvarea următoruluiExercit

,iu. Să se determine valorile parametrului real m pentru care

{x ∈ R | x2 + (1 − 3m)x+ 2m2 − 2m ≤ 0} ∩ [2; 4] 6= ∅.III. Pentru evaluarea cunos,tint,elor de la capitolul „Calcul vectorial ” (clasa a X-a), elevii primesc

următorul subiect:În sistemul de axe xOy din plan se consideră punctele A(0; 0), B(m, 0), C(m− 1, 1+2m),

unde m > 0.(i) Să se determine m astfel încât triunghiul ABC să fie isoscel.(ii) Să se determine locul geometric al mijlocului medianei duse din vârful C.Elaborat,i un barem de notare rezolvând complet subiectul.

6 GRADUL II, 2014

Sibiu

I. Descrieţi metoda problematizării s,i metoda învăt,ării prin descoperire s,i dat,i cel put,in două

exemple de utilizare a uneia dintre acestea: unul din programa de gimnaziu s, i unul din pro-grama de liceu.

II. Următoarea secvent,ă face parte din programa s,colară de matematică pentru clasa a IX-a.

Competent,e specifice Cont

,inuturi

1. Recunoas,terea funct, iei de gradul

I descrisă în moduri diferite2. Identificarea unor metode gra-

fice pentru rezolvarea ecuat,iilor,inecuat,iilor, sistemelor de ecuat,ii

3. Descrierea unor proprietăt,i des-prinse din rezolvarea ecuat,iilor,inecuat,iilor, sistemelor de ecuat,ii s, idin reprezentarea grafică a funct, ieide gradul I

4. Exprimarea în limbaj matema-tic a unor situat,ii concrete ce sepot descrie prin funct, ii de gradulI, ecuat,ii, inecuat,ii sau sisteme deecuat,ii

5. Interpretarea cu ajutorulproport,ionalităt,ii a condit,iilorpentru ca diverse date să fie carac-terizate cu ajutorul unei funct, ii degradul I

6. Rezolvarea cu ajutorul funct, ieide gradul I a unei situat,ii-problemăs, i interpretarea rezultatului

Funct,ia de gradul I

• Definit, ie; reprezentarea grafică afunct, iei f : R → R, f(x) = ax + b,unde a, b ∈ R, intersect,ia graficului cuaxele de coordonate, ecuat,ia f(x) = 0

• Interpretarea grafică a proprietăt,iloralgebrice ale funct, iei: monotonie,semnul funct, iei

• Inecuat,ii de forma ax + b ≤ 0 (≥, <,>), a, b ∈ R, studiate pe R

• Pozit,ia relativă a două drepte; sisteme

de tipul

{

ax+ by = c

mx+ ny = p, a, b, c, m, n,

p ∈ R

(Programa s,colară de matematică, OMECI nr. 5099/09.09.2009)

a) Ment,ionat,i s, i descriet,i două metode de predare-învăt,are folosite în alcătuirea unui demersdidactic elaborat în vederea formării competent,elor precizate în secvent,a de mai sus justificândmodul în care aceste metode pot determina formarea competent,elor respective.

b) Precizat,i două mijloace de învăt,ământ folosite s, i argumentat,i utilitatea acestora în vedereaformării / dezvoltării competent,elor specifice precizate în secvent,a de mai sus.

c) Elaborat,i un test de evaluare formativă pentru patru dintre competent,ele specifice prezentateîn secvent,a de mai sus, cont,inând itemi: de completare, cu alegere duală, de tip perecheprecizând pentru fiecare item competent,a / competent,ele evaluate.

GALAT,I 7

Galat,i

I. Următoarea secvent,ă face parte din programa s,colară de matematică pentru clasa a VII-a.

Competent,e specifice Cont

,inuturi

1. Recunoas,terea s, i descrierea patrulate-

relor în configurat,ii geometrice date2. Identificarea patrulaterelor particulare

utilizând proprietăt,i precizate3. Utilizarea proprietăt,ilor calitative s,i me-

trice ale patrulaterelor în rezolvarea unorprobleme

4. Exprimarea prin reprezentări geome-trice a not,iunilor legate de patrulatere

5. Alegerea reprezentărilor geometriceadecvate în vederea optimizării calculelorde lungimi de segmente, de măsuri deunghiuri s, i de arii

6. Interpretarea informat,iilor deduse dinreprezentări geometrice în corelat,ie cuanumite situat,ii practice

Patrulatere• Patrulater convex (definit, ie, desen)• Suma măsurilor unghiurilor unui

patrulater convex• Paralelogram; proprietăt,i• Paralelograme particulare: drept-

unghi, romb s,i pătrat; proprietăt,i• Trapez, clasificare; trapez isoscel,

proprietăt,i• Arii (triunghiuri, patrulatere)

Prezentat,i o activitate didactică elaborată în vederea formării a cel put,in două competent,edin secvent,a de mai sus urmărind:a) precizarea a două metode didactice s, i a modului de utilizare a acestora în vederea formării

competent,elor specifice alese;b) ment,ionarea a două forme de organizare a activităt,ii didactice justificând modul în care

acestea pot favoriza formarea/dezvoltarea competent,elor specifice alese;c) precizarea a două mijloace de învăt,ă mânt care pot fi folosite în activitatea didactică

respectivă s, i motivarea utilizării acestora în formarea/dezvoltarea competent,elor specificealese.

II. Elaborat,i un item de tip întrebare structurată s, i un item de tip rezolvare de probleme precizândpentru fiecare dintre acestea competent,ele specifice evaluate din cadrul următoarei secvent,e aprogramei s,colare de matematică pentru clasa a X-a.

8 GRADUL II, 2014

Competent,e specifice Cont

,inuturi

1. Exprimarea relat,iilor de tip funct, ionalîn diverse moduri

2. Prelucrarea informat,iilor ilustrate pringraficul unei funct, ii în scopul deduce-rii unor proprietăt,i algebrice ale acesteia(monotonie, bijectivitate, semn, continu-itate, convexitate)

3. Exprimarea în limbaj matematic a unorsituat,ii concrete ce se pot descrie printr-ofunct, ie de o variabilă

4. Interpretarea unor probleme de calculîn vederea optimizării rezultatului

5. Utilizarea echivalent,ei dintre bijectivi-tate s, i inversabilitate în trasarea unorgrafice s, i în rezolvarea unor ecuat,ii

Funct,ii s

,i ecuat

,ii

• Funct, ia putere cu exponent naturalf : R → R, f(x) = xn, n ∈ N, n ≥ 2

• Funct, ia radical f : D → R, f(x) =n

√x, n ∈ N s, i n = 2; 3, unde D =

[0, +∞) pentru n par s, i D = R pen-tru n impar. Radical dintr-un nu-măr rat,ional (de ordinul 2 sau 3),proprietăt,i ale radicalilor

• Funct, ia exponent,ială f : R →(0, +∞), f(x) = ax, a ∈ (0, +∞),a 6= 1 s,i funct, ia logaritmică f :(0, +∞) → R, f(x) = loga x,a ∈ (0, +∞), a 6= 1, cres,tereexponent,ială, cres,tere logaritmică

• Rezolvări de ecuat,ii folosindproprietăt,ile funct,iilor:

– Ecuat,ii irat,ionale ce cont,in radi-cali de ordinul 2 sau 3;

– Ecuat,ii exponent,iale, ecuat,ii lo-garitmice de forma: af(a) =ag(x), a > 0, loga f(x) = b, a > 0,a 6= 1 s,i b ∈ R, utilizarea desubstitut,ii care conduc la rezol-varea de ecuat,ii algebrice

Notă. Pentru toate tipurile de funct,ii

se vor studia: intersect,ia cu axele de

coordonate, ecuat,ia f(x) = 0, repre-

zentarea grafică a proprietăt,ilor alge-

brice ale funct,iilor: monotonie, bijec-

tivitate, inversabilitate, semn, conca-vitate/convexitate

În elaborarea itemului de tip întrebare structurată succesiunea cerint,elor va asigura cres,terea treptatăa gradului de dificultate, iar răspunsul la fiecare cerint,ă nu va depinde de răspunsul la cerint,a precedentă.