20131015-EC104.pdf

7/25/2019 20131015-EC104.pdf

1/15

Evenimente, probabilitati si elemente necesare inanalizele de fiabilitate

Curs Fiabilitate

15 octombrie 2013 // ORA 14 //EC104

Curs Fiabilitate () Evenimente, probabilitati si elemente necesare in analizele de fiabilitate15 octombrie 2013

// ORA 14 //EC104/ 13
http://find/

7/25/2019 20131015-EC104.pdf

2/15

Cuprins

1 Cuprins

2 Teorema reuniunii

3 Probabilitate conditionata

4 Teorema intersectieiGeneralizareExemplu


// ORA 14 //EC104/ 13
http://find/

7/25/2019 20131015-EC104.pdf

3/15

Cuprins

Cerinte si premize

Doua sau mai multe evenimente aleatoare aflate in relatii dedependenta / independenta mutuala


// ORA 14 //EC104/ 13
http://find/

7/25/2019 20131015-EC104.pdf

4/15

Cuprins

Cerinte si premize


Pentru fiecare dintre evenimente, se cunoaste probabilitatea deaparitie, conditionata de starea/starile evenimentelor cu careinteractioneaza

Curs Fiabilitate () Evenimente, probabilitati si elemente necesare in analizele de fiabilitate15 octombrie 2013// ORA 14 //EC104

/ 13

C i
http://find/

7/25/2019 20131015-EC104.pdf

5/15

Cuprins

Cerinte si premize


Pentru fiecare dintre evenimente, se cunoaste probabilitatea deaparitie, conditionata de starea/starile evenimentelor cu careinteractioneaza

Reprezentare logica a relatiilor de dependenta/independenta dintreevenimente prin diagrama de influenta / retea Bayes


/ 13

T i ii
http://find/http://goback/

7/25/2019 20131015-EC104.pdf

6/15

Teorema reuniunii

Teorema reuniunii

P(A B) =P(A) +P(B) P(A B)

Caz particular:

A si B mutual exclusive, adica A B= : P(A B) =P(A) +P(B)Generalizare:

P(n

i=1

Ai) =n

i=1

P(Ai) n1

i=1

n

j>i

P(Ai Aj) +. . .+ (1)n+1P(

n

i=1

Ai)


/ 13

Probabilitate conditionata
http://find/

7/25/2019 20131015-EC104.pdf

7/15



Probabilitatea conditionata a realizarii unui ev. B, stiind ca ev. A s-arealizat este:

P(B|A) = P(A B)

P(A)Probabilitatea conditionata a realizarii unui ev. A, stiind ca ev. B s-arealizat este:

P(A|B) = P(A B)

P(B)


/ 13

Teorema intersectiei
http://find/

7/25/2019 20131015-EC104.pdf

8/15



P(A B) =P(A) P(B|A) =P(B) P(A|B)

Daca cunoasterea ev. B nu ofera informatii privitoare la realizareii ev. A,atunci:

P(A|B) =P(A)

A si B sunt independente dpdv probabilistic daca si numai daca:

P(A B) =P(A) P(B)

Daca evenimentele A1, A2, . . . An sunt independente, atunci:

P(n

i=1

Ai) =n

i=1

P(Ai)


/ 13


7/25/2019 20131015-EC104.pdf

9/15


.Daca A1, A2, .., An sunt evenimente astfel incat P(

n1i=1 Ai)> 0, atunci

P(

n

i=1

Ai) =P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1 A2) P(An|A1 A2 . . . An1)


/ 13

Teorema intersectiei Exemplu
http://find/

7/25/2019 20131015-EC104.pdf

10/15


Un alt exemplu de retea Bayes pentru trei evenimente

Ipoteza de lucru: A si B dependente din punct de vedere probabilistic.Se cunosc: P(A|B) = 0, 5; P(A) = 0, 4; P(B) = 0, 4.


/ 13

http://find/

7/25/2019 20131015-EC104.pdf

11/15


Aplicatie

Intrucat C A B, CA B, respectiv C A Bsunt doua cate douamutual exclusive, aplicarea teoremei reuniunii conduce la relatia:

P(C) =P(C A B) +P(CA B) +P(C A B)

P(C A B) =P(A B) P(C|(A B))


P(CA B) =P(A B) P(C|(A B))


/ 13

http://find/

7/25/2019 20131015-EC104.pdf

12/15

p

Intrucat C A B, CA B, respectiv C A Bsunt doua cate douamutual exclusive, aplicarea teoremei reuniunii conduce la relatia:

P(C) =P(C A B) +P(CA B) +P(C A B)



P(CA B) =P(A B) P(C|(A B))

Remarca: Pentru datele din enunt, avem P(C|(A B)) = 0.

Rezulta:P(CA B) =P(A B) P(C|(A B)) = 0


/ 13

http://find/

7/25/2019 20131015-EC104.pdf

13/15

Tinind cont de premiza de lucru si datele de intrare cunoscute, putem scrieurmatoarele relatii logice:A= (A B) (A B), respectivB= (A B) (A B).Rezulta:P(AB) =P(A)P(AB) =P(A)P(B)P(A|B) = 0, 40, 20, 5 = 0, 3P(AB) =P(B)P(AB) =P(B)P(B)P(A|B) = 0, 20, 20, 5 = 0, 1

cu:P(A B) =P(B) P(A|B) = 0, 2 0, 5 = 0, 1Similar:A= (A B) (A B)Rezulta:

P(A B) =P(A) P(A B) = 0, 6 0, 1 = 0, 5Verificare: 0, 1 + 0, 3 + 0, 1 + 0, 5 = 1Raspuns:P(C) = 0, 1 0, 6 + 0, 2 0, 3 + 0, 2 0, 1 = 0, 14


/ 13

http://find/

7/25/2019 20131015-EC104.pdf

14/15

Sistemul 2/3 , respectiv 3x50%

Fie evenimentele A, B, respectiv C, aflate in relatia de dependenta

probabilista: A BC. Fie evenimentul D=AB+AC+BC.Se cunosc: P(B) = 0, 2; P(B|A) = 0, 3; P(B|A) = 0, 1;P(C|B) = 0, 1;P(C|B) = 0, 05.Sa se exprime si sa se calculeze: P(A), P(C), P(A|B), respectiv P(D).

Rezolvare:Evenimentul B se realizeaza impreuna cu A sau impreuna cu A:B=AB+AB; Rezulta: P(B) =P(A)P(B|A) +P(A)P(B|A).

P(A) = P(B) P(B|A)

P(B|A) P(B|A)

=0, 2 0, 1

0, 3 0, 1

= 0, 5

Simila:rP(C) =P(B)P(C|B) +P(B)P(C|B)

respectivP(C) = 0, 2 0, 1 + 0, 8 0, 05 = 0, 02 + 0, 04 = 0, 06


/ 13


7/25/2019 20131015-EC104.pdf

15/15

Sistemul 2/3 , respectiv 3x50% continuare

P(A|B) =P(B|A) P(A)/P(B) = 0, 3 0, 5/0, 2 = 0, 75

Pentru calculul lui P(D) avem:P(ABC) =P(A) P(B|A) P(C|B) = 0, 5 0, 3 0, 1 = 0, 015 ;P(ABC) = (1 P(A)) P(B|A) P(C|B) = 0, 5 0, 1 0, 1 = 0, 005 ;P(ABC) =P(A) (1 P(B|A)) P(C|B) = 0, 5 0, 7 0, 05 = 0, 0175 ;P(ABC) =P(A) P(B|A) (1 P(C|B)) = 0, 5 0, 3 0, 9 = 0, 135 ;P(D) =P(ABC) +P(ABC) +P(ABC) +P(ABC) = 0, 1725Verificare:P(BC) =P(ABC) +P(ABC) = 0, 015 + 0, 005 = 0, 02;Pe de alta parte, avem P(BC) =P(B) P(C|B) = 0, 2 0, 1 = 0, 02

P(AB) =P(ABC) +P(ABC) = 0, 015 + 0, 135 = 0, 15;Pe de alta parte, avem P(AB) =P(A) P(B|A) = 0, 5 0, 3 = 0, 15P(AC) =P(ABC) +P(ABC) = 0, 015 + 0, 0175 = 0, 0325Verificare 2: P(D) =P(AB) +P(BC) +P(AC) 2 P(ABC) =0, 15 + 0, 02 + 0, 0325 2 0, 015 = 0, 1725


/ 13
http://find/

20131015-EC104.pdf

Documents

Transcript of 20131015-EC104.pdf