Site-ul concursului este www.concurs-euclid.ro Clasa a XII -a

1

Concursul National “EUCLID” 17 11 2012

Clasa a XII -a PROGRAMA I NOTĂ. La subiectul I există un singur răspuns corect .La subiectul II se va da direct răspunsul.La subiectele III si IV se cer rezolvările complete. Se acordă 10 puncte din oficiu.Timp de lucru efectiv 3 ore

SUBIECTUL I ( 20p) (Se scrie pe foaia de concurs doar litera corespunzătoare răspunsului corect)

Pe R considerăm legea de compoziţie “ ”, definită prin 2 2 6x y xy x y .

(4p) 1) Egalitatea yx 2 2 2x y , Ry,x , are loc

a)Pentru R y,x b) Numai când yx c) Numai când yx d) Numai când yx

(4p) 2) Elementul neutru al legii de compoziţie “ ” este:

a) 1,5 b) 4 c) 2 d) 3

(4p) 3) Relaţia zyxzyx )()( este adevărată

a)Numai când zyx b) R zyx ,, c) Numai când zyx d) Numai când yx .

(4p) 4)O primitivă a funcţiei R,0:f , ln2 xf xx

este R,0:F

a) xF xx ln b) xF xxx ln c) xF xxx ln d) xF 2ln x . (4p) 5)Dacă RR :F este o primitivă a funcţiei RR :f , xf x e , atunci xF

x lim

a) este un număr real b) este c) este d) nu există SUBIECTUL II ( 40p ) (Se scriu pe foaia de concurs doar numărul exerciţiului şi rezultatul

corespunzător)

(4p) 1) Cât este suma elementelor din grupul , 6Z ?

(4p) 2) Cât este produsul elementelor din monoidul , 8Z ?

(4p) 3) Daţi un exemplu de grup cu 10 elemente.

(4p) 4) Daţi un exemplu de grup cu o infinitate de elemente .

(4p) 5) Scrieţi o primitivă a funcţiei RR :f , cosf x x .

(4p) 6) Cât este 3

dxx , ,0x ?

(4p) 7) Care este funcţia RR :f , care are primitiva RR :F , 2xF x e ? (4p) 8) Dacă RR :F este o primitivă a funcţiei RR :f , sinf x x , cât este

xxF

x lim ?

(4p) 9) Dacă RR :F este o primitivă a funcţiei RR :f , max ,1f x x , cât este 01 FF ?

(4p) 10) Dacă RR :F este o primitivă a funcţiei RR :f , 2

11

f xx

, cât

este 01 FF ?

Site-ul concursului este www.concurs-euclid.ro Clasa a XII -a

2

SUBIECTUL III ( 15p ) ( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă)

Pe R se defineşte legea de compoziţie " " prin 2 , ,x y x y x y R.

(4p) a) Să se arate că legea " " nu este comutativă.

(4p) b) Să se calculeze 1 (2 3) şi (1 2) 3 .

(2p) c) Să se arate că legea " " nu este asociativă.

(2p) d) Să se arate că mulţimea (0, ) este parte stabilă în raport cu legea " " .

(1p) e) Să se arate că dacă mulţimea AR este finită şi este parte stabilă în raport cu legea " " ,

atunci {0}A .

(1p) f) Să se determine patru numere , , ,a b c d R, astfel încât toate cele 5 expresii posibile

1 2 3( ) ( ), (( ) ) , ( ( ))E a b c d E a b c d E a b c d , 4 (( ) ),E a b c d

5 ( ( ))E a b c d să aibă valori diferite. (1p) g) Să se arate că pentru orice nN, 3n , există 1 2, ,..., na a a R, astfel încât toate

expresiile ce se pot obţine utilizând parantezele pentru compunerea termenilor 1 2, ,..., na a a ,

(în această ordine) să fie diferite.

SUBIECTUL IV ( 15p ) ( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă)

Se consideră funcţiile :u R R , ( ) 1 cosu x x , :v R R , ( ) sinv x x x ,

2

1( )1

w xx

.

(4p) a) Să se verifice că funcţia v este primitivă pentru funcţia u.

(4p) b) Să se verifice că funcţia u este periodică şi mărginită.

(2p) c) Să se arate că funcţia v nu este periodică şi este nemărginită.

(2p) d) Să se arate că ( ) ( ) 1, ,w x w y x y R .

(1p) e) Să se arate că dacă :t R R este o primitivă a funcţiei w, atunci

( ) ( ) 4, ,t x t y x y R .

(1p) f) Să se determine două funcţii , :f F R R , astfel încât F să fie o primitivă funcţiei f şi

22

1( ) ( ) , ,9

F x F y x y R şi 22

1( ) ( ) , ,9

f x f y x y R .

(1p) g) Să se determine trei funcţii , , :g G H R R , astfel încât G să fie o primitivă pentru g, H

să fie o primitivă pentru G şi 1( ) ( ) ,1992

g x g y 1( ) ( ) ,1992

G x G y şi

1( ) ( ) , .1992

H x H y x y R .

Test conceput de Ion Savu şi Gheorghe Stoianovici