Site-ul concursului este www.concurs-euclid.ro Clasa a IX -a

1

Concursul National “EUCLID”

17 11 2012 Clasa a IX -a PROGRAMA M I

NOTĂ. La subiectul I există un singur răspuns corect .La subiectul II se va da direct răspunsul.La subiectele III si IV se cer rezolvările complete. Se acordă 10 puncte din oficiu.Timp de lucru efectiv 3 ore

SUBIECTUL I ( 20p )

(Se scrie pe foaia de concurs doar litera corespunzătoare răspunsului corect)

(4p) 1) Câte numere întregi sunt în intervalul 1, 9 ?

a)7 b) 8 c) 9 d) 6

(4p) 2) Cât este 1, 2 1,8 0,9 0,1 ? (Prin a am notat partea întreagă a numărului real a )

a) 0 b) 1 c) 1 d) 2

(4p) 3) Cât este 10,5 10,5 7,5 7,5 ? (Prin a am notat partea fracţionară a numărului

real a ) a) 0 b) 1 c) 2 d) 0,5

(4p) 4) Cât este diagonala unui patrat care are lungimea laturii egală cu 1 ?

a)2 b) 2 c) 3 d) 1

(4p) 5) Cât este aria laterală a unui cub care are lungimea muchiei egală cu 1 ?

a) 6 b) 4 c) 1 d) 2

SUBIECTUL II ( 40p) (Se scriu pe foaia de concurs doar numărul exerciţiului şi rezultatul corespunzător)

(4p) 1) Care sunt soluţiile reale ale ecuaţiei 2 4 3 0x x ?

(4p) 2) Care este suma soluţiilor reale ale ecuaţiei 2 6 5 0x x ?

(4p) 3) Care este produsul soluţiilor reale ale ecuaţiei 2 6 5 0x x ?

(4p) 4) Dacă mulţimea A B are 10 elemente, mulţimea A are 8 elemente, mulţimea B are

7 elemente, câte elemente are mulțimea A B ?

(4p) 5) Dacă 1 21 0, ... ...

37 na a a , cât este 10a ?

(4p) 6) Dacă 1 21 0, ... ...

37 na a a , cât este 1 2 10...a a a ?

(4p) 7) Care este produsul primelor 10 zecimale ale numărului 145 ?

(4p) 8) Cât este aria unui triunghi echilateral care are lungimea laturii egală cu 1 ?

(4p) 9) Cât este lungimea razei cercului circumscris al unui triunghi echilateral care are

lungimea laturii egală cu 1 ?

(4p) 10) Cât este aria unui patrat care are lungimea laturii egală cu 1 ?

Site-ul concursului este www.concurs-euclid.ro Clasa a IX -a

2

SUBIECTUL III ( 15p ) ( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă)

Se consideră numerele reale a, b, c, x, y, z strict pozitive.

(4p) a) Să se arate că, dacă a b şi c d , atunci ac bd ad bc .

(4p) b) Să se arate că, dacă a b şi c d , atunci a b a bc d d c .

(2p) c) Să se arate că, dacă a b şi c d , atunci 1 1 2 a ba bc d c d

.

(2p) d) Să se arate că 1 1 4c d c d

.

(1p) e) Să se arate că, dacă a b şi c d atunci, 2 a ba bc d c d

.

(1p) f) Să se arate că, dacă 1x y , atunci 2 2 12

x y .

(1p) g) Să se demonstreze că, dacă 1x y , atunci 2 22 2 2 2 12

1 1 2x y y x

yz xz z

.

SUBIECTUL IV ( 15p ) ( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă) Se consideră un triunghi echilateral ABC , cu latura de lungime 2 şi un punct M în

interiorul său . Picioarele perpendicularelor duse din M pe segmentele ABCABC ,, se

notează cu FED ,, . Notăm lungimile segmentelor: aBD 1 , bCE 1 şi cAF 1 ,

unde 1,1,, cba .

(4p) a) Să se determine măsura în grade a unghiului

ABC .

(4p) b) Utilizând teorema lui Pitagora, să se arate că 2222 DCBDMCMB .

(2p) c) Să se verifice identitatea xyzxzyzxyzyxzyx 1111 ,

R zyx ,, .

(2p) d) Să se arate că 0222222 FBAFEACEDCBD .

(1p) e) Să se arate că 0 cba .

(1p) f) Să se arate că 3 FACEBD .

(1p) g) Să se arate că, dacă BD CE AF CD EA BF , atunci punctul M se află pe una

dintre înălţimile triunghiului ABC .

Test conceput de Ion Savu şi Felician Preda