2011 Tit
2
TITULARIZARE 2011 SUBIECTUL I 1. Pentru fiecare n um˘ ar natural nenul n not˘ am cu a n ultima cifr˘ a a num˘ arului 1 2 + 2 2 + ··· + n 2 . a) Ar˘ atat , i c˘ a 1 2 + 2 2 + ··· + n 2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 , ∀ n ≥ 1. b) Calculat , i a 7 . c) Ar˘ atat , i c˘ a s , irul (a n ) n≥1 este periodic de perioad˘ a 20. d) Calculat , i a m , pentru m = 2011 2011 . 2. Se c onsider˘ a triunghiul ascut , itunghic ABC s , i A ′ , B ′ , respectiv C ′ , mijloacele arcelor mici ˜ BC , ˜ CA, respectiv ˜ AB ale cercului circumscris triunghiului ABC . Fie I centrul cerculu i ˆ ınscris ˆ ın triung hiul AB C . a) Demonstrat , i c˘ a dreptele AA ′ , B B ′ s , i CC ′ sunt concurente. b) Ar˘ atat , i c˘ a triung hiul B IA ′ este isoscel. c) Demonstrat , i c˘ a punctul I este ortocentrul triunghiului A ′ B ′ C ′ . d) Demonstrat , i c˘ a AI = I A ′ dac˘ a s , i numai dac˘ a r = R(1 − cos A), unde r este raza cercului ˆ ınscris ˆ ın triun ghiul ABC , iar R este raza cercului circumscris triunghiului ABC. SUBIECTUL II 1. Fie mult , imea M = { a + b √ 5 | a, b ∈ Z}. a) Verificat , i dac˘ a 6 + 2 √ 5 ∈ M . b) Ar˘ atat , i c˘ a, dac˘ a x, y ∈ M , atunci x + y − xy ∈ M . c) Fie x = a + b √ 5 ∈ M , x = 0. Ar˘ atat , i c˘ a 1 x ∈ M dac˘ a s , i numai dac˘ a |a 2 − 5b 2 | = 1. d) Ar˘ atat , i c˘ a exist˘ a o infinitate de elemente x ∈ M a stfel ˆ ı ncˆat 1 x ∈ M . 2. Fie funct , ia f : R → R, f (x) = 1 3 + cos x · a) Ar˘ atat , i c˘ a orice primitiv˘ a a funct , iei f este strict cresc˘ atoare pe R. b) Calculat , i f (x)sin x dx, x ∈ R. c) Demonstrat , i c˘ a funct , ia f nu are limit˘ a la +∞. d) Calculat , i 2π 0 f (x) dx. SUBIECTUL III Proiectat , i un test scris, ˆ ınsot , it de baremul de evaluare s , i de notare, pentru evaluarea sumativ˘ a la finalul anului s , colar , la disci plina/ una dintre discipline le la care sust , inet , i concurs ul, pentru ˆ ınv˘ at , ˘ amˆ ıntul gimnazi al/lic eal. ˆ In vederea acord˘ arii punctajului: - vet , i ment , iona urm˘ atoarele elemente: disciplina/modulul de preg˘ atire profesional˘ a, clasa,capitolele/cont , inuturile s , i timpul de lucru; - vet , i construi 2 itemi de tip pereche, 2 itemi de tip r˘ aspuns scurt/de completare, 1 item de tip ˆ ıntrebare structurat˘ a s , i 1 item de tip eseu/ rezolvare de probleme; - vet , i redacta un barem ˆ ın care se distribuie 90 de puncte s , i se acord˘ a 10 puncte din oficiu. 1
-
Upload
andreea-niculescu -
Category
Documents
-
view
223 -
download
0
description
titularizare
Transcript of 2011 Tit
-
TITULARIZARE 2011
SUBIECTUL I
1. Pentru fiecare numar natural nenul n notam cu an ultima cifra a numarului 12 + 22 + + n2.
a) Aratat,i ca 12 + 22 + + n2 = n(n+ 1)(2n+ 1)
6, n 1.
b) Calculat,i a7.
c) Aratat,i ca s
,irul (an)n1 este periodic de perioada 20.
d) Calculat,i am, pentru m = 2011
2011.
2. Se considera triunghiul ascut,itunghic ABC s
,i A, B, respectiv C, mijloacele arcelor mici BC, CA, respectiv
AB ale cercului circumscris triunghiului ABC. Fie I centrul cercului nscris n triunghiul ABC.
a) Demonstrat,i ca dreptele AA, BB s
,i CC sunt concurente.
b) Aratat,i ca triunghiul BIA este isoscel.
c) Demonstrat,i ca punctul I este ortocentrul triunghiului ABC.
d) Demonstrat,i ca AI = IA daca s
,i numai daca r = R(1cosA), unde r este raza cercului nscris n triunghiul
ABC, iar R este raza cercului circumscris triunghiului ABC.
SUBIECTUL II
1. Fie mult,imea M = {a+ b5 | a, b Z}.
a) Verificat,i daca
6 + 2
5 M .
b) Aratat,i ca, daca x, y M , atunci x+ y xy M .
c) Fie x = a+ b5 M , x 6= 0. Aratat
,i ca
1
xM daca s
,i numai daca |a2 5b2| = 1.
d) Aratat,i ca exista o infinitate de elemente x M astfel ncat 1
xM .
2. Fie funct,ia f : R R, f(x) = 1
3 + cosx
a) Aratat,i ca orice primitiva a funct
,iei f este strict crescatoare pe R.
b) Calculat,i
f(x) sinx dx, x R.
c) Demonstrat,i ca funct
,ia f nu are limita la +.
d) Calculat,i
2pi0
f(x) dx.
SUBIECTUL III
Proiectat,i un test scris, nsot
,it de baremul de evaluare s
,i de notare, pentru evaluarea sumativa la finalul anului
s,colar, la disciplina/una dintre disciplinele la care sust
,inet
,i concursul, pentru nvat
,amntul gimnazial/liceal.
In vederea acordarii punctajului:
- vet,i ment
,iona urmatoarele elemente: disciplina/modulul de pregatire profesionala, clasa,capitolele/cont
,inuturile
s,i timpul de lucru;
- vet,i construi 2 itemi de tip pereche, 2 itemi de tip raspuns scurt/de completare, 1 item de tip ntrebare structurata
s,i 1 item de tip eseu/ rezolvare de probleme;
- vet,i redacta un barem n care se distribuie 90 de puncte s
,i se acorda 10 puncte din oficiu.
1
-
Etapa pentru suplinire - 4 august 2011
SUBIECTUL I
1. Ecuat,ia 2x2 + 2(m+ 2)x+m2 + 4m+ 3 = 0, m R are solut
,iile x1 s, i x2, cu x1, x2 C.
a) Determinat,i cea mai mica valoare ntreaga a lui m pentru care x1 s, i x2 sunt numere reale.
b) Pentru ce valori reale ale lui m are loc inegalitatea |x1 + x2 + x1x2|?c) Determinat
,i valorile reale ale lui m pentru care cel put
,in unul dintre numerele x1 s, i x2 este ntreg.
d) Dat,i exemplu de m Q\Z pentru care ecuat
,ia are ambele solut
,ii n Q.
2. Se considera triunghiul ABC care nu este obtuzunghic. Se noteaza cu r raza cercului nscris s,i cu R raza cercului
circumscris triunghiului ABC.
a) Aratat,i ca B + C pi
2.
b) S,tiind ca B = C =
pi
4, aratat
,i ca AB +AC = 2(r +R).
c) Aratat,i ca sinB cosC.
d) Demonstrat,i inegalitatea AB +AC 2(r +R).
SUBIECTUL II
1. Fie p 3 un numar prim s,i polinomul f = Xp1 +Xp2 + +X + 1 C[X ].
a) Calculat,i f(1).
b) Aratat,i ca daca z C s
,i f(z) = 0, atunci |z| = 1.
c) Determinat,i restul mpart
,irii lui f(2) la p.
d) Aratat,i ca daca q este un numar prim s
,i q divide f(3), atunci p divide q 1.
2. Fie funct,iile f , g : R R, f(x) = 2x
2
x2 + 1, g(x) = 2x 2 arctanx s
,i s
,irul (an)n1, definit prin an =
n
0
f(x) dx.
a) Aratat,i ca funct
,ia g este o primitiva a funct
,iei f pe R.
b) Determinat,i ecuat
,ia asimptotei spre + a graficului funct
,iei g.
c) Calculat,i an.
d) Calculat,i limn
2n an
pi
n.
SUBIECTUL III
Proiectat,i un test scris, nsot
,it de baremul de evaluare s
,i de notare, pentru evaluarea sumativa la finalul anului
s,colar, la disciplina/una dintre disciplinele la care sust
,inet
,i concursul, pentru nvat
,amntul gimnazial/liceal.
In vederea acordarii punctajului:
- vet,i ment
,iona urmatoarele elemente: disciplina/modulul de pregatire profesionala, clasa,capitolele/cont
,inuturile
s,i timpul de lucru;
- vet,i construi 2 itemi obiectivi, 2 itemi de tip semiobiectivi s
,i 2 itemi subiectivi;
- vet,i redacta un barem n care se distribuie 90 de puncte s
,i se acorda 10 puncte din oficiu.
2
