OLIMPIADA NAT,IONALA DE MATEMATICA

ETAPA NAT,IONALA, 2010

Clasa a IX-a

I. Se considera triunghiul ABC s,i punctele D, E, F ın care bisectoarele unghiurilor ∢BAC,

∢ABC, respectiv ∢ACB taie cercul sau circumscris.

1) Aratat,i ca ortocentrul triunghiului DEF coincide cu centrul cercului ınscris ın tri-

unghiul ABC.

2) Aratat,i ca, daca

−−→AD +

−−→BE +

−→CF = ~0, atunci triunghiul ABC este echilateral.

II. Demonstrat,i ca exista o asemanare ıntre un triunghi ABC s

,i triunghiul avand ca laturi

medianele sale daca s,i numai daca patratele lungimilor laturilor triunghiului ABC sunt

ın progresie aritmetica.

III. Pentru orice numar natural n ≥ 2 notam cu An mult,imea solut

,iilor reale ale ecuat

,iei

x =[x

2

]

+[x

3

]

. . .+[x

n

]

.

1) Determinat,i A2 ∪A3.

2) Aratat,i ca mult

,imea A =

⋃

n≥2

An este finita s,i determinat

,i maxA.

IV. Se considera mult,imea F a funct

,iilor f : N → N care au prorpietatea:

f(a2 − b2) = f 2(a)− f 2(b),

pentru orice a, b ∈ N, a ≥ b.

1) Determinat,i {f(1) | f ∈ F}.

2) Aratat,i ca F are exact doua elemente.

1

Clasa a X-a

I. Se considera s,irul (an)n≥0 de numere reale strict pozitive, pentru care

n∑

k=0

Ckn · ak · an−k = a2n,

pentru orice n ≥ 0. Sa se arate ca s,irul este o progresie geometrica.

II. Fie v, w ∈ C∗, distincte. Sa se arate ca

|zw + w| ≤ |zv + v|,

pentru orice z ∈ C, |z| = 1, daca s,i numai daca exista k ∈ [−1, 1] astfel ıncat w = kv.

III. Se considera ın plan 100 de puncte, oricare trei necoliniare. Punctele se ımpart ın 10grupe, fiecare avand cel put

,in trei puncte. Oricare doua puncte din aceeas

,i grupa se

unesc ıntre ele cu un segment.

1) Sa se determine pentru ce ımpart,ire a punctelor numarul de triunghiuri formate cu

aceste segmente este minim.

2) Sa se arate ca exista o alegere a grupelor cu proprietatea ca toate segmentele pot ficolorate cu trei culori astfel ıncat sa nu existe un triunghi avand laturile colorate cuaceeas

,i culoare.

IV. In exteriorul triunghiului neechilateral ABC se considera triunghiurile asemenea ABM ,BCN s

,i CAP astfel ıncat triunghiul MNP sa fie echilateral. Sa se determine masurile

unghiurilor triunghiurilor ABM , BCN s,i CAP .

2

Clasa a XI-a

I. Se considera numerele reale a, b cu b− a2 > 0. Determinat,i toate matricele A ∈ M2(R)

astfel ıncat det(A2 − 2aA+ bI2) = 0.

II. Fie matricele A, B, C ∈ Mn(R) astfel ıncat ABC = On s,i rang(B) = 1. Aratat

,i ca

AB = On sau BC = On.

III. Fie f : R → [0,∞). Aratat,i ca f satisface inegalitatea f(x + y) ≥ (1 + y)f(x) pentru

orice x ∈ R s,i orice y ≥ 0, daca s

,i numai daca funct

,ia g : R → [0,∞) definita prin

g(x) = e−xf(x), pentru orice x ∈ R, este crescatoare.

IV. Pentru un numar real pozitiv a, definim s,irul de numere reale (xn)n prin x1 = a s

,i relat

,ia

de recurent,a

xn+1 =

∣

∣

∣

∣

xn −1

n

∣

∣

∣

∣

,

pentru n ≥ 1.

Aratat,i ca s

,irul este convergent s

,i calculat

,i limita.

3

Clasa a XII-a

I. Fie f : R → R o funct,ie monotona s

,i F : R → R, F (x) =

∫ x

0

f(t) dt.

Aratat,i ca daca F este derivabila, atunci f este continua.

II. Un inel A are proprietatatea (P) daca orice element nenul se scrie ın mod unic ca sumadintre un element inversabil s

,i unul neinversabil.

1) Daca ın inelul A, 1 + 1 6= 0, aratat,i ca A are proprietatea (P) daca s

,i numai daca

A este corp.

2) Dat,i un exemplu de inel cu cel put

,in doua elemente, care are proprietatea (P), dar

nu este corp.

III. Fie G un grup finit cu n elemente,

H = {x | x ∈ G si x2 = e},

unde e este elementul neutru al lui G, s,i p numarul elementelor lui H .

Aratat,i ca:

1) card(H ∩ xH) ≥ 2p− n, oricare ar fi x ∈ G, unde xH = {xh | h ∈ H}.

2) Daca p >3n

4, atunci G este comutativ.

3) Dacan

2< p ≤ 3n

4, atunci G este necomutativ.

IV. Fie f : [−1, 1] → R o funct,ie continua, derivabila ın 0, s

,i

I(h) =

∫ h

−h

f(x) dx, h ∈ [0, 1].

Aratat,i ca:

1) Exista M > 0, astfel ıncat |I(h)− 2f(0)h| ≤ Mh2, oricare ar fi h ∈ [0, 1].

2) S,irul (an)n∈N∗ , definit prin an =

n∑

k=1

√k

∣

∣

∣

∣

I

(

1

k

)∣

∣

∣

∣

, este convergent daca s,i numai daca

f(0) = 0.

4

Primul test de select,ie pentru OBM s

,i OIM

I. Fie P1, P2, . . ., Pn puncte distincte pe un cerc, n ≥ 3. Determinat,i numarul maxim de

coarde ınchise [PiPj], i 6= j, cu proprietatea ca oricare doua au un punct comun.

II. Fie numerele reale strict pozitive a1, a2, . . ., an. Aratat, i ca funct,ia f : [0,∞) → R,

f(x) =a1 + x

a2 + x+

a2 + x

a3 + x+ . . .+

an−1 + x

an + x+

an + x

a1 + x,

este descrescatoare.

III. Se considera doua dreptunghiuri congruente de arie 2, astfel ıncat suprafet,ele acestora se

intersecteaza dupa un octogon ABCDEFGH . Aratat,i ca aria patrulaterului ACEG este

mai mare sau egala cu 1.

IV. Cercurile γ1 s, i γ2 se intersecteaza ın punctele M s,i N . Fie A un punct situat pe cercul γ1

s,i D un punct situat pe cercul γ2. Dreptele AM s

,i AN intersecteaza a doua oara cercul

γ2 ın punctele B, respectiv C. Dreptele DM s,i DN intersecteaza a doua oara cercul γ1

ın punctele E, respectiv F . Punctele A, E s,i F sunt situate de aceeas

,i parte a dreptei

MN . S,tiind ca segmentele AB s

,i DE sunt congruente, aratat

,i ca punctele A, F , C s

,i D

sunt situate pe un cerc al carui centru nu depinde de pozit,ia punctelor A s

,i D.

V. Fie n s,i a doua numere naturale astfel ıncat a nu are niciun factor prim mai mic sau egal

cu n. Aratat,i ca n! divide

(a− 1)(a2 − 1) . . . (an−1 − 1).

5

Al doilea test de select,ie pentru OBM s

,i OIM

I. Fie n un numar ıntreg strict pozitiv. Sa se determine valoarea minima a numarului

max

(

x1

1 + x1

,x2

1 + x1 + x2

, . . . ,xn

1 + x1 + x2 + . . .+ xn

)

,

unde x1, x2, . . ., xn sunt numere reale pozitive, a caror suma este egala cu 1.

II. 1) Fie k un numar ıntreg strict pozitiv. Sa se demonstreze ca nu exista doua numereıntregi distincte din intervalul deschis (k2, (k + 1)2) al caror produs sa fie patratperfect.

2) Fie n un numar ıntreg strict mai mare decat 2. Sa se demonstreze ca exista unnumar natural p cu proprietatea ca, pentru orice numar ıntreg k mai mare decat p,ın intervalul deschis (kn, (k + 1)n) exista n numere ıntregi distincte al caror produssa fie puterea de ordin n a unui numar ıntreg.

III. Consideram doua cercuri C1 s,i C2 tangente ın punctul P . Prin P se duc doua drepte

d1, d2. Dreapta d1 intersecteaza cercul C1 ın B s,i cercul C2 ın punctul F , iar dreapta d2

intersecteaza cercul C1 ın C s,i cercul C2 ın punctul G. Fie A un punct arbitrar, nesituat

pe cele doua cercuri s,i nici pe cele doua drepte. Cercul circumscris triunghiului PAB

intersecteaza cercul C2 ın punctulD, iar cercul circumscris triunghiului PAC intersecteazacercul C2 ın punctul E. Sa se arate ca dreptele AP , EF , DG sunt concurente sau paralele.

IV. Fie n un numar ıntreg mai mare sau egal cu 2. In interiorul patratului [0, n] × [0, n] seconsidera un poligon convex a carui arie este strict mai mare decat n. Sa se arate caexista un punct de coordonate ıntregi situat ın interiorul sau pe laturile poligonului.

6

Al treilea test de select,ie pentru OBM s

,i OIM

I. Fie n un numar ıntreg pozitiv s,i x1, x2, . . ., xn numere reale pozitive astfel ıncat x1x2 . . . xn =

1. Aratat,i ca

n∑

i=1

xni (1 + xi) ≥

n

2n−1

n∏

i=1

(1 + xi).

II. Fie ABC un triunghi astfel ıncat AB 6= AC. Bisectoarele interioare ale unghiurilor ABC

s,i ACB intersecteaza laturile opuse ın punctele B0, respectiv C0, s, i cercul circumscristriunghiului ABC ın punctele B1, respectiv C1. Fie I centrul cercului ınscris ın triunghiulABC. Aratat

,i ca dreptele B0C0, B1C1 s

,i paralela prin I la BC sunt concurente.

III. Fie a un numar ıntreg strict pozitiv. Aratat,i ca exista o infinitate de numere ıntregi m,

m ≥ 1, astfel ıncat σ(am) < σ(am+ 1), unde σ(n) este suma tuturor divizorilor pozitiviai numarului natural n ≥ 1, inclusiv 1 s

,i n.

IV. Fie X s,i Y doua submult

,imi finite ale intervalului [0, 1), astfel ıncat 0 ∈ X∩Y s

,i x+y 6= 1

oricare ar fi x ∈ X si y ∈ Y . Aratat,i ca mult

,imea

{x+ y − ⌊x+ y⌋ | x ∈ X s,i y ∈ Y }

are cel put,in |X| + |Y | − 1 elemente, unde ⌊a⌋ este partea ıntreaga a numarului real a,

iar |A| este numarul de elemente ale mult,imii A.

7