Analiza 1Notit,e de seminar

Adrian ManeaCurs: R. Purnichescu-Purtan

13 ianuarie 2020

Cuprins

1 Serii de numere reale pozitive 21.1 Seria geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Seria armonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Criterii de convergent, a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Criterii de convergent, a (cont.). Serii oarecare 62.1 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Serii alternante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Aproximarea sumelor seriilor convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Convergent, a seriilor — Exercit, ii 9

4 S, iruri s, i serii de funct, ii 114.1 Convergent, a punctuala s, i uniforma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.2 Transferul proprietat, ilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.3 Serii de puteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.4 Serii Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.5 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5 Part, ial 2018–2019 17

6 Integrale curbilinii 196.1 Elemente de teorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196.2 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

7 Examen 2018–2019 22

Index 23

1

SEMINAR 1

SERII DE NUMERE REALE POZITIVE

Intuitiv, o serie poate � gındita ca o suma in�nita, data de o regula a unui termen general. Deexemplu, seria:

∑n≥0

3n5n2 + 2n − 1

are termenul general de forma xn =3n

5n2 + 2n − 1s, i putem rescrie seria mai simplu ∑ xn, presu-

punınd implicit ca indicele n ia cea mai mica valoare permisa s, i merge pına la ∞.Natura seriilor este fundamental diferita de cea a s, irurilor prin faptul ca seriile acumuleaza.

De exemplu, sa consideram s, irul constant an = 1, ∀n. Atunci, evident, limn→∞

an = 1. Pe de altaparte, daca luam seria de termen general an, adica ∑ an, observam ca aceasta are suma ∞, decieste divergenta.

In continuare, vom studia criterii prin care putem decide daca o serie este sau nu conver-genta. Dar ınainte de aceasta, vom folosi foarte des doua serii particulare, pe care le detaliem ıncontinuare.

1.1 Seria geometricaPornim de la progresiile geometrice studiate ın liceu. Fie (bn) o progresie geometrica, cu primultermen b1 s, i cu rat, ia q. Deci termenul general are formula bn = b1qn−1. Atunci suma primilor ntermeni ai progresiei se poate calcula cu formula:

Sn =n

∑k=1

bk = b1 ⋅qn − 1q − 1

.

Daca, ınsa, ın aceasta suma consideram ”tot, i“ termenii progresiei, obt, inem seria geometrica,anume ∑

n≥1bn.

2

Suma acestei serii coincide cu limn→∞

Sn s, i se poate observa cu us, urint, a ca seria geometrica esteconvergenta daca s, i numai daca |q| < 1. Mai mult, ın caz de convergent, a, suma seriei se poatecalcula imediat ca �ind b1 ⋅

11 − q

.

1.2 Seria armonicaAceasta serie se mai numes, te funct, ia zeta a lui Riemann s, i se de�nes, te astfel:

� (s) = ∑n≥1

1ns, s ∈ ℚ.

Remarcam cıteva cazuri particulare:

� (0) = ∑ 1 = ∞

� (1) = ∑1n= ∞

� (2) = ∑1n2

=� 2

6� (−1) = ∑ n = ∞

� (−2) = ∑ n2 = ∞.

Rezultatul general este:

Teorema 1.1: Seria armonica � (s) este convergenta daca s, i numai daca s > 1.

1.3 Criterii de convergent, aNe pastram ın continuare ın contextul seriilor cu termeni reali s, i pozitivi, pe care le scriem ıngeneral ∑ xn.

Convergent, a poate � decisa us, or folosind criteriile de mai jos.Criteriul necesar: Daca lim

n→∞xn ≠ 0, atunci seria ∑ xn este divergenta.

Observatie 1.1: Sa remarcam ca, as, a cum ıi spune s, i numele, criteriul de mai sus da doar condit, iinecesare, nu s, i su�ciente pentru convergent, a! De exemplu, pentru � (1), termenul general tindecatre 0, dar seria este divergenta.

Criteriul de comparat, ie termen cu termen: Fie ∑ yn o alta serie de numere reale s, i pozi-tive.

3

• Daca xn ≤ yn, ∀n, iar seria ∑ yn este convergenta, atunci s, i seria ∑ xn este convergenta;

• Daca xn ≥ yn, ∀n, iar seria ∑ yn este divergenta, atunci s, i seria ∑ xn este divergenta.

Acest criteriu seamana foarte mult cu criteriul de comparat, ie de la s, iruri. Astfel, avem ca uns, ir mai mare (termen cu termen) decıt un s, ir divergent este divergent, iar un s, ir mai mic (termencu termen) decıt un s, ir convergent este convergent. Celelalte cazuri sınt nedecise.

De asemenea, mai remarcam ca, ın studiul seriei ∑ xn apare seria ∑ yn, care trebuie aleasaconvenabil astfel ıncıt sa aiba loc condit, iile criteriului. In practica, cel mai des vom alege aceastanoua serie ca �ind o serie geometrica sau una armonica, cu rat, ia, respectiv exponentul aleseconvenabil.

Criteriul de comparat, ie la limita: Fie ∑ yn o alta serie de numere reale s, i pozitive, astfelıncıt lim

n→∞

xnyn

∈ (0,∞). Atunci cele doua serii au aceeas, i natura, adica ∑ xn este convergenta daca

s, i numai daca ∑ yn este convergenta.

Criteriul raportului: Fie � = limn→∞

xn+1xn

.

• Daca � > 1, atunci seria ∑ xn este divergenta;

• Daca � < 1, atunci seria ∑ xn este convergenta;

• Daca � = 1, atunci criteriul nu decide.

Criteriul radical: Fie � = limn→∞

n√xn.

• Daca � > 1, atunci seria ∑ xn este divergenta;

• Daca � < 1, atunci seria ∑ xn este convergenta;

• Daca � = 1, atunci criteriul nu decide.

4

1.4 Exercit, ii1. Studiat, i convergent, a seriilor ∑ xn ın cazurile de mai jos:

(a) xn = (3n

3n + 1)n; (D, necesar)

(b) xn =1n!

; (C, raport)

(c) xn =1

n√n + 1

; (C, comparat, ie la limita cu � (3/2))

(d) xn = arcsinn + 12n + 3

; (D, necesar)

(e) xn = (1 −1n)

n; (D, necesar)

(f) xn =n!n2n

; (C, raport)

(g) xn = (n + 13n + 1)

n; (C, radical)

(h) xn = (1 −1n)

n2

; (C, radical)

(i) xn =1

7n + 3n; (C, comparat, ie cu geometrica)

(j) xn =2 + sin n

n2; (C, comparat, ie cu armonica)

(k) xn =sin2 nn2 + 1

; (C, comparat, ie cu armonica)

(l) xn =√n4 + 2n + 1 − n2; (D, comparat, ie cu armonica)

2*. Studiat, i convergent, a s, irurilor cu termenul general xn din exercit, iul anterior s, i comparat, icu comportamentul seriilor.

5

SEMINAR 2

CRITERII DE CONVERGENT, A (CONT.). SERII OARECARE

Pe lınga criteriile prezentate ın seminarul anterior, va mai � de folos s, i un altul. In continuare,ment, ionam ca vom lucra cu o serie de forma ∑ xn s, i sıntem ın ipoteza xn ∈ ℝ+, ∀n ∈ ℕ.

Criteriul integral: Fie f ∶ (0,∞) → [0,∞) o funct, ie descrescatoare s, i de�nim s, irul:

an = ∫n

1f (t)dt.

Atunci seria ∑ f (n) este convergenta daca s, i numai daca s, irul (an) este convergent.

2.1 Exercit, ii1. Studiat, i natura urmatoarelor serii cu termeni pozitivi, cu termenul general xn dat de:

(a) xn =1

ln n; (D, integral/comparat, ie)

(b) xn =1

n ln n; (D, integral)

2.2 Serii alternanteIn continuare, discutam s, i cazul cınd termenii seriei pot � negativi. Dar vom � interesat, i doar deun caz particular, anume acela al seriilor alternante, adica acelea ın care un termen este negativ,iar celalalt pozitiv. Mai precis, o serie ∑ xn se numes, te alternanta daca xn ⋅ xn+1 < 0, pentru oricen.

Singurul criteriu de convergent, a pe care ıl folosim pentru aceste cazuri este:

6

Criteriul lui Leibniz: Fie ∑n(−1)nxn o serie alternanta. Daca s, irul (xn) este descrescator s, iconverge catre 0, seria este convergenta.

De asemenea, vom mai � interesat, i s, i de:

• serii absolut convergente, adica acele serii pentru care s, i seria modulelor, s, i seria data sıntconvergente;

• serii semiconvergente, adica acele serii pentru care seria init, iala este convergenta, dar seriamodulelor este divergenta.

Evident, cum x ≤ |x |, rezulta ca orice serie absolut convergenta este convergenta, dar reciprocanu este adevarata.

De exemplu, studiem seria ∑n(−1)n

n. Este o serie alternanta, deci:

• seria modulelor este � (1), care este divergenta;

• pentru seria data, aplicam criteriul lui Leibniz, cu s, irul xn =1n

, care este descrescator catre0, deci seria este convergenta.

Concluzia este ca seria ∑(−1)n

neste semiconvergenta.

Exercit, iu: Folosind criteriul Leibniz, studiat, i natura seriei cu termenul general:

xn = (−1)nloga nn

, a > 1.

2.3 Aproximarea sumelor seriilor convergentePresupunem ca avem o serie convergenta s, i alternanta. Se poate arata foarte simplu ca, dacanotam cu S suma seriei, iar cu sn suma primilor n termeni, cu xn termenul general al seriei, areloc inegalitatea:

" = |S − sn| ≤ xn+1. (2.1)

Cu alte cuvinte, eroarea aproximat, iei are ordinul de marime al primului termen neglijat.Deocamdata, exemplele simple pe care le studiem sınt de forma:Exercit, iu: Sa se aproximeze cu o eroare mai mica decıt " sumele seriilor de�nite de termenul

general xn de mai jos:

(a) xn =(−1)n

n!, " = 10−3;

(b) xn =(−1)n

n3√n, " = 10−2.

7

In ambele cazuri, se foloses, te inegalitatea din (2.1), de unde se scoate n. Se obt, ine n = 6 pentruprimul exercit, iu s, i n = 4 pentru al doilea.

Concluzia este ca, pentru a obt, ine valoarea sumei seriei cu o precizie de 3, respectiv 2 zecimale,este su�cient sa consideram primii 5, respectiv primii 3 termeni ai seriei. Eroarea este comparabilacu primul termen neglijat din serie.

8

SEMINAR 3

CONVERGENT, A SERIILOR — EXERCIT, II

Studiat, i convergent, a seriilor de forma ∑ xn. In cazul seriilor alternante, decidet, i s, i convergent, aabsoluta sau semiconvergent, a:

(1) xn = (arctan 1)n; (C, radical)

(2) xn =√n ⋅ ln(1 +

1n)

; (D, comparat, ie la limita)

(3) xn =1

n − ln n; (D, comparat, ie la limita)

(4) xn = (−1)nn + 1n3

; (C, Leibniz)

(5) xn =ln n

2n3 − 1; (C, comparat, ie)

(6) xn =n√2

n2; (C, comparat, ie/integral)

(7) xn =√n + 1 −

√n

3√n2

; (C, comparat, ie)

(8) xn =1

n ln2 n; (C, integral)

(9) xn =ln nn2

; (C, comparat, ie)

(10) xn =e 1n

n; (D, comparat, ie la limita)

9

(11) xn =(−1)n ln n

√n

; (C, Leibniz)

(12) xn =(−1)nn!(2n)!

; (C, Leibniz)

(13) xn =arctan nn2 + 1

; (C, comparat, ie/integral)

(14) xn =√n

ln(n + 1); (D, necesar)

(15) xn = (−1)n+12n + 13n

; (C, Leibniz)

(16) xn =3√n3 + n2 − n

n2; (part, ial ACS)

(17) xn = (−1)nn

n2 − 1; (part, ial ACS)

(18) xn = (−1)n(√n2 + 1 − n); (part, ial ACS)

(19) xn =an

2n2 + 1; (discut, ie dupa a)

(20) xn = (n

n + a)n2

, a > 0; (discut, ie dupa a)

(21) xn =(−1)n

22n ⋅ n!(part, ial FIA)

(22) xn =an

n3, a > 0. (discut, ie dupa a)

10

SEMINAR 4

S, IRURI S, I SERII DE FUNCT, II

4.1 Convergent, a punctuala s, i uniformaFie (fn)n ∶ ℝ → ℝ un s, ir de funct, ii reale, adica pentru �ecare n ∈ ℕ, avem cıte o funct, iefn ∶ ℝ → ℝ.

Daca s, irurile de numere reale au drept limita un numar real, s, irurile de funct, ii au drept limitao funct, ie. Insa exista doua not, iuni de convergent, a de care vom � interesat, i, anume convergent, apunctuala s, i convergent, a uniforma, descrise mai jos.

De�nitie 4.1: Fie (fn)n ∶ D ⊆ ℝ → ℝ un s, ir de funct, ii.Spunem ca s, irul converge punctual (simplu) la funct, ia f ∶ D ⊆ ℝ → ℝ daca are loc:

limn→∞

fn(x) = f (x), ∀x ∈ D.

Notam aceasta pe scurt prin fnPC←←←←←←←←←←←←←←←→ f sau fn

s←←←←→ f , iar funct, ia f se va numi limita punctuala a s, irului

(fn).

Un alt tip de convergent, a de care vom � interesat, i este convergent, a uniforma. Aceasta sede�nes, te folosind un criteriu de caracterizare cu ", dar ın exercit, ii, vom folosi urmatoarea:

Teorema 4.1: S, irul de funct, ii (fn) ca mai sus este uniform convergent la funct, ia f , notat fnu←←←←←←→ f

daca are loc:limn→∞

supx∈D

|fn(x) − f (x)| = 0,

unde f este limita punctuala a s, irului.

Se vede ca proprietatea de convergent, a uniforma o implica pe cea de convergent, a simpla, darreciproc este fals.

11

4.2 Transferul proprietat, ilorDaca (fn) este un s, ir de funct, ii reale, ne ıntrebam care dintre proprietat, ile analitice ale termenilors, irului se transfera s, i funct, iei-limita.

Teorema 4.2 (Transfer de continuitate): Fie fn ∶ D ⊆ ℝ → ℝ un s, ir de funct, ii.Daca �ecare fn este funct, ie continua, iar s, irul (fn) converge uniform la funct, ia f , atunci funct, ia

f este continua.

Teorema 4.3 (Integrare termen cu termen): Fie fn ∶ D ⊆ ℝ → ℝ un s, ir de funct, ii s, i f ∶ D ⊆ ℝ → ℝo funct, ie.

Daca fnu←←←←←←→ f , atunci are loc proprietatea de integrare termen cu termen, adica:

limn→∞ ∫

n

afn(x)dx = ∫

b

af (x)dx, ∀[a, b] ⊆ D.

Teorema 4.4 (Derivare termen cu termen): Fie fn ∶ D ⊆ ℝ → ℝ un s, ir de funct, ii s, i f ∶ D ⊆ ℝ → ℝo funct, ie.

Presupunem ca funct, iile fn sınt derivabile pentru orice n ∈ ℕ.Daca fn

s←←←←→ f s, i daca exista o funct, ie g ∶ D ⊆ ℝ → ℝ astfel ıncıt f ′n

u←←←←←←→ g, atunci f este derivabila

s, i f ′ = g.

4.3 Serii de puteriConsideram o serie de funct, ii ∑ fn, dar ın care �ecare funct, ie fn este de tip polinomial. Acesteapoarta numele de serii de puteri.

In general, o serie de puteri poate � scrisa sub forma ∑ an(x −a)n, unde an ∈ ℝ sınt coe�cient, iiseriei, iar seria se numes, te centrataın a (sau serie de puteri ale lui (x−a)). In majoritatea situat, iilorvom lucra cu serii de puteri centrate ın origine, deci cu a = 0.

Pentru seriile de puteri se calculeaza raza de convergent, a, care este un numar real R astfelıncıt:

• seria este absolut convergenta pentru x ∈ (a − R, a + R);

• seria este divergenta pentru |x | > R;

• seria este uniform convergenta pentru x ∈ [−r , r], pentru orice 0 < r < R.

Aceasta raza de convergent, a poate � calculata cu una din doua formule:

• R = (lim sup n√|an|)

−1;

• R = limn→∞

||||anan+1

||||.

12

De asemenea, doua proprietat, i importante pentru seriile de puteri, care rezulta din faptul casınt serii de funct, ii polinomiale, sınt urmatoarele. Presupunem ca seria de puteri ∑ an(x −a)n esteo serie de puteri convergenta la S(x). Atunci:

• Seria derivatelor, ∑ nan(x − a)n−1 are aceeas, i raza de convergent, a cu seria init, iala s, i aresuma S′(x);

• Seria primitivelor, ∑ann + 1

(x − a)n+1, are aceeas, i raza de convergent, a cu seria init, iala, iarsuma sa este o primitiva a funct, iei S.

Cu alte cuvinte, seriile de puteri se pot deriva s, i integra termen cu termen.

4.4 Serii TaylorUn caz particular de serii de funct, ii este acela al seriilor Taylor.

In general, o funct, ie care satisface anumite proprietat, i analitice simple se poate dezvolta ıntr-oserie de puteri dupa formula generala:

f (x) = ∑n≥0

f (n)(x0)n!

(x − x0)n,

dezvoltare care se numes, te seria Taylor a funct, iei f ın jurulpunctului x = x0. Pentru cazul cındx0 = 0, seria se numes, te serie Maclaurin.

Daca oprim seria Taylor la un anumit grad, obt, inem polinomul Taylor asociat funct, iei, caredoar aproximeaza funct, ia init, iala. In general, polinomul Taylor de grad n asociat funct, iei f ınjurul punctului x = a se de�nes, te prin:

Tn,f ,a =n

∑k=0

f (k)(a)k!

(x − a)k .

Restul (eroarea de aproximare) se poate calcula prin:

Rn,f ,a = f (x) − Tn,f ,a,

dar exista s, i alte formule.

4.5 Exercit, ii1. Sa se studieze convergent, a punctuala s, i uniforma a s, irurilor de funct, ii:

(a) fn ∶ (0, 1) → ℝ, fn(x) =1

nx + 1, n ≥ 0;

13

(b) fn ∶ [0, 1] → ℝ, fn(x) = xn − x2n, n ≥ 0;

(c) fn ∶ ℝ → ℝ, fn(x) =√x2 +

1n2, n > 0;

(d) fn ∶ [−1, 1] → ℝ, fn(x) =x

1 + nx2;

(e) fn ∶ (−1, 1) → ℝ, fn(x) =1 − xn

1 − x;

(f) fn ∶ [0, 1] → ℝ, fn(x) =2nx

1 + n2x2;

(g) fn ∶ ℝ+ → ℝ, fn(x) =x + n

x + n + 1;

(h) fn ∶ ℝ+ → ℝ, fn(x) =x

1 + nx2.

2. Sa se arate ca s, irul de funct, ii dat de:

fn ∶ ℝ → ℝ, fn(x) =1narctan xn

converge uniform pe ℝ, dar:

( limn→∞

fn(x))′

x=1≠ lim

n→∞f ′n (1).

Rezultatele difera deoarece s, irul derivatelor nu converge uniform pe ℝ.

3. Sa se arate ca s, irul de funct, ii dat de:

fn ∶ [0, 1] → ℝ, fn(x) = nxe−nx2

este convergent, dar:

limn→∞ ∫

1

0fn(x)dx ≠ ∫

1

0limn→∞

fn(x)dx.

Rezultatul se explica prin faptul ca s, irul nu este uniform convergent. De exemplu, pentru xn =1n

,avem fn(xn) → 1, dar, ın general, fn(x) → 0.

4. Sa se dezvolte urmatoarele funct, ii ın serie Maclaurin, precizınd s, i domeniul de convergent, a:

14

(a) f (x) = ex ;

(b) f (x) = sin x ;

(c) f (x) = cos x ;

(d) f (x) = (1 + x)� , � ∈ ℝ;

(e) f (x) = 11 + x

;

(f) f (x) = ln(1 + x);

(g) f (x) = arctan x ;

(h) f (x) = ln(1 + 5x);

(i) f (x) = 3 ln(2 + 3x).

5. Sa se calculeze raza de convergent, a s, i mult, imea de convergent, a pentru urmatoarele seriide puteri:

(a) ∑n≥0 xn;

(b) ∑n≥1 nnxn;

(c) ∑n≥1(−1)n+1xn

n;

(d) ∑n≥1nnxn

n!;

(e) ∑(x − 1)2n

n ⋅ 9n;

(f) ∑(x + 3)n

n2.

6. Gasit, i mult, imea de convergent, a s, i suma seriei:

∑n≥0

(−1)nx2n+1

2n + 1.

15

Indicat, ie: Se deriveaza termen cu termen s, i rezulta seria geometrica de raza −x2, careia i se poatecalcula suma, care apoi se integreaza.

7. Gasit, i mult, imea de convergent, a s, i suma seriei:

∑n≥0

(−1)nx2n+1

2n + 1.

Indicat, ie: R = 1 (raport), iar suma se poate a�a derivınd termen cu termen. Rezulta (prinderivare) seria geometrica de raza −x2, cu suma 1

x2 + 1, valabila pentru x ∈ (−1, 1).

Rezulta f (x) = arctan x + c.

16

SEMINAR 5

PART, IAL 2018–2019

1. (a) Determinat, i natura seriei numerice:

∑n≥1

(√n + 2 −

√n + 1) ⋅ sin

1n.

(b) Studiat, i convergent, a simpla s, i uniforma a s, irului de funct, ii:

fn ∶ (0,∞) → ℝ, fn(x) = arctanxn2, n ≥ 1.

2. Determinat, i mult, imea de convergent, a s, i suma seriei de puteri:

∑n≥0

(−1)n1n!

⋅x2n−1

5n.

3. Folosind dezvoltarea ın serie Taylor, sa se calculeze cos12

cu 2 zecimale exacte.

4. Se considera funct, ia ' ∶ ℝ2 → (0,∞) de clasa C1 s, i funct, ia:

f (x, y) = xy ⋅ '(ln(x + y) +xy)

,

cu x + y > 0.Sa se calculeze expresia:

E(x, y) =)f)x

+)f)y

−x + yxy

⋅ f (x, y).

17

5. Fie funct, ia: f ∶ D ⊆ ℝ2 → ℝ, f (x, y) = x2 + 2xy − 4x − y.Pentru D = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ −x2 + 2x}, determinat, i valoarea minima s, i

valoarea maxima a funct, iei.

18

SEMINAR 6

INTEGRALE CURBILINII

6.1 Elemente de teorieIntegrale curbilinii de spet, a ıntıi

Fie = (t) o curba neteda, de�nita pe un interval t ∈ [a, b]. Se de�nes, te integrala curbiliniea unei funct, ii f ∶ ℝ3 → ℝ, f = f (x, y, z) prin formula:

∫ f (x, y, z)ds = ∫

b

af (x(t), y(t), z(t)) ⋅

√x ′(t)2 + y′(t)2 + z′(t)2dt.

De asemenea, cıteva cazuri particulare de interes sınt:

• lungimea curbei se obt, ine pentru f = 1, deci:

� ( ) = ∫b

a

√x ′(t)2 + y′(t)2 + z′(t)2dt ;

• daca funct, ia f reprezinta densitatea unui �r pe care ıl aproximam cu o curba neteda , atuncimasa �rului se calculeaza cu formula:

M( ) = ∫ f (x, y, z)ds;

• ın aceeas, i ipoteza de mai sus, coordonatele centrului de greutate al �rului, xGi se calculeazacu formula (am notat x1 = x, x2 = y, x3 = z):

xGi =1M ∫

xif (x1, x2, x3)ds,

unde M este masa calculata mai sus.

19

Integrala curbilinie de spet, a a douaFie ! = Pdx + Qdy + Rdz o 1-forma diferent, iala. Se de�nes, te integrala curbilinie a formei !

ın lungul curbei ca mai sus prin formula:

∫ ! = ∫

b

a(P◦ )x ′ + (Q◦ )y′ + (R◦ )z′dt,

unde = (t), t ∈ [a, b] este o parametrizare a curbei .

6.2 Exercit, iiCalculat, i integralele curbilinii de mai jos:

Spet, a ıntıi:

(a) ∫ ye−xds, unde parametrizarea curbei este data de:

∶

{x(t) = ln(1 + t2)y(t) = 2 arctan t − t

, t ∈ [0, 1];

(b) ∫ (x2 + y2) ln zds, unde parametrizarea curbei este data de:

∶

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

x(t) = et cos ty(t) = et sin tz(t) = et

, t ∈ [0, 1];

(c) ∫ xyzds, unde parametrizarea curbei este:

∶

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x(t) = t

y(t) =23√2t3

z(t) =12t2

, t ∈ [0, 1];

(d) ∫ x2yds, unde = [AB] ∪ [BC], iar capetele segmentelor sınt A(−1, 1), B(2, 1), C(2, 5);

20

(e) ∫ x2ds, unde este data de:

∶ x2 + y2 = 2, x, y ≥ 0;

(f) ∫ (x2 + y2)ds, unde este sectorul de cerc x2 + y2 = 1, parcurs de la A(0, −1) la B(1, 0);

(g) Calculat, i lungimea segmentului [AB], unde A(1, 2), B(3, 5).

Spet, a a doua: ∫ ! pentru:

(a) ! = (x2 + y2)dx + (x2 − y2)dy, unde este data de:

∶

{x(t) =

√t

y(t) =√t + 1

, t ∈ [1, 4];

(b) ! =1

y2 + 1dx +

yx2 + 1

dy, unde este data de:

∶

{x(t) = t2

y(t) = t, t ∈ [0, 1];

(c) ! =√xdx + xy2dy , unde este parabola y = x2, pentru x ∈ [0, 1].

21

SEMINAR 7

EXAMEN 2018–2019

1. Calculat, i integrala:

I = ∫∞

−∞

e2x

(1 + e2x )2dx,

folosind integralele gamma s, i/sau beta.

2. Calculat, i lucrul mecanic efectuat de fort, a F = xy2 i+2x2yj asupra unei particule care circulaın linie dreapta ıntre punctele O(0, 0), A(2, 2), B(2, 4) s, i ınapoi la O (ın sens direct). Reprezentaregra�ca.

Indicat, ie: Lucrul mecanic se calculeaza ca integrala curbilinie de spet, a a doua.

3. Sa se calculeze ∬D1 +

√x2 + y2dxdy, unde D = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ x2 + y2 − y ≤ 0, x ≥ 0}.

Indicat, ie: Se folosesc coordonate polare (translatate! cercul nu este centrat ın origine) sau sedescrie domeniul ca unul intergra�c.

4. Calculat, i volumul corpului cuprins ıntre suprafet, ele de ecuat, ie x2 + y2 = −z s, i z = y.Reprezentare gra�ca.

Indicat, ie: Se calculeaza integrala tripla de la o suprafat, a la cealalta.

5. Se considera suprafat, a S de ecuat, ie 1 − z = (x − 2)2 + y2 cu bordul orientat )S ∶ 1 − z =(x − 2)2 + y2, cu z = 0.

Folosind formula lui Stokes, calculat, i integrala:

∫)S(x2 + y3)dx + dy + zdz,

ın care orientarea este ın sensul de cres, tere a lui z.

22

INDEX

convergent, apunctuala, 11uniforma, 11

criteriulde comparat, ie

la limita, 4termen cu termen, 3

integral, 6Leibniz, 6necesar, 3radical, 4

raportului, 4

seriialternante, 6armonice, 3de numere pozitive, 2de puteri, 12geometrice, 2Taylor, 13

s, iruride funct, ii, 11

23