2008 Tit

TITULARIZARE 2008 Subiectul I 1. Fie nume rel e ˆ ıntr egi a, b, c , matricea A = a b c 5c a b 5b 5c a ¸ si funct ¸ia f : C → C, f (x) = a + bx + cx 2 . Se noteaz˘ a cu x 1 , x 2 , x 3 ∈ C solut ¸iile ecuat ¸iei x 3 − 5 = 0. a) S˘ a se determine x 1 , x 2 , x 3 . b) Fie B = 1 1 1 x 1 x 2 x 3 x 2 1 x 2 2 x 2 3 . S˘ a se arate c˘ a A · B = f (x 1 ) f (x 2 ) f (x 3 ) x 1 f (x 1 ) x 2 f (x 2 ) x 3 f (x 3 ) x 2 1 f (x 1 ) x 2 2 f (x 2 ) x 2 3 f (x 3 ) . c) S˘ a se arate c˘ a det (A) = f (x 1 ) · f (x 2 ) · f (x 3 ). d) S˘ a se demonstreze c˘ a dac˘ a det (A) = 0, atunci a = b = c = 0. 2. Fie triunghiul ABC cu AB = 8, AC = 7 ¸ si B C = 5. Fie O un punct situat ˆ ın i nteriorul triunghiului ABC astfel ˆ ıncˆ at cercurile circumscrise triunghiurilor AOB , BOC ¸ si C OA s ˘ a aib˘ a acee a¸ si raz ˘ a R. a) S˘ a se calculeze m˘ asura unghiului AB C . b) S˘ a se determine raza cercului circumscris triunghiului AB C . c) Fie P ¸ si Q centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor AOB, respectiv COA. S˘ a se demonstreze c˘ a AQOP este romb. d) S˘ a se determine R. e) Fie O centrul cercului circumscris triunghiului ABC . S˘ a se arate c˘ a punctele A, O, O ¸ si C sunt conciclice. Subiectul II 1. Fie polinomul f = X n + 2X n−1 + 3X n−2 + ... + nX − 1, cu n natural, n ≥ 3. a) S˘ a se calculeze f (0 ) ¸ si f (1). b) S˘ a se arate c˘ a f are o r˘ ad˘ acin˘ aˆ ın intervalul (0; 1). c) S˘ a se arate, folosind eventual schema lui Horner, c˘ a exist˘ a α ∈ (0; 1) ¸ si b 1 , b 2 , ..., b n−1 ∈ R cu 1 < b 1 < b 2 < .. . < b n−1 astf el ˆ ı ncˆ at f = (X − α)(X n−1 + b 1 X n−2 + b 2 X n−3 + ... + b n−2 X + b n−1 ). d) Fie polinomul g = X n−1 + c 1 X n−2 + c 2 X n−3 + ... + c n−2 X + c n−1 ∈ R[X ] cu 1 < c 1 < c 2 < .. . < c n−1 ¸ si z ∈ C cu g (z) = 0. S˘ a se demonstreze c˘ a | z| > 1. e) S˘ a se demonstreze c˘ a polinomul f nu poate fi scris ca produs de dou˘ a polinoame cu coeficient¸i ˆ ı nt regi, fiecare având gradul cel put¸in 1. 2. Se consider˘ a funct ¸ia f R → R, f (x) = 3 √ 4x 3 − 3x. Pentru fiecare a ∈ R se defi ne¸ st e ¸ si rul (x n ) n≥0 astfel: x 0 = a ¸ si x n+1 = 4x 3 n − 3x n , (∀) n ∈ N. a) S˘ a se determine asimptota spre +∞ a graficului funct ¸iei f . b) S˘ a se dete rmine toate punctele b ∈ R cu proprietatea c˘ a funct ¸ia f nu este derivabil˘ a ˆ ın b . c) S˘ a se arate c˘ a f (x) ∈ [ −1; 1], oric are ar fi x ∈ [−1;1]. d) Pentru a = 2, s˘ a se demonstreze c˘ a li m n→∞ x n = ∞ . e) S˘ a se arate c˘ a exist˘ a o infinitate de valori ale lui a ∈ R pentru care ¸ sirul (x n ) n≥0 este convergent. Subiectul III Stabilit ¸i corela t ¸ii ˆ ıntre metodele didactice, mijloacele de ˆ ınv˘ at ¸˘ amˆ ant ¸ si formele de organiz are a activ it˘ at ¸ ii, cu aplicat ¸ii la disciplina de concurs, avˆ and ˆ ın veder e: • definirea conceptelor: metod˘ a didactic˘ a, mijloac e de ˆ ınv˘ at ¸˘ amˆ ant, forme de organiz are a activit˘ at ¸ii didactice; • trei aplicat ¸ii / exemple de combinare eficient˘ a a metodelor, mijlo acelor ¸ si formelor de organiz are a activi t˘ at ¸ii didactice la discip lina de concurs. 1

Upload
andreea-niculescu
Category

Documents
view
212
download
0

Embed Size (px):

description

titularizare

Transcript of 2008 Tit

TITULARIZARE 2008

Subiectul I

1. Fie numerele ntregi a, b, c, matricea A =

a b c

5c a b5b 5c a

si functia f : C C, f(x) = a+ bx+ cx2. Se noteaza

cu x1, x2, x3 C solutiile ecuatiei x3 5 = 0.a) Sa se determine x1, x2, x3.

b) Fie B =

1 1 1x1 x2 x3x21 x

22 x

23

. Sa se arate ca A B =

f(x1) f(x2) f(x3)x1f(x1) x2f(x2) x3f(x3)x21f(x1) x

22f(x2) x

23f(x3)

.

c) Sa se arate ca det (A) = f(x1) f(x2) f(x3).d) Sa se demonstreze ca daca det (A) = 0, atunci a = b = c = 0.

2. Fie triunghiul ABC cu AB = 8, AC = 7 si BC = 5. Fie O un punct situat n interiorul triunghiului ABC astfelncat cercurile circumscrise triunghiurilor AOB, BOC si COA sa aiba aceeasi raza R.

a) Sa se calculeze masura unghiului ABC.

b) Sa se determine raza cercului circumscris triunghiului ABC.

c) Fie P si Q centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor AOB, respectiv COA. Sa se demonstreze caAQOP este romb.

d) Sa se determine R.

e) Fie O centrul cercului circumscris triunghiului ABC. Sa se arate ca punctele A, O, O si C sunt conciclice.

Subiectul II

1. Fie polinomul f = Xn + 2Xn1 + 3Xn2 + . . .+ nX 1, cu n natural, n 3.a) Sa se calculeze f(0) si f(1).

b) Sa se arate ca f are o radacina n intervalul (0; 1).

c) Sa se arate, folosind eventual schema lui Horner, ca exista (0; 1) si b1, b2, . . ., bn1 R cu 1 < b1 1.

e) Sa se demonstreze ca polinomul f nu poate fi scris ca produs de doua polinoame cu coeficienti ntregi,fiecare avand gradul cel putin 1.

2. Se considera functia fR R, f(x) = 34x3 3x. Pentru fiecare a R se defineste sirul (xn)n0 astfel: x0 = asi xn+1 = 4x

3n 3xn, () n N.

a) Sa se determine asimptota spre + a graficului functiei f .b) Sa se determine toate punctele b R cu proprietatea ca functia f nu este derivabila n b.c) Sa se arate ca f(x) [1; 1], oricare ar fi x [1; 1].d) Pentru a = 2, sa se demonstreze ca lim

nxn =.

e) Sa se arate ca exista o infinitate de valori ale lui a R pentru care sirul (xn)n0 este convergent.

Subiectul III

Stabiliti corelatii ntre metodele didactice, mijloacele de nvatamant si formele de organizare a activitatii, cuaplicatii la disciplina de concurs, avand n vedere:

definirea conceptelor: metoda didactica, mijloace de nvatamant, forme de organizare a activitatii didactice; trei aplicatii / exemple de combinare eficienta a metodelor, mijloacelor si formelor de organizare a activitatii

didactice la disciplina de concurs.

1