TITULARIZARE 2008

Subiectul I

1. Fie numerele ntregi a, b, c, matricea A =

a b c

5c a b5b 5c a

si functia f : C C, f(x) = a+ bx+ cx2. Se noteaza

cu x1, x2, x3 C solutiile ecuatiei x3 5 = 0.a) Sa se determine x1, x2, x3.

b) Fie B =

1 1 1x1 x2 x3x21 x

22 x

23

. Sa se arate ca A B =

f(x1) f(x2) f(x3)x1f(x1) x2f(x2) x3f(x3)x21f(x1) x

22f(x2) x

23f(x3)

.

c) Sa se arate ca det (A) = f(x1) f(x2) f(x3).d) Sa se demonstreze ca daca det (A) = 0, atunci a = b = c = 0.

2. Fie triunghiul ABC cu AB = 8, AC = 7 si BC = 5. Fie O un punct situat n interiorul triunghiului ABC astfelncat cercurile circumscrise triunghiurilor AOB, BOC si COA sa aiba aceeasi raza R.

a) Sa se calculeze masura unghiului ABC.

b) Sa se determine raza cercului circumscris triunghiului ABC.

c) Fie P si Q centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor AOB, respectiv COA. Sa se demonstreze caAQOP este romb.

d) Sa se determine R.

e) Fie O centrul cercului circumscris triunghiului ABC. Sa se arate ca punctele A, O, O si C sunt conciclice.

Subiectul II

1. Fie polinomul f = Xn + 2Xn1 + 3Xn2 + . . .+ nX 1, cu n natural, n 3.a) Sa se calculeze f(0) si f(1).

b) Sa se arate ca f are o radacina n intervalul (0; 1).

c) Sa se arate, folosind eventual schema lui Horner, ca exista (0; 1) si b1, b2, . . ., bn1 R cu 1 < b1 1.

e) Sa se demonstreze ca polinomul f nu poate fi scris ca produs de doua polinoame cu coeficienti ntregi,fiecare avand gradul cel putin 1.

2. Se considera functia fR R, f(x) = 34x3 3x. Pentru fiecare a R se defineste sirul (xn)n0 astfel: x0 = asi xn+1 = 4x

3n 3xn, () n N.

a) Sa se determine asimptota spre + a graficului functiei f .b) Sa se determine toate punctele b R cu proprietatea ca functia f nu este derivabila n b.c) Sa se arate ca f(x) [1; 1], oricare ar fi x [1; 1].d) Pentru a = 2, sa se demonstreze ca lim

nxn =.

e) Sa se arate ca exista o infinitate de valori ale lui a R pentru care sirul (xn)n0 este convergent.

Subiectul III

Stabiliti corelatii ntre metodele didactice, mijloacele de nvatamant si formele de organizare a activitatii, cuaplicatii la disciplina de concurs, avand n vedere:

definirea conceptelor: metoda didactica, mijloace de nvatamant, forme de organizare a activitatii didactice; trei aplicatii / exemple de combinare eficienta a metodelor, mijloacelor si formelor de organizare a activitatii

didactice la disciplina de concurs.

1