CONCURSUL DE MATEMATICA

“CEZAR IVANESCU”EDITIA a V -a , Targoviste, 20 martie 2004

CLASA a V-a

SUBIECTUL I

Un numar de trei cifre, adunat cu produsul cifrelor sale si cu suma cifrelor sale da

rezultatul 135. Aflati numarul.

SUBIECTUL II

Determinati o multime A formata din patru numere naturale diferite, stiind ca doua

elemente ale sale au suma egala cu 126 si aceste elemente sunt de 360 de ori,

respectiv de 144 de ori mai mici decat produsul tuturor elementelor multimii A.

SUBIECTUL III

Determinati un numar natural N stiind ca indeplineste urmatoarele doua

proprietati :

a)Daca N se imparte la 9, se obtine restul 0, iar catul este un numar simetric de 5

cifre.

b)Daca N se inmulteste cu 11111,se obtine un numar care se termina cu …655.

(prin numar simetric intelegem un numar care ramane neschimbat, daca se citeste

de la dreapta la stanga.De exemplu numerele : 373, 25752, 91019, 38683 sunt

simetrice.

Clasa a VI-a

SUBIECTUL I

Scrieti in ordine crescatoare numerele 33

3

22

2

,,yx

x

yx

x

yx

x

+++, stiind ca x, y sunt

numere rationale nenule, direct proportionale cu 8 si respective 4.

SUBIECTUL II

Se considera un triunghi isoscel ABC cu AB=AC si ∠ A=45°. Perpendiculara in A

pe AB intersecteaza pe BC in M. Fie N piciorul perpendicularei din M pe AC si P

piciorul perpendicularei din C pe AB. Demonstrati ca :

a) [MB este bisectoarea unghiului ∠ AMN.

b) Triunghiul ∆ CNP este isoscel.

SUBIECTUL III

Se considera multimea A={1, 2, 3, …, 999}. Un element al multimii A se va numi

numar norocos daca nu se divide cu 37.

a) Cate numere norocoase contine multimea A ?

b) Calculati suma tuturor numerelor norocoase ale multimii A.

c) Demonstrati ca daca n este numar norocos, atunci 999-n este numar norocos.

d) Calculati suma cifrelor tuturor numerelor norocoase ale multimii A.

CLASA a VII-a

SUBIECTUL I

a) Calculati: ( ) ( ) ( ) Znn

n

n

n∈

+

++− +

+

+

+;

7616

2:

738

1738

32

42

32

32

b) Pretul unui produs s-a marit de doua ori consecutive cu 20%. Care este

procentul de majorare fata de pretul initial ?

SUBIECTUL II

Determinati numerele reale x,y pentru care 146823 =−+−++ yxyx .

SUBIECTUL III

Demonstrati ca patrulaterul convex ABCD este paralelogram daca si numai

daca BC2+AD2=2MP2, unde M,P sunt mijloacele laturilor [AB] si [CD].

CLASA a VIII-a

SUBIECTUL 1

Fie x,y,z ∈ R* astfel incat aX

X =+ 1 ; bY

Y =+ 1 ; cXY

XY =+ 1.

Demonstrati ca 4222 +=++ abccba

SUBIECTUL II

Fie nnx 52 +=

a) Demonstrati ca ∈∀ n)( N \ {0,4},x∈R \ Q

b) Determinati partea intreaga a lui x.

SUBIECTUL III

In cubul '''' DCBABCDA de muchie „a” notam M mijlocul lui B’C’, N mijlocul lui

AA’, si P centrul bazei ABCD.

a) Demonstrati ca planul (MNP) sectioneaza cubul dupa un pentagon.

b) Determinati aria pentagonului de sectiune in funtcie de muchia cubului.

CLASA a IX-a

S UBIECTUL I

Intr-un sistem cartezian Oxy, se considera punctele A(0,a), B(-b,0), C(c,0), cu

a,b,c >0.

Fie o dreapta d care trece prin A, situata in exteriorul triunghiului ABC si notam cu

B1, C1 proiectiile punctelor B, respectiv C pe dreapta d. Dreapta care uneste B1 cu

mijlocul laturii AB si dreapta care uneste C1 cu mijlocul laturii AC se intersecteaza

in D.

a) Determinati ecuatiile dreptelor B1D si C1D.

b) Demonstrati ca punctul D este piciorul inaltimii din A a triunghiului ABC

(fiind situat pe latura BC) daca si numai daca d//BC.

SUBIECTUL II:

Fie a,b numere intregi astfel incat numarul a2 - 4b este patrat perfect.

Demonstrati ca :

a)Numarul a2 – 2b se poate scrie ca suma a doua patrate perfecte.

b)Numarul a3 – 3ab se poate scrie ca suma a doua cuburi perfecte.

SUBIECTUL III

a) Demonstrati ca 1

1

+n < 2 1+n -2 n <

n

1 , oricare ar fi numarul natural

n 1≥ .

b)Calculati partea intreaga a numarului S=101

1 +

102

1 +

103

1 + … +

200

1.

c)Demonstrati ca 11

1 +

12

1 +… +

20

1 >

31

1 +

32

1 +…+

50

1.

CLASA a X-a

SUBIECTUL I

Fie a,b,c,d,e,f numere complexe astfel incat |a|=|b|=|c|=r, |d|=|e|=|f|=R, 0<r<R si

{ 222222 fedcba

fedcba

++=++++=++

Demonstrati ca a,b,c sunt afixele varfurilor unui triunghi echilateral, iar d,e,f sunt

afixele varfurilor unui alt triunghi echilateral.

SUBIECTUL II

a) Demonstrati ca pentru orice numar intreg k, exista numere intregi kkk cba ,,

astfel incat

.42)12( 333kkk

k cba ++=−

b) Demonstrati ca exista numere intregi a,b,c astfel incat

200433 10420 −<++< cba .

SUBIECTUL III

a) Fie k∈ ∗Ν , 1)( ≥nna o progresie aritmetica de ratie r>0 si notam

010 >−= raa .

Exprimati suma kknnn

knnnkk

aaaaaaa

aaaaaaaaaS

......

..........

2101

1113221

−++

=++

−+++ numai in functie de k si

r.

b) Fie n,k ∗Ν∈ . Demonstrati ca exista un numar natural x astfel incat :

xxn

knk

kk

kk

kk A

xAAAA ++++ =++++ 1

...21

CLASA a XI-a

SUBIECTUL I

Fie sirul (xn)n≥1 dat de relatia 1,1 ≥⋅= −+ nexx nx

nn , unde x1>0.

a) Demonstrati ca sirul (xn)n≥1 este monoton si marginit.

b) Calculati nnx

∞→lim si n

nxn ⋅

∞→lim .

SUBIECTUL II

Fie f :[0,2]→R o functie continua cu proprietatea ca f(0)=0, f(1)=1, f(2)=2.

Demonstrati ca exista numere reale a,b∈(0,1) si c∈(1,2) astfel incat f(a)+f(b)+f(c)=3.

SUBIECTUL III

Fie A∈M2(R) cu proprietatea ca A4=I2 si detA=-1. Demonstrati ca A2=I2.

CLASA a XII-a

SUBIECTUL I

Determinati toate morfismele de inele [ ] ),,,(),,8(: 8 ⋅+Ζ→⋅+Ζf unde am

notat [ ] },|8{8 Ζ∈+=Ζ BAba ,iar 8Ζ este inelul claselor de resturi modulo 8.

SUBIECTUL II

Vom spune ca un grup G are proprietatea P daca pentru orice ,,, yxGyx ≠∈

exista doua subgrupuri GHH ⊆21 , care au in comun cel mult 3 elemente, astfel

incat 1Hx∈ si 2Hy∈ .

a)Demonstrati ca daca G are proprietatea P, atunci ex =12 ,pentru orice Gx∈

.

b)Dati exemplu de un grup cu proprietatea P,avand mai mult de 2004 elemente.

SUBIECTUL III

Fie ,:, RRff n → cu *Nn∈ , functii integrabile pe orice interval compact

inclus in R ,satisfacand urmatoareel doua proprietati:

i) ndxxfb

a n ≤∫ )( ,pentru orice numere reale a,b si orice numar natural 1≥n .

ii) 22

1)()(

xnxfxf n +

≤− ,pentru orice numar real x si orice numar natural 1≥n

.

Demonstrati ca exista un numar real M cu proprietatea ca ,)( Mdxxfb

a n ≤∫1,, ≥∈∀ nRba .