TEORIE MATEMATICĂ BACALAUREAT 2014

download TEORIE MATEMATICĂ BACALAUREAT 2014

of 19

Transcript of TEORIE MATEMATICĂ BACALAUREAT 2014

  • 8/13/2019 TEORIE MATEMATIC BACALAUREAT 2014

    1/19

    TEORIE MATEMATIC BACALAUREAT 2013-2014 TEHNOLOGIC RECAPITULARE COALA GENERAL

    Mulimi de numere N ! " R C #n$%ur$leincluse &n &n%re'iincluse &n r$i(n$leincluse &n re$leincluse &n)(m*le+e, N={0,1,2,3,4,}. ! ={ -3,-2,-1,0,1,2,3, }. "/! + fracii . R/" +radicali . C/R numere complexe

    Ordine$ (*er$iil(r m$%em$%i)e elemen%$re! " paran#e$ele %dac& sun# mai mul#e' din in#erior spre ex#erior sau de la cele ro#unde la acolade()* " ridicarea la pu#ere %'' o +nmulire repe#a#&,()- " +mp&rirea sau +nmulirea %''o adunare repe#a#&,(

    . " adunarea sau sc&dereaAdun$re$ $u ) dere$ numerel(r re$le/ adunarea a dou& numere po$i#i0e d& re$ul#a# po$i#i0 Exemplu1*2-34)/ adunarea a dou& numere ne5a#i0e d& re$ul#a# ne5a#i0 Exemplu1 %/*(2%/-(3 /4)/ adunarea unui num&r ne5a#i0 cu unul po$i#i0 d& semnul celui mai mare +n 0aloare a6solu#&%sau0alorile a6solu#e ale celor dou& numere sun# e5ale(' iar 0aloarea se afl& sc&$7nd 0alorile a6snumerelor%cea mai mare din cea mai mic&( Exemple1 +2-3= 2-3= -(3-2)=-1; 12 3=9; 3-12=-(12-3)=-9; 12-12=0; -12 +12=-(12-12)=-0=0.

    $) e $dun m$i mul%e numere e $dun &n%re ele )ele )u *lu &n%re ele )ele )e minu 5i $*($dun$re$ (7i5nui% $ d(u numere re$le Exemplu1 *2- 2!8 " 9 " !*3!4/!:3/%!:/!4(3 / -L$ $dun$re$8 ) dere$ li%er$l e $dun $u e )$d %ermenii )u li%ere de $)el$5i 9el l$ $)ei$$dun$re$8 ) dere$ e re$li6e$6 &n%re )(e9i)ienii $)e %(r %ermeni Adunarea sau scderea cu 0 nu mod ! care"u#$a$u#. Exemple1 2%2 -3%2 &-4%2 +3%&-'=-2%2-3%2 &+3%&-'; '+0 = '-0 ='; 2%3-0=2%3+0=2%3.

    Adun$re$8 ) dere$ $ d(u $u m$i mul%e 9r$)ii e *($%e 9$)e d($r d$) $u $)el$5i numi%(r lure$li6e$6 *rin $du)ere$ l$ $)el$5i numi%(r Numi%(rul )(mun e %e de (7i)ei )el m$i mi) mul%i*lu )%u%ur(r numi%(ril(r 9r$)iil(r !rac e nu *oa$e a ea num $oru# e a# cu "ero ( m*r rea cu 0 nu es$e *er

    Exemple/

    15

    31

    15

    2110

    15

    21

    15

    10

    53

    73

    35

    25

    5

    7

    3

    2

    5

    7

    3

    2 /3/5

    =+

    =+=

    +

    =+=+ ; 3 ' sun$ numere *r me a$unc ce# ma m c mu#$ *#u co

    es$e *rodusu# d n$re e#e, ad c 3 '=1'.

    2

    2

    22

    2

    22

    2

    2

    /3/5

    2 15

    2110

    15

    21

    15

    10

    53

    73

    35

    25

    5

    7

    3

    2

    5

    7

    3

    22

    %&

    % &

    %&

    %

    %&

    &

    & %

    %

    % &

    &

    & % & %

    % &+

    =+=

    +

    =+=+

    Re5ula semnelor la +nmulire sau +mp&rire1 : / 8 / ) / ; / 3 /

  • 8/13/2019 TEORIE MATEMATIC BACALAUREAT 2014

    2/19

    =0)(,

    0)(,0

    0)(,

    adaca

    adac

    adaca

    a

    Exemplu17'7='; 707=0; 7-'7=';

    =

    >< = >>=

    20)2(,2)2(

    20)2(,0

    20)2(,2

    2 % %daca % %

    % %daca

    % %daca %

    %

    L$ &nmulire$ unui num r )u ( *$r$n%e6 e &nmule5%e 9ie)$re num r )u 9ie)$re %ermen din *$r$n% Exemple12(%-')=2 %-2 '=2%-10; 3&2(%-')=3&2 %-3&2 '=3%&2-1'&2.Minu ul &n 9$$ unei *$r$n%e6e )=im7 emnul %u%ur(r %ermenil(r din *$r$n%e6 Exemple1 -(%-')=-%-(-')=-%+'; -3&2(%-')=-3&2 %-3&2 (-')=-3%&2+1'&2.Minu ul &n 9$$ unei 9r$)ii )=im7 d($r emnul num r %(rului $u emnul numi%(rului #nu l$ $m7i

    Exemple13

    232

    32

    == )

    32

    32

    32

    32

    3)2(

    32 =+=

    === ) ;32

    32

    32

    % % % ==

    % % % % % % 32

    32

    32

    32

    3)2(

    32 =+=

    ===

    ?(rmule de )$l)ul *re )ur%$% aca8c8a = )( ;2222 ))(( 8a8a8a8a =+= ; 8a8a8a =+ )()( ;

    222 2)( 8a8a8a ++=+ ; 222 2)( 8a8a8a += ; 8caca8c8ac8a 222)( 2222 +++++=++ ;3

    2233 33)( 8a88aa8a +++=+ ;32233 33)( 8a88aa8a ++= ; ))(( 2233 8a8a8a8a ++=+ ; ))(( 2233 8a8a8a8a ++= ;

    Exemple1 & % & % 22)(2 = ; 2222 4)2()2)(2( & % & % & % & % ==+ Exemple1 812622323)2( 22332233 +++=+++=+ % % % % % % % ;

    812622323)2( 22332233 +=+= % % % % % % %Triun'=iul este 9i'ur$ 'e(me%ri) )u %rei l$%urii um$ un'=iuril(r de 1@00 ($%e 9i ($re)$re #un5=iuri >ila#uri nee5ale,. e)=il$%er$l #cu #oa#e la#urile e5ale >i un5=iurile e5ale cu 98

    8

    ()i ( )el #cu dou& la#uri >i dou&un5=iuri e5ale,.dre*%un'=i) #cu un un5=i drep# >i la#urile numi#e ca#e#e " formea$& un5=iul drep# / >i ipo,Patrulaterul este figura geo etri!" !u 4 laturi# Patrulaterul !u $ou" laturi %aralele i $ou" &e%ara%r$*e6 $r$lel('r$mul este o figur" geo etri!" !u 4 laturi(%atrulater), %aralele i egale $ou" !'tParalelogra ul !u u& u&g i $re%t se &u etedre*%un'=i Paralelogra ul !u toate laturile egale se &u eter(m7.$re%tu&g iul !u laturile egale se &u ete* %r$%uma un : ur #or unu *ara#e#o ram sau $ra*e" es$e 3 00 Ariaunui paralelo5ram es#e1 7$6$ &n lime$ Perime#rulu&ui %oligo& (e #: %atrulater)e %e um$ lun'imil(r l$%uril(r

    $leCLA A A ID-$

    I UTERI I RA ICALI PUTERI Pu#eri cu exponen# na#ural1 a& u&$e a* , &* ; a0-1; a1-a; a& -

    ori&$e

    a###aa u&$e$-.a a %uterii;n-e %o&e&tul %uterii;

    ?ormul& Exemplu#$7,n/$ n7n, a,.* , &* ; $0 / 1 %e&tru ori!e a 0 (2 3)4=2434; ( 2 3)4=( 2)4 34=22 34#$m,n/$ mn, a* , &* ; $1/$ %e&tru ori!e a* ;0$ / 0 %e&truori!e a*

    (23 ) 4=23 4=212; 21=2,(-1)1=-1,6 1=6; 01=02=0-1 =0-< =0< =0; 11=12=1-1=1-

  • 8/13/2019 TEORIE MATEMATIC BACALAUREAT 2014

    3/19

    Pu#eri cu exponen# +n#re5 ne5a#i01 nn

    aa

    1= u&$e a ,& ;restul %ro%riet" ilor se %"strea "# :a

    a 11 = ;

    81

    21

    2 33 ==

    Pu#eri cu exponen# raional po$i#i01 n mn

    m

    aa = , a 0, nm

    +; > *

    n

    m

    >

    *

    n

    m

    aaa+

    = , a 0nm

    ,

    > * +; Ex1 4 34

    3

    22 = ; 2841

    282021

    2820

    2821

    4745

    7473

    75

    43

    75

    43

    22 aaaaa ===== ++++

    ( ) nm

    nm

    nm

    8aa8 = , a,. 0, nm

    +;nm

    nm

    n

    m

    8

    a8a =

    , a 0, . 0, nm

    +; Ex1( ) 75

    7

    5

    7

    5

    3232 = ; 75

    75

    7

    5

    3

    232 =

    ; 0;21

    = aaa

    ( ) > *

    nm

    > *

    nm

    aa

    =

    , a 0,

    nm , >

    *+; >

    *nm

    > *

    nm

    a

    a

    a = ,

    a 0,nm

    , > *

    +, nm

    > *

    ; ( ) 10 3103

    5

    3

    2

    1

    5

    3

    21

    2222 ===

    ; 61

    3

    1

    2

    1

    31

    21

    2222 ==

    Pu#eri cu exponen# raional ne5a#i01 n mnm

    nm

    aa

    a 11 ==

    , a 0,

    nm

    +; Ex1 77 57

    57

    5

    32

    1

    2

    1

    2

    12 ===

    ;

    2

    1

    2

    12

    2

    12

    1

    ==

    RA ICALI Proprie#&ile radicalilor1 m n F N m n F 2

    nnn 8aa8 = , a,. 0; Ex1 333 8aa8 = ; nn

    n8

    a8a

    = , a 0,. 0; Ex1 33

    38

    a8a

    = ; mn mn aa = , a 0; Ex1 43 34 aa =

    ( n a ) - n ma , a 0; Ex1( )43 a - 3 4a ; n ma - n? m? a , a 0; Ex 3 4a - 53 54 a ; nmn m aa = , a 0 Ex112433 4 aaa ==

    II ?ORMULE TRIGONOMETRICE?(rmul$ 9und$men%$l: cos* x 2 sin* x3! @ % #

    u&! iile si&us i !osi&us su&t %erio$i!e !u %erioa$a 2 , iar ta&ge&t" i !ota&ge&t" su&t %erio$e :)( #+ 2F ,/)( x ; in#+ 2F ,/ in x ; #5%x2@ (3#5 xic#5%x2@ (3c#5 x Exemple1 )( # 0J 2F ,/)( 0J; in# 0J 2F ,/ in 0J. #5%48B2@ (3#5 48B

    u&! ia !osi&us este %ar"-cos%/x(3cos x) fu&! ia si&us este i %ar"-sin%/x(3 / sin xRedu)ere l$ *rimul )$dr$nse a%li!" atu&!i !'&$ aloarea $e !al!ulatnu es#e din Cadranul I (se !o&si$er")un( )u%e $oar alorile re ar!a.ile $i& %ri ul !a$ra&: 00;300;450;600 i ulti%lii $e /2)#CII-CI e )180;90( 00 & & = 6-%=1

  • 8/13/2019 TEORIE MATEMATIC BACALAUREAT 2014

    4/19

    )( #$ 7, / )( $:)( 7 in $: in 7.cos% " se fa!" $isti&! ie E&tre !oefi!ie&tul u&ui ter e& al $e olt"rii i !oefi!ie&tul .iter e&; 4) G& $e oltarea (a+.)& si (aD.)&, $a!" a-. atu&!iCn0 Cn1 Cn2 Q Cnn/2 n / &u "rul tuturor su. ul i ilor u&ei ul i!u & ele e&te. Cn0 Cn2 Cn4 Q/C n1 Cn3 Cn Q/2 n-1

    r(7$7ili% i %ro.a.ilitatea* !a u& e e&i e&t s" se E&t' %le (sau o rela ie s" fie a$e "rat") este u& &

    fra! ieDegal" !u:* / mu#$ med ne#emen$ede$o$a# nr cond $ acnde*# nescemu#$ med ne#emen$enr

    $o$a#eca"urnr !a+ora8 #eca"urnr

    ###########

    ####

    = , !u%ri&s E&i&ter alul0.1V Pen#ru a calcula pro6a6ili#a#ea +n ca$ul mulimilor' #re6uie s#a6ili# clar cine es#e mulimea' c7#e eleme3 cardinalul mulimii(' care es#e condiia >i c7#e elemen#e din mulime sa#isfac condiia

    4

  • 8/13/2019 TEORIE MATEMATIC BACALAUREAT 2014

    5/19

    Exemplu1 se s$a8 #easc *ro8a8 # $a$ea ca a#e Hnd un numr na$ura# de dou c !re, aces$a s a 8 c A={10,11,12,..,99} card A=90 (sun$ 90 de numere scr se cu dou c !re); Bond e/ n A, c !re#e #u n s ! e e a#e; cond a es$e nde*# n $ de/11,22,33,44,'', , ,>

    8n

    Exemplu1 . 1 -2 i ra ia M-3: - irul: 2; 6-2A3; 18-6A3-2A32; 54-18A3-2A33; B# .&+1 - . &A3 - 2A3&D1; B 4=81+82++84=2+2 3+2 34-1=2(1+3+ 34-1 ) / 80

    2160

    280

    22

    1812

    1313

    24

    ====

    K GEOMETRIE KECTORIAL 1, Re*er )$r%e6i$n &n *l$n >e &u etereper car#e$ian %+n plan) !u%lul $e a e ( N,O,), ( N,O, K), u&$e $re%tele N, su&t %er%e&$i!ulare (E& %la&ul P),O %u&!tul $e i&terse! ie, iari Ksu&t ersorii !elor $ou" a e i $efi&es! se&sul $e %e a "; se ia ele O ;O su&t %o iti e, iar se ia ele O N;O N su&t &egati e (O+ se &u ete a a a.s!iselor,OZ se &u ete a aor$o&atelor)# e%erul !arte ia& E& %la& se &otea "#Oi , !u O origi&ea re%erului# Pla&ul E& !are sDa $efi&it re%eru %la&ul+OZ# 2,C((rd(n$%e )$r%e6ieneie!"rui %u&!tM $i& %la&ul+OZ, Ei aso!ie %ere! ea $e &u ere reale ( , ) &u itecoordona#elecar#e$iene ale punc#ului # e!i%ro! fie!"rei %ere! i $e &u ere reale ( , ), Ei !ores%u&$e u& %u&!t .i&e $eter!oor$o&ate ( , ), &otat J( , );+ se &u etea6scis&, Z se &u eteordona#& Exemplu1 ieM#2.3, A7 )i $lui J, &otat"+M este egal" !u 2iar(rd(n$%$lui J, &otat" ZM este egal" !u 33,Ke)%(ri ie!"rui %u&!t %x ) ( ( $i& %la&ul +OZ &i $ ()iem0ec#orul de po$iie += K & %(L L L # Exemplu1 ieM#2.3, - +=+= K K(L 3232Adun$re$ # $u ) dere$,

  • 8/13/2019 TEORIE MATEMATIC BACALAUREAT 2014

    6/19

    Exemplu1 ie Ku = 32 i K+ += 43 # >" se !al!ule e +u 32 + #e :

    K K K K K K K+u 16941296443)3(33222)43(3)32(232 +=+=++=++=+Ke)%(rul 9(rm$% de *un)%ele AB e %e += K & & % % AM A M A M )()( . Exemplu1 ie A%*)-(i %4)9(- +=+=+=+= K K K K & & % % AM A M A M 3333)36()25()()(

    (i i se ine con# c& i i3 3!' i 3

    ( )212121 ,!os ++++++ = #4, i %$n$ din%re d(u *un)%e A#+A.ZA,B#+B.ZB, $u lun'ime$ e'men%ului ABe %e 22 )()( A M A M & & % % AM += Exemplu1 ie A%*)-( %4)9(- 2329291899)3()3()36()25( 2222 ====+=+=+= AM

    , C((rd(n$%ele mi l()ului M#+M.ZM, $le e'men%ului AB 22

    21 M A L

    % % % % %

    +=+= 22

    21 M A L

    & & & & &

    +=+=

    Exemplu1 ie A%*)-( %4)9(- 27

    252

    2 =+

    =+

    = M A

    L

    % % % ; 2

    92

    632 =

    +=

    +=

    M A L

    & & &

    => 29

    ;27

    L # Mime#ricul punc#ului A fa& de punc#ul es#e un punc# C afla# pe dreap#a A >i e5al dep&r#a#

    adic& A 3 C sau es#e mi locul se5men#ului AC, re*%e &n *l$nOrice dreap#& es#e defini#& >i de o ecuaie de 5radul I' +n x >i ' de forma. $+ 7Z ) /0 $ 7 )

    R $ 5i 7 nu imul%$n nule # $2 72 S 0, &u it" e)u$i$ )$r%e6i$n 'ener$l $ dre*%ei Exemplu12%+3&-'=0; a=2; 8=3; c=-'.

    Z / m:+ n e)u$i$ *rin % ie%uri $ dre*%ei Exemplu1 & = -3%+ ; m = -3; n = .

    E)u$i$ dre*%ei de%ermin$% de d(u *un)%e di %in)%e A#+1 Z1, B#+2 Z2, #+1 +2, e %e112

    1

    12

    1

    & & & &

    % % % %

    =

    Ca!"+1/ +2, atu&!i e!ua ia $re%tei este+ / +1#[[ )u OZ,#Ca!"Z1/Z2 atu&!i e!ua ia $re%tei esteZ / Z1 #[[ )u O+,# Exemplu1 A%*)-( %4)9( -

    #0:03333)3(3)3(33

    33

    2363

    252 ==>=+=>==>==>=

    =

    & % AM & % & % & % & % & %

    $n%$ dre*%ei )$re %re)e *rin d(u *un)%e A#+A.ZA,B#+B.ZB, +A +B e %em A 3 A M

    A M

    % % & &

    Exemplu1 A%*)-( %4)9(- 133

    2536 ==

    = AMm 3Dm A 3!

    (u dre*%e de e)u$ii $ + 7 Z ) / 0 $\ + 7\ Z )\ / 0 )(in)id$a!" QQQ cc

    8

    8

    a

    a == # Ca!" a2-0, atu&!i

    i a1 - 0, sau $a!" .2 - 0, atu&!i i .1 - 0# Ca!" a-0, atu&!i i aN-0;$a!" .-0, atu&!i i .N-0;$a!" !-0, atu&!i i !(u dre*%e de e)u$ii Z / m+ n Z/m\+ n\ )(in)id $a!" m 3 mQ >i n3nQ #

    Exemplu1?ie d !1 x2* /-38) d *1 *x2. /938) d-1 *x2. /!38 d ! >i d * coincid' iar d ! >i d - sun# paralele

    ?ie =++=++

    0

    0

    222

    111

    c &8 %a

    c &8 %a

    +=+=

    22

    11

    n %m &

    n %m & sis#emul forma# de ecuaiile a dou& drep#e #d1, 5i%d * ( Punc#ul

    de in#ersecie al drep#elor %d ! ( >i %d * ( se 5&se>#e re$ol07nd sis#emul forma# de ecuaiile drep#elor

    Exemplu1 e =++=++

    052032

    & % & %

    $u&" !ele $ou" e!ua ii, se re$u!e i a e :2Z+2Z+3+' - . 2:383D. 3/:3D 3/

    :1.3 /*# Ci& %ri a e!ua ie afl" %e : x2*;%/*(2-38 3Dx2%/.(2-38 3Dx/.2-38 3Dx/!38 3Dx 3 !# - d ! d *3 %!)/*( e +=

    +=342

    % & % &

    R&lo!ui %e $i& %ri a e!ua ie E& a $oua e!ua ie i a e :*x2.3x2-3D*x/x3-/. 3Dx3 /! Ci& a

    $oua e!ua ie afl" %e : 3 /!2- 3 * 3Dd ! d *3 %/!) *(6

  • 8/13/2019 TEORIE MATEMATIC BACALAUREAT 2014

    7/19

    E)u$i$ dre*%ei de *$n% m 5i $i d1x2 /-38 3/x2- 3D x A2 A/-3!2*/-3-/-383DAd sau A3/x A2- *3/!2- *3*3DAd

    Trei *un)%e A#+A.ZA, B#+B.ZB, C#+) Z), sun# coliniare d$) A M

    AB

    A M

    AB

    & & & &

    % % % %

    =

    Exemplu1 e A(1;2), M(2;4), B(3; ) . A em/ 2224

    12

    2426

    1213 ===>

    =

    =N A,M,B sun$ co# n are.

    re*%ele #d1, $1 + 71 Z )1 / 0 #d2, $2 + 72 Z )2 / 0 sun# paralele d$)2

    1

    aa /

    2

    1

    88

    2

    1

    cc $2 72 0 #

    Kou& drep#e d15i d2 sun# paralele #d1[[d2 ( dac& pan#ele lor m! >i m* sa#isfac relaia m1/m 2 # pan#ele sun# e5ale( Exemplu1 e d !1 x2* /-38) d *1 /*x2 /:38) a!3!'6!3*' a*3 /*'6*3!' d ! >i d * coincid' iar d ! >i d - sun# paralele Exemplu1 e d !1 3x/4) d *1 3x2 ) m!3!' m*3!'n ! n* ' 3Dd ! >i d * sun# paralele

    (u dre*%e d15i d2 sun# perpendiculare # 21 d d ( d$) *$n%ele l(r m1 5i m2 $%i 9$) rel$i$ m1 m2/ -1 Exemplu1 e d !1 3x/4) d *1 3/x2 ) m!3!' m*3/!' m! m*3! %/!(3 /! 3Dd ! >i d * sun# perpendiculare Kac& m! m* ' cele dou& drep#e sun# concuren#e %sis#emul forma# de ecuaiile drep#elor a07nd solu Exemplu1 e d !1 3x/4) d *1 3*x/4) m!3! m*3!'n !3n* ' 3Dd ! >i d * sun# concuren#e

    Kis#ana de la un punc# la o dreap#& es#e lun5imea perpendicularei duse din aces# punc# pe dre

    ie $rea%tad1 ax26 2c38 i %u&!tul %x m ' ( # Kis#ana de la d la e %e 22)),,(( 8ac &8 %a

    d & % L d L L

    L L +++

    = Exemplu1 e d1 x2* /-38 >i %*)-(3Da3!'63*'c3/-'x 3*' 3-3D

    55

    55

    5

    41

    362

    21

    )3(3221)),3,2((

    22===

    ++=

    +++=d L d

    erime%rul u&ui triu&g i este su a lu&gi ilor laturilor sale, a$i!":/AB BC CA/) $ 7 / - perime#rul #riun5=iului A C'i$r

    22c8a I

    * ++== - semiperime#rul

    Ari$triu&g iului/2

    na#$ me8a" #

    ))()((2si&

    2 c *8 *a * * M AM MB AO MB

    A AMB =

    =

    = (%ot fi ori!are alte $ou"laturi i u&g iul $i&tre ele)# Ca!" se !u&os! !oor$o&atele 'rfurilorA#+A.ZA, B#+B.ZB, C#+) Z),,

    utili " for ula: 11

    1

    21

    B B

    M M

    A A

    AMB

    & %

    & %

    & %

    A =($a!" S T=-0, %u&!tele ,T i = su&t !oli&iare)#

    u&ui S e! ilateral $e latur"l : 432#

    A # ec: #a$era = , iar a u&ui triu&g i $re%tu&g i! este egal" Uu "tate $i& %ro$usul !atetelor#Teorema lui Pi#a5ora 5enerali$a#&- #eorema cosinusului1 AM2+ AB 2 2AM5AB5 cos A = MB 2

    Teorema sinusurilor : @B

    c

    M

    8

    A

    a2

    si&si&si&=== @

    B

    AM

    M

    AB

    A

    MB 2

    si&si&si&=== u&$e

    R3ra$a cercului circumscris #riun5=iului %la #riun5=iul drep#un5=ic aceas#& ra$& R es#e uma#e din ipo#enu$& >i cu mediana din un5=iul drep#( edian& 3 se5men# ce une>#e un 07rf al #riun5=iului cu mi locul la#urii opuse) punc#ul de +nmedianelor %la o #reime de 6a$&( se nume>#e cen#ru de 5reu#a#e %no#a# de o6icei cu G()

    7

    Triun'=iul ABC*($%e 9i:- ec=ila#eral toateu&g iurile egale(600) ilaturile egaleDisoscel V $ou" laturiegale i $ou" u&g iuriegaleDdrep#un5=ic "u&u&g i $re%t (900)Doarecarer3 ra$a cercului +nscris+n #riun5=i) r3M

  • 8/13/2019 TEORIE MATEMATIC BACALAUREAT 2014

    8/19

    edia#oare3 dreap#& perpendicular& pe mi locul la#urii opuse %sau a unui se5men#() punc#u+n#7lnire al media#oarelor se nume>#e or#ocen#ru %no#a# de o6icei cu S() n&lime3se5men# ce pleac& din#r/un 07rf >i es#e perpendicular pe la#ura opus&) isec#oare3semidreap#& ce pleac& din#r/un 07rf >i +mpar#e un5=iul +n dou& p&ri e5aleCen#rul cercului circumscris #riun5=iului es#e punc#ul de +n#7lnire al media#oarelor

    E)u$i$ )er)ului !u !e&trul E&C%x C ) C ( i ra "r este :222 )()( r & & % % B B =+ #Orice ecuaie de cerc de al#&

    form& se aduce la aceas#& form& %pen#ru a se afla ra$a >i coordona#ele cen#rului(KI ?UNC^II ELEMENTARE NUMERICE

    >u&t fu&! ii $efi&ite %e ul i i $e &u ere (N ! " R C, i&ter ale sau reu&iu&i $e i&ter ale ale a!estora) i !tot E& ul i i $e &u ere# or a ge&eral" este:9 A-SB 9#+,/Zu&$e Zes#e o sui#& de operaii ma#ema#ice c x%expresia funciei( aloarea u&ei fu&! ii E&trDu& %u&!t -0 este f(0); la fel erifi!" i $a!" grafi!ul fu&! iei tr %ri&trDu& %u&!t (; ) (sau %u&!tul (; ) se afl" %e grafi!ul fu&! iei): $a!" f%x A (3 A atu&!i grafi!ul fu&! iei tre! %ri& (; )#E+em*lu !/@-N@, !(%) = %2 1; !(0)=02-1=0-1=-1, dec A(0;-1) es$e *e ra! cu# #u !. Ca!" u&ul $i& fa!torii u&ei E& ul iri (%ro$us) este ero, atu&!i re ultatul E& ul irii este ero !est lu!ru este util la!al!ulul %ro$usului alorilor u&ei fu&! ii E& $iferite %u&!te !'&$ aloarea E& u&ul $i& a!este %u1 ?un)i$ de 'r$dul I 9 R-SR. 9#+,/$:+ 7a 8 Pra! cu# une !unc de radu# C es$e o drea*$ (cresc$oare dac aN0 sau descresc$oare dac aQ0). Aes$e 8 Kec$ (e den$ dac aR0). unc a es$e cresc$oare dac aN0 descresc$oare dac aQ0. Exemplu1 9#+,/+- a=1R0; 8= - .2 ?un)i$ de 'r$dul II 9 R-SR. 9#+,/ $:+2 7:+ ).a 8 Pra! cu# une !unc de radu# CC !(%)=a5%2+85%+c es$e o *ara8o# (cu Hr!u# n sus dac aQ0 cu Hr!u# naN0). Boordona$e#e Hr!u#u%x ) ( a# *ara8o#e asoc a$e !unc e sun$/

    a &

    a8

    % S S 4;

    2== , ad c

    )4

    ;2

    (aa

    8S Z< cons$ $u e m n mu# (dac aN0) sau ma% mu# (dac aQ0) !unc e . unc a e *en$ru %Q%S descresc$oare *en$ru %N%S dac aQ0 n ers. Oac TQ0, *ara8o#a nu n$ersec$ea" a%a % T=0, *ara8o#a ( ra! cu# !unc e ) es$e $an en$ a%e % n Hr!; dac TN0 *ara8o#a n$ersec$ea" (%1;0) (%2;0). Exemplu1 9#+,/ -+2 3+- . a= -1R0; 8=3; c = -'3 ?un)i$ *(lin(m 9 R-SR. 9#+,/ $n +n $n-1 +n-1 Q $1 + $0 Exemplu1 9#+,/ /+

    3

    - 4 +2

    2+ - . a3=1; a2=-4; a1=2; a0= - ;4 ?un)i$ r$i(n$l

    )()(

    )( %U % I

    %B = unde #+, 5i "#+, un% *(lin($meCo e&iul $e $efi&i ie esteR " Vr&d&cinilenumi#orului W%x( X

    ?un)i$ *u%ere 9 R-SR. 9#+,/ $ +nemnu# !unc e *u$ere de* nde de semnu# #u a dac n es$e *ar sau m*ar. Exemplu19#+,/ -4+. a=-4; n='.

    ?un)i$ r$di)$l 9 -SR.n % % ! =)( # Oac n es$e *ar, a$unc ce- su8 rad ca# nu $re8u e s ! e ne

    a#oarea #u ! es$e *o" $ sau "ero;dac n es$e m*ar, a$unc % @ semnu# #u ! es$e #a !e# cu semnu# e%*re su8 rad ca#. Exemplu1 5)( % % ! = ' n ='

    P ?un)i$ e+*(neni$l 9 R-S#0. _,. f%x( 3 a x . $S0 $ ]1.

    unc a e%*onen a# es$e numa *o" $ f%8(3a83! Exemple1 f !%x( 3 e x ) f *%x( 3 * x ) f -%x( 3 */x 3%*/! ( x 3%!Y*( x %2

    1=

    )@ ?un)i$ l('$ri%m 9 #0. _-SR. f%x(3lo5 a x unde $S0 $ ]1 + S0 Wogarit ii a%ar !a solu ii ale e!ua iilor$+/N u&$e .a a $S0 $]1 5iargu e&tulNS0 r(*rie% i lo5 a N ! 2 lo5 a N *3lo5 a N ! N * ) lo5 a N ! / lo5 a N * 3 lo5 a N !

  • 8/13/2019 TEORIE MATEMATIC BACALAUREAT 2014

    9/19

    c #an5en#&1 f1R/V@ X/DR) f%x(3 #5 x unc a $an en$ es$e *er od c de *er oad 6 nede! n $ n mu#$d co#an5en#&1 f1R/V@ e %u&e !o&$i ia:2D4 0; se ri$i!" la %uterea a 2Da (deoarece a em rad ca# deord nu# 2) a .ii e .ri i o. i&e :( ) 228444424 2,122222 ==+=== % % % %E)u$ii e+*(neni$le ecuaii ce conine 0aria6ila necunoscu#& la exponen#ul pu#erii .=ea ai si %l" e!ua ie e %o&e& ial" este $e for a$+ / 7 # $u $9#+,/7, u&$e a 0, a 1#R&!er!" s"Dl s!rie %e %utere a lui a, a$i!" 1 %a8 = i E& a!est !a x3x ! sau f%x(3x ! Ca!" &u %ute s"Dl s!rie %e7 !a o %utere a lui$,atu&!i %e&tru .X0 e!ua ia &u are solu ii, iar %e&tru . 0 e!ua ia $at" are o solu ie u&i!" +/l(' $7 sau9#+, /l('$7 Exemple1 se re"o# e ecua #e/a( * x 3 /. , 6( * x 3 : , c( * x 3 4 Re6(l" se re ol e e!ua ia 4 V 2 D2 -0; e$ol0are1 R&!er!" s" o. i&e %uteri !u a!eiai .a ", $e %refer

    ai i!", a$i!" .a a 2 E& a!est !a # 4 V2D2-0- 022)2( 2 = % % - 0222 2 = % % - 0222 2 = % % -022)2( 2 = % % # ot" 2+/ZS0 E&lo!ui i o. i&e */ /*38'a$i!" o e!ua ie de 'r$dul II &n Z e :a3!,

    63/!, c3/*-9

  • 8/13/2019 TEORIE MATEMATIC BACALAUREAT 2014

    10/19

    ]36*/. a c -(D1)2D4Y1Y(D2)-1+8-9-32#-01

    22

    231

    ;0224

    231

    231

    129)1(

    2 212,1 ==+=+=

    == % %

    a8

    % Coar - 1 erifi!"

    !o&$i ia s" fie ai are !a ero, $e!i2+/Z1 2+/1/2 0 /S+/0 #egalitate $e %uteri, egalitate $e .a e - egalitatee %o&e& i)#E)u$ii l('$ri%mi)e ecuaia ce conine necunoscu#a su6 semnul lo5ari#mului sau %>i( +n 6a$a lui =ea ai si %lae!ua ie logarit i!a este e!ua ia $e ti%ull(' $+ / N Ca!"$S0 $ ]1 e!ua ia, %e&tru ori!e &u "r real 0, are osolu ie u&i!",+ / $N R&ai&te $e a re ol a e!ua ia se %u& !o&$i iile: a 0, a 1, 0# >e a i&e !o&este e %o&e&tul la !are se ri$i!" .a a !a s" &e $ea argu e&tul< a$i!" E& !a ull(' $ + / 7 /S $7 / + O al#& 0arian#&es#e s& se #ransforme ecuaia lo5ari#mic& +n#r/o ecuaie polinomial& %de o6icei de 5rad I'II sau III ( Exemplu1 se re"o# e ecua #e a) #o 2 % = 3, 8) #o 3 % = -1, c) 0log

    31 = % Re6(le utili ea "l(' $+ / N i

    +/$N si se o. i&e$, % - 23 sau % - 8; 7, % - 3D1 sau % - 1/3; ), -(1/3)0 - 1 sau - 1 Ine)u$iile se re$ol0& re$ol07nd mai +n#7i ecuaia ce se formea$& din inecuaie >i s#a6ilind semnul%funciei( ce formea$& inecuaia / se #rece #o#ul +n par#ea s#7n5& %+n dreap#a r&m7ne 8( >i se sexpresiei din par#ea s#7n5& %re$ul#a#ul re$ol0&rii unei inecuaii es#e de o6icei o mulime sau un in#er0 Exemplu1 *x/Z^8) Re$ol0&m +n#7i ecuaia *x/Z38 3D x3[/%/Z(\Y*3Z

  • 8/13/2019 TEORIE MATEMATIC BACALAUREAT 2014

    11/19

    Exemplu1 2D4Y +3 0;a-1 0;.-D4;!-3;S-.2D4YaY!-(D4)2D4Y1Y3-16D12-4-22;

    );3\[1;(122

    224

    ;326

    224

    224

    124)4(

    2 212,1 =====+==

    == % % %

    a8

    %

    Al%e emne de 9un)iitrigo&o etri!e, %oli&oa ele, ra$i!alul $e or$i& i %ar, logarit %ot fi %o iti e sKIII OLINOAME CU COE?ICIEN^I REALI

    ie f-a&] & +a&D1] &D1+B+a1]+a0 u& %oli&o !u !oefi!ie& i reali (an ' an/! ' J ' a ! ' a8su&t &u ere reale, a& 0); 5rad f3nO r d )in $ *(lin(mului 9este a!el &u "r !u !are, $a!" E&lo!ui %e , o. i&e aloarea ero# Exemplu1 f%x( 3 *x - /-x * 2 :x /Z) f%!(3* ! -/- ! *2: !/Z3* !/- !2:/Z3*/-2:/Z3/!2!383D x3! / r&d&cin& a lui fZ& %oli&o $e gra$ul & !u !oefi!ie& i reali are & r"$"!i&i: 1, 2, 3, B , &D1, & !are %ot fi &u ere !o %le e, realra io&ale sau E&tregi# Z& %oli&o !u !oefi!ie& i reali $e gra$ i %ar are !el %u i& o r"$"!i&" reaCa!"+1 / $ i: . este o r"$"!i&" !o %le " a lui f, atu&!i i !o&Uugata sa+2 / $ 7 i este r"$"!i&" a lui f#Ca!"+1 / A bB este o r"$"!i&" real" a lui f, atu&!i i+2 / A bB este r"$"!i&" a lui f#Ca!"+i/#*8Y, este o r"$"!i&" ra io&al" a lui f, atu&!i % $i i$e ter e&ul li.er a0 i M $i i$e !oefi!ie&tul ter e&uluira&g a i , a&, a$i!" r"$"!i&ile ra io&ale ale u&ui %oli&o se !aut" f"!'&$ ra%ortul $i i orilor !elo Kou& polinoame sun# e5ale dac& au acela>i 5rad >i coeficienii corespun$ori pu#erilor de acela>i 5raRe %ul &m* ririi lui 9 l$ D-$ e %e 9#$,Ca!"$ este r"$"!i&" a lui f, atu&!i f(a)-0, f se $i i$e (E %arte e a!t) D-$ i re!i%ro!# Ca!" 1, 2 su&t r"$"!i&i ale lui f, atu&!i f(1)-f( 2)-0, f se $i i$e !u (]D1)A(]D2) i re!i%ro!# Exemplu1 f%x( 3 *x - /-x * 2 :x / ) f%!(3* ! -/- !*2: !/ 3* !/- !2:/ 3*/-2:/ 3/!/!3/*3D x3! nu es#e r&d&cin&a lui f

    Te(rem$ &m* ririi )u re % 9 /) ' r unde/ f " de+mp&ri#) 5 " +mp&ri#or) c " c7#) r " res# Grad f 3 5rad c2 mp&rirea a dou& polinoame se !ace asemn$or cu m*r rea numere#or (se m*ar$ $ermen de rad made m*r $ ! (%3 n aces$ ca") m*r $or (%2 n aces$ ca") coe! c en$ cu coe! c en$ necunosnecunoscu$), doar c re"u#$a$e#e n$ermed are se scr u cu m nus se adun (nu se scr u cu *#us se Exemplu1 &m* rire$ $ d(u *(lin($me 9#+, / +3 2 +2 3 + 1. 5%x( 3 x * " !. f%x( 15%x( 3 %x - 2 * x * 2 - x 2!( 1% x * / !(3 x2* res# .x2-)9 /de+mp&ri# . '/ +mp&ri#or . )/ x2*3c7# . r/ .x2-3res# gra$%f15( 3gra$ f /gra$ 5)gra$ r^gra$ 5

    +3 2 +2 3 + 1 x * / ! $recem cu semn sc: m8a$ -N -+3 + + 2 -Sc7# adun&m /D < *x * 2 .x $recem cu semn sc: m8a$ -N /*x * 2* adun&m /D < 4 + 3 /D res#

    ;nmulire$ $ d(u *(lin($me " se nmu# e $e ! ecare $ermen de #a *r mu# *o# nom cu ! ecare $ermen de *o# nom;( dac *r mu# *o# nom are 4 $ermen , ar a# do #ea are 2 $ermen , re"u#$a$u# a a ea 254=< 5rad%f;5(3 5rad f 2 5rad 5 ; un *o# nom cu radu# Z[@ es$e o cons$an$, de o8 ce nenu#. Exemplu1 &nmulire$ $ d(u*(lin($me1 f%x(;5%x(3%x -2* x *2- x2!( %x */!(3%x -2* x *2- x2!( x */%x -2* x *2- x2!( !3 3x -2* x . 2- x- 2x */ x- /* x /- x/!3x 4 2* x 2* x -2x* /*x*/-x/!3 x 2* x 2* x - / x */-x/!)

    ID RELA^IILE LUI KIETE Mun# relaii +n#re r&d&cinile >i coeficienii unei ecuaii polinomiale de diferi#e 5rade Pen#ru polinoame de 5radul I / f%x( 3 a! x 2 a8 3 8) x ! 3 %/a8 (

  • 8/13/2019 TEORIE MATEMATIC BACALAUREAT 2014

    12/19

    D MATRICE I ETERMINAN^IJatri!ele su&t ta.louri $e &u ere !u li&ii i & !oloa&e, iar la i&terse! ia fie!"rei li&ii !u o !oloa&&u "r# )()( ,###1;###1 B L a A nmn KmK = == +nseamn& o ma#rice cum linii' n coloane >i forma#& cunumere)(m*le+e Kou& ma#rice se po# aduna numai dac& au acela>i num&r de linii >i de coloane Kou& ma#rice sun#dac& au acela>i num&r de linii >i de coloane >i sun# e5ale elemen# cu elemen#O m$%ri)e e &nmule5%e )u un num r #)(n %$n% , &nmulind %($%e elemen%ele m$%ri)ei )u $)el nTranspusa unei ma#rice A' no#a#& A# ' se o6ine in0ers7nd liniile cu coloanele La$r ce#e *$ra$ ce au ace#a numde # n co#oane ' a#ricea nul& %cu #oa#e elemen#ele e5ale cu $ero( es#e elemen# neu#ru la adunarea %A 2 O 3 O 2 A 3 A(' iar I n %ma#ricea cu #oa#e elemen#ele de pe dia5onala e5ale cu ! >i res#ul nule( es#eneu#ru la +nmulirea ma#ricelor pra#ice de ordinul n %A ; I n 3 I n ;A 3 A( Exemplu1

    ?ie $ /3 5i

    =

    231

    112231

    A /S

    =

    =

    =

    693336693

    2333)1(3131323

    )2(33313

    231112231

    3 Aa

    Kou& ma#rice se po# +nmuli%linie cu coloan&( numai dac& num&rul de coloane al primei ma#ricenum&rul de coloane al celei de a doua ma#rice Prima ma#rice d& num&rul de linii al re$ul#a#ului' iadoua d& num&rul de coloane nmu# rea ma$r ce#or nu es$e comu$a$ R& ul irea atri!elor se reali ea " linie % de#a *r ma ma$r ce) cu coloan&(de #a a doua ma$r ce). Exemplu de +nmulire a dou& ma#rice( nmu# rea se rea# "ea" ,, fiecare linie din prima ma#rice cu fiecare coloan&din a doua ma#riceQQ ) /

    =

    231

    112231

    A .

    =

    211212101

    M .A:B/

    231

    112

    231

    c

    211

    212

    101

    /

    ++++++++++++

    ++++++

    2223)1()1(12130)1()1(2231)1(

    2121)1(2111102)1(12112

    2)2(23)1(11)2(1301)1()2(2311

    /

    /

    =

    ++++++++++++++

    1153

    223

    119

    461230261

    222110122

    461230261

    Exemplu1 ie

    =

    231

    112231

    A /S

    =

    212313121

    A$ .

    =

    000

    000000

    3( .

    =

    100010001

    3 C

    ?ie A/ -(aiU)J &(C) ( m$%ri)e * %r$%i) o aso!ia a!estei atri!e u& &u "r &otatde%#A, &u itde#erminan#ul ma#ricei ACa!" -(a11)J &(C) este o atri!e %"trati!" $e or$i&ul E&t'i, atu&!i $et( ) -#*a11* - a11# Exemplu1 ie -(D5) - $et( ) -#*D5* - D5#

    Ceter i&a&tul atri!ei

    =

    2221

    1211

    aa

    aa A

    este &u "rul ( ) 21122211$et aaaa A = 22211211

    aa

    aa= i se &u ete $eter i&a&t $

    or$i& 2# ^er e&ii a11Aa22, a21Aa12 se &u es! ter e&ii $e olt"rii $eter i&a&tului $e or$i& 2# Exemplu1 ie

    =43

    21 A - $et( ) -1Y4D2Y3-4D6-D2#

    Ceter i&a&tul atri!ei

    =

    333231

    232221

    131211

    aaa

    aaa

    aaa

    A

    este 322311332112312213312312322113332211)$et( aaaaaaaaaaaaaaaaaa A ++=i se &u etede#erminan# de ordin -# er e&ii !are a%ar E& for ul" se &u es! ter e&ii $e olt"rii $eter i&a&tulRe'ul$ lui $rru ie u& $eter i&a&t $e or$i& 3# Pe&tru a !al!ula u& astfel $e $eter i&a&t se utili e

    ai Uos (e e %luD$m )ri u7 de%ermin$n% *rimele d(u linii): se fa!e %ro$usul ele e&telor $e %e $iago&!are !o& i& 3 ter e&i# Pro$usul ele e&telor $e %e o $iago&al" $es!e&$e&t" (st'&ga sus V $rea% %lus# e trei astfel $e %ro$use: 312312322113332211 ,, aaaaaaaaa # Pro$usul ele e&telor $e %e o $iago&al" as!e&(st'&ga Uos V $rea%ta sus) este !u se &ul i&us# e trei astfel $e %ro$use: 322311332112312213 ,, aaaaaaaaa #>u a!elor ase %ro$use $" aloarea $eter i&a&tului $e or$i& 3#

    12

  • 8/13/2019 TEORIE MATEMATIC BACALAUREAT 2014

    13/19

    0

    14#3

    121

    1

    : = & %

    AM

    Ke#erminan#ul es#e nul dac&1D aa re ult" $i& !al!ul; D are o li&ie sau o !oloa&" !u toate ele e&tele egalD are $ou" li&ii sau $ou" !oloa&e egale sau ele e&tele $e %e $ou" li&ii sau !oloa&e su&t %ro%or i a#ricele >i de#erminanii se %ot utili a la re ol area siste elor $e e!ua ii li&iare !u ai ulte &e!u&o&e!u&os!ut" este $e gra$ul G sau ero (li%sete)) folosi&$ regula lui =ra er:

    D se for ea " atri!eaA Ae+%in a siste ului i atri!eaD a ter e&ilor li.eri;D se sta.ilete $a!" siste ul este !o %ati.il (ra&g - ra&g e ti&s) sau &u; D se

    !al!ulea "de# A;se !al!ulea " $, $, $ B# u&$e $] se o. i&e $i&de# A E&lo!ui&$ !oloa&a !oefi!ie& ilor lui !u !oloa&a ter e

    li.eri; D se !al!ulea " Ad

    % X

    $et= , Ad

    & &

    $et= , Ad

    " "

    $et= et!#

    !ua ia u&ei $re%te (, )T( T, T) se %oate afla re ol '&$ $eter i&a&tul: 01#11

    : = M M

    A A

    & % & % & %

    AM #

    Exemplu1 (1,2)T(3,4) A1A2+ A1A3+1A4A1D3A2A1D1A4A D1A A1-02++3&+4D6-4+D &-0 D2 +2 D2-0_ _ :(D2) +-Z 1/0 /SAB +-Z 1/0In

  • 8/13/2019 TEORIE MATEMATIC BACALAUREAT 2014

    14/19

    Wa !al!ulul u&ei li ite $e ir ( )(li0&

    = nn

    aa ) sau li ite $e fu&! ie ( ( ) ( )00

    li % ! % ! = ) se E&lo!uiete & (la

    iruri) i (la fu&! ii) !u aloarea s%re !are ti&$e (li itele se foloses! i %e&tru a erifi!a !o&ti&

    %u&!te 0 ale $o e&iului $e $efi&i ie:l s%x 8 (3f%x 8 (3l d %x 8 ( )()()(

    0

    0

    0

    00 % ! m# % ! % ! m#

    % % % %

    % % % %

    >>

    == (

    Exemplu1 f%x(3e x/*) ( ) ( )3lili 123233

    ! eeee % ! % ===== # aa = 0li , u&$e aR este o !o&sta&t"#

    O*er$ii )u _ ;;0 ==a

    aAL-D L $a!" aX0 sau +L $a!" a 0; =

    a $a!" a 0; =

    a $a!" aX 0# = #

    e ultatul !al!ulului u&ei li ite %oate fi i o &e$eter i&are#Nede%ermin ri#;0;;1;;0;0;;

    00 00 e$c

    Kac& re$ul#& o nede#erminare' aceas#a se elimin&)

    080 5i _8_se eli i&" %ri& si %lifi!are sau regula lui lN`os%ital:)(Q)(Q

    li)()(

    li00

    0

    0

    % , % !

    % , % !

    % %

    sau

    % %

    = ;

    _-_ %ri& E& ul ire !u !o&Uugata sau %ri& fa!tor for at; LA0 %ri& a$u!ere la 0/0 sau L/L;

    1,,0,0 00 se eli i&" %ri& logarit are sau folosi&$ li ita re ar!a.il" e %

    n

    n

    %

    n %

    =

    +

    11li #

    Exemplu de eliminare a nede#ermin&rii _>

    > %

    % %

    % %

    % %

    % %

    % %

    % % %

    % % ! m

    % % %

    ; 0,fi&it#

    14

  • 8/13/2019 TEORIE MATEMATIC BACALAUREAT 2014

    15/19

    ===+=+==++++

    l&)(l&li)l&(li[1l&\li[)(\li % % % % % % % %m % ! n % % % % - & &efi&it3D G f nu

    are asimp#o#& o6lic& spre 2_DIII ERIKATE

    C$l)ulul derie &ul $eri atei E&t'i fN( ) sta.ilete $a!" o fu&! ie este !res!"toare sau $es!res!"toare; $a!" fN!res!"toare; $a!" fN( )X0, f( ) este $es!res!"toare# Pu&!tele $e e tre ale fu&! iei ( i&i sau a %u&!te u&$e $eri ata E&t'i se a&ulea " i Ei s! i ." se &ul (E& e e %lul $e ai UosM#+0.9#+0,, esteun maxim)#

    L n Ode! (e%.-E) x 8 La% Ode! (e% +E) fQ%x( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /9#+, f %x 8 (

    G&ter alele %e !are fu&! ia este !res!"toare sau $es!res!"toare se &u es! i&ter ale $e o&oto&ie#15

  • 8/13/2019 TEORIE MATEMATIC BACALAUREAT 2014

    16/19

    >e &ul $eri atei a $oua (a$i!" $eri ata $eri atei G) sta.ilete $a!" o fu&! ie este !o&fNN( ) 0) sau !o&!a " (,,&u i&e a%"i al doilea elemen# >i adun&m 9 ?ie o mulime ne0id& cu cel puin * elemen#e >i le5ile de compo$iie ''`, >i ''o, defini#e pe aceas#& mul

    M(n(idulCu.letul (J, ) este o&oi$ $a!":

    1 le'e$ \\ e %e $ ()i$%i< $di) + Z 6M $

  • 8/13/2019 TEORIE MATEMATIC BACALAUREAT 2014

    17/19

    B % % % %

    d% %d% % +==+

    ==+

    33112

    12

    2

    1

    7 + Z 6M $i 6i ec#i0&(

    DK INTEGRALEie f:\a,.[DR N(% m in%e'r$l din 9#+,f = d% % ! % )()( u&$e?%x( es#e primi#i0a lui f%x( sau?Q%x(3f%x(

    O 9un)ie $dmi%e *rimi%i+= 2)(

    )()()()()()()()(2

    ,,,

    Exemple1 = %d% % %d% % si&si& Consider&m f%x(3x >i 5Q%x(3in x 3DfQ%x(3xQ3! >i 5%x(3in xdx3)( x >io6inem1

    B % % % % % % %d% % % %d% % % %d% % %d% % ++===== si&!os)si&(!os!os!os!os1!ossi&si&

    = %d% % %d% % l&l& Consider&m f%x(3lnx >i 5Q%x(3/ x 3DfQ%x(3lnxQ3!i B % %d% % , +== 2)(2

    >i

    o6inem1 % % % % % % %d% % %d% % % %d%

    % % % % %d% % %d% % ====== 42l& 2212l& 212l& 2l&2 12l&2l&l&

    22222222

    17

  • 8/13/2019 TEORIE MATEMATIC BACALAUREAT 2014

    18/19

    La in#e5rarea prin sc=im6are de 0aria6il& se +nlocuie>#e o par#e din funcia care se in#e5rea$& cu #' sdx +n funcie de fQ%x( >i d#' se +nlocuiesc >i se o6ine o in#e5ral& +n # care #re6uie s& fie in#e5ral& Kup& calculul in#e5ralei +n #' re$ul#a#ul se #ransform& din nou +n x Exemplu 1>" se !al!ule e d% % % 2!os >e o.ser " !" i&tegrala &u este $e ta.el# No#&m +2/%# Cifere& ie io. i&e : dx *3d#3D*x;dx3d#3Ddx3d#

  • 8/13/2019 TEORIE MATEMATIC BACALAUREAT 2014

    19/19

    ie f:\1,2[DR 9#+,/ % /S

    43

    214

    21

    24

    21

    22

    211)(

    2221

    221

    112

    1

    2

    1

    2 =====+===

    +

    % % %d%d% %S B! DKI OLINOAME

    1 )u )(e9i)ien%i re$li ie9 / $nDn $n-1Dn-1 Q $1D $0 u& %oli&o !u !oefi!ie& i reali (a&, a&D1, B , a1, a0 su&t&u ere reale)#

    aloarea unui polinom +n#r/un punc# al domeniului de definiie se afl& +nlocuind pe cu 0aloarea acelui

    O r&d&cin& a polinomului f es#e acel num&r cu care' dac& +nlocuim pe x' o6inem 0aloarea $eroZ& %oli&o !u !oefi!ie& i reali are & r"$"!i&i: 1, 2, 3, B , &D1, & !are %ot fi &u ere !o %le e, reale, ra io&aE&tregi# R&d&cinile unui polinom cu coeficieni reali po# fi #oa#e complexe' unele complexe' celelal#e rreale Ca!" u& %oli&o &u are r"$"!i&i reale, atu&!i este ire$u!ti.il %esteR , iar $a!" are r"$"!i&i reale, atu&!i s$es!o %u&e E& fa!tori ire$u!ti.ili %esteR Un polinom se descompune +n fac#ori ireduc#i6ili scriindu/l c produs de polinoame de 5rade mai mici) cele de 5radul ! sau de 5radul ! la diferi#e pu#eri mai mari cr&d&cini reale' iar cele de 5rad mai mare ca ! NU au r&d&cini realeCes!o %u&erea E& fa!tori ire$u!ti.ili $e%i&$e $e &u "rul i or$i&ul r"$"!i&ilor reale ale %oli&o u

    $) x ! 3 a 2 i;6 este o r"$"!i&" !o %le " a lui f, atu&!i i !o&Uugata sa x * 3 a " i;6 este r"$"!i&" a lui f#$) +1 / A bB este o r"$"!i&" real" a lui f, atu&!i i+2 / A bB este r"$"!i&" a lui f#$)

    > *

    % =1 este o r"$"!i&" ra io&al" a lui f, atu&!i % $i i$e ter e&ul li.er a0 i M $i i$e !oefi!ie&tul ter e&ului $

    ra&g a i , a&, a$i!" r"$"!i&ile ra io&ale ale u&ui %oli&o se !aut" f"!'&$ ra%ortul $i i orilor !elor $ Exemplu1 f%x( 3 *x - /-x * 2 :x / ) a-3* >i a83/ Ki0i$orii +n#re5i ai lui a83/ sun# V2!) 2-) 2 X' iar di0i$orii +n#re5ai lui a-3* sun# V2!) 2*X' deci r&d&cinile raionale ale lui f po# fi1 V2!) 2%!