186251588-TEORIE-MATEMATICĂ-BACALAUREAT-2014-M1

7/26/2019 186251588-TEORIE-MATEMATIC-BACALAUREAT-2014-M1

1/19

TEORIE MATEMATIC BACALAUREAT 2013-2014 MATEMATICA-INFORMATICRECAPITULARE COALA GENERAL

Mulimi de numere: N ! R C "n#$ur#le incluse%n %n$re&i incluse%n r#i'n#le incluse%n re#le incluse%n('m)le*e+, N={0,1,2,3,4,} ={ -3,-2,-1,0,1,2,3, } !.+fracii R.!+radicali C.R/numere complexe

Ordine# ')er#iil'r m#$em#$i(e elemen$#re:1 )#r#n$eele "d#( un$ m#i mul$e din in$eri'r )re e*$eri'r #u de l# (ele r'$unde l# #('l#de+2 ridi(#re# l# )u$ere " ' %nmulire re)e$#$5+3 %m)rire# #u %nmulire# "' #dun#re re)e$#$5+4 #dun#re# #u (dere#,

Adun#re# #u (dere# numerel'r re#le:- #dun#re# # d'u numere )'i$i6e d reul$#$ )'i$i6, Exemplu! "#$%&'( #dun#re# # d'u numere ne$i6e d reul$#$ ne$i6 Exemplu! )("*#)($*% (&'- #dun#re# unui numr ne$i6 (u unul )'i$i6 d emnul (elui m#i m#re %n 6#l'#re #7'lu$"#u er' d#( 6#l'rile#7'lu$e #le (el'r d'u numere un$ ele+ i#r 6#l'#re# e #8l (9nd 6#l'rile #7'lu$e #le numerel'r"(e# m#i m#re din(e# m#i mi(+,

Exemple!+2-3= 2-3= -(3-2)=-1; 12 3=9; 3-12=-(12-3)=-9; 12-12=0; -12 +12=-(12-12)=-0=0.#( e #dun m#i mul$e numere e #dun %n$re ele (ele (u )lu %n$re ele (ele (e minu ;i #)'i e re#lie##dun#re# '7i;nui$ # d'u numere re#le,Exemplu! "#$ #+, - . - +"%+&(+/%()+/(+&*% ( $L# #dun#re#


2/19

=

0)(,

0)(,0

0)(,

adaca

adac

adaca

a Exemplu! 7'7='; 707=0; 7-'7=';

=

>< = >>

=

20)2(,2)2(

20)2(,0

20)2(,2

2

%%daca%%

%%daca

%%daca%

%

L# %nmulire# unui numr (u ' )#r#n$e e %nmule;$e 8ie(#re numr (u 8ie(#re $ermen din )#r#n$e,Exemple! 2(%-')=2%-2'=2%-10; 3&2(%-')=3&2%-3&2'=3%&2-1'&2.

Minuul %n 8## unei )#r#n$ee (?im7 emnul $u$ur'r $ermenil'r din )#r#n$e,Exemple!-(%-')=-%-(-')=-%+'; -3&2(%-')=-3&2%-3&2(-')=-3%&2+1'&2.Minuul %n 8## unei 8r#(ii (?im7 d'#r emnul numr$'rului #u emnul numi$'rului "nu l# #m7ii@+,

Exemple!3

2

3

2

3

2

=

= '

3

2

3

2

3

2

3

2

3

)2(

3

2=+=

==

=

' ;3

2

3

2

3

2

%%% =

=

%%%%%% 3

2

3

2

3

2

3

2

3

)2(

3

2 =+===

=

F'rmule de (#l(ul )re(ur$#$: aca8c8a = )( ;2222 ))(( 8a8a8a8a =+= ; 8a8a8a =+ )()( ;

2222)( 8a8a8a ++=+ ;

222 2)( 8a8a8a += ; 8caca8c8ac8a 222)( 2222 +++++=++ ;

32233 33)( 8a88aa8a +++=+ ;

32233 33)( 8a88aa8a ++= ; ))(( 2233 8a8a8a8a ++=+ ; ))(( 2233 8a8a8a8a ++= ;

Exemple! &%&% 22)(2 = ; 2222 4)2()2)(2( &%&%&%&% ==+Exemple! 812622323)2( 22332233 +++=+++=+ %%%%%%% ;

812622323)2( 22332233 +=+= %%%%%%%Triun&?iul este8i&ur# &e'me$ri( (u $rei l#$uri ium# un&?iuril'r de 100, '#$e 8i:'#re(#re "un23iuri 4i la5uri nee2ale+e(?il#$er#l "cu 5oa5e la5urile e2ale 4i un23iurile e2ale cu .,,*'i'(el "cu dou6 la5uri 4i dou6 un23iuri e2ale+dre)$un&?i( "cuun un23i drep5 4i la5urile numi5e ca5e5e - formea76 un23iul drep5 ( 4i ipo5enu76+,Patrulaterul este figura geoetri!" !u 4 laturi# Patrulaterul !u $ou" laturi %aralele i $ou" &e%aralele se &uete $r#)e,#r#lel'&r#muleste o figur" geoetri!" !u 4 laturi(%atrulater), %aralele i egale $ou" !'te $ou"# Paralelograul !u u& u&gi$re%t se &uete dre)$un&?i, Paralelograul !u toate laturile egale se &uete r'm7 $re%tu&giul !u laturile egale se &uete)$r#$, uma un:ur#or unu *ara#e#oram sau $ra*e" es$e 300, Aria unui paralelo2ram es5e! 7##%nlime#, Perime5rulu&ui %oligo& (e#: %atrulater) e$e um# lun&imil'r l#$uril'r #le,

CLADA A I-#I, UTERI I RAICALI

Pu5eri cu exponen5 na5ural! a&u&$e a*, &*; a0-1; a1-a; a& - ori&$e

a###aa u&$e #-.aa %uterii;n-e%o&e&tul

%uterii;8ormul6 Exemplu"#7+n.#n7n, a,.*, &*; #0. 1%e&tru ori!e a 0 (23)4=2434; (23)4=(2)434=2234

"#m+n.#mn,a*, &*; #1.#%e&tru ori!e a *; 0# . 0 %e&truori!e a *

(23)4=234=212; 21=2,(-1)1=-1,61=6; 01=02=0-1=0-


3/19

( ) nm

n

m

n

m

8aa8 = , a,.0, nm

+;n

m

n

m

n

m

8

a

8

a=

, a0, .0, nm

+;Ex! ( ) 75

7

5

7

5

3232 = ; 75

7

5

7

5

3

2

3

2=

; 0;21

= aaa

( ) >*

n

m>

*

n

m

aa

=

, a0,n

m,>

*+; >

*

n

m

>

*

n

m

a

a

a = ,

a0,n

m,>

*+,

n

m>

*; ( ) 10 310

3

5

3

2

15

3

2

1

2222 ===

; 6

1

3

1

2

1

3

1

21

22

2

2==

Pu5eri cu exponen5 raional ne2a5i:! n mn

mn

m

aa

a 11

==

, a0,n

m+; Ex! 77 5

7

5

7

5

32

1

2

1

2

12 ===

;

2

1

2

12

2

1

2

1

==

RA;ICALI,Proprie56ile radicalilor! m n G

N m n GH2nnn 8aa8 = ,a,.0;Ex! 333 8aa8 = ;

n

n

n

8

a

8

a= ,a0,.0;Ex!

3

3

3

8

a

8

a= ; mn mn aa = ,a0;Ex! 43 34 aa =

( n a )- n ma ,a0; Ex! ( )43 a - 3 4a ; n ma - n? m?a ,a0; Ex: 3 4a - 53 54 a ; nmn m aa = ,a0 Ex!12433 4 aaa ==

II, FORMULE TRIONOMETRICEF'rmul# 8und#men$#l: cos"x # sin"x%+ @% #u&!iile si&us i !osi&us su&t %erio$i!e !u %erioa$a 2, iar ta&ge&t" i !ota&ge&t" su&t %erio$i!e !u %erioa$a #e: ('"*/2GJ+.('x; in"*/2GJ+.inx; 52)x#


4/19

* r#di#ni&r#de

000

J


5/19

I, IRURI I ROREDII

irurile su&t fu&!ii $e fora: #n:N-Mu&$e J este o ulie oare!are ($e o.i!ei $e &uere)#alorile irului se &ues!tere&i ai irului# Kirul este !ara!teriat $e aloarea s%re !are ti&$ tere&ii s"i !'&$ &DL, &uit" limi$# ;irului i &otat"

nn

a#

=li , u&$e a&este forula tere&ului ge&eral al irului (liita a%are i la fu&!ii, lo!ul lui & fii&$ luat $e (!are %oateti&$e s%re ori!e aloare &ueri!", i&!lusi +L sau D L))#

Pro2resii ari5me5ice! un$ ;iruri de numere %n (#re 8ie(#re $ermen (u e*(e)i# )rimului e '7ine din)re(eden$ul )rin #dun#re# #(elui#;i numr r numi$ raie, O )r'&reie #ri$me$i( e$e $'$#l de8ini$ de )rimul

$ermen #1;i r#i# r #di( )u$em #8l# 'ri(e $ermen #l )r'&reiei #ri$me$i(e d#( ;$im 6#l'#re# )rimului $ermen;i r#i#, e: #2.#1/r #3.#2/r. #1/2r #n.#n-1/r . #1/"n-1+ran(+# an#+% "0an' a+# a$% "a" (!o&$iia !a ori!are trei tere&i !o&se!utii s" fie ai u&ei %rogresii ariteti!e)#

uma primilor n 5ermeni ai pro2resiei ari5me5ice es5e! Dn. #1 / #2/ / #n . nrna

naa n

+=

+

2

)1(2

2

11

Exemplu! #1.2 i raia r.3: . irul2 K 11 14 1Q 20,,,#101-a100+r - a1+ 99r - 2 + 99A3-2+197.1PP #n/1 . #n / 3.2/"n-1+=3 , D100. #1/#2//#100 .

#10050502012

100201100

2

3)1100(22100

2

1992==

=

+=

+

Pro2resii 2eome5rice: un$ ;iruri de numere %n (#re 8ie(#re $ermen (u e*(e)i# )rimului e '7ine din)re(eden$ul )rin %nmulire# (u #(el#;i numr M numi$ rae, O )r'&reie &e'me$ri( e$e $'$#l de8ini$ de

)rimul $ermen 71;i r#i# Y #di( )u$em #8l# 'ri(e $ermen #l )r'&reiei &e'me$ri(e d#( ;$im 6#l'#re# )rimului$ermen ;i r#i#, e: .2-.1AM; .3-.2AM- .1AM2; B .&-.&D1AM - .1AM&D1;n(+0n#+% "n' +0$% ""# (!o&$iia !a ori!are trei tere&i !o&se!utii s" fie ai u&ei %rogresii geoetri!e)#

uma primilor n 5ermeni ai pro2resiei 2eome5rice:Dn.71/72//7n.71/71=Y/71=Yn-1.71"1/Y/ Yn-1+ .

1

11

>

>8

n

,

Exemplu!.1-2 i raia M-3: - irul: 2; 6-2A3; 18-6A3-2A32; 54-18A3-2A33; B# .&+1- .&A3 - 2A3&D1; B

4=81+82++84=2+23+234-1=2(1+3+ 34-1) . 802

160

2

802

2

1812

13

132

4

===

=

,

, EOMETRIE ECTORIAL 1+Re)er (#r$ei#n %n )l#n>e &uete reper car5e7ian )9n plan) !u%lul $e ae ( N,O,), (N,O,K), u&$e $re%tele N, N

su&t %er%e&$i!ulare (E& %la&ul P),O %u&!tul $e i&terse!ie, iar i K su&t ersorii !elor $ou" ae i $efi&es! se&sul $e %e fie!area"; seiaele O;O su&t %oitie, iar seiaele ON;ON su&t &egatie ( O*se &uete aa a.s!iselor, OZse &uete aaor$o&atelor)# e%erul !arteia& E& %la& se &otea" "OiF+ !u Oorigi&ea re%erului# Pla&ul E& !are sDa $efi&it re%erul El &ui

%la&ul *OZ#2+C''rd'n#$e (#r$eiene, ie!"rui %u&!t M$i& %la&ul *OZ, Ei aso!ie %ere!ea $e &uere reale (,) &uite coordona5elecar5e7iene ale punc5ului M # e!i%ro! fie!"rei %ere!i $e &uere reale (,), Ei !ores%u&$e u& %u&!t .i&e $eteri&at, E& %la&, $e!oor$o&ate (,),&otat J(,); *se &uete ascis6, Zse &uete ordona56

Exemplu!ie M"23+, A7(i# lui J, &otat" *Meste egal" !u 2 iar 'rd'n#$# lui J, &otat"ZM este egal" !u 3,

3+e($'ri ie!"rui %u&!tM)xM'??M** $i& %la&ul*OZ %i #'(iem :ec5orul de po7iie

+= K&%(L LL #

Exemplu!ie M"23+-

+=+= KK(L 3232Adun#re# "#u (dere#+ 6e($'ril'r e 8#(e )e ('m)'nen$e (!e este !u i!u !e este !u ii !e este !uF!u !e este !u

F*Dum# 6e($'ril'r (e 8'rme# un ('n$ur %n(?i e$e nul,

= MAAM ;

=+ 0MAAM sau, n ca"u# unu *o#onnc:s (de e%em*#u #a un $run: aem

=++ 0BAMBAM ) suma ec$ora#a a #a$ur#or es$e "ero.

>nmulire# unui 6e($'r (u un numr e 8#(e %nmulind 8ie(#re ('m)'nen$ # 6e($'rului (u #(el numr,Exemplu!ie Ku = 32 i K+ += 43 # >" se !al!ulee +u 32 + #e:

KKKKKKK+u 16941296443)3(33222)43(3)32(232 +=+=++=++=+

e($'rul 8'rm#$ de )un($ele AB e$e:

+= K&&%%AM AMAM )()(

Exemplu!ieA)"'$* i)&'.*-

+=+=+=+= KKKK&&%%AM AMAM 3333)36()25()()(

'i 6e($'ri K+++ &% += 111 i K+++ &% += 222 su&t coliniari sau paraleli$a!"2

1

2

1

&

&

%

%

+

+

+

+= iperpendiculari

$a!" :x+0:x"# :?+0:?"%,;oi :ec5ori se 9nmulesc scalar elemen5 cu elemen5 4i se ine con5 c6 ii%FF%+ iF%Fi%, sau c6

( )212121 ,!os ++++++ = #

5


6/19

4+ i$#n# din$re d'u )un($e A"*AZA+B"*BZB+ #u lun&ime# e&men$ului AB

e$e: 22 )()( AMAM &&%%AM +=

Exemplu!ieA)"'$* )&'.* - 2329291899)3()3()36()25( 2222 ====+=+=+=AM

K+ C''rd'n#$ele miSl'(ului M"*MZM+ #le e&men$ului AB:22

21 MAL

%%%%%

+=

+=

22

21 MAL

&&&&&

+=

+=

Exemplu!ieA)"'$* )&'.* -2

7

2

52

2=

+=

+= MAL

%%% ;

2

9

2

63

2=

+=

+= MA

L

&&&

=>

2

9;

2

7L #

ime5ricul punc5ului A fa6 de punc5ul es5e un punc5 C afla5 pe dreap5a A 4i e2al dep6r5a5 de ca 4i A adic6A%C sau es5e miFlocul se2men5ului AC+re)$e %n )l#n, Orice dreap56 es5e defini56 4i de o ecuaie de 2radul I 9n x 4i ? de forma #* / 7Z /( .0 #7(R # ;i 7 nu imul$#n nule " #2/ 72 0+ &uit"e(u#i# (#r$ei#n &ener#l # dre)$ei,

Exemplu! 2%+3&-'=0; a=2; 8=3; c=-'.Z . m=*/n e(u#i# )rin $ie$uri # dre)$ei,

Exemplu! ? % ($x#' m % ($' n %

E(u#i# dre)$ei de$ermin#$ de d'u )un($e di$in($e: A"*1Z1+ B"*2Z2+ "*1 *2+ e$e!12

1

12

1

&&

&&

%%

%%

=

Ca!" *1. *2, atu&!i e!uaia $re%tei este * . *1"[[ (u OZ+#Ca!" Z1.Z2atu&!i e!uaia $re%tei este Z . Z1,"[[ (u O*+#

Exemplu! A)"'$* )&'.* -

#0:03333)3(3)3(33

3

3

2

36

3

25

2==>=+=>==>==>

=

=

&%AM&%&%&%&%&%

#n$# dre)$ei (#re $re(e )rin d'u )un($e: A"*AZA+B"*BZB+ *A *Be$e: mA%AM

AM

%%

&&

Exemplu!A)"'$* )&'.* - 13

3

25

36==

=AMm %@mA%+

'u dre)$e de e(u#ii #* /7Z / ( . 0 #\* / 7\Z / (\ . 0 ('in(id $a!"QQQ c

c

8

8

a

a== # Ca!" a2-0, atu&!i i a1-

0, sau $a!" .2- 0, atu&!i i .1- 0# Ca!" a-0, atu&!i i aN-0;$a!" .-0, atu&!i i .N-0;$a!" !-0, atu&!i i !N-0#'u dre)$e de e(u#ii Z . m*/n Z.m\*/n\ ('in(id$a!"m % mQ 4i n%nQ#

Exemplu! 8ie d+! x#"?($%,' d"! "x#?(.%,' d$! "x#?(+%, d+ 4i d"coincid iar d+4i d$sun5 paralele

8ie

=++=++

0

0

222

111

c&8%a

c&8%a

+=+=

22

11

n%m&

n%m& sis5emul forma5 de ecuaiile a dou6 drep5e "d1+ ;i )d" *Punc5ul de

in5ersecie al drep5elor )d+* 4i )d"* se 26se45e re7ol:Jnd sis5emul forma5 de ecuaiile drep5elor

Exemplu!e

=++=++

052

032

&%

&%$u&" !ele $ou" e!uaii, se re$u!e i ae: 2Z+2Z+3+'-?#/%,%@?%(/%@?%(

/!% ("# Ci& %ria e!uaie afl" %e :x#"0)("*#$%, %@x#)(*#$%, %@x(#$%, %@x(+%, %@x % +# -d+ d"%M)+'("*

e

+=

+=

3

42

%&

%&

R&lo!ui %e $i& %ria e!uaie E& a $oua e!uaie i ae: "x#%x#$%@"x(x%$( %@x% (+Ci& a$oua e!uaie afl" %e :? % (+#$ % "%@d+ d"%M)(+' "*E(u#i# dre)$ei de )#n$ m ;i #69nd 'rd'n#$# l# 'ri&ine el (u n e$e: Z . m* /n(ecuaia explici56 a drep5ei,$eoare!e se s!rie e%li!it E& fu&!ie $e , u&$e !oefi!ie&tul mal lui este %a&ta $re%tei)#

E(u#i# dre)$ei d (#re $re(e )rin A "*1Z1+ ;i #re )#n$# m e$e: ? - ?+% m)x - x+*# d#( m . 1 n . 0 ? % x- ecuaia primei isec5oare; d#( m . - 1 n . 0 ? % ( x (ecuaia celei de doua isec5oare; d#( n . 0 ? % mx ( ecuaia unei drep5e care 5rece prin ori2ine# e(u#i#? % ,es$e ecuaa a%e Ox' e(u#i#x % ,es$e ecuaa a%eO?'

e(u#i#? % < ]0es$e ecuaa une dre*$e *ara#e#e cu a%aOx' e(u#i#:x %


7/19

Exemplu!ieA)+'"* 4i d!x#?($%,?%(x#$ %@ xA#?A ($%+#"($%$($%,%@Ad sau ?A%(xA#$ "%(+#$"%"%@Ad

Trei )un($e A"*AZA+ B"*BZB+ C"*(Z(+ sun5 coliniared#(AM

AB

AM

AB

&&

&&

%%

%%

=

Exemplu!e A(1;2), M(2;4), B(3;) . Aem/ 222

4

1

2

24

26

12

13===>

=

=N A,M,B sun$ co#nare.

re)$ele "d1+: #1* / 71Z / (1. 0 "d2+: #2* / 72Z /(2. 0 sun5 paralele d#(2

1

a

a.

2

1

8

8

2

1

c

c#272 0 #

;ou6 drep5ed1 ;i d2 sun5 paralele"d1[[d2* dac6 pan5ele lor m+4i m" sa5isfac relaiam1.m2"pan5ele sun5 e2ale*Exemplu!ed+! x#"?($%,' d"! ("x#?(/%,' a+%++%" a"% (""%+ d+ 4i d"coincid iar d+4i d$sun5 paraleleExemplu!ed+! ?%x(&' d"! ?%x#' m+%+ m"%+n+n" %@d+ 4i d"sun5 paralele'u dre)$e d1 ;i d2sun5 perpendiculare" 21 dd * d#( )#n$ele l'r m1;i m2 #$i8#( rel#i# m1m2. -1,

Exemplu!ed+! ?%x(&' d"! ?%(x#' m+%+ m"%(+ m+m"%+)(+*% (+ %@d+ 4i d"sun5 perpendiculare;ac6 m+ m" cele dou6 drep5e sun5 concuren5e )sis5emul forma5 de ecuaiile drep5elor a:Jnd soluie unic6*Exemplu!ed+! ?%x(&' d"! ?%"x(&' m+%+ m"%+n+%n" %@d+ 4i d"sun5 concuren5e;is5ana de la un punc5 la o dreap56 es5e lun2imea perpendicularei duse din aces5 punc5 pe dreap5a da56, ie

$rea%ta d! ax#?#c%,i %u&!tulM)xm?M*#;is5ana de la d la Me$e22

)),,((8a

c&8%ad&%Ld

LL

LL

+

++=

Exemplu! e d! x#"?($%, 4i M)"'$*%@a%+%"c%($x M%"?M%$%@

55

5

5

5

41

362

21

)3(3221)),3,2((

22===

+

+=

+

++=dLd

erime$rulu&ui triu&gi este sua lu&giilor laturilor sale, a$i!": .AB/BC/CA.(/#/7 .-

perime5rul 5riun23iului AC i#r22

c8aI*

++== -semiperime5rul

Ari# triu&giului.2

na#$me8a" #

))()((2

si&

2c*8*a**

MAMMBAOMBA AMB =

=

= (%ot fi ori!are alte $ou"

laturi i u&giul $i&tre ele)# Ca!" se !u&os! !oor$o&atele 'rfurilor A"*AZA+ B"*BZB+ C"*(Z(+,

utili" forula: 11

1

2

1

BB

MM

AA

AMB

&%

&%

&%

A =

($a!" ST=-0, %u&!tele ,T i = su&t !oli&iare)# ria

u&ui S e!ilateral $e latur" l: 432#

A #ec:#a$era = , iar a u&ui triu&gi $re%tu&gi! este egal" !uUu"tate $i& %ro$usul !atetelor#Teorema lui Pi5a2ora 2enerali7a56-5eorema cosinusului!AM2+ AB2 2AM5AB5 cos A = MB2

Teorema sinusurilor: @B

c

M

8

A

a2

si&si&si&=== @

B

AM

M

AB

A

MB2

si&si&si&=== u&$e

R%ra7a cercului circumscris 5riun23iului )la 5riun23iul drep5un23ic aceas56 ra76 R es5e e2al6 cuFum65a5e din ipo5enu76 4i cu mediana din un23iul drep5* Median6 % se2men5 ce une45e un :Jrf al 5riun23iului cu miFlocul la5urii opuse' punc5ul de 9n5Jlnire almedianelor )la o 5reime de a76* se nume45e cen5ru de 2reu5a5e )no5a5 de oicei cu G*'Media5oare% dreap56 perpendicular6 pe miFlocul la5urii opuse )sau a unui se2men5*' punc5ul de9n5Jlnire al media5oarelor se nume45e or5ocen5ru )no5a5 de oicei cu S*'n6lime%se2men5 ce pleac6 din5r(un :Jrf 4i es5e perpendicular pe la5ura opus6'isec5oare%semidreap56 ce pleac6 din5r(un :Jrf 4i 9mpar5e un23iul 9n dou6 p6ri e2aleCen5rul cercului circumscris 5riun23iului es5e punc5ul de 9n5Jlnire al media5oarelor

E(u#i# (er(ului !u !e&trul E& C)xC'?C*i ra" reste :222 )()( r&&%% BB =+ # Orice ecuaie de cerc de al56 form6

se aduce la aceas56 form6 )pen5ru a se afla ra7a 4i coordona5ele cen5rului*I, LOARITMI

Vogaritii a%ar !a soluii ale e!uaiilor #*

.N u&$e .aa#0 #]1 ;i argue&tul N0 #di( l'ri$mul e$e une*)'nen$5 #u lo2ari5mul es5e exponen5ul la care se ridic6 a7a ca s6 ne dea ar2umen5ul


8/19

E*em)lu:lo2"& # lo2"%lo2"&K% lo2a$&' lo2"& ( lo2"%lo2"&1' lo2"$&% & lo2"$'3

5log5log5log 23

1

23

2 ==

II, FUNC^II ELEMENTARE NUMERICE>u&t fu&!ii $efi&ite %e ulii $e &uere (N!RC, i&terale sau reu&iu&i $e i&terale ale a!estora) i !u aloritot E& ulii $e &uere # ora ge&eral" este: 8: A-B 8"*+.Z u&$e Z es5e o sui56 de operaii ma5ema5ice cu

x)expresia funciei* aloarea u&ei fu&!ii E&trDu& %u&!t -0este f(0); la fel erifi!" i $a!" grafi!ul fu&!iei tre!e%ri&trDu& %u&!t (;) (sau %u&!tul (;) se afl" %e grafi!ul fu&!iei): $a!" f)xA*%?Aatu&!i grafi!ul fu&!iei tre!e%ri& (;)#E*em)lu:!/@-N@, !(%) = %2 1; !(0)=02-1=0-1=-1, dec A(0;-1) es$e *e ra!cu# #u !.Ca!" u&ul $i& fa!torii u&ei E&uliri (%ro$us) este ero, atu&!i reultatul E&ulirii este ero ,!est lu!ru este util la!al!ulul %ro$usului alorilor u&ei fu&!ii E& $iferite %u&!te !'&$ aloarea E& u&ul $i& a!este %u&!te este egal" !u ero#1,Fun(i# de &r#dul I: 8: R-R 8"*+.#=*/7 a,,Pra!cu# une !unc de radu# C es$e o drea*$ (cresc$oare dac aN0 sau descresc$oare dac aQ0). Aceas$ !uncees$e 8Kec$(eden$ dac aR0). unca es$e cresc$oare dac aN0 descresc$oare dac aQ0.

Exemplu!8"*+.*- a=1R0; 8= -.2,Fun(i# de &r#dul II: 8: R-R 8"*+. #=*2/7=*/( a,,Pra!cu# une !unc de radu# CC !(%)=a5%2+85%+c es$e o *ara8o# (cu Hr!u# n sus dac aQ0 cu Hr!u# n Kos dac

aN0). Boordona$e#e Hr!u#u S(%S;&S) a# *ara8o#e asoca$e !unce sun$/a

&a

8% SS

4;

2

== , adc

)4

;2

(aa

8S Z6 cons$$ue mnmu# (dac aN0) sau ma%mu# (dac aQ0) !unce. unca es$e cresc$oare

*en$ru %Q%S descresc$oare *en$ru %N%Sdac aQ0 ners. Oac TQ0, *ara8o#a nu n$ersec$ea" a%a %; dacT=0, *ara8o#a (ra!cu# !unce) es$e $anen$ a%e % n Hr!; dac TN0 *ara8o#a n$ersec$ea" % n dou *unc$e/(%1;0) (%2;0).

Exemplu! 8"*+. -*2 /3*-K a= -1R0; 8=3; c = -',3, Fun(i# )'lin'm: 8: R-R 8"*+. #n*n/ #n-1*n-1/ , / #1* / #0

Exemplu!8"*+. .*3- 4*2/2* - a3=1; a2=-4; a1=2; a0 = -;

4, Fun(i# r#i'n#l)(

)()(

%U

%I%B = unde "*+ ;i !"*+ un$ )'lin'#me, Coe&iul $e $efi&iie este R- r6d6cinile

numi5orului V)x*W

K, Fun(i# )u$ere: 8: R-R 8"*+. #*

n

,emnu# !unce *u$ere de*nde de semnu# #u a dac n es$e *ar sau m*ar.Exemplu! 8"*+. -4*K a=-4; n='.

, Fun(i# r#di(#l: 8:-R n %%! =)( #Oac n es$e *ar, a$unc ce- su8 radca# nu $re8ue s !e nea$ a#oarea

#u ! es$e *o"$ sau "ero;dac n es$e m*ar, a$unc %@ semnu# #u ! es$e #a !e# cu semnu# e%*rese de su8radca#.

Exemplu! 5)( %%! = n ='Q, Fun(i# e*)'neni#l: 8: R-"0/_+f)x* % ax #0 # ]1

unca e%*onena# es$e numa *o"$ f),*%a,%+Exemple! f+)x* % ex' f")x* % "x' f$)x* % "(x%)"(+*x%)+X"*x %2

1=

', Fun(i# l'ri$m: 8: "0/_-Rf)x*%lo2axunde#0 # ]1 * 0,

unca #oar$m es$e *o"$ dac aN1 %N1 sau 0QaQ1 0Q%Q1; !unca #oar$m es$e nea$ dac aN1 %Q1 sau 0QaQ1 %N1;f)+*%lo2a+%,#Exemple! f+)x*%lo2$x' f")x*%lo2+,x%l2x' f$)x*%lo2ex%lnxP, Fun(ii $ri&'n'me$ri(e dire($e:a sinus! f! R(@Y(+'#+Z' f)x*% sin x# unca snus es$e *erodc de *eroad 26. cosinus! f! R(@Y(+'#+Z' f)x*% cos xunca cosnus es$e *erodc de *eroad 26.c 5an2en56! f!R(


9/19

Exemplu!e 8"*+. -*2 /3*-K a= -1R0; 8=3; c = -',D P!VW/ !(0)=-02+30-'=0+0-'=-' =N P!VW=A(0;-')D P!VX/ !(%)=0-%2 +3%-'=0; T=82-4ac=32-4(-1)(-')=9-20=-11Q0 =NP! nu n$ersec$ea" a%a X.

Un )un($ A"*AZA+ #)#rine &r#8i(ului unei 8un(ii 8"*+ d#( (''rd'n#$ele )un($ului 6eri8i( rel#i# )rin (#ree$e d#$ 8un(i# #di( 8"*A+.ZA, ;e exemplu u& %u&!t u& %u&!tA)xA?A*a%ari&e grafi!ului u&ei $re%te (a$i!" seafl" %e $rea%ta) $e e!uaie #*/7Z/(.0 "sauZ.m*/n+ d#(este erifi!at" e!uaia #*A/7ZA/(.0 "sau ZA.m*A/n+,

Exemplu! !)%)=3%; A(0;1); %A=0, &A=1; !(%A)=!(0)=30=1=&A=NAP!.L# (#l(ulul )un($el'r de in$ere(ie # &r#8i(ului # d'u 8un(ii 8"*+ ;i &"*+ e re'l6 e(u#i# 8"*+.&"*+

8"*+-&"*+.0?"*+.0 e &e( rd(inile *1*2*n #le lui ?"*+ #)'i e (#l(ule# 8"* 1+.&"*1+,,8"*n+.&"*n+)un($ele de in$ere(ie 8iind A1"*18"*1++ An"*n8"*n++,

Exemplu!Oac aem de ca#cu#a$ n$erseca dn$re ra!cu# une !unc de radu# C(o drea*$) a# une !unc deradu# CC (o *ara8o#), om aea ma%m 2 *unc$e de n$ersece (dar *u$em aea un *unc$ sau ncunu#).Exemplu!e f(%)= -%2 +3%-' (%)= -3%; !(%)=(%) -%2 +3%-'=-3% =N-%2 +3%-'+3%=0 =N-%2 +%-'=0;a=-1;8=;c=-'; T=82-4ac=2-4(-1)(-')=3-20=1=42;

052

10

2

46;01

2

2

2

46

2

46

)1(2

166

2 212,1 >=

=

=>=

=

+=

=

=

= %%

a

8%

!(%1)=(%1)=(1)=-31=-3; !(%2)=(%2)=(')=-3'=-1'=N P!VP= L1(1;-3) L2(';-1').III , ECUA^II I INECUA^II

E(u#i# de &r#dul I:o e!uaie $e gra$ul G are fora:

#x/7.0# >oluia a!estei e!uaii este

x.-7


10/19

este e%o&e&tul la !are se ri$i!" .aa !a s" &e $ea argue&tul< a$i!" E& !aul l'* . 7 . #7. *,O al56 :arian56es5e s6 se 5ransforme ecuaia lo2ari5mic6 9n5r(o ecuaie polinomial6 )de oicei de 2rad III sau III*

Exemplu! se re"o#e ecua#e a) #o2% = 3, 8) #o3% = -1, c) 0log

3

1 =% Re'l6#re,>e utiliea" l'* . N i

*.#Nsi se o.i&e #+%- 23sau%- 8; 7+%- 3D1sau%- 1/3; (+-(1/3)0- 1sau - 1,Ine(u#iile se re7ol:6 re7ol:Jnd mai 9n5Ji ecuaia ce se formea76 din inecuaie 4i s5ailind semnul expresiei)funciei* ce formea76 inecuaia ( se 5rece 5o5ul 9n par5ea s5Jn26 )9n dreap5a r6mJne ,* 4i se s5aile45e semnulexpresiei din par5ea s5Jn26 )re7ul5a5ul re7ol:6rii unei inecuaii es5e de oicei o mulime sau un in5er:al*

Exemplu! "x(\,' Re7ol:6m 9n5Ji ecuaia "x(%, %@ x%Y()(*ZX"%1" %@x )(]'1"*Demnul 8un(iei de &r#dul I:!unca are semn con$rar #u a *en$ru %Q-8a semnu# #u a *en$ru %N-8a.Z& !a %arti!ular $e i&e!uaie $e gra$ul G este [#*/7[am(sau [#*/7[m)# !east" e!uaie $ei&ema#*/7am(sau

Wm#*/7m) a$i!" u& siste $e $ou" e!uaii $e gra$ul G:

+

+

8m%a

8m%a

m8%a

m8%ai o.i&e $ou" i&terale $e alori %e&tru

(!'te u&ul %e&tru fie!are e!uaie), iar a fi E& i&terse!ia !elor $ou" i&terale#

Exemplu! [2*/3[aK.-Ka2*/3aK. [1;4\[1;(

);4\

1

4

2

22

8

22

82

352

352

552

532

%

%

%

%

%

%

%

%

%

%

%

%

%

Demnul 8un(iei de &r#dul II:dac[\,, *es$e $o$ aem semnu# #u a (dac T=0 *es$e $o$ aem semnu# #u a cue%ce*a *unc$u#u %=%1=%2=-8a); dac [@,, n$re rdcn#e %1 %2 aem semn con$rar #u a, ar n a!arardcn#or aem semnu# #u a.

Exemplu! 2D4Y+30;a-10;.-D4;!-3;S-.2D4YaY!-(D4)2D4Y1Y3-16D12-4-22;

);3\[1;(12

2

2

24;3

2

6

2

24

2

24

12

4)4(

2 212,1 ==

===

+=

=

=

= %%%a

8%

Al$e emne de 8un(ii: trigo&oetri!e, %oli&oaele, ra$i!alul $e or$i& i%ar, logarit %ot fi %oitie sau &egatie#I, OLINOAME CU COEFICIEN^I REALI

ie f-a&]&+a&D1]&D1+B+a1]+a0u& %oli&o !u !oefi!ie&i reali (an an(+ H a+ a, su&t &uere reale, a&0);2rad f%nO rd(in # )'lin'mului 8 este a!el &u"r !u !are, $a!" E&lo!ui %e , o.i&e aloarea ero#

Exemplu!f)x* % "x$($x"# /x (' f)+*%"+$($+"#/+(%"+($+#/(%"($#/(%(+#+%,%@ x%+ ( r6d6cin6 a lui fZ& %oli&o $e gra$ul & !u !oefi!ie&i reali are & r"$"!i&i: 1, 2,3, B , &D1, &!are %ot fi &uere !o%lee, reale,raio&ale sau E&tregi# Z& %oli&o !u !oefi!ie&i reali $e gra$ i%ar are !el %ui& o r"$"!i&" real"#

10


11/19

Ca!" *1. # / i=. este o r"$"!i&" !o%le" a lui f, atu&!i i !o&Uugata sa *2. # 7ieste r"$"!i&" a lui f#Ca!" *1. A / bBeste o r"$"!i&" real" a lui f, atu&!i i *2. A bBeste r"$"!i&" a lui f#Ca!" *i.")ua !elor $ou" &uere !o%lee 7+%a#i i 7"%c#di este 7+#7"%)a#c*#i)#d*Pro$usul !elor $ou" &uere !o%lee7+i7"este7+07"%)ac(d*#i)c#ad*%%r+0r")cos)^+#^"*#i0sin)^+#^"**i$i!area la %utere a u&ui &u"r !o%le 7%a#0i%r)cos ^#i0 sin ^*' 7n%)a#i*n%Yr)cos ^#i0sin ^*Zn %rn)cosn=c#i0sin n=c*#

Exemplu:%e&tru7% " # $ii _ %+ # iae 0_ % (+, # ++i, 7 # _ % $ # i#11
http://ro.wikipedia.org/wiki/Num%C4%83r_realhttp://ro.wikipedia.org/wiki/Num%C4%83r_realhttp://ro.wikipedia.org/wiki/Num%C4%83r_real


12/19

C'nSu$ul ('m)le*al u&ui &u"r -a+.Ai este &u"rul !o%le -aW.Ai# e: - #Exemplu! - 2+3i# -

" 3232 =+=

; - 3D5i - " 5353 +==

; "" ===

; 222 ===

""

M'dulul&u"rului !o%le7 % a # 0i este &u"rul real 22 8a" += #

Exemplu: - 7 W i - 50149)1(77 22 =+=+== " ; r')rie$ile m'dulului: ^^0; ^^-0 - 0#Puterile lui i se re%et" $i& %atru E& %atru, a$i!": i.iK.iP.. i i2.i.i10.. - 1 i3.iQ.i11..-i i4. i. i12.. 1ener#l: in . 1!u n$e fora


13/19

0

14#3

121

1

: =

&%

AM

i se &uete de5erminan5 de ordin $# _ere&ii !are a%ar E& forul" se &ues! tere&ii $eolt"rii $eteri&a&tului#Re&ul# lui D#rru: ie u& $eteri&a&t $e or$i& 3# Pe&tru a !al!ula u& astfel $e $eteri&a&t se utiliea" %ro!e$eul $eai Uos (ee%luD#m (ri u7 de$ermin#n$ )rimele d'u linii): se fa!e %ro$usul elee&telor $e %e $iago&alele!are !o&i& 3 tere&i# Pro$usul elee&telor $e %e o $iago&al" $es!e&$e&t" (st'&ga sus W $rea%ta Uos) este !u se&ul

%lus# e trei astfel $e %ro$use: 312312322113332211 ,, aaaaaaaaa # Pro$usul elee&telor $e %e o $iago&al" as!e&$e&t"

(st'&ga Uos W $rea%ta sus) este !u se&ul i&us# e trei astfel $e %ro$use: 322311332112312213 ,, aaaaaaaaa #>ua!elor ase %ro$use $" aloarea $eteri&a&tului $e or$i& 3#

;e5erminan5ul es5e nul dac6! D aa reult" $i& !al!ul; D are o li&ie sau o !oloa&" !u toate elee&tele egale !u ero:

D are $ou" li&ii sau $ou" !oloa&e egale sau elee&tele $e %e $ou" li&ii sau !oloa&e su&t %ro%orio&ale#Ma5ricele 4i de5erminaniise %ot utilia la reolarea sisteelor $e e!uaii li&iare !u ai ulte &e!u&os!ute (fie!are&e!u&os!ut" este $e gra$ul G sau ero (li%sete)) folosi&$ regula lui =raer:

D se forea" atri!ea A Ae*$ina sisteului i atri!ea a tere&ilor li.eri;D se sta.ilete $a!" sisteul este !o%ati.il (ra&g - ra&g eti&s) sau &u; D se

!al!ulea" de5 A;se !al!ulea" $, $, $B# u&$e $]se o.i&e $i& de5 AE&lo!ui&$ !oloa&a !oefi!ie&ilor lui !u !oloa&a tere&ilor

li.eri; D se !al!ulea"A

d% X

$et= ,

A

d&

&

$et= ,

A

d" "

$et= et!#

!uaia u&ei $re%te (,)T(T,T) se %oate afla reol'&$ $eteri&a&tul: 0

1#

1

1

: =

MM

AA

&%

&%

&%

AM #

Exemplu!(1,2)T(3,4) A1A2+A1A3+1A4A1D3A2A1D1A4AD1AA1-02*+3&+4D6-4*D&-0 D2+2D2-0 :(D2) *-Z/1.0 .AB: *-Z/1.0,In6er# unei m#$ri(e A: A-1 are se&s &uai %e&tru atri!e %"trati!e i &uai $a!" $eteri&a&tul atri!ei este

&e&ul# tu&!i: = AA

A$et

11 u&$e

=

nnn

n

AA

AAA

###1

1####11 se &uete atri!e a$Uu&!t" !e are !a elee&te

$eteri&a&i !are se o.i& $i& elee&tele atri!ei %ri& elii&area li&iilor i !oloa&elor !ores%u&"toare (

nnn

n

KK

aa

aa

A

###

#########

###

)1(

1

111

+= , adc dn e#emen$e#e #u A s-au scos#na i co#oana K)#

Exemplu!%e&tru o atri!e %"trati!" $e or$i&ul $oi, ae

==

2212

21111

$et

1

$et

1

AA

AA

AA

AA #

Pe&tru o atri!e %"trati!" $e or$i&ul trei, ae

==

332313

322212

312111

1

$et

1

$et

1

AAA

AAA

AAA

AA

AA #

Exemplu! ie

=

230

112

001

A .$et-D1;-

=

=

=

332313

322212

312111

332313

322212

312111

1 11

1

AAA

AAA

AAA

AAA

AAA

AAA

AA ;

13


14/19

1)32()1321()1(23

11)1( 21111 =+===

+A ; 023

00)1( 1221 ==

+A (o li&ie $i& $eteri&a&t

este ero); 011

00)1( 13

31 == +A #a##$# -

=

136

124

0011A

AA-1.AA-1.In - )r')rie$#$e# in6erei unei m#$ri(e, A-A.On )r')rie$#$e# ')uei unei m#$ri(e,III, LIMITE E IRURI I FUNC^II,

Va !al!ulul u&ei liite $e ir ( )(li0& = nn aa ) sau liite $e fu&!ie ( ( ) ( )0 0li %!%! = ) se E&lo!uiete & (lairuri) i (la fu&!ii) !u aloarea s%re !are ti&$e (liitele se foloses! i %e&tru a erifi!a !o&ti&uitatea fu&!iilor E&

%u&!te 0ale $oe&iului $e $efi&iie: ls)x,*%f)x,*%ld)x,*)()()(

0

0

0

0

0 %!m#%!%!m#

%%

%%

%%

%%

>>

==*

Exemplu!f)x*%ex("' ( ) ( )3lili 1232

33!eeee%! % =====

# aa= 0li , u&$e aReste o !o&sta&t"#

O)er#ii (u _: ;;0 ==a

aAL-D L $a!" aX0 sau +L $a!" a0; =

a$a!" a0; =

a$a!" a

X 0# = #eultatul !al!ulului u&ei liite %oate fi i o &e$eteri&are# Nede$erminri:

#;0;;1;;0;0;;0

0 00 e$c

;ac6 re7ul56 o nede5erminare aceas5a se elimin6'

0


15/19

Oser:aii! dac6 m exis56 es5e fini5 4i nenul dar n nu exis56 sau e infini5 2raficul funciei nu are asimp5o56 olic6la ' dac6 nu exis56 m es5e nul sau es5e infini5 2raficul funciei nu are asimp5o56 olic6 la

Exemplu!ef),'#]*(@R f)x*%x#lnxJa +E *u$em cu$a asm*$o$ o8#c.

( )1

1

1

li1Q

)Q(l&li1

l&1

l&li1

l&1li

l&li

l&lili

=+=+=

+=+=

+=

+=

+==

>>

>

%

%

%

%

%

%

%

%

%

%

%

%

%%

%

%!m

%%%

;0,fi&it#

===+=+== ++++l&)(l&li)l&(li[1l&\li[)(\li %%%%%%%%m%!n

%%%% -& &efi&it %@ Gf nuare asimp5o56 olic6 spre #]

, ERIATEC#l(ulul deri6#$ei )reu)une #)li(#re# re&ulil'r de deri6#re ;i #)'i # 8'rmulel'r de deri6#re

Re2uli 2enerale de deri:are! ( ) Q

Q!c!c = D cons$an$a ese n !aa dera$e;

)f#2*Q%fQ#2Q' )f(2*Q%fQ(2Q sumasau d!erena dera$e es$e sum sau d!eren de dera$e'

)f02*Q%fQ02#f02N;2

,,,

,

,!,!

,

! =

;

)(Q)()(

li 00

0

0

%!

%%

%!%!

%%=

>

( de!na dera$e n *unc$u# %0

Exemple! )4(Q4

)4()(li

4!

%

!%!

%=

>' )0(Q

)0()(li

0!

%

!%!

%=

>

' )1(Q1

)1()(li

1=

+

>!

%

!%!

%

TALOUL ;E ;ERI`ARE AL8UNCIILOR ELEMENTARE

TALOUL ;E ;ERI`AREAL 8UNCIILOR COMPUE

(N-0*N-1

(*n)N-&A&D1

(*#)N-aAaD1

( )%

%2

1Q=

%%

1)(l&

Q

=

(e)N-e

(a)N-aAl& a"in%)\=('%

"('%)\=- in%

"Q%,Q%=Q%B"Q%+,,Q%,Q%)(+*Q%,

)x"*Q%"x"(+%"x')x$*Q%$x$(+ % $x"

)x($*Q%($x($(+%($x(

)"x*Q%"xln"' )$x*Q%$xln$

u\.u\

"un+\.n=un-1=u\"ur+\.r=*r-1=r\

)x"(+*Q%)x"*Q(+Q%"x(,%"x

)x"#+*Q%)x"*Q#+Q%"x#,%"x)$x*Q%$xQ%$+%$Y)x"(+*$ZQ%$)x"(+*$(+0)x"(+*Q%%$)x"(+*"0"x%.x0)x"(+*"

( )%%

%%

2

1

22

2

22

)Q2(2

Q

===

( )%%

%

%

%%

22QQl&

22

22 ===

( ) ( ) %%% e%e%ee 3333 Q3Q3Q ===( ) ( ) 233l&Q32Q2 333 == %%% %

( ) %%% !o3)Q3(3!osQ3si& ==( ) %%% )Q3(3si&Q3!os ==

( ) %%

%$,!os

)Q3(3!os

1Q3

2 ==

( ) %%

%c$,s

)Q3(3si&

1Q3

2 ==

( )2

3()3(1

1Q3ar!si& %

%%

=

( )2

()3(1

1Q3ar!!os

%%

=

( ) 3 )Q3()3(11Q3 %%

%arc$, +

=

Tan2en5a la 2raficul funciei f 9n punc5ul M)x, ?,% f)x,** es5e dreap5a de ecuaie ! Z . 8\"*0+ ="* *0+ / 8"*0+Ecuaia 5an2en5ei la 2raficul funciei f 9n punc5ul de ascis6 x,es5e: Z 8"*0+ . 8\"*0+"*-*0+ cu pan5a fQ)x,*

15


16/19

>e&ul $eriatei E&t'i fN() sta.ilete $a!" o fu&!ie este !res!"toare sau $es!res!"toare; $a!" fN()0, f() este!res!"toare; $a!" fN()X0, f() este $es!res!"toare# Pu&!tele $e etre ale fu&!iei (i&i sau ai) su&t a!ele

%u&!te u&$e $eriata E&t'i se a&ulea" i Ei s!i." se&ul (E& ee%lul $e ai Uos M"*08"*0++este un maxim)# Ln Ode!(e%.-E) x, La% Ode!(e% +E)

fQ)x* # # # # # # # # # # # # # # # # # # # , ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (8"*+ f )x,*

G&teralele %e !are fu&!ia este !res!"toare sau $es!res!"toare se &ues! i&terale $e o&oto&ie#

>e&ul $eriatei a $oua (a$i!" $eriata $eriatei G) sta.ilete $a!" o fu&!ie este !o&e" (,,i&e a%"+= 2 )()()()()()()()()(2

,,,

17


18/19

Exemple! = %d%%%d%% si&si& , Consider6m f)x*%x 4i 2Q)x*%inx %@fQ)x*%xQ%+ 4i 2)x*%inxdx%('x 4ioinem!

B%%%%%%%d%%%%d%%%%d%%%d%% ++===== si&!os)si&(!os!os!os!os1!ossi&si&

= %d%%%d%% l&l& , Consider6m f)x*%lnx 4i 2Q)x*%.x %@fQ)x*%lnxQ%+1x 4i B%

%d%%, +== 2)(2

4i

oinem!%%%%%%

%d%

%%

d%

%

%

%

d%%

%

%

%

%d%%%d%% ====== 42l&

22

1

2

l&

2

1

2

l&

2l&2

1

2l&2l&l&

22222222

La in5e2rarea prin sc3imare de :ariail6 se 9nlocuie45e o par5e din funcia care se in5e2rea76 cu 5 se calculea76dx 9n funcie de fQ)x* 4i d5 se 9nlocuiesc 4i se oine o in5e2ral6 9n 5 care 5reuie s6 fie in5e2ral6 de 5ael dar 9n 5

;up6 calculul in5e2ralei 9n 5 re7ul5a5ul se 5ransform6 din nou 9n xExemplu ! >" se !al!ulee d%%%

2!os >e o.ser" !" i&tegrala &u este $e ta.el# No56m *2.$# Cifere&ie io.i&e: dx"%d5%@"x0dx%d5%@dx%d51"xR&lo!ui i o.i&e:

+===== B%$$d$d$$

%

d$%%d%%% 222 si&

2

1si&

2

1!os

2

1

2!os

2!os!os ;

ie 8:V#7W R o fu&!ie !are a$ite %riitie %e \a,.[ i Fo %riiti" a lui f (a$i!" g() - f())#

Numimin5e2rala defini56 de la # la 7 a lui f e%resia

8

a

d%%! )( . 8a% )( .F"7+ F"#+ ( formula lui Leini7(

Ne_5on )la i&tegrala $efi&it" $e o.i!ei NUa%are !o&sta&ta C*,

Exemplu!4

15

4

116

4

1

4

16

4

1

4

2)1()4()(

413)(

442

1

2

1

42

1

132

1

3 =

======+

==+

%%%

d%%%

TABEL E INTERALE NEEFINITE "RIMITIE+

++=+

Bn

%d%%

nn

1

1

B%

B%

%d% +=++

=+

211

211

; +=+=+

+==

+

B%B%

B%

d%%d%110

1110

0

; B

%B

%d%% +=+

+=

+

312

3122

++=+

Ba

%d%%

aa

1

1

+++

=++

1,)1(

)()(

1

mBma

8%ad%8%a

mm

; ++=+=+=+ B%

%d%%d%d%d%%d%% 2

2312332)32(

2

1;1

1 1

++==

+

nBn

%

d%%d%%

nn

n

B8%aa

d%8%a ++=+

)l&(11

; ++=

+ Ba%d%

a%l&

1

; ++=

+ B%d%

%3l&

3

1

1;

1

1

++

==+

nB

n

m

%d%%d%%

n

m

n

m

n mB

%B

%B

%B

%d%%d%% +=+=+

+=+

+==

++

73

3

7

3

1

3

41

3

4

3

7

3

7

3

3

3

41

3

4

3

4

3 4

;

B%B%

d%%d%%

+=+==

2

2

1

1 21

2

1

+= Baa

d%a%

%

l& ; += Bed%e %%

; += Bd%

%%

2l&

22

;( ) +== Bed%ed%e %%% Q

B%d%%

+= l&1

+= B%!d%%!%!

)(l&)(

)(Q

;( )

B%B%d%%!

%!

%

%

%

%++=++==

++

=+ )1l&()1(l&)(

)(QQ1

1

2 222

2

2

+= B%%d% !ossi& ; += B%%d% si&!os += B%$,%d% !osl& ; += B%c$,%d% si&l&

+= B$,%%2!os1

; += Bc$,%%2si&1

Bn

a%d%a%

nn +

++

=++

1

)()(

1

; B%%%%

d%%d%% +==+

==+

32

2

31

2

1

2

312

1

2

1

Ba%

a%

ad%

a%+

+

= l&2

1122

B%

%d%

%d%

%+

+

=

=

22

l&22

1

2

1

4

1222 ;

Ba

%arc$,

ad%

a%+=

+ 1122

B%

arc$,d%%

d%%

+=+

=+ 22

1

2

1

4

1222 ;

Ba%%d%a%

+++=+

)l&(1 22

22 B%%d%

%+++=

+ )7l&(

7

1 22

Ba%%d%a%

++=

2222 l&1 B%%d%

%++=

7l&

7

1 22

Ba

%d%

%a+=

ar!si&

122 ( )

B%

%

d%%

+=

=

12

ar!si&

12

1

12

1

222

18


19/19

)()()( a8d%%!A8

a

P! == -aria cuprins6 9n5re 2raficul funciei f axa Ox 4i drep5ele de ecuaie x%a' x%

)llcu axa O?*

Exemplu!ief:\1,2[DR 8"*+.*3.4

15

4

116

4

1

4

16

4

1

4

2

413

442

1

42

1

132

1

3 =

====+

==+

%%

d%%AP!

oluul !or%ului $e rotaie o.i&ut %ri& rotirea grafi!ului fu&!iei f:\a,.[DR E& Uurul aei O este

=8

a

B! d%%!S )(2

,

ie f:\1,2[DR 8"*+. % .

4

3

2

14

2

1

2

4

2

1

2

2

211)(

222

1

22

1

112

1

2

1

2 =

====+

===+

%%

%d%d%%SB!

III, OLINOAME1,(u ('e8i(ien$i re#li,ie 8 . #nn/ #n-1n-1/ / #1 / #0u& %oli&o !u !oefi!ie&i reali (a&, a&D1, B , a1, a0 su&t&uere reale)#`aloarea unui polinom 9n5r(un punc5 al domeniului de definiie se afl6 9nlocuind pe cu :aloarea acelui punc5O r6d6cin6 a polinomului f es5e acel num6r cu care dac6 9nlocuim pe x oinem :aloarea 7ero

Z& %oli&o !u !oefi!ie&i reali are & r"$"!i&i: 1, 2,3, B , &D1, &!are %ot fi &uere !o%lee, reale, raio&ale sauE&tregi#R6d6cinile unui polinom cu coeficieni reali po5 fi 5oa5e complexe unele complexe celelal5e reale 5oa5erealeCa!" u& %oli&o &u are r"$"!i&i reale, atu&!i este ire$u!ti.il %este R, iar $a!" are r"$"!i&i reale, atu&!i se$es!o%u&e E& fa!tori ire$u!ti.ili %este R Un polinom se descompune 9n fac5ori ireduc5iili scriindu(l ca un

produs de polinoame de 2rade mai mici' cele de 2radul + sau de 2radul + la diferi5e pu5eri mai mari ca + aur6d6cini reale iar cele de 2rad mai mare ca + NU au r6d6cini realeCes!o%u&erea E& fa!tori ire$u!ti.ili $e%i&$e $e &u"rul i or$i&ul r"$"!i&ilor reale ale %oli&oului##(x+% a # i0este o r"$"!i&" !o%le" a lui f, atu&!i i !o&Uugata sa x"% a - i0este r"$"!i&" a lui f##( *1. A / bBeste o r"$"!i&" real" a lui f, atu&!i i *2. A bBeste r"$"!i&" a lui f#

#(>

*% =1 este o r"$"!i&" raio&al" a lui f, atu&!i % $ii$e tere&ul li.er a0i M $ii$e !oefi!ie&tul tere&ului $e

ra&g ai, a&, a$i!" r"$"!i&ile raio&ale ale u&ui %oli&o se !aut" f"!'&$ ra%ortul $iiorilor !elor $oi !oefi!ie&i#

Exemplu! f)x* % "x$($x"# /x (' a$%" 4i a,%( ;i:i7orii 9n5re2i ai lui a,%( sun5 #+' #$' #W iar di:i7orii 9n5re2iai lui a$%" sun5 #+' #"W deci r6d6cinile raionale ale lui f po5 fi! #+' #)+1"*' #$' #)$1"*' #' #)1"*W 'Z& %oli&o !u !oefi!ie&i reali $e gra$ i%ar are !el %ui& o r"$"!i&" real"##(1este r"$"!i&" a lui f, atu&!i f(1) - 0 ; f se $ii$e (E%arte ea!t) !u ]D1 i re!i%ro!##(1, 2su&t r"$"!i&i ale lui f, atu&!i f(1) - f(2) - 0; f se $ii$e !u (]D1)A(]D2) i re!i%ro! #a##$##(sua !oefi!ie&ilor u&ui %oli&o !u !oefi!ie&i reali este ero, atu&!i -1 este r"$"!i&" a sa (%oli&oul se$ii$e !u ]D1)##(u& %oli&o &u are tere& li.er, atu&!i -0 este r"$"!i&" a sa (se $ii$e !u ])#Te'rem# %m)ririi (u re$:f % c2 # r unde/! dem*r$; m*r$or; c cH$; r res$.

Res5ul 9mp6ririi lui f la ( a es5e f)a* deci se poa5e :erifica simplu dac6 un polinom se di:ide cu -a(di:i7iune %9mp6rire f6r6 res5 exac56*:

se !al!ulea" 8"#+ $a!" 8"#+ . 0atu&!i a este r"$"!i&" a lui f(), a$i!" (]Da) $ii$e %e f()#

2, (u ('e8i(ieni %n (l#ele de re$uri n &este uliea resturilor E%"ririi u&ui &u"r &atural la &; de exemplu

=

1,02Z ;

=

2,1,03Z ;

=

3,2,1,04Z #a##$# O%eraiile su&t ase"&"toare !u !ele $e la %oli&oaele

&orale, E&s" tre.uie i&ut !o&t $e E&ulirea i a$u&area o$ulo & E& !are su&t $efi&ii !oefi!ie&ii %oli&oului i !"E& uliea !laselor $e resturi o$ulo & &se $efi&es! $oar $ou" o%eraii: a$u&area i E&ulirea (restul o%eraiilorre$u!'&$uDse la a!estea)# Ce ee%lu, $a!" nZ% , atu&!i i o%usul s"u nZ% i +(D)-0, a$i!" W este a!ea

aloare $i& &astfel E&!'t +(D)-&; Ca!" nZ% , atu&!i i i&ersul s"u nZ% 1 i Y D1-1, lu!ru !e tre.uie

!al!ulat#

Exemplu! ie

=

= 313,2,1,01 4Z $eoare!e ==+ 0431 ie

=

= 113,2,1,01

1

4Z $eoare!e

= 111_oate elee&tele lui &au o%us, $ar NU toate elee&tele lui &au i&ers#

186251588-TEORIE-MATEMATICĂ-BACALAUREAT-2014-M1

Documents

Transcript of 186251588-TEORIE-MATEMATICĂ-BACALAUREAT-2014-M1